第一篇：高中數學新課標函數講座高二數學講座之復數導數推理與證明student

高中數學新課標講座之復數、推理與證明石嘴山市光明中學 潘學功

高中數學新課標講座之復數與推理與證明

【基礎回歸】

1、(2009廣東)下列n的取值中，使i=1（i是虛數單位）的是（）

A．n=

22、（2009全國）已知

B．n=

3C．n=

4D．n=

5n

z

=2+i，則復數z=（）1＋i

B．1-3iC．3+iD．3-i

1?7i3、（2009安徽）i是虛數單位，若?a?bi(a,b?R)，則乘積ab的值是（）

2?iA．－1

5B．－

3C．3

D．15

A．-1+3i4、設i為虛數單位，則復數z?

A．

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(1?i)2(3?4i)

2〖例4〗已知復數z滿足: z?1?3i?z,求的值。2z

〖例5〗設函數f(x)??13x?x2?(m2?1)x(x?R)，其中m?0。

3（Ⅰ）函數f(x)在區間（－1，1）上不單調，求m的取值范圍；（Ⅱ）求函數的單調區間與極值。

【能力培養】

1、（2008浙江）已知a是實數，A．

12、（2008遼寧）復數1?1的虛部是（）?2?i1?2i

A．ia?i是純虛數，則a=（）1?iB．-1C．2D．-2

15B．15C．?i 1

5D．?1

53、（2008寧夏）已知復數z?1?i，則z

2?（）z?

1A． 2B．－2C．2iD．－2i4、由數列1，10，100，1000，??，猜測該數列的第n項可能是（）

A．10nB．10n?

1nC．10n?1D．11 n5、設數列{an}的前n項和為Sn，令Tn?S1?S2??Sn，稱T為數列a，a，??，a的“理想數”，n12n

已知數列a1，a2，??，a500的“理想數”為2004，那么數列2，a1，a2，??，a500的“理想數”為（）

A．2008B．2004C．2002D．2000 ??1,x?0(a?b)?(a?b)?f(a?b)(a?b)的值為（）

6、設f(x)??，則21,x?0?

A．aB．bC．a, b中較小的數D．a, b中較大的數

*

7、已知數列{an}為等差數列，若a1?a,an?b(n?2，n?N)，則an?1?nb?a。類比等差數列的上述 n?1

*結論，對于等比數列{bn}(b?0,n?N*)，若b1?c,bn?d(n?3,n?N)，則可以得到bn?1a?3i8．若為實數，則實數a?2?9i

9．如圖所示，函數y?f(x)的圖象在點P處的切線方程是y??x?8，則f?5??

310．若直線y?a與函數f(x)?x?3x的圖象有三個不同的交點，則a?寧夏回族自治區石嘴山市高中數學復習

第二篇：高中數學新課標函數講座高二數學講座之導數與推理與證明student

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高中數學新課標講座之導數與推理與證明

【基礎回歸】

1．古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數。比如：

他們研究過圖1中的1，3，6，10，?，由于這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，?，這樣的數為正方形數。下列數中既是三角形數又是正方形數的是（）

A．289B．1024C．1225D．1378

2．在R上定義運算?:x?y?x(1?y)，若不等式(x?a)?(x?a)?1對任意實數x成立，則（）A．?1?a?1B．0?a?2C．?1?a?3D．?3?a?1 222

23．已知數列{an}滿足a1?0,an?1?

an?3an?1(n?N*)，則a20=（）A．0B．?3C．3D．/2

22?31151117,1?2?2?,1?2?2?2?，?，則可歸納出式子為（）2342323

41n24．觀察式子：1?A．1?

C．1?122?132???12n?12n?1nB．1?D．1?122?132??1n2?12n?11

22?1

32??1

n2?1

22?1

32??1

n2?2n 2n?1

315．設n為正整數，f(n)?1?1?1???，經計算得f(2)?，f(4)?2，f(8)?5，f(16)?3，2n22

37f(32)?。觀察上述結果，可推測出一般結論（）2

A．f(2n)?n?22n?1B．f(n2)?n?2C．f(2n)?D．以上都不對 222

26．設f(x)是定義在正整數集上的函數，且f(x)滿足：“當f(k)≥k2 成立時，總可推出f(k?1)≥(k?1)

成立”，那么，下列命題總成立的是若（）成立

A．f(1)?1成立，則f(10)?100B．f(2)?4成立，則f(1)≥1

C．f(3)≥9成立，則k≥1時，均有f(k)≥k2D．f(4)≥25成立，則k≥4時，均有f(k)≥k2

7．設S是至少含有兩個元素的集合，在S上定義了一個二元運算“*”（即對任意的a，b?S，對于有序

元素對（a，b），在S中有唯一確定的元素a*b與之對應）．若對任意的a，b?S，有a*(b*a)?b，則對任意的a，b?S，下列等式中不恒成立的是（）

A．(a*b)*a?aB．[a*(b*a)]*(a*b)?aC．b*(b*b)?b

則必有（）

A．bf(a)≤af(b)

【典例剖析】

〖例1〗用分析法證明：?7?22?。

B．af(b)≤bf(a)C．af(a)≤f(b)D．bf（b)

≤f(a)D．(a*b)*[b*(a*b)]?b ??)上的非負可導函數，且滿足xf?(x)?f(x)?0，對任意正數a，b，若a?b，8． f(x)是定義在(0，寧夏回族自治區石嘴山市高中數學復習

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〖例2〗用三段論證明函數y??x2?2x在（－∞，1]上是增函數。

2?2?2?〖例3〗已知：sin30?sin90?sin150?332?2?2?； sin5?sin65?sin125?。22

通過觀察上述兩等式的規律，請你寫出對任意角度?都成立的一般性的命題，并給予證明。

22xy〖例4〗已知橢圓具有性質:若M,N是橢圓C:2?2?1(a?b?0)上關于原點O對稱的兩個點，點P是 ab

橢圓C上任意一點，且直線PM,PN的斜率都存在(記為kPM,kPN)，則kPM·kPN是與點P位置無關

x2y2的定值。試寫出雙曲線E:2?2?1(a?0,b?0)的類似性質，并加以證明。ab

【思維訓練】

1．對于非零實數a，b，以下四個命題都成立：

① a?12222?0；②(a?b)?a?2ab?b；③ 若|a|?|b|，則a??b；④ 若a?ab，則a?b。a

那么，對于非零復數a，b，仍然成立的命題的所有序號是（）

A．①②B．②③C．③④D．②④

2())≥0，2．已知二次函數f(x)?ax?bx?c的導數為f?(x)，f?(0)?0，對于任意實數x，有f(x則f1

f?(0)的最小值為（）

A．3B．5/2C．2D．3/2

3．在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間內，若兩個

四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為_____

21114.已知函數f(x)?x，那么f(1)?f(2)?f()?f(3)?f()?f(4)?f()?____________ 2341?x2

5．在△ABC中，射影定理可以表示為a?bcosC?ccosB，其中a,b,c分別為角A、B、C的對邊，類似以上定理，在四面體P?ABC中，S1、S2、S3、S分別表示△PAB、△PBC、△PAC、△ABC的面積，?，?，?分別表示面PAB、面PBC、面PAC與底面ABC所成角的大小，請給出一個空間四面體性質的猜想：________________

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第三篇：高中數學新課標函數講座高二數學講座之復數導數推理與證明

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高中數學新課標講座之復數與推理與證明

【基礎回歸】

1、(2009廣東)下列n的取值中，使i=1（i是虛數單位）的是（）

A．n=

22、（2009全國）已知

B．n=

3C．n=

4D．n=

5n

z

=2+i，則復數z=（）1＋i

B．1-3iC．3+iD．3-i

1?7i3、（2009安徽）i是虛數單位，若?a?bi(a,b?R)，則乘積ab的值是（）

2?iA．－1

5B．－

3C．3

D．15

A．-1+3i4、設i為虛數單位，則復數z?

A．

〖例2〗若z?C且|z|?1，則|z?2?2i|的最小值是（）

A．22?1B．22+1C．2-1D．22 〖例3〗已知點P(x,y)在圓x2?(y?1)2?1上運動。

（1）求

y?1的最大值與最小值；（2）求2x?y的最大值與最小值。x?

2y?1 x?2

整理得：kx?y?2k?1?0（1）令K?

由1??1?2k?1?k2

解得：k??

所以 3 3y?133的最大值為；最小值為— x?23

3（2）令b=2x+y

整理得 2x+y-b=0 由 1??b解得：b?1?或b?1?

所以 2x+y 的最大值為1?5；最小值為1?

5〖例4〗

設復數z滿足z?1，且(3?4i)z是純虛數，求z。

解：設z?a?bi,(a,b?R)，由z?1?1；

?

(3?4i)z?(3?4i)(a?bi)?3a?4b?(4a?3b)i是純虛數，則3a?4b?0

44??a?a????43?1??55?43??,或?，z??i,或??i 5555??b?3?b??3?3a?4b?0??55??

(1?i)2

(3?4i)2

已知復數z滿足: z?1?3i?z,求的值.2z

解：設z?a?bi,(a,b?R)，而z?1?3i?z,1?3i?a?bi?0

a?1?0?a??4??,z??4?3i 則b?3???b?3?0

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(1?i)2(3?4i)22i(?7?24i)24?7i???3?4i 2z2(?4?3i)4?i

〖例5〗設函數f(x)??13x?x2?(m2?1)x,(x?R,)其中m?0 3

（Ⅰ）函數f(x)在區間(?1,1)不單調，求m的取值范圍．

（Ⅱ）求函數的單調區間與極值；

（Ⅲ）

已知函數f(x)

有三個互不相同的零點

0，x1,x2，且x1?x2。若對任意的x?[x1,x2]，f(x)?f(1)

恒成立，求m的取值范圍。

函數f(x)在x?1?m處取得極小值f(1?m)，且f(1?m)=?231m?m2? 33

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（3）解：由題設，f(x)?x(?

所以方程?121x?x?m2?1)??x(x?x1)(x?x2)33124x?x?m2?1=0由兩個相異的實根x1,x2，故x1?x2?3，且??1?(m2?1)?0，33

11解得m??(舍)，m? 22

3因為x1?x2,所以2x2?x1?x2?3,故x2??1 2

1若x1?1?x2,則f(1)??(1?x1)(1?x2)?0，而f(x1)?0，不合題意 3

若1?x1?x2,則對任意的x?[x1,x2]有x?x1?0,x?x2?0,則f(x)???1x(x?x1)(x?x2)?0又f(x1)?0，所以函數f(x)在x?[x1,x2]的最小值為0，于3

2是對任意的x?[x1,x2]，f(x)?f(1)恒成立的充要條件是f(1)?m?13?0,解得?綜?m?333上，m的取值范圍是(,【能力培養】 13)231、（2008浙江）已知a是實數，A．

12、（2008遼寧）復數

A．ia?i是純虛數，則a=A 1?i C．2D．-2 B．-1

1511?的虛部是（B）?2?i1?2i11B．C．?i 55D．?1

5z

2?（B）

3、（2008寧夏）已知復數z?1?i，則z?

1A． 2B．－2C．2iD．－2i4、由數列1，10，100，1000，??，猜測該數列的A．aB．bC．a, b中較小的數D．a, b中較大的數

7、已知數列{an}為等差數列，若a1?a,an?b(n?2，n?N*)，則an?1?nb?a。類比等差數列的上述 n?1

結論，對于等比數列{bn

}(b?0,n?N*)，若b1?c,bn?d(n?3,n?N*)，則可以得到bn?1答案： 8．若

a?3i為實數，則實數a? 2?9i 9．如圖1所示，函數y?f(x)的圖象在點P處的切線方程是 y??x?8，則f?5??

10．若直線y?a與函數f(x)?x3?3x的圖象有三個不同的交點，則a?

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第四篇：高二文科半期考試(導數、復數、推理與證明)

文宮中學高二半期測試題(文)

一、選擇題(每小題5分，共50分)

1、設f(x)是可導函數，且

D.一切偶數都能被2整除，2100是偶數，所以2100能被2整除.7.黑白兩種顏色的正六形地面磚塊按如圖的規律拼成若干個圖案，則第五個圖案中有白色地面

磚（）塊.lim

f(x0?2?x)?f(x0)

?2,則f?(x0)?（）

A.21B.22C.20?x?0

?x

A．

2B．－1C．0D．－22、f?(x)是f(x)的導函數，f?(x)的圖象如右圖所示，則f(x)的圖象只可能是（）

（A）（B）（C）（D）

3、已知y?

3x3?bx2?(b?2)x?3是R上的單調增函數，則b的取值范圍是（）A.b??1，或b?2B.b??1，或b?

2C.?1?b?2D.?1?b?24、函數f(x)?x3?ax2?bx?a2在x?1處有極值10, 則點(a,b)為（）

A.(3,?3)B.(?4,11)C.(3,?3)或(?4,11)D.不存在5、函數y?2x3?3x2?12x?5在[0，3]上的最大值和最小值分別是（）

A.5，15B.5，?4C.5，?15D.5，?16

6.下面幾種推理是類比推理的是（）

A.兩直線平行，同旁內角互補，若A、B是兩平線的同旁內角，則A?B?180?； B.由平面三角形的性質，推測空間四邊形的性質；

C.某校高二年級有20個班，1班有51位團員，2班有53位團員，3班有52位團員，由此可以

推測各班都超過50位團員.D.2

38．若f(a?b)?f(a)f(b)且f(1)?2，則

f(2))f(1)

?

f(4)f(3)

?

f(6f(5)

?()

A．

5B．

375

C．6 D．8

9．在復平面內，復數

2?i1?i

對應的點位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

10．若復數Z滿足方程Z2?2?0，則Z3的值為（）

A

．?2B

．?

2．?2D

．?2

二、填空題(每小題5分，共25分)

11．點P是曲線y?x2?lnx上任意一點, 則點P到直線y?x?2的距離最小值是 12．已知

m1?i

?1?ni，其中m、n是實數，i是虛數單位，則m?ni?

13．在復平面內，若復數z滿足|z?1|?|z?i|，則z所對應的點的集合構成的圖形是 14.在數列?an

n?中，a1?1,an?1?

2a*

a

2?n?N

?,猜想這個數列的通項公式是

n?15．將全體正整數排成一個三角形數陣：23 456 78910 ．．．．．．．

按照以上排列的規律，第n行（n≥3）從左向右的第3個數為．

三、解答題（6大題，共75分）

16．(求解以下兩個小題，共12分)

（1）已知n≥

0?

?

?

（2）已知x?R，a?x2?1，b?2x?2。求證a，b中至少有一個不少于0。

17．(本題12分)已知復數z滿足|z|?

2，z

2的虛部為2，（1）求z；

（2）設z，z2，z?z2

在復平面對應的點分別為A，B，C，求ΔABC的面積.18．(本題12分)設z

11是虛數，z2?z1?z是實數，且?1≤z2≤1

（1）求|Z1|的值以及z1的實部的取值范圍；

（2）若??1?z11?z，求證：?為純虛數.19、（12分）已知直線l1為曲線y?x2?x?2在點(0,?2)處的切線，l2為該曲線的另一條

切線，且l1?ll2的方程；（Ⅱ）求由直線l1?l2和x軸所圍成的三角形的面積

20．(本題12分)已知f(x)?ax3?bx2?2x?c，在x??2時有極大值6，在x?1時

有極小值，求a,b,c的值；并求f(x)在區間[－3，3]上的最大值和最小值.21．(本題15分)設函數f(x)?x3?6x?5,x?R

（1）求f(x)的單調區間和極值；

（2）若關于x的方程f(x)?a有3個不同實根，求實數a的取值范圍.（3）已知當x?(1,??)時，f(x)≥k(x?1)恒成立，求實數k的取值范圍.

第五篇：新課標高中數學《推理與證明》知識歸納總結

《推理與證明》知識歸納總結

第一部分合情推理

學習目標：

了解合情推理的含義（易混點）

理解歸納推理和類比推理的含義，并能運用它進行簡單的推理（重點、難點）了解合情推理在數學發展中的作用（難點）

一、知識歸納：

合情推理可分為歸納推理和類比推理兩類：

歸納推理:

1.歸納推理:由某類事物的對象具有某些特征，推出該類事物的具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理.簡言之，歸納推理是由部分到整體、由個別到一般的推理.2.歸納推理的一般步驟:

第一步，通過觀察個別情況發現某些相同的性質;

第二步，從已知的相同性質中推出一個明確表述的一般命題（猜想）.思考探究:

1.歸納推理的結論一定正確嗎?

2.統計學中，從總體中抽取樣本，然后用樣本估計總體，是否屬歸納推理?

題型1用歸納推理發現規律

.對于任意正實數a,b

?成立的一個條件可以是____.點撥：前面所列式子的共同特征特征是被開方數之和為22，故a?b?222、蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂

巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂

巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖

有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規律，以

f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數.則f(4)=_____;f(n)=___________.【解題思路】找出f(n)?f(n?1)的關系式

[解析]f(1)?1,f(2)?1?6,f(3)?1?6?12,?f(4)?1?6?12?18?37

?f(n)?1?6?12?18???6(n?1)?3n2?3n?

1總結：處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數據的關系

類比推理

1.類比推理:由兩類對象具有某些類似特征和其中對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理.簡言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.2.類比推理的一般步驟:

第一步：找出兩類對象之間可以確切表述的相似特征；

第二步：用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，從而得出一個猜想.思考探究:

1.類比推理的結論能作為定理應用嗎?

2.(1)圓有切線，切線與圓只交于一點，切點到圓心的距離等于半徑.由此結論如何類比到球體?

(2)平面內不共線的三點確定一個圓.由此結論如何類比得到空間的結論?

題型2用類比推理猜想新的命題

[例]已知正三角形內切圓的半徑是高的______.【解題思路】從方法的類比入手

[解析]原問題的解法為等面積法，即S?

等體積法，V?1，把這個結論推廣到空間正四面體，類似的結論是3111ah?3?ar?r?h，類比問題的解法應為2231111Sh?4?Sr?r?h即正四面體的內切球的半徑是高 334

4總結：（1）不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比

（2）類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數列與等比數列類比；實數集的性質向復數集的性質類比；圓錐曲線間的類比等

合情推理

1.定義:歸納推理和類比推理都有是根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們統稱為合情推理.簡言之，合情推理就是合乎情理的推理.2.推理的過程:

→

→

思考探究:

1.歸納推理與類比推理有何區別與聯系?

1）歸納推理是由部分到整體，從特殊到一般的推理。通常歸納的個體數目越多，越具有代表性，那么推廣的一般性命題也會越可靠，它是一種發現一般性規律的重要方法。

2）類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質。類比的性質相似性越多，相似的性質與推測的性質之間的關系就越相關，從而類比得出的結論就越可靠。第二部分演繹推理

學習目標：

理解演繹推理的含義（重點）

掌握演繹推理的模式，會利用三段論進行簡單推理（重點、難點）

合情推理與演繹推理之間的區別與聯系

一、知識歸納：

演繹推理的含義:

1.演繹推理是從一般性的原理出發，推出的結論.演繹推理又叫推理.2.演繹推理的特點是由的推理.思考探究:

演繹推理的結論一定正確嗎?

演繹推理的模式

1.演繹推理的模式采用“三段論”:

(1)大前提——已知的(M是P);

(2)小前提——所研究的(S是M);

(3)結論——根據一般原理，對特殊情況做出的判斷(S是P).2.從集合的角度看演繹推理:

(1)大前提:x∈M且x具有性質P;

(2)小前提：y∈S且S?M

(3)結論：y具有性質P.演繹推理與合情推理

合情推理與演繹推理的關系:

(1)從推理形式上看，歸納是由部分到整體、個別到一般的推理，類比是由特殊到特說的推理；演繹推理是由一般到特殊的推理.(2)從推理所得的結論來看，合情推理的結論不一定正確，有待進一步證明；演繹推理在大前提、小前提和推理形式都正確的前提下，得到的結論一定正確.第三部分直接證明與間接證明

學習目標：

1、了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程、特點。

2、了解間接證明的一種基本方法──反證法；了解反證法的思考過程、特點。

知識歸納：

三種證明方法:

綜合法、分析法、反證法

分析法和綜合法是思維方向相反的兩種思考方法。在數學解題中，分析法是從數學題的待證

結論或需求問題出發，一步一步地探索下去，最后達到題設的已知條件。綜合法則是從數學題的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最后達到待證結論或需求問題。對于解答證明來說，分析法表現為執果索因，綜合法表現為由果導因，它們是尋求解題思路的兩種基本思考方法，應用十分廣泛。

反證法：它是一種間接的證明方法.用這種方法證明一個命題的一般步驟：

(1)假設命題的結論不成立；

(2)根據假設進行推理,直到推理中導出矛盾為止

(3)斷言假設不成立

(4)肯定原命題的結論成立

用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：(1)反設；(2)歸謬；(3)結論。

重難點：在函數、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數學問題中，選擇好證明方法并運用三種證明方法分析問題或證明數學命題

考點1綜合法

在銳角三角形ABC中,求證:sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC

[解析]??ABC為銳角三角形，?A?B??

2?A??

2?B，?y?sinx在(0,)上是增函數，?sinA?sin(?B)?cosB 22

同理可得sinB?cosC，sinC?cosA ??

?sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC

考點2分析法

已知a?b?0,求證a?b?a?b

[解析]要證a??a?b，只需證(a?)2?(a?b)2

即a?b?2ab?a?b，只需證b?ab，即證b?a

顯然b?a成立，因此a??a?b成立

總結：注意分析法的“格式”是“要證---只需證---”，而不是“因為---所以---” 考點3反證法已知f(x)?a?xx?2(a?1)，證明方程f(x)?0沒有負數根 x?1

x0?2 x0?1【解題思路】“正難則反”，選擇反證法，因涉及方程的根，可從范圍方面尋找矛盾[解析]假設x0是f(x)?0的負數根，則x0?0且x0??1且ax0??

?0?ax0?1?0??1x0?2?1，解得?x0?2，這與x0?0矛盾，2x0?1

故方程f(x)?0沒有負數根

總結：否定性命題從正面突破往往比較困難，故用反證法比較多

第四部分數學歸納法

學習目標：

1．了解數學歸納法的原理，理解數學歸納法的一般步驟。

2．掌握數學歸納法證明問題的方法，能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題

3．能通過“歸納-猜想-證明”處理問題。

知識歸納：

數學歸納法的定義：

一般地,當要證明一個命題對于不小于某正整數N的所有正整數n都成立時,可以用以下兩個步驟:

(1)證明當n=n0時命題成立;

(2)假設當n=k（