第一篇：各種圓定理總結

費爾巴赫定理

費爾巴赫定理 三角形的九點圓與內切圓內切，而與旁切圓外切。

此定理由德國數學家費爾巴赫（K·W·Feuerbach，1800—1834）于1822年提出。費爾巴赫定理的證明

在不等邊△ABC中,設O,H,I,Q,Ia分別表示△ABC的外心，垂心，內心，九點圓心和∠A所對的旁切圓圓心.s,R,r,ra分別表示△ABC的半周長，外接圓半徑，內切圓半徑和∠A所對的旁切圓半徑,BC=a,CA=b,AB=c.易得∠HAO=|B-C|,∠HAI=∠OAI=|B-C|/2;AH=2R*cosA,AO=R,AI=√[(s-a)bc/s],AIa=√[sbc/(s-a)] 在△AHI中，由余弦定理可求得: HI^2=4R^2+4Rr+3r^2-s^2;在△AHO中，由余弦定理可求得: HO^2=9R^2+8Rr+2r^2-2s^2;在△AIO中，由余弦定理可求得: OI^2=R(R-2r).∵九點圓心在線段HO的中點, ∴在△HIO中，由中線公式可求得.4IQ^2=2(4R^2+4Rr+3r^2-s^2)+ 2(R^2-2Rr)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)=(R-2r)^2 故IQ=(R-2r)/2.又△ABC的九點圓半徑為R/2, 所以九點圓與內切圓的圓心距為 d=R/2-r=(R-2r)/2=IQ.因此 三角形的九點圓與內切圓內切。在△AHIa中，由余弦定理可求得: IaH^2=4R^2+4Rr+r^2-s^2+2(ra)^2;在△AOIa中，由余弦定理可求得: IaO^2=R(R+2ra).在△HIaO中，由中線公式可求得.4IaQ^2=2(4R^2+4Rr+r^2-s^2+2ra^2)+2(R^2+2Rra)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)=(R+2ra)^2 故IaQ=(R+2ra)/2.九點圓與∠A的旁切圓的圓心距為 d=R/2+ra=(R+2ra)/2=IaQ.故三角形的九點圓與∠A的旁切圓外切。因此 三角形的九點圓與旁切圓外切

托勒密定理

一些圓定理.doc定理圖

定理的內容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。原文：圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等于 一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。從這個定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理實質上是關于共圓性的基本性質．

定理的提出

一般幾何教科書中的“托勒密定理”，實出自依巴谷(Hipparchus)之手，托勒密只是從他的書中摘出。

證明

一、（以下是推論的證明，托勒密定理可視作特殊情況。）

在任意四邊形ABCD中，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD

因為△ABE∽△ACD

所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD(1)

而∠BAC=∠DAE，∠ACB=∠ADE

所以△ABC∽△AED相似.BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD(2)

(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC

又因為BE+ED≥BD

（僅在四邊形ABCD是某圓的內接四邊形時，等號成立，即“托勒密定理”）

所以命題得證

復數證明

用a、b、c、d分別表示四邊形頂點A、B、C、D的復數，則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長度分別是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。首先注意到復數恒等式：(a ? b)(c ? d)+(a ? d)(b ? c)=(a ? c)(b ? d)，兩邊取模，運用三角不等式得。等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。四點不限于同一平面。平面上，托勒密不等式是三角不等式的反演形式。

二、設ABCD是圓內接四邊形。在弦BC上，圓周角∠BAC = ∠BDC，而在AB上，∠ADB = ∠ACB。在AC上取一點K，使得∠ABK = ∠CBD； 因為∠ABK + ∠CBK = ∠ABC = ∠CBD + ∠ABD，所以∠CBK = ∠ABD。因此△ABK與△DBC相似，同理也有△ABD ~ △KBC。因此AK/AB = CD/BD，且CK/BC = DA/BD； 因此AK·BD = AB·CD，且CK·BD = BC·DA； 兩式相加，得(AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA； 但AK+CK = AC，因此AC·BD = AB·CD + BC·DA。證畢。

三、托勒密定理：圓內接四邊形中，兩條對角線的乘積(兩對角線所包矩形的面積)等于兩組對邊乘積之和(一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和)．已知：圓內接四邊形ABCD，求證：AC·BD＝AB·CD＋AD·BC．

證明：如圖1，過C作CP交BD于P，使∠1=∠2，又∠3=∠4，∴△ACD∽△BCP．得AC：BC=AD：BP，AC·BP=AD·BC ①。又∠ACB=∠DCP，∠5=∠6，∴△ACB∽△DCP．得AC：CD=AB：DP，AC·DP=AB·CD ②。①＋②得 AC(BP＋DP)=AB·CD＋AD·BC．即AC·BD=AB·CD＋AD·BC．

推論

1.任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，當且僅當ABCD四點共圓時取等號。

2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，則這個凸四邊形內接于一圓、推廣

托勒密不等式：四邊形的任兩組對邊乘積不小于另外一組對邊的乘積，取等號當且僅當共圓或共線。

簡單的證明：復數恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d)，兩邊取模，得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD

注意：

1.等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，這與A、B、C、D四點共圓等價。

2.四點不限于同一平面。

歐拉定理：在一條線段上AD上，順次標有B、C兩點，則AD·BC+AB·CD=AC·BD

塞瓦定理

簡介

塞瓦（Giovanni Ceva，1648～1734）意大利水利工程師，數學家。塞瓦定理載于塞瓦于1678年發表的《直線論》一書，也有書中說塞瓦定理是塞瓦重新發現。

具體內容

塞瓦定理

在△ABC內任取一點O，直線AO、BO、CO分別交對邊于D、E、F，則(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

證法簡介

（Ⅰ）本題可利用梅涅勞斯定理證明：

∵△ADC被直線BOE所截，∴(CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ①

而由△ABD被直線COF所截，∴(BC/CD)*(DO/OA)*(AF/FB)=1②

②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1

（Ⅱ）也可以利用面積關系證明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤

③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點:

設三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據塞瓦定理逆定理，因為(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(BF*ctgA)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點。

可用塞瓦定理證明的其他定理;

三角形三條中線交于一點（重心）:如圖5 D , E分別為BC , AC 中點 所以BD=DC AE=EC 所以BD/DC=1 CE/EA=1

且因為AF=BF 所以 AF/FB必等于1 所以AF=FB 所以三角形三條中線交于一點

此外，可用定比分點來定義塞瓦定理：

在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是AL、BM、CN三線交于一點的充要條件是λμν=1。（注意與梅涅勞斯定理相區分，那里是λμν=-1）

塞瓦定理推論

1.設E是△ABD內任意一點，AE、BE、DE分別交對邊于C、G、F，則(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1

因為(BC/CD)*(DG/GA)*(AF/FB)=1，（塞瓦定理）所以(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=K（K為未知參數）且(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=K（K為未知參數）又由梅涅勞斯定理得：(BD/CD)*(CE/AE)*(AF/FB)=1

所以(BD/BC)*(CE/AE)*(GA/DG)=1

2.塞瓦定理角元形式

AD,BE,CF交于一點的充分必要條件是：

(sin∠BAD/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)=1

由正弦定理及三角形面積公式易證

3.如圖，對于圓周上順次6點A,B,C,D,E,F，直線AD,BE,CF交于一點的充分必要條件是：

(AB/BC)*(CD/DE)*(EF/FA)=1

由塞瓦定理的角元形式，正弦定理及圓弦長與所對圓周角關系易證。

4.還能利用塞瓦定理證三角形三條高交于一點

設三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F，根據塞瓦定理逆定 理，因為(AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/[(AE*ctgB)]=1，所以三條高CD、AE、BF交于一點。

梅涅勞斯定理

梅涅勞斯定理證明

梅涅勞斯（Menelaus）定理（簡稱梅氏定理）是由古希臘數學家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。或：設X、Y、Z分別在△ABC的BC、CA、AB所在直線上，則X、Y、Z共線的充要條件是(AZ/ZB)*(BX/XC)*(CY/YA)=

證明一：

過點A作AG∥BC交DF的延長線于G，則AF/FB=AG/BD , BD/DC=BD/DC , CE/EA=DC/AG。

三式相乘得：(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=(AG/BD)×(BD/DC)×(DC/AG)=1

證明二：

過點C作CP∥DF交AB于P，則BD/DC=FB/PF，CE/EA=PF/AF

所以有AF/FB×BD/DC×CE/EA=AF/FB×FB/PF×PF/AF=1

它的逆定理也成立：若有三點F、D、E分別在△ABC的邊AB、BC、CA或其延長線上，且滿足(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1，則F、D、E三點共線。利用這個逆定理，可以判斷三點共線。

梅涅勞斯(Menelaus)定理

證明三：

過ABC三點向三邊引垂線AA'BB'CC'，所以AD：DB=AA'：BB'，BE：EC=BB'：CC'，CF：FA=CC'：AA'

所以(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1

證明四：

連接BF。

（AD：DB）·（BE：EC）·（CF:FA)

=（S△ADF：S△BDF）·（S△BEF：S△CEF）·（S△BCF：S△BAF）

=（S△ADF：S△BDF）·（S△BDF：S△CDF）·（S△CDF：S△ADF）

=1

此外，用定比分點定義該定理可使其容易理解和記憶：

在△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線上分別取L、M、N三點，又分比是λ=BL/LC、μ=CM/MA、ν=AN/NB。于是L、M、N三點共線的充要條件是λμν=1。

第一角元形式的梅涅勞斯定理

如圖：若E，F，D三點共線，則

(sin∠ACF/sin∠FCB)(sin∠BAD/sin∠DAC)(sin∠CBA/sin∠ABE)=1

即圖中的藍角正弦值之積等于紅角正弦值之積

該形式的梅涅勞斯定理也很實用

第二角元形式的梅涅勞斯定理

在平面上任取一點O，且EDF共線，則（sin∠AOF/sin∠FOB)(sin∠BOD/sin∠DOC)(sin∠COA/sin∠AOE)=1。(O不與點A、B、C重合)

記憶

ABC為三個頂點，DEF為三個分點

(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1

（頂到分/分到頂）*（頂到分/分到頂）*（頂到分/分到頂）=1

空間感好的人可以這么記：（上1/下1）*（整/右）*（下2/上2）=1

實際應用

為了說明問題，并給大家一個深刻印象，我們假定圖中的A、B、C、D、E、F是六個旅游景點，各景點之間有公路相連。我們乘直升機飛到這些景點的上空，然后選擇其中的任意一個景點降落。我們換乘汽車沿公路去每一個景點游玩，最后回到出發點，直升機就停在那里等待我們回去。

我們不必考慮怎樣走路程最短，只要求必須“游歷”了所有的景點。只“路過”而不停留觀賞的景點，不能算是“游歷”。

例如直升機降落在A點，我們從A點出發，“游歷”了其它五個字母所代表的景點后，最終還要回到出發點A。

另外還有一個要求，就是同一直線上的三個景點，必須連續游過之后，才能變更到其它直線上的景點。

從A點出發的旅游方案共有四種，下面逐一說明：

方案 ① ——從A經過B（不停留）到F（停留），再返回B（停留），再到D（停留），之后經過B（不停留）到C（停留），再到E（停留），最后從E經過C（不停留）回到出發點A。

按照這個方案，可以寫出關系式：

（AF：FB）*（BD：DC）*（CE：EA）=1。

現在，您知道應該怎樣寫“梅涅勞斯定理”的公式了吧。

從A點出發的旅游方案還有：

方案 ② ——可以簡記為：A→B→F→D→E→C→A，由此可寫出以下公式：

（AB：BF）*（FD：DE）*（EC：CA）=1。從A出發還可以向“C”方向走，于是有：

方案 ③ —— A→C→E→D→F→B→A，由此可寫出公式：

（AC：CE）*（ED：DF）*（FB：BA）=1。從A出發還有最后一個方案：

方案 ④ —— A→E→C→D→B→F→A，由此寫出公式：

（AE：EC）*（CD：DB）*（BF：FA）=1。

我們的直升機還可以選擇在B、C、D、E、F任一點降落，因此就有了圖中的另外一些公式。

值得注意的是，有些公式中包含了四項因式，而不是“梅涅勞斯定理”中的三項。當直升機降落在B點時，就會有四項因式。而在C點和F點，既會有三項的公式，也會有四項的公式。公式為四項時，有的景點會游覽了兩次。

不知道梅涅勞斯當年是否也是這樣想的，只是列出了一兩個典型的公式給我們看看。

還可以從逆時針來看，從第一個頂點到逆時針的第一個交點比上到下一個頂點的距離，以此類推，可得到三個比例，它們的乘積為1.現在是否可以說，我們對梅涅勞斯定理有了更深刻的了解呢。那些復雜的相除相乘的關系式，不會再寫錯或是記不住吧。

西姆松定理

西姆松定理圖示

西姆松定理是一個幾何定理。表述為：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。

西姆松定理說明

相關的結果有：

（1）稱三角形的垂心為H。西姆松線和PH的交點為線段PH的中點，且這點在九點圓上。

（2）兩點的西姆松線的交角等于該兩點的圓周角。

（3）若兩個三角形的外接圓相同，這外接圓上的一點P對應兩者的西姆松線的交角，跟P的位置無關。

（4）從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。

證明

證明一： △ABC外接圓上有點P，且PE⊥AC于E，PF⊥AB于F，PD⊥BC于D，分別連DE、DF.易證P、B、F、D及P、D、C、E和A、B、P、C分別共圓，于是∠FDP=∠ACP ①，（∵都是∠ABP的補角）且∠PDE=∠PCE

② 而∠ACP+∠PCE=180°

③ ∴∠FDP+∠PDE=180°

④ 即F、D、E共線.反之，當F、D、E共線時，由④→②→③→①可見A、B、P、C共圓.證明二： 如圖，若L、M、N三點共線，連結BP，CP，則因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和

M、P、L、C分別四點共圓，有

∠PBN = ∠PLN = ∠PLM = ∠PCM.故A、B、P、C四點共圓。

若A、B、P、C四點共圓，則∠PBN = ∠PCM。因PL垂直于BC，PM垂直于AC，PN垂直于AB，有B、P、L、N和M、P、L、C四點共圓，有

∠PBN =∠PLN =∠PCM=∠PLM.故L、M、N三點共線。

相關性質的證明

連AH延長線交圓于G，連PG交西姆松線與R,BC于Q

如圖連其他相關線段

AH⊥BC,PF⊥BC==>AG//PF==>∠1=∠2

A.G.C.P共圓==>∠2=∠3

PE⊥AC,PF⊥BC==>P.E.F.C共圓==>∠3=∠4

==>∠1=∠4

PF⊥BC

==>PR=RQ

BH⊥AC,AH⊥BC==>∠5=∠6

A.B.G.C共圓==>∠6=∠7

==>∠5=∠7

AG⊥BC==>BC垂直平分GH

==>∠8=∠2=∠4

∠8+∠9=90,∠10+∠4=90==>∠9=∠10

==>HQ//DF

==>PM=MH

第二個問，平分點在九點圓上，如圖：設O,G,H 分別為三角形ABC的外心，重心和垂心。

則O是,確定九點圓的中點三角形XYZ的垂心，而G還是它的重心。

那么三角形XYZ的外心 O1，也在同一直線上，并且

HG/GO=GO/GO1=2，所以O1是OH的中點。

三角形ABC和三角形XYZ位似，那么它們的外接圓也位似。兩個圓的圓心都在OH上，并且兩圓半徑比為1:2

所以G是三角形ABC外接圓和三角形XYZ外接圓(九點圓)的“反”位似中心(相似點在位似中心的兩邊),H 是“正”位似中心(相似點在位似中心的同一邊)...所以H到三角形ABC的外接圓上的連線中點必在三角形DEF的外接圓上....圓冪定理

圓冪定理

圓冪定理是對相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論統一歸納的結果。

定義

圓冪=PO^2-R^2|

所以圓內的點的冪為負數，圓外的點的冪為正數，圓上的點的冪為零。

相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。

切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有 PA·PB=PC·PD。

統一歸納：過任意不在圓上的一點P引兩條直線L1、L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PA·PB=PC·PD。

進一步升華（推論）

過任意在圓O外的一點P引一條直線L1與一條過圓心的直線L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。則PA·PB=PC·PD。若圓半徑為r，則PC·PD=(PO-r)·(PO+r)=PO^2-r^2=|PO^2-r^2|（要加絕對值，原因見下）為定值。這個值稱為點P到圓O的冪。（事實上所有的過P點與圓相交的直線都滿足這個值）

若點P在圓內，類似可得定值為r^2-PO^2=|PO^2-r^2|

故平面上任意一點對于圓的冪為這個點到圓心的距離與圓的半徑的平方差，而過這一點引任意直線交圓于A、B，那么PA·PB等于圓冪的絕對值。（這就是“圓冪”的由來）

證明

圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定理)統一歸納為圓冪定理）

問題1

相交弦定理：圓內的兩條相交弦,被交點分成的兩條線段長的乘積相等。

證明：連結AC，BD，由圓周角定理的推論，得∠A=∠D，∠C=∠B。

∴△PAC∽△PDB，∴PA:PD=PC:PB，PA·PB=PC·PD

問題2

割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D 則有 PA·PB=PC·PD，當PA=PB，即直線AB重合，即PA切線時得到切線定理PA^2=PC·PD

證明：（令A在P、B之間，C在P、D之間）因為ABCD為圓內接四邊形，所以角CAB+角CDB=180度，又角CAB+角PAC=180度，所以角PAC=角CDB，又角APC公共，所以三角形APC與三角形DPB相似，所以PA/PD=PC/PB,所以PA*PB=PC*PD

切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項

幾何語言：∵PT切⊙O于點T，PBA是⊙O的割線

∴PT^2=PA·PB（切割線定理）

推論 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等

幾何語言：∵PBA、PDC是⊙O的割線

∴PD·PC=PA·PB（切割線定理推論）

問題3

過點P任作直線交定圓于兩點A、B，證明PA·PB為定值（圓冪定理）。

證：以P為原點，設圓的方程為

(x-xO)^2+(y-yO)^2=a①

過P的直線為

x=k1t

y=k2t

則A、B的橫坐標是方程

(k1t-xO)^2+(k2t-yO)^2=r^2

即

(k1^2+k2^2)t^2-2(k1xO+k2yO)t+xO^2+yO^2-r^2=0

的兩個根t1、t2。由韋達定理

t1t2=(xO^2+yO^2-^2)/(k1^2+k2^2)

于是

PA·PB=√((k1t1)^2+(k2t1)^2)√((k1t2)^2+(k2t2)^2)

=(√(k1^2+k2^2))^2|t1||t2|

=k1^2+k2^2|(xO^2+yO^2-r^2)/(k1^2+k2^2)|

=|(xO^2+yO^2-r^2)|

為定值，證畢。

圓①也可以寫成

x^2+y^2-2xOx-2yOy+xO^2+yO^2-a=0①′

其中a為圓的半徑的平方。所說的定值也就是（原點）與圓心O的距離的平方減去半徑的平方。當P在圓外時，這就是自P向圓所引切線（長）的平方。

這定值稱為點P到這圓的冪。

在上面證明的過程中，我們以P為原點，這樣可以使問題簡化。

如果給定點O，未必是原點，要求出P關于圓①的冪（即OP^2-r^2），我們可以設直線AB的方程為

②

③

是 的傾斜角，表示直線上的點與 的距離．

將②③代入①得

即，是它的兩個根，所以由韋達定理

④

是定值

④是 關于①的冪（當 是原點時，這個值就是）．它也可以寫成

④′

即 與圓心 距離的平方減去半徑的平方．

當P在圓內時，冪值是負值；P在圓上時，冪為0；P在圓外時，冪為正值，這時冪就是自P向圓所引切線長的平方。

以上是圓冪定理的證明，下面看一看它的應用．

問題4

自圓外一點 向圓引割線交圓于、兩點，又作切線、，、為切點，與 相交于，如圖８．求證、、成調和數列，即

證：設圓的方程為

⑤

點 的坐標為，的參數方程為

⑥

⑦

其中 是 的傾斜角，表示直線上的點 與 的距離．

⑥⑦代入⑤得

即、是它的兩個根，由韋達定理

⑧

另一方面，直線 是圓的切點弦，利用前邊的結論，的方程為

⑦⑧代入得

因此，這個方程的根 滿足

⑨

綜合⑧⑨，結論成立。

可以證明，當 在圓內時，上述推導及結論仍然成立。

說明：問題4的解決借用了問題3的方法，同時我們也看到了問題4與問題

1、問題2的內在聯系。

四點共圓

四點共圓-圖釋

如果同一平面內的四個點在同一個圓上，則稱這四個點共圓，一般簡稱為“四點共圓”。四點共圓有三個性質：（1）同弧所對的圓周角相等（2）圓內接四邊形的對角互補（3）圓內接四邊形的外角等于內對角 以上性質可以根據圓周角等于它所對弧的度數的一半進行證明。

四點共圓

證明四點共圓的基本方法

證明四點共圓有下述一些基本方法：

方法1

從被證共圓的四點中先選出三點作一圓，然后證另一點也在這個圓上，若能證明這一點，即可肯定這四點共圓．

方法2

把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓．（若能證明其兩頂角為直角，即可肯定這四個點共圓，且斜邊上兩點連線為該圓直徑。）

方法3

把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓．

方法4

把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段，若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等，即可肯定這四點共圓；或把被證共圓的四點兩兩連結并延長相交的兩線段，若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等于自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積，即可肯定這四點也共圓．(根據托勒密定理的逆定理)

方法5

證被證共圓的點到某一定點的距離都相等，從而確定它們共圓．

上述五種基本方法中的每一種的根據，就是產生四點共圓的一種原因，因此當要求證四點共圓的問題時，首先就要根據命題的條件，并結合圖形的特點，在這五種基本方法中選擇一種證法，給予證明．

判定與性質：

圓內接四邊形的對角和為π,并且任何一個外角都等于它的內對角。

如四邊形ABCD內接于圓O，延長AB和DC交至E，過點E作圓O的切線EF，AC、BD交于P，則A+C=π，B+D=π，角DBC=角DAC（同弧所對的圓周角相等）。

角CBE=角ADE（外角等于內對角）

△ABP∽△DCP（三個內角對應相等）

AP*CP=BP*DP（相交弦定理）

四點共圓的圖片

EB*EA=EC*ED（割線定理）

EF*EF= EB*EA=EC*ED（切割線定理）

（切割線定理，割線定理，相交弦定理統稱圓冪定理）

AB*CD+AD*CB=AC*BD（托勒密定理Ptolemy）

證明四點共圓的原理

四點共圓

證明四點共圓基本方法：

方法1

把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓．

方法2

把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓．

四點共圓的判定是以四點共圓的性質的基礎上進行證明的。

四點共圓的定理：

四點共圓的判定定理：

方法1 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓．

（可以說成：若線段同側二點到線段兩端點連線夾角相等，那末這二點和線段二端點四點共圓）

方法2 把被證共圓的四點連成四邊形，若能證明其對角互補或能證明其一個外角等于其鄰補角的內對角時，即可肯定這四點共圓．

（可以說成：若平面上四點連成四邊形的對角互補或一個外角等于其內對角。那么這四點共圓）

反證法證明

現就“若平面上四點連成四邊形的對角互補。那末這四點共圓”證明如下（其它畫個證明圖如后）

已知：四邊形ABCD中，∠A+∠C=π

求證：四邊形ABCD內接于一個圓（A，B，C，D四點共圓）

證明：用反證法

過A，B，D作圓O，假設C不在圓O上，剛C在圓外或圓內，若C在圓外，設BC交圓O于C’，連結DC’，根據圓內接四邊形的性質得∠A+∠DC’B=π，∵∠A+∠C=π ∴∠DC’B=∠C

這與三角形外角定理矛盾，故C不可能在圓外。類似地可證C不可能在圓內。

∴C在圓O上，也即A，B，C，D四點共圓。

第二篇：圓的定理及其證明

圓周角定理

內容：圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半。證明：

情況1：

如圖1，當圓心O在∠BAC的一邊上時，即A、O、B在同一直線上時：

圖1

∵OA、OC是半徑 解：∴OA=OC ∴∠BAC=∠ACO（等腰三角形底角相等）∵∠BOC是△AOC的外角

∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC 情況2：

如圖2,，當圓心O在∠BAC的內部時： 連接AO，并延長AO交⊙O于D

圖2

∵OA、OB、OC是半徑 解：∴OA=OB=OC ∴∠BAD=∠ABO，∠CAD=∠ACO（等邊對等角）∵∠BOD、∠COD分別是△AOB、△AOC的外角

∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和）∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和）∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC 情況3：

如圖3，當圓心O在∠BAC的外部時：

圖3

連接AO，并延長AO交⊙O于D連接OC,OB。解：∵OA、OB、OC、是半徑 ∴OA=OB=OC ∴∠BAD=∠ABO（等腰三角形底角相等）,∠CAD=∠ACO(OA=OC）∵∠DOB、∠DOC分別是△AOB、△AOC的外角

∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和）∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等于兩個不相鄰兩個內角的和）∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC 圓心角等于180度的情況呢？

看情況1的圖，圓心角∠AOB=180度，圓周角是∠ACB，顯然因為∠OCA=∠OAC=∠BOC/2 ∠OCB=∠OBC=∠AOC/2 所以∠OCA+∠OCB=（∠BOC+∠AOC）/2=90度 所以2∠ACB=∠AOC 圓心角大于180度的情況呢？

看情況3的圖，圓心角是（360度-∠AOB），圓周角是∠ACB，只要延長CO交園于點D，由圓心角等于180度的情況可知∠ACD=∠ABD=90度 根據情況3同理可證：∠BOC=2∠BAC=2∠BDC 根據情況1和情況3同理可證：∠AOC=2∠ADC=2∠ABC 所以∠ACB+∠ADB=∠ACB+∠ADC+∠BDC=∠ACB+∠ABC+∠BAC=180度 即∠ACB=180度-∠ADB 由情況2可知：∠AOB=2∠ADB 所以360度-∠AOB=2（180度-∠ADB）=2∠ACB

切線長定理

內容：切線長定理，是初等平面幾何的一個定理。在圓中，在經過圓外一點的切線，這一點和切點之間的線段叫做這點到圓的切線長。它指出，從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等。證明：

欲證AC = AB，只需證△ABO≌ △ACO。

如圖，OC、OB為圓的兩條半徑，又∠ABO = ∠ACO=90° 在Rt△ABO和Rt△ACO中

∴Rt△ABO ≌ Rt△ACO（H.L）

∴AB=AC，且∠AOB=∠AOC，且∠OAB=∠OAC。[3]

弦切角定理

內容：弦切角的度數等于它所夾的弧所對的圓心角度數的一半，等于它所夾的弧所對的圓周角度數。證明：

分三種情況

：

（1）圓心O在∠BAC的一邊AC上 ∵AC為直徑 ∴弧CmA=弧CA ∵弧CA為半圓, ∴弧CmA的度數為180° ∵AB為圓的切線 ∴∠CAB=90°

∴弦切角∠BAC的度數等于它所夾的弧的度數的一半（2）圓心O在∠BAC的內部.過A作直徑AD交⊙O于D,在優弧m所對的劣弧上取一點

E，連接EC、ED、EA。則 ∵弧CD=弧CD ∴∠CED=∠CAD ∵AD是圓O的直徑 ∴∠DEA=90° ∵AB為圓的切線 ∴∠BAD=90° ∴∠DEA=∠BAD ∴ ∠CEA=∠CED+∠DEA=∠CAD+∠BAD=∠BAC 又∠CEA的度數等于弧CmA的度數的一半

∴弦切角∠BAC的度數等于它所夾的弧的度數的一半

（3）圓心O在∠BAC的外部 過A作直徑AD交⊙O于D，連接CD ∵AD是圓的直徑 ∴∠ACD=90° ∴∠CDA+∠CAD=90° ∵AB是圓O的切線 ∴∠DAB=90° ∴∠BAC+∠CAD=90° ∴∠BAC=∠CDA ∵∠CDA的度數等于弧CmA的度數的一半。

∴弦切角∠BAC的度數等于它所夾的弧的度數的一半。

切割線定理

內容：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。與圓相交的直線是圓的割線。切割線定理揭示了從圓外一點引圓的切線和割線時，切線與割線之間的關系。這是一個重要的定理，在解題中經常用到。

推論： 從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。證明：

設ABP是⊙O的一條割線，PT是⊙O的一條切線，切點為T，則PT2=PA·PB。

圖1

證明：連接AT，BT。

∵ ∠PTB=∠PAT(弦切角定理)；∠APT=∠TPB(公共角)； ∴ △PBT∽△PTA(兩角對應相等，兩三角形相似)； ∴PB：PT=PT：AP； 即：PT2=PB·PA。

垂徑定理

內容：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。證明：

如圖，在⊙O中，DC為直徑，AB是弦，AB⊥DC于點E，AB、CD交于E，求證：AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD= 弧BD 連接OA、OB分別交⊙O于點A、點B ∵OA、OB是⊙O的半徑 ∴OA=OB ∴△OAB是等腰三角形 ∵AB⊥DC ∴AE=BE，∠AOE=∠BOE（等腰三角形三線合一）

∴弧AD=弧BD，∠AOC=∠BOC ∴弧AC=弧BC

第三篇：圓冪定理及其證明

圓冪定理

圓冪的定義:一點P對半徑R的圓O的冪定義如下：OP?R

所以圓內的點的冪為負數，圓外的點的冪為正數，圓上的點的冪為零。圓冪定理是相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)以及他們推論的統稱。

（1）相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。

DA22PC

如圖，AB、CD為圓O的兩條任意弦。相交于點P，連接AD、BC，則∠D=∠B，∠A=∠C。所以△APD∽△BPC。所以 BAPPD??AP?BP?PC?PD PCBP（2）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓焦點的兩條線段長的比例中項。

TPAB

如圖，PT為圓切線，PAB為割線。連接TA，TB，則∠PTA=∠B（弦切角等于同弧圓周角）所以△PTA∽△PBT，所以

PTPA??PT2?PA?PB PBPT（3）割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D 則有

PA·PB=PC·PD。

DCPAB

這個證明就比較簡單了。可以過P做圓的切線，也可以連接CB和AD。證相似。存在：PA?PB?PC?PD 進一步升華（推論）：

過任意在圓O外的一點P引一條直線L1與一條過圓心的直線L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。則PA·PB=PC·PD。若圓半徑為r，則

PC?PD?(PO?R)?(PO?R)?PO2?R2?|PO2?R2|（一定要加絕對值，原因見下）為定值。這個值稱為點P到圓O的冪。（事實上所有的過P點與圓相交的直線都滿足這個值）

若點P在圓內，類似可得定值為R2?PO2?|PO2?R2|

故平面上任意一點對于圓的冪為這個點到圓心的距離與圓的半徑的平方差的絕 對值。（這就是“圓冪”的由來）

第四篇：4個圓冪定理及其證明

相交弦定理

如圖,⊙P中,弦AB,CD相交于點P,則AP·BP=CP·PD

證明：

連結AC，BD，由圓周角定理的推論，得∠A＝∠D，∠C＝∠B。∴△PAC∽△PDB，∴PA∶PD＝PC∶PB，PA·PB＝PC·PD注：其逆定理可作為證明圓的內接三角形的方法.切割線定理

如圖，ABT是⊙O的一條割線，TC是⊙O的一條切線，切點為則TC2=TA·TB

證明：連接AC、BC

∵弦切角∠TCB對弧BC，圓周角∠A對弧BC

∴由弦切角定理，得 ∠TCB=∠A

又∠ATC=∠BTC

∴△ACT∽△CBT

∴AT:CT=CT:BT, 也就是CT2=AT·BT

弦切角定義：

頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角C，弦切角定理：

弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角.定義弦切角定理：弦切角的度數等于它所夾的弧的圓心角的度數的一半.(弦切角就是切線與弦所夾的角）弦切角定理證明

證明：設圓心為O，連接OC，OB，OA。過點A作TP的平行線交BC于D，則∠TCB=∠CDA

∵∠TCB=90-∠OCD

∵∠BOC=180-2∠OCD

∴,∠BOC=2∠TCB

切線長定理

從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線，平分兩條切線的夾角。

如圖中，切線長AC=AB。

∵∠ABO=∠ACO=90°

BO=CO=半徑

AO=AO公共邊

∴RtΔABO≌RtΔACO（HL）

∴AB=AC

∠AOB=∠AOC

∠OAB=∠OAC

割線定理

如圖，直線ABP和CDT是自點P引的⊙O的兩條割線，則PA·PB=PC·PD 證明:連接AD、BC

∵∠A和∠C都對弧BD

∴由圓周角定理，得 ∠A=∠C

又∵∠APD=∠CPB

∴△ADP∽△CBP

∴AP:CP=DP:BP, 也就是AP·BP=CP·DP

圓冪定理

圓冪定理是對相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論統一歸納的結果。

相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。

切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有 PA·PB=PC·PD。

統一歸納：過任意不在圓上的一點P引兩條直線L1、L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PA·PB=PC·PD。

第五篇：圓的有關證明相關定理

平面幾何證明相關定理、題型及條件的聯想

一、平面幾何證明相關定理

1、平行線等分線段定理:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等,那么在其他直線上截得的線段相等.推論1: 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊。

推論2: 經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線平分另一腰。

2、平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。

推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例。

3、相似三角形的性質定理：相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比；

相似三角形周長的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長比都等于相似比； 相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等于相似比的平方；

4、直角三角形的射影定理：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上的射影的比例中項；

兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的比例中項。

5、圓周角定理：圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

圓心角定理：圓心角的度數等于它所對的弧的度數。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。

o推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90的圓周角所對的弦是直徑。

弦切角定理：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角。

6、圓內接四邊形的性質定理與判定定理：

圓的內接四邊形的對角互補；圓內接四邊形的外角等于它的內角的對角。如果一個四邊形的對角互補，那么這個四邊形的四個頂點共圓；

如果四邊形的一個外角等于它的內角的對角，那么這個四邊形的四個頂點共圓。

7、切線的性質定理：圓的切線垂直于經過切點的半徑。

推論：經過圓心且垂直于切線的直線必經過圓心；經過切點且垂直于切線的直線必經過切點。

切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

8、相交弦定理：圓內兩條相交弦，被交點分成兩條線段長的積相等。

割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等。

切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。

切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等；圓心和這點的連線平分兩條切線的夾角。

重要結論：經過不共線三點的圓有且只有一個

二、平面幾何證明問題形式及處理方向

1、線段等比式的證明——利用三角形相似證明

2、線段的等積式證明——轉化成等比式，利用三角形相似證明，或者等比中項式進行等量代換證明

3、等比中項式證明——可以通過三角形相似，切割線定理，直角三角形射影定理證明

4、線段相等證明——如果它們在一個三角形中，則證明它們所對的角相等，如果不在同一個三角形中，則通過等量代換證明即可

5、四點共圓的證明——證明四點形成的三角形對角互補或是證明該四邊形中同一條邊對應的兩個角相等

6、直線與圓相切的證明——連接圓心與直線與圓的交點，證明半徑與該直線垂直即可

7、角相等的證明——通過三角形相似證明或是等量代換證明

8、三角形相似的證明——通過證明兩個三角形中有兩組角對應相等或是一組角相等，且夾這個的兩邊對應成比例

三、平面幾何證明條件的發散思維

1、條件中有直徑——聯想——直徑所對的圓周角是直角，2、條件中的切線——聯想——切割線定理，弦切角定理，連接圓心與與切點，半徑與切線垂直

3、直角三角形斜邊上的高——聯想——直角三角形射影定理

4、條件中圓內接四邊形——聯想——圓內角四邊形對角互補，圓內接四邊形外角等于內對角

5、條件中弧相等——聯想——它們所對的圓周角相等

6、條件中線段相等——聯想——如果在同一個三角形中，則它們所對的角相等