第一篇：高中數學高考總復習推理與證明

高考總復習推理與證明

一、選擇題

0，1這三個整數中取值的數列，若a1?a2???a50?9，1．設a1，a2，?，a50是從?1，且(a1?1)2?(a2?1)2???(a50?1)2?107，則a1，a2，?，a0

5A．10B．11C．12D．13 中為0的個數為（）

2．平面內有n條直線，最多可將平面分成f(n)個區域，則f(n)的表達式為（）

A． n?1B． 2n

2C

． n?n?1 3．某人進行了如下的“三段論”推理：如果f'(x0)?0，則x?x0是函數f(x)的極值

33點，因為函數f(x)?x在x?0處的導數值f'(0)?0，所以x?0是函數f(x)?x的極值點。你認為以上推理的A.大前提錯誤B.小前提錯誤

C.推理形式錯誤D.結論正確

4．觀察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，由歸納推理可得：若定義在R上的函數f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導函數，則g(－x)＝()

A．f(x)B．－f(x)C．g(x)D．－g(x)

5x?N*），猜想f(x）的表達式為（）

6．用反證法證明命題“三角形的內角中最多只有一個內角是鈍角”時，應先假設（）

A.沒有一個內角是鈍角B.有兩個內角是鈍角

C.有三個內角是鈍角D.至少有兩個內角是鈍角

'''f(x)?sinx,f(x)?f(x),f(x)?f(x),?,f(x)?f(x),n?N，則01021n?1n7．設

f200(7x)?（）

A.sinxB.?sinxC.cosxD.?cosx

8．已知整數對按如下規律排成一列：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），??，則第60個數對是（）

A（10，2）B.（2，10）C.（5，7）D.（7，5）

9．設數列{an}的前n項和為Sn，Taa??，稱n為數列1，2，試卷第1頁，總4頁

an的“理想數”aaaa，已知數列1，2，??，500的“理想數”為2004，那么數列2，1，a2，??，a500的“理想數”為（）

A、2008B、2004C、2002D、2000

10．對于任意的兩個實數對(a,b)和(c,d)，規定：(a,b)?(c,d)，當且僅當a?c,b?d；運算“?”為：(a,b)?(c,d)?(ac?bd,bc?ad)；運算“?”為：(a,b)?(c,d)?(a?c,b?d)，設p,q?R，若(1,2)?(p,q)?(5,0)，則(1,2)?(p,q)????（）A

．(4,0)B．(2,0)C．(0,2)D．(0,?4)

二、填空題

11．用反證法證明命題：“三角形的內角中至少有一個不大于60度”時，反設是

照此規律，計算1?2?2?3???n(n?1)?

（n?Ｎ）.13．在平面幾何里，已知直角三角形ABC中，角C為90?，AC=b,BC=a,運用類比方法探求空間中三棱錐的有關結論：有三角形的勾股定理，給出空間中三棱錐的有關結論：________

*

若三角形ABC________

14．將全體正奇數排成一個三角形數陣： 1 3

57911 13151719 ??

按照以上排列的規律，第n 行（n ≥3）從左向右的第3個數為．

15．如圖所示,從中間陰影算起，圖1表示蜂巢有1層只有一個室,圖2表示蜂巢有2層共有7個室,圖3表示蜂巢有3層共有19個室,圖4表示蜂巢有4層共有37個室.觀察蜂巢的室的規律，指出蜂巢有n層時共有_______個室.試卷第2頁，總4頁

三、解答題

17．a,b,c

至少有一個大于0.18．已

知a,b,c中，求證：關于x的三個方程x?4ax?3?4a?0，x2??a?1?x?a2?0，x2?4ax?15a?4?0中至少有一個方程有實數根.19．已知a，b，c

試卷第3頁，總4頁

20．已知a＞0,b＞0,且a+b=1,21．已知數列{an}中，Sn是它的前n項和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，?），a1=1.（1）設bn=an+1-2an(n=1,2,?)，求證：數列{bn}是等比數列；（2）設cn

?),求證：數列{cn}是等差數列；

（3）求數列{an}的通項公式及前n項和公式.22.設數列

（1）猜想（2）設的前

項和為，且滿足，.的通項公式，并加以證明；，且，證明：

.試卷第4頁，總4頁

參考答案

1．B2．C3．A4．D5．B6．D7．D8．C9．C10．B 11．三角形的內角都大于60度12

2222

13．在三棱錐O-ABC中，若三個側面兩兩垂直，則S?OAB?S?OAC?S?OBC?S?ABC；在三棱

錐O-ABC中，若三個側面兩兩垂直，且三條側棱長分別為a,b,c,則其外接球的半徑為

14．n?n?515．3n2?3n?1 16．

首先，我們知道

則有，所以，同理，得

則有，．，17．證明略18．見解析19．證明見解析20．證明略 21．（1）證明略（2）證明略（3）{an}的前n項和公式為Sn=（3n-4）·2n-1+2 22.(1)由

即∵∴

∴，得，即，兩式作差得，是首項為1，公差為1的等差數列，∴，（2）要證只要證代入，即證

即證

∵，且∴

即得證

答案第1頁，總1頁

第二篇：推理與證明總復習

推理與證明總復習

編寫人：楊素華審核：高二數學組（1）

一、知識結構框圖

二、考綱分解解讀

1合情推理與演繹推理

（1）了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進行簡單的推理，了解合情推理在數學發現中的作用.

（2）了解演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本模式，并能運用它們進行一些簡單推理.（3）了解合情推理和演繹推理之間的聯系和差異.

2直接證明與間接證明

（1）了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點.

（2）了解間接證明的一種基本方法——反證法；了解反證法的思考過程、特點. 3數學歸納法

了解數學歸納法的原理，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.三、基礎知識

（一）合情推理與演繹推理

1推理的概念

根據一個或幾個已知事實（或假設）得出一個判斷，這種___________叫做推理.從結構上說，推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實（或假設）叫做___________，一部分是由已知推出的判斷，叫做___________.

2合情推理

根據已有的事實，經過___________、___________、___________、___________，再進行___________、___________，然后提出___________的推理稱為合情推理.合情推理又具體分為歸納推理和類比推理兩類.

(1)歸納推理：由某類事物的___________對象具有某些特征，推出該類事物的___________對象具有這些特征的推理；或者由___________事實概括出___________的推理稱為歸納推

1理.簡言之，歸納推理是由部分到___________，由___________到___________的推理，歸納推理簡稱歸納.(2)類比推理：由兩類對象具有___________和其中一類對象的某些___________，推出另一類對象也具有這些特征的推理，稱為類比推理.簡言之，類比推理是由___________到___________的推理，類比推理簡稱類比.

3演繹推理

（1）從___________出發，推出某個特殊情況下的結論，我們把這種推理稱為演繹推理.簡言之，演繹推理是由___________到___________的推理.

（2）三段論是演繹推理的一般模式，它包括：①大前提——________________；②小前提——________________；③結論——________________________________.（二）直接證明與間接證明

1．直接證明

（1）綜合法：從題設的____________出發，運用一系列有關_______________作為推理的依據，逐步推演而得到要證明的結論，這種證明方法叫做綜合法.綜合法的推理方向是由____________到____________，表現為____________，綜合法的解題步驟用符號表示是：_____________________.

特點:“由因導果”，因此綜合法又叫____________法．

（2）分析法：分析法的推理方向是由____________到____________，論證中步步尋求使其成立的____________，如此逐步歸結到已知的條件和已經成立的事實，從而使命題得證，表現為____________，分析法的證題步驟用符號表示為_____________________________.特點：“執果索因”，因此分析法又叫____________法或____________法.

2．間接證明

假設原命題的結論不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立．這樣的證明方法叫反證法．反證法是一種間接證明的方法．

（1）反證法的解題步驟：____________——推演過程中引出矛盾——____________.

（2）反證法的理論依據是：原命題為真，則它的____________為真，在直接證明有困難時，就可以轉化為證明它的____________成立.

（3）反證法證明一個命題常采用以下步驟：

①假定命題的結論不成立.

②進行推理，在推理中出現下列情況之一：與已知條件矛盾；與公理或定理矛盾. ③由于上述矛盾的出現，可以斷言，原來的假定“結論不成立”是錯誤的.

④肯定原來命題的結論是正確的.

即“反設——歸謬——結論”.

（4）一般情況下，有如下幾種情況的求證題目常常采用反證法：

第一，問題共有n種情況，現要證明其中的一種情況成立時，可以想到用反證法把其它的 n-1種情況都排除，從而肯定這種情況成立；

第二，命題是以否定命題的形式敘述的；

第三，命題用“至少”、“至多”的字樣敘述的；

第四，當命題成立非常明顯，而要直接證明所用的理論太少，且不容易說明，而其逆命題又是非常容易證明的.（三）數學歸納法

1．數學歸納法

對于某些與正整數n有關的命題常常采用下面的方法來證明它的正確性：先證明當n取第一個值n0時命題成立；然后假設當n＝k(k∈N*，k≥n0)時命題成立，證明當________時命

題也成立，這種證明方法就叫做________．

2．用數學歸納法證明一個與正整數(或自然數)有關的命題的步驟

(1)(歸納奠基)當n取第一個值________________________時，證明命題成立；

(2)(歸納遞推)假設當_______________________時結論正確，證明當________時結論也正確． 由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數n都正確．

3．特點注意

用數學歸納法來證明與正整數有關的命題時，要注意：________不可少，________要用到，________莫忘掉．

四、題型歸納

（一）歸納推理

例1平面內的１條直線把平面分成2部分，2條相交直線把平面分成4部分，3條相交但不共點的直線把平面分成7部分，則n條彼此相交而無三條共點的直線，可把平面分成多少部分？

分析：可通過畫圖當直線條數n為3，4，5時，分別計算出它們將平面分成的區域數Sn，從中發現規律，再歸納出結論.

解析：設平面被n條直線分成Sn部分，則

當n=1時，S1 =1+1=2；

當n=2時，S2 =1+1+2=4；

當n=3時，S3 =1+1+2+3=7；

當n=4時，S4 =1+1+2+3+4=11．

據此猜想，得Sn=1+ n(n?1)

2n?n?222=.

點評：本題是由部分到整體的推理，先把部分的情況都寫出來，然后尋找規律，概括出整體的情況．

（二）類比推理

例2（2009年微山模擬）在平面幾何中，對于Rt△ABC，設AB=c,AC=b,BC=a，則

（1）a2+b2=c2；

22（2）cos2A+cos2B=1； a?b

（3）Rt△ABC的外接圓半徑為r=

2.

把上面的結論類比到空間寫出相類似的結論.分析：我們在空間中選取3個面兩兩垂直的四面體作為直角三角形的類比對象，考慮面積，二面角，及外接球的半徑即可得.解析：（1）設3個兩兩垂直的側面的面積

分別為S1,S2,S3，底面面積為S，則

S12+S22+S32=S2.

(2)設3個兩兩垂直的側面與底面所成的角

分別為α,β,γ，則

cosα+cosβ+cosγ=1.

(3)設3個兩兩垂直的側面形成的側棱長分

別為a,b,c，則這個四面體的外接球的半徑

為R=a2222?b

32?c2.

（三）演繹推理

演繹推理是證明數學問題的基本推理形式，因此在高考中經常出現，三段論推理是演繹推理的一種重要的推理形式，是由一般到特殊的推理，在前提真實并且推理形式正確的前提下，其結論就必然真實.2例3證明：函數f(x)=-x+2x在［1，+∞)上是減函數.（四）用綜合法證明數學命題

例4已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A,B的任一點，過A點作AE⊥PC于點E，如右圖所示.求證：AE⊥平面PBC.（五）用分析法證明數學命題

例5若a>0，求證： a2?1?2a

（六）用反證法證明數學命題

例6已知：a3+b3=2,求證：a+b≤2.分析：本題直接證明命題較困難，宜用反證法.

證明：假設a+b>2,則b>2-a.

于是a+b>a+(2-a)=8-12a+6a

=6(a-1)2+2≥2.與已知相矛盾，所以 a+b≤2.（七）數學歸納法

ⅰ歸納、猜想、證明

例7在各項為正的數列{an}中，數列的前n項和Sn滿足

(1)求a1，a2，a3.ⅱ用數學歸納法證明恒等式1?1??an?.Sn＝ 2 ?a ?? n??333322?a?1a?2.(2)由(1)猜想數列{an}的通項公式，并且用數學歸納法證明你的猜想．

22例8用數學歸納法證明：??n(n?1)2?n(n?1)(3n1 ? 2?2?3? 12

2?11n?10)

ⅲ用數學歸納法證明整除問題

例9用數學歸納法證明：對于任意自然數n，數11n＋2＋122n＋1是133的倍數．

ⅳ用數學歸納法證明不等式問題

例10設函數f(x)?x?xlnx．數列?an?滿足0?a1?1，an?1?f(an)．（Ⅰ）證明：函數f(x)在區間(0，1)是增函數；

（Ⅱ）證明：an?an?1?1；

1)，整數k≥（Ⅲ）設b?(a1，a1?ba1lnb．證明：ak?1?b．

解：

（I）當0

f′(x)=1-lnx-1=-lnx>0

所以函數f(x)在區間（0,1）是增函數，（II）當0x

又由（I）有f(x)在x=1處連續知，當0

因此，當0

下面用數學歸納法證明： 0

(i)由0

則由①可得0

故當n=k+1時，不等式②也成立

綜合(i)(ii)證得：an

(III)由（II）知，{an}逐項遞增，故若存在正整數m≤k,使得am≥b,則ak+1>am≥b 否則，若am

ak+1=ak-aklnak

=ak-1-ak-1lnak-1-aklnak

……

k

=a1-?amlnam

m?1

k

由③知?amlnam

m?1

于是ak+1>a1+k|a1lnb|

≥a1+(b-a1)=b

第三篇：高中數學推理與證明測試題

高中數學推理與證明測試題

山東淄博五中孫愛梅

一 選擇題（5×12=60分）

1.如下圖為一串白黑相間排列的珠子，按這種規律往下排起來，那么第36顆珠子應是什

么顏色的（）

A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大

2．“所有9的倍數（M）都是3的倍數（P），某奇數（S）是9的倍數（M），故某奇數（S）

是3的倍數（P）.”上述推理是（）

A．小前提錯B．結論錯C．正確的D．大前提錯

3．F（n）是一個關于自然數n的命題，若F（k）（k∈N＋）真，則F（k＋1）真，現已知F

（7）不真，則有：①F（8）不真；②F（8）真；③F（6）不真；④F（6）真；⑤F（5）不

真；⑥F（5）真.其中真命題是（）

A．③⑤B．①②C．④⑥D．③④

4.下面敘述正確的是（）

A．綜合法、分析法是直接證明的方法B．綜合法是直接證法、分析法是間接證法

C．綜合法、分析法所用語氣都是肯定的 D．綜合法、分析法所用語氣都是假定的5．類比平面正三角形的“三邊相等，三內角相等”的性質，可知正四面體的下列哪些性質，你認為比較恰當的是（）

① 各棱長相等，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等；

② 各個面都是全等的正三角形，相鄰兩個面所成的二面角都相等；

③ 各個面都是全等的正三角形，同一頂點上的任兩條棱的夾角都相等。

A．①B．①②C．①②③D．③

6．（05·春季上海，15）若a，b，c是常數，則“a＞0且b2－4ac＜0”是“對x∈R，有ax

2＋bx＋c＞0”的（）

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．不充分不必要條件

17．（04·全國Ⅳ，理12）設f（x）（x∈R）為奇函數，f（1）＝，f（x＋2）＝f（x）＋f2

（2），f（5）＝（）

5A．0B．1C．D．5 2

111118．設S（n）＝ ＋ ＋ ＋＋?＋，則（）nn＋1n＋2n＋3n11A．S（n）共有n項，當n＝2時，S（2＋

311

1B．S（n）共有n＋1項，當n＝2時，S（2）＝＋ ＋

234111

C．S（n）共有n2－n項，當n＝2時，S（2 ＋＋

234111

D．S（n）共有n2－n＋1項，當n＝2時，S（2 ＋＋

4x

9．在R上定義運算⊙：x⊙y＝，若關于x的不等式（x－a）⊙（x＋1－a）＞0的解集

2－y是集合｛x｜－2≤x≤2，x∈R｝的子集，則實數a的取值范圍是（）A．－2≤a≤2B．－1≤a≤1C．－2≤a≤1D．1≤a≤2

10．已知f（x）為偶函數，且f（2＋x）＝f（2－x），當－2≤x≤0時，f（x）＝2，若n∈N，an＝f（n），則a2006＝（）

A．2006B．4C．D．－4

11．函數f（x）在［－1，1］上滿足f（－x）＝－f（x）是減函數，α、β是銳角三角形的兩個內角，且α≠β，則下列不等式中正確的是（）A．f（sinα）＞f（sinβ）B． f（cosα）＞f（sinβ）C．f（cosα）＜f（cosβ）D．f（sinα）＜f（sinβ）

12．有甲、乙、丙、丁四位歌手參加比賽，其中只有一位獲獎，有人走訪了四位歌手，甲說：“是乙或丙獲獎”，乙說：“甲、丙都未獲獎”，丙說：“我獲獎了”，丁說：“是乙獲獎”。四位歌手的話只有兩名是對的，則獎的歌手是（）A．甲B．乙C．丙D．丁

二 填空題（4×4=16分）13．“開心辭典”中有這樣的問題：給出一組數，要你根據規律填出后面的第幾個數，現給1131

5出一組數：,-，-，它的第8個數可以是。

228

43214．在平面幾何里有射影定理：設△ABC的兩邊AB⊥AC，D是A點在BC邊上的射影，則AB2=BDBC.拓展到空間,在四面體A—BCD中，DA⊥面ABC，點O是A在面BCD內的射影，且O在面BCD內，類比平面三角形射影定理，△ABC，△BOC，△BDC三者面積之間關系為。

15．（05·天津）在數列｛an｝中，a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋（－1）n，n∈N*，S10＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.16．（05黃岡市一模題）當a0，a1，a2成等差數時，有a0－2a1＋a2＝0，當a0，a1，a2，a3成等差數列時，有a0－3a1＋3a2－a3＝0，當a0，a1，a2，a3，a4成等差數列時，有a0－4a

1012

＋6a2－4a3＋a4＝0，由此歸納：當a0，a1，a2，?，an成等差數列時有Cna0－Cna1＋Cna2－?＋Cnnan＝0.如果a0，a1，a2，?，an成等差數列，類比上述方法歸納出的等式為＿＿＿。三 解答題（74分）已知△ABC中，角A、B、C成等差數列，求證：18．若a、b、c均為實數，且a＝x2－2x＋

*

x

.11

3+=（12分）a+bb+ca+b+c

πππ

b＝y2－2y＋c＝z2－2z＋，求證：a、b、236

c中至少有一個大于0.（12分）

19．數列｛an｝的前n項和記為Sn，已知a1＝1，an＋1n＋

2n（n＝1，2，3，?）.n

Sn

證明：⑴數列｛Sn＋1＝4an.（12分）

n

20．用分析法證明：若a＞0，則

a22≥a＋－2.(12分)

aa

121．設事件A發生的概率為P，若在A發生的條件下B發生概率為P′，則由A產生B的概率為P·P′.根據這一事實解答下題.一種擲硬幣走跳棋的游戲：棋盤上有第0、1、2、?、100，共101站，一枚棋子開始在第0站（即P0＝1），由棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次.若硬幣出現正面則棋子向前跳動一站，出現反面則向前跳動兩站.直到棋子跳到第99站（獲勝）或第100站（失敗）時，游戲結束.已知硬幣出現正、反面的概率相同，設棋子跳到第到第n站時的概率為Pn.（1）求P1，P2，P3；

（2）設an=Pn－Pn－1（1≤n≤100），求證：數列｛an｝是等比數列(12分)

ACAE22．(14分)在ΔABC中（如圖1），若CE是∠ACB ＝.其證明過程：

BCBE作EG⊥AC于點G，EH⊥BC于點H，CF⊥AB于點F

∵CE是∠ACB的平分線，∴EG＝EH.又∵

ACAC·EGSΔAEC

＝，BCBC·EHSΔBEC

AEAE·CFSΔAEC＝＝，BEBE·CFSΔBEC∴

ACAE＝.BCBE

（Ⅰ）把上面結論推廣到空間中：在四面體A－BCD中（如圖2），平面CDE是二面角A－CD－B的角平分面，類比三角形中的結論，你得到的相應空間的結論是＿＿＿＿＿＿

（Ⅱ）證明你所得到的結論.B HC

圖

1A

A G

B

圖

2h11C

答案：

一 1 A 2 C 3 A 4 A 5 C 6 A 7 C 8 D ９Ｃ１０Ｃ １１Ｂ １２ C

πππ分析：因為銳角三角形，所以α+β＞，所以0＜-α＜β＜，222

π

sin（-α）＜sinβ，0＜cosα＜sinβ＜1，函數f（x）在［－1，1］上滿足是減函數

所以f（cosα）＞f（sinβ）。12分析：先猜測甲、乙對，則丙丁錯，甲、乙可看出乙獲獎則丁不錯，所以丙丁中必有一個是對的，設丙對，則甲對，乙錯，丁錯.∴答案為C.1.二 13-14（S△ABC）2= S△BOC S△BDC15.3

3216a

00n

C

·a

1－C

1n

·a2 n·?·an（－1）nn＝1.2C

C

n

［解析］解此題的關鍵是對類比的理解.通過對所給等差數列性質的理解，類比去探求等比數列相應的性質.實際上，等差數列與等比數列類比的裨是運算級別的類比，即等差數列中的“加、減、乘、除”與等比數列中的“乘、除、乘方、開方”相對應.三 解答題

317(分析法)要證+=

a+bb+ca+b+c

a+b+ca+b+c需證:+ =3

a+bb+c

即證:c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c)即證:c2+a2=ac+b

2因為△ABC中，角A、B、C成等差數列,所以B=600,由余弦定理b2= c2+a2-2cacosB 即b= c+a-ca 所以c+a=ac+b

3因此 + =

a+bb+ca+b+c(反證法).證明：設a、b、c都不大于0，a≤0，b≤0，c≤0，∴a＋b＋c≤0，πππ

而a＋b＋c＝（x2－2y）＋（y2－2z＋z2－2x＋

236

＝（x－2x）＋（y－2y）＋（z－2z）＋π＝（x－1）＋（y－1）＋（z－1）＋π－3，∴a＋b＋c＞0，這與a＋b＋c≤0矛盾，故a、b、c中至少有一個大于0.19(綜合法)．證明：⑴由an＋1

2222222

n＋2

n，而an＋1＝Sn＋1－Sn得 n

Sn＋

1n＋12（n＋1）n＋1Sn∴Sn＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1Sn＝2，∴數列｛｝為等比數列.nnSnn

n

SnSn＋1Sn－14an（n－1）⑵由⑴知｛2，∴＝4·，∴Sn＋1＝4an.nn＋1n－1n－1n＋120(分析法).證明：要證

a2＋2－≥a＋2，只需證

aa

a22＋2≥a＋aa

∵a＞0，∴兩邊均大于零，因此只需證（a2＋22）2≥（a＋）2，aa

只需證a2＋24＋

4a

a2＋2≥a2＋22＋2（a＋，aaa

a2＋2≥（a＋，只需證a2＋2≥（a2＋2＋2），a2aa2aa

即證a2＋2≥2，它顯然是成立，∴原不等式成立.111131131

521.（1）解:P0＝1，∴P1＝, P2× ＋＝，P3＝ ×＋× ＝.2222422428

（2）證明:棋子跳到第n站，必是從第n－1站或第n－2站跳來的（2≤n≤100），所以Pn

Pn－1Pn－2

∴Pn－Pn－1＝－Pn－1＋Pn－1 Pn－2=（Pn－1－Pn－2），22211

∴an=－an－1（2≤n≤100），且an＝P1－P0.22

故｛an｝是公比為－，首項為－的等比數列（1≤n≤100）.2222．結論:

SΔACDSΔAECSΔACDSΔAEDAESΔACD＝ 或 ＝SΔBCDBESΔBCDSΔBECSΔBCDSΔBED

證明：設點E是平面ACD、平面BCD的距離分別為h1，h2，則由平面CDE平分二面角A－CD－B知h1＝h2.又∵

SΔACDh1SΔACDVA－CDE

＝ SΔBCDh2SΔBCDVB－CDE

VA－CDEAESΔAEDVC－AED ＝ ＝BESΔBEDVC－BEDVB－CDESΔACDAE∴ ＝SΔBCDBE

A G

B

C

2圖2 A hB HC

圖1

第四篇：高中數學推理與證明練習題

克拉瑪依市啟航教育培訓中心0990-6888887

高中數學推理與證明練習題

一.選擇題

1．分析法是從要證明的結論出發，逐步尋求使結論成立的（）

Ａ．充分條件 Ｂ．必要條件 Ｃ．充要條件 Ｄ．等價條件

2．下面敘述正確的是（）

A．綜合法、分析法是直接證明的方法 B．綜合法是直接證法、分析法是間接證法

C．綜合法、分析法所用語氣都是肯定的 D．綜合法、分析法所用語氣都是假定

3．用反證法證明命題：若整系數一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0)有有理根，那么a，b，c中至少有一個是偶數時，下列假設中正確的是（）

Ａ．假設a，b，c都是偶數

Ｂ．假設a，b，c都不是偶數

Ｃ．假設a，b，c至多有一個是偶數

Ｄ．假設a，b，c至多有兩個是偶數

4．在△ABC中，sinAsinC?cosAcosC，則△ABC一定是（）

Ａ．銳角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．鈍角三角形 Ｄ．不確定

5．在證明命題“對于任意角?，cos4??sin4??cos2?”的過程：“cos4??sin4??(cos2??sin2?)(cos2??sin2?)?cos2??sin2??cos2?”中應用了 Ａ．分析法 Ｂ．綜合法 Ｃ．分析法和綜合法綜合使用 Ｄ．間接證法

二.證明題

6．設a,b,c都是正數，求證

12a?12b?12c?1a?b?1b?c?1c?a

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7．已知：sin230??sin290??sin2150

sin2???323

25?sin?265?sin125?2?

通過觀察上述兩等式的規律，請你寫出一般性的命題，并給出的證明

8．?ABC的三個內角A,B,C成等差數列，求證：1

a?b?1

b?c?3

a?b?c

第五篇：【高中數學】推理與證明

【高中數學】推理與證明

歸納推理

把從個別事實中推演出一般性結論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）歸納推理的一般步驟：

(1)通過觀察個別情況發現某些相同的性質；

(2)從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般命題（猜想）；

(3)證明（視題目要求，可有可無）。

類比推理

由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）.類比推理的一般步驟：

(1)找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；(2)用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想；

(3)檢驗猜想。

合情推理

歸納推理和類比推理都是根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理。“合乎情理”的推理.2.演繹推理

從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結論，這種推理稱為演繹推理。簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理。

演繹推理的一般模式

(1)大前提----已知的一般原理；

(2)小前提----所研究的特殊情況；

(3)結論----據一般原理，對特殊情況做出的判斷.3.直接證明與間接證明

立。

要點：順推證法，由因導果。

成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.要點：逆推證法，執果索因。

(3)：一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立的證明方法，它是一種間接的證明方法。

第 1 頁

①（反設）假設命題的結論不成立；

②（推理）根據假設進行推理,直到導出矛盾為止；③（歸謬）斷言假設不成立； ④（結論）肯定原命題的結論成立.反證法法證明一個命題的一般步驟：

4.數學歸納法：數學歸納法是證明關于正整數n的命題的一種方法.用數學歸納法證明命題的步驟：

(1)（歸納奠基）證明當n取第一個值n0(n0?N*)時命題成立；

(2)（歸納遞推）假設n?k(k?n0,k?N*)時命題成立，推證當n?k?1時命題也成立.只要完成了這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數n都成立.1．下列推理是歸納推理的是()

A．A，B為定點，動點P滿足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，則P點的軌跡為橢圓 B．由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出數列的前n項和Sn的表達式

x2y2222

2C．由圓x＋y＝r的面積πr，猜想出橢圓2＋2＝1的面積S＝πab

ab

D．科學家利用魚的沉浮原理制造潛艇

111357

2．設n為正整數，f(n)＝1＋＋＋?＋，經計算得f(2)＝，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，觀察上述結果，可推測

23n222出一般結論()

2n＋

1A．f(2n)>

2n＋2

C．f(2n)≥

n＋2

B．f(n2)≥

2D．以上都不對

3．有一段演繹推理是這樣的：“若直線平行于平面，則該直線平行于平面內所有直線；已知直線b∥平面α，直線a?平面α，則直線b∥直線a”，結論顯然是錯誤的，這是因為()

A．大前提錯誤 h，則()

A．h>h1＋h2＋h3C．h

3B．h＝h1＋h2＋h3

D．h1，h2，h3與h的關系不定

B．小前提錯誤

C．推理形式錯誤

D．非以上錯誤

4．若點P是正四面體A－BCD的面BCD上一點，且P到另三個面的距離分別為h1，h2，h3，正四面體A－BCD的高為

5．下圖1是一個水平擺放的小正方體木塊，圖

2、圖3是由這樣的小正方體木塊疊放而成，按照這樣的規律繼續逐個疊放下去，那么在第七個疊放的圖形中小正方體木塊數應是()

A．25B．66C．9

1D．120

6．已知等差數列{an}中，a10＝0，則有等式a1＋a2＋?＋an＝a1＋a2＋?＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，那么等比數列{bn}中，若b9＝1，則有等式_成立。

第 2 頁

7．(2010·陜西)觀察下列等式：13＋23＝(1＋2)2,13＋23＋33＝(1＋2＋3)2,13＋23＋33＋43＝(1＋2＋3＋4)2，?，根據上述規律，第四個等式為_.8．觀察下列等式：

①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝

43②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝

由上面兩題的結構規律，你是否能提出一個猜想？并證明你的猜想.111

9．在△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求證：＝ABCD中，類比上述結論，你能得到

ADABAC怎樣的猜想，并說明理由.10．下面的(a)、(b)、(c)、(d)為四個平面圖．

(1)數一數，每個平面圖各有多少個頂點？多少條邊？分別圍成了多少個區域？將結果填入下表(按填好的例子做)

(2)觀察上表，推斷一個平面圖的頂點數、邊數、區域數之間有什么關系？

(3)現已知某個平面圖有2008個頂點，且圍成了2008個區域，試根據以上關系確定這個平面圖的邊數.第 3 頁

311．用數學歸納法證明：n?5n能被6整除；

12．若a,b,c均為實數，且

求證：a，b，c中至少有一個大于0.13．用數學歸納法證明： 1?

14．觀察（1）tan10tan20?tan20tan60?tan60tan10?1;

（2）tan5tan10?tan10tan75?tan75tan5?1 由以上兩式成立，推廣到一般結論，寫出你的推論 并加以證明。，,1111?????n?n；2342?

1000000

000000

第 4 頁

1、下列表述正確的是（）

①歸納推理是由部分到整體的推理； ③演繹推理是由一般到特殊的推理； ⑤類比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③

B．②③④

C．②④⑤

D．①③⑤.②歸納推理是由一般到一般的推理； ④類比推理是由特殊到一般的推理；

2、下面使用類比推理正確的是（）

A.“若a?3?b?3,則a?b”類推出“若a?0?b?0,則a?b” B.“若(a?b)c?ac?bc”類推出“(a?b)c?ac?bc”

a?bab

??（c≠0）” ccc

nnnn

（ab）?anbn” 類推出（D.““a?b）?a?b”

C.“若(a?b)c?ac?bc” 類推出“

(A)假設三內角都不大于60度；(C)假設三內角至多有一個大于60度；A.29

B.2543、用反證法證明命題：“三角形的內角中至少有一個不大于60度”時，反設正確的是（）

(B)假設三內角都大于60度；

(D)假設三內角至多有兩個大于60度。C.60

2D.200

401234、在十進制中2004?4?10?0?10?0?10?2?10，那么在5進制中數碼2004折合成十進制為（）

n＋

15、利用數學歸納法證明“1＋a＋a＋…＋a

(A)

11?an?2=，(a≠1，n∈N)”時，在驗證n=1成立時，左邊應該是（）1?a

(C)1＋a＋a2(D)1＋a＋a2＋a

3(B)1＋a6、某個命題與正整數n有關，如果當n?k(k?N?)時命題成立，那么可推得當n?k?1時命題也成立.現已知當n?7時該命題不成立，那么可推得（）

A．當n=6時該命題不成立C．當n=8時該命題不成立

n

B．當n=6時該命題成立 D．當n=8時該命題成立

7、當n?1，2，3，4，5，6時，比較2和n的大小并猜想（）

n

2A.n?1時，2?n

n2

B.n?3時，2?n n2

D.n?5時，2?n

n2

C.n?4時，2?n

?x8、定義運算:x?y??

?y

(x?y)的是（）例如3?4?4,則下列等式不能成立．．．．

(x?y),B．(x?y)?z?x?(y?z)

D．c?(x?y)?(c?x)?(c?y)（其中c?0）

A．x?y?y?xC．(x?y)?x?y

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cos2Acos2B1

1???。a2b2a2b29、在△ABC中，證明：

10、設a,b,x,y?R，且a?b?1,x2?y2?1,試證：ax??1。

11、用反證法證明：如果x?

12、已知數列a1,a2,?,a30，其中a1,a2,?,a10是首項為1，公差為1的等差數列；a10,a11,?,a20是公差為d的等差數列；a20,a21,?,a30是公差為d2的等差數列（d?0）.（1）若a20?40，求d；

（2）試寫出a30關于d的關系式，并求a30的取值范圍；

（3）續寫已知數列，使得a30,a31,?,a40是公差為d3的等差數列，……，依次類推，把已知數列推廣為無窮數列.提出同（2）類似的問題（（2）應當作為特例），并進行研究，你能得到什么樣的結論？

12，那么x?2x?1?0。2

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