第一篇：圓切線長定理及弦切角練習題

切線長定理及弦切角練習題

（一）填空

1．已知：如圖7－143，直線BC切⊙O于B點，AB=AC，AD=BD，那么∠A=____．

2．已知：如圖7－144，直線DC與⊙O相切于點C，AB為⊙O直徑，AD⊥DC于D，∠DAC=28°側∠CAB=____ ．

3．已知：直線AB與圓O切于B點，割線ACD與⊙O交于C和D

4．已知：如圖7－145，PA切⊙O于點A，割線PBC交⊙O于B和C兩點，∠P=15°，∠ABC=47°，則∠C= ____．

5．已知：如圖7－146，三角形ABC的∠C=90°，內切圓O與△ABC的三邊分別切于D，E，F三點，∠DFE=56°，那么∠B=____．

6．已知：如圖 7－147，△ABC內接于⊙O，DC切⊙O于C點，∠1=∠2，則△ABC為____ 三角形．

7．已知：如圖7－148，圓O為△ABC外接圓，AB為直徑，DC切⊙O于C點，∠A=36°，那么∠ACD=____．

（二）選擇

8．已知：△ABC內接于⊙O，∠ABC=25°，∠ACB= 75°，過A點作⊙O的切線交BC的延長線于P，則∠APB等于

[ ] A．62.5°；B．55°；C．50°；D．40°．

9．已知：如圖 7－149，PA，PB切⊙O于A，B兩點，AC為直徑，則圖中與∠PAB相等的角的個數為

[ ]

A．1 個；B．2個；C．4個；D．5個．

10．已知如圖7－150，四邊形ABCD為圓內接四邊形，AB是直徑，MN切⊙O于C點，∠BCM=38°，那么∠ABC的度數是

[ ]

A．38°；B．52°；C．68°；D．42°．

11．已知如圖7－151，PA切⊙O于點A，PCB交⊙O于C，B兩點，且 PCB過點 O，AE⊥BP交⊙O于E，則圖中與∠CAP相等的角的個數是

[ ]

A．1個；B．2個；C．3個；D．4個．

（三）計算

12．已知：如圖7－152，PT與⊙O切于C，AB為直徑，∠BAC=60°，AD為⊙O一弦．求∠ADC與∠PCA的度數．

13．已知：如圖7－153，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，C，PD平分∠APC．求∠ADP的度數．

14．已知：如圖7－154，⊙O的半徑OA⊥OB，過A點的直線交OB于P，交⊙O于Q，過Q引⊙O的切線交OB延長線于C，且PQ=QC．求∠A的度數．

15．已知：如圖7－155，⊙O內接四邊形ABCD，MN切⊙O于C，∠BCM=38°，AB為⊙O直徑．求∠ADC的度數．

16．已知：如圖7－156，PA，PC切⊙O于A，C兩點，B點

17．已知：如圖 7－157，AC為⊙O的弦，PA切⊙O于點A，PC過O點與⊙O交于B，∠C=33°．求∠P的度數．

18．已知：如圖7－158，四邊形ABCD內接于⊙O，EF切⊙O

19．已知 BA是⊙O的弦，TA切⊙O于點A，∠BAT= 100°，點M在圓周上但與A，B不重合，求∠AMB的度數．

20．已知：如圖7－159，PA切圓于A，BC為圓直徑，∠BAD=∠P，PA=15cm，PB=5cm．求 BD的長．

21．已知：如圖7－160，AC是⊙O直徑，PA⊥AC于A，PB切⊙O于B，BE⊥AC于E．若AE=6cm，EC=2cm，求BD的長．

22．已知：如圖7－161所示，P為⊙O外一點，PA切⊙O于A，從PA中點M引⊙O割線MNB，∠PNA=138°．求∠PBA的度數．

23．已知：如圖7－162，DC切⊙O于C，DA交⊙O于P和B兩點，AC交⊙O于Q，PQ為⊙O直徑交BC于E，∠BAC=17°，∠D=45°．求∠PQC與∠PEC的度數．

24．已知：如圖 7－163，QA切⊙O于點A，QB交⊙O于B

25．已知：如圖7－164，QA切⊙O于A，QB交⊙O于B和C

26．已知：在圖7－165中，PA切⊙O于A，AD平分∠BAC，PE平分∠APB，AD=4cm，PA=6cm．求EP的長．

27．已知；如圖7－166，PA為△ABC外接圓的切線，A 為切點，DE∥AC，PE=PD．AB=7cm，AD=2cm．求DE的長．

28．已知：如圖 7－167，BC是⊙O的直徑，DA切⊙O于A，DA=DE．求∠BAE的度數．

29．已知：如圖 7－168，AB為⊙O直徑，CD切⊙O于CAE∠CD于E，交BC于F，AF=BF．求∠A的度數．

30．已知：如圖7－169，PA，PB分別切⊙O于A，B，PCD為割線交⊙O于C，D．若 AC=3cm，AD=5cm，BC= 2cm，求DB的長．

31．已知：如圖7－170，ABCD的頂點A，D，C在圓O上，AB的延長線與⊙O交于M，CB的延長線與⊙O交于點N，PD切⊙O于D，∠ADP=35°，∠ADC=108°．求∠M的度數．

32．已知：如圖7－171，PQ為⊙O直徑，DC切⊙O于C，DP交⊙O于B，交CQ延長線于A，∠D=45°，∠PEC=39°．求∠A的度數．

33．已知：如圖 7－172，△ABC內接于⊙O，EA切⊙O于A，過B作BD∥AE交AC延長線于D．若AC=4cm，CD= 3cm，求AB的長．

34．已知：如圖7－173，△ABC內接于圓，FB切圓于B，CF⊥BF于F交圓于 E，∠1=∠2．求∠1的度數．

35．已知：如圖7－174，PC為⊙O直徑，MN切⊙O于A，PB⊥MN于B．若PC=5cm，PA=2cm．求PB的長．

36．已知：如圖7－175，AD為⊙O直徑，CBE，CD分別切⊙

37．已知：如圖7－176，圓內接四邊形ABCD的AB邊經過圓心，AD，BC的延長線相交于E，過C點的切線CF⊥AE于F．求證：

（1）△ABE為等腰三角形；

（2）若 BC=1cm，AB=3cm，求EF的長．

38．已知：如圖7－177，AB，AC切⊙O于B，C，OA交⊙O于F，E，交BC于D．

（1）求證：E為△ABC內心；

（2）若∠BAC=60°，AB=a，求OB與OD的長．

（四）證明

39．已知：在△ABC中，∠C=90°，以C為圓心作圓切AB邊于F點，AD，BC分別與⊙C切于D，E兩點．求證：AD∥BE．

40．已知：PA，PB與⊙O分別切于A，B兩點，延長OB到C，41．已知：⊙O與∠A的兩邊分別相切于D，E．在線段AD，AE（或在它們的延長線）上各取一點B，C，使DB=EC．求證：OA⊥BC．

⊥EC于H，AO交BC于D．求證：

BC·AH=AD·CE．

*43．已知：如圖7－178，MN切⊙O于A，弦BC交OA于E，過C點引BC的垂線交MN于D．求：AB∥DE．

44．已知：如圖7－179，OA是⊙O半徑，B是OA延長線上一點，BC切⊙O于C，CD⊥OA于D．求證：CA平分∠BCD．

45．已知：如圖7－180，BC是⊙O直徑，EF切⊙O于A點，AD⊥BC于D．求證：AB平分∠DAE，AC平分∠DAF．

46．已知：如圖7－181，在△ABC中，AB=AC，∠C= 2∠A，以 AB為弦的圓 O與 BC切干點 B，與 AC交于 D點．求證：AD=DB=BC．

47．已知：如圖7－182，過△ADG的頂點A作直線與DG的延長線相交于C，過G作△ADG的外接圓的切線二等分線段AC于E．求證：AG=DG·CG．

48．已知：如圖7－183，PA，PB分別切⊙O于A，B兩點，PCD為割線．求證：AC·BD=BC·AD．

BC=BA，連結AC交圓于點E．求證：四邊形ABDE是平行四邊形．

50．已知：如圖7－185，∠1=∠2，⊙O過A，D兩點且交AB，AC于E，F，BC切⊙O于D．求證：EF∥BC．

51．已知：如圖7－186，AB是半圓直徑，EC切半圓于點C，BE⊥CE交AC于F．求證：AB=BF．

52．已知：如圖7－187，AB為半圓直徑，PA⊥AB，PC切半圓于C點，CD⊥AB于D交PB于M．求證：CM=MD．

（五）作圖

53．求作以已知線段AB為弦，所含圓周角為已知銳角∠α（見圖7－188）的弧（不寫作法，寫出已知、求作，答出所求）．

54．求作一個以α為一邊，所對角為∠α，此邊上高為h的三角形．

55．求作一個以a為一邊，m為此邊上中線，所對角為∠α的三角形（不寫作法，答出所求）．

切線長定理及弦切角練習題(答案)

（一）填空

1．36° 2．28° 3．50° 4．32° 5．22° 6．等腰 7．54°

（二）選擇

8．C 9．D 10．B 11．C

（三）計算 12．30°，30°．

13．45°．提示：連接AB交PD于E．只需證明∠ADE=∠AED，證明時利用三角形外角定理及弦切角定理．

14．30°．提示：因為PQ=QC，所以∠QCP=∠QPC．連接OQ，則知∠POQ與∠QCP互余．又∠OAQ=∠OQA與∠QPC互余，所以∠POQ=∠OAQ=∠OQA．而它們的和為90°（因為∠AOC=90°）．所以∠OAQ=30°

16．67.5°．提示：解法一 連接AC，則∠PAC=∠PCA．又∠P=45°，所以∠PAC=∠PCA=67.5°．從而∠B=∠PAC=67.5°．

解法二 連接OA，OC，則∠AOC=180°－∠P=135°，所以

17．24°．提示：連接OA，則∠POA=66°．

18．60°．提示：連接BD，則∠ADB=40°，∠DBC=20°．設∠ABD=∠BDC（因為AB//CD）=x°，則因∠B+∠D=180°，所以2x°+60°=180°，x°=60°，從而∠ADE=∠ABD=60°．

19．100°或80°．提示： M可在弦AB對的兩弧的每一個上．

從而

22．42°．提示：∠ABM=∠NAM．于是顯然△ABM∽△NAM，NMP，所以△PMB∽△NMP，從而∠PBM=∠NPM．再由∠ABM=∠NAM，就有 ∠PBA=∠PBM+∠NAM=∠NPM+∠NAM =180°－∠PNA=42°．

23．28°，39°．提示：連接PC．

24．41°．提示：求出∠QAC和∠ACB的度數． 25．100°．

以DB=9．因為2DP=2×9，由此得DP=9．又DP＞0，所以DP=3，從而，DE=2×3=6（cm）． 2

228．45°．提示：連接AC．由于DA=DE，所以∠ABE+∠BAE=∠AED=∠EAD=∠CAD+∠CAE，但∠ABE=∠CAD，所以∠BAE=∠CAE．由于∠BAE+∠CAE=90°，所以∠BAE=45°．

29．60°．提示：解法一 連接AC，則AC⊥BC．又AF⊥CE，所以∠ACE=∠F．又DC切⊙O于C，所以∠ACE=∠B．所以∠F=∠B．因為AF=BF，所以∠BAF=∠B=∠F．所以∠BAF=60°．

31．37°．提示：連接AC，則∠M=∠ACN=∠CAD． 32．17°．提示：連接PC，則∠QPC+∠PBC=90°． 45°=∠D=（∠BPQ+∠QPC）∠DCP =（∠BPQ+∠QPC）－∠PBC =[∠BPQ+（90°－∠PBC）]－∠PBC． 所以

2∠PBC－∠BPQ=45°．

又

∠PBC+∠BPQ=39°，從而∠PBC=28°，∠BPQ=11°．于是∠A=∠PBC－∠BPQ=17°．

1）

2）

（（34．30°．提示：連接BE，由∠1=∠2，可推出∠EBF=∠ECB=∠EBC，而這三個角的和為90°，所以每個角為30°．

36．60°．提示：連接OB，則OB⊥CE，從而∠C=∠BOE= 60°．

37．（1）提示：連接OC，則∠E=∠OCB=∠OBC=∠CDE，所以△ABE為等腰三角形．

38．（1）提示：連接BE．只需證明∠ABE=∠DBE．

（四）證明

39．提示：AC，BC各平分∠A，∠B．設法證出∠A+∠B=180°． 40．提示：連接OP，設法證出∠BPC=∠BPO．

42．提示：在△BCE和△DAH中，∠BCE=∠DAH（它們都與∠DCH互補）．又A，D，C，H共圓，所以∠CEB=∠ACB=∠AHD，從而△BCE∽△DAH．這就得所要證明的比例式．

43．提示：連接AC．先證明A，E，C，D四點共圓．由此得∠ADE=（∠ACE=）∠MAB，所以AB//DE．

44．提示：證法一 延長AO交⊙O于點E，連接EC，則∠BCA=∠E，且∠ACD=∠E．所以∠BCA=∠ACD．

證法二 連接OA，則∠BCA與∠OCA互余；又∠ACD與∠OAC互余，而∠OCA=∠OAC，所以∠BCA=∠ACD．

46．提示：由已知得∠A=36°，∠B=∠C=72°，∠DBC=∠A=36°，所以∠ABD=36°，從而AD=BD．又∠C=∠CDB=72°，所以BD=BC．

47．提示：過A作CD的平行線交BC于H，則AH=CG．然后證

AG=DG·AH=DG·CG．

49．提示：因為BC=BA，所以∠A=（∠C=）∠D；又∠CED=∠DBF（BF是AB的延長線），所以它們的補角∠DEA=∠ABD．從而四邊形ABDE是平行四邊形．

50．提示：連接DE，則∠BDE=∠1=∠2=∠FED．所以EF//BC．

51．提示：連接BC，則∠ACB=90°=∠FCB．因為CE⊥BE，所以∠F=∠ECB．因為EC切半圓于C，所以∠ECB=∠A，所以∠A=∠F，因此AB=BF．

52．提示：連接AC，BC并延長BC交AP延長線于點N．首先

所以CM=MD．

第二篇：郭氏數學 圓的切線長定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理

郭氏數學內部資料

切線長定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理

以及與圓有關的比例線段

1.切線長概念

切線長是在經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長度，“切線長”是切線上一條線段的長，具有數量的特征，而“切線”是一條直線，它不可以度量長度。2.切線長定理

對于切線長定理，應明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長相等；（2）若已知兩條切線平行，則圓上兩個切點的連線為直徑；（3）經過圓外一點引圓的兩條切線，連結兩個切點可得到一個等腰三角形；（4）經過圓外一點引圓的兩條切線，切線的夾角與過切點的兩個半徑的夾角互補；（5）圓外一點與圓心的連線，平分過這點向圓引的兩條切線所夾的角。

3.弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。

直線AB切⊙O于P，PC、PD為弦，圖中幾個弦切角呢？（四個）4.弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對的圓周角。

5.弄清和圓有關的角：圓周角，圓心角，弦切角，圓內角，圓外角。

6.遇到圓的切線，可聯想“角”弦切角，“線”切線的性質定理及切線長定理。7.與圓有關的比例線段 定理 圖形 已知

結論 證法 相交弦定⊙O中，AB、CD為弦，交PA·PB＝PC·PD.連結AC、BD，理

于P.△APC∽△DPB.相交弦定⊙O中，AB為直徑，CD⊥ABPC2＝PA·PB.用相交弦定理.理的推論

于P.證：郭氏數學內部資料

切割線定理

⊙O中，PT切⊙O于T，PT2＝PA·PB 割線PB交⊙O于A

連結TA、TB，證：△PTB∽△PAT

切割線定理推論

PB、PD為⊙O的兩條割線，PA·PB＝PC·PD 交⊙O于A、C

過P作PT切⊙O于T，用兩次切割線定理

圓冪定理

⊙O中，割線PB交⊙O于P'C·P'D＝r2－延長P'O交⊙O于M，延A，CD為弦 OP'2 長OP'交⊙O于N，用相交

PA·PB＝OP2－r2 弦定理證；過P作切線用

r為⊙O的半徑

切割線定理勾股定理證

8.圓冪定理：過一定點P向⊙O作任一直線，交⊙O于兩點，則自定點P到兩交點的兩條線段之積為常數|圓冪定理。

【典型例題】

例1.如圖1，正方形ABCD的邊長為1，以BC為直徑。在正方形內作半圓O，過A作半圓切線，切點為F，交CD于E，求DE：AE的值。|（R為圓半徑），因為

叫做點對于⊙O的冪，所以將上述定理統稱為

圖1 解：由切線長定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE 設CE為x，在Rt△ADE中，由勾股定理

∴，郭氏數學內部資料

例2.⊙O中的兩條弦AB與CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。

圖2 解：由相交弦定理，得

AE·BE＝CE·DE

∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，∴，即

∴CE＝3cm或CE＝4cm。

故應填3或4。

點撥：相交弦定理是較重要定理，結果要注意兩種情況的取舍。

例3.已知PA是圓的切線，PCB是圓的割線，則 解：∵∠P＝∠P

∠PAC＝∠B，∴△PAC∽△PBA，∴，________。

∴。

又∵PA是圓的切線，PCB是圓的割線，由切割線定理，得

∴，即，故應填PC。

點撥：利用相似得出比例關系式后要注意變形，推出所需結論。

例4.如圖3，P是⊙O外一點，PC切⊙O于點C，PAB是⊙O的割線，交⊙O于A、B兩點，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半徑為10cm，則圓心O到AB的距離是___________cm。郭氏數學內部資料

圖3 解：∵PC是⊙O的切線，PAB是⊙O的割線，且PA：PB＝1：4 ∴PB＝4PA 又∵PC＝12cm 由切割線定理，得 ∴ ∴，∴

∴PB＝4×6＝24（cm）

∴AB＝24－6＝18（cm）

設圓心O到AB距離為d cm，由勾股定理，得

故應填。

例5.如圖4，AB為⊙O的直徑，過B點作⊙O的切線BC，OC交⊙O于點E，AE的延長線交BC于點D，（1）求證：

；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的長。

圖4 點悟：要證 證明：（1）連結BE，即要證△CED∽△CBE。

（2）。

又∵，∴厘米。

點撥：有切線，并需尋找角的關系時常添輔助線，為利用弦切角定理創造條件。郭氏數學內部資料

例6.如圖5，AB為⊙O的直徑，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延長線于E。

圖5 求證：

證明：連結BD，∵AE切⊙O于A，∴∠EAD＝∠ABD

∵AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD

∵AB為⊙O的直徑

∴∠ADB＝90°

∴∠E＝∠ADB＝90°

∴△ADE∽△BAD

∴

∴

∵CD∥AB

∴AD＝BC，∴

例7.如圖6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB為割線。求證：AD·BC＝CD·AB

圖6 點悟：由結論AD·BC＝CD·AB得，顯然要證△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC 證明：∵PA切⊙O于A，∴∠PAD＝∠PBA

又∠APD＝∠BPA，∴△PAD∽△PBA

∴

同理可證△PCD∽△PBC

∴

∵PA、PC分別切⊙O于A、C ∴PA＝PC ∴

郭氏數學內部資料

∴AD·BC＝DC·AB

例8.如圖7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB邊為直徑作⊙O，交斜邊BC于點D，過D點作⊙O的切線交AC于E。

圖7 求證：BC＝2OE。

點悟：由要證結論易想到應證OE是△ABC的中位線。而OA＝OB，只須證AE＝CE。

證明：連結OD。

∵AC⊥AB，AB為直徑

∴AC為⊙O的切線，又DE切⊙O于D ∴EA＝ED，OD⊥DE

∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB

在Rt△ABC中，∠C＝90°－∠B ∵∠ODE＝90°

∴ ∴∠C＝∠EDC

∴ED＝EC ∴AE＝EC ∴OE是△ABC的中位線

∴BC＝2OE

一、選擇題

1.已知：PA、PB切⊙O于點A、B，連結AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，則PA＝（）A.B.C.5 D.8 2.下列圖形一定有內切圓的是（）

A.平行四邊形 B.矩形

C.菱形 D.梯形

3.已知：如圖1直線MN與⊙O相切于C，AB為直徑，∠CAB＝40°，則∠MCA的度數（）

圖1 A.50° B.40° C.60° D.55° 4.圓內兩弦相交，一弦長8cm且被交點平分，另一弦被交點分為1：4，則另一弦長為（）A.8cm B.10cm C.12cm D.16cm 5.在△ABC中，D是BC邊上的點，AD，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延長線與△ABC的外接圓的交點，那么DE長等于（）A.B.C.D.6.PT切⊙O于T，CT為直徑，D為OC上一點，直線PD交⊙O于B和A，B在線段PD上，若CD 郭氏數學內部資料

＝2，AD＝3，BD＝4，則PB等于（）

A.20 B.10 C.5 D.二、填空題

7.AB、CD是⊙O切線，AB∥CD，EF是⊙O的切線，它和AB、CD分別交于E、F，則∠EOF＝_____________度。

8.已知：⊙O和不在⊙O上的一點P，過P的直線交⊙O于A、B兩點，若PA·PB＝24，OP＝5，則⊙O的半徑長為_____________。

9.若PA為⊙O的切線，A為切點，PBC割線交⊙O于B、C，若BC＝20，則PC的長為_____________。

10.正△ABC內接于⊙O，M、N分別為AB、AC中點，延長MN交⊙O于點D，連結BD交AC于P，則_____________。

三、解答題

11.如圖2，△ABC中，AC＝2cm，周長為8cm，F、K、N是△ABC與內切圓的切點，DE切⊙O于點M，且DE∥AC，求DE的長。

圖2

12.如圖3，已知P為⊙O的直徑AB延長線上一點，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求證：CB平分∠DCP。

圖3

13.如圖4，已知AD為⊙O的直徑，AB是⊙O的切線，過B的割線BMN交AD的延長線于C，且BM＝MN＝NC，若AB，求⊙O的半徑。

圖4

第三篇：切線長定理教案 （本站推薦）

切線長定理教案

教學目標：

1、了解切線長定義，掌握切線長定理，并利用它進行有關計算。

2、在運用切線長定理的解題過程中，進一步滲透方程的思想，熟悉用代數的方法解幾何題。

教學重點：理解切線長定理。

教學難點：靈活應用切線長定理解決問題。教學過程：

一、復習引入：

1．切線的判定定理和性質定理．

2．過圓上一點可作圓的幾條切線？過圓外一點呢？過圓內一點呢？

二、合作探究

1、切線長定義：經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長。

2、切線長定理

（1）操作：紙上一個⊙O，PA是⊙O的切線，?連結PO，?沿著直線PO將紙對折，設與點A重合的點為B。OB是⊙O 的半徑嗎？PB是⊙O的切線嗎？猜一猜PA與PB的關系？∠APO與∠BPO呢？

從上面的操作及圓的對稱性可得：

從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．（2）幾何證明．

如圖，已知PA、PB是⊙O的兩條切線．求證：PA=PB，∠APO=∠BPO．

證明：

切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．

3、三角形的內切圓

思考：如圖是一張三角形的鐵皮，如何在它上面截下一塊圓形的鐵片，并且使圓的面積盡可能大呢？

三角形的內切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓

三角形的內心：三角形內切圓的圓心即三角形三條角平分線的交點叫做—— 例 如圖，△ABC的內切圓⊙O與BC,CA,AB分別相切于點D,E,F, 且AB=9cm BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的長。

三、鞏固練習

1、如圖1，PA、PB是⊙O的兩條切線、A、B為切點。PO交⊙O于E點（1）若PB=12，PO=13，則AO=____（2）若PO=10，AO=6，則PB=____（3）若PA=4，AO=3，則PO=____；PE=_____.（4）若PA=4，PE=2，則AO=____.2、如圖2，PA、PB是⊙O的兩條切線、A、B為切點，CD切⊙O于E交PA、PB于C、D兩點。

（1）若PA=12，則△PCD周長為____。（2）若△PCD周長=10，則PA=____。（3）若∠APB=30°,則∠AOB=_____，M是⊙O上一動點，則∠AMB=____

3、如圖Rt△ABC的內切圓分別與AB、AC、BC、相切于點E、D、F，且∠ACB=90°，AC=

3、BC=4，求⊙O的半徑。

4、如圖Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=

6、BC=8，O為BC上一點，以O為圓心，OC為半徑作圓與AB切于D點，求⊙O的半徑。

5、如圖，⊙O與△ADE各邊所在直線都相切，切點分別為M、P、N，且DE⊥AE，AE=8，AD=10，求⊙O的半徑

6、如圖，AB是⊙O的直徑，AE、BF切⊙O于A、B，EF切⊙O于C.求證：OE⊥OF

四、小結歸納

1．圓的切線長概念和定理

2．三角形的內切圓及內心的概念

五、作業設計

第四篇：切線長定理教案

《切線長定理》教案

學習目標

1．理解切線長的概念，掌握切線長定理；

2．通過對例題的分析，培養學生分析總結問題的習慣，提高學生綜合運用知識解題的能力，培養數形結合的思想．

3．通過對定理的猜想和證明，激發學生的學習興趣，調動學生的學習積極性，樹立科學的學習態度．

教學重點:

切線長定理

教學難點:

切線長定理的靈活運用

教學過程:

（一）1、切線長的概念．

如圖，P是⊙O外一點，PA，PB是⊙O的兩條切線，我們把線段PA，PB叫做點P到⊙O的切線長．

引導學生理解：切線和切線長是兩個不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長是線段的長，這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點，可以度量.2、觀察

利用PPT來展示P 的位置的變化，觀察圖形的特征和各量之間的關系．

3、猜想

引導學生直觀判斷，猜想圖中PA是否等于PB． PA＝PB．

4、證明猜想，形成定理．

猜想是否正確。需要證明．

組織學生分析證明方法．關鍵是作出輔助線OA，OB，要證明PA＝PB．

想一想：根據圖形，你還可以得到什么結論？

∠OPA＝∠OPB(如圖)，連接AB，有AD=BD等．

切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．

5、歸納：

把前面所學的切線的5條性質與切線長定理一起歸納切線的性質

6、切線長定理的基本圖形研究（小組合作交流）

如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點．直線OP交⊙O于點D，E，交AB于C

要求：就你所知曉的幾何知識，寫出你認為正確的結論，小組交流，看哪個小組的結論最多，用最簡短的話語證明你的結論是正確的。

說明：對基本圖形的深刻研究和認識是在學習幾何中關鍵，它是靈活應用知識的基礎．

（二）應用、歸納、反思

分析：（1）中可以看出∠AFB是⊙O的圓周角，因此只要求出其對應的弧所對的圓心角的度數就可以了，于是連接OA，OB，運用切線的性質，有OA⊥PA，OB⊥PB。由四邊形的內角和解決問題。

（2）添加的切線要與今天我們學習的切線長定理的基本圖形結合起來，找出基本圖形，運用定理，就可以解決周長，同時知道OC，OD是相應的角平分線，那么∠COD的度數出來了。

學生組織解題過程，在草稿紙上完成。

反思：教師引導學生分析過程，激發學生的學習興趣，培養學生善于觀察圖形，從中找出相應知識點，從而實現新舊知識銜接的能力．

提高練習：

如圖，在⊿ABC中，∠C=900, AC=8，AB=10，點P在AC上，AP=2，若⊙O的圓心在線段BP上，且⊙O與AB、AC都相切，求⊙O的半徑。

方法

（一）分析：從已知條件和圖形中我們能很快地找出切線長定理的基本圖形來。要求：同學們在圖中標出相等關系的線段，注意構成等量關系的因素是什么。設⊙O與AB相切于F，與AC相切于E，⊙O的半徑為r。連接OE，OF，由AC=8，AB=10，AP=2

有CP=BC，從而∠BPC=450，OP=2r，由勾股定理知道：BP=62，所以OB=62?2r 由切線長定理知道：AF=AE=2+r，所以BF=10－(2+r)=8－r

在直角三角形OBF中有（62?2r）2=r2+（8－r）

2解得r=1 方法

（二）分析：從另外一個角度看問題：用三角形的面積可以重新構建數量關系，建立等式。

要求：注意本方法中的輔助線的添加。

設⊙O與AB相切于F，與AC相切于E，⊙O的半徑為r。連接OE，OF，OA。

⊿ABP的面積=⊿AOP的面積+⊿ABO的面積

111有OE?AP?AB?OF?AP?BC 2221

1即有r(2?10)??6?2，所以r=1 22反思：在本題的解法中，同學們可以看出，通過不同的分析思路和觀察的角度可以明顯地得到不同的解法，而且其繁簡程度一目了然。然而由于本題綜合性較強，學生在學習的過程中被動接受的可能性大，在今后的練習設計中要更加注重難度的梯度和適當的鋪墊。

2．課堂訓練：

如圖：⊙O是以正方形ABCD一邊BC為直徑的圓，過A作AF與⊙O相切于點E，交CD于F，若AB=4，求S⊿ADF

（三）小結

1、提出問題學生歸納

（1）這節課學習的具體內容；

（2）學習用的數學思想方法；

（3）應注意哪些概念之間的區別?

2、歸納基本圖形的結論

3、學習了用代數方法解決幾何問題的思想方法．

（四）布置作業

教學反思：

在整節課中對本課的重點學習內容能組織學生自主觀察、猜想、證明，并深刻剖析切線長定理的基本圖形；對重要的結論及時總結。尤其是切線長定理的基本圖形研究環節學生能充分利用已有的知識和新授內容結合，把切線長定理和圓的對稱性緊密接合，體現了本節課知識點的工具性。在例題的選擇中注重了角度計算，長度計算和在具體情境中能準確地找出并運用切線長定理來分析問題，解決問題。

在提高題的選擇上，我的本意是能在平時教學中讓學生接觸中考題型，提供一題多解的證明思路，激發學生的學習興趣，但從學生的接受程度來看，顯然是有點偏難了。通過本節課使我充分地認識到：教學不能只從教師的知識水平和以往的教學實踐來施行，更應該注重學生的實際知識水平和能力狀況。就構建主義的理論而言，學生只有對發生在最近發展區內的教學內容效果是最顯著的，如果梯度過大就失去了“腳手架”的作用了。

第五篇：切線長定理教案

切線長定理教案

教學目標：

1、了解切線長定義，掌握切線長定理，并利用它進行有關計算。

2、在運用切線長定理的解題過程中，進一步滲透方程的思想，熟悉用代數的方法解幾何題。

教學重點：理解切線長定理。

教學難點：靈活應用切線長定理解決問題。教學過程：

一、復習引入：

1．切線的判定定理和性質定理．

2．過圓上一點可作圓的幾條切線？過圓外一點呢？過圓內一點呢？

二、合作探究

1、切線長定義：經過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長。

2、切線長定理

（1）操作：紙上一個⊙O，PA是⊙O的切線，?連結PO，?沿著直線PO將紙對折，設與點A重合的點為B。OB是⊙O 的半徑嗎？PB是⊙O的切線嗎？猜一猜PA與PB的關系？∠APO與∠BPO呢？

從上面的操作及圓的對稱性可得：

從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．（2）幾何證明．

如圖，已知PA、PB是⊙O的兩條切線．求證：PA=PB，∠APO=∠BPO．

證明：

切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角．

3、三角形的內切圓

思考：如圖是一張三角形的鐵皮，如何在它上面截下一塊圓形的鐵片，并且使圓的面積盡可能大呢？

三角形的內切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓

三角形的內心：三角形內切圓的圓心即三角形三條角平分線的交點叫做——

（1）圖中共有幾對相等的線段

（2）若AF=

4、BD=

5、CE=9，則△ABC周長為____

例 如圖，△ABC的內切圓⊙O與BC,CA,AB分別相切于點D,E,F, 且AB=9cm BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的長。若S△ABC=1810,求⊙O的半徑。

三、鞏固練習

1、如圖1，PA、PB是⊙O的兩條切線、A、B為切點。PO交⊙O于E點（1）若PB=12，PO=13，則AO=____（2）若PO=10，AO=6，則PB=____（3）若PA=4，AO=3，則PO=____；PE=_____.（4）若PA=4，PE=2，則AO=____.2、如圖2，PA、PB是⊙O的兩條切線、A、B為切點，CD切⊙O于E交PA、PB于C、D兩點。

（1）若PA=12，則△PCD周長為____。（2）若△PCD周長=10，則PA=____。（3）若∠APB=30°,則∠AOB=_____，M是⊙O上一動點，則∠AMB=____

3、如圖Rt△ABC的內切圓分別與AB、AC、BC、相切于點E、D、F，且∠ACB=90°，AC=

3、BC=4，求⊙O的半徑。

4、如圖Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=

6、BC=8，O為BC上一點，以O為圓心，OC為半徑作圓與AB切于D點，求⊙O的半徑。

5、如圖，⊙O與△ADE各邊所在直線都相切，切點分別為M、P、N，且DE⊥AE，AE=8，AD=10，求⊙O的半徑

6、如圖，AB是⊙O的直徑，AE、BF切⊙O于A、B，EF切⊙O于C.求證：OE⊥OF

7、如圖，⊙O的直徑AB=12cm，AM、BN是切線，DC切⊙O于E，交AM于D，BN于C，設AD=x，BC=y．

（1）求y與x的函數關系式，并說明是什么函數？

（2）若x、y是方程2t2-30t+m=0的兩根，求x，y的值．

（3）求△COD的面積．

四、小結歸納

1．圓的切線長概念和定理

2．三角形的內切圓及內心的概念

五、作業設計

交?