第一篇：高中數學教師資格面試《圓的一般方程》教案

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高中數學教師資格面試《圓的一般方程》教案

一、教學目標 【知識與技能】

在掌握圓的標準方程的基礎上，理解記憶圓的一般方程的代數特征，由圓的一般方程確定圓的圓心半徑.掌握方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件。

【過程與方法】

通過對方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圓的條件的探究，學生探索發現及分析解決問題的實際能力得到提高。

【情感態度與價值觀】

滲透數形結合、化歸與轉化等數學思想方法，提高學生的整體素質，激勵學生創新，勇于探索。

二、教學重難點 【重點】

掌握圓的一般方程，以及用待定系數法求圓的一般方程。【難點】

二元二次方程與圓的一般方程及標準圓方程的關系。

三、教學過程

(一)復習舊知，引出課題

1.復習圓的標準方程，圓心、半徑。

2.提問1：已知圓心為(1,-2)、半徑為2的圓的方程是什么?(二)交流討論，探究新知

1.提問2：方程x2 +y2-2x+4y+1=0是什么圖形?方程x2 +y2-2x-4y+6=0表示什么圖形?任何圓的方程都是這樣的二元二次方程嗎?(通過此例分析引導學生使用配方法)2.方程x2 +y2 +Dx+Ey+F=0什么條件下表示圓?(配方和展開由學生相互討論交流完成,教師最后展示結果)將x2 +y2 +Dx+Ey+F=0配方得：

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3.學生在教師的引導下對方程分類討論，最后師生共同總結出3種情況，即圓的一般方程表示圓的條件。從而得出圓的一般方程是：x2 +y2 +Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)4.由學生歸納圓的一般方程的特點，師生共同總結。(三)例題講解，深化新知

例1.判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程?如果是，請求出圓的圓心及半徑。

例2.求過三點A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標。

(四)小結作業

師生共同總結今天這節課所學知識點 作業：分必做題和選做題。

四、板書設計

五、教學反思

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第二篇：人教版圓的一般方程教案

圓的一般方程

一、教學目標

1．討論并掌握圓的一般方程的特點，并能將圓的一般方程化為圓的標準方程，從而求出圓心的坐標和半徑．

2．能分析題目的條件選擇圓的一般方程或標準方程解題，解題過程中能分析和運用圓的幾何性質．

二、教學重點與難點

圓的一般方程的探求過程及其特點是教學重點；根據具體條件選用圓的方程為教學難點．

三、教學過程

（一）復習并引入新課

師：請大家說出圓心在點(a，b)，且半徑是r的圓的方程． 生：(x－a)2+(y－b)2=r2．

師：以前學習過直線，直線方程有哪幾種？

生：直線方程有點斜式、斜截式、兩點式、截距式和一般式． 師：直線方程的一般式是Ax+By+C=0嗎？ 生A：是的．

生B：缺少條件A2+B2≠0．

師：好！那么圓的方程有沒有類似“直線方程的一般式”那樣的“一般方程”呢？

(書寫課題：“圓的一般方程”的探求)1

（二）探索新知

師：圓是否有一般方程？這是個未解決的問題，我們來探求一下．大家知道，我們認識一般的東西，總是從特殊入手．如探求直線方程的一般形式就是通過把特殊的公式(點斜式，兩點式……)展開整理而得到的．想求圓的一般方程，怎么辦？ 生：可仿照直線方程試一試！把標準形式展開，整理得

x2+y2－2ax－2by+a2+b2－r2=0．令D=－2a，E=－2b，F=a2+b2－r2，有：x2+y2+Dx+Ey+F=0(*)師：從(*)式的得來過程可知，只要是圓的方程就可以寫成(*)的形式．那么能否下結論：x2+y2+Dx+Ey+F=0就是圓的方程？ 生A：不一定．還得考慮：x2+y2+Dx+Ey+F=0能否寫成標準形式．

生B：也可以像直線方程一樣，要有一定條件． 師：那么考慮考慮怎樣去尋找條件？ 生：配方．

師；請大家動手做，看看能否配成標準形式？

(放手讓同學討論，教師適當指導，然后由同學說，教師板書．)

22將（*）式配方得:??D??E?D2?E2?4F?x?2?????y?2???4.???

1．當D2+E2－4F＞0時，比較(△)式和圓的標準方程知：(*)式表示以

??DE1??2,??2??為圓心，2D2?E2?4F為半徑的圓；

2.當D2?E2?4F?0時，???式只有實數解x??D2,y??E2，即???式表示一個點??D??2，?E?2???有時也叫點圓?3.當D2+E2－4F＜0時，(*)式沒有實數解，因而它不表示任何圖形．

教師總結：當D2+E2－4F＞0時，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫圓的一般方程．

師：圓的一般方程有什么特點？ 生A：是關于x、y的二元二次方程． 師：剛才生A的說法對嗎？

生B：不全對．它是關于x、y的特殊的二元二次方程． 師：特殊在什么地方？

(通過爭論與舉反例后，由教師總結)師：1．x2，y2系數相同，且不等于零． 2．沒有xy這樣的二次項．

(追問)：這兩個條件是“方程Ax2+By2+Dx+Ey+F=0表示圓”的什么條件？ 生：必要條件． 師：還缺什么？ 生：D2+E2－4F＞0．

練習：判斷以下方程是否是圓的方程： ①x2+y2－2x+4y－4=0 3

②2x2+2y2－12x+4y=0 ③x2+2y2－6x+4y－1=0 ④x2+y2－12x+6y+50=0

三、應用舉例

師：先請大家比較一下圓的標準方程(x－a)2+(y－b)2=r2與一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0在應用上各有什么優點？

生：標準方程的幾何特征明顯——能看出圓心、半徑；一般方程的優點是能從一般的二元二次方程中找出圓的方程． 師：怎樣判斷用“一般方程”表示的圓的圓心、半徑．

DE?1生：圓心???，r?D2?E2?4F.??，?22?2生B：不用死記，配方即可．

師：兩種形式的方程各有特點，我們應對具體情況作具體分析、選擇． 四．例題講解

例1．求過三點O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圓的方程；

分析：由于O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)不在同一條直線上，因此經過O,M1,M2三點有唯一的圓．

解：法一：設圓的方程為x2?y2?Dx?Ey?F?0，∵O,M1,M2三點都在圓上，∴O,M1,M2三點坐標都滿足所設方程，把O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)代入所設方程，4

?F?0?得：?D?E?F?2?0

?4D?2E?F?20?0??D??8?解之得：?E?6

?F?0?所以，所求圓的方程為x2?y2?8x?6y?0．

法二：也可以求OM1和OM2中垂線的交點即為圓心，圓心到O的距離就是半徑也可以求的圓的方程：x2?y2?8x?6y?0．

法三：也可以設圓的標準方程：(x?a)2?(y?b)2?r2將點的坐標代入后解方程組也可以解得(x?4)2?(y?3)2?25

五、小結

注意一般式的特點：1°x2，y2系數相等且不為零；2°沒有xy這樣的項；3°D2+E2－4F＞0．另外，大家考慮：D2+E2－4F有點像什么？像判別式，它正是方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否是圓的方程的判別式．如D、E確定了，則與F的變化有關．

六、作業：

1.求下列各圓的圓心坐標和半徑： ①x2+y2－2x－5=0 ②x2+y2+2x－4y－4=0 ③x2+y2+2ax＝0 ④x2+y2－2by－2b2＝0

七、教學反思

這是一節介紹新知識的課，而且這節課還非常有利于展現知識的形成過程．因此，在設計這節課時，力求“過程、結論并重；知識、能力、思想方法并重”.6

第三篇：數學教案(圓的一般方程)

教學簡案

【課

題】圓的一般方程 【教學目標】

1、知識目標：（1）在掌握圓的標準方程的基礎上，理解記憶圓的一般方程的代數特征，由圓的一般方程確定圓的圓心和半徑，掌握方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示圓的條件；

（2）能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標準方程，能用待定系數法求圓的方程。

（3）利用圓的方程解決與圓有關的實際問題。

2、能力目標：通過對方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示圓的條件的探索，培養學生探索、發現及分析解決問題的實際能力。

3、情感目標：滲透數形結合、化歸與轉化等數學思想方法，提高學生的整體素質，激勵學生創新，勇于探索。

【教學重點】圓的一般方程的代數特征，一般方程與標準方程間互化，根據已知條件確定方程中的系數D、E、F。

【教學難點】對圓的一般方程的認識、掌握和應用。【教學方法】講授法，分析法。【教學用具】多媒體輔助教學 【教學流程】

一、情景創設 問題1：

在平面直角坐標系中，以C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的方程是什么？

問題2：

將圓的標準方程展開整理后，能發現哪些特征？（尋找新知識的生長點）

結論：（多媒體顯示）

將(x?a)2?(y?b)2?r2 展開得x2?y2?2ax?2by?a2?b2?r2?0，我們發現任何圓都能表示為一個具有以下特征的x,y的二次方程：

（1）x2和y2項的系數同為1；

（2）不出現交叉乘積的二次項xy。

問題3：

x2?y2?2x?4y?6?0是圓的方程？若是，寫出圓心坐標和半徑；若不是，則說明理由

二、探索研究

二元二次方程x2?y2?Dx?Ey?F?0表示圓的條件是什么？

（創設一種鼓勵的寬松的氛圍，讓學生充分發表自已的觀點，教師適當引導。）

二元二次方程x2?y2?Dx?Ey?F?0，通過配方后可以化為

D2E2D2?E2?4F(x?)?(y?)?

224（1）當D2?E2?4F?0時，方程表示以(?為半徑的圓；

DE1,?)為圓心，D2?E2?4F222（2）當D2?E2?4F?0時，方程表示一個點(?DE,?)； 22（3）當D2?E2?4F?0時，方程沒有實數解，因而方程不表示任何圖形。板書：圓的一般方程：x2?y2?Dx?Ey?F?0（D2?E2?4F?0）

指出：（1）圓心(?DE1,?)，半徑D2?E2?4F； 222（2）圓的標準方程的優點在于它明確指出了圓心和半徑，而一般方程突出了方程形式上的特點；

（3）給出圓的一般方程，會寫出它的圓心和半徑；若給出相關條件，則能求出圓的方程。

三、應用舉例

例

1、判斷下列方程是否表示圓，如果是，并求出各圓的半徑和圓心坐標：

（1）x2?y2?6x?0；

（2）2x2?2y2?4x?8y?12?0；

（3）2x2?2y2?4x?8y?10?0；（4）x2?y2?6x?10?0；

（5）x2?2y2?4x?8y?10。

（解略）

例

2、求以O(0,0),A(1,1),B(4,2)為頂點的三角形的外接圓方程，并求出它的圓心和半徑。

（分析：應用圓的一般方程x2?y2?Dx?Ey?F?0，將已知三點的坐標代

入這個方程，得到一個三元一次方程組，解這個三元一次方程組，即可求得

圓的一般方程，對圓的一般方程配方即可求半徑長和圓心坐標。同時，將這

種求圓的一般方程的方法稱為“待定系數法”。）

四、課內練習

1、判定下列方程中，哪些是圓的方程？如果是，求出它們的圓心和半徑：

（1）2x2?2y2?4x?5?0；

（2）x2?y2?3x?4y?12?0；

3（3）x2?2y2?4x?2y?5?0；

（4）?x2?2y2?4x?2y?1；

（5）3x2?4xy?(x?2y)2?4

2、求過三點A（2，2），B（5，3），C（3，-1）的圓的方程。

五、課內拓展

若圓x2?y2?Dx?Ey?F?0與y軸相切于原點，則D，E，F應滿足什么條件？若圓與y軸相切呢？

學生討論，各抒已見，相互補充，完善結論。

我們還可以繼續探究：如當圓與x軸相切；過原點；原點在圓內；等等情況時，系數D、E、F應滿足的條件。

八、歸納小結

（教師引導，由學生總結一節課的收獲，然后顯示幻燈片同時教師總結。）

五、布置作業

（1）課堂作業：《數學指導用書》第25頁課外習題1（1）（2）（3）（4）、2、4。（2）課外作業：《數學指導用書》第26頁課外習題5、6、7。

第四篇：高二數學圓的一般方程教案 人教版

高二數學圓的一般方程教案 人教版

一、教學目標

(一)知識教學點

使學生掌握圓的一般方程的特點；能將圓的一般方程化為圓的標準方程從而求出圓心的坐標和半徑；能用待定系數法，由已知條件導出圓的方程．

(二)能力訓練點

使學生掌握通過配方求圓心和半徑的方法，熟練地用待定系數法由已知條件導出圓的方法，熟練地用待定系數法由已知條件導出圓的方程，培養學生用配方法和待定系數法解決實際問題的能力．

(三)學科滲透點

通過對待定系數法的學習為進一步學習數學和其他相關學科的基礎知識和基本方法打下牢固的基礎．

二、教材分析

1．重點：(1)能用配方法，由圓的一般方程求出圓心坐標和半徑；(2)能用待定系數法，由已知條件導出圓的方程．

(解決辦法：(1)要求學生不要死記配方結果，而要熟練掌握通過配方求圓心和半徑的方法；(2)加強這方面題型訓練．)

2．難點：圓的一般方程的特點．

(解決辦法：引導學生分析得出圓的一般方程的特點，并加以記憶．)

3．疑點：圓的一般方程中要加限制條件D2+E2-4F＞0．

(解決辦法：通過對方程配方分三種討論易得限制條件．)

三、活動設計 講授、提問、歸納、演板、小結、再講授、再演板．

四、教學過程

(一)復習引入新課

前面，我們已討論了圓的標準方程(x-a)2+(y-b)2=r2，現將展開可得x2+y2-2ax-2by+a2+b2-r2=0．可見，任何一個圓的方程都可以寫成x2+y2+Dx+Ey+F=0．請大家思考一下：形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲線是不是圓？下面我們來深入研究這一方面的問題．復習引出課題為“圓的一般方程”．

(二)圓的一般方程的定義

1．分析方程x3+y2+Dx+Ey+F=0表示的軌跡

將方程x2+y2+Dx+Ey+F=0左邊配方得：(1)

(1)當D2+E2-4F＞0時，方程(1)與標準方程比較，可以看出方程

第五篇：高中數學 (4.1.2 圓的一般方程)示范教案 新人教A版必修2

4.1.2 圓的一般方程

整體設計

教學分析

教材通過將二元二次方程

x+y+Dx+Ey+F=0

2配方后化為D2F2D2?E2?4F222222(x+)+(y+)=后只需討論D+E-4F＞0、D+E-4F=0、D+E-4F＜0.與圓的224DE122標準方程比較可知D+E-4F＞0時,表示以(-,-)為圓心,D2?E2?4F為半徑的222DDEE22圓；當D+E-4F=0時,方程只有實數解x=-,y=-,即只表示一個點(-,-);當

2222D+E-4F＜0時,方程沒有實數解,因而它不表示任何圖形.22 從而得出圓的一般方程的特點：(1)x和y的系數相同,不等于0；(2)沒有x·y這樣的2222二次項；(3)D+E-4F＞0.其中(1)和(2)是二元一次方程Ax＋Bxy＋Cy＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的必要條件,但不是充分條件,只有三條同時滿足才是充要條件.222 同圓的標準方程(x－a)＋(y－b)=r含有三個待定系數a、b、r一樣,圓的一般方程22x+y+Dx+Ey+F=0中也含有三個待定系數D、E、F,因此必須具備三個獨立條件才能確定一個圓.同樣可以用待定系數法求得圓的一般方程.在實際問題中,究竟使用圓的標準方程還是使用圓的一般方程更好呢？應根據具體問題確定.圓的標準方程的特點是明確指出了圓心的坐標和圓的半徑,因此,對于由已知條件容易求得圓心坐標和圓的半徑或需利用圓心坐標列方程的問題,一般采用圓的標準方程.如果已知條件和圓心坐標、圓的半徑都無直接關系,通常采用圓的一般方程；有時兩種方程形式都可用時也常采用圓的一般方程的形式,這是因為它可避免解三元二次方程組.圓的標準方程的優點在于明確直觀地指出圓心坐標和半徑的長.我們知道,圓心確定圓的位置,半徑確定圓的大小,它有利于研究圓的有關性質和作圖.而由圓的一般方程可以很容易判別一般的二元二次方程中,哪些是圓的方程,哪些不是圓的方程,它們各有自己的優點,在教學過程中,應當使學生熟練地掌握圓的標準方程與圓的一般方程的互化,尤其是由圓的一般方程通過配方化為圓的標準方程,從而求出圓心坐標和半徑.要畫出圓,就必須要將曲線方程通過配方化為圓的標準方程,然后才能畫出曲線的形狀.這充分說明了學生熟練地掌握這兩種方程互化的重要性和必要性.三維目標

1.在掌握圓的標準方程的基礎上,理解記憶圓的一般方程的代數特征,由圓的一般方程確定

2222圓的圓心、半徑.掌握方程x＋y＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件,通過對方程x＋y＋Dx＋Ey＋F=0表示圓的條件的探究,培養學生探索發現及分析、解決問題的能力.2.能通過配方等手段,把圓的一般方程化為圓的標準方程.能用待定系數法和軌跡法求圓的方程,同時滲透數形結合、化歸與轉化等數學思想方法,提高學生的整體素質,激勵學生創新,勇于探索,培養學生探索發現及分析解決問題的實際能力.重點難點 教學重點：圓的一般方程的代數特征,一般方程與標準方程間的互化,根據已知條件確定方程中的系數D、E、F.教學難點:對圓的一般方程的認識、掌握和運用.課時安排 1課時

教學過程 22導入新課

思路1.①說出圓心為(a,b),半徑為r的圓的標準方程.②學生練習:將以C(a,b)為圓心,r為半徑的圓的標準方程展開并整理得22222x+y-2ax-2by+a+b-r=0.22222③指出:如果D=-2a,E=-2b,F=a+b-r,得到方程x+y+Dx+Ey+F=0,這說明圓的方程還可以表示成另外一種非標準方程形式.22④能不能說方程x+y+Dx+Ey+F=0所表示的曲線一定是圓呢?這就是我們本堂課的內容,教師板書課題:圓的一般方程.思路2.問題：求過三點A(0,0),B(1,1),C(4,2)的圓的方程.利用圓的標準方程解決此問題顯然有些麻煩,用直線的知識解決又有其簡單的局限性,那么這個問題有沒有其他的解決方法呢？帶著這個問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式.教師板書課題:圓的一般方程.推進新課 新知探究 提出問題

①前一章我們研究直線方程用的什么順序和方法? ②這里我們研究圓的方程是否也能類比研究直線方程的順序和方法呢? 22③給出式子x+y+Dx+Ey+F=0,請你利用配方法化成不含x和y的一次項的式子.2222222④把式子(x－a)＋(y－b)=r與x+y+Dx+Ey+F=0配方后的式子比較,得出x+y+Dx+Ey+F=0表示圓的條件.⑤對圓的標準方程與圓的一般方程作一比較,看各自有什么特點? 討論結果：①以前學習過直線,我們首先學習了直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式,最后學習一般式.大家知道,我們認識一般的東西,總是從特殊入手.如探求直線方程的一般形式就是通過把特殊的公式(點斜式、兩點式、…)展開整理而得到的.②我們想求圓的一般方程,可仿照直線方程試一試！我們已經學習了圓的標準方程,把標準形式展開,整理得到,也是從特殊到一般.D2E2D2?E2?4F③把式子x+y+Dx+Ey+F=0配方得(x+)+(y+)=.22422④(x－a)＋(y－b)=r中,r＞0時表示圓,r=0時表示點(a,b),r＜0時不表示任何圖形.222D2E2D2?E2?4F因此式子(x+)+(y+)=.224DE1,-)為圓心,D2?E2?4F為半徑的圓； 222DDEE22(ⅱ)當D+E-4F=0時,方程只有實數解x=-,y=-,即只表示一個點(-,-);

2222(ⅰ)當D+E-4F＞0時,表示以(-22(ⅲ)當D+E-4F＜0時,方程沒有實數解,因而它不表示任何圖形.22 綜上所述,方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,由此得到圓的方程都能寫成222222x+y+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,只有當D+E-4F＞

22220時,它表示的曲線才是圓.因此x+y+Dx+Ey+F=0表示圓的充要條件是D+E-4F＞0.22 我們把形如x+y+Dx+Ey+F=0表示圓的方程稱為圓的一般方程.⑤圓的一般方程形式上的特點: 22 x和y的系數相同,不等于0.沒有xy這樣的二次項.圓的一般方程中有三個待定的系數D、E、F,因此只要求出這三個系數,圓的方程就確定22了.與圓的標準方程相比較,它是一種特殊的二元二次方程,代數特征明顯,圓的標準方程則指出了圓心坐標與半徑大小,幾何特征較明顯.應用示例

思路1

例1 判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是,請求出圓的圓心及半徑.22(1)4x+4y-4x+12y+9=0;22(2)4x+4y-4x+12y+11=0.解:(1)由4x+4y-4x+12y+9=0,得D=-1,E=3,F=而D+E-4F=1+9-9=1＞0, 所以方程4x+4y-4x+12y+9=0表示圓的方程,其圓心坐標為((2)由4x+4y-4x+12y+11=0,得 D=-1,E=3,F=22222222

29, 4131,-),半徑為； 2221122,D+E-4F=1+9-11=-1＜0, 42所以方程4x+4y-4x+12y+11=0不表示圓的方程.2222點評:對于形如Ax+By+Dx+Ey+F=0的方程判斷其方程是否表示圓,要化為x+y+Dx+Ey+F=022的形式,再利用條件D+E-4F與0的大小判斷,不能直接套用.另外,直接配方也可以判斷.變式訓練

求下列圓的半徑和圓心坐標：

2222(1)x+y-8x+6y=0;(2)x+y+2by=0.22222解:(1)把x+y-8x+6y=0配方,得(x－4)＋(y+3)=5,所以圓心坐標為(4,-3),半徑為5；

22222(2)x+y+2by=0配方,得x＋(y+b)=b,所以圓心坐標為(0,-b),半徑為|b|.例2 求過三點O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圓的方程,并求圓的半徑長和圓心坐標.22解:方法一：設所求圓的方程為x+y+Dx+Ey+F=0,由O、M1、M2在圓上,則有

?F?0.? ?D?E?F?2?0,?4D?2E?F?20?0.?解得D=-8,E=6,F=0, 22222故所求圓的方程為x+y-8x+6y=0,即(x－4)＋(y+3)=5.所以圓心坐標為(4,-3),半徑為5.方法二：先求出OM1的中點E（1153,),M1M2的中點F(,), 222211再寫出OM1的垂直平分線PE的直線方程y-=-(x-), ①

2235AB的垂直平分線PF的直線方程y-=-3(x-)，22②

?x?y?1,?x?4,聯立①②得?得?則點P的坐標為(4,-3),即為圓心.OP=5為半徑.3x?y?9,y??3.??方法三：設所求圓的圓心坐標為P(a,b),根據圓的性質可得|OP|=|AP|=|BP|, 222222即x+y=(x-1)+(y-1)=(x-4)+(y-2),解之得P(4,-3),OP=5為半徑.方法四：設所求圓的方程為(x－a)＋(y－b)=r,因為O(0,0)、A(1,1)、B(4,2)在圓上,所以它們的坐標是方程的解.把它們的坐標代入上面的方程,可以得到關于a、b、r的方程組,即

222?(1?a)2?(1?b)2?r2,?222 ?a?b?r,?(4?a)2?(2?b)2?r2.??a?4,?222解此方程組得?b??3,所以所求圓的方程為(x－4)＋(y+3)=5,圓心坐標為(4,-3),半徑為?r?5.?5.點評：請同學們比較,關于何時設圓的標準方程,何時設圓的一般方程.一般說來,如果由已知條件容易求圓心的坐標、半徑或需要用圓心的坐標、半徑列方程的問題,往往設圓的標準方程；如果已知條件和圓心坐標或半徑都無直接關系,往往設圓的一般方程.22例3 已知點P(10,0),Q為圓x+y=16上一動點.當Q在圓上運動時,求PQ的中點M的軌跡方程.活動:學生回想求曲線方程的方法與步驟,思考討論,教師適時點撥提示,本題可利用平面幾何的知識,見中點作中線,利用中線定長可得方程,再就是利用求曲線方程的辦法來求.圖1 解法一:如圖1,作MN∥OQ交x軸于N, 則N為OP的中點,即N(5,0).因為|MN|=1|OQ|=2(定長).2

22所以所求點M的軌跡方程為(x-5)+y=4.點評:用直接法求軌跡方程的關鍵在于找出軌跡上的點應滿足的幾何條件,然后再將條件代數化.但在許多問題中,動點滿足的幾何條件較為隱蔽復雜,將它翻譯成代數語言時也有困難,這就需要我們探討求軌跡問題的新方法.轉移法就是一種很重要的方法.用轉移法求軌跡方程時,首先分析軌跡上的動點M的運動情況,探求它是由什么樣的點控制的.解法二:設M(x,y)為所求軌跡上任意一點Q(x0,y0).?10?x0x?,????x0?2x?10.2因為M是PQ的中點,所以?(*)即??y?0?y0,??y0?2y.?2?又因為Q(x0,y0)在圓x+y=16上,所以x0+y0=16.將(*)代入得

22(2x-10)+(2y)=16.22故所求的軌跡方程為(x-5)+y=4.點評:相關點法步驟:①設被動點M(x,y),主動點Q(x0,y0).2

2②求出點M與點Q坐標間的關系???x?f1(x0,y0),(Ⅰ)

??y?f2(x0,y0).)

中

解

出③從(Ⅰ

??x0?g1(x,y), ???y0?g2(x,y).(Ⅱ)④將(Ⅱ)代入主動點Q的軌跡方程(已知曲線的方程),化簡得被動點的軌跡方程.這種求軌跡方程的方法也叫相關點法,以后要注意運用.變式訓練 已知線段AB的端點B的坐標是(4,3),端點A在圓(x+1)+y=4上運動,求線段AB的中點M的軌跡方程.解:設點M的坐標是(x,y), 點A的坐標是(x0,y0).由于點B的坐標是(4,3)且M是線段AB的中點,所以x=

x0?4y?3,y=0.于是有22x0=2x-4,y0=2y-3.①

222222因為點A在圓(x+1)+y=4上運動,所以點A的坐標滿足方程(x+1)+y=4,即(x0+1)+y0=4.② 把①代入②,得(2x-4+1)+(2y-3)=4,整理,得(x-所以點M的軌跡是以（2

3232)+(y-)=1.2233,)為圓心,半徑長為1的圓.22思路2

2222例1 求圓心在直線l：x+y=0上,且過兩圓C1:x+y-2x+10y-24=0和C2:x+y+2x+2y-8=0的交點的圓的方程.活動:學生審題,教師引導,強調應注意的問題,根據題目特點分析解題思路,確定解題方法.由于兩圓的交點可求,圓心在一直線上,所以應先求交點再設圓的標準方程.22??x?y?2x?10y?24?0,解:解兩圓方程組成的方程組?2得兩圓交點為(0,2),(-4,0).2??x?y?2x?2y?8?0.設所求圓的方程為(x-a)+(y-b)=r,因為兩點在所求圓上,且圓心在直線l上,所以得方程組

222?(?4?a)2?b2?r2,?222?a?(2?b)?r, ?a?b?0.?解得a=-3,b=3,r=10.故所求圓的方程為(x+3)+(y-3)=10.2

2點評：由已知條件容易求圓心坐標、半徑或需要用圓心的坐標、半徑列方程的問題,往往設圓的標準方程.例2 已知圓在x軸上的截距分別為1和3,在y軸上的截距為-1,求該圓的方程.解法一:利用圓的一般方程.22設所求的圓的方程為x+y+Dx+Ey+F=0,由已知,該圓經過點(1,0),(3,0)和(0,-1),則有?1?D?F?0,?222?3?3D?F?0，解之得D=-4,E=4,F=3.故所求圓的方程為x+y-4x+4y+3=0.?(?1)2?E?F?0.?解法二:利用圓的標準方程.由題意該圓經過P(1,0),Q(3,0),R(-1,0), 222設圓的方程為(x-a)+(y-b)=r,則圓心C(a,b)在PQ的垂直平分線上,故a=2.22因為|PC|=|RC|,所以(a?1)?b?a2?(b?1)2.將a=2代入,得b=-2,所以C(2,-2).22而r=|PC|=5,故所求圓的方程為(x-2)+(y+2)=5.例3 試求圓C:x+y-x+2y=0關于直線l:x-y+1=0對稱的曲線C′的方程.活動：學生先思考,然后解答,教師引導學生抓住本質的東西,即圓的圓心坐標變化、半徑不變,另外可利用相關點法來求.解法一:設P′(x,y)為所求曲線C′上任意一點,P′關于l的對稱點為P(x0,y0),則P(x0,y0)在圓C上.22由題意可得

?x?x0y?y0??1?0,?2?2??y?y0?1??1,??x?x0解得

??x0?y?1, ???y0?x?1.(*)

22因為P(x0,y0)在圓C上,所以x0+y0-x0+2y0=0.將(*)代入

22得(y-1)+(x+1)-(y-1)+2(x+1)=0, 22化簡得x+y+4x-3y+5=0,即為C′的方程.解法二:(特殊對稱)圓C關于直線l的對稱圖形仍然是圓,且半徑不變,故只需求圓心C′,即13,-1)關于直線l:x-y+1=0的對稱點C′(-2,),因此所求圓C′的方程為223252(x+2)+(y-)=.24求(點評：比較解法一與解法二看出,利用幾何性質解題往往較簡單.知能訓練

課本練習1、2、3.拓展提升

22問題：已知圓x+y-x-8y+m=0與直線x+2y-6=0相交于P、Q兩點,定點R(1,1),若PR⊥QR,求實數m的值.解:設P(x1,y1)、Q(x2,y2), 22??x?y?x?8y?m?0,2由?消去y得5x+4m-60=0.① ??x?2y?6?0.由題意,方程①有兩個不等的實數根,所以60-4m＞0,m＜15.?x1?x2?0,?由韋達定理? 4?x1x2?m?12.5?因為PR⊥QR,所以kPRkQR=-1.所以即② 因為y1=3-

y1?1y2?1=-1,即(x1-1)(x2-1)+(y1-1)(y2-1)=0, ?x1?1x2?1x1x2-(x1+x2)+y1y2-(y1+y2)+2=0.x1xxxxxxx3,y2=3?2,所以y1y2=(3-1)(3?2)=9-(x1+x2)+12=9+12，2224422554x1x2+5=0,即(m-12)+5=0.445y1+y2=6,代入②得所以m=10,適合m＜15.所以實數m的值為10.課堂小結

22221.任何一個圓的方程都可以寫成x+y+Dx+Ey+F=0的形式,但方程x+y+Dx+Ey+F=0表示的曲線不一定是圓,只有D+E-4F＞0時,方程表示圓心為(-r=

2DE,-),半徑為

2212D2?E2?4F的圓.2.求圓的方程,應根據條件特點選擇合適的方程形式：若條件與圓心、半徑有關,則宜用標準方程；若條件主要是圓所經過的點的坐標,則宜用一般方程.3.要畫出圓的圖像,必須要知道圓心坐標和半徑,因此應掌握利用配方法將圓的一般方程化為標準方程的方法.作業

習題4.1 A組1、6,B組1、2、3.設計感想

這是一節介紹新知識的課,而且這節課還非常有利于展現知識的形成過程.因此,在設計這節課時,力求“過程、結論并重；知識、能力、思想方法并重”.在展現知識的形成過程中,盡量避免學生被動接受,引導學生探索,重視探索過程.一方面,把直線一般方程探求過程進行回顧、類比,學生從中領會探求方法；另一方面,“把標準方程展開→認識一般方程”這一過程充分運用了“通過特殊認識一般”的科學思想方法.同時,通過

22類比進行條件的探求——“D+E－4F”與“Δ”(判別式)類比.在整個探求過程中充分利用了“舊知識”及“舊知識的形成過程”,并用它探求新知識.這樣的過程,既是學生獲得新知識的過程,更是培養學生能力的過程.