第一篇：成功定理

成功定理

定律十：成功的機(jī)會總是屬于那些擁有“永遠(yuǎn)的正向思維”的人。

杯子里有半杯水。有人說：“還剩半杯水。”有人說：“只剩半杯水了。”一個是負(fù)向思維，一個是正向思維。沙子里混著金子。有人說：“金子里有沙子。”有人說：“沙子里有金子。” 一個是負(fù)向思維，一個是正向思維。

有些行業(yè)競爭無序。有人說：“競爭太混亂、太激烈，簡直沒法做。”有人說：“競爭無序說明大家的水平都不高，正是一統(tǒng)江山的大好時機(jī)。” 一個是負(fù)向思維，一個是正向思維。

所謂正向思維，就是當(dāng)大家看到困難的時候，你一定要看到機(jī)會。抓住了機(jī)會，困難可能就消失了。因此，成功的機(jī)會總是屬于那些擁有“永遠(yuǎn)的正向思維”的人。

成功者也有問題，但是他們的成功掩蓋了問題。我曾經(jīng)問很多人：“好市場問題多還是差市場問題多？”有些人回答：“好市場銷量大，當(dāng)然問題多。”我的回答是：“差市場的問題經(jīng)常被拿來小題大做，以證明市場差是有原因。所以差市場不是問題本身多，而是提出的問題多。當(dāng)你去做市場時，你是從抓機(jī)會入手還是從解決問題入手？”

定律十一：如果你是個幸運(yùn)的“倒霉蛋”，那么你可能“被迫成功”。

生物學(xué)家的研究已經(jīng)證明：動物在遇到危險時，才會做出超出極限的發(fā)揮。生物學(xué)家的結(jié)論是：成功屬于“倒霉蛋”。如果你總是遭遇“不幸”，比如總是分到最差的市場，享受的政策總是最差，那么，你在危急時刻超出正常能力的表現(xiàn)，可能使得你不得不成功。因此，面對不幸，不要總是抱怨，而要說：“讓我遇到不幸，真是太幸運(yùn)了。”

定律十二：有效工作比勤奮工作更重要。

普通人說：“我盡力了，我沒閑著，我對得起這份薪水。”聰明的業(yè)務(wù)員每天這樣問自己：“我今天的工作對銷量持續(xù)增長有貢獻(xiàn)嗎？”如果一名業(yè)務(wù)員的工作對銷量持續(xù)增長沒貢獻(xiàn)，他的勤奮又有何用？很多人的勤奮只是因?yàn)樽隽颂酂o效的事。

我把人分為兩類：一類創(chuàng)造價值，另一類制造成本。勤奮工作也許只會制造成本，有效工作才會創(chuàng)造價值。對那些在市場風(fēng)塵仆仆地跑市場的業(yè)務(wù)員，我經(jīng)常評價他們只是“對中國交通事業(yè)做出了最偉大的貢獻(xiàn)”，對企業(yè)卻在是制造成本。

定律十三：擁有“常識”或許能讓你成為普羅大眾中的一員，擁有“常理”才能讓你脫穎而出。

常識就是“公共知識”，“1＋1＝2”就是常識。常識只是讓你成為正常人，不會產(chǎn)生競爭力。

產(chǎn)品賣不動怎么辦？降價、做廣告。只要是一個健全的正常人都會這么想，因?yàn)檫@是常識。如果營銷就是這么簡單，營銷還是一門學(xué)問嗎？

常識會讓你進(jìn)入一個叫做“合成謬誤”的陷阱。下面這個故事就是“合成謬誤”：十個老翁相約喝酒，約定每人帶一壺酒，兌在一起喝。一個老翁想，如果其他人帶酒，我?guī)痪驼急阋肆藛幔磕侵蠹野选熬啤眱对谝黄饡r，他才知道其他老翁也是如法炮制。

最經(jīng)典的合成謬誤就是“豐收悖論”：一個農(nóng)民豐收了，收入會增加。當(dāng)所有農(nóng)民都豐收時，價格會下降，收入可能反而下降。合成謬誤反映在營銷上就是：率先做鋪貨的人成功了，大家都跟進(jìn)時只是找齊了。率先做終端的人成功了，大家跟風(fēng)時只是增加了成本而已……。你要成功，總得知道一點(diǎn)別人不知道的東西吧。有效的營銷辦法往往是“出乎意料之外，又在情理之中”，這要靠“常理”的推導(dǎo)。比如，一般人認(rèn)為“消費(fèi)者要買便宜的東西”，這是常識。而常理卻是“消費(fèi)者要買占便宜的東西”。

定律十四：如果你不能獨(dú)立完成任務(wù)，一定要學(xué)會搬救兵。

搬救兵不丟人，完不成任務(wù)才丟人。我仔細(xì)琢磨《西游記》，發(fā)現(xiàn)一個驚人的現(xiàn)象：《西游記》中的妖怪，沒幾個是孫悟空打死的。每當(dāng)孫悟空打不過妖怪時，他就騰云駕霧去搬救兵去了。現(xiàn)在，我不斷在各種場所傳播《西游記》告訴我們的一個道理：當(dāng)員工，要學(xué)孫悟空會搬救兵。當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)，要學(xué)觀音在關(guān)鍵時刻出手當(dāng)救兵。

誰是你的救兵？可以是你的上司、同事，也可以是你的朋友、恩師。

什么時候搬救兵？一定要到最關(guān)鍵的時候。救兵一出手，問題就解決了。

定律十五：如果你受過很多培訓(xùn)仍然進(jìn)步緩慢，不妨試試培訓(xùn)別人。

接受培訓(xùn)固然能讓你“站在巨人的肩膀上”，但培訓(xùn)別人才能讓你成為巨人。接受培訓(xùn)是效率最低的學(xué)習(xí)方式之一，而培訓(xùn)別人才是效率最高的學(xué)習(xí)方式。

要讓別人聽明白，你必須比別人更明白。給聽眾一瓢，自己必須有一桶。為了在講臺上不出丑，你必須拼命查資料。還沒開講，你已經(jīng)超越聽眾了。

順便提醒你一句：如果你想當(dāng)領(lǐng)導(dǎo)的話，一定要先學(xué)會培訓(xùn)別人。對于領(lǐng)導(dǎo)來說，培訓(xùn)無處不在。開會是培訓(xùn)，安排工作是培訓(xùn)，檢查工作是培訓(xùn)，總結(jié)是培訓(xùn)……

定律十六：每隔三年，你就要全面一遍自己的知識系統(tǒng)。如果你覺得自己經(jīng)驗(yàn)越來越豐富，你就快完蛋了。在這樣一個快速變化的時代，當(dāng)一種做法被總結(jié)成經(jīng)驗(yàn)時，就已經(jīng)或正在過時。看一看幾年前營銷界的風(fēng)云人物，還有幾個在風(fēng)頭浪尖上？

隨時準(zhǔn)備“清零”，快速更新自己的知識系統(tǒng)，是在營銷界混下去的不二法門。

定律十七：所謂職業(yè)生涯戰(zhàn)略，就是要做未來不后悔的事。

戰(zhàn)略不是不關(guān)心現(xiàn)在，而是讓現(xiàn)實(shí)的事具有未來意義。如果你不知道現(xiàn)在應(yīng)該做什么，不妨采用倒推法，按照你對未來的期望，倒推現(xiàn)在應(yīng)該做什么。

職場定律

定律十八：永遠(yuǎn)不要說自己老東家和老上司的壞話，哪怕他們真的一無是處。

人們沒有心思關(guān)心你與老東家和老上司的恩怨，但會關(guān)心你對待老東家和老上司的態(tài)度。如果你不斷訴說著老東家和老上司的壞話，人們可能會在心里說：“他們怎么會瞎了眼找上你。”如果你對所有服務(wù)過的企業(yè)和上司都不滿意，人們可能還會想：“你怎么這么有眼無珠，總是找不到好企業(yè)？”

人性的弱點(diǎn)就是“高估自己，低估別人”，這是煩惱的根源。同時，人們還容易“低估自己服務(wù)的企業(yè)”，這是因?yàn)槟愀菀卓吹狡髽I(yè)的陰暗面，而只看到其它企業(yè)的光明面。

定律十九：永遠(yuǎn)不要給上司提問答題，要給上司提供選擇題。

上司之所以需要你，不是為了讓你給他出難題，而是為了讓你幫助解決難題。所以，千萬不要給上司提“怎么辦”之類的問答題，即使要征詢上司的意見，也要多提選擇題，表明你已經(jīng)有選擇方案而不是不無所知。

定律二十：最好不要發(fā)牢騷，即使提意見也要保持“建設(shè)性心態(tài)”。

很多企業(yè)的銷售會都變成了業(yè)務(wù)員的牢騷會，常見的牢騷不外乎：“對手人質(zhì)量比我們好，對手人價錢比我們低，對手的政策比我們優(yōu)惠，對手的廣告力度比我們大。”遇到這種牢騷，如果上司回你一句“業(yè)務(wù)員的職責(zé)就是通過你的努力彌補(bǔ)產(chǎn)品的缺陷”，那已經(jīng)夠?qū)捜莸牧恕０焉纤救菒懒耍赡軙@樣回答你：“如果我的產(chǎn)品、價格、廣告、政策都比對手好，還要你們干什么？”

老實(shí)說，牢騷是一種不健康心態(tài)，或者叫消極心態(tài)。上司通常喜歡建設(shè)性心態(tài)面對問題的人，建設(shè)性心態(tài)就是“正視現(xiàn)實(shí)，立足解決問題”。所以，遇到問題要多提建議，少發(fā)牢騷。

定律二十一：老板和上司是業(yè)務(wù)員最重要的資源。業(yè)務(wù)員要學(xué)會管理上司和總部職能部門。

沒有老板和上司的支持，你將一無所成。每個人的權(quán)限都是有限的，只有老板的權(quán)限是無限的。

很多業(yè)務(wù)員覺得老板最“摳門”，其實(shí)老板最大的困惑是錢花不出去。老板不怕花錢，就怕花出去的錢收不回來，投入沒有產(chǎn)出。所以，笨蛋的業(yè)務(wù)員向老板和上司申請政策時總是愛“哭窮”：“如果再不支持，市場就完了。”老板想的卻是：“支持？也許這是個無底洞。”聰明的業(yè)務(wù)員向老板和上司申請政策時總是說“該做的都做了，只要政策到位，市場立即啟動。”老板一看“萬事具備，只欠東風(fēng)”，大筆一揮，政策立即就給了。

每次召開銷售會議，職能部門總是眾矢之的。業(yè)務(wù)員的批評似乎情有可原：“老子在前方打仗，你們在后方享福也就罷了，還不斷使絆子。”其實(shí)，越是這樣，職能部門越是不會支持。

定律二十二：要綜合評價自己的收入，并不斷創(chuàng)造收入增長空間。

GE前總裁曾經(jīng)說過這樣的話：一個人的工作有兩項(xiàng)收入：一項(xiàng)是現(xiàn)在的收入，另一項(xiàng)是未來的收入。現(xiàn)在的收入是薪水，未來的收入是掙錢的本事。未來的收入比現(xiàn)實(shí)的收入更重要。

在基層崗位，收入的增長有極限。但當(dāng)職務(wù)不斷提升時，收入的增長沒有極限。從這個意義上講，收入的增長比收入本身更重要。

業(yè)績定律

定律二十三：普通業(yè)務(wù)員把客戶視為上帝，優(yōu)秀業(yè)務(wù)員讓客戶把他當(dāng)財神供起來。

客戶之所以經(jīng)銷或購買你的產(chǎn)品，是因?yàn)槟隳茏屗睦孀畲蠡o論你如何小心飼候客戶，可能離客戶利益最大化的需求都相去甚遠(yuǎn)。

你要讓客戶明白：讓你經(jīng)銷我的產(chǎn)品，是給你賺錢的機(jī)會——我不是給你一個產(chǎn)品，而是送給你一個光明的未來。

你還要讓客戶明白：我們要么成為一個戰(zhàn)壕的戰(zhàn)友，要么成為同行對手——你愿意讓我成為你強(qiáng)勁的對手嗎？——如果你不經(jīng)銷我的產(chǎn)品，你就去后悔吧。

如果你賣的是一枚雞蛋，那么雞蛋不值多少錢。但是，如果你賣的是一個“蛋生雞，雞生蛋”的養(yǎng)殖事業(yè)，一枚雞蛋就值錢了——值錢的不是那枚雞蛋，而是你對雞蛋的獨(dú)特認(rèn)知。

定律二十四：只要幫助客戶把產(chǎn)品賣出去了，你的產(chǎn)品也隨之賣出去了。

業(yè)務(wù)員的任務(wù)不是解決你自己的問題，而是解決你的客戶的問題——因?yàn)榭蛻粜枰悖髽I(yè)才需要你。如果不舉例說明，這句話好像沒說一樣，似乎有點(diǎn)繞舌。一名酒店老板正為生意不好發(fā)愁，一名酒店業(yè)務(wù)員恰好登門推銷，老板決定狠狠“宰一刀”，多收點(diǎn)進(jìn)店費(fèi)。哪知業(yè)務(wù)員根本不談推銷酒的事，話題一直圍繞著酒店的生意。老板聽后大受啟發(fā)，立即擺酒席請教業(yè)務(wù)員。當(dāng)然，白酒進(jìn)酒店的事不僅解決了，還因?yàn)榫频晟饧t火擴(kuò)大了白酒的銷量。

當(dāng)業(yè)務(wù)員問我怎樣把產(chǎn)品賣給客戶時，我告訴他：“只要你幫助客戶把產(chǎn)品轉(zhuǎn)賣出去并賺了錢，你的產(chǎn)品就賣出去了。”當(dāng)有人問我怎樣才能解決賒銷問題時，我同樣告訴他：“只要你幫助你的客戶解決了賒銷問題，客戶就會拿現(xiàn)金進(jìn)你的貨。”

定律二十五：業(yè)績產(chǎn)生于機(jī)會，要做業(yè)績，先找機(jī)會。

在眾所周知的領(lǐng)域拼個你死我活，固然也有業(yè)績，但代價太大，不值得。我做業(yè)績，先要有足夠的洞察力發(fā)現(xiàn)別人沒有發(fā)現(xiàn)的機(jī)會，這就是所謂的藍(lán)海。

做業(yè)績就像打仗攻城一樣，打開一個缺口，整座城池都是你的了。而機(jī)會就是整座城池的缺口。

定律二十六：如果你的工作既能產(chǎn)生銷量，也能產(chǎn)生未來銷量，你的業(yè)績才會讓人追不上。

如果你的腦子里每天想的是如何完成當(dāng)月的銷量任務(wù)，那么你的工作可能是透支未來銷量，你只會走下坡路。

如果你所做的是對銷量持續(xù)增長有貢獻(xiàn)的工作，每一項(xiàng)工作都能產(chǎn)生“增量”。每個月的銷量都會在上月基礎(chǔ)銷量基礎(chǔ)上不斷遞增。

最后的忠告：作為一名業(yè)務(wù)員，如果你不夠?qū)I(yè)，你應(yīng)該足夠聰明；如果你不夠聰明，應(yīng)該足夠謙虛；如果你不夠謙虛，應(yīng)該足夠勤奮；如果連勤奮也不夠，就不要干營銷。

第二篇：初中定理

初中幾何證明的依據(jù)

1.兩點(diǎn)連線中線段最短.2.同角（或等角）的余角相等.同角(或等角)的補(bǔ)角相等.對頂角相等.3.平面內(nèi)經(jīng)過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.4．線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等,到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．

5.兩直線平行，同位角相等．同位角相等，兩直線平行．

6.兩直線平行，內(nèi)錯角相等(同旁內(nèi)角互補(bǔ))．內(nèi)錯角相等(同旁內(nèi)角互補(bǔ))，兩直線平行．

7.經(jīng)過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行．

8.三角形的任意兩邊之和大于第三邊．三角形任意兩邊之差小于第三邊．

9.三角形的內(nèi)角之和等于180°．三角形的外角等于不相鄰的兩個內(nèi)角的和．三角形的外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.10.三角形的中位線平行于第三邊,并且等于它的一半.11.全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角分別相等.12.兩邊夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等.兩角夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.有兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等.13.角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的平分線上.14.等腰三角形的兩底角相等(等邊對等角）.底邊上的高、中線及頂角的平分線三線合一.15.有兩個角相等的三角形是等腰三角形(等角對等邊）.等邊三角形的每個角都等于60°.三個角都相等的三角形是等邊三角形.有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.16.有兩個角互余的三角形是直角三角形.如果三角形的一邊的平方等于另外兩邊的平方和,那么這個三角形是直角三角形.17.直角三角形的兩銳角互余,斜邊上的中線等于斜邊的一半.直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.18.n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)·180°;任意多邊形的外角和等于360°.19.平行四邊形的對邊相等、對角相等、兩對角線互相平分.20.一組對邊平行且相等,或兩條對角線互相平分,或兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形.21.矩形的四個角都是直角,對角線相等.22.三個角是直角的四邊形,或?qū)蔷€相等的平行四邊形是矩形.23.菱形的四邊相等,對角線互相垂直平分.24.四邊相等的四邊形,或?qū)蔷€互相垂直的平行四邊形是菱形.25.正方形具有菱形和矩形的性質(zhì).26.有一個角是直角的菱形是正方形.有一組鄰邊相等的矩形是正方形.27.等腰梯形同一底邊上的兩底角相等,兩條對角線相等.28.在同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形.梯形的中位線平行于兩底,并且等于兩底和的一半.

第三篇：高中數(shù)學(xué)相關(guān)定理

2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（文）復(fù)習(xí)資料2013.5.26

高中數(shù)學(xué)相關(guān)定理、公式及結(jié)論證明

（一）三角函數(shù)部分。

一、兩角和（差）的余弦公式證明。

內(nèi)容：cos(???)?cos?cos??sin?sin?,cos(???)?cos?cos??sin?sin?

證明：

①如圖（1），在單位圓中設(shè)P（cos?,sin?）,Q（cos?,-sin?）

則：OP?OQ?????)?cos(???)?OP?OQ?cos?cos??sin?sin?

?cos(???)?cos?cos??sin?sin?圖（1）

②如圖（2），在單位圓中設(shè)P（cos?,sin?）,Q（cos?,sin?）

則：OP?OQ?????)?cos(???)?OP?OQ?cos?cos??sin?sin?

?cos(???)?cos?cos??sin?sin?圖（2）

二、兩角和（差）的正弦公式證明。

內(nèi)容：sin(???)?sin?cos??cos?sin?,sin(???)?sin?cos??cos?sin?

證明：

sin(???)?cos[?

2?(???)]?cos[(?

2??)??]?cos(?

2??)cos??sin(?

2??)sin?

?sin?cos??cos?sin?

sin(???)?cos[?

2?(???)]?cos[(?

2??)??]?cos(?

2??)cos??sin(?

2??)sin?

?sin?cos??cos?sin?

三、兩角和（差）的正切公式證明。內(nèi)容：tan(???)?

證明： tan??tan?1?tan?tan?，tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?

sin?cos?

tan(???)?

sin(???)cos(???)

?

sin?cos??cos?sin?cos?cos??sin?sin?

?

cos?cos?cos?cos?cos?cos?

??

cos?sin?cos?cos?sin?sin?cos?cos?

?

tan??tan?1?tan?tan?

sin?cos?

tan(???)?

sin(???)cos(???)

?

sin?cos??cos?sin?cos?cos??sin?sin?

?

cos?cos?cos?cos?cos?cos?

??

cos?sin?cos?cos?sin?sin?cos?cos?

?

tan??tan?1?tan?tan?

四、半角公式證明。內(nèi)容：sin

?2??

1?cos?,cos

?

2??

1?cos?,tan

?2

?

1?cos?1?cos?

?

2sin?1?cos?

?

1?cos?2sin?

??cos2??1?2sin?

證明：由二倍角公式? 2

??cos2??2cos??

1?2?cos??1?2sin???2

??用?代替2?，得?，得sin2

?cos??2cos2??1?2?

sin?cos

?cos?,cos

?2

??

?cos?

?2

tan

?2

sin?cos

?2

?2cos?2cos

?2

?2

?2

?2

?

2sin?1?cos?，tan

?2

sin?cos

?2

sin?cos

?2

?2sin?2sin

?2

?2

?2

?2

?

1?cos?2sin?

五、正弦定理證明。

內(nèi)容：在?ABC中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，則證明：①如圖（3），在Rt?ABC中，sinA?

?

asinAbc,?

bsinB

?

csinC

.ac,sinB?

asinA

?

bsinB

?c，?C?90?,sinC?1.?

asinA

?

bsinB

?

csinC

.圖（3）

②如圖（4），在銳角?ABC中，以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，作AC??y軸于點(diǎn)C?，易知BA和CA在軸上的射影均為BC?

?C?bsinC??

?

2?B)?csinB,bsinB

?

csinC,同理

asinA

?

bsinB

?

asinA

?

bsinB

?

csinC

.圖（4）

③如圖（5），在鈍角?ABC中，以C為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，作AC??y軸于點(diǎn)C?，易知BA和CA在軸上的射影均為CC?

?B?csinB?C?

?

?2)?bsinC,bsinBasinA

??

csinCbsinB,同理?

c

asinA

?

bsinB

?

sinC

.圖（5）

六、余弦定理證明。

?a2?b2?c2?2bccosA

?

2?ABC內(nèi)容：在中，a,b,c分別為角A,B,C的對邊，則?b?a2?c2?2accosB

?222

c?a?b?2abcosC?

證明：如圖（6），在?ABC中，a?a?BC

?(AC?AB)(AC?AB)

??2AC?AB?

?2

?2AC?ABcosA?2

?b?c?2bccosA圖（6）

222

??a?b?c?2bccosA

同理可證：?2 22

??c?a?b?2abcosC

（二）平面向量部分。

一、平面向量基本定理。

內(nèi)容：如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意一向量a，存在唯一一對 實(shí)數(shù)?1,?2，使得a??1e1??2e2.證明：如圖（7），過平面內(nèi)一點(diǎn)O，作OA?e1,OB?e2,OC?a，過點(diǎn)C分別作直 線OA和直線OB的平行線，交OA于點(diǎn)M，交OB于點(diǎn)N，有且只有一組實(shí)數(shù)，使

得OM??1OA,ON??2OB圖（7）

?OC?OM?ON?OC??1OA??2OB

即a??1e1??2e2.二、共線向量定理。

內(nèi)容：如圖（8），A,B,C為平面內(nèi)的三點(diǎn)，且A,B不重合，點(diǎn)P為平面內(nèi)任一點(diǎn)，若C在直線AB上，則有

PC??PA?(1??)PB

證明：由題意，BC與BA共線，?BC??BA

BC?PC?PB,BA?PA?PB?PC?PB??(PA?PB)

圖（8）

化簡為：PC??PA?(1??)PB

三、平行向量定理。

內(nèi)容：若兩個向量（與坐標(biāo)軸不平行）平行，則它們相應(yīng)的坐標(biāo)成比例；若兩個向量相對應(yīng)的坐標(biāo)成比例，則兩向量平行。

證明：設(shè)a,b是非零向量，且a?(x1,y1),b?(x2,y2)若a//b，則存在實(shí)數(shù)?使a??b，且由平面向量基本定理可知

x1i?y1j??(x2i?y2j)??x2i??y2j.?x1??x2①，y1??y2②

①?y2?②?x2得：x1y2?x2y1?0

若y1?0,y2?0（即向量a,b不與坐標(biāo)軸平行）則

x1y

1?x2y

2（三）立體幾何部分。

一、三垂線定理及其逆定理。

內(nèi)容：在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

三垂線定理的逆定理：如果平面內(nèi)一條直線和穿過該平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

證明：已知：如圖（9），直線l與平面?相交與點(diǎn)A，l在?上的射影OA垂直于a,a??

求證：l⊥a

證明：過P作PO垂直于?

∵PO⊥α∴PO⊥a

又a⊥OA，PO∩OA=O ∴a⊥平面POA

∴a⊥l圖（9）

（四）解析幾何部分。

一、點(diǎn)到直線距離公式證明。

內(nèi)容：已知直線l:Ax?By?C?0,直線外一點(diǎn)M(x0,y0).則其到直線l的距離為d?

Ax

?ByA

?C。

?B

證明：如圖（10），設(shè)直線l:Ax?By?C?0,直線外一點(diǎn)M(x0,y0).直線上一點(diǎn)P(x,y).可得直線的 一個方向向量為v?(?B,A),設(shè)其法向量為n?(s,t)則v?n??Bs?At?0，可得直線一法向量為n?(A,B),n的單位向量為n0?

?（AA

?B,A

B

?B)圖（10）

由題意，點(diǎn)M到直線的距離為PM在n0上的射影，所以，d???

A(x0?x)?B(y0?y)

A

?B

?

Ax

?By

0

2?(Ax?By)?B

②

A

因?yàn)辄c(diǎn)P(x,y)在直線上，所以C??(Ax?By)①

Ax

?ByA

所以，把①代入②中，得d?

00

?C

?B

（五）數(shù)列部分

一、等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式證明。

內(nèi)容：?an?是等差數(shù)列，公差為d，首項(xiàng)為a1，Sn為其n前項(xiàng)和，則Sn?a1n?證明：由題意，Sn?a1?(a1?d)?(a1?2d)?.......?(a1?(n?1)d)① 反過來可寫為：Sn?an?(an?d)?(an?2d)?.......?(an?(n?1)d)②

①+②得：2Sn?a1?n?a1?n.......?a1?n

???????????

n個

n(n?1)

d?

n(a1?an)

所以，Sn?

n(a1?an)

③，把a(bǔ)n?a1?(n?1)d代入③中，得Sn?a1n?

二、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式證明。

n(n?1)

d?

n(a1?an)

?na1,(q?1)

?n

內(nèi)容：?an?是等比數(shù)列，公比為q，首項(xiàng)為a1，Sn為其n前項(xiàng)和，則Sn=?a1?anq a1(1?q)

?,(q?1)?

1?q1?q?

證明：Sn?a1?a1q?a1q?.......?a1qqS

n

2n?

1①

n

?a1q?a1q

?a1q

?.......?a1q②

n

①—②得：(1?q)Sn?a1?a1q，當(dāng)q?1時，Sn?

a1?a1q1?q

n

?

a1(1?q)1?q

n

③

把a(bǔ)n?a1q

n?1

代入③中，得Sn?

a1?anq1?q

當(dāng)q?1時。很明顯Sn?na1

?na1,(q?1)

?n

所以，Sn=?a1?anq a1(1?q)

?,(q?1)?

1?q1?q?

（六）函數(shù)和導(dǎo)數(shù)部分

一、換底公式證明。內(nèi)容：log

N?

loglog

aa

Nb

b

(N,a,b?0;a,b?1)

證明：設(shè)log

a

N?X,log

a

b?Y，則b?a,N?a

YX

?log

b

N?log

a

Y

a

X

?

XY

log

a

a?

XY

?

loglog

aa

Nb

第四篇：定理怎么造句

定理拼音

【注音】： ding li

定理解釋

【意思】：已經(jīng)證明具有正確性、可以作為原則或規(guī)律的命題或公式，如幾何定理。

定理造句：

1、那么散度定理究竟講的是什么？

2、為什么這個看上去不是一個新的定理呢？

3、下面是一個基本定理,它給出了，無需計算積分就得到結(jié)果的辦法。

4、許多數(shù)學(xué)家只是把這些惱人的問題簡單地棄置一旁，而忙于類似定理證明這樣更有趣的事務(wù)。

5、很了不起啊，一旦你們證出來了，一旦你們證明了,這個平行軸定理可行，當(dāng)然，你們可以一直,為自己的便利利用它。

6、由于我們在進(jìn)行不正式的證明，所以我不會為所使用的公理命名，也不會嘗試去證明那些用來令證明有效的中間定理。

7、它的逆命題就是下面這個定理。

8、你擁有的定理越多，你就會變得更強(qiáng)大。

9、雖然在數(shù)學(xué)領(lǐng)域也有一些新的進(jìn)展，例如對著名的四色定理的證明，1但是基本的材料卻保持不變。

10、微積分基本定理，不是曲線積分的，告訴我們，如果對函數(shù)的導(dǎo)數(shù)積分，就會得回原函數(shù)。

11、我希望促進(jìn)的那類文化是足夠廣博的，它包含的東西遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過一本書或一條定理。

12、就某方面來說，我們正關(guān)上這扇物理問題的大門，同時我們開啟了一扇更大的門，通向以后量子層面的能量均分定理測試。

13、它演示了自動化技術(shù)、TAL和自動化定理證明，從而驗(yàn)證了操作系統(tǒng)中和運(yùn)行時復(fù)雜的低級代碼的安全性。

14、皮埃爾.德.費(fèi)馬在1637年發(fā)現(xiàn)這個定理，但證明可是在這集動畫片播出前不久才剛剛公布的。

15、散度定理為我們提供了一種,計算向量場通過閉曲面的通量的方法。

16、隨著研究繼續(xù)深入到這段古老歷史的邊緣，畢達(dá)哥拉斯定理是否會被一個古老的巴比倫文人的名字來取代，仍然有待于進(jìn)一步的觀察。

17、可以把動能轉(zhuǎn)為熱量，這點(diǎn)在功能定理,中是非常好的。

18、它演示了少量帶有自動化定理證明功能，經(jīng)過驗(yàn)證的代碼它能夠支持任意數(shù)量的TAL代碼。

19、在2000年發(fā)表的一篇學(xué)術(shù)論文里，李建議了這個可應(yīng)用于信用風(fēng)險的定理，涵蓋了從債券到房屋抵押貸款的一切。

20、用完全不同的方法來計算它們，并且有幾個定理，把它們相互聯(lián)系起來。

21、手表定理是指一個人有一只表時，可以知道現(xiàn)在是幾點(diǎn)鐘，而當(dāng)他同時擁有兩只表時卻無法確定。

22、公布一個程序的源代碼與公布一個定理的證明是一樣的。

23、很快也會看到關(guān)于通量的定理。

24、定理是基本的原理，我們可以將其組合起來以獲得更多的成果。

25、阿羅不可能性定理論證了沒有一種選舉的方法總是可以給出“正確”的結(jié)果。

26、半個世紀(jì)前，IBM的赫伯特·格勒恩特爾編寫了一個程序，據(jù)稱再現(xiàn)了歐幾里德幾何定理，但是，批評家們說它過于依賴程序員提供的規(guī)則。

27、那部分是數(shù)學(xué)的東西，即散度定理。

第五篇：正弦定理教案

正弦定理教案

教學(xué)目標(biāo)：

1．知識目標(biāo):通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

2.能力目標(biāo):讓學(xué)生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察，推導(dǎo)，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進(jìn)行定理基本應(yīng)用的實(shí)踐操作。

3．情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生在方程思想指導(dǎo)下處理解三角形問題的運(yùn)算能力；培養(yǎng)學(xué)生合情推理探索數(shù)學(xué)規(guī)律的數(shù)學(xué)思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

教學(xué)重點(diǎn)：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

教學(xué)難點(diǎn)：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入

創(chuàng)設(shè)情境：

【師】：世界聞名的巴黎埃菲爾鐵塔，比其他的建筑高出很多。如果只提供測角儀和皮尺，你能測出埃菲爾鐵塔的高度嗎？

【生】：可以先在離鐵塔一段距離的地方測出觀看鐵塔的仰角，再測出與鐵塔的水平距離，就可以利用三角函數(shù)測出高度。

【創(chuàng)設(shè)情境總結(jié)】：解決上述問題的過程中我們將距離的問題轉(zhuǎn)化為角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題進(jìn)行計算。這個實(shí)際問題說明了三角形的邊與角有緊密的聯(lián)系，邊和角甚至可以互相轉(zhuǎn)化，這節(jié)課我們就要從正弦這個側(cè)面來研究三角形邊角的關(guān)系即正弦定理。

二、新課講解

【師】：請同學(xué)們回憶一下，在直角三角形中各個角的正弦是怎么樣表示的？

【生】：在直角三角形ABC中，sinA?ab,sinB?,sinC?1 cc

abc,c?,c?，也就是說在Rt△ABCsinAsinBsinC【師】：有沒有一個量可以把三個式子聯(lián)系起來？ 【生】：邊c可以把他們聯(lián)系起來，即c?

中abc?? sinAsinBsinC

【師】：對，很美、很對稱的一個式子，用文字來描述就是：“在一個直角三角形中，各邊與

它所對角的正弦比相等”，那么在斜三角形中，該式是否也成立呢？讓我們在幾何畫板中驗(yàn)證一下，對任意的三角形ABC是不是都有“各邊與它所對角的正弦比相等”成立？

【師】：通過驗(yàn)證我們得到，在任意的三角形中都有各個邊和他所對的角的正弦值相等。

在上面這個對稱的式子中涉及到了三角形三個角的正弦，因此我們把它稱為正弦定理，即我們今天的課題。

【師】：直觀的印象并不能代替嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明，所以，只是直觀的驗(yàn)證是不夠的，那能不

能對這個定理給出一個證明呢？

【生】：可以用三角形的面積公式對正弦定理進(jìn)行證明：S?1111absinC?acsinB?bcsinA，然后三個式子同時處以abc就可以得222

2到正弦定理了。

【師】：這是一種很好的證明方法，能不能用之前學(xué)過的向量來證明呢？答案是肯定的。怎

么樣利用向量只是來證明正弦定理呢？大家觀察，這個式子涉及到的是邊和角，即向量的模和夾角之間的關(guān)系。哪一種運(yùn)算同時涉及到向量的夾角和模呢？

（板書：證法二，向量法）

????【生】：向量的數(shù)量積a?b?a?b?cos?

【師】：先在銳角三角形中討論一下，如果把三角形的三邊看做向量的話，則容易得到三角

????????????形的三個邊向量滿足的關(guān)系：AB?BC?AC,那么，和哪個向量做數(shù)量積呢？還

有數(shù)量積公式中提到的是夾角的余弦，而我們要得是夾角的正弦，這個又怎么轉(zhuǎn)化？（啟發(fā)學(xué)生得出通過做點(diǎn)A的垂線根據(jù)誘導(dǎo)公式來得到）

【生】：做A點(diǎn)的垂線

【師】：那是那條線的垂線呢？

【生】：AC的垂線

??【師】：如果我們做AC垂線上的一個單位向量j，把向量j和上面那個式子的兩邊同時做數(shù)

?cos(90?A)?cos(90?C)??cos90，化簡000

即可得到csinA?asinC，即acbc??，同理可以得到。即在sinAsinCsinBsinC

銳角三角形ABC中有每條邊和它所對的角的正弦值相等這個結(jié)論。

【師】：如果△ABC是鈍角三角形呢？又怎么樣得到正弦定理的證明呢？不妨假設(shè)∠A是鈍

??角，那么同樣道理如果我們做AC垂線上的一個單位向量j，把向量j和上面那個式

????????????子AB?BC?AC的兩邊同時做數(shù)量積運(yùn)算就可以得到

???????????????00j?AB?cos(C?90)?j?BC?cos(90?C)?j?AC?cos900，化簡即可得到csinA?asinC，即acbc??，同理可以得到。即在鈍角三角sinAsinCsinBsinC

形ABC中也有每條邊和它所對的角的正弦值相等這個結(jié)論。

【師】：經(jīng)過上面的證明，我們用兩種方法得到了正弦定理的證明，并且得到了正弦定理對

于直角、銳角、鈍角三角形都是成立的。

【師】：大家觀察一下正弦定理的這個式子，它是一個比例式。對于一個比例式來說，如果

我們知道其中的三項(xiàng)，那么就可以根據(jù)比例的運(yùn)算性質(zhì)得到第四項(xiàng)。因此正弦定理的應(yīng)用主要有哪些呢？

【生】：已知三角形的兩邊一其中一邊的對角求另外一邊的對角，或者兩角一邊求出另外一

邊。

【師】：其實(shí)大家如果聯(lián)系三角形的內(nèi)角和公式的話，其實(shí)只要有上面的任意一個條件，我們都可以解出三角形中所有的未知邊和角。下面我們來看正弦定理的一些應(yīng)用。

三、例題解析

【例1】優(yōu)化P101例

1分析：直接代入正弦定理中運(yùn)算即可

ab?sinAsinB

c?sinA10?sin45?

?a????sinCsin30

bc??sinBsinC

B?180??(A?C)?180??(45??30?)?105??

c?sinB10?sin105??b???20?5sinCsin30?總結(jié)：本道例題給出了解三角形的第一類問題（已知兩角和一邊，求另外兩邊和一

角，因?yàn)閮蓚€角都是確定的的，所以只有一種情況）

【課堂練習(xí)1】教材P144練習(xí)1（可以讓學(xué)生上臺板演）

【隨堂檢測】見幻燈片

四、課堂小結(jié)

【師】：本節(jié)課的主要內(nèi)容是正弦定理，即三角形ABC中有每條邊和它所對的角的正弦值相等。寫成數(shù)學(xué)式子就是abc??。并且一起研究了他的證明方法，利用它解決sinAsinBsinC

了一些解三角形問題。對于正弦定理的證明主，要有面積法和向量法，其實(shí)對于正弦定理的證明，還有很多別的方法，有興趣的同學(xué)下去之后可以自己去了解一下。

五、作業(yè)布置

世紀(jì)金榜P86自測自評、例

1、例

2板書設(shè)計：

六、教學(xué)反思