第一篇：2011年高考數學試題分類十三 推理與證明、創新題

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十三、推理與證明、創新題,?b?1,?aaa?b??.設函數?b,a?b?11．（天津理4）對實數a和b，定義運算“?”：

f(x)??x2?2???x?x2?,x?R.y?f(x)?cx若函數

則實數c的取值范圍是

A．的圖像與軸恰有兩個公共點，???,?2?????1,?3??2?B．???,?2?????1,??3??4?

【答案】B 1??1???1,?,??????4??4?C．?3??1???1,??,??????4??4? D．?

1A3??A1A22．（山東理12）設A1，A2，A3，A4是平面直角坐標系中兩兩不同的四點，若A,則稱A3，A4調和分割A1，A2,已知

平面上的點C，D調和分割點A，B則下面說法正確的是

A．C可能是線段AB的中點

B．D可能是線段AB的中點

C．C，D可能同時在線段AB上

D．C，D不可能同時在線段AB的延長線上

【答案】D（μ∈R），且?A?A14?A12（λ∈R），A?1??

23.（湖北理9）若實數a,b滿足a?0,b?0,且ab?0，則稱a與b

互補，記

?(a,b)?a?b,，那么??a,b??0是a與b互補的A．必要而不充分的條件

C．充要條件

【答案】C B．充分而不必要的條件 D．即不充分也不必要的條件

4.（福建理15）設V是全體平面向量構成的集合，若映射f:V?R滿足：對任意向量a=

（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意?∈R，均有

則稱映射f具有性質P。現給出如下映射： f(??a(1??)b)??f(a)?(1??)f(b), ①f1:V?R,f2(m)?x,?y,m?(x,y)?V;2f:V?R,f(m)?x?y,m?(x,y)?V;2②2

③f3:V?R,f3(m)?x?y?1,m?(x,y)?V.其中，具有性質P的映射的序號為________。（寫出所有具有性質P的映射的序號）

【答案】①③

5.（湖南理16）對于n?N,將n 表示*

n?a0?2k?a1?2k?1?a2?2k?2?...?ak?1?21?ak?20,當i?0時，ai?1,當1?i?k時, a1為0或1．記I(n)為上述表示中ai為0的個數（例如：

I?1?20,4?1?22?0?21?0?20）,故I(1)?0, I(4)?2）,則

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（1）I(12)?________________;（2）

【答案】21093 ?2n?1mI(n)________________;

C?t?4,4?,D?t,4??t?R?.記N?t?為平行四邊形ABCD6.（北京理8）設A?0,0?,B?4,0?，內部（不含邊界）的整點的個數，其中整點是指橫、縱坐標都是整數的點，則函數N?t?的值域為

?A．?9,10,11B．?9,10,12?

D．?10,11,12?

72011 C．?9,11,12?【答案】C 567.（江西理7）觀察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，…，則5的末四位數

字為

A．3125B．5625C．0625D．8125

【答案】D

8.（廣東理8）設S是整數集Z的非空子集，如果?a,b?S,有ab?S，則稱S關于數的乘

法是封閉的．若T,V是Z的兩個不相交的非空子集，T?U?Z,且?a,b,c?T,有

abc?T;?x,y,z?V,有xyz?V，則下列結論恒成立的是 A．T,V中至少有一個關于乘法是封閉的 B．T,V中至多有一個關于乘法是封閉的 C．T,V中有且只有一個關于乘法是封閉的D．T,V中每一個關于乘法都是封閉的【答案】A

9.（江西理10）如右圖，一個直徑為l的小圓沿著直徑為2的大圓內壁的逆時針方 向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點．那么，當小

圓這樣滾過大圓內壁的一周，點M，N在大圓內所繪出的圖形大

致是

【答案】A

10.（安徽理15）在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數，就稱點(x,y)為整點，下列命題中正確的是_____________（寫出所有正確命題的編號）.①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經過任何整點

②如果k與b都是無理數，則直線y?kx?b不經過任何整點

③直線l經過無窮多個整點，當且僅當l經過兩個不同的整點

④直線y?kx?b經過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數 ⑤存在恰經過一個整點的直線

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【答案】①，③，⑤

=f（x2）11.（四川理16）函數f（x）的定義域為A，若x1，x2?A且f（x1）時總有

x1=x2，則稱f（x）為單函數．例如，函數f（x）=2x+1（x?R）是單函數．下列命題：

①函數f（x）=x（x?R）是單函數； 2

?f（x2）； ②若f（x）為單函數，x1，x2?A且x1?x2，則f（x1）

③若f：A?B為單函數，則對于任意b?B，它至多有一個原象；④函數f（x）在某區間上具有單調性，則f（x）一定是單函數．其中的真命題是（寫出所有真命題的編號）答案：②③④

解析 ：①錯，x1??x2，②③④正確

f(x)?x(x?0)x?2,觀察: 12.（山東理15）設函數

f1(x)?f(x)?x,x?2

x,3x?4

x,7x?8

x,15x?16 f2(x)?f(f1(x))?f3(x)?f(f2(x))?f4(x)?f(f3(x))?

根據以上事實，由歸納推理可得：

?當n?N且n?2時，fn(x)?f(fn?1(x))? x

nn【答案】(2?1)x?2

13.（陜西理13）觀察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

??

照此規律，金太陽新課標資源網wx.jtyjy.com

第二篇：2011年高考數學試題分類 推理與證明、創新題

十三、推理與證明、創新題

b?1,?a,a?

a?b??

.設函數?b,a?b?11．（天津理4）對實數a和b，定義運算“?”：

f(x)??x2?2???x?x2?,x?R.y?f(x)?cx

若函數

則實數c的取值范圍是

A．的圖像與軸恰有兩個公共點，???,?2?????1,?

3?

?

2?

B．

???,?2?????1,?

?

3?

?

4?

【答案】B

1??1???1,?,??????4??4?C．?3??1??

?1,??,??????

4??4? D．?

??????????

1A3??A1A22．（山東理12）設A1，A2，A3，A4是平面直角坐標系中兩兩不同的四點，若A,則稱A3，A4調和分割A1，A2,已知平

面上的點C，D調和分割點A，B則下面說法正確的是A．C可能是線段AB的中點B．D可能是線段AB的中點C．C，D可能同時在線段AB上D．C，D不可能同時在線段AB的延長線上 【答案】D

（μ∈R），且?

??????

A?A14?A12（λ∈R），A

?

?

?

23.（湖北理9）若實數a,b滿足a?0,b?0,且ab?0，則稱a與b

互補，記

?(a,b)?a?b,，那么??a,b??0是a與b互補的A．必要而不充分的條件

C．充要條件【答案】C

B．充分而不必要的條件

D．即不充分也不必要的條件

4.（福建理15）設V是全體平面向量構成的集合，若映射f:V?R滿足：對任意向量a=（x1，y1）∈V，b=（x2，y2）∈V，以及任意?∈R，均有

則稱映射f具有性質P。現給出如下映射：

f(??a(1??)b)??f(a)?(1??)f(b),①f1:V?R,f2(m)?x,?y,m?(x,y)?V;

2f:V?R,f(m)?x?y,m?(x,y)?V;2②2

③f3:V?R,f3(m)?x?y?1,m?(x,y)?V.其中，具有性質P的映射的序號為________。（寫出所有具有性質P的映射的序號）【答案】①③

*

5.（湖南理16）對于n?N,將n 表示n?a0?2?a1?2

kk?

1?a2?2k?2?...?ak?1?21?ak?20,當i?0時，ai?1,當1?i?k時, a1為0或1．記I(n)為上述表示中ai為0的個數（例如：I?1?2,4?1?2?0?2?0?2）,故I(1)?0, I(4)?2）,則（1）I(12)?________________;（2）

0m

?2

n?1

I(n)

________________;

【答案】2109

36.（北京理8）設A?0,0?,B?4,0?，C?t?4,4?,D?t,4??t?R?.記N?t?為平行四邊形ABCD

內部（不含邊界）的整點的個數，其中整點是指橫、縱坐標都是整數的點，則函數N?t?的值域為

?A．?9,10,11B．?9,10,12?

D．?10,11,12?

72011 C．?9,11,12?【答案】C 567.（江西理7）觀察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，…，則5的末四位數字

為

A．3125B．5625C．0625D．8125

【答案】D

8.（廣東理8）設S是整數集Z的非空子集，如果?a,b?S,有ab?S，則稱S關于數的乘法

是封閉的．若T,V是Z的兩個不相交的非空子集，T?U?Z,且?a,b,c?T,有

abc?T;?x,y,z?V,有xyz?V，則下列結論恒成立的是 A．T,V中至少有一個關于乘法是封閉的 B．T,V中至多有一個關于乘法是封閉的 C．T,V中有且只有一個關于乘法是封閉的D．T,V中每一個關于乘法都是封閉的【答案】A

9.（江西理10）如右圖，一個直徑為l的小圓沿著直徑為2的大圓內壁的逆時針方

向滾動，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個端點．那么，當小

圓這樣滾過大圓內壁的一周，點M，N在大圓內所繪出的圖形大

致是

【答案】A

10.（安徽理15）在平面直角坐標系中，如果x與y都是整數，就稱點(x,y)為整點，下列命題中正確的是_____________（寫出所有正確命題的編號）.①存在這樣的直線，既不與坐標軸平行又不經過任何整點

②如果k與b都是無理數，則直線y?kx?b不經過任何整點

③直線l經過無窮多個整點，當且僅當l經過兩個不同的整點

④直線y?kx?b經過無窮多個整點的充分必要條件是：k與b都是有理數

⑤存在恰經過一個整點的直線

【答案】①，③，⑤

=f（x2）11.（四川理16）函數f（x）的定義域為A，若x1，x2?A且f（x1）時總有

x1=x2，則稱f（x）為單函數．例如，函數f（x）=2x+1（x?R）是單函數．下列命題：①函數f（x）=x（x?R）是單函數； 2

?f（x2）； ②若f（x）為單函數，x1，x2?A且x1?x2，則f（x1）

③若f：A?B為單函數，則對于任意b?B，它至多有一個原象；④函數f（x）在某區間上具有單調性，則f（x）一定是單函數．其中的真命題是（寫出所有真命題的編號）

答案：②③④

解析 ：①錯，?x1??x2，②③④正確

12.（山東理15）設函數f(x)?x(x?0)x?2,觀察:

f1(x)?f(x)?x,x?2

f2(x)?f(f1(x))?

f3(x)?f(f2(x))?x,3x?4 x,7x?8

f4(x)?f(f3(x))?x,15x?16

??

根據以上事實，由歸納推理可得：

?當n?N且n?2時，fn(x)?f(fn?1(x))?.x

nn(2?1)x?2【答案】

13.（陜西理13）觀察下列等式

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

??

照此規律，第n個等式為。

【答案】n?(n?1)?(n?2)???(3n?2)?(2n?1)

第三篇：高考文科數學試題分類—推理與證明

高中數學

高考文科試題解析分類匯編：推理和證明

1.【高考全國文12】正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，1AE?BF?。動點P從E出發沿直線向F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反3

射角等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數為

（A）8（B）6（C）4（D）3

1151?2?3?，233

11151?2?2?2? 2343……

照此規律，第五個不等式為.．．．

高中數學

【答案】1?

1111111?????.22324252626

1，【解析】觀察不等式的左邊發現，第n個不等式的左邊=1?1?1???

2232?n?1?

右邊=

11111112?n?1??1，所以第五個不等式為1?2?2?2?2?2?．

234566n?1

?

5.【高考湖南文16】對于n?N，將n表示為n?ak?2k?ak?1?2k?1???a1?21a0?20,當i?k時ai?1，當0?i?k?1時ai為0或1，定義bn如下：在n0,a1，a2，…，ak中等于1的個數為奇數時，bn=1；否則bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）記cm為數列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0cm是___.【答案】（1）3；（2）2.【解析】（1）觀察知1?a0?20,a0?1,b1?1；2?121?00,1?b2?1； 一次類推3?1?21?1?20,b3?0；4?1?2?0,5?1?22?0?21?1?20,b5?0；2?2106?0，b7?1,b8?1，b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm..6.【高考湖北文17】，…記為數列{an}，將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成{an}中的第______項；（Ⅱ）b2k-1。（用k表示）【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）

5k?5k?1?

n(n?1)，寫出其若2

【解析】由以上規律可知三角形數1,3,6,10,…,的一個通項公式為an?

干項有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,發現其中能被5整除的為10,15,45,55,105,110,故b1?a4,b2?a5,b3?a9,b4?a10,b5?a14,b6?a15.從而由上述規律可猜想：b2k?a5k?

5k(5k?1)

（k為正整數），2

(5k?1)(5k?1?1)5k(5k?1)

b2k?1?a5k?1??，22

故b2012?a2?1006?a5?1006?a5030,即b2012是數列{an}中的第5030項.【點評】本題考查歸納推理，猜想的能力.歸納推理題型重在猜想，不一定要證明，但猜想

需要有一定的經驗與能力，不能憑空猜想.來年需注意類比推理以及創新性問題的考查.質，并且，因此，不妨設112，由的定義，(A從)c而k(?1A)r(?1A),k?(A)k3k?1(A)?r1(A?2)c?(A ?)c?(A?)a(?b?(a?b?c?d?e?f)?(a?b?f)?a?b?f?3

因此k(A)?1，由（2）知，存在滿足性質P的數表A，使k(A)?1，故k(A)的最大值為知，1。

8.【高考福建文20】20.（本小題滿分13分）

某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數。（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

第四篇：2009年高考數學試題分類——推理與證明

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2009年高考數學試題分類匯編

推理與證明

1、(湖北卷理)10.古希臘人常用小石子在沙灘上擺成各種形狀來研究數。比如：

他們研究過圖1中的1，3，6，10，…，由于這些數能夠表示成三角形，將其稱為三角形數；類似的，稱圖2中的1，4，9，16，…這樣的數為正方形數。下列數中既是三角形數又是正方形數的是

A.289B.1024C.1225D.1378

10.【答案】C

【解析】【解析】由圖形可得三角形數構成的數列通項a?nn(n?1)，同理可得正方形數構

2n成的數列通項bn?n2，則由bn?n2(n?N?)可排除A、D，又由a?

數，故選C.n(n?1)知an必為奇

22、（江蘇卷）8.在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間內，若兩個正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為.【解析】 考查類比的方法。體積比為1：83、（北京卷理）14．已知數列{an}滿足：a4n?3?1,a4n?1?0,a2n?

a2009?________； ?則an,n?N,版權所有@高考資源網

a2014=_________.【答案】1，0

【解析】本題主要考查周期數列等基礎知識.屬于創新題型.依題意，得a2009?a4?503?3?1，a2014?a2?1007?a1007?a4?252?1?0.∴應填1，0.4、(湖南卷)

15、將正⊿ABC分割成n2（n≥2，n∈N）個全等的小正三角形（圖2，圖3分別給出了n=2,3的情形），在每個三角形的頂點各放置一個數，使位于⊿ABC的三遍及平行于某邊的任一直線上的數（當數的個數不少于3時）都分別一次成等差數列，若頂點A ,B ,C處的三個數互不相同且和為1,記所有頂點上的數之和為f(n)，則有f(2)=2，f(3)= 10，…，f(n)=

31(n+1)(n+2)6

15.【答案】：101,(n?1)(n?2)36

【解析】當n=3時，如圖所示分別設各頂點的數用小寫字母表示，即由條件知a?b?c?1,x1?x2?a?b,y1?y2?b?c,z1?z2?c?a

x1?x2?y1?y2?z1?z2?2(a?b?c)?2,2g?x1?y2?x2?z1?y1?z

26g?x1?x2?y1?y2?z1?z2?2(a?b?c)?2 即g?11110而f(3)?a?b?c?x1?x2?y1?y2?z1?z2?g?1??? 3233

進一步可求得f(4)?5。由上知f(1)中有三個數，f(2)中 有6個數，f(3)中共有10個數相加，f(4)中有15個數相加….，若f(n?1)中有an?1(n?1)個數相加，可得f(n)中有(an?1?n?1)個數相加，且由

363?331045f(1)?1?,f(2)???f(1)?,f(3)??f(2)?,f(4)?5?f(3)?,...3333333

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n?1,所以 3

n?1n?1nn?1nn?13f(n)?f(n?1)??f(n?2)???...?????f(1)3333333

n?1nn?13211??????(n?1)(n?2)=3333336可得f(n)?f(n?1)?

5、(浙江卷)15．觀察下列等式：

1C5?C55?23?2，159C9?C9?C9?27?23，15913C13?C13?C13?C13?211?25，159C1C1?3C7?C1?7C?17171715?217?2，………

由以上等式推測到一個一般的結論：

1594n?1對于n?N，C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?． *

答案：24n?1???1?22n?1

nn【解析】這是一種需類比推理方法破解的問題，結論由二項構成，第二項前有??1?，二項指

數分別為24n?n1?,，2

n因此對于n?N*，1594n?124n?1???1?22n?1 C4n?1?C4n?1?C4n?1???C4n?1?

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第五篇：14、2012文科數學試題分類--推理和證明

2012高考文科試題解析分類匯編：推理和證明

1.【2012高考全國文12】正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，AE?BF?1。3動點P從E出發沿直線向F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射角等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數為

（A）8（B）6（C）4（D）

32.【2012高考上海文18】若Sn?sin

個數是（）

A、16B、72C、86D、100

3.【2012高考江西文5】觀察下列事實|x|+|y|=1的不同整數解（x,y）的個數為4，|x|+|y|=2的不同整數解（x,y）的個數為8，|x|+|y|=3的不同整數解（x,y）的個數為12 ….則|x|+|y|=20的不同整數解（x，y）的個數為

A.76B.80C.86D.9

24.【2012高考陜西文12】觀察下列不等式 ?7?sin2?n???...?sin（n?N），則在S1,S2,...,S100中，正數的77

13? 222

1151?2?3?，23

311151?2?2?2? 23431?

……

照此規律，第五個不等式為.．．．

5.【2012高考湖南文16】對于n?N，將n表示為n?ak?2k?ak?1?2k?1???a1?21?a0?20,當i?k時ai?1，當0?i?k?1時ai為0或1，定義bn如下：在n的上述表示中，當a0,a1，a2，…，ak中等于1的個數為奇數時，bn=1；否則bn=0.（1）b2+b4+b6+b8；

（2）記cm為數列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數，則cm的最大值是___.6.【2012高考湖北文17】傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上面畫點或用小石子表示數。他們研究過如圖所示的三角形數：

?

將三角形數1，3，6，10，…記為數列{an}，將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列

{bn}，可以推測：

（Ⅰ）b2012是數列{an}中的第______項；

（Ⅱ）b2k-1=______。（用k表示）

7.【2102高考北京文20】（本小題共13分）

滿足性質P：a，b，c，d，e，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0.記ri（A）為A的第i

行各數之和（i=1,2），Cj（A）為第j列各數之和（j=1，2，3）；記k（A）為|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。

對如下數表A，求k（A）的值

設數表A形如

其中-1≤d≤0，求k（A）的最大值；

（Ⅲ）對所有滿足性質P的2行3列的數表A，求k(A)的最大值。

8.【2102高考福建文20】20.（本小題滿分13分）

某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數。

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°

（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°

（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°

（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°

(Ⅰ)試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數

(Ⅱ)根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發現推廣位三角恒等式，并證明你的結論。

答案

BCB4、1?5k?5k?1?1111111?????

5、（1）3；（2）

26、（Ⅰ）5030；（Ⅱ）2222223456627、（1）因為r1(A)=1.2，r2(A)??1.2，c1(A)?1.1，c2(A)?0.7，c3(A)??1.8，所以k(A)?0.7

（2）r1(A)?1?2d，r2(A)??1?2d，c1(A)?c2(A)?1?d，c3(A)??2?2d.因為?1?d?0，所以|r|=|r2(A)|?d?0，|c3(A)|?d?0.所以k(A)?1?d?1.1(A)

當d?0時，k(A)取得最大值1.（3任意改變A的行次序或列次序，或把A中的每個數換成它的相反數，所得數表A仍滿足性質P，并且

k(A)?k(A*)，因此，不妨設r1(A)?0,c1(A)?0,c2(A)?0，由k(A)的定義知，k(A)?r1(A),k(A)?c1(A),k(A)?c2(A)，從而

3k(A)?r1(A)?c1(A)?c2(A)?(a?b?c)?(a?d)?(b?e)

?(a?b?c?d?e?f)?(a?b?f)?a?b?f?3

因此k(A)?1，由（2）知，存在滿足性質P的數表A，使k(A)?1，故k(A)的最大值為1。

1032020008、（I）選擇（2）：sin15?cos

15?sin15cos15?1?sin30? 2

432200（II）三角恒等式為：sin??cos(30??)?sin?cos(30??)? 4

0sin2??cos2(300??)?sin?cos(30??)

?sin??11??sin?)2?sin???sin?)22

333?sin2??cos2??4442