第一篇：高中數(shù)學競賽的教案：平面幾何 第八講 圓冪定理（模版）

數(shù)學競賽輔導(dǎo)講稿—平面幾何

第八講

圓冪定理

一、知識要點：

1、相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。

即：如圖，PA·PC=PB·PD ACOBPD

2、切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓焦點的兩條線

段長的比例中項。即：如圖，PA2=PB·PC

CBAP

3、割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A、B、C、D，則有 PA·PB=PC·PD。

BAD

CP

二、要點分析：

1、相交弦定理、切割線定理和割線定理統(tǒng)稱為圓冪定理。其可統(tǒng)一地表示為：過定點的弦被該點內(nèi)分（或外分）成的兩條線段的積為定值（該點到圓心的距離與圓的半徑的22平方差的絕對值），即PA?PB?定值（OP?r）

2、相交弦定理通常是通過相似三角形而得到的，所以，研究圓中一些線段的比例關(guān)系總離不開相似三角形。

3、相交弦定理揭示了與圓相關(guān)的線段的比例關(guān)系，應(yīng)用較多，特別是在處理有關(guān)計算、作比例中項、證明角相等、四點共圓等問題時是重要的理論依據(jù)。數(shù)學競賽輔導(dǎo)講稿—平面幾何

三、例題講解：

例

1、已知：如圖，在?ABC中，AM、AD分別是其中線和角平分線，⊙ADM交AB于L,交AC于N,求證：BL=CN NLBMDAC

例

2、如圖，⊙O1與⊙O2相交于M、N,D是NM的延長線上的一點，O2O1延長線交⊙O1于B、A,AD交⊙O1于C,MN交O2O1、BC于E、G,求證：EM2=ED·EG DCAMGO1EBO2N 例

3、在Rt?ABC中，D在斜邊BC上，BD=4DC,一圓過點C，且與AC相交于F，與AB相切于AB的中點G,求證：AD⊥BF AFGDC B數(shù)學競賽輔導(dǎo)講稿—平面幾何

例

4、如圖，AB是⊙O中任意一弦，M為AB的中點，過M任作兩條弦CD、EF,連接CE、DF分別交AB于G、H,求證：MG=MH(蝴蝶定理)CAMGFHBDE

例

5、ABCD是圓內(nèi)接四邊形，AC是圓的直徑，BD⊥AC,AC與BD的交點為E,點F在DA的延長線上，連接BF,點G在BA的延長線上，使得DG∥BF,點H在GF的延長線上,CH⊥GF,證明：B、E、F、H四點共圓。

GHFABDEC 數(shù)學競賽輔導(dǎo)講稿—平面幾何

第八講 圓冪定理練習

班級：_____________姓名：_________________

1、⊙O1與⊙O2外切于點P，過P的直線與⊙O1，⊙O2分別相交于點A、C,AB切⊙O2于B, ⊙O1與⊙O2的半徑分別是5、3，則AC：AB=____________.CPO2BO1A

2、如圖：⊙O與等邊?ABC交于點D、E、F、G、H、J,如果GF=13,FC=1,AG=2,HJ=7,那么DE=___________.AHGJFBDEC

?

3、如圖：在?ABC中，?BAC?90,D在BC上，F(xiàn)在AC上，G是AB的中點，且滿足AG2=AF·AC,BF⊥AD,則BD:DC=_____________.AFGCD B

4、AD、AE分別為?ABC的角平分線和中線，過點A、D、E的圓和AB、AC分別交于M、N，求證：BM=CN ANMBEDC 數(shù)學競賽輔導(dǎo)講稿—平面幾何

5、如圖，B是⊙O的切線PA的中點，過B引⊙O的割線與⊙O交于點D、C,PD的延長線交⊙O于E,PC交⊙O于F,求證：AP∥EF ABPOFCED

6、(1)、已知，如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓，求證：AB·DC+BC·AD=AC·BD DCAB

（2）、已知，如圖，在凸四邊形ABCD中，AB·DC+BC·AD=AC·BD，求證：四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形。

DCA

附加題： B

??y?1?x1、集合A={(x,y)?}的子集的個數(shù)為________ 2??y?1?xa?bb?cc?a，}，2、已知三個非零實數(shù)a,b,c,集合A={記x為集合A的所有元素之cab和，y為集合A的所有元素之積，若x?2y，則x?y的值是__________.3、集合A={1,3,5,7}，B={2,4,6,8,20},若C={S︱S=a+b,a∈A,b∈B},則集合C的元素個數(shù)為__________.

第二篇：高中數(shù)學競賽中平面幾何涉及的定理

1、勾股定理(畢達哥拉斯定理)

2、射影定理(歐幾里得定理)

3、三角形的三條中線交于一點，并且，各中線被這個點分成2：1的兩部分

4、四邊形兩邊中心的連線的兩條對角線中心的連線交于一點

5、間隔的連接六邊形的邊的中心所作出的兩個三角形的重心是重合的。

6、三角形各邊的垂直一平分線交于一點。

7、從三角形的各頂點向其對邊所作的三條垂線交于一點

8、設(shè)三角形ABC的外心為O，垂心為H，從O向BC邊引垂線，設(shè)垂足不L，則AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一條直線上。

10、(九點圓或歐拉圓或費爾巴赫圓)三角形中，三邊中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上，11、歐拉定理：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線(歐拉線)上

12、庫立奇*大上定理：(圓內(nèi)接四邊形的九點圓)圓周上有四點，過其中任三點作三角形，這四個三角形的九點圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點圓。

13、(內(nèi)心)三角形的三條內(nèi)角平分線交于一點，內(nèi)切圓的半徑公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss為三角形周長的一半

14、(旁心)三角形的一個內(nèi)角平分線和另外兩個頂點處的外角平分線交于一點

15、中線定理：(巴布斯定理)設(shè)三角形ABC的邊BC的中點為P，則有AB2+AC2=2(AP2+BP2)

16、斯圖爾特定理：P將三角形ABC的邊BC內(nèi)分成m:n，則有

n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC217、波羅摩及多定理：圓內(nèi)接四邊形ABCD的對角線互相垂直時，連接AB中點M和對角線交點E的直線垂直于CD18、阿波羅尼斯定理：到兩定點A、B的距離之比為定比m:n(值不為1)的點P，位于將線段AB分成m:n的內(nèi)分點C和外分點D為直徑兩端點的定圓周上

19、托勒密定理：設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則有AB×CD+AD×BC=AC20、以任意三角形ABC的邊BC、CA、AB為底邊，分別向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，則△DEF是正三角形，21、愛爾可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，則由線段AD、BE、CF的重心構(gòu)成的三角形也是正三角形。

22、愛爾可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，則由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心構(gòu)成的三角形是正三角形。

23、梅涅勞斯定理：設(shè)△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經(jīng)過它們?nèi)我豁旤c的直線的交點分別為P、Q、R則有 BPPC×CQQA×ARRB=

124、梅涅勞斯定理的逆定理：(略)

27、塞瓦定理：設(shè)△ABC的三個頂點A、B、C的不在三角形的邊或它們的延長線上的一點S連接面成的三條直線，分別與邊BC、CA、AB或它們的延長線交于點P、Q、R，則BPPC×CQQA×ARRB()=1.32、西摩松定理：從△ABC的外接圓上任意一點P向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線，設(shè)其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，(這條直線叫西摩松線)

34、史坦納定理：設(shè)△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點P，這時關(guān)于△ABC的點P的西摩松線通過線段PH的中心。

36、波朗杰、騰下定理：設(shè)△ABC的外接圓上的三點為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于△ABC交于一點的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).不用掌握

37、波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點，若P、Q、R關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點，則A、B、C三點關(guān)于△PQR的的西摩松線交于與前相同的一點

38、波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點是A、B、C、P、Q、R六點任取三點所作的三角形的垂心和其余三點所作的三角形的垂心的連線段的中點。

39、波朗杰、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點P的關(guān)于△ABC的西摩松線，如設(shè)QR為垂直于這條西摩松線該外接圓珠筆的弦，則三點P、Q、R的關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點

40、波朗杰、騰下定理推論4：從△ABC的頂點向邊BC、CA、AB引垂線，設(shè)垂足分別是

D、E、F，且設(shè)邊BC、CA、AB的中點分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點在同一個圓上，這時L、M、N點關(guān)于關(guān)于△ABC的西摩松線交于一點。

41、關(guān)于西摩松線的定理1：△ABC的外接圓的兩個端點P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點在九點圓上。

42、關(guān)于西摩松線的定理2(安寧定理)：在一個圓周上有4點，以其中任三點作三角形，再作其余一點的關(guān)于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點。

43、卡諾定理：通過△ABC的外接圓的一點P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線。

44、奧倍爾定理：通過△ABC的三個頂點引互相平行的三條直線，設(shè)它們與△ABC的外接圓的交點分別是L、M、N，在△ABC的外接圓取一點P，則PL、PM、PN與△ABC的三 邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線

45、清宮定理：設(shè)P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點，P點的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線

46、他拿定理：設(shè)P、Q為關(guān)于△ABC的外接圓的一對反點，點P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，如果QU、QV、QW與邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別為ED、E、F，則D、E、F三點共線。(反點：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點，如果OC2=OQ×OP 則稱P、Q兩點關(guān)于圓O互為反點)

47、朗古來定理：在同一圓同上有A1B1C1D14點，以其中任三點作三角形，在圓周取一點P，作P點的關(guān)于這4個三角形的西摩松線，再從P向這4條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直線上。

48、九點圓定理：三角形三邊的中點,三高的垂足和三個歐拉點[連結(jié)三角形各頂點與垂心所得三線段的中點]九點共圓[通常稱這個圓為九點圓[nine-point circle],或歐拉圓,費爾巴哈圓.49、一個圓周上有n個點，從其中任意n-1個點的重心，向該圓周的在其余一點處的切線所引的垂線都交于一點。

50、康托爾定理1：一個圓周上有n個點，從其中任意n-2個點的重心向余下兩點的連線所引的垂線共點。

51、康托爾定理2：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N兩點，則M和N點關(guān)于四個三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個的兩條西摩松的交點在同一直線上。這條直線叫做M、N兩點關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線。

52、康托爾定理3：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N、L三點，則M、N兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線交于一點。這個點叫做M、N、L三點關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點。

53、康托爾定理4：一個圓周上有A、B、C、D、E五點及M、N、L三點，則M、N、L三點關(guān)于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個康托爾點在一條直線上。這條直線叫做M、N、L三點關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線。

54、費爾巴赫定理：三角形的九點圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切。

55、莫利定理：將三角形的三個內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構(gòu)成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形。

56、牛頓定理1：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三條共線。這條直線叫做這個四邊形的牛頓線。

57、牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線。

58、笛沙格定理1：平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對應(yīng)頂點(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個交點共線。

59、笛沙格定理2：相異平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對應(yīng)頂點(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點，這時如果對應(yīng)邊或其延長線相交，則這三個交點共線。60、布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對的頂點A和D、B和E、C和F，則這三線共點。

60、巴斯加定理：圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延長線的)交點共線。

高中競賽中重要，一般稱做帕斯卡定理，而且是圓錐曲線內(nèi)接六邊形

第三篇：高中數(shù)學常用平面幾何名定理

高中數(shù)學常用平面幾何名定理

定理1 Ptolemy定理托勒密(Ptolemy)定理

四邊形的兩對邊乘積之和等于其對角線乘積的充要條件是該四邊形內(nèi)接于一圓。

定理2 Ceva定理

定理3 Menelaus定理

定理4 蝴蝶定理定理

內(nèi)容：圓O中的弦PQ的中點M，任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點。

定理5 張角定理

在△ABC中，D是BC上的一點。連結(jié)AD。張角定理指出:sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD

定理6 Simon line西姆松(Simson)定理（西姆松線）

從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。

定理7 Eular line：

同一三角形的垂心、重心、外心三點共線，這條直線稱為三角形的歐拉線；且外心與重心的距離等于垂心與重心距離的一半

定理8 到三角形三定點值和最小的點——費馬點

已知P為銳角△ABC內(nèi)一點，當∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°時，PA＋PB＋PC的值最小，這個點P稱為△ABC的費爾馬點。

定理9 三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點是三角形的重心

定理10到三角形三頂點距離的平方和最小的點是三角形的重心 在幾何里,平面是無限延展的,是無大小的,是不可度量的,是無厚度的,通常畫平行四邊形來表示平面

0、勾股定理，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這是平面幾何中一個最基本、最重要的定理，國外稱為畢達哥拉斯定理。

1、歐拉（Euler）線：

同一三角形的垂心、重心、外心三點共線，這條直線稱為三角形的歐拉線；且外心與重心的距離等于垂心與重心距離的一半

2、九點圓：

任意三角形三邊的中點.三條高線的垂足.垂心與各頂點連線的中點,這9點共圓，這個圓稱為三角形的九點圓；其圓心為三角形外心與垂心所連線段的中點，其半徑等于三角形外接圓半徑的一半。

3、費爾馬點：

已知P為銳角△ABC內(nèi)一點，當∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°時，PA＋PB＋PC的值最小，這個點P稱為△ABC的費爾馬點。

4、海倫（Heron）公式：

在△ABC中，邊BC、CA、AB的長分別為a、b、c，若p＝0.5*（a＋b＋c），則△ABC的面積S＝√ p*(p-a)(p-b)(p-c)

5、塞瓦（Ceva）定理：

在△ABC中，過△ABC的頂點作相交于一點P的直線，分別交邊BC、CA、AB與點D、E、F，則 ；其逆亦真

6、密格爾（Miquel）點：

若AE、AF、ED、FB四條直線相交于A、B、C、D、E、F六點，構(gòu)成四個三角形，它們是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，則這四個三角形的外接圓共點，這個點稱為密格爾點。

7、葛爾剛（Gergonne）點:

△ABC的內(nèi)切圓分別切邊AB、BC、CA于點D、E、F，則AE、BF、CD三線共點，這個點稱為葛爾剛點。

8、西摩松（Simson）線：

已知P為△ABC外接圓周上任意一點，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F為垂足，則D、E、F三點共線，這條直線叫做西摩松線。

9、黃金分割：

把一條線段(AB)分成兩條線段,使其中較大的線段(AC)是原線段(AB)與較小線段(BC)的比例中項,這樣的分割稱為黃金分割

11、笛沙格（Desargues）定理：

已知在△ ABC與△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三線相交于點O，BC與B'C'、CA與C'A'、AB與A'B'分別相交于點X、Y、Z，則X、Y、Z三點共線；其逆亦真。

12、摩萊（Morley）三角形：

在已知△ABC三內(nèi)角的三等分線中，分別與BC、CA、AB相鄰的每兩線相交于點D、E、F，則三角形DDE是正三角形，這個正三角形稱為摩萊三角形。

13、帕斯卡（Paskal）定理：

已知圓內(nèi)接六邊形ABCDEF的邊AB、DE延長線交于點G，邊BC、EF延長線交于點H，邊CD、FA延長線交于點K，則H、G、K三點共線

14、托勒密（Ptolemy）定理：

在圓內(nèi)接四邊形中，AB?CD＋AD?BC＝AC?BD15、阿波羅尼斯（Apollonius）圓

一動點P與兩定點A、B的距離之比等于定比m：n，則點P的軌跡，是以定比m：n內(nèi)分和外分定線段的兩個分點的連線為直徑的圓，這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱“阿氏圓”

16、梅內(nèi)勞斯定理

梅內(nèi)勞斯定理（Menelaus’ theorem）的表述：如果一條直線和三角形ABC的三邊或其延長線分別交于點P、Q、R，則有，BP/PC·CQ/QA·AR/RB=-

1此定理得逆命題也成立。

17、布拉美古塔（Brahmagupta）定理：

在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC⊥BD，自對角線的交點P向一邊作垂線，其延長線必平分對邊

第四篇：圓冪定理及其證明

圓冪定理

圓冪的定義:一點P對半徑R的圓O的冪定義如下：OP?R

所以圓內(nèi)的點的冪為負數(shù)，圓外的點的冪為正數(shù)，圓上的點的冪為零。圓冪定理是相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)以及他們推論的統(tǒng)稱。

（1）相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等。

DA22PC

如圖，AB、CD為圓O的兩條任意弦。相交于點P，連接AD、BC，則∠D=∠B，∠A=∠C。所以△APD∽△BPC。所以 BAPPD??AP?BP?PC?PD PCBP（2）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓焦點的兩條線段長的比例中項。

TPAB

如圖，PT為圓切線，PAB為割線。連接TA，TB，則∠PTA=∠B（弦切角等于同弧圓周角）所以△PTA∽△PBT，所以

PTPA??PT2?PA?PB PBPT（3）割線定理：從圓外一點P引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D 則有

PA·PB=PC·PD。

DCPAB

這個證明就比較簡單了。可以過P做圓的切線，也可以連接CB和AD。證相似。存在：PA?PB?PC?PD 進一步升華（推論）：

過任意在圓O外的一點P引一條直線L1與一條過圓心的直線L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D。則PA·PB=PC·PD。若圓半徑為r，則

PC?PD?(PO?R)?(PO?R)?PO2?R2?|PO2?R2|（一定要加絕對值，原因見下）為定值。這個值稱為點P到圓O的冪。（事實上所有的過P點與圓相交的直線都滿足這個值）

若點P在圓內(nèi)，類似可得定值為R2?PO2?|PO2?R2|

故平面上任意一點對于圓的冪為這個點到圓心的距離與圓的半徑的平方差的絕 對值。（這就是“圓冪”的由來）

第五篇：高中數(shù)學聯(lián)賽平面幾何定理

①雞爪定理：設(shè)△ABC的內(nèi)心為I，∠A內(nèi)的旁心為J，AI的延長線交三角形外接圓于K，則KI=KJ=KB=KC。

由內(nèi)心和旁心的定義可知∠IBC=∠ABC/2，∠JBC=(180°-∠ABC)/2 ∴∠IBC+∠JBC=∠ABC/2+90°-∠ABC/2=90°=∠IBJ 同理，∠ICJ=90° ∵∠IBJ+∠ICJ=180°

∴IBJC四點共圓，且IJ為圓的直徑 ∵AK平分∠BAC ∴KB=KC（相等的圓周角所對的弦相等）

又∵∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠ABC/2+∠KAC=∠ABI+∠BAK=∠KIB ∴KB=KI ∵IBJC四點共圓 且 KB=KI=KC ∴點K是四邊形IBJC的外接圓的圓心（只有圓心滿足與圓周上超過三個以上的點的距離相等）∴KB=KI=KJ=KC 雞爪定理逆定理：設(shè)△ABC中∠BAC的平分線交△ABC的外接圓于K。在AK及延長線上截取KI=KB=KJ，其中I在△ABC的內(nèi)部，J在△ABC的外部。則I是△ABC的內(nèi)心，J是△ABC的旁心。證明：利用同一法可輕松證明該定理的逆定理。

取△ABC的內(nèi)心I'和旁心J’，根據(jù)定理有KB=KC=KI'=KJ' 又∵KB=KI=KJ ∴I和I'重合，J和J’重合 即I和J分別是內(nèi)心和旁心。

②蝴蝶定理：設(shè)S為圓內(nèi)弦AB的中點，過S作弦EF和CD。設(shè)CF和DE各相交AB于點M和N，則S是MN的中點。

過O作OL⊥ED，OT⊥CF，垂足為L、T，連接ON，OM，OS，SL，ST，易明△ESD∽△CSF 證法1:霍納證法

∴ES/CS=ED/FC 根據(jù)垂徑定理得：LD=ED/2，F(xiàn)T=FC/2 ∴ES/CS=EL/CT 又∵∠E=∠C ∴△ESL∽△CST ∴∠SLN=∠STM ∵S是AB的中點所以O(shè)S⊥AB ∴∠OSN=∠OLN=90°

∴O，S，N，L四點共圓，（一中同長）同理，O，T，M，S四點共圓

∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON ∴∠SON=∠SOM ∵OS⊥AB ∴MS=NS ③西姆松定理：過三角形外接圓上異于三角形頂點的任意一點作三邊或其延長線上的垂線，則三垂足共線。（此線常稱為西姆松線）。西姆松定理的逆定理為：若一點在三角形三邊所在直線上的射影共線，則該點在此三角形的外接圓上。

證明一：△ABC外接圓上有點P，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，PD⊥AB于D，分別連FE、FD、BP、CP.易證P、B、D、F和P、F、C、E分別共圓，（四點共圓）

在PBDF圓內(nèi)，∠DBP+∠DFP=180度，在ABPC圓內(nèi)∠ABP+∠ACP =180度，∴∠DFP=∠ACP ①，在PFCE圓內(nèi) ∠PFE=∠PCE②

而∠ACP+∠PCE=180°③ ∴∠DFP+∠PFE=180°④，即D、F、E共線。反之，當D、F、E共線時，由④→②→③→①可見A、B、P、C共圓。④九點圓：三角形三邊的中點，三高的垂足和三個歐拉點(連結(jié)三角形各頂點與垂心所得三線段的中點)九點共圓。作圖如下:△ABC的BC邊垂足為D，BC邊中點為L，AC邊垂足為E，AC邊中點為M,AB邊垂足為F，AB邊中點為N, 垂心為H，AH,BH,CH中點分別為P,Q,R(思路：以PL為直徑，其它任意某點，去證P某L為90°)證明:(由中位線)PM∥CH，LM∥AB，又CH⊥AB∴PM⊥LM，又PD⊥LD ∴PMDL共圓。

(由中位線)PR∥AC，LR∥BH，BH⊥AC，所以PR⊥LR ∴PMRDL五點共圓。PE為Rt△AHE斜邊中線 ∴∠PEA=∠PAE 同理∠LEC=∠LCE所以∠PEL=180°—∠ADC ∴∠LEP等于90°

∴PEMRDL六點共圓，PL為直徑，同理PFNQL五點共圓,PL為直徑 ∴PEMRDLQNF九點共圓，PL為直徑，PL中點(設(shè)為V)就是圓心 下證 九點圓的圓心在垂心與外心連線的中點

O為外心，OL平行等于AH一半(小定理)所以O(shè)L平行等于PH OLPH為平行四邊形，V是PL中點，就是OH中點。

⑤托勒密定理：圓內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積。

在任意凸四邊形ABCD中(如右圖)，作△ABE使∠BAE=∠CAD ∠ABE=∠ ACD,連接DE.則△ABE∽△ACD 所以 BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD(1)由△ABE∽△ACD得AD/AC=AE/AB,又∠BAC=∠EAD, 所以△ABC∽△AED.BC/ED=AC/AD,即ED·AC=BC·AD(2)(1)+(2),得

AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因為BE+ED≥BD(僅在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時，等號成立，即“托勒密定理”)⑥三弦定理：圓上一點A,引出三條弦AB(左)、AC(右)、及中間弦AD,BC與AD交于P，則： ABsin∠CAP +ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。

證明如下;連BD、CD, 由圓的相交弦定理→△ABP∽△CDP→AB/CD=AP/CP→AB·CP=CD·AP→

AB·CP-CD·AP=0→同理→AC·BP-BD·AP=0, 所以有AB(AB·CP-CD·AP)=0, AC(AC·BP-BD·AP)=0,兩式相加→AB·AB·CP + AC·AC·BP=AB·CD·AP +AC·BD·AP=AP(AB·CD+AC·BD)=AP·BC·AD⑴(托氏定理)。

由AC外分∠BAP, 由《分角定理》→(sin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC)·(AB/AP), →

(ABsin∠CAP/ sin∠BAC)=(CP/BC)·(AB·AB/AP)⑵, 同理有, 由AB外分∠CAP, 由《分角定理》→(ACsin∠BAP/ sin∠BAC)=(BP/BC)·(AC·AC/AP)⑶, 由⑵+⑶→

(ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP)/ sin∠BAC=(AB·AB·CP+ AC·AC·BP)/BC·AP,由⑴→

(AB·AB·CP+ AC·AC·BP)/BC·AP=AD, 所以(ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP)/ sin∠BAC=AD, 所以,ABsin∠CAP+ ACsin∠BAP= ADsin∠BAC。證畢。