第一篇：教材中一些定理的補充證明

人大龍永紅編的教材中有一些推導省略了，為便于同學的學習，現補充如下：

一、超幾何分布用二項分布做近似計算的證明：

M!

P?X?k??CMCN?M

CNnkn?k?k!?M?N?M?!?k?!?n?k?!?N?M?n?k?!.N!

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M!?N?k?.?N?k?1???N?n?1?

注：第二個分式即?M

?N?k?!N!，展開為n項的乘積，?k?！

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第三個分式即?M?!?k?！

?n?！，展開為?n?k?項的乘積。?N?M?n?k?!?N?N

k二．泊松定理的證明 b?k,n,pn??Cnpnk?1?

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第二篇：老教材定理與證明

----------[初中數學]---------

初中數學 經典教材系列 老人教版

定理與證明

教學目標

1使學生理解公理和定理的意義，并能對公理與定理加以區別

2使學生理解證明命題的思路、書寫的格式，使學生對幾何的重要內容之一——推理論證，有初步的認識，從而初步培養學生思維的條理性和邏輯性

教學重點和難點

重點是命題證明的一般步驟，難點是探索命題證明的思路以及思維方向

教學過程設計

一、復習命題，引入公理和定理

教師提問：學生思考后回答

1什么叫命題?請你說出一個數學命題

2什么叫真命題?什么叫假命題?請你分別舉出兩個實例

3在前面學過的真命題中，還有什么名稱?

當學生回答完第三個問題后，教師再問

4公理和定理有什么區別?

先由學生隨意回答，互相補充，然后教師與學生一起歸納總結

公理：它的正確性是人們長期實踐中總結出來并作為判定其它命題真假的根據 定理：它是正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理

用幻燈投影命題與公理等關系

命題

真命題假命題(只需舉一個反例)

公理(正確性由實踐總結)

定理(正確性由推理證實)

二、證明的意義、過程和步驟

1證明的意義

請證明以下命題：三個連續奇數的和是3的整數倍

問：請學生們思考，怎樣證明?

當三個連續奇數為3，5，7時，它們的和為3+5+7=15是3的整數倍，當三個數為7，8，9時，7+8+9=24，也對那么，我們能否這樣試下去，能不能通過試具體數的方法，證明這個命題是真命題不能，如何證明呢?

設n為整數,三個連續奇數為2n+1,2n+3,2n+5,它們的積為(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)=6n+9=3,因為n是整數,所以2n+3為整數,3(2 n+3)是3的整數倍。

這就是推理的過程

要判斷一個命題的真假，必須要有推理論證的過程，也叫證明只有證明，才能區分命題的真假，否則就會得出錯誤的結論證明的意義就在于此

再問：“兩個連續整數的平方差是一個奇數，這個命題是真還是假?怎樣證明，學生分組討論，選做出結果的同學板演或講解 證明：設n為整數，n+1，n為兩個連續整數

(n+1)2-n2=n2+2n+1-n2=2n+1，因為2n+1為奇數，所以得證

2命題證明的一般步驟

例求證：同角的余角相等

已知：如圖2—87，∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角

求證：∠2＝∠3

證明：因為∠2與∠1互為余角，(已知)

∠3與∠1互為余角，所以∠2+∠1＝90°，∠3+∠1＝90°(余角定義)

所以∠2+∠1＝∠3+∠1(等量代換)

則∠2＝∠3(等量減等量差相等)

同學總結步驟：

1審題：分清命題的“題設”和“結論”

2譯題：結合圖形中的字母及符號，寫出已知，求證

3想題：用“執因索果”(綜合法)；用“執果索因”(分析法)尋找論證推理的邏輯思路一般是把二者結合起來思考，效果較好，這也叫綜合分析法

4證題：從已知出發，每一步過程要有根據(定義，公理或定理)最后得到結論，全面推理過程要因果分明

三、命題證明的練習

1證明：“如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，這條直線也和另一條垂直” 教師指導學生，按證明命題的四步，邊講邊請學生回答如下問題：

(1)命題的“題設”和“結論”各是什么?學生回答后，教師板書：

已知：如圖2—88，a∥b，a⊥c，求證：b⊥c

(2)以上譯題時應注意：圖形盡量準確，圖中字母與譯文要一致，不能隨意添加或丟失條件或結論

(3)思維的邏輯路線是什么?

要證垂直，就是要證兩條直線相交成90°的角，由第一條直線a與c垂直成90°角又a∥b，同位角相等，所以a與c的交角也為90°，所以b⊥c

(4)證明過程中有幾對因果關系?(兩對)

請學生寫出證明過程，最好請兩名證明順序有所不同的學生到黑板上證，兩種順序如下證法

(一)：∵a⊥c，(已知)

∴∠1=90°(垂直的定義)

∵a∥b，(已知)

∴∠1=∠2，(兩直線平行，同位角相等)

∴∠2=90°，(等量代換)

∵b⊥c(垂直定義)

證法(二)：

∵a∥b，(已知)

∴∠1=∠2(兩直線平行，同位角相等)

∵a⊥c，(已知)

∴∠1=90°，(垂直定義)

∴∠2=90°，(等量代換)

∴b⊥c(垂直定義)

2證明：“垂直于同一直線的兩條直線平行”

教師給出命題后，讓學生每人都在筆記本上自己做，然后找妯兩個或三個學生，讓他們在黑板上寫出證明的過程在學生板演的過程中，教師提問：

(1)將此命題寫成“如果??，那么??”的形式“如果兩條直線都與第三條直線垂直，那么這兩條直線平行”

(2)已知，求證，及圖形的畫法，由學生分別寫出和畫出，并與板演的學生對照 已知：a⊥c，b⊥c，如圖2—89，求證：a∥b

(3)師生共同探索證題的思考過程，然后找一位學生板演

證明：∵a⊥c，(已知)

∴∠1＝90°(垂直定義)

∵b⊥c，(已知)

∴∠2＝90°(垂直定義)

∴∠1＝∠2，(等量代換)

∴a∥b(同位角相等，兩條直線平行)

以上過程也可以簡寫為：

∵a⊥c，b⊥c，∴∠1＝90°，∠2＝90°

(……)

四、總結

教師以提問形式，學生回答，教師糾正。

1命題，定理之間的關系是什么?(關系圖)

2公理的正確性怎樣判定?定理的正確性怎樣判定?

3假命題應怎樣判定?

4證明命題的一般步驟是什么?(審題、譯題、想題、證題)

五、作業

1將第一章的定理、公理整理出來，將第二章的定理、公理、整理出來。2復習證明命題的一般步驟。

3如圖2-90，已知：∠ABC=90°，∠1+∠C=90°，求證：∠C=∠2。

4如圖2-91，已知：∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求證：a∥b，c∥d。

5(選作題)

證明：

(1)13個同學中必有2個或2個以上的同學在同一個月份出生。

(2)初一年級共有400人，必有2個或2個以上的同學的生日是同一天。

(注：以上證明可用抽屜原則。詳細答案見“設計說明”。)

板書設計

定理與證明

一、公理與定理

三、證明練習

1公理例

12定理例

23關系圖

四、總結

二、證明命題

五、作業

1意義例：

2一般步驟

課堂教學設計說明

1本教案的教學時間為1課時45分鐘。

2關于真命題與定理的關系，可以告訴學生，在數學中經過推理論證是正確的真命題都可以作為定理。

2在前面的教學中，實際已經滲入了不少有關推理證明的問題，學生也已經熟悉。在這一節課中，對證明的過程再加以系統的總結和歸納，使學生在將來的證明中，書寫和思考更加規范和合理。

3本節的例題內容和作業內容都比較簡單。有些基礎較好的學校和班級還可以適當補充難度大一些的題目。如抽屜原則的習題和某些代數證明題。以下幾題可供參考：

(1)求證：對任意整數n，(n+5)-(n-3)(n+2)能被6整除。

(提示：化簡后原式=6(n+1))

(2)求證：任意兩個連續整數的平方差是一個奇數。

(3)求證：無論a取何值，代數式3(a-2)(a+2)+3(a+2)2-6a(a+2)的值永遠為0。4選作題答案：

(1)將12個月作為12個抽屜，13個學生當做13個蘋果，根據抽屜原則：把多于n個蘋果放到n個抽屜里，至少有一個抽屜有兩個或兩個以上的蘋果，則13個同學中必有2個或2個以上的同學在同一個月份出生。

(2)一年365天看作365個抽屜，400個同學為400個蘋果。

由抽屜原則可得到答案。

第三篇：正弦定理教材分析

《正弦定理》教材分析

一、內容結構

（1）正弦定理是高中新教材人教A版必修⑤第一章第一節第一部分的內容。本節旨在基于高二已學的三角知識，通過對三角形邊

角關系的研究，發現并掌握三角形中的邊長與角度之間數量關

系，引出正弦定理。

（2）一個三角形，有六個元素：三個角三條邊。知道其中的幾個元

素求其它元素的過程，即為解三角形。由于三角形內角和為180

度，故而只需建立二邊二角的關系，就能解決所有解三角形的問題。而其中二邊二角的關系即為正弦定理。這個過程是對三

角知識的應用；也是對初中解直角三角形內容的直接延伸。

（3）教材證明正弦定理時，應用了前面所學“正弦函數定義”的知

識，很好的解決了“已知兩角一邊或兩邊一角求其他邊角”的問題。教材的編排循序漸進，有效的把所學知識融會貫通，使

學生更容易接收。

（4）正弦定理本身的應用十分廣泛，同學們在下一節中即將學習領

悟到。因此做好該節內容的教學，使學生通過對任意三角形中

正余弦定理的探索、發現和證明，感受“類比--猜想--證明”的科學研究問題方法，體會由“定性研究到定量研究”這種數

學思想，對于下一節內容的學習有極大的幫助。

二、教學目標

1.知識與技能目標：

（1）引導學生發現正弦定理的內容，探索證明正弦定理的方法；

（2）掌握簡單運用正弦定理解三角形、初步解決與測量與幾何計算

有關的實際問題的方法。

2.過程與方法目標：

（1）通過對正弦定理的探究，培養學生發現數學規律的思維能力；

（2）通過對正弦定理的證明和應用，培養學生運用數形結合思想方

法的能力；

（3）通過對實際問題的探索，培養學生從數學角度觀察問題、提出

問題、分析問題、解決問題的能力；

3.情感態度與價值觀目標：

（1）通過學生自主探索、合作交流，親身體驗數學規律的發現，培

養學生勇于探索、善于發現、不畏艱辛的品質，增強學習的成功心理，激發學習數學的興趣。

（2）通過本節學習和運用實踐，體會數學的科學價值、應用價值，學習用數學的思維方式解決問題、認識世界，進而領會數學的人文價值、美學價值。

三、地位與作用

《新課程標準》要求通過本章學習，學生應當達到以下學習目標：

（1）通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理，并

能解決一些簡單的三角形度量問題。

（2）能夠熟練運用正弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計

算有關的生活實際問題。

利用正弦定理解三角形，可以把邊的關系轉化為角的關系，也可以把角的關系轉化為邊的關系，避免了許多繁雜的運算，從而使許多復雜的問題得以解決。

四、教學建議

1.創造性使用教材。

數學教學的核心是學生的“再創造”，新課標提倡教師創造性地使用教材。本節課的教學，應該從問題情境做引入，通過對數學實驗的操作，使學生領悟證明方法。教師可以對教材作一定程度的調整和拓展，使其更符合學生的思維習慣和認知水平，使學生在知識的形成過程、發展過程中展開思維，發展了學生的能力。

2.深刻挖掘教材。

深刻挖掘教材中體現的數學思想。作為教師，首先一定要清楚正弦定理在解三角形思維體系中的地位與作用，引導學生發現三角形的6個元素知三求三的所有情況；使學生理解需要已知哪些量，就可以解決所有關于三角形的所有問題。

這樣做的好處是：

（1）使學生知道建立正弦定理的必要性、合理性和重要性，幫助學

生建構數學知識；

（2）提煉數學思想，提高學生解決問題的能力；

（3）在解決三角形的實際問題時，讓學生知道要測量出什么量，才

能計算出所的要求的量實際問題。

3.從學生的角度出發設計課堂。

從學生的角度出發設計課堂，從有利于學生主動探索設計數學情境。新課標指出：學生的數學學習內容應當是現實的、有趣的和富有挑戰性的。從心理學的角度看，青少年有一種好奇的心態、探究的心理。因此，課堂設計要緊緊地抓住高二學生的這一特征，利用“正弦定理的發現和證明”這一富有挑戰性和探索性的材料，精心設計教學情境，使學生在觀察、實驗、猜想、驗證、推理等活動中，逐步形成創新意識。

第四篇：正弦定理證明

新課標必修數學5“解三角形”內容分析及教學建議

江蘇省錫山高級中學楊志文

新課程必修數學5的內容主要包括解三角形、數列、不等式。這些內容都是高中數學中的傳統內容。其中“解三角形”既是高中數學的基本內容，又有較強的應用性。在歷次教材改革中都作為中學數學中的重點內容，一直被保留下來。在這次新課程改革中，新普通高中《數學課程標準》（以下簡稱《標準》）與原全日制普通高級中學《數學教學大綱》（以下簡稱《大綱》）相比，“解三角形”這塊內容在安排順序上進行了新的整合。本文就《標準》必修模塊數學5第一部分“解三角形”的課程內容、教學目標要求、課程關注點、內容處理上等方面的變化進行簡要的分析，并對教學中應注意的幾個問題談談自己的一些設想和教學建議，供大家參考。

一、《標準》必修模塊數學5中“解三角形”與原課程中“解斜三角形”的比較

1．課程內容安排上的變化

“解三角形”在原課程中為“解斜三角形”，安排在“平面向量”一章中，作為平面向量的一個單元。而在新課程《標準》中重新進行了整合，將其安排在必修模塊數學5中，獨立成為一章，與必修模塊數學4中的“平面向量”分別安排在不同的模塊中。

2．教學要求的變化

原大綱對“解斜三角形”的教學要求是：

（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能運用它們解斜三角形，能利用計算器解決解斜三角形的計算問題。

（2）通過解三角形的應用的教學，提高運用所學知識解決實際問題的能力。

（3）實習作業以測量為內容，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力和實際操作的能力。《標準》對“解三角形”的教學要求是：

（1）通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。

（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。由此可以看出，《標準》在計算方面降低了要求，取消了“利用計算器解決解斜三角形的計算問題”的要求，而在探索推理方面提高了要求，要求“通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。

3、課程關注點的變化

原《大綱》中，解斜三角形內容，比較關注三角形邊角關系的恒等變換，往往把側重點放在運算上。而《標準》則關注運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。側重點放在學生探究和推理能力的培養上。

4、內容處理上的變化

原《大綱》中，解斜三角形作為平面向量知識的應用，突出其工具性和應用性。而《標準》將解三角形作為幾何度量問題來處理，突出幾何的作用，為學生理解數學中的量化思想、進一步學習數學奠定基礎。解三角形處理的是三角形中長度、角度、面積的度量問題，長度、面積是理解積分的基礎，角度是刻畫方向的，長度、方向是向量的特征，有了長度、方向，向量的工具自然就有用武之地。

二、教學中應注意的幾個問題及教學建議

原《大綱》中解斜三角形的內容，比較關注三角形邊角關系的恒等變換，往往把側重點放在運算上。而《標準》將解三角形作為幾何度量問題來展開，強調學生在已有知識的基礎上，通過對任意三角形邊角關系的探究，發現并掌握三角形中的邊長與角度之間的數量關系，解決簡單的三角形度量問題。這就要求在教學過程中，突出幾何的作用和數學量化思想，發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的探究過程、再創造過程。因此在教學中應注意以下幾個問題。

1．要重視探究和推理

《標準》要求“通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。因此建議在教學中，既要重視從特殊到一般的探索學習過程的教學，又要重視數學的理性思維的培養。教學中不要直接給出定理進行證明，可通過學生對三角形邊與角的正弦的測量與計算，研究邊與其對角的正弦之間的比，揭示它們在數量上的規律，發現正弦定理的結論，然后再從理論上進行論證，從而掌握正弦定理。從中體會發現和探索數學知識的思想方法。

參考案例：正弦定理的探索、發現與證明

教學建議：建議按如下步驟設計教學過程：

(1)從特殊三角形入手進行發現

讓學生觀察并測量一個三角板的邊長。

提出問題：你能發現三邊長與其對角的正弦值之比之間的關系嗎？

例如，量得三角板三內角300，600，900所對的三邊長分別約為5cm，8.6cm，10cm，58.610，?10?10?10 000

sin30sin60sin90

abc

對于特殊三角形，我們發現規律：。??

sinAsinBsinC

則有：

提出問題：上述規律，對任意三角形成立嗎？(2)實驗，探索規律

二人合作，先在紙上做一任意銳角（銳角或鈍角）三角形，測量三邊長及其三個對角，然后用計算器計算每一邊與其對角正弦值的比，填入下面表中，驗證前面得出的結論是否正確。（其中，角精確到分，忽略測量誤差，通過實驗，對任意三角形，有結論：

abc，即在一個三角形中，??

sinAsinBsinC

各邊和它所對的角的正弦的比相等。

提出問題：上述的探索過程所得出的結論，只是我們通過實驗(近似結果)發現的一個結果，如果我們能在理論上證明它是正確的，則把它叫做正弦定理。那么怎樣證明呢？

(4)研究定理證明的方法方法一：（向量法）①若△ABC為直角三角形，由銳角三角函數的定義知，定理顯然成立。②若△ABC為銳角三角形，過點A做單位向量j垂直于AC，則向量j與向量的夾角為900-A，向

量j

與向量CB的夾角為900-C，（如圖1），且有：AC?CB?AB，所以j·(+)= j·即j·+ j· = j·AB 展開|j||AC|cos900+ | j||CB|cos(900-C)=| j|||cos(900-A)

ac

。?

sinAsinC

cbabc

同理，過點C做單位向量j垂直于,可得：，故有。???

sinCsinBsinAsinBsinC

③若△ABC為鈍角三角形，不妨設角A>900（如圖2），過點A做單位向量j垂直于AC，則向量j與

則得 a sinC = c sinA，即

向量AB的夾角為A-900，向量j與向量的夾角為900-C，且有：??，同樣可證得：

abc

。??

sinAsinB

提出問題：你還能利用其他方法證明嗎？

方法二：請同學們課后自己利用平面幾何中圓內接三角形（銳角，鈍角和直角）及同弧所對的圓周角相等等知識，將△ABC中的邊角關系轉化為以直徑為斜邊的直角三角形中去探討證明方法。

2．要重視綜合應用

《標準》要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。建議在正弦定理、余弦定理的教學中，設計一些關于正弦定理、余弦定理的綜合性問題，提高學生綜合應用知識解決問題的能力。如可設計下面的問題進行教學：

參考案例：正弦定理、余弦定理的綜合應用 C 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD?CD，AD=10，AB=14，?BDA=60?，?BCD=135?.求BC的長.教學建議：

引導學生進行分析，欲求BC，需在△BCD中求解，∵?BCD=135?，?BDC=30?，∴需要求BD，而BD需在△ABD中求解.再引導學生將

A B

四邊形問題轉化為三角形問題，選擇余弦定理求BD，再由正弦定理

例2圖 求BC。

3．要重視實際應用

《標準》要求運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。因此建議在教學中，設計一些實際應用問題，為學生體驗數學在解決問題中的作用，感受數學與日常生活及與其他學科的聯系，培養學生的數學應用意識，提高學生解決實際問題的能力。在題目的設計中要注意對恒等變形降低要求，避免技巧性強的變形和繁瑣的運算。

參考案例：解三角形在實際中的應用

參考案例1．航海中甲船在A處發現乙船在北偏東45?，與A的距離為10海里的C處正以20海里/h的速度向南偏東75?的方向航行，已知甲船速度是203海里/h，問甲船沿什么方向，用多少時間才能與

乙船相遇？

教學建議：引導學生依據題意畫出示意圖，將實際問題轉化為解三角形問題。若設甲船與乙船經過t小時在B處相遇，構建?ACB，容易計算出AB?20海里,BC?20海里，根據余弦定理建立關于t的方程，求出t，問題就解決了。

答: 甲船沿北偏東75?的方向，經過0.5小時與乙船相遇.參考案例2．為了測量某城市電視塔的高度，在一條直道上選 擇了A，B，C三點，使AB?BC?60m，在A，B，C三點

?

?

?

例1圖 DA 觀察塔的最高點，測得仰角分別為45，54.2，60，若測量 E

者的身高為1.5m，試求電視塔的高度(結果保留1位小數).F 教學建議：引導學生依據題意畫出示意圖如圖，將實際問題轉化為

解三角形問題。要求電視塔的高度。只要求出DE的長。將問題中的已

知量、未知量集中到有關三角形中，構造出解三角形的數學模型。在例2圖 ?ACE中和?BCE中應用余弦定理，使問題獲得解決.答: 電視塔的高度約為158.3m.4．要重視研究性學習

解三角形的內容有較強的應用性和研究性，可為學生提供豐富的研究性素材。建議在教學內容的設計上探索開放，在教學形式上靈活多樣。可設計一些研究性、開放性的問題，讓學生自行探索解決。參考案例：研究性學習

課外研究題：將一塊圓心角為120?，半徑為20厘米的扇形鐵片裁成一塊矩形，請你設計裁法，使裁得矩形的面積最大?并說明理由．

教學建議：這是一個研究性學習內容，可讓學生在課外兩人一組合作完成，寫成研究報告，在習題課上讓學生交流研究結果，老師可適當進行點評。

參考答案：這是一個如何下料的問題，一般有如圖（1）、圖（2）的兩種裁法：即讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或讓矩形一邊與弦AB

平行。從圖形的特點來看，涉及到線段的長度和角度，將

這些量放置在三角形中，通過解三角形求出矩形的邊長，再計算出兩種方案所得矩形的最大面積，加以比較，就可以得出問題的結論．

NBB

PO圖（2）

QM

O圖（1）

按圖（1）的裁法:矩形的一邊OP在OA上，頂點M在圓弧上，設?MOA??，則：

時，Smax?200．

4按圖（2）的裁法: 矩形一邊PQ與弦AB平行，設?MOQ??，在?MOQ中，?OQM?90??30??120?，由正弦定理，得：

sin120?

又?MN?2OMsin(60???)?40sin(60???)，MQ?

20sin?

?

3sin?． 3

MP?20sin?,OP?20cos?，從而S?400sin?cos??200sin2?．即當??

?

∴S?MQ?MN?

sin?sin(60???)?cos(2??60?)?cos60?． 33

??

∴當??30?時，Smax?由于

400． 3

400平方厘米． ?200，所以用第二中裁法可裁得面積最大的矩形，最大面積為33

也可以建議學生在課外自行尋找研究性、應用性的題目去做，寫出研究或實驗報告，在學校開設的研究性學習課上進行交流，評價。

參考文獻：

①全日制普通高中級學《數學教學大綱》。人民教育出版社。2002年4 月。

②《普通高中數學課程標準（實驗））》。人民教育出版社。2003年4月第一次印刷。③《普通高中數學課程標準（實驗）解讀》。嚴士健 張奠宙王尚志等主編。江蘇教育出版社。2004年4月。

第五篇：原創正弦定理證明

1．直角三角形中：sinA=，sinB=，sinC=1

即c=

∴abc，c=，c=．sinAsinBsinCacbcabc== sinAsinBsinC

2．斜三角形中

證明一：（等積法）在任意斜△ABC當中

S△ABC=absinC?acsinB?bcsinA

兩邊同除以abc即得：

證明二：（外接圓法）

如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴aa??CD?2R sinAsinD

bc=2R，＝2R sinBsinC12121212abc== sinAsinBsinC

同理

證明三：（向量法）

?????過A作單位向量j垂直于AC

????????????由 AC+CB=AB

???????????????兩邊同乘以單位向量j 得 j?(AC+CB)=j?AB 則?+?=?

???????????????∴|j|?|AC|cos90?+|j|?|CB|cos(90??C)=| j|?|AB|cos(90??A)

∴asinC?csinA∴ac= sinAsinC

?????cbabc同理，若過C作j垂直于CB得： =∴== sinCsinBsinAsinBsinC

正弦定理的應用 從理論上正弦定理可解決兩類問題：

1．兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

2已知a, b和A, 用正弦定理求B時的各種情況

:

⑴若A為銳角時: ?a?bsinA無解??a?bsinA一解(直角)

??bsinA?a?b二解(一銳, 一鈍)?a?b一解(銳角)?

已知邊a,b和?A

a

無解a=CH=bsinA僅有一個解

CH=bsinA

?a?b無解⑵若A為直角或鈍角時:? ?a?b一解(銳角)