第一篇：2012年高考真題文科數學15：推理與證明

2012高考試題分類匯編：推理和證明

1.【2012高考全國文12】正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，1AE?BF?。動點P從E出發沿直線向F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射

3角等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數為

（A）8（B）6（C）4（D）3

【答案】B

2.【2012高考上海文18】若Sn?sin

中，正數的個數是（）

A、16B、72C、86D、100

【答案】C

3.【2012高考江西文5】觀察下列事實|x|+|y|=1的不同整數解（x,y）的個數為4，|x|+|y|=2的不同整數解（x,y）的個數為8，|x|+|y|=3的不同整數解（x,y）的個數為12 ….則|x|+|y|=20的不同整數解（x，y）的個數為

A.76B.80C.86D.92

【答案】B

4.【2012高考陜西文12】觀察下列不等式 ?7?sin2?n???...?sin（n?N），則在S1,S2,...,S10077

13? 222

1151?2?3?，233

11151?2?2?2? 23431?

……

照此規律，第五個不等式為.．．．

【答案】1?1111111?????.22324252626

高考湖南文16】對于

05.【2012n?N?，將n表示為?11n?ak?2k?ak?1?k2???a??2a?1?k時ai?1，,當i2當0?i?k?1時ai為0或1，定義bn如下：在n的上述表示中，當a0,a1，a2，…，ak中等于1的個數為奇數時，bn=1；否則bn=0.-1-

（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）記cm為數列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數，則cm的最大值是___.【答案】（1）3；（2）2.【點評】本題考查在新環境下的創新意識，考查運算能力，考查創造性解決問題的能力.需要在學習中培養自己動腦的習慣，才可順利解決此類問題.6.【2012高考湖北文17】傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上面畫點或用小石子表示數。他們研究過如圖所示的三角形數：

將三角形數1,3，6,10，…記為數列{an}，將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列{bn}，可以推測：

（Ⅰ）b2012是數列{an}中的第______項；

（Ⅱ）b2k-1=______。（用k表示）

【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）5k?5k?1? 2

7.【2102高考北京文20】（本小題共13分）

滿足性質P：a，b，c，d，e，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0.記ri（A）為A的第i行各數之和（i=1,2），Cj（A）為第j列各數之和（j=1，2，3）；記k（A）為|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。

對如下數表A，求k（A）的值

設數表A形如

其中-1≤d≤0，求k（A）的最大值；

（Ⅲ）對所有滿足性質P的2行3列的數表A，求k(A)的最大值。

【答案】

8.【2102高考福建文20】20.（本小題滿分13分）

某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數。

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°

（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°

（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°

（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°

Ⅰ 試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數

Ⅱ 根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發現推廣位三角恒等式，并證明你的結論。

【答案

】

第二篇：2007-2013年廣東省高考真題《推理與證明》文科

傾心教學2007年文科2007-2013年廣東省高考真題《推理與證明》文科

第10題．圖3是某汽車維修公司的維修點環形分布圖公司在年初分配給A、B、C、D四個維修點某種配件各50件．在使用前發現需將A、B、C、D四個維修點的這批配件分別調整為40、45、54、61件，但調整只能在相鄰維修點之間進行．那么要完成上述調整，最少的調動件次（n件配件從一個維修點調整到相鄰維修點的調動件次為n）為（）

A．18B．17

C．16D．15

【答案】C

2008年文科

2009年文科

第10題．廣州2010年亞運會火炬傳遞在A，B，C，D，E五個城市之間進行，各城市之間的路線距離（單位：百公里）見右表．若以A為起點，E為終點，每個城市經過且只經過一次，那么火炬傳遞的最短路線距離是（）

A．20.6B．21C．22D．23

【答案】B，由題意知，所有可能路線有6種：

①A?B?C?D?E，②A?B?D?C?E，③A?C?B?D?E，④A?C?D?B?E，⑤A?D?B?C?E，⑥A?D?C?B?E，其中，路線③A?C?B?D?E的距離最短，最短路線距離等于4?9?6?2?21．

第10題．在集合{a，b，c，d}上定義兩種運算?和?如下：

那么d?(a?c)?（）

A．aB．bC．cD．d

【答案】A

2011年文科

第10題．設f(x),g(x),h(x)是R上的任意實值函數．如下定義兩個函數?f?g??x?和?f?g??x?；對任意x?R，?f?g??x??f?g(x)?；?f?g??x??f?x?g(x)．則下列等式恒成立的是（）

A．??f?g??h??x????f?h???g?h??(x)B．??f?g??h??x????f?h???g?h??(x)C．??f?g??h??x????f?h???g?h??(x)D．??f?g??h??x????f?h???g?h??(x)

【答案】B，由題知?f?g??x?表示兩個函數復合，?f?g??x?表示兩個函數相乘，故

對A：左=??f?g??h??x?=f(g(x))h(x)，右=??f?h???g?h??(x)=(f(x)h(x))?(g(x)h(x))=(f(g(x)h(x))h(g(x)h(x)))，顯然不等，對B：左=((f?g)?h)(x)=f(h(x))g(h(x))，右=((f?h)?(g?h))(x)=(f?h)(x)(g?h)(x)=f(h(x))g(h(x))，顯然正確，對C：左=((f?g)?h)(x)=f(g(h(x)))，右=((f?h)?(g?h))(x)=f(h(g(h(x))))，顯然不等，對D：左=((f?g)?h)(x)=f(x)g(x)h(x)，右=((f?h)?(g?h))(x)=f(x)g(x)h(x)，顯然不等．

??????第10題．對任意兩個非零的平面向量?和?，定義????；若兩個非零的平面向量a,b滿足，a???

??????????n與b的夾角??(,)，且a?b,b?a都在集合?n?Z}中，則a?b?（）42?2

(A)1??(B)1(C)(D)2?

【答案】A

2013年文科

?

第三篇：2012年高考真題——文科數學(解析版)15：推理與證明

2012高考試題分類匯編：15：推理和證明

1.【2012高考全國文12】正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，1AE?BF?。動點P從E出發沿直線向F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反射

3角等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數為

（A）8（B）6（C）4（D）3

【答案】B

【解析】結合已知中的點E,F的位置，進行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關系，作圖，可以得到回到EA點時，需要碰撞6次即可.2.【2012高考上海文18】若Sn?sin

中，正數的個數是（）

A、16B、72C、86D、100

【答案】C

【解析】由題意可知，S13?S14=S27?S28=S41?S42=…=S97?S98=0，共14個，其余均為正數，故共有100-14=86個正數。

3.【2012高考江西文5】觀察下列事實|x|+|y|=1的不同整數解（x,y）的個數為4，|x|+|y|=2的不同整數解（x,y）的個數為8，|x|+|y|=3的不同整數解（x,y）的個數為12 ….則|x|+|y|=20的不同整數解（x，y）的個數為

A.76B.80C.86D.92

【答案】B

【解析】個數為首項為4，公差為4的等差數列，所以an?4?4(n?1)?4n，a20?80，選

B.4.【2012高考陜西文12】觀察下列不等式 ?7?sin2?n???...?sin（n?N），則在S1,S2,...,S10077

1?13? 222

1?115??，22333

11151?2?2?2? 2343

……

照此規律，第五個不等式為.．．．

【答案】1?

【解析】通過觀察易知第五個不等式為1?

5.【2012高考湖南文1111111?2?2?2?2?.22345661111111?????.2232425262616】對于

0n?N?，將n表示為?11n?ak?2k?ak?1?k2???a??2a?1?k時ai?1，,當i2當0?i?k?1時ai為0或1，定義bn如下：在n的上述表示中，當a0,a1，a2，…，ak中等于1的個數為奇數時，bn=1；否則bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）記cm為數列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數，則cm的最大值是___.【答案】（1）3；（2）2.【解析】（1）觀察知1?a0?20,a0?1,b1?1；2?1?21?0?20,a1?1,a0?0,b2?1； 一次類推3?1?21?1?20,b3?0；4?1?22?0?21?0?20,b4?1；

5?1?22?0?21?1?20,b5?0；6?1?22?1?21?0?20，b6?0，b7?1,b8?1，b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm的最大值為２.【點評】本題考查在新環境下的創新意識，考查運算能力，考查創造性解決問題的能力.需要在學習中培養自己動腦的習慣，才可順利解決此類問題.6.【2012高考湖北文17】傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上面畫點或用小石子表示數。他們研究過如圖所示的三角形數：

將三角形數1,3，6,10，…記為數列{an}，將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列{bn}，可以推測：

（Ⅰ）b2012是數列{an}中的第______項；

（Ⅱ）b2k-1=______。（用k表示）

5k?5k?1? 【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）2

【解析】由以上規律可知三角形數1,3,6,10,…,的一個通項公式為an?n(n?1)，寫出其若干2

項有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,發現其中能被5整除的為10,15,45,55,105,110,故b1?a4,b2?a5,b3?a9,b4?a10,b5?a14,b6?a15.從而由上述規律可猜想：b2k?a5k?5k(5k?1)（k為正整數），2

(5k?1)(5k?1?1)5k(5k?1)b2k?1?a5k?1??，22

故b2012?a2?1006?a5?1006?a5030,即b2012是數列{an}中的第5030項.【點評】本題考查歸納推理，猜想的能力.歸納推理題型重在猜想，不一定要證明，但猜想需要有一定的經驗與能力，不能憑空猜想.來年需注意類比推理以及創新性問題的考查.7.【2102高考北京文20】（本小題共13分）

記ri（A）為A的第i行各數之和（i=1,2），Cj（A）為第j列各數之和（j=1，2，3）；記k（A）為|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。

對如下數表A，求k（A）的值

設數表A形如

其中-1≤d≤0，求k（A）的最大值；

（Ⅲ）對所有滿足性質P的2行3列的數表A，求k(A)的最大值。

【答案】

8.【2102高考福建文20】20.（本小題滿分13分）

某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數。

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°

（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°

（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°

（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255°

Ⅰ 試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數

Ⅱ 根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發現推廣位三角恒等式，并證明你的結論。

【答案

】

第四篇：數學《推理與證明(文科)

！

文科數學《推理與證明》練習題

2013-5-10

1.歸納推理和類比推理的相似之處為（）

A、都是從一般到一般B、都是從一般到特殊C、都是從特殊到特殊D、都不一定正確

2.命題“有些有理數是無限循環小數，整數是有理數，所以整數是無限循環小數”是假命題，推理錯誤的原因是使用了（）

A．歸納推理B．類比推理C． “三段論”，但大前提錯誤D．“三段論”，但小前提錯誤

3.三角形的面積為S?1?a?b?c??r,a,b,c為三角形的邊長，r為三角形內切圓的半徑，利用類比推理，2可得出四面體的體積為（）

111abcB、V?ShC、V??S1?S2?S3?S4?r（S1,S2,S3,S4分別為四面體的四33

31個面的面積，r為四面體內切球的半徑）D、V?(ab?bc?ac)h,(h為四面體的高)3A、V?

4.當n?1，2，3，4，5，6時，比較2和n的大小并猜想（）

n2n2n2n2A.n?1時，2?nB.n?3時，2?nC.n?4時，2?nD.n?5時，2?n n

25.已知數列?an?的前n項和為Sn，且a1?1,Sn?n2an n?N，試歸納猜想出Sn的表達式為（）*

A、2n2n?12n?12nB、C、D、n?1n?1n?1n?

26.為確保信息安全，信息需加密傳輸，發送方由明文?密文（加密），接受方由密文?明文（解密），已知加密規則為：明文a,b,c,d對應密文a?2b,2b?c,2c?3d,4d，例如，明文1,2,3,4對應密文5,7,18,16．當接受方收到密文14,9,23,28時，則解密得到的明文為（）．

A． 4，6，1，7B． 7，6，1，4C． 6，4，1，7D． 1，6，4，7

7.有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內所有直線；已知直線b??平面?，直線a?平面?，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”的結論顯然是錯誤的，這是因為?

（）

A.大前提錯誤B.小前提錯誤C.推理形式錯誤D.非以上錯誤

8.下面使用類比推理恰當的是.①“若a·3=b·3,則a=b”類推出“若a·0=b·0，則a=b”

②“(a+b)c=ac+bc”類推出“a?bab=+” ccc

a?bab=+(c≠0)” ccc

nnn③“(a+b）c=ac+bc”類推出“nnn④“（ab）=ab”類推出“(a+b)=a+b”

9．“?AC,BD是菱形ABCD的對角線，?AC,BD互相垂直且平分。”補充以上推理的大前提是。

10．由①正方形的對角線相等；②平行四邊形的對角線相等；③正方形是平行四邊形，根據 “三段論”推理出一個結論，則這個結論是。

11.補充下列推理的三段論：

（1）因為互為相反數的兩個數的和為0，又因為a與b互為相反數且所以b=8.（2）因為又因為e?2.71828?是無限不循環小數，所以e是無理數．

12.在平面直角坐標系中，直線一般方程為Ax?By?C?0，圓心在(x0,y0)的圓的一般方程為(x?x0)2?(y?y0)2?r2；則類似的，在空間直角坐標系中，平面的一般方程為________________,球心在(x0,y0,z0)的球的一般方程為_______________________.13.在平面幾何里，有勾股定理：“設?ABC的兩邊AB、AC互相垂直，則AB?AC?BC。”拓展到空間，類比平面幾何的勾股定理，研究三棱錐的側面積與底面積間的關系，可以得妯的正確結論是：“設三棱錐A-BCD的三個側面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則”.14.從1=1，1?4??(1?2),1?4?9?1?2?3,1?4?9?16??(1?2?3?4)?，概括出第n個式子為．

15.對函數f(n),n?N*，若滿足f(n)??222?n?100??n?3，試由f?10?4,f?10?3和??????ffn?5n?100?

f?99?,f?98?,f?97?和f?96?的值，猜測f?2??f?31??16.若函數f(n)?k,其中n?N，k是??3.1415926535......的小數點后第n位數字，例

如f(2)?4，則f{f.....f[f(7)]}（共2007個f）17.設平面內有ｎ條直線(n?3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點．若用f(n)表示這ｎ條直線交點的個數，則f(4)=；當ｎ＞４時，f(n)＝（用n表示）.18.蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊

形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢，第二個圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規律，以f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數.則

f(4)=_____;f(n)=_____________．

19.在等差數列?an?中，若a10?0，則有等式a1?a2?????an?a1?a2?????a19?n(n?19,n?N?)成立，類比上述性質，相應地：在等比數列?bn?中，若b9?1，則有等式.：

20.某同學在電腦上打下了一串黑白圓，如圖所示，○○○●●○○○●●○○○?，按這種規律往下排，那么第36個圓的顏色應是.21.求垂直于直線2x?6y?1?0并且與曲線y?x?3x?5相切的直線方程

32322．已知函數f(x)?ax?3(a?2)x2?6x?3 2

（1）當a?2時，求函數f(x)極小值；

（2）試討論曲線y?f(x)與x軸公共點的個數。

《2.1合情推理與演繹推理》知識要點梳理

知識點一：推理的概念根據一個或幾個已知事實(或假設)得出一個判斷，這種思維方式叫做推理．從結構上說，推理一般由兩部分組成，一部分是已知的事實(或假設)叫做前提，一部分是由已知推出的判斷，叫做結論．

知識點二：合情推理根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）、實驗和實踐的結果、個人的經驗和直覺等，經過觀察、分析、比較、聯想、歸納、類比等推測出某些結果的推理過程。其中歸納推理和類比推理是最常見的合情推理。

1.歸納推理

（1）定義：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者由個別事實概括出一般結論的推理，稱為歸納推理（簡稱歸納）。

（2）一般模式：部分整體，個體一般

（3）一般步驟：

①通過觀察個別情況發現某些相同性質；

②從已知的相同的性質中猜想出一個明確表述的一般性命題；

③檢驗猜想.（4）歸納推理的結論可真可假

2.類比推理

（1）定義：由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）.（2）一般模式：特殊特殊

（3）類比的原則：可以從不同的角度選擇類比對象，但類比的原則是根據當前問題的需要，選擇恰當的類比對象.（4）一般步驟：

①找出兩類對象之間的相似性或一致性；

②用一類對象的已知特征去推測另一類對象的特征，得出一個明確的命題（猜想）；

③檢驗猜想.（5）類比推理的結論可真可假

知識點三：演繹推理

（1）定義：從一般性的原理出發，按照嚴格的邏輯法則，推出某個特殊情況下的結論的推理，叫做演繹推理.簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理．

（2）一般模式：“三段論”是演繹推理的一般模式，常用的一種格式

① 大前提——已知的一般原理；

② 小前提——所研究的特殊情況；

③ 結論——根據一般原理，對特殊情況作出的結論.（3）用集合的觀點理解“三段論”若集合的所有元素都具有性質，是的子集，那么中所有元素都具有性質

（4）演繹推理的結論一定正確

演繹推理是一個必然性的推理，因而只要大前提、小前提及推理形式正確，那么結論一定是正確的，它是完全可靠的推理。

合情推理與演繹推理（文科）答案

1——7.D C C D A C A8.③

9.菱形對角線互相垂直且平分。10.②③?①。11.（1）a=-8；（2）無限不循環小數都是無理數

12.Ax?By?Cz?D?0；(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?r2；

13.S?BCD?S?ABC?S?ACD?S?ABD；

14.122222?22?32?42???(?1)n?1?n2??(1?2?3???n)；

18．【解題思路】找出f(n)?f(n?1)的關系式 15.97，98；16.1；17.5； n+1）(n-2)；

[解析]f(1)?1,f(2)?1?6,f(3)?1?6?12,?f(4)?1?6?12?18?37

?f(n)?1?6?12?18???6(n?1)?3n2?3n?1

【名師指引】處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數據的關系.19.【解析】：在等差數列?an?中，由a10?0，得a1?a19?a2?a18???an?a20?n

?an?1?a19?n?2a10?0

所以a1?a2???an???a19?0即a1?a2???an??a19?a18???an?1

又?a1??a19,a2??a18,?a19?n??an?1

?a1?a2???an??a19?a18???an?1?a1?a2???a19?n

若a9?0，同理可得a1?a2??an?a1?a2???a17?n

相應地等比數列?bn?中，則可得：b1b2?bn?b1b2?b17?nn?17,n?N*

【點評】已知性質成立的理由是應用了“等距和”性質，故類比等比數列中，相應的“等距積”性質，即可求解。

20.白色

21.解：設切點為P(a,b)，函數y?x3?3x2?5的導數為y'?3x2?6x

切線的斜率k?y'|x?a?3a2?6a??3，得a??1，代入到y?x?3x?5

得b??3，即P(?1,?3)，y?3??3(x?1),3x?y?6?0??32

22．解：（1）a2f'(x)?3ax2?3(a?2)x?6?3a(x?)(x?1),f(x)極小值為f(1)?? 2a

2（2）①若a?0，則f(x)??3(x?1)，?f(x)的圖像與x軸只有一個交點；

②若a?0，?f(x)極大值為f(1)??a2?0，?f(x)的極小值為f()?0，2a

?f(x)的圖像與x軸有三個交點；

③若0?a?2，f(x)的圖像與x軸只有一個交點；

'2④若a?2，則f(x)?6(x?1)?0，?f(x)的圖像與x軸只有一個交點；

⑤若a?2，由（1）知f(x)的極大值為f()??4（點； 2a1323?)??0，?f(x)的圖像與x軸只有一個交a44

綜上知，若a?0,f(x)的圖像與x軸只有一個交點；若a?0，f(x)的圖像與x軸有三個交點。

第五篇：2012年高考真題文科數學解析分類15：推理與證明1

2012高考文科試題解析分類匯編：推理和證明

1.【2012高考全國文12】正方形ABCD的邊長為1，點E在邊AB上，點F在邊BC上，AE?BF?

13。動點P從E出發沿直線向F運動，每當碰到正方形的邊時反彈，反彈時反

射角等于入射角，當點P第一次碰到E時，P與正方形的邊碰撞的次數為

（A）8（B）6（C）4（D）

3【答案】B

【命題意圖】本試題主要考查了反射原理與三角形相似知識的運用。通過相似三角形，來確定反射后的點的落的位置，結合圖像分析反射的次數即可。

【解析】解：結合已知中的點E,F的位置，進行作圖，推理可知，在反射的過程中，直線是平行的，那么利用平行關系，作圖，可以得到回到EA點時，需要碰撞8次即可。

?2?n??...?sin2.【2012高考上海文18】若Sn?sin?sinn?N?），則在S1,S2,...,S100777

中，正數的個數是（）

A、16B、72C、86D、100

【答案】C

【解析】依據正弦函數的周期性，可以找其中等于零或者小于零的項.【點評】本題主要考查正弦函數的圖象和性質和間接法解題.解決此類問題需要找到規律，從題目出發可以看出來相鄰的14項的和為0，這就是規律，考查綜合分析問題和解決問題的能力.3.【2012高考江西文5】觀察下列事實|x|+|y|=1的不同整數解（x,y）的個數為4，|x|+|y|=2的不同整數解（x,y）的個數為8，|x|+|y|=3的不同整數解（x,y）的個數為12 ….則|x|+|y|=20的不同整數解（x，y）的個數為

A.76B.80C.86D.92

【答案】B

【解析】本題主要為數列的應用題，觀察可得不同整數解的個數可以構成一個首先為4，公差為4的等差數列，則所求為第20項，可計算得結果.4.【2012高考陜西文12】觀察下列不等式

1?

1?121

22??321

?532，?5

31?1

22?132?142

……

照此規律，第五個不等式為.．．．

【答案】1?

?

?

?

?

?

116

.【解析】觀察不等式的左邊發現，第n個不等式的左邊=1?1?1???

2?n?1??1n?1

?n?1?，右邊=5.【2012

k，所以第五個不等式為1?

?

?

?2

?

?

?

116

． 表示為

高考湖南文

k?1

16】對于

n?N，將n

n?ak?2?ak?1?2???a1?2?a0?2,當i?k時ai?1，當0?i?k?1時ai為0

或1，定義bn如下：在n的上述表示中，當a0,a1，a2，…，ak中等于1的個數為奇數時，bn=1；否則bn=0.（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）記cm為數列{bn}中第m個為0的項與第m+1個為0的項之間的項數，則cm的最大值是___.【答案】（1）3；（2）2.010【解析】（1）觀察知1?a0?2,a0?1,b1?1；2?1?2?0?2,a1?1,a0?0,b2?1；

10210

一次類推3?1?2?1?2,b3?0；4?1?2?0?2?0?2,b4?1；

5?1?2?0?2?1?2,b5?0；6?1?2?1?2?0?2，b6?0，b7?1,b8?1，210210

b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm的最大值為２.【點評】本題考查在新環境下的創新意識，考查運算能力，考查創造性解決問題的能力.需要在學習中培養自己動腦的習慣，才可順利解決此類問題.6.【2012高考湖北文17】傳說古希臘畢達哥拉斯學派的數學家經常在沙灘上面畫點或用小石子表示數。他們研究過如圖所示的三角形數：

將三角形數1,3，6,10，…記為數列{an}，將可被5整除的三角形數按從小到大的順序組成一個新數列{bn}，可以推測：

（Ⅰ）b2012是數列{an}中的第______項；（Ⅱ）b2k-1=______。（用k表示）【答案】（Ⅰ）5030；（Ⅱ）

5k?5k?1?

n(n?1)2

【解析】由以上規律可知三角形數1,3,6,10,…,的一個通項公式為an?，寫出其若

干項有：1,3,6,10,15,21,28,36,45,55,66,78,91,105,110,發現其中能被5整除的為10,15,45,55,105,110,故b1?a4,b2?a5,b3?a9,b4?a10,b5?a14,b6?a15.從而由上述規律可猜想：b2k?a5k?

b2k?1?a5k?1?

(5k?1)(5k?1?1)

?

5k(5k?1)

（k為正整數），5k(5k?1)，故b2012?a2?1006?a5?1006?a5030,即b2012是數列{an}中的第5030項.【點評】本題考查歸納推理，猜想的能力.歸納推理題型重在猜想，不一定要證明，但猜想需要有一定的經驗與能力，不能憑空猜想.來年需注意類比推理以及創新性問題的考查.7.【2102高考北京文20】（本小題共13分）設A是如下形式的2行3列的數表，滿足性質P：a，b，c，d，e，f∈[-1,1],且a+b+c+d+e+f=0.記ri（A）為A的第i行各數之和（i=1,2），Cj（A）為第j列各數之和（j=1，2，3）；記k（A）為|r1(A)|, |r2(A)|, |c1(A)|，|c2(A)|，|c3(A)|中的最小值。對如下數表A，求k（A）的值

設數表A形如

其中-1≤d≤0，求k（A）的最大值；

（Ⅲ）對所有滿足性質P的2行3列的數表A，求k(A)的最大值。

【考點定位】此題作為壓軸題難度較大，考查學生分析問題解決問題的能力，考查學生嚴謹的邏輯思維能力。

（1）因為r1(A)=1.2，r2(A)??1.2，c1(A)?1.1，c2(A)?0.7，c3(A)??1.8，所以

k(A)?0.7

（2）r1(A)?1?2d，r2(A)??1?2d，c1(A)?c2(A)?1?d，c3(A)??2?2d.因為?1?d?0，所以|r1(A)|=|r2(A)|?d?0，|c3(A)|?d?0.所以k(A)?1?d?1.當d?0時，k(A)取得最大值1.（3

任意改變A的行次序或列次序，或把A中的每個數換成它的相反數，所得數表A*仍滿足性

*

質P，并且k(A)?k(A)，因此，不妨設r1(A)?0,c1(A)?0,c2(A)?0，由k(A)的定義

知

3k，?1(A

k(?

A)(A?

r(?)c

A)?(A,k?，(A?)

c

從)

?(A

c而?)

a

(A

(?)kb)?r1

?(a?b?c?d?e?f)?(a?b?f)?a?b?f?3

因此k(A)?1，由（2）知，存在滿足性質P的數表A，使k(A)?1，故k(A)的最大值為1。

8.【2102高考福建文20】20.（本小題滿分13分）

某同學在一次研究性學習中發現，以下五個式子的值都等于同一個常數。（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin2（-18°）cos248°（5）sin2（-25°）+cos255°-sin2（-25°）cos255° Ⅰ 試從上述五個式子中選擇一個，求出這個常數

Ⅱ 根據（Ⅰ）的計算結果，將該同學的發現推廣位三角恒等式，并證明你的結論。

考點：三角恒等變換。難度：中。

分析：本題考查的知識點恒等變換公式的轉換及其應用。解答：

（I）選擇（2）：sin15?cos15?sin15cos15?1?

sin30?

（II）三角恒等式為：sin??cos(30??)?sin?cos(30??)?

sin??cos(30??)?sin?cos(30??)

?sin2???34sin??

234

??cos??

sin?)?sin?2

??

sin?)