第一篇：2014年高考文科數(shù)學真題解析分類：M單元 推理與證明(純word可編輯)

數(shù)學

M單元 推理與證明

M1 合情推理與演繹推理

16．，[2014·福建卷] 已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三個關(guān)系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一個正確，則100a＋10b＋c等于________．

16．201 [解析](i)若①正確，則②③不正確，由③不正確得c＝0，由①正確得a＝1，所以b＝2，與②不正確矛盾，故①不正確．

(ii)若②正確，則①③不正確，由①不正確得a＝2，與②正確矛盾，故②不正確．(iii)若③正確，則①②不正確，由①不正確得a＝2，由②不正確及③正確得b＝0，c＝1，故③正確．

則100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.14．[2014·全國新課標卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市．乙說：我沒去過C城市．丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市．

由此可判斷乙去過的城市為________．

14．A [解析] 由甲沒去過B城市，乙沒去過C城市，而三人去過同一城市，可知三人去過城市A，又由甲最多去過兩個城市，且去過的城市比乙多，故乙只去過A城市．

x14．[2014·陜西卷] 已知f(x)＝x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，則1＋x

f2014(x)的表達式為________．

xx14.[解析] 由題意，得f1(x)＝f(x)＝ 1＋2014x1＋x

x

1＋xxxf2(x)＝f3(x)＝，…，x1＋2x1＋3x11＋x

由此歸納推理可得f2014(x)＝x.1＋2014x

M2 直接證明與間接證明

21．、[2014·湖南卷] 已知函數(shù)f(x)＝xcos x－sin x＋1(x＞0)．

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

111(2)記xi為f(x)的從小到大的第i(i∈N*)個零點，證明：對一切n∈N*，有x1x2xn

321．解：(1)f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.令f′(x)＝0，得x＝kπ(k∈N*)．

當x∈(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)時，sin x>0，此時f′(x)<0;

當x∈((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)時，sin x<0，此時f′(x)>0.故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)，單調(diào)遞增區(qū)間為((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)．

ππ(2)由(1)知，f(x)在區(qū)間(0，π)上單調(diào)遞減．又f?＝0，故x1＝.2?

2當n∈N*時，因為

＋f(nπ)f[（n＋1）π]＝[(－1)nnπ＋1][(－1)n1(n＋1)π＋1]＜0，且函數(shù)f(x)的圖像是連續(xù)不斷的，所以f(x)在區(qū)間(nπ，(n＋1)π)內(nèi)至少存在一個零點．又f(x)在區(qū)間(nπ，(n＋1)π)上是單調(diào)的，故

nπ＜xn＋1＜(n＋1)π.142因此，當n＝1時，＜； x1π3

1112當n＝2時，＋(4＋1)＜ x1x2π3

當n≥3時，111111?4＋1＋ 2（n－1）x1x2xnπ??

111?51＜＜（n－2）（n－1）??1×2ππ?5＋?1－1＋?11?＋…＋?11?? ??2?23??n－2n－1??

1162＝?6－n－1＜＜?π3π?

1112綜上所述，對一切n∈N*，.x1x2xn3

M3數(shù)學歸納法

sin x23．、[2014·江蘇卷] 已知函數(shù)f0(x)＝(x>0)，設(shè)fn(x)為fn－1(x)的導數(shù)，n∈N*.x

πππ(1)求2f1?＋f2?的值； ?2?2?2?

πππ2(2)證明：對任意的n∈N*，等式?nfn－1?＋n???＝ ?44?4??2?

sin xcos xsin x23．解：(1)由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝?′＝－，?xxx

cos xx?sin ′＝ 于是f2(x)＝f1′(x)＝?′－?x?x－sin x2cos x2sin x＋，xxx

ππ4216所以f1??＝－f2?＝－?2??2πππ

πππ故2f1?2??＝－1.?22?2?(2)證明：由已知得，xf0(x)＝sin x，等式兩邊分別對x求導，得f0(x)＋xf0′(x)＝cos x，π即f0(x)＋xf1(x)＝cos x＝sin?x＋?.?2?

類似可得

2f1(x)＋xf2(x)＝－sin x＝sin(x＋π)，3π3f2(x)＋xf3(x)＝－cos x＝sin?x＋?，2??

4f3(x)＋xf4(x)＝sin x＝sin(x＋2π)．

nπ下面用數(shù)學歸納法證明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin?x＋?對所有的n∈N*都成立． 2??

(i)當n＝1時，由上可知等式成立．

kπ(ii)假設(shè)當n＝k時等式成立，即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sin?x.2??

因為[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kfk－1′(x)＋fk(x)＋xfk′(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，?sin?x＋kπ??′＝cos?x＋kπ·?x＋kπ′＝sin?x＋（k＋1）π?，2??2?22?????

（k＋1）π?所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sin?x＋2??，因此當n＝k＋1時，等式也成立．

nπ綜合(i)(ii)可知，等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin?x＋對所有的n∈N*都成立． 2?

πππππnπ令x＝nfn－1?＋fn?＝sin?＋(n∈N*)，42??4?4?4??4

πππ所以?nfn－1?＋fn???＝?44?4???

M4單元綜合(n∈N*)．

第二篇：2014年高考數(shù)學文科(高考真題+模擬新題)分類：M單元 推理與證明

數(shù)學

M單元 推理與證明

M1 合情推理與演繹推理

16．，[2014·福建卷] 已知集合{a，b，c}＝{0，1，2}，且下列三個關(guān)系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一個正確，則100a＋10b＋c等于________．

16．201 [解析](i)若①正確，則②③不正確，由③不正確得c＝0，由①正確得a＝1，所以b＝2，與②不正確矛盾，故①不正確．

(ii)若②正確，則①③不正確，由①不正確得a＝2，與②正確矛盾，故②不正確．(iii)若③正確，則①②不正確，由①不正確得a＝2，由②不正確及③正確得b＝0，c＝1，故③正確．

則100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.14．[2014·全國新課標卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同學被問到是否去過A，B，C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市．乙說：我沒去過C城市．丙說：我們?nèi)巳ミ^同一城市．

由此可判斷乙去過的城市為________．

14．A [解析] 由甲沒去過B城市，乙沒去過C城市，而三人去過同一城市，可知三人去過城市A，又由甲最多去過兩個城市，且去過的城市比乙多，故乙只去過A城市．

x14．[2014·陜西卷] 已知f(x)＝x≥0，若f1(x)＝f(x)，fn＋1(x)＝f(fn(x))，n∈N＋，則1＋x

f2014(x)的表達式為________．

xx14.[解析] 由題意，得f1(x)＝f(x)＝ 1＋2014x1＋x

x

1＋xxxf2(x)＝f3(x)＝，?，x1＋2x1＋3x11＋x

由此歸納推理可得f2014(x)＝x.1＋2014x

M2 直接證明與間接證明

21．、[2014·湖南卷] 已知函數(shù)f(x)＝xcos x－sin x＋1(x＞0)．

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

111(2)記xi為f(x)的從小到大的第i(i∈N*)個零點，證明：對一切n∈N*，有x1x2xn

321．解：(1)f′(x)＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x.令f′(x)＝0，得x＝kπ(k∈N*)．

當x∈(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)時，sin x>0，此時f′(x)<0;

當x∈((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)時，sin x<0，此時f′(x)>0.故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(2kπ，(2k＋1)π)(k∈N)，單調(diào)遞增區(qū)間為((2k＋1)π，(2k＋2)π)(k∈N)．

ππ(2)由(1)知，f(x)在區(qū)間(0，π)上單調(diào)遞減．又f?＝0，故x1＝.2?

2當n∈N*時，因為

＋f(nπ)f[（n＋1）π]＝[(－1)nnπ＋1][(－1)n1(n＋1)π＋1]＜0，且函數(shù)f(x)的圖像是連續(xù)不斷的，所以f(x)在區(qū)間(nπ，(n＋1)π)內(nèi)至少存在一個零點．又f(x)在區(qū)間(nπ，(n＋1)π)上是單調(diào)的，故

nπ＜xn＋1＜(n＋1)π.142因此，當n＝1時，＜； x1π3

1112當n＝2時，＋(4＋1)＜ x1x2π3

當n≥3時，111111?4＋1＋ 2（n－1）x1x2xnπ??

111?51＜＜（n－2）（n－1）??1×2ππ?5＋?1－1＋?11?＋?＋?11?? ??2?23??n－2n－1??

1162＝?6－n－1＜＜?π3π?

1112綜上所述，對一切n∈N*，.x1x2xn3

M3數(shù)學歸納法

sin x23．、[2014·江蘇卷] 已知函數(shù)f0(x)＝(x>0)，設(shè)fn(x)為fn－1(x)的導數(shù)，n∈N*.x

πππ(1)求2f1?＋f2?的值； ?2?2?2?

πππ2(2)證明：對任意的n∈N*，等式?nfn－1?＋n???＝ ?44?4??2?

sin xcos xsin x23．解：(1)由已知，得f1(x)＝f′0(x)＝?′＝－，?xxx

cos xx?sin ′＝ 于是f2(x)＝f1′(x)＝?′－?x?x－sin x2cos x2sin x＋，xxx

ππ4216所以f1??＝－f2?＝－?2??2πππ

πππ故2f1?2??＝－1.?22?2?(2)證明：由已知得，xf0(x)＝sin x，等式兩邊分別對x求導，得f0(x)＋xf0′(x)＝cos x，π即f0(x)＋xf1(x)＝cos x＝sin?x＋?.?2?

類似可得

2f1(x)＋xf2(x)＝－sin x＝sin(x＋π)，3π3f2(x)＋xf3(x)＝－cos x＝sin?x＋?，2??

4f3(x)＋xf4(x)＝sin x＝sin(x＋2π)．

nπ下面用數(shù)學歸納法證明等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin?x＋?對所有的n∈N*都成立． 2??

(i)當n＝1時，由上可知等式成立．

kπ(ii)假設(shè)當n＝k時等式成立，即kfk－1(x)＋xfk(x)＝sin?x.2??

因為[kfk－1(x)＋xfk(x)]′＝kfk－1′(x)＋fk(x)＋xfk′(x)＝(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)，?sin?x＋kπ??′＝cos?x＋kπ·?x＋kπ′＝sin?x＋（k＋1）π?，2??2?22?????

（k＋1）π?所以(k＋1)fk(x)＋xfk＋1(x)＝sin?x＋2??，因此當n＝k＋1時，等式也成立．

nπ綜合(i)(ii)可知，等式nfn－1(x)＋xfn(x)＝sin?x＋對所有的n∈N*都成立． 2?

πππππnπ令x＝nfn－1?＋fn?＝sin?＋(n∈N*)，42??4?4?4??4

πππ所以?nfn－1?＋fn???＝?44?4???(n∈N*)．

M4單元綜合5．[2014·湖南長郡中學月考] 記Sk＝1k＋2k＋3k＋?＋nk，當k＝1，2，3，?時，觀察

111111111111下列等式：S1＝n2＋n，S2＝n3＋2＋n，S34＋3＋2，S4＝n5n4＋3－n，2232642452330

115S56＋5＋n4＋An2，?由此可以推測A＝____________． 6212

11155．－ [解析] 根據(jù)所給等式可知，各等式右邊的各項系數(shù)之和為1，所以＋126212

1A＝1，解得A＝－12

6．[2014·日照一中月考] 二維空間中圓的一維測度(周長)l＝2πr，二維測度(面積)S＝π

4r2，觀察發(fā)現(xiàn)S′＝l；三維空間中球的二維測度(表面積)S＝4πr2，三維測度(體積)V＝πr3，3

觀察發(fā)現(xiàn)V′＝S.已知四維空間中“超球”的三維測度V＝8πr3，猜想其四維測度W＝________.6．2πr4 [解析] 因為W′＝8πr3，所以W＝2πr4.7．[2014·甘肅天水一中期末] 觀察下列等式：

(1＋1)＝2×1；

(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；

(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5.照此規(guī)律，第n個等式為________________________________________________________________________．

7．(n＋1)(n＋2)(n＋3)?(n＋n)＝2n×1×3×5×?×(2n－1)

[解析] 觀察等式規(guī)律可知第n個等式為(n＋1)(n＋2)(n＋3)?(n＋n)＝2n×1×3×5×?×(2n－1)．

8．[2014·南昌調(diào)研] 已知整數(shù)對的序列為(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，?，則第57個數(shù)對是________．

8．(2，10)[解析] 由題意，發(fā)現(xiàn)所給序數(shù)列有如下規(guī)律：

(1，1)的和為2，共1個；

(1，2)，(2，1)的和為3，共2個；

(1，3)，(2，2)，(3，1)的和為4，共3個；

(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)的和為5，共4個；

(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)的和為6，共5個．

由此可知，當數(shù)對中兩個數(shù)字之和為n時，有n－1個數(shù)對．易知第57個數(shù)對中兩數(shù)之和為12，且是兩數(shù)之和為12的數(shù)對中的第2個數(shù)對，故為(2，10)．

9．[2014·福州模擬] 已知點A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函數(shù)y＝ax(a>1)的圖像上任意不同的兩點，依據(jù)圖像可知，線段AB總是位于A，B兩點之間函數(shù)圖像的上方，因此有結(jié)論ax1＋ax2x1＋x2>a成立．運用類比的思想方法可知，若點A(x1，sin x1)，B(x2，sin x2)是函數(shù)y22

＝sin x(x∈(0，π))的圖像上任意不同的兩點，則類似地有________________成立．

9.sin x1＋sin x2x1＋x2

sin x1＋sin x2x1＋x2總是位于A，B兩點之間函數(shù)圖像的下方，所以有

第三篇：2012年高考真題文科數(shù)學解析分類15：推理與證明1

2012高考文科試題解析分類匯編：推理和證明

1.【2012高考全國文12】正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，AE?BF?

13。動點P從E出發(fā)沿直線向F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反

射角等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為

（A）8（B）6（C）4（D）

3【答案】B

【命題意圖】本試題主要考查了反射原理與三角形相似知識的運用。通過相似三角形，來確定反射后的點的落的位置，結(jié)合圖像分析反射的次數(shù)即可。

【解析】解：結(jié)合已知中的點E,F的位置，進行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關(guān)系，作圖，可以得到回到EA點時，需要碰撞8次即可。

?2?n??...?sin2.【2012高考上海文18】若Sn?sin?sinn?N?），則在S1,S2,...,S100777

中，正數(shù)的個數(shù)是（）

A、16B、72C、86D、100

【答案】C

【解析】依據(jù)正弦函數(shù)的周期性，可以找其中等于零或者小于零的項.【點評】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)和間接法解題.解決此類問題需要找到規(guī)律，從題目出發(fā)可以看出來相鄰的14項的和為0，這就是規(guī)律，考查綜合分析問題和解決問題的能力.3.【2012高考江西文5】觀察下列事實|x|+|y|=1的不同整數(shù)解（x,y）的個數(shù)為4，|x|+|y|=2的不同整數(shù)解（x,y）的個數(shù)為8，|x|+|y|=3的不同整數(shù)解（x,y）的個數(shù)為12 ….則|x|+|y|=20的不同整數(shù)解（x，y）的個數(shù)為

A.76B.80C.86D.92

【答案】B

【解析】本題主要為數(shù)列的應(yīng)用題，觀察可得不同整數(shù)解的個數(shù)可以構(gòu)成一個首先為4，公差為4的等差數(shù)列，則所求為第20項，可計算得結(jié)果.4.【2012高考陜西文12】觀察下列不等式

1?

1?121

22??321

?532，?5

31?1

22?132?142

……

照此規(guī)律，第五個不等式為.．．．

【答案】1?

?

?

?

?

?

116

.【解析】觀察不等式的左邊發(fā)現(xiàn)，第n個不等式的左邊=1?1?1???

2?n?1??1n?1

?n?1?，右邊=5.【2012

k，所以第五個不等式為1?

?

?

?2

?

?

?

116

． 表示為

高考湖南文

k?1

16】對于

n?N，將n

n?ak?2?ak?1?2???a1?2?a0?2,當i?k時ai?1，當0?i?k?1時ai為0

或1，定義bn如下：在n的上述表示中，當a0,a1，a2，…，ak中等于1的個數(shù)為奇數(shù)時，bn=1；否則bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）記cm為數(shù)列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數(shù)，則cm的最大值是___.【答案】（1）3；（2）2.010【解析】（1）觀察知1?a0?2,a0?1,b1?1；2?1?2?0?2,a1?1,a0?0,b2?1；

10210

一次類推3?1?2?1?2,b3?0；4?1?2?0?2?0?2,b4?1；

5?1?2?0?2?1?2,b5?0；6?1?2?1?2?0?2，b6?0，b7?1,b8?1，210210

b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm的最大值為２.【點評】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識，考查運算能力，考查創(chuàng)造性解決問題的能力.需要在學習中培養(yǎng)自己動腦的習慣，才可順利解決此類問題.6.【2012高考湖北文17】傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經(jīng)常在沙灘上面畫點或用小石子表示數(shù)。他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：

將三角形數(shù)1,3，6,10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{bn}，可以推測：

（Ⅰ）b2012是數(shù)列{an}中的第______項；（Ⅱ）b2k-1=______。（用k表示）【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）

5k?5k?1?

n(n?1)2

【解析】由以上規(guī)律可知三角形數(shù)1,3,6,10,…,的一個通項公式為an?，寫出其若

干項有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,發(fā)現(xiàn)其中能被5整除的為10,15,45,55,105,110,故b1?a4,b2?a5,b3?a9,b4?a10,b5?a14,b6?a15.從而由上述規(guī)律可猜想：b2k?a5k?

b2k?1?a5k?1?

(5k?1)(5k?1?1)

?

5k(5k?1)

（k為正整數(shù)），5k(5k?1)，故b2012?a2?1006?a5?1006?a5030,即b2012是數(shù)列{an}中的第5030項.【點評】本題考查歸納推理，猜想的能力.歸納推理題型重在猜想，不一定要證明，但猜想需要有一定的經(jīng)驗與能力，不能憑空猜想.來年需注意類比推理以及創(chuàng)新性問題的考查.7.【2102高考北京文20】（本小題共13分）設(shè)A是如下形式的2行3列的數(shù)表，滿足性質(zhì)P：a，b，c，d，e，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0.記ri（A）為A的第i行各數(shù)之和（i=1,2），Cj（A）為第j列各數(shù)之和（j=1，2，3）；記k（A）為|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。對如下數(shù)表A，求k（A）的值

設(shè)數(shù)表A形如

其中-1≤d≤0，求k（A）的最大值；

（Ⅲ）對所有滿足性質(zhì)P的2行3列的數(shù)表A，求k(A)的最大值。

【考點定位】此題作為壓軸題難度較大，考查學生分析問題解決問題的能力，考查學生嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力。

（1）因為r1(A)=1.2，r2(A)??1.2，c1(A)?1.1，c2(A)?0.7，c3(A)??1.8，所以

k(A)?0.7

（2）r1(A)?1?2d，r2(A)??1?2d，c1(A)?c2(A)?1?d，c3(A)??2?2d.因為?1?d?0，所以|r1(A)|=|r2(A)|?d?0，|c3(A)|?d?0.所以k(A)?1?d?1.當d?0時，k(A)取得最大值1.（3

任意改變A的行次序或列次序，或把A中的每個數(shù)換成它的相反數(shù)，所得數(shù)表A*仍滿足性

*

質(zhì)P，并且k(A)?k(A)，因此，不妨設(shè)r1(A)?0,c1(A)?0,c2(A)?0，由k(A)的定義

知

3k，?1(A

k(?

A)(A?

r(?)c

A)?(A,k?，(A?)

c

從)

?(A

c而?)

a

(A

(?)kb)?r1

?(a?b?c?d?e?f)?(a?b?f)?a?b?f?3

因此k(A)?1，由（2）知，存在滿足性質(zhì)P的數(shù)表A，使k(A)?1，故k(A)的最大值為1。

8.【2102高考福建文20】20.（本小題滿分13分）

某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)。（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255° Ⅰ 試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)

Ⅱ 根據(jù)（Ⅰ）的計算結(jié)果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣位三角恒等式，并證明你的結(jié)論。

考點：三角恒等變換。難度：中。

分析：本題考查的知識點恒等變換公式的轉(zhuǎn)換及其應(yīng)用。解答：

（I）選擇（2）：sin15?cos15?sin15cos15?1?

sin30?

（II）三角恒等式為：sin??cos(30??)?sin?cos(30??)?

sin??cos(30??)?sin?cos(30??)

?sin2???34sin??

234

??cos??

sin?)?sin?2

??

sin?)

第四篇：2012年高考真題——文科數(shù)學(解析版)15：推理與證明

2012高考試題分類匯編：15：推理和證明

1.【2012高考全國文12】正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，1AE?BF?。動點P從E出發(fā)沿直線向F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射

3角等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為

（A）8（B）6（C）4（D）3

【答案】B

【解析】結(jié)合已知中的點E,F的位置，進行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關(guān)系，作圖，可以得到回到EA點時，需要碰撞6次即可.2.【2012高考上海文18】若Sn?sin

中，正數(shù)的個數(shù)是（）

A、16B、72C、86D、100

【答案】C

【解析】由題意可知，S13?S14=S27?S28=S41?S42=…=S97?S98=0，共14個，其余均為正數(shù)，故共有100-14=86個正數(shù)。

3.【2012高考江西文5】觀察下列事實|x|+|y|=1的不同整數(shù)解（x,y）的個數(shù)為4，|x|+|y|=2的不同整數(shù)解（x,y）的個數(shù)為8，|x|+|y|=3的不同整數(shù)解（x,y）的個數(shù)為12 ….則|x|+|y|=20的不同整數(shù)解（x，y）的個數(shù)為

A.76B.80C.86D.92

【答案】B

【解析】個數(shù)為首項為4，公差為4的等差數(shù)列，所以an?4?4(n?1)?4n，a20?80，選

B.4.【2012高考陜西文12】觀察下列不等式 ?7?sin2?n???...?sin（n?N），則在S1,S2,...,S10077

1?13? 222

1?115??，22333

11151?2?2?2? 2343

……

照此規(guī)律，第五個不等式為.．．．

【答案】1?

【解析】通過觀察易知第五個不等式為1?

5.【2012高考湖南文1111111?2?2?2?2?.22345661111111?????.2232425262616】對于

0n?N?，將n表示為?11n?ak?2k?ak?1?k2???a??2a?1?k時ai?1，,當i2當0?i?k?1時ai為0或1，定義bn如下：在n的上述表示中，當a0,a1，a2，…，ak中等于1的個數(shù)為奇數(shù)時，bn=1；否則bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）記cm為數(shù)列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數(shù)，則cm的最大值是___.【答案】（1）3；（2）2.【解析】（1）觀察知1?a0?20,a0?1,b1?1；2?1?21?0?20,a1?1,a0?0,b2?1； 一次類推3?1?21?1?20,b3?0；4?1?22?0?21?0?20,b4?1；

5?1?22?0?21?1?20,b5?0；6?1?22?1?21?0?20，b6?0，b7?1,b8?1，b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm的最大值為２.【點評】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識，考查運算能力，考查創(chuàng)造性解決問題的能力.需要在學習中培養(yǎng)自己動腦的習慣，才可順利解決此類問題.6.【2012高考湖北文17】傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家經(jīng)常在沙灘上面畫點或用小石子表示數(shù)。他們研究過如圖所示的三角形數(shù)：

將三角形數(shù)1,3，6,10，…記為數(shù)列{an}，將可被5整除的三角形數(shù)按從小到大的順序組成一個新數(shù)列{bn}，可以推測：

（Ⅰ）b2012是數(shù)列{an}中的第______項；

（Ⅱ）b2k-1=______。（用k表示）

5k?5k?1? 【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）2

【解析】由以上規(guī)律可知三角形數(shù)1,3,6,10,…,的一個通項公式為an?n(n?1)，寫出其若干2

項有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,發(fā)現(xiàn)其中能被5整除的為10,15,45,55,105,110,故b1?a4,b2?a5,b3?a9,b4?a10,b5?a14,b6?a15.從而由上述規(guī)律可猜想：b2k?a5k?5k(5k?1)（k為正整數(shù)），2

(5k?1)(5k?1?1)5k(5k?1)b2k?1?a5k?1??，22

故b2012?a2?1006?a5?1006?a5030,即b2012是數(shù)列{an}中的第5030項.【點評】本題考查歸納推理，猜想的能力.歸納推理題型重在猜想，不一定要證明，但猜想需要有一定的經(jīng)驗與能力，不能憑空猜想.來年需注意類比推理以及創(chuàng)新性問題的考查.7.【2102高考北京文20】（本小題共13分）

記ri（A）為A的第i行各數(shù)之和（i=1,2），Cj（A）為第j列各數(shù)之和（j=1，2，3）；記k（A）為|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。

對如下數(shù)表A，求k（A）的值

設(shè)數(shù)表A形如

其中-1≤d≤0，求k（A）的最大值；

（Ⅲ）對所有滿足性質(zhì)P的2行3列的數(shù)表A，求k(A)的最大值。

【答案】

8.【2102高考福建文20】20.（本小題滿分13分）

某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù)。

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°

（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°

（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°

（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°

Ⅰ 試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)

Ⅱ 根據(jù)（Ⅰ）的計算結(jié)果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣位三角恒等式，并證明你的結(jié)論。

【答案

】

第五篇：2012年高考真題理科數(shù)學解析分類14推理與證明

陜西省永壽縣中學楊宏軍整理hongjunyang@qq.com

2012年高考真題理科數(shù)學解析分類匯編14推理與證明

1.【2012高考江西理6】觀察下列各式：a?b?1,a2?b2?3,a3?b3?4,a4?b4?7, a5?b5?11,則a?b? 1010

A．28B．76C．123D．199

【答案】C

【命題立意】本題考查合情推理中的歸納推理以及遞推數(shù)列的通項公式。

【解析】等式右面的數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列1,3,4,7,11，數(shù)列的前兩項相加后面的項，即an?an?1?an?2，所以可推出a10?123，選C.2.【2012高考全國卷理12】正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，AE＝BF＝7.動點P從E出發(fā)沿直線喜愛那個F運動，每當碰到正方形的方向的邊時反彈，3反彈時反射等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為

（A）16（B）14（C）12(D)10

【答案】B

【命題意圖】本試題主要考查了反射原理與三角形相似知識的運用。通過相似三角形，來確定反射后的點的落的位置，結(jié)合圖像分析反射的次數(shù)即可。

【解析】結(jié)合已知中的點E,F的位置，進行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是

平行的，那么利用平行關(guān)系，作圖，可以得到回到EA點時，需要碰撞14次即可.3.【2012高考湖北理10】我國古代數(shù)學名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)”曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之，即立圓徑.“開立圓術(shù)”相當于給出了已知球的體積V，求其直徑d的一個近似公式d?

根據(jù)π =3.14159

.人們還用過一些類似的近似公式.判斷，下列近似公式中最精確的一個是

B

．dC

．d?D

．d11.d?【答案】D

考點分析：考察球的體積公式以及估算.【解析】

4d3a6b6?9由V??()，得d?設(shè)選項中常數(shù)為,則?=；A中代入得?==3.375，32ba16

6?16?1576?11B中代入得?==3，C中代入得?==3.14,D中代入得?==3.142857，2300

21由于D中值最接近?的真實值，故選擇D。

4.【2012高考陜西理11】 觀察下列不等式

13? 222

1151?2?3?，2331?

———— 1

1?

1117??? 223242

4??

照此規(guī)律，第五個不等式為.．．．

1111111

?2?2?2?2?.2

234566

1111111

【解析】通過觀察易知第五個不等式為1?2?2?2?2?2?.234566

【答案】1?

5.【2012高考湖南理16】設(shè)N=2（n∈N，n≥2），將N個數(shù)x1,x2,?，xN依次放入編號為

1,2，?，N的N個位置，得到排列P0=x1x2?xN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取

n

*

NN和后個位置，得到排列P1=x1x3?xN-1x2x4?xN，將此22

N

操作稱為C變換，將P1分成兩段，每段個數(shù)，并對每段作C變換，得到p2；當2≤i≤

Ni

n-2時，將Pi分成2段，每段i個數(shù)，并對每段C變換，得到Pi+1，例如，當N=8時，出，并按原順序依次放入對應(yīng)的前

P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時x7位于P2中的第4個位置.（1）當N=16時，x7位于P2中的第___個位置；

n

（2）當N=2（n≥8）時，x173位于P4中的第___個位置.【答案】（1）6；（2）3?2【解析】（1）當N=16時,n?4

?11

P0?x1x2x3x4x5x6P1?x1x3x5x7

x16,可設(shè)為(1,2,3,4,5,6,x16,即為(1,3,5,7,9，16), 2,4,6,8，16)，16), x7位于P2中的第6

x15x2x4x6

P2?x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6

個位置,；

x16,即(1,5,9,13,3,7,11,15,2,6,（2）方法同（1）,歸納推理知x173位于P4中的第3?2

n?4

?11個位置.【點評】本題考查在新環(huán)境下的創(chuàng)新意識，考查運算能力，考查創(chuàng)造性解決問題的能力.需要在學習中培養(yǎng)自己動腦的習慣，才可順利解決此類問題.6.【2012高考湖北理13】回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù)．如22，121，3443，94249等．顯然2位回文數(shù)有9個：11，22，33，?，99．3位回文數(shù)有90個：101，111，121，?，191，202，?，999．則（Ⅰ）4位回文數(shù)有個；

（Ⅱ）2n?1(n?N?)位回文數(shù)有 【答案】90，9?10

考點分析：本題考查排列、組合的應(yīng)用.【解析】（Ⅰ）4位回文數(shù)只用排列前面兩位數(shù)字，后面數(shù)字就可以確定，但是第一位不能為0，有9（1~9）種情況，第二位有10（0~9）種情況，所以4位回文數(shù)有9?10?90種。答案：90

————

n

（Ⅱ）法

一、由上面多組數(shù)據(jù)研究發(fā)現(xiàn)，2n+1位回文數(shù)和2n+2位回文數(shù)的個數(shù)相同，所以可以算出2n+2位回文數(shù)的個數(shù)。2n+2位回文數(shù)只用看前n+1位的排列情況，第一位不能為0有9種情況，后面n項每項有10種情況，所以個數(shù)為9?10.法

二、可以看出2位數(shù)有9個回文數(shù)，3位數(shù)90個回文數(shù)。計算四位數(shù)的回文數(shù)是可以看出在2位數(shù)的中間添加成對的“00,11,22,??99”，因此四位數(shù)的回文數(shù)有90個按此規(guī)律推導這十個數(shù)，因此,而當奇數(shù)位時，可以看成在偶數(shù)位的最中間添加0~9,則答案為9?10.n

n

7.【2012高考北京理20】（本小題共13分）

設(shè)A是由m?n個實數(shù)組成的m行n列的數(shù)表，滿足：每個數(shù)的絕對值不大于1，且所有數(shù)的和為零.記S?m,n?為所有這樣的數(shù)表組成的集合.對于A?S?m,n?，記ri(A)為A的第i行各數(shù)之和（1剟i

m），cj(A)為A的第j列各數(shù)之和（1剟j

；記k(A)為n）

r1(A)，r2(A)，?，rm(A)，c1(A)，c2(A)，?，cn(A)中的最小值.（1）對如下數(shù)表A，求k(A)的值；

（2）設(shè)數(shù)表A?S?2,3?形如

求k(A)的最大值；

（3）給定正整數(shù)t，對于所有的A?S?2,2t?1?，求k(A)的最大值.【答案】解：（1）由題意可知r1?A??1.2，r2?A???1.2，c1?A??1.1，c2?A??0.7，c3?A???1.8

∴k?A??0.7

（2）先用反證法證明k?A?≤1：

若k?A??1

則|c1?A?|?|a?1|?a?1?1，∴a?0 同理可知b?0，∴a?b?0 由題目所有數(shù)和為0 即a?b?c??1 ∴c??1?a?b??1 與題目條件矛盾

———— 3

∴k?A?≤1．

易知當a?b?0時，k?A??1存在 ∴k?A?的最大值為1（3）k?A?的最大值為

2t?1

.t?22t?1

首先構(gòu)造滿足k(A)?的A?{ai,j}(i?1,2,j?1,2,...,2t?1)：

t?2

t?1

a1,1?a1,2?...?a1,t?1,a1,t?1?a1,t?2?...?a1,2t?1??，t?2

a2,1?a2,2

t2?t?1

?...?a2,t?,a2,t?1?a2,t?2?...?a2,2t?1??1.t(t?2)

經(jīng)計算知，A中每個元素的絕對值都小于1，所有元素之和為0，且

|r1(A)|?|r2(A)|?

2t?1，t?2

t2?t?1t?12t?1，|c1(A)|?|c2(A)|?...?|ct(A)|?1??1??

t(t?2)t?2t?2

|ct?1(A)|?|ct?2(A)|?...?|c2t?1(A)|?1?

下面證明

t?12t?1

?.t?2t?2

2t?1

是最大值.若不然，則存在一個數(shù)表A?S(2,2t?1)，使得t?22t?1

k(A)?x?.t?2

由k(A)的定義知A的每一列兩個數(shù)之和的絕對值都不小于x，而兩個絕對值不超過1的數(shù)的和，其絕對值不超過2，故A的每一列兩個數(shù)之和的絕對值都在區(qū)間[x,2]中.由于

x?1，故A的每一列兩個數(shù)符號均與列和的符號相同，且絕對值均不小于x?1.設(shè)A中有g(shù)列的列和為正，有h列的列和為負，由對稱性不妨設(shè)g?h，則

g?t,h?t?1.另外，由對稱性不妨設(shè)A的第一行行和為正，第二行行和為負.考慮A的第一行，由前面結(jié)論知A的第一行有不超過t個正數(shù)和不少于t?1個負數(shù)，每個正數(shù)的絕對值不超過1（即每個正數(shù)均不超過1），每個負數(shù)的絕對值不小于x?1（即每個負數(shù)均不超過1?x）.因此

|r1(A)|?r1(A)?t?1?(t?1)(1?x)?2t?1?(t?1)x?x??2t?1?(t?2)x??x，故A的第一行行和的絕對值小于x，與假設(shè)矛盾.因此k?A?的最大值為

2t?1

。t?2

————

8.【2012高考湖北理】（本小題滿分14分）

（Ⅰ）已知函數(shù)f(x)?rx?xr?(1?r)(x?0)，其中r為有理數(shù)，且0?r?1.求f(x)的最小值；

（Ⅱ）試用（Ⅰ）的結(jié)果證明如下命題：

設(shè)a1?0,a2?0，b1,b2為正有理數(shù).若b1?b2?1，則a1b1a2b2?a1b1?a2b2；（Ⅲ）請將（Ⅱ）中的命題推廣到一般形式，并用數(shù)學歸納法證明你所推廣的命題.．．．．．注：當?為正有理數(shù)時，有求導公式(x?)???x??1.【答案】（Ⅰ）f?(x)?r?rxr?1?r(1?xr?1)，令f?(x)?0，解得x?1.當0?x?1時，f?(x)?0，所以f(x)在(0,1)內(nèi)是減函數(shù)； 當 x?1 時，f?(x)?0，所以f(x)在(1,??)內(nèi)是增函數(shù).故函數(shù)f(x)在x?1處取得最小值f(1)?0.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當x?(0,??)時，有f(x)?f(1)?0，即xr?rx?(1?r)①

若a1，a2中有一個為0，則a1b1a2b2?a1b1?a2b2成立； 若a1，a2均不為0，又b1?b2?1，可得b2?1?b1，于是 在①中令x?

a1aa，r?b1，可得(1)b1?b1?1?(1?b1)，a2a2a2

即a1b1a21?b1?a1b1?a2(1?b1)，亦即a1b1a2b2?a1b1?a2b2.綜上，對a1?0,a2?0，b1，b2為正有理數(shù)且b1?b2?1，總有a1b1a2b2?a1b1?a2b2.②

（Ⅲ）（Ⅱ）中命題的推廣形式為：

設(shè)a1,a2,若b1?b2?,an為非負實數(shù)，b1,b2,b1b2?bn?1，則a1a2,bn為正有理數(shù).bn

an?a1b1?a2b2?

?anbn.③

用數(shù)學歸納法證明如下：

（1）當n?1時，b1?1，有a1?a1，③成立.（2）假設(shè)當n?k時，③成立，即若a1,a2,且b1?b2?

b1b2

?bk?1，則a1a2,ak為非負實數(shù)，b1,b2，bk為正有理數(shù)，bk

ak?a1b1?a2b2?

?akbk.,bk,bk?1為正有理數(shù)，當n?k?1時，已知a1,a2,且b1?b2?aa

b1

b22,ak,ak?1為非負實數(shù)，b1,b2,?bk?bk?1?1，此時0?bk?1?1，即1?bk?1?0，于是

bk?1k?1

aa

bkk

?(aa

b11b22

a)a

bkkbk?1k?1

=(a

b11?bk?11

a

b21?bk?12

a

bk

1?bk?11?bk?1k)

bk?1ak?1.———— 5

因

b1b2

??

1?bk?11?bk?1

?

bk

?1，由歸納假設(shè)可得

1?bk?1

b1b2

?a2??

1?bk?11?bk?1

?ak?

ab?a2b2??akbkbk

?11，1?bk?11?bk?1

a

b1

1?bk?11

a

b21?bk?12

a

bk1?bk?1k

?a1?

b1b2

從而a1a2bkbk?1

akak?1

?ab?a2b2??akbk?

??11?

1?bk?1??

1?bk?1

bk?1

ak?1.又因(1?bk?1)?bk?1?1，由②得

?a1b1?a2b2??akbk?

??

1?bk?1??

1?bk?1

bk?1

?ak?1

a1b1?a2b2??akbk

?(1?bk?1)?ak?1bk?1

1?bk?1

?a1b1?a2b2?

b2

從而a1b1a2

bkbk?1akak?1?a1b1?a2b2?

?akbk?ak?1bk?1，?akbk?ak?1bk?1.故當n?k?1時，③成立.由（1）（2）可知，對一切正整數(shù)n，所推廣的命題成立.說明：（Ⅲ）中如果推廣形式中指出③式對n?2成立，則后續(xù)證明中不需討論n?1的情況.9.【2012高考福建理17】（本小題滿分13分）

某同學在一次研究性學習中發(fā)現(xiàn)，以下五個式子的值都等于同一個常數(shù).（1）sin13°+cos17°-sin13°cos17°（2）sin15°+cos15°-sin15°cos15°（3）sin18°+cos12°-sin18°cos12°

（4）sin（-18°）+cos48°-sin（-18°）cos48°（5）sin（-25°）+cos55°-sin（-25°）cos55° Ⅰ 試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數(shù)

Ⅱ 根據(jù)（Ⅰ）的計算結(jié)果，將該同學的發(fā)現(xiàn)推廣位三角恒等式，并證明你的結(jié)論.103sin30? 24

2200

（II）三角恒等式為：sin??cos(30??)?sin?cos(30??)

?

解答：（I）選擇（2）：sin15?cos15?sin15cos15?1?

sin2??cos2(300??)?sin?cos(30??)

?sin??11

??sin?)2?sin???sin?)22

333?sin2??cos2??444

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