第一篇：圓冪定理及其證明

圓冪定理

圓冪的定義:一點P對半徑R的圓O的冪定義如下：OP?R

所以圓內的點的冪為負數，圓外的點的冪為正數，圓上的點的冪為零。圓冪定理是相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)以及他們推論的統稱。

（1）相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。

DA22PC

如圖，AB、CD為圓O的兩條任意弦。相交于點P，連接AD、BC，則∠D=∠B，∠A=∠C。所以△APD∽△BPC。所以 BAPPD??AP?BP?PC?PD PCBP（2）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓焦點的兩條線段長的比例中項。

TPAB

如圖，PT為圓切線，PAB為割線。連接TA，TB，則∠PTA=∠B（弦切角等于同弧圓周角）所以△PTA∽△PBT，所以

PTPA??PT2?PA?PB PBPT（3）割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D 則有

PA·PB=PC·PD。

DCPAB

這個證明就比較簡單了。可以過P做圓的切線，也可以連接CB和AD。證相似。存在：PA?PB?PC?PD 進一步升華（推論）：

過任意在圓O外的一點P引一條直線L1與一條過圓心的直線L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。則PA·PB=PC·PD。若圓半徑為r，則

PC?PD?(PO?R)?(PO?R)?PO2?R2?|PO2?R2|（一定要加絕對值，原因見下）為定值。這個值稱為點P到圓O的冪。（事實上所有的過P點與圓相交的直線都滿足這個值）

若點P在圓內，類似可得定值為R2?PO2?|PO2?R2|

故平面上任意一點對于圓的冪為這個點到圓心的距離與圓的半徑的平方差的絕 對值。（這就是“圓冪”的由來）

第二篇：4個圓冪定理及其證明

相交弦定理

如圖,⊙P中,弦AB,CD相交于點P,則AP·BP=CP·PD

證明：

連結AC，BD，由圓周角定理的推論，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD注：其逆定理可作為證明圓的內接三角形的方法.切割線定理

如圖，ABT是⊙O的一條割線，TC是⊙O的一條切線，切點為則TC2=TA·TB

證明：連接AC、BC

∵弦切角∠TCB對弧BC，圓周角∠A對弧BC

∴由弦切角定理，得 ∠TCB=∠A

又∠ATC=∠BTC

∴△ACT∽△CBT

∴AT:CT=CT:BT, 也就是CT2=AT·BT

弦切角定義：

頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角C，弦切角定理：

弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.定義弦切角定理：弦切角的度數等于它所夾的弧的圓心角的度數的一半.(弦切角就是切線與弦所夾的角）弦切角定理證明

證明：設圓心為O，連接OC，OB，OA。過點A作TP的平行線交BC于D，則∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB

切線長定理

從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角。

如圖中，切線長AC=AB。

∵∠ABO=∠ACO=90°

BO=CO=半徑

AO=AO公共邊

∴RtΔABO≌RtΔACO（HL）

∴AB=AC

∠AOB=∠AOC

∠OAB=∠OAC

割線定理

如圖，直線ABP和CDT是自點P引的⊙O的兩條割線，則PA·PB=PC·PD 證明:連接AD、BC

∵∠A和∠C都對弧BD

∴由圓周角定理，得 ∠A=∠C

又∵∠APD=∠CPB

∴△ADP∽△CBP

∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP

圓冪定理

圓冪定理是對相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論統一歸納的結果。

相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。

切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有 PA·PB=PC·PD。

統一歸納：過任意不在圓上的一點P引兩條直線L1、L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PA·PB=PC·PD。

第三篇：圓的定理及其證明

圓周角定理

內容：圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半。證明：

情況1：

如圖1，當圓心O在∠BAC的一邊上時，即A、O、B在同一直線上時：

圖1

∵OA、OC是半徑 解：∴OA=OC ∴∠BAC=∠ACO（等腰三角形底角相等）∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC 情況2：

如圖2,，當圓心O在∠BAC的內部時： 連接AO，并延長AO交⊙O于D

圖2

∵OA、OB、OC是半徑 解：∴OA=OB=OC ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等邊對等角）∵∠BOD、∠COD分別是△AOB、△AOC的外角

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和）∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC 情況3：

如圖3，當圓心O在∠BAC的外部時：

圖3

連接AO，并延長AO交⊙O于D連接OC,OB。解：∵OA、OB、OC、是半徑 ∴OA=OB=OC ∴∠BAD=∠ABO（等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）∵∠DOB、∠DOC分別是△AOB、△AOC的外角

∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和）∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和）∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC 圓心角等于180度的情況呢？

看情況1的圖，圓心角∠AOB=180度，圓周角是∠ACB，顯然因為∠OCA=∠OAC=∠BOC/2 ∠OCB=∠OBC=∠AOC/2 所以∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠AOC）/2=90度 所以2∠ACB=∠AOC 圓心角大于180度的情況呢？

看情況3的圖，圓心角是（360度-∠AOB），圓周角是∠ACB，只要延長CO交園于點D，由圓心角等于180度的情況可知∠ACD=∠ABD=90度 根據情況3同理可證：∠BOC=2∠BAC=2∠BDC 根據情況1和情況3同理可證：∠AOC=2∠ADC=2∠ABC 所以∠ACB+∠ADB=∠ACB+∠ADC+∠BDC=∠ACB+∠ABC+∠BAC=180度 即∠ACB=180度-∠ADB 由情況2可知：∠AOB=2∠ADB 所以360度-∠AOB=2（180度-∠ADB）=2∠ACB

切線長定理

內容：切線長定理，是初等平面幾何的一個定理。在圓中，在經過圓外一點的切線，這一點和切點之間的線段叫做這點到圓的切線長。它指出，從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等。證明：

欲證AC = AB，只需證△ABO≌ △ACO。

如圖，OC、OB為圓的兩條半徑，又∠ABO = ∠ACO=90° 在Rt△ABO和Rt△ACO中

∴Rt△ABO ≌ Rt△ACO（H.L）

∴AB=AC，且∠AOB=∠AOC，且∠OAB=∠OAC。[3]

弦切角定理

內容：弦切角的度數等于它所夾的弧所對的圓心角度數的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數。證明：

分三種情況

：

（1）圓心O在∠BAC的一邊AC上 ∵AC為直徑 ∴弧CmA=弧CA ∵弧CA為半圓, ∴弧CmA的度數為180° ∵AB為圓的切線 ∴∠CAB=90°

∴弦切角∠BAC的度數等于它所夾的弧的度數的一半（2）圓心O在∠BAC的內部.過A作直徑AD交⊙O于D,在優弧m所對的劣弧上取一點

E，連接EC、ED、EA。則 ∵弧CD=弧CD ∴∠CED=∠CAD ∵AD是圓O的直徑 ∴∠DEA=90° ∵AB為圓的切線 ∴∠BAD=90° ∴∠DEA=∠BAD ∴ ∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC 又∠CEA的度數等于弧CmA的度數的一半

∴弦切角∠BAC的度數等于它所夾的弧的度數的一半

（3）圓心O在∠BAC的外部 過A作直徑AD交⊙O于D，連接CD ∵AD是圓的直徑 ∴∠ACD=90° ∴∠CDA+∠CAD=90° ∵AB是圓O的切線 ∴∠DAB=90° ∴∠BAC+∠CAD=90° ∴∠BAC=∠CDA ∵∠CDA的度數等于弧CmA的度數的一半。

∴弦切角∠BAC的度數等于它所夾的弧的度數的一半。

切割線定理

內容：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。與圓相交的直線是圓的割線。切割線定理揭示了從圓外一點引圓的切線和割線時，切線與割線之間的關系。這是一個重要的定理，在解題中經常用到。

推論： 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。證明：

設ABP是⊙O的一條割線，PT是⊙O的一條切線，切點為T，則PT2=PA·PB。

圖1

證明：連接AT，BT。

∵ ∠PTB=∠PAT(弦切角定理)；∠APT=∠TPB(公共角)； ∴ △PBT∽△PTA(兩角對應相等，兩三角形相似)； ∴PB：PT=PT：AP； 即：PT2=PB·PA。

垂徑定理

內容：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。證明：

如圖，在⊙O中，DC為直徑，AB是弦，AB⊥DC于點E，AB、CD交于E，求證：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD 連接OA、OB分別交⊙O于點A、點B ∵OA、OB是⊙O的半徑 ∴OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 ∵AB⊥DC ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三線合一）

∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC

第四篇：圓的有關證明相關定理

平面幾何證明相關定理、題型及條件的聯想

一、平面幾何證明相關定理

1、平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段相等.推論1: 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊。

推論2: 經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰。

2、平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例。

3、相似三角形的性質定理：相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比；

相似三角形周長的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長比都等于相似比； 相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于相似比的平方；

4、直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項；

兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。

5、圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

圓心角定理：圓心角的度數等于它所對的弧的度數。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。

o推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑。

弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。

6、圓內接四邊形的性質定理與判定定理：

圓的內接四邊形的對角互補；圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角。如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓；

如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓。

7、切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑。

推論：經過圓心且垂直于切線的直線必經過圓心；經過切點且垂直于切線的直線必經過切點。

切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

8、相交弦定理：圓內兩條相交弦，被交點分成兩條線段長的積相等。

割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。

切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等；圓心和這點的連線平分兩條切線的夾角。

重要結論：經過不共線三點的圓有且只有一個

二、平面幾何證明問題形式及處理方向

1、線段等比式的證明——利用三角形相似證明

2、線段的等積式證明——轉化成等比式，利用三角形相似證明，或者等比中項式進行等量代換證明

3、等比中項式證明——可以通過三角形相似，切割線定理，直角三角形射影定理證明

4、線段相等證明——如果它們在一個三角形中，則證明它們所對的角相等，如果不在同一個三角形中，則通過等量代換證明即可

5、四點共圓的證明——證明四點形成的三角形對角互補或是證明該四邊形中同一條邊對應的兩個角相等

6、直線與圓相切的證明——連接圓心與直線與圓的交點，證明半徑與該直線垂直即可

7、角相等的證明——通過三角形相似證明或是等量代換證明

8、三角形相似的證明——通過證明兩個三角形中有兩組角對應相等或是一組角相等，且夾這個的兩邊對應成比例

三、平面幾何證明條件的發散思維

1、條件中有直徑——聯想——直徑所對的圓周角是直角，2、條件中的切線——聯想——切割線定理，弦切角定理，連接圓心與與切點，半徑與切線垂直

3、直角三角形斜邊上的高——聯想——直角三角形射影定理

4、條件中圓內接四邊形——聯想——圓內角四邊形對角互補，圓內接四邊形外角等于內對角

5、條件中弧相等——聯想——它們所對的圓周角相等

6、條件中線段相等——聯想——如果在同一個三角形中，則它們所對的角相等

第五篇：高中數學競賽的教案：平面幾何 第八講 圓冪定理（模版）

數學競賽輔導講稿—平面幾何

第八講

圓冪定理

一、知識要點：

1、相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。

即：如圖，PA·PC=PB·PD ACOBPD

2、切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓焦點的兩條線

段長的比例中項。即：如圖，PA2=PB·PC

CBAP

3、割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A、B、C、D，則有 PA·PB=PC·PD。

BAD

CP

二、要點分析：

1、相交弦定理、切割線定理和割線定理統稱為圓冪定理。其可統一地表示為：過定點的弦被該點內分（或外分）成的兩條線段的積為定值（該點到圓心的距離與圓的半徑的22平方差的絕對值），即PA?PB?定值（OP?r）

2、相交弦定理通常是通過相似三角形而得到的，所以，研究圓中一些線段的比例關系總離不開相似三角形。

3、相交弦定理揭示了與圓相關的線段的比例關系，應用較多，特別是在處理有關計算、作比例中項、證明角相等、四點共圓等問題時是重要的理論依據。數學競賽輔導講稿—平面幾何

三、例題講解：

例

1、已知：如圖，在?ABC中，AM、AD分別是其中線和角平分線，⊙ADM交AB于L,交AC于N,求證：BL=CN NLBMDAC

例

2、如圖，⊙O1與⊙O2相交于M、N,D是NM的延長線上的一點，O2O1延長線交⊙O1于B、A,AD交⊙O1于C,MN交O2O1、BC于E、G,求證：EM2=ED·EG DCAMGO1EBO2N 例

3、在Rt?ABC中，D在斜邊BC上，BD=4DC,一圓過點C，且與AC相交于F，與AB相切于AB的中點G,求證：AD⊥BF AFGDC B數學競賽輔導講稿—平面幾何

例

4、如圖，AB是⊙O中任意一弦，M為AB的中點，過M任作兩條弦CD、EF,連接CE、DF分別交AB于G、H,求證：MG=MH(蝴蝶定理)CAMGFHBDE

例

5、ABCD是圓內接四邊形，AC是圓的直徑，BD⊥AC,AC與BD的交點為E,點F在DA的延長線上，連接BF,點G在BA的延長線上，使得DG∥BF,點H在GF的延長線上,CH⊥GF,證明：B、E、F、H四點共圓。

GHFABDEC 數學競賽輔導講稿—平面幾何

第八講 圓冪定理練習

班級：_____________姓名：_________________

1、⊙O1與⊙O2外切于點P，過P的直線與⊙O1，⊙O2分別相交于點A、C,AB切⊙O2于B, ⊙O1與⊙O2的半徑分別是5、3，則AC：AB=____________.CPO2BO1A

2、如圖：⊙O與等邊?ABC交于點D、E、F、G、H、J,如果GF=13,FC=1,AG=2,HJ=7,那么DE=___________.AHGJFBDEC

?

3、如圖：在?ABC中，?BAC?90,D在BC上，F在AC上，G是AB的中點，且滿足AG2=AF·AC,BF⊥AD,則BD:DC=_____________.AFGCD B

4、AD、AE分別為?ABC的角平分線和中線，過點A、D、E的圓和AB、AC分別交于M、N，求證：BM=CN ANMBEDC 數學競賽輔導講稿—平面幾何

5、如圖，B是⊙O的切線PA的中點，過B引⊙O的割線與⊙O交于點D、C,PD的延長線交⊙O于E,PC交⊙O于F,求證：AP∥EF ABPOFCED

6、(1)、已知，如圖，四邊形ABCD內接于圓，求證：AB·DC+BC·AD=AC·BD DCAB

（2）、已知，如圖，在凸四邊形ABCD中，AB·DC+BC·AD=AC·BD，求證：四邊形ABCD為圓內接四邊形。

DCA

附加題： B

??y?1?x1、集合A={(x,y)?}的子集的個數為________ 2??y?1?xa?bb?cc?a，}，2、已知三個非零實數a,b,c,集合A={記x為集合A的所有元素之cab和，y為集合A的所有元素之積，若x?2y，則x?y的值是__________.3、集合A={1,3,5,7}，B={2,4,6,8,20},若C={S︱S=a+b,a∈A,b∈B},則集合C的元素個數為__________.