第一篇：高考必看：推理與證明

推理與證明

一．本章知識網(wǎng)絡(luò)： 推理與證

推理 證明合情推理 演繹推理 直接證明 間接證明 數(shù)學歸納

歸納 類比 綜合分析反證

二、推理●1.歸納推理1）歸納推理的定義：從個別事實．．．．中推演出一般性．．．的結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理。

歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助人們發(fā)現(xiàn)問

題和提出問題。但不完全歸納的結(jié)論不一定正確，需要證明。

●2.類比推理1）根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似

類比推理的關(guān)鍵是先找到兩類事物的相似點（類比點），從而將一類事物的性質(zhì)的類比到另一個事物，但要有證明的意識。

●3.演繹推理1）演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）按照嚴格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程。

2）三段論式常用的格式為： M——P（M是P）①S——M（S是M）②S——P（S是P）③

其中①是大前提，它提供了一個一般性的原理；②是小前提，它指出了一個特殊對象；③是結(jié)論，它是根據(jù)一般性原理，對特殊情況做出的判斷。

三．證明：綜合法，分析法，反證法，數(shù)學歸納法

1．解答證明題時，要注意是采用直接證明還是間接證明。在解決直接證明題時，綜合法和分析法往往可以結(jié)合起來使用。綜合法的使用是“由因索果”，分析法證明問題是“執(zhí)果索因”，它們是兩種思路截然相反的證明方法，分析法便于尋找解題思路，而綜合法便于敘述，因此使用時往往聯(lián)合使用。分析法要注意敘述的形式：要證A，只要證明B，B應是A成立的充分條件。

2．應用反證法時，注意：一是“否定結(jié)論”部分，把握住結(jié)論的“反”是什么？二是“導出矛盾”部分，矛盾有時是與已知條件矛盾，有時是與假設(shè)矛盾，而有時又是與某定義、定理、公理或事實矛盾，因此要弄明白究竟是與什么矛盾.對于難于從正面入手的數(shù)學證明問題，解題時可從問題的反面入手，探求已知與未知的關(guān)系，從而將問題得以解決。因此當遇到“否定性”、“唯一性”、“無限性”、“至多”、“至少”等類型命題時，宜選用反證法。

x成立；? p且? q；? p或? q 3數(shù)學歸納法：（兩步驟一結(jié)論，關(guān)鍵是“用假設(shè)、湊目標”）（1）數(shù)學歸納法是用來證明某些與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學命題的一種推理方法，它是一個遞推的數(shù)學論證方法，論證的第一步是證明命題在n＝1(或n0)時成立，這是遞推的基礎(chǔ)；第二步是假設(shè)在n＝k時命題成立，再證明n＝k＋1時命題也成立，這是無限遞推下去的理論依據(jù)，它使命題的正確性突破了有限，達到無限。這兩個步驟密切相關(guān)，缺一不可，完成了這兩步，就可以斷定“對任何自然數(shù)（或n≥n0且n∈N）結(jié)論都正確”。由這兩步可以看出，數(shù)學歸納法是由遞推實現(xiàn)歸納的，屬于完全歸納。（2）運用數(shù)學歸納法證明問題時，關(guān)鍵是n＝k＋1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調(diào)控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現(xiàn)目標完成解題。（3）運用數(shù)學歸納法，可以證明下列問題：與自然數(shù)n有關(guān)的恒等式、代數(shù)不等式、三角不等式、數(shù)列問題、幾何問題、整除性問題等等。

四．知識應用，鞏固提升 一．選擇題

1、下列表述正確的是（）.①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；⑤類比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③； B．②③④；C．②④⑤；D．①③⑤.2.觀察下列數(shù)的特點：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，? 中,第100項是()A．10 B.13 C.14 D.100

3.在平面幾何里，有勾股定理：“設(shè)△ABC的兩邊AB，AC互相垂直，則AB2+AC2=BC

2”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，“設(shè)三棱錐A—BCD的三個側(cè)面ABC、ACD、ADB 兩兩相互垂直，則可得”（）A.AB

2+AC2

+ AD2

=BC2

+ CD2

+ BD2

B.S

2?ABC

?S2?ACD?S2?ADB?S2?BCD

C.S22S222

?ABC?S?ACD??ADB?S?BCDD.AB×AC×AD=BC ×CD ×BD

4.由①正方形的對角線相等；②平行四邊形的對角線相等；③正方形是平行四邊形，根據(jù)“三段論”推理

出一個結(jié)論，則這個結(jié)論是（）A.正方形的對角線相等B.平行四邊形的對角線相等C.正方形是平行四邊形 D.其它

5、用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”時，反設(shè)正確的是（）。

A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度； B 假設(shè)三內(nèi)角都大于60度； C。假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60度；D。假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60度。

6用數(shù)學歸納法證明(n＋1)(n＋2)?(n＋n)＝2n

·1·2?(2n－1)（n∈N），從“k到k＋1”，左端需乘的代數(shù)式為（）。A.2k＋1B.2(2k＋1)C.2k?1k?1D.2k?

3k?

17．設(shè)a,b,c?(??,0),則a?1b,b?1c,c?1

a

（）A．都不大于?2 B．都不小于?2 C．至少有一個不大于?2D．至少有一個不小于?

28．定義運算:x?y???

x(x?y)例如?y

(x?y),3?4?4,則下列等式不能成立．．．．的是（）A．x?y?y?xB．(x?y)?z?x?(y?Cz)．(x?y)2?x2?y2D．c?(x?y)?(c?x)?(c?y)（c?0）9．（11江西理7）觀察下列各式：5

5=3125，56

=15625，57

=78125，…，則52011的末四位數(shù)字為()

A．3125B．5625C．0625D．8125

二．填空題

11.（11陜西理13）觀察下列等式

1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49

??

照此規(guī)律，第n個等式為。12．（09浙江文）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則S4，S8?S4，S12?S8，S16?S12成等差數(shù)列．類比以上結(jié)論有：設(shè)等比數(shù)列{bn}的前n項積為Tn，則T4，，T16

T成等比數(shù)列． 1213、一同學在電腦中打出如下若干個圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若將此若干個圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個圈中的●的個數(shù)是。三．解答題

15、已知正數(shù)a,b,c成等差數(shù)列，且公差d?0，求證：11

1a,b,c

不可能是等差數(shù)列。

16、已知數(shù)列{

an}滿足Sn＋an＝2n＋1,(1)寫出a1, a2, a3,并推測an的表達式；(2)用數(shù)學歸納法證明所得的結(jié)論。

17．(09山東卷理)等比數(shù)列{a?

n}的前n項和為Sn，已知對任意的n?N，點(n,Sn)，均在函數(shù)

y?bx?r(b?0且b?1,b,r均為常數(shù))的圖像上.（1）求r的值；（11）當b=2時，記 bn?2(lo2gan?

1)n?(N? 證明：對任意的)n?N?，不等式b1?1b2?1····bn?1bb?

b2

n

第二篇：高考數(shù)學推理與證明

高考數(shù)學推理與證明

1．（08江蘇10）將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣：35 68 9 10

。。。

按照以上排列的規(guī)律，第n行（n?3）從左向右的第3個數(shù)為▲.n2?n?6【答案】 2

【解析】本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式．前n－1 行共有正整數(shù)1＋2＋…＋（n

n2?nn2?n－1）個，即個，因此第n 行第3 個數(shù)是全體正整數(shù)中第＋3個，即為22

n2?n?6． 2

2.（09江蘇8）在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間內(nèi)，若兩個正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為▲.【解析】 考查類比的方法。體積比為1：8

3.（09福建15）五位同學圍成一圈依序循環(huán)報數(shù)，規(guī)定：

①第一位同學首次報出的數(shù)為1，第二位同學首次報出的數(shù)也為1，之后每位同學所報出的數(shù)都是前兩位同學所報出的數(shù)之和；

②若報出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報該數(shù)的同學需拍手一次

已知甲同學第一個報數(shù)，當五位同學依序循環(huán)報到第100個數(shù)時，甲同學拍手的總次數(shù)為________.【答案】：5

解析：由題意可設(shè)第n次報數(shù)，第n?1次報數(shù)，第n?2次報數(shù)分別為an，an?1，an?2，所以有an?an?1?an?2，又a1?1,a2?1,由此可得在報到第100個數(shù)時，甲同學拍手5次。

4.（09上海）8.已知三個球的半徑R1，R2，R3滿足R1?2R2?3R3，則它們的表面積S1，S2，S3，滿足的等量關(guān)系是___________.?

【解析】S1?4?R1S1?22

S2?2R2S3?2R3，即R1＝R1，S1

2，R2＝S2

2，R3＝S3

2，由R1?

2R2?3R3?

5.（09浙江）15．觀察下列等式：

1C5?C55?23?2，159C9?C9?C9?27?23，15913C13?C13?C13?C13?211?25，1593C1C1?7?C1?7C?171C717?27?125，1

………

由以上等式推測到一個一般的結(jié)論：

1594n?1對于n?N，C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?*

答案：24n?1???1?22n?1。【解析】這是一種需類比推理方法破解的問題，結(jié)論由二項構(gòu)成，n

第二項前有??1?n，二項指數(shù)分別為24n?1,22n?1，因此對于n?N

n*，1594n?124n?1???1?22n?1 C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?

第三篇：2.2013高考推理證明(2013)

1.(2013 湖南理)(2013 湖南理)設(shè)函數(shù)f(x)?a?b?c,其中c?a?0,c?b?0.xxx

且a=b?，則（1）記集合M??(a,b,c)a,b,c不能構(gòu)成一個三角形的三條邊長，(a,b,c)?M所對應的f(x)的零點的取值集合為____。

（2）若a,b,c是?ABC的三條邊長，則下列結(jié)論正確的是.（寫出所有正確結(jié)論的序號）

①?x????,1?,f?x??0;

②?x?R,使xa,b,c不能構(gòu)成一個三角形的三條邊長；

③若?ABC為鈍角三角形，則?x??1,2?,使f?x??0.xxx

答案：（1）(0，1]（2）①②③

20***21680102.推理證明填空題基礎(chǔ)知識2013-09-03

2.(2013 重慶理)對正整數(shù)n，記In?{1,2,3,?，n

}，Pn?（1）求集合P7中元素的個數(shù)；

（2）若Pn的子集A中任意兩個元素之和不是整數(shù)的平方，則稱A為“稀疏集”．求n的最大值，．．

使Pn能分成兩個不相交的稀疏集的并．

?In，k?In}．

答案：解：（1）當k?

4時，|m?I7}中有3個數(shù)與I7中的3個數(shù)重復，因此P7中元素的個數(shù)為7×7-3=46.（2）先證：當n?15時，Pn不能分成兩個不相交的稀疏集的并.若不然，設(shè)A,B為不相交的稀疏集，使A∪B=Pn?In.不妨設(shè)I∈A，則因1+3=2，故3?A，即3∈B.同理6∈A,10∈B，又推得15∈A，但1+15=4，這與A為稀疏集矛盾.再證P14符合要求.當k22?

1時，|m?I14}?I14可分成兩個稀疏集的并，事實上，只要取 A1={1，2，4，6，9，11，13}，B1={3，5，7，8，10，12，14}，則A1，B1為稀疏集，且A1∪B1=I14.當k?4時，集13513|m?I14}中除整數(shù)外剩下的數(shù)組成集，,?,，可分解為下面兩2222稀疏集的并：A2

當k159113713?，,，B2?{，.***|m?I14}中除正整數(shù)外剩下的數(shù)組成集{，，?，，可分解333333?9時，集為下面兩稀疏集的并：A3

最后，集C?***114?，，，B3?{，，.3333333333m?I14,k?I14,且k?1,4,9}中的數(shù)的分母均為無理數(shù)，它與P14中的任何其他數(shù)之和都不是整數(shù)，因此，令A?A1?A2?A3?C,B?B1?B2?B3.則A和B是不相交的稀疏集，且A∪B=P14.綜上，所求n的最大值為14.(注：對P14的分拆方法不是唯一的)

20***97962132.推理證明解答題基礎(chǔ)知識2013-08-15

3.(2013 陜西文)觀察下列等式:

(1?1)?2?1

(2?1)(2?2)?22?1?3

(3?1)(3?2)(3?3)?23?1?3?5

??

照此規(guī)律, 第n個等式可為.答案：(n?1)(n?2)(n?3)?(n?n)?2n?1?3???(2n?1)

20***97810882.推理證明填空題基礎(chǔ)知識2013-08-15

4.(2013 陜西文)設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù), 則對任意實數(shù)x, y, 有（）

(A)[－x]=－[x]

(C)[2x]=2[x](B)[x + 1]=[x] 212(D)[x]?[x?]?[2x]

答案：D

20***92818362.推理證明選擇題基礎(chǔ)知識2013-08-15

5.(2013 湖北文)在平面直角坐標系中，若點P(x,y)的坐標x，y均為整數(shù)，則稱點P為格點.若一個多邊形的頂點全是格點，則稱該多邊形為格點多邊形.格點多邊形的面積記為S，其內(nèi)部的格點數(shù)記為N，邊界上的格點數(shù)記為L.例如圖中△ABC是格點三角形，對應的S?1，N?0，L?4.（1）圖中格點四邊形DEFG對應的S,N,L分別是；

（2）已知格點多邊形的面積可表示為S?aN?bL?c，其中a,b,c為常數(shù).若某格點多邊形對應的N?71，L?18，則S?（用數(shù)值作答）.答案：（1）3,1,6；（2）79

第17題圖

20***97507252.推理證明填空題基礎(chǔ)知識2013-08-14

6.(2013 湖北理)古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家研究過各種多邊形數(shù)，如三角形數(shù)1,3,6,10,?,第n個三角形數(shù)為n(n+1)121=n+n，記第n個k邊形數(shù)為N(n,k)(k?3)，222

以下列出了部分k邊形數(shù)中第n個數(shù)的表達式：

三角形數(shù)N(n,3)=1

2n2+1

2n，正方形數(shù)N(n,4)=n2，五邊形數(shù)N(n,5)=3

2n2?1

2n，六邊形數(shù)N(n,6)=2n2-n

??

可以推測N(n,k)的表達式，由此計算N(10,24)=_________________。

答案：1000

20***40787772.推理證明填空題基礎(chǔ)知識2013-08-14

7.(2013 陜西理)觀察下列等式:

12?1

12?22??3

12?22?32?6

12?22?32?42??10

??

照此規(guī)律, 第n個等式可為.答案：12?22?32?42?????1?n?1n2?(?1)n?1n?n?1?

20***67501202.推理證明填空題基礎(chǔ)知識2013-08-14

8.(2013 陜西理)設(shè)[x]表示不大于x的最大整數(shù), 則對任意實數(shù)x,y,有()

(A)[－x] ＝ －[x](B)[2x] ＝ 2[x]

(C)[x＋y]≤[x]＋[y](D)[x－y]≤[x]－[y]

答案：D

20***59217992.推理證明選擇題基礎(chǔ)知識2013-08-14

第四篇：推理與證明

第3講 推理與證明

【知識要點】

1.歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或由個別事實概括出一般結(jié)論的推理

2．類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。3．類比推理的一般步驟：

①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。

②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）【典型例題】

1、（2011?江西）觀察下列各式：7=49，7=343，7=2401，?，則7

34201

1的末兩位數(shù)字為（）

A、01 B、43 C、07 D、49

2、（2011?江西）觀察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，?，則5A、3125 B、5625 C、0625 D、8125

3、（2010?臨潁縣）平面內(nèi)平行于同一條直線的兩條直線平行，由此類比思維，我們可以得到（）A、空間中平行于同一平面的兩個平面平行 B、空間中平行于同一條直線的兩條直線平行 C、空間中平行于同一條平面的兩條直線平行 D、空間中平行于同一條直線的兩個平面平行

4、（2007?廣東）設(shè)S是至少含有兩個元素的集合，在S上定義了一個二元運算“*”（即對任意的a，b∈S，對于有序元素對（a，b），在S中有唯一確定的元素與之對應）有a*（b*a）=b，則對任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）

A、（a*b）*a=a B、[a*（b*a）]*（a*b）=a C、b*（b*b）=b D、（a*b）*[b*（a*b）]=b

5、（2007?廣東）如圖是某汽車維修公司的維修點環(huán)形分布圖．公司在年初分配給A，B，C，D四個維修點某種配件各50件．在使用前發(fā)現(xiàn)需將A，B，C，D四個維修點的這批配件分別調(diào)整為40，45，54，61件，但調(diào)整只能在相鄰維修點之間進行，那么要完成上述調(diào)整，最少的調(diào)動件次（n件配件從一個維修點調(diào)整到相鄰維修點的調(diào)動件次為n）為（）

A、15 B、16 C、17 D、18

6、（2006?陜西）為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密規(guī)則為：明文a，b，c，d對應密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4對應密文5，7，18，16．當接收方收到密文14，9，23，28時，則解密得到的明文為（）A、4，6，1，7 B、7，6，1，4 C、6，4，1，7 D、1，6，4，7

7、（2006?山東）定義集合運算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，設(shè)集合A={0，1}，B={2，3}，則集合A⊙B的所有元素之和為（）

A、0 B、6 C、12 D、18

7201

1的末四位數(shù)字為（）

8、（2006?遼寧）設(shè)⊕是R上的一個運算，A是V的非空子集，若對任意a，b∈A，有a⊕b∈A，則稱A對運算⊕封閉．下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不等于零）四則運算都封閉的是（）A、自然數(shù)集 B、整數(shù)集 C、有理數(shù)集 D、無理數(shù)集

9、（2006?廣東）對于任意的兩個實數(shù)對（a，b）和（c，d），規(guī)定：（a，b）=（c，d），當且僅當a=c，b=d；運算“?”為：（a，b）?（c，d）=（ac-bd，bc+ad）；運算“⊕”為：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），設(shè)p，q∈R，若（1，2）?（p，q）=（5，0），則（1，2）⊕（p，q）=（）A、（4，0）B、（2，0）C、（0，2）D、（0，-4）

10、（2005?湖南）設(shè)f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），?，fn+1（x）=fn′（x），n∈N，則f2005（x）=（）

A、sinx B、-sinx C、cosx D、-cosx

11、（2004?安徽）已知數(shù)列{an}滿足a0=1，an=a0+a1+?+an-1，n≥

1、，則當n≥1時，an=（）A、2 B、n

C、2 D、2-

1n-1n

12、若數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an=（n≥3且n∈N*），則a17=（）

A、1 B、2 C、D、2-987

13、如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，有，則運用歸納推理得到第11 行第2個數(shù)（從左往右數(shù)）為（）A、B、C、D、14、根據(jù)給出的數(shù)塔猜測1 234 567×9+8=（）

1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111．

A、11111110 B、11111111 C、11111112 D、11111113

15、將n個連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排成右表，根據(jù)規(guī)律，從2008到2010，箭頭方向依次是（）

A、B、C、D、16、下列推理過程利用的推理方法分別是（）（1）通過大量試驗得出拋硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5；（2）函數(shù)f（x）=x2-|x|為偶函數(shù)；

（3）科學家通過研究老鷹的眼睛發(fā)明了電子鷹眼． A、演繹推理，歸納推理，類比推理 B、類比推理，演繹推理，類比推理 C、歸納推理，合情推理，類比推理 D、歸納推理，演繹推理，類比推理

17、下列表述正確的是（）①歸納推理是由部分到整體的推理； ②歸納推理是由一般到一般的推理； ③演繹推理是由一般到特殊的推理； ④類比推理是由特殊到一般的推理； ⑤類比推理是由特殊到特殊的推理． A、①②③ B、②③④ C、②④⑤ D、①③⑤

18、在古希臘，畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，15，21，28，?這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因為這些數(shù)對應的點可以排成一個正三角形，則第n個三角形數(shù)為（）A、n B、1、（2011?陜西）觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此規(guī)律，第五個等式應為 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．

2、（2011?陜西）觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?

照此規(guī)律，第n個等式為 n+（n+1）+（n+2）+?+（3n-2）=（2n-1）2 ．

C、n-1 D、2

第五篇：推理與證明

推理與證明

學生推理與證明的建立，是一個漫長的過程，這個過程的開始可以追溯到小孩牙牙學語時候起，小孩在爸爸媽媽跟前不停的問為什么，可以看做推理的雛形。接著到幼兒園、小學，教材里也有簡單的說理，小學教材里有簡單地說理題，意在培養(yǎng)學生的邏輯思維。

初中新教材對推理與證明的滲透，也是從說理開始的，但內(nèi)容比較少，也就是教材中的直觀幾何內(nèi)容。很快便轉(zhuǎn)向推理，也就是證明。剛開始推理的步驟，是簡單的兩三步，接著到四五步，后面還一定要求學生寫清楚為什么。在學習這一部分內(nèi)容的時候，好多學生在后面的括號里不寫為什么，我便給他們舉例小孩子學走路的過程，一個小孩剛開始學走路的時候，需要大人或其他可依附的東西，漸漸地，她會脫離工具自己走。學習證明的過程亦如此，起先在括號里寫清為什么，并且只是簡單的幾步，然后證明比較難一點的，步驟比較多的。

隨著社會的進步，中學教材加強了解析幾何、向量幾何，傳統(tǒng)的歐式幾何受到?jīng)_擊，并且教材對這一部分的編排分散在初中各個年級，直觀幾何分量多了還加入了變換如平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、對稱變換，投影等內(nèi)容。老師們對內(nèi)容的編排不太理解，看了專家的講座，漸漸明白了：這樣編排不是降低了推理能力，而是加強了推理能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了逐步發(fā)展的過程，把變換放到中學，加強了中學和大學教材的統(tǒng)一，但一個不爭的事實是，對演繹推理確實弱了。

關(guān)于開展課題學習的實踐與認識

新課程教材編排了課題學習這部分內(nèi)容，對授課的老師，還是學生的學習都是一個全新的內(nèi)容，怎樣上好這部分內(nèi)容，對老師、對學生而言，都是一個創(chuàng)新的機會。至于課題學習的評價方式，到現(xiàn)在為止，大多數(shù)省份還是一個空白，考不考?怎樣考?學習它吧，學習的東西不能在試卷上體現(xiàn)出來，于是，好多老師對這部分采取漠視的處理方法;不學習吧，課本上安排了這部分內(nèi)容。還有一部分老師覺得，課題學習是對某一個問題專門研究，很深!老師不知講到什么程度才合理，學生不知掌握到什么程度。

經(jīng)過幾年的實踐與這次培訓的認識，我覺得課題學習是“實踐與綜合應用”在新課課程中的主要呈現(xiàn)形式，是一種區(qū)別于傳統(tǒng)的、全新的，具有挑戰(zhàn)性的學習，課本的編寫者安排的主要目的是：

1.希望為學生提供更多的實踐與探索的機會。

2.讓學生通過對有挑戰(zhàn)性和綜合性問題的解決，經(jīng)歷數(shù)學化的過程。

3.讓學生獲得研究問題地方法和經(jīng)驗，使學生的思維能力、自主探索與合作交流的意識和能力得到發(fā)展。

4.讓學生體驗數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，以及解決問題的成功喜悅，增進學生學習數(shù)學的信心。

5.使數(shù)學學習活動成為生動活潑的、主動的和富有個性的過程。

課題學習首先提出一個主問題(問題是一個載體)，然后給出資料，利用資料挖掘知識。在這個過程中，多關(guān)注知識的價值，淡化數(shù)學術(shù)語，讓學生充分經(jīng)歷數(shù)學化的過程，激發(fā)學生參與的熱情，使其體會到學習數(shù)學的樂趣，始終以學生為主體，明白課題學習是為學習服務(wù)的。