第一篇：高二數學推理與證明知識點與習題

推理與證明

★知識網絡★

1.推理 ：前提、結論

2.合情推理:

合情推理可分為歸納推理和類比推理兩類：

（1）歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理。簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理

（2）類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象具有的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理。

3.演繹推理:

從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結論的推理叫演繹推理，簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理。

重難點：利用合情推理的原理提出猜想，利用演繹推理的形式進行證明

題型1用歸納推理發現規律

；?.對于任意正實數a,b

?成立的一個條件可以是____.點撥：前面所列式子的共同特征特征是被開方數之和為22，故a?b?222、蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂

巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂

巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖

有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規律，以

f(n)表示第一、推理 n幅圖的蜂巢總數.則

f(4)=_____;f(n)=___________.【解題思路】找出f(n)?f(n?1)的關系式

[解析]f(1)?1,f(2)?1?6,f(3)?1?6?12,?f(4)?1?6?12?18?37

?f(n)?1?6?12?18???6(n?1)?3n2?3n?

1【名師指引】處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數據的關系 題型2用類比推理猜想新的命題 [例 ]已知正三角形內切圓的半徑是高的是______.【解題思路】從方法的類比入手 [解析]原問題的解法為等面積法，即S?等體積法，V?，把這個結論推廣到空間正四面體，類似的結論

3111

ah?3?ar?r?h，類比問題的解法應為223

1111

Sh?4?Sr?r?h即正四面體的內切球的半徑是高 334

4【名師指引】（1）不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比

（2）類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數列與等比數列類比；實數集的性質向復數集的性質類比；圓錐曲線間的類比等

二、直接證明與間接證明

三種證明方法:

綜合法、分析法、反證法

反證法：它是一種間接的證明方法.用這種方法證明一個命題的一般步驟：(1)假設命題的結論不成立；

(2)根據假設進行推理,直到推理中導出矛盾為止(3)斷言假設不成立

(4)肯定原命題的結論成立

重難點：在函數、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數學問題中，選擇好證明方法并運用三種證明方法分析問題或證明數學命題 考點1綜合法

在銳角三角形ABC中,求證:sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC [解析]??ABC為銳角三角形，?A?B?

?

?A?

?

?B，?y?sinx在(0,)上是增函數，?sinA?sin(?B)?cosB

2同理可得sinB?cosC，sinC?cosA

??

?sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC

考點2分析法

已知a?b?0,求證a?b?a?b

[解析]要證a??a?b，只需證(a?)2?(a?b)2即a?b?2ab?a?b，只需證b?

ab，即證b?a

顯然b?a成立，因此a??a?b成立

【名師指引】注意分析法的“格式”是“要證---只需證---”，而不是“因為---所以---” 考點3反證法已知f(x)?a?

x

x?2

(a?1)，證明方程f(x)?0沒有負數根 x?

1【解題思路】“正難則反”，選擇反證法，因涉及方程的根，可從范圍方面尋找矛盾[解析]假設x0是f(x)?0的負數根，則x0?0且x0??1且a

x0

??

x0?2

x0?1

?0?ax0?1?0??

1x0?2

?1，解得?x0?2，這與x0?0矛盾，2x0?1

故方程f(x)?0沒有負數根

【名師指引】否定性命題從正面突破往往比較困難，故用反證法比較多

三、數學歸納法

一般地,當要證明一個命題對于不小于某正整數N的所有正整數n都成立時,可以用以下兩個

步驟:

(1)證明當n=n0時命題成立;(2)假設當n=k

(k?N?,且k?n0)時命題成立,證明n=k+1時命題也成立.在完成了這兩個步驟后,就可以斷定命題對于不小于n0的所有正整數都成立.這種證明方法稱為數學歸納法.考點1數學歸納法

題型：對數學歸納法的兩個步驟的認識

[例1 ] 已知n是正偶數，用數學歸納法證明時，若已假設n=k（k?2且為偶數）時命題為真，則還需證明（）

A.n=k+1時命題成立B.n=k+2時命題成立C.n=2k+2時命題成立D.n=2（k+2）時命題成立

[解析] 因n是正偶數，故只需證等式對所有偶數都成立，因k的下一個偶數是k+2，故選B 【名師指引】用數學歸納法證明時，要注意觀察幾個方面：（1）n的范圍以及遞推的起點（2）觀察首末兩項的次數（或其它），確定n=k時命題的形式f(k)（3）從f(k?1)和f(k)的差異，尋找由k到k+1遞推中，左邊要加（乘）上的式子 考點2數學歸納法的應用

題型1：用數學歸納法證明數學命題

用數學歸納法證明不等式?2?2?3???n(n?1)?

(n?1)2

2[解析]（1）當n=1時，左=2，右=2，不等式成立（2）假設當n=k時等式成立，即?2?則?2?

2?3???k(k?1)?

(k?1)2 2

2?3???k(k?1)?(k?1)(k?2)?

(k?1)2?(k?1)(k?2)2

1(k?2)2(k?1)?(k?2)2

?(k?1)?k?1)(k?2)??k?1)(k?2)??0 222

1??2?2?3???k(k?1)?(k?1)(k?2)?[(k?1)?1]2

?當n=k+1時，不等式也成立

綜合（1）（2），等式對所有正整數都成立

【名師指引】（1）數學歸納法證明命題，格式嚴謹，必須嚴格按步驟進行；（2）歸納遞推是證明的難點，應看準“目標”進行變形；

（3）由k推導到k+1時，有時可以“套”用其它證明方法，如：比較法、分析法等，表現出數學歸納法“靈活”的一面

習題

1、用反證法證明命題：“三角形的內角中至少有一個不大于60度”時，反設正確的是（）。(A)假設三內角都不大于60度；(B)假設三內角都大于60度；

(C)假設三內角至多有一個大于60度；(D)假設三內角至多有兩個大于60度。

2、在十進制中2004?4?100?0?101?0?102?2?103，那么在5進制中數碼2004折合成十進制為（）A.29B.254C.602D.200

41?an?

23、利用數學歸納法證明“1＋a＋a＋?＋a=，(a≠1，n∈N)”時，在驗證n=

11?a

n＋1

成立時，左邊應該是（）

3(A)1(B)1＋a(C)1＋a＋a(D)1＋a＋a＋a4、用數學歸納法證明“(n?1)(n?2)?(n?n)?2n?1?2???(2n?1)”（n?N?）時，從 “n?k到n?k?1”時，左邊應增添的式子是

A．2k?

1B．2(2k?1)

C．

D．

（）

2k?1

k?12k?

2k?15、已知n為正偶數，用數學歸納法證明1?

1111111??????2(????)時，若已假設n?k(k?2為偶 234n?1n?2n?42n

（）

B．n?k?2時等式成立 D．n?2(k?2)時等式成立

數）時命題為真，則還需要用歸納假設再證

A．n?k?1時等式成立 C．n?2k?2時等式成立

6、否定結論“至多有兩個解”的說法中，正確的是()

A．有一個解B．有兩個解 C．至少有三個解

D．至少有兩個解

7、否定“自然數a、b、c中恰有一個偶數”時的正確反設為()

A．a、b、c都是奇數C．a、b、c都是偶數

B．a、b、c或都是奇數或至少有兩個偶數 D．a、b、c中至少有兩個偶數

8、已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求證：a>0，b>0，c>0.9、已知a，b，c∈(0,1)．求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同時大于.10、（1）用數學歸納法證明：n?5n能被6整除；

（2）求證 n3?(n?1)3?(n?2)3(n∈N)能被9整除

*

11、若a,b,c均為實數，且錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。,求證：a，b，c中至少有一個大于0。

12、用數學歸納法證明： 1?

13、用數學歸納法證明下述不等式：

1111?????n?n； 2342?1

11119

??????(n?N?,且n?2).n?1n?2n?33n10

第二篇：高二數學推理與證明習題

高二數學推理與證明單元測試卷

一、選擇題：

1、下列表述正確的是（）.①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；⑤類比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.2、下面使用類比推理正確的是（）.A.“若a?3?b?3,則a?b”類推出“若a?0?b?0,則a?b”

B.“若(a?b)c?ac?bc”類推出“(a?b)c?ac?bc”

a?bab” ??（c≠0）ccc

nnD.“（ab）?anbn” 類推出“（a?b）?an?bn” C.“若(a?b)c?ac?bc” 類推出“

3、有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內所有直線；已知直線 b??平面?，直線a?平面?，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”的結論顯然是錯誤?的，這是因為（）

A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤

4、用反證法證明命題：“三角形的內角中至少有一個不大于60度”時，反設正確的是（）。

(A)假設三內角都不大于60度；(B)假設三內角都大于60度；

(C)假設三內角至多有一個大于60度；(D)假設三內角至多有兩個大于60度。

5、在十進制中2004?4?100?0?101?0?102?2?103，那么在5進制中數碼2004折合成十進制為（）

A.29B.254C.602D.20046、利用數學歸納法證明“1＋a＋a＋?＋a2n＋11?an?

2=，(a≠1，n∈N)”時，在驗證n=11?a

成立時，左邊應該是（）

(A)1(B)1＋a(C)1＋a＋a2(D)1＋a＋a2＋a37、某個命題與正整數n有關，如果當n?k(k?N?)時命題成立，那么可推得當n?k?1時命題也成立.現已知當n?7時該命題不成立，那么可推得

8、用數學歸納法證明“(n?1)(n?2)?(n?n)?2?1?2???(2n?1)”（n?N?）時，/ 6

n（）A．當n=6時該命題不成立 C．當n=8時該命題不成立 B．當n=6時該命題成立 D．當n=8時該命題成立

從 “n?k到n?k?1”時，左邊應增添的式子是

9、已知n為正偶數，用數學歸納法證明1?

A．2k?

1B．2(2k?1)

C．

D．

（）

2k?1

k?12k?

2k?1

1111111??????2(????)時，若已假設n?k(k?2為偶 234n?1n?2n?42n

（）

B．n?k?2時等式成立 D．n?2(k?2)時等式成立

數）時命題為真，則還需要用歸納假設再證

A．n?k?1時等式成立 C．n?2k?2時等式成立

10、數列?an?中，a1=1，Sn表示前n項和，且Sn，Sn+1，2S1成等差數列，通過計算S1，S2，S3，猜想當n≥1時，Sn=

（）

2n?

1A．n?1

22n?1B．n?1

C．

n(n?1)

n

D．1－

2n?111、根據下列圖案中圓圈的排列規律，第2008個圖案的組成情形是()．

A．其中包括了l003×2008 +1個◎B．其中包括了l003×2008 +1個●C．其中包括了l004×2008個◎D．其中包括了l003×2008個●

12、在實數的原有運算法則中，我們補充定義新運算“當a＜b時，.則函數

”如下：當a≥b時，；的最大值等于（）

A．―1B．1C．6D．1

2填空題：

13、一同學在電腦中打出如下若干個圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若將此若干個圈依此規律繼續下去,得到一系列的圈,那么在前120個圈中的●的個數是。

14、類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，則三角形三邊長之間滿足關系：AB2?AC2?BC2。若三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則三棱錐的側面積與底面積之間滿足的關系為.15、從1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),?,推廣到第n個等式為_________________________.16、設平面內有ｎ條直線(n?3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這ｎ條直線交點的個數，則f(4)=； 當ｎ＞４時，三、解答題：

17、（8分）求證：(1)6+7>22+

5(2)a2?b2?3?ab?a?b)

18、用數學歸納法證明：n?5n能被6整除；

19、若a,b,c均為實數，且錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。,錯誤！未找到引用源。,求證：a，b，c中至少有一個大于0。

20、用數學歸納法證明： 1?

f(n)＝（用含n的數學表達式表示）。

1111?????n?n；2342?

121、觀察（1）tan10tan20?tan20tan60?tan60tan10?1;

（2）tan5tan10?tan10tan75?tan75tan5?1 由以上兩式成立，推廣到一般結論，寫出你的推論并加以證明。

000000

00000022、已知正項數列?an?和{bn}中，a1 = a（0＜a＜1），b1?1?a 當n≥2時，an?an?1bn，bn?

n?

1(1)證明：對任意n?N，有an?bn?1；(2)求數列?an?的通項公式；

(3)記cn?anbn?1，Sn為數列?cn?的前n項和，求Sn

*

高二數學選修2-2《推理與證明測試題》答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.DCABBCABBB AC

二、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分.13、1414、錯誤！未找到引用源。15、16、5三、解答題：本大題共6題，共58分。

17、證明：（1）∵a2?b2?

2ab,a2?3?,b2?3?;

將此三式相加得

2(a2?b2?3)?2ab??,∴a2?b2?3?aba?b).（2）要證原不等式成立，2

2只需證（6+7）>（22+5），即證242?240。∵上式顯然成立,∴原不等式成立.18、可以用綜合法與分析法---略

19、可以用反證法---略

20、（1）可以用數學歸納法---略（2）當n?k?1時，左邊?(1?

1111???k)?(k???k?1)?k? 22?122?

11111

（k?k???k）?k?2k?k?k?1=右邊，命題正確 22

22k項

21、可以用數學歸納法---略

22、解：

（1）證明：用數學歸納法證明

① 當n=1時，a1+b1=a+（1-a）=1，命題成立：②假設n=k（k≥1且k?N*）時命題成立，即ak+bk=1，則當n?k?1時，ak?1?bk?1?akbk?1=

akbk

21?ak

?

bk

21?ak

?

bk?1?ak?

21?ak

?

bkb

?k?1 1?akbk

∴當n?k?1時，命題也成立綜合①、②知，an?bn?1對n?N*

（2）解；∵an?1?anbn?1?1an?1

anbn

21?an

?

an?1?an?

21?an

?

1?anan11???1，即，∴

an?1anan1?an

?

?1?1

?1③∴數列??是公差為1的等差數列，其首項是an?an?

1111∴ ?，???n?1??1，從而an?

a1aana2

（3）解：∵cn?anbn?1?an?anbn?1??anan?1，③式變形為anan?1?an?an?1，∴cnan?an?1，∴Sn?c1?c2???cn??a1?a2???a2?a3?????an?an?1??a1?an?1?a?∴limSn?lim?a?

n??

a

1?na

?n???a?

?? 1?na?

第三篇：推理與證明習題專題

推理與證明練習題

一、選擇題：

1、用反證法證明：“a,b至少有一個為0”，應假設（）A.a,b沒有一個為0B.a,b只有一個為0C.a,b至多有一個為0D.a,b兩個都為0

2、若函數f(x)sinx是?為周期的奇函數，則f(x)可以是（）（A）sin2x（B）cos2x（C）sinx（D）cosx

3、設函數f(x)??

??1,x?0?1,x?0，則

(a?b)?(a?b)f(a?b)

2(a?b)的值為（）

AaB b a,b中較小的數Da,b中較大的數

4、設a、b、m都是正整數，且a?b，則下列不等式中恒不成立的是（）（A）

ab?a?mb?m

?1（B）

1b,b?

ab1c?a?mb?m

1（C）

ab

?

a?mb?m

?1（D）1?

a?mb?m

?

ab5、設a,b,c?(??,0),則a?

a

A都不大于?2B都不小于?2C 至少有一個不大于?2D 至少有一個不小于?2

6、平面內有n個圓，其中每兩個都相交于兩點，每三個點都無公共點，它們將平面分成f(n)塊區域，,c?（）

有f(1)?2，f(2)?4，f(3)?8，則f(n)?（）（A）2（B）2?(n?1)(n?2)(n?3)（C）n?n?2（D）n?5n?10n?4

7、設f(x)是定義在R上的函數且f(x)?

1?f(x?2)1?f(x?2)

n

n

32，且f(3)?2?

3?

3，則f(2007)?（）

（A）3?2（B）3?2（C）2?

8、用數學歸納法證明

1n?

1?

1n?

2?

1n?

3??

3（D）?2??112

4n?n1，n?N時，由n=k到n=k+1時，不等式

左邊應該添加的項是（）（A）（C）

12(k?1)12k?1

?

（B）

12k?2

?

1k?1

2k?11

?

12k?212k?2

?

1k?1

?

1k?2

（D）

2k?1

?

9、已知數列{xn}滿足xn?1?xn?xn?1（n?2），x1?a，x2?b，Sn?x1?x2???xn，則下面正確的是（）

（A）x100??a，S100?2b?a（B）x100??b，S100?2b?a（C）x100??b，S100?b?a（D）x100??a，S100?b?a10、、數列?an?中，a1=1，Sn表示前n項和，且Sn，Sn+1，2S1成等差數列，通過計算S1，S2，S3，猜

想當n≥1時，Sn=

A．

2n

（）

2n

?

1n?1

222211、已知f(x)是R上的偶函數，對任意的x?R都有f(x?6)?f(x)?f(3)成立，若f(1)?2，則

B．

?

1n?1

C．

n(n?1)

n

D．1－

n?1

f(2007)?（）

（A）2007（B）2（C）1（D）0 12、已知函數f(x)?lg

1?x1?x，若f(a)?b，則f(?a)?（）

1b

（A）b（B）?b（C）（D）?

1b

*

13、已知數列{an}中，a1?1，a?2an?1n?N，且n?2），則a9可能是：（）

n

2?an?

1A、1B、2C、1D、?

1ax

n

91x

?2,x?

4x14、已知a?R，不等式x?

n

?3,?，可推廣為x?

2(n?1)

?n?1,則a的值（）

n

A 2BnC 2Dn15、定義A㊣B、B㊣C、C㊣D、D㊣A的運算分別對應下圖中的（1）、（2）、（3）、（4）。

（1）））則圖中的甲、乙的運算式可以表示為：（A、B㊣D、C㊣AB、B㊣D、A㊣C

C、D㊣B、C㊣AD、D㊣B、A㊣乙

16、根據下列圖案中圓圈的排列規律，第2008個圖案組成的情形是：（）●☆☆☆●●●

☆●☆●☆●☆●☆●☆●●●☆☆● A、其中包括了1004×2008個☆B、其中包括了1003×2008+1個☆ C、其中包括了1003×2008+1個●D、其中包括了1003×2008個●

二、填空題：

17、從下列式子1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…計算得出的結果能得的一般性結論是_________________________________________________

18、已知a,b是不相等的正數，x?

a?

2b,y?a?b，則x,y的大小關系是

19、若數列?an?中，a1?1,a2?3?5,a3?7?9?11,a4?13?15?17?19,...則a10?____20、f(n)?1?

2?

3?????

1n

(n?N?)，經計算的f(2)?

32,f(4)?2,f(8)?

52,f(16)?3,f(32)?

72，推測當n?2時，有

21、若數列?an?的通項公式an?

1(n?1)

(n?N?)，記f(n)?(1?a1)(1?a2)???(1?an)，試通過

計算f(1),f(2),f(3)的值，推測出_______________________

22、為了保證信息安全傳輸，有一種稱為秘密密鑰密碼系統，其加密、解密原理如下圖：現在加密密

??密文????密文??????明文。鑰為y?loga(x?4)，明文????如上所示，明文“4”

加密密鑰密碼發送解密密鑰密碼

通過加密加密后得到“3”再發送，接受方通過解密鑰解密得明文“4”，問若接受方接到密文為“4”，則解密后得明文是______________________。

23、在等差數列?an?中，（n?29且n?N）若a20?0，則有a1?a2?a3???an?a1?a2???a39?n 成立，類比上述性質，在等比數列?bn?中，若b20?1，則存在怎樣的等式________________________.24、半徑為r的圓的面積S(r)＝?r,周長C(r)=2?r，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則(?r)`

1，＝2?r○

1式可以用語言敘述為：圓的面積函數的導數等于圓的周長函數。○

1的式對于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請你寫出類似于○子：。○

2式可以用語言敘述為：。○

*

25、若f(x)?

4x

x

?

2，則f（1100

1)?f（26、已知數列?an?滿足a1?2，an?

110011001

1?an*?（n?N），則a3的值為，1?an)???f（1000)=_____________。

a1?a2?a3???a2007的值為．

三、解答題：

27、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，用反證法證明：a, b, c > 028、已知：0?a?1，求證：

1a?

41?a

?9

2n?

2?8n?9能被64整除。29、試證當n為正整數時，f(n)?

330、是否存在常數a,b,c使等式

1?(n?1)?2?(n?2)???n?(n?n)?an?bn?c對一切正整數n成立？ 并證明你的結論。

31、由下列各式：1﹥

2，1+

?

3﹥1，1+

?

?

4?

5?

?

﹥

32，1+

?

????

115

﹥2，你能得出怎樣的結論，并進行證明。

32、已知f?1??0,af?n??bf?n?1??1,n?2,a?0,b?0(1)求f?3?,f?4?,f?5?

(2)推測f?n?的表達式,并給出證明.33、已知數列{an}滿足Sn＋an＝2n＋1,(1)寫出a1, a2, a3,并推測an的表達式；(2)用數學歸納法證明所得的結論。（12分）

第四篇：《推理與證明》知識點

《推理與證明》

知識結構

一、推理

1.推理 ：前提、結論

2.合情推理:

合情推理可分為

歸納推理和類比推理兩類：

（1）歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理。簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理.（2）類比推理：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象具有的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.3.演繹推理:

從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結論的推理叫演繹推理，簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理。

重難點：利用合情推理的原理提出猜想，利用演繹推理的形式進行證明

題型1用歸納推理發現規律

1、；?.對于任意正實數a,b，?成立的一個條件可以是____.點撥：前面所列式子的共同特征特征是被開方數之和為22，故a?b?222、蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂

巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂 巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖

有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規律，以

f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數.則f(4)=_____;f(n)=___________.【解題思路】找出f(n)?f(n?1)的關系式

[解析]f(1)?1,f(2)?1?6,f(3)?1?6?12,?f(4)?1?6?12?18?37

?f(n)?1?6?12?18???6(n?1)?3n2?3n?

1【名師指引】處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數據的關系

題型2用類比推理猜想新的命題

[例]已知正三角形內切圓的半徑是高的【解題思路】從方法的類比入手

[解析]原問題的解法為等面積法，即S?1，把這個結論推廣到空間正四面體，類似的結論是______.3111ah?3?ar?r?h，類比問題的解法應為等體積法，22

31111V?Sh?4?Sr?r?h即正四面體的內切球的半徑是高 334

4【名師指引】（1）不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比

（2）類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數列與等比數列類比；實數集的性質向復數集的性質類比；圓錐曲線間的類比等

二、直接證明與間接證明

三種證明方法:

綜合法、分析法、反證法

反證法：它是一種間接的證明方法.用這種方法證明一個命題的一般步驟：

(1)假設命題的結論不成立；

(2)根據假設進行推理,直到推理中導出矛盾為止

(3)斷言假設不成立

(4)肯定原命題的結論成立

重難點：在函數、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數學問題中，選擇好證明方法并運用三種證明方法分析問題或證明數學命題

考點1綜合法

在銳角三角形ABC中,求證:sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC

[解析]??ABC為銳角三角形，?A?B??

2?A??

2?B，?y?sinx在(0,)上是增函數，?sinA?sin(?B)?cosB 2

2同理可得sinB?cosC，sinC?cosA ??

?sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC

考點2分析法

已知a?b?0,求證a?b?a?b

[解析]要證a??a?b，只需證(a?b)2?(a?b)2

即a?b?2ab?a?b，只需證b?ab，即證b?a

顯然b?a成立，因此a??a?b成立

【名師指引】注意分析法的“格式”是“要證---只需證---”，而不是“因為---所以---”

考點3反證法已知f(x)?a?xx?2(a?1)，證明方程f(x)?0沒有負數根 x?

1【解題思路】“正難則反”，選擇反證法，因涉及方程的根，可從范圍方面尋找矛盾

[解析]假設x0是f(x)?0的負數根，則x0?0且x0??1且ax0??x0?2 x0?1

?0?ax0?1?0??1x0?2?1，解得?x0?2，這與x0?0矛盾，2x0?1

故方程f(x)?0沒有負數根

【名師指引】否定性命題從正面突破往往比較困難，故用反證法比較多

三、數學歸納法

一般地,當要證明一個命題對于不小于某正整數N的所有正整數n都成立時,可以用以下兩個步驟:

(1)證明當n=n0時命題成立;

(2)假設當n=k（

第五篇：推理與證明知識點

第十二講推理與證明

數學推理與證明知識點總結:

推理與證明：①推理是中學的主要內容，是重點考察的內容之一，題型為選擇題、填空題或解答題，難度為中、低檔題。利用歸納和類比等方法進行簡單的推理的選擇題或填空題在近幾年的中考中都有所體現。②推理論證能力是中考考查的基本能力之一，它有機的滲透到初中課程的各個章節，對本節的學習，應先掌握其基本概念、基本原理，在此基礎上通過其他章節的學習，逐步提高自己的推理論證能力。第一講 推理與證明

一、考綱解讀：

本部分內容主要包括：合情推理和演繹推理、直接證明與間接證明、數學歸納法等內容，其中推理中的合情推理、演繹推理幾乎涉及數學的方方面面的知識，代表研究性命題的發展趨勢。新課標考試大綱將抽象概括作為一種能力提出，進一步強化了合情推理與演繹推理的要求，因此在復習中要重視合情推理與演繹推理。高考對直接證明與間接證明的考查主要以直接證明中的綜合法為主，結合不等式進行考查。

二、要點梳理：

1.歸納推理的一般步驟：(1)通過觀察個別事物，發現某些相同的性質;(2)從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般性命題。

2.類比推理的一般步驟：

(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性;(2)用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題(猜想)。

3.演繹推理

三段論及其一般模式：①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情況;③結論——根據一般原理，對特殊情況作出判斷。

4.直接證明與間接證明

①綜合法：利用某些已經證明過的不等式和不等式的性質推導出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法。綜合法的思維特點是：由因導果，即由已知條件出發，利用已知的數學定理、性質和公式，推出結論。

②分析法：證明不等式時，有時可以從求證的不等式出發，分析使這個不等式成立的條件，把證明不等式轉化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。分析法的思維特點是：執果索因。

③反證法：要證明某一結論A是正確的，但不直接證明，而是先去證明A的反面(非A)是錯誤的，從而斷定A是正確的，即為反證法。一般地，結論中出現“至多”“至少”“唯一”等詞語，或結論以否定語句出現，或要討論的情況復雜時，常考慮使用反證法。

主要三步是：否定結論 → 推導出矛盾 → 結論成立。

實施的具體步驟是：

第一步，反設：作出與求證結論相反的假設；第二步，歸謬：將反設作為條件，并由此通過一系列的正確推理導出矛盾；第三步，結論：說明反設不成立，從而肯定原命題成立。

④數學歸納法：一般地，證明一個與自然數n有關的命題P(n），有如下步驟：（1）證明當n取第一個值n0時命題成立。n0對于一般數列取值為0或1，但也有特殊情況；（2）假設當n=k（k≥n0，k為自然數）時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立。綜合（1）（2），對一切自然數n（≥n0），命題P(n）都成立。/ 1