第一篇：郭氏數(shù)學(xué) 圓的切線長(zhǎng)定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理

郭氏數(shù)學(xué)內(nèi)部資料

切線長(zhǎng)定理、弦切角定理、切割線定理、相交弦定理

以及與圓有關(guān)的比例線段

1.切線長(zhǎng)概念

切線長(zhǎng)是在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)度，“切線長(zhǎng)”是切線上一條線段的長(zhǎng)，具有數(shù)量的特征，而“切線”是一條直線，它不可以度量長(zhǎng)度。2.切線長(zhǎng)定理

對(duì)于切線長(zhǎng)定理，應(yīng)明確（1）若已知圓的兩條切線相交，則切線長(zhǎng)相等；（2）若已知兩條切線平行，則圓上兩個(gè)切點(diǎn)的連線為直徑；（3）經(jīng)過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，連結(jié)兩個(gè)切點(diǎn)可得到一個(gè)等腰三角形；（4）經(jīng)過圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，切線的夾角與過切點(diǎn)的兩個(gè)半徑的夾角互補(bǔ)；（5）圓外一點(diǎn)與圓心的連線，平分過這點(diǎn)向圓引的兩條切線所夾的角。

3.弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角。

直線AB切⊙O于P，PC、PD為弦，圖中幾個(gè)弦切角呢？（四個(gè)）4.弦切角定理：弦切角等于其所夾的弧所對(duì)的圓周角。

5.弄清和圓有關(guān)的角：圓周角，圓心角，弦切角，圓內(nèi)角，圓外角。

6.遇到圓的切線，可聯(lián)想“角”弦切角，“線”切線的性質(zhì)定理及切線長(zhǎng)定理。7.與圓有關(guān)的比例線段 定理 圖形 已知

結(jié)論 證法 相交弦定⊙O中，AB、CD為弦，交PA·PB＝PC·PD.連結(jié)AC、BD，理

于P.△APC∽△DPB.相交弦定⊙O中，AB為直徑，CD⊥ABPC2＝PA·PB.用相交弦定理.理的推論

于P.證：郭氏數(shù)學(xué)內(nèi)部資料

切割線定理

⊙O中，PT切⊙O于T，PT2＝PA·PB 割線PB交⊙O于A

連結(jié)TA、TB，證：△PTB∽△PAT

切割線定理推論

PB、PD為⊙O的兩條割線，PA·PB＝PC·PD 交⊙O于A、C

過P作PT切⊙O于T，用兩次切割線定理

圓冪定理

⊙O中，割線PB交⊙O于P'C·P'D＝r2－延長(zhǎng)P'O交⊙O于M，延A，CD為弦 OP'2 長(zhǎng)OP'交⊙O于N，用相交

PA·PB＝OP2－r2 弦定理證；過P作切線用

r為⊙O的半徑

切割線定理勾股定理證

8.圓冪定理：過一定點(diǎn)P向⊙O作任一直線，交⊙O于兩點(diǎn)，則自定點(diǎn)P到兩交點(diǎn)的兩條線段之積為常數(shù)|圓冪定理。

【典型例題】

例1.如圖1，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，以BC為直徑。在正方形內(nèi)作半圓O，過A作半圓切線，切點(diǎn)為F，交CD于E，求DE：AE的值。|（R為圓半徑），因?yàn)?/p>

叫做點(diǎn)對(duì)于⊙O的冪，所以將上述定理統(tǒng)稱為

圖1 解：由切線長(zhǎng)定理知：AF＝AB＝1，EF＝CE 設(shè)CE為x，在Rt△ADE中，由勾股定理

∴，郭氏數(shù)學(xué)內(nèi)部資料

例2.⊙O中的兩條弦AB與CD相交于E，若AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，那么CE＝_________cm。

圖2 解：由相交弦定理，得

AE·BE＝CE·DE

∵AE＝6cm，BE＝2cm，CD＝7cm，∴，即

∴CE＝3cm或CE＝4cm。

故應(yīng)填3或4。

點(diǎn)撥：相交弦定理是較重要定理，結(jié)果要注意兩種情況的取舍。

例3.已知PA是圓的切線，PCB是圓的割線，則 解：∵∠P＝∠P

∠PAC＝∠B，∴△PAC∽△PBA，∴，________。

∴。

又∵PA是圓的切線，PCB是圓的割線，由切割線定理，得

∴，即，故應(yīng)填PC。

點(diǎn)撥：利用相似得出比例關(guān)系式后要注意變形，推出所需結(jié)論。

例4.如圖3，P是⊙O外一點(diǎn)，PC切⊙O于點(diǎn)C，PAB是⊙O的割線，交⊙O于A、B兩點(diǎn)，如果PA：PB＝1：4，PC＝12cm，⊙O的半徑為10cm，則圓心O到AB的距離是___________cm。郭氏數(shù)學(xué)內(nèi)部資料

圖3 解：∵PC是⊙O的切線，PAB是⊙O的割線，且PA：PB＝1：4 ∴PB＝4PA 又∵PC＝12cm 由切割線定理，得 ∴ ∴，∴

∴PB＝4×6＝24（cm）

∴AB＝24－6＝18（cm）

設(shè)圓心O到AB距離為d cm，由勾股定理，得

故應(yīng)填。

例5.如圖4，AB為⊙O的直徑，過B點(diǎn)作⊙O的切線BC，OC交⊙O于點(diǎn)E，AE的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)D，（1）求證：

；（2）若AB＝BC＝2厘米，求CE、CD的長(zhǎng)。

圖4 點(diǎn)悟：要證 證明：（1）連結(jié)BE，即要證△CED∽△CBE。

（2）。

又∵，∴厘米。

點(diǎn)撥：有切線，并需尋找角的關(guān)系時(shí)常添輔助線，為利用弦切角定理創(chuàng)造條件。郭氏數(shù)學(xué)內(nèi)部資料

例6.如圖5，AB為⊙O的直徑，弦CD∥AB，AE切⊙O于A，交CD的延長(zhǎng)線于E。

圖5 求證：

證明：連結(jié)BD，∵AE切⊙O于A，∴∠EAD＝∠ABD

∵AE⊥AB，又AB∥CD，∴AE⊥CD

∵AB為⊙O的直徑

∴∠ADB＝90°

∴∠E＝∠ADB＝90°

∴△ADE∽△BAD

∴

∴

∵CD∥AB

∴AD＝BC，∴

例7.如圖6，PA、PC切⊙O于A、C，PDB為割線。求證：AD·BC＝CD·AB

圖6 點(diǎn)悟：由結(jié)論AD·BC＝CD·AB得，顯然要證△PAD∽△PBA和△PCD∽△PBC 證明：∵PA切⊙O于A，∴∠PAD＝∠PBA

又∠APD＝∠BPA，∴△PAD∽△PBA

∴

同理可證△PCD∽△PBC

∴

∵PA、PC分別切⊙O于A、C ∴PA＝PC ∴

郭氏數(shù)學(xué)內(nèi)部資料

∴AD·BC＝DC·AB

例8.如圖7，在直角三角形ABC中，∠A＝90°，以AB邊為直徑作⊙O，交斜邊BC于點(diǎn)D，過D點(diǎn)作⊙O的切線交AC于E。

圖7 求證：BC＝2OE。

點(diǎn)悟：由要證結(jié)論易想到應(yīng)證OE是△ABC的中位線。而OA＝OB，只須證AE＝CE。

證明：連結(jié)OD。

∵AC⊥AB，AB為直徑

∴AC為⊙O的切線，又DE切⊙O于D ∴EA＝ED，OD⊥DE

∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB

在Rt△ABC中，∠C＝90°－∠B ∵∠ODE＝90°

∴ ∴∠C＝∠EDC

∴ED＝EC ∴AE＝EC ∴OE是△ABC的中位線

∴BC＝2OE

一、選擇題

1.已知：PA、PB切⊙O于點(diǎn)A、B，連結(jié)AB，若AB＝8，弦AB的弦心距3，則PA＝（）A.B.C.5 D.8 2.下列圖形一定有內(nèi)切圓的是（）

A.平行四邊形 B.矩形

C.菱形 D.梯形

3.已知：如圖1直線MN與⊙O相切于C，AB為直徑，∠CAB＝40°，則∠MCA的度數(shù)（）

圖1 A.50° B.40° C.60° D.55° 4.圓內(nèi)兩弦相交，一弦長(zhǎng)8cm且被交點(diǎn)平分，另一弦被交點(diǎn)分為1：4，則另一弦長(zhǎng)為（）A.8cm B.10cm C.12cm D.16cm 5.在△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)，AD，BD＝3cm，DC＝4cm，如果E是AD的延長(zhǎng)線與△ABC的外接圓的交點(diǎn)，那么DE長(zhǎng)等于（）A.B.C.D.6.PT切⊙O于T，CT為直徑，D為OC上一點(diǎn)，直線PD交⊙O于B和A，B在線段PD上，若CD 郭氏數(shù)學(xué)內(nèi)部資料

＝2，AD＝3，BD＝4，則PB等于（）

A.20 B.10 C.5 D.二、填空題

7.AB、CD是⊙O切線，AB∥CD，EF是⊙O的切線，它和AB、CD分別交于E、F，則∠EOF＝_____________度。

8.已知：⊙O和不在⊙O上的一點(diǎn)P，過P的直線交⊙O于A、B兩點(diǎn)，若PA·PB＝24，OP＝5，則⊙O的半徑長(zhǎng)為_____________。

9.若PA為⊙O的切線，A為切點(diǎn)，PBC割線交⊙O于B、C，若BC＝20，則PC的長(zhǎng)為_____________。

10.正△ABC內(nèi)接于⊙O，M、N分別為AB、AC中點(diǎn)，延長(zhǎng)MN交⊙O于點(diǎn)D，連結(jié)BD交AC于P，則_____________。

三、解答題

11.如圖2，△ABC中，AC＝2cm，周長(zhǎng)為8cm，F(xiàn)、K、N是△ABC與內(nèi)切圓的切點(diǎn)，DE切⊙O于點(diǎn)M，且DE∥AC，求DE的長(zhǎng)。

圖2

12.如圖3，已知P為⊙O的直徑AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PC切⊙O于C，CD⊥AB于D，求證：CB平分∠DCP。

圖3

13.如圖4，已知AD為⊙O的直徑，AB是⊙O的切線，過B的割線BMN交AD的延長(zhǎng)線于C，且BM＝MN＝NC，若AB，求⊙O的半徑。

圖4

第二篇：圓切線長(zhǎng)定理及弦切角練習(xí)題

切線長(zhǎng)定理及弦切角練習(xí)題

（一）填空

1．已知：如圖7－143，直線BC切⊙O于B點(diǎn)，AB=AC，AD=BD，那么∠A=____．

2．已知：如圖7－144，直線DC與⊙O相切于點(diǎn)C，AB為⊙O直徑，AD⊥DC于D，∠DAC=28°側(cè)∠CAB=____ ．

3．已知：直線AB與圓O切于B點(diǎn)，割線ACD與⊙O交于C和D

4．已知：如圖7－145，PA切⊙O于點(diǎn)A，割線PBC交⊙O于B和C兩點(diǎn)，∠P=15°，∠ABC=47°，則∠C= ____．

5．已知：如圖7－146，三角形ABC的∠C=90°，內(nèi)切圓O與△ABC的三邊分別切于D，E，F(xiàn)三點(diǎn)，∠DFE=56°，那么∠B=____．

6．已知：如圖 7－147，△ABC內(nèi)接于⊙O，DC切⊙O于C點(diǎn)，∠1=∠2，則△ABC為____ 三角形．

7．已知：如圖7－148，圓O為△ABC外接圓，AB為直徑，DC切⊙O于C點(diǎn)，∠A=36°，那么∠ACD=____．

（二）選擇

8．已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC=25°，∠ACB= 75°，過A點(diǎn)作⊙O的切線交BC的延長(zhǎng)線于P，則∠APB等于

[ ] A．62.5°；B．55°；C．50°；D．40°．

9．已知：如圖 7－149，PA，PB切⊙O于A，B兩點(diǎn)，AC為直徑，則圖中與∠PAB相等的角的個(gè)數(shù)為

[ ]

A．1 個(gè)；B．2個(gè)；C．4個(gè)；D．5個(gè)．

10．已知如圖7－150，四邊形ABCD為圓內(nèi)接四邊形，AB是直徑，MN切⊙O于C點(diǎn)，∠BCM=38°，那么∠ABC的度數(shù)是

[ ]

A．38°；B．52°；C．68°；D．42°．

11．已知如圖7－151，PA切⊙O于點(diǎn)A，PCB交⊙O于C，B兩點(diǎn)，且 PCB過點(diǎn) O，AE⊥BP交⊙O于E，則圖中與∠CAP相等的角的個(gè)數(shù)是

[ ]

A．1個(gè)；B．2個(gè)；C．3個(gè)；D．4個(gè)．

（三）計(jì)算

12．已知：如圖7－152，PT與⊙O切于C，AB為直徑，∠BAC=60°，AD為⊙O一弦．求∠ADC與∠PCA的度數(shù)．

13．已知：如圖7－153，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，C，PD平分∠APC．求∠ADP的度數(shù)．

14．已知：如圖7－154，⊙O的半徑OA⊥OB，過A點(diǎn)的直線交OB于P，交⊙O于Q，過Q引⊙O的切線交OB延長(zhǎng)線于C，且PQ=QC．求∠A的度數(shù)．

15．已知：如圖7－155，⊙O內(nèi)接四邊形ABCD，MN切⊙O于C，∠BCM=38°，AB為⊙O直徑．求∠ADC的度數(shù)．

16．已知：如圖7－156，PA，PC切⊙O于A，C兩點(diǎn)，B點(diǎn)

17．已知：如圖 7－157，AC為⊙O的弦，PA切⊙O于點(diǎn)A，PC過O點(diǎn)與⊙O交于B，∠C=33°．求∠P的度數(shù)．

18．已知：如圖7－158，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，EF切⊙O

19．已知 BA是⊙O的弦，TA切⊙O于點(diǎn)A，∠BAT= 100°，點(diǎn)M在圓周上但與A，B不重合，求∠AMB的度數(shù)．

20．已知：如圖7－159，PA切圓于A，BC為圓直徑，∠BAD=∠P，PA=15cm，PB=5cm．求 BD的長(zhǎng)．

21．已知：如圖7－160，AC是⊙O直徑，PA⊥AC于A，PB切⊙O于B，BE⊥AC于E．若AE=6cm，EC=2cm，求BD的長(zhǎng)．

22．已知：如圖7－161所示，P為⊙O外一點(diǎn)，PA切⊙O于A，從PA中點(diǎn)M引⊙O割線MNB，∠PNA=138°．求∠PBA的度數(shù)．

23．已知：如圖7－162，DC切⊙O于C，DA交⊙O于P和B兩點(diǎn)，AC交⊙O于Q，PQ為⊙O直徑交BC于E，∠BAC=17°，∠D=45°．求∠PQC與∠PEC的度數(shù)．

24．已知：如圖 7－163，QA切⊙O于點(diǎn)A，QB交⊙O于B

25．已知：如圖7－164，QA切⊙O于A，QB交⊙O于B和C

26．已知：在圖7－165中，PA切⊙O于A，AD平分∠BAC，PE平分∠APB，AD=4cm，PA=6cm．求EP的長(zhǎng)．

27．已知；如圖7－166，PA為△ABC外接圓的切線，A 為切點(diǎn)，DE∥AC，PE=PD．AB=7cm，AD=2cm．求DE的長(zhǎng)．

28．已知：如圖 7－167，BC是⊙O的直徑，DA切⊙O于A，DA=DE．求∠BAE的度數(shù)．

29．已知：如圖 7－168，AB為⊙O直徑，CD切⊙O于CAE∠CD于E，交BC于F，AF=BF．求∠A的度數(shù)．

30．已知：如圖7－169，PA，PB分別切⊙O于A，B，PCD為割線交⊙O于C，D．若 AC=3cm，AD=5cm，BC= 2cm，求DB的長(zhǎng)．

31．已知：如圖7－170，ABCD的頂點(diǎn)A，D，C在圓O上，AB的延長(zhǎng)線與⊙O交于M，CB的延長(zhǎng)線與⊙O交于點(diǎn)N，PD切⊙O于D，∠ADP=35°，∠ADC=108°．求∠M的度數(shù)．

32．已知：如圖7－171，PQ為⊙O直徑，DC切⊙O于C，DP交⊙O于B，交CQ延長(zhǎng)線于A，∠D=45°，∠PEC=39°．求∠A的度數(shù)．

33．已知：如圖 7－172，△ABC內(nèi)接于⊙O，EA切⊙O于A，過B作BD∥AE交AC延長(zhǎng)線于D．若AC=4cm，CD= 3cm，求AB的長(zhǎng)．

34．已知：如圖7－173，△ABC內(nèi)接于圓，F(xiàn)B切圓于B，CF⊥BF于F交圓于 E，∠1=∠2．求∠1的度數(shù)．

35．已知：如圖7－174，PC為⊙O直徑，MN切⊙O于A，PB⊥MN于B．若PC=5cm，PA=2cm．求PB的長(zhǎng)．

36．已知：如圖7－175，AD為⊙O直徑，CBE，CD分別切⊙

37．已知：如圖7－176，圓內(nèi)接四邊形ABCD的AB邊經(jīng)過圓心，AD，BC的延長(zhǎng)線相交于E，過C點(diǎn)的切線CF⊥AE于F．求證：

（1）△ABE為等腰三角形；

（2）若 BC=1cm，AB=3cm，求EF的長(zhǎng)．

38．已知：如圖7－177，AB，AC切⊙O于B，C，OA交⊙O于F，E，交BC于D．

（1）求證：E為△ABC內(nèi)心；

（2）若∠BAC=60°，AB=a，求OB與OD的長(zhǎng)．

（四）證明

39．已知：在△ABC中，∠C=90°，以C為圓心作圓切AB邊于F點(diǎn)，AD，BC分別與⊙C切于D，E兩點(diǎn)．求證：AD∥BE．

40．已知：PA，PB與⊙O分別切于A，B兩點(diǎn)，延長(zhǎng)OB到C，41．已知：⊙O與∠A的兩邊分別相切于D，E．在線段AD，AE（或在它們的延長(zhǎng)線）上各取一點(diǎn)B，C，使DB=EC．求證：OA⊥BC．

⊥EC于H，AO交BC于D．求證：

BC·AH=AD·CE．

*43．已知：如圖7－178，MN切⊙O于A，弦BC交OA于E，過C點(diǎn)引BC的垂線交MN于D．求：AB∥DE．

44．已知：如圖7－179，OA是⊙O半徑，B是OA延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BC切⊙O于C，CD⊥OA于D．求證：CA平分∠BCD．

45．已知：如圖7－180，BC是⊙O直徑，EF切⊙O于A點(diǎn)，AD⊥BC于D．求證：AB平分∠DAE，AC平分∠DAF．

46．已知：如圖7－181，在△ABC中，AB=AC，∠C= 2∠A，以 AB為弦的圓 O與 BC切干點(diǎn) B，與 AC交于 D點(diǎn)．求證：AD=DB=BC．

47．已知：如圖7－182，過△ADG的頂點(diǎn)A作直線與DG的延長(zhǎng)線相交于C，過G作△ADG的外接圓的切線二等分線段AC于E．求證：AG=DG·CG．

48．已知：如圖7－183，PA，PB分別切⊙O于A，B兩點(diǎn)，PCD為割線．求證：AC·BD=BC·AD．

BC=BA，連結(jié)AC交圓于點(diǎn)E．求證：四邊形ABDE是平行四邊形．

50．已知：如圖7－185，∠1=∠2，⊙O過A，D兩點(diǎn)且交AB，AC于E，F(xiàn)，BC切⊙O于D．求證：EF∥BC．

51．已知：如圖7－186，AB是半圓直徑，EC切半圓于點(diǎn)C，BE⊥CE交AC于F．求證：AB=BF．

52．已知：如圖7－187，AB為半圓直徑，PA⊥AB，PC切半圓于C點(diǎn)，CD⊥AB于D交PB于M．求證：CM=MD．

（五）作圖

53．求作以已知線段AB為弦，所含圓周角為已知銳角∠α（見圖7－188）的弧（不寫作法，寫出已知、求作，答出所求）．

54．求作一個(gè)以α為一邊，所對(duì)角為∠α，此邊上高為h的三角形．

55．求作一個(gè)以a為一邊，m為此邊上中線，所對(duì)角為∠α的三角形（不寫作法，答出所求）．

切線長(zhǎng)定理及弦切角練習(xí)題(答案)

（一）填空

1．36° 2．28° 3．50° 4．32° 5．22° 6．等腰 7．54°

（二）選擇

8．C 9．D 10．B 11．C

（三）計(jì)算 12．30°，30°．

13．45°．提示：連接AB交PD于E．只需證明∠ADE=∠AED，證明時(shí)利用三角形外角定理及弦切角定理．

14．30°．提示：因?yàn)镻Q=QC，所以∠QCP=∠QPC．連接OQ，則知∠POQ與∠QCP互余．又∠OAQ=∠OQA與∠QPC互余，所以∠POQ=∠OAQ=∠OQA．而它們的和為90°（因?yàn)椤螦OC=90°）．所以∠OAQ=30°

16．67.5°．提示：解法一 連接AC，則∠PAC=∠PCA．又∠P=45°，所以∠PAC=∠PCA=67.5°．從而∠B=∠PAC=67.5°．

解法二 連接OA，OC，則∠AOC=180°－∠P=135°，所以

17．24°．提示：連接OA，則∠POA=66°．

18．60°．提示：連接BD，則∠ADB=40°，∠DBC=20°．設(shè)∠ABD=∠BDC（因?yàn)锳B//CD）=x°，則因∠B+∠D=180°，所以2x°+60°=180°，x°=60°，從而∠ADE=∠ABD=60°．

19．100°或80°．提示： M可在弦AB對(duì)的兩弧的每一個(gè)上．

從而

22．42°．提示：∠ABM=∠NAM．于是顯然△ABM∽△NAM，NMP，所以△PMB∽△NMP，從而∠PBM=∠NPM．再由∠ABM=∠NAM，就有 ∠PBA=∠PBM+∠NAM=∠NPM+∠NAM =180°－∠PNA=42°．

23．28°，39°．提示：連接PC．

24．41°．提示：求出∠QAC和∠ACB的度數(shù)． 25．100°．

以DB=9．因?yàn)?DP=2×9，由此得DP=9．又DP＞0，所以DP=3，從而，DE=2×3=6（cm）． 2

228．45°．提示：連接AC．由于DA=DE，所以∠ABE+∠BAE=∠AED=∠EAD=∠CAD+∠CAE，但∠ABE=∠CAD，所以∠BAE=∠CAE．由于∠BAE+∠CAE=90°，所以∠BAE=45°．

29．60°．提示：解法一 連接AC，則AC⊥BC．又AF⊥CE，所以∠ACE=∠F．又DC切⊙O于C，所以∠ACE=∠B．所以∠F=∠B．因?yàn)锳F=BF，所以∠BAF=∠B=∠F．所以∠BAF=60°．

31．37°．提示：連接AC，則∠M=∠ACN=∠CAD． 32．17°．提示：連接PC，則∠QPC+∠PBC=90°． 45°=∠D=（∠BPQ+∠QPC）∠DCP =（∠BPQ+∠QPC）－∠PBC =[∠BPQ+（90°－∠PBC）]－∠PBC． 所以

2∠PBC－∠BPQ=45°．

又

∠PBC+∠BPQ=39°，從而∠PBC=28°，∠BPQ=11°．于是∠A=∠PBC－∠BPQ=17°．

1）

2）

（（34．30°．提示：連接BE，由∠1=∠2，可推出∠EBF=∠ECB=∠EBC，而這三個(gè)角的和為90°，所以每個(gè)角為30°．

36．60°．提示：連接OB，則OB⊥CE，從而∠C=∠BOE= 60°．

37．（1）提示：連接OC，則∠E=∠OCB=∠OBC=∠CDE，所以△ABE為等腰三角形．

38．（1）提示：連接BE．只需證明∠ABE=∠DBE．

（四）證明

39．提示：AC，BC各平分∠A，∠B．設(shè)法證出∠A+∠B=180°． 40．提示：連接OP，設(shè)法證出∠BPC=∠BPO．

42．提示：在△BCE和△DAH中，∠BCE=∠DAH（它們都與∠DCH互補(bǔ)）．又A，D，C，H共圓，所以∠CEB=∠ACB=∠AHD，從而△BCE∽△DAH．這就得所要證明的比例式．

43．提示：連接AC．先證明A，E，C，D四點(diǎn)共圓．由此得∠ADE=（∠ACE=）∠MAB，所以AB//DE．

44．提示：證法一 延長(zhǎng)AO交⊙O于點(diǎn)E，連接EC，則∠BCA=∠E，且∠ACD=∠E．所以∠BCA=∠ACD．

證法二 連接OA，則∠BCA與∠OCA互余；又∠ACD與∠OAC互余，而∠OCA=∠OAC，所以∠BCA=∠ACD．

46．提示：由已知得∠A=36°，∠B=∠C=72°，∠DBC=∠A=36°，所以∠ABD=36°，從而AD=BD．又∠C=∠CDB=72°，所以BD=BC．

47．提示：過A作CD的平行線交BC于H，則AH=CG．然后證

AG=DG·AH=DG·CG．

49．提示：因?yàn)锽C=BA，所以∠A=（∠C=）∠D；又∠CED=∠DBF（BF是AB的延長(zhǎng)線），所以它們的補(bǔ)角∠DEA=∠ABD．從而四邊形ABDE是平行四邊形．

50．提示：連接DE，則∠BDE=∠1=∠2=∠FED．所以EF//BC．

51．提示：連接BC，則∠ACB=90°=∠FCB．因?yàn)镃E⊥BE，所以∠F=∠ECB．因?yàn)镋C切半圓于C，所以∠ECB=∠A，所以∠A=∠F，因此AB=BF．

52．提示：連接AC，BC并延長(zhǎng)BC交AP延長(zhǎng)線于點(diǎn)N．首先

所以CM=MD．

第三篇：切線長(zhǎng)定理教案 （本站推薦）

切線長(zhǎng)定理教案

教學(xué)目標(biāo)：

1、了解切線長(zhǎng)定義，掌握切線長(zhǎng)定理，并利用它進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。

2、在運(yùn)用切線長(zhǎng)定理的解題過程中，進(jìn)一步滲透方程的思想，熟悉用代數(shù)的方法解幾何題。

教學(xué)重點(diǎn)：理解切線長(zhǎng)定理。

教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用切線長(zhǎng)定理解決問題。教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1．切線的判定定理和性質(zhì)定理．

2．過圓上一點(diǎn)可作圓的幾條切線？過圓外一點(diǎn)呢？過圓內(nèi)一點(diǎn)呢？

二、合作探究

1、切線長(zhǎng)定義：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。

2、切線長(zhǎng)定理

（1）操作：紙上一個(gè)⊙O，PA是⊙O的切線，?連結(jié)PO，?沿著直線PO將紙對(duì)折，設(shè)與點(diǎn)A重合的點(diǎn)為B。OB是⊙O 的半徑嗎？PB是⊙O的切線嗎？猜一猜PA與PB的關(guān)系？∠APO與∠BPO呢？

從上面的操作及圓的對(duì)稱性可得：

從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．（2）幾何證明．

如圖，已知PA、PB是⊙O的兩條切線．求證：PA=PB，∠APO=∠BPO．

證明：

切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．

3、三角形的內(nèi)切圓

思考：如圖是一張三角形的鐵皮，如何在它上面截下一塊圓形的鐵片，并且使圓的面積盡可能大呢？

三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓

三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心即三角形三條角平分線的交點(diǎn)叫做—— 例 如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC,CA,AB分別相切于點(diǎn)D,E,F, 且AB=9cm BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的長(zhǎng)。

三、鞏固練習(xí)

1、如圖1，PA、PB是⊙O的兩條切線、A、B為切點(diǎn)。PO交⊙O于E點(diǎn)（1）若PB=12，PO=13，則AO=____（2）若PO=10，AO=6，則PB=____（3）若PA=4，AO=3，則PO=____；PE=_____.（4）若PA=4，PE=2，則AO=____.2、如圖2，PA、PB是⊙O的兩條切線、A、B為切點(diǎn)，CD切⊙O于E交PA、PB于C、D兩點(diǎn)。

（1）若PA=12，則△PCD周長(zhǎng)為____。（2）若△PCD周長(zhǎng)=10，則PA=____。（3）若∠APB=30°,則∠AOB=_____，M是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則∠AMB=____

3、如圖Rt△ABC的內(nèi)切圓分別與AB、AC、BC、相切于點(diǎn)E、D、F，且∠ACB=90°，AC=

3、BC=4，求⊙O的半徑。

4、如圖Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=

6、BC=8，O為BC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑作圓與AB切于D點(diǎn)，求⊙O的半徑。

5、如圖，⊙O與△ADE各邊所在直線都相切，切點(diǎn)分別為M、P、N，且DE⊥AE，AE=8，AD=10，求⊙O的半徑

6、如圖，AB是⊙O的直徑，AE、BF切⊙O于A、B，EF切⊙O于C.求證：OE⊥OF

四、小結(jié)歸納

1．圓的切線長(zhǎng)概念和定理

2．三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心的概念

五、作業(yè)設(shè)計(jì)

第四篇：切線長(zhǎng)定理教案

《切線長(zhǎng)定理》教案

學(xué)習(xí)目標(biāo)

1．理解切線長(zhǎng)的概念，掌握切線長(zhǎng)定理；

2．通過對(duì)例題的分析，培養(yǎng)學(xué)生分析總結(jié)問題的習(xí)慣，提高學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解題的能力，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合的思想．

3．通過對(duì)定理的猜想和證明，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，樹立科學(xué)的學(xué)習(xí)態(tài)度．

教學(xué)重點(diǎn):

切線長(zhǎng)定理

教學(xué)難點(diǎn):

切線長(zhǎng)定理的靈活運(yùn)用

教學(xué)過程:

（一）1、切線長(zhǎng)的概念．

如圖，P是⊙O外一點(diǎn)，PA，PB是⊙O的兩條切線，我們把線段PA，PB叫做點(diǎn)P到⊙O的切線長(zhǎng)．

引導(dǎo)學(xué)生理解：切線和切線長(zhǎng)是兩個(gè)不同的概念，切線是直線，不能度量；切線長(zhǎng)是線段的長(zhǎng)，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量.2、觀察

利用PPT來(lái)展示P 的位置的變化，觀察圖形的特征和各量之間的關(guān)系．

3、猜想

引導(dǎo)學(xué)生直觀判斷，猜想圖中PA是否等于PB． PA＝PB．

4、證明猜想，形成定理．

猜想是否正確。需要證明．

組織學(xué)生分析證明方法．關(guān)鍵是作出輔助線OA，OB，要證明PA＝PB．

想一想：根據(jù)圖形，你還可以得到什么結(jié)論？

∠OPA＝∠OPB(如圖)，連接AB，有AD=BD等．

切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．

5、歸納：

把前面所學(xué)的切線的5條性質(zhì)與切線長(zhǎng)定理一起歸納切線的性質(zhì)

6、切線長(zhǎng)定理的基本圖形研究（小組合作交流）

如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點(diǎn)．直線OP交⊙O于點(diǎn)D，E，交AB于C

要求：就你所知曉的幾何知識(shí)，寫出你認(rèn)為正確的結(jié)論，小組交流，看哪個(gè)小組的結(jié)論最多，用最簡(jiǎn)短的話語(yǔ)證明你的結(jié)論是正確的。

說(shuō)明：對(duì)基本圖形的深刻研究和認(rèn)識(shí)是在學(xué)習(xí)幾何中關(guān)鍵，它是靈活應(yīng)用知識(shí)的基礎(chǔ)．

（二）應(yīng)用、歸納、反思

分析：（1）中可以看出∠AFB是⊙O的圓周角，因此只要求出其對(duì)應(yīng)的弧所對(duì)的圓心角的度數(shù)就可以了，于是連接OA，OB，運(yùn)用切線的性質(zhì)，有OA⊥PA，OB⊥PB。由四邊形的內(nèi)角和解決問題。

（2）添加的切線要與今天我們學(xué)習(xí)的切線長(zhǎng)定理的基本圖形結(jié)合起來(lái)，找出基本圖形，運(yùn)用定理，就可以解決周長(zhǎng)，同時(shí)知道OC，OD是相應(yīng)的角平分線，那么∠COD的度數(shù)出來(lái)了。

學(xué)生組織解題過程，在草稿紙上完成。

反思：教師引導(dǎo)學(xué)生分析過程，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生善于觀察圖形，從中找出相應(yīng)知識(shí)點(diǎn)，從而實(shí)現(xiàn)新舊知識(shí)銜接的能力．

提高練習(xí)：

如圖，在⊿ABC中，∠C=900, AC=8，AB=10，點(diǎn)P在AC上，AP=2，若⊙O的圓心在線段BP上，且⊙O與AB、AC都相切，求⊙O的半徑。

方法

（一）分析：從已知條件和圖形中我們能很快地找出切線長(zhǎng)定理的基本圖形來(lái)。要求：同學(xué)們?cè)趫D中標(biāo)出相等關(guān)系的線段，注意構(gòu)成等量關(guān)系的因素是什么。設(shè)⊙O與AB相切于F，與AC相切于E，⊙O的半徑為r。連接OE，OF，由AC=8，AB=10，AP=2

有CP=BC，從而∠BPC=450，OP=2r，由勾股定理知道：BP=62，所以O(shè)B=62?2r 由切線長(zhǎng)定理知道：AF=AE=2+r，所以BF=10－(2+r)=8－r

在直角三角形OBF中有（62?2r）2=r2+（8－r）

2解得r=1 方法

（二）分析：從另外一個(gè)角度看問題：用三角形的面積可以重新構(gòu)建數(shù)量關(guān)系，建立等式。

要求：注意本方法中的輔助線的添加。

設(shè)⊙O與AB相切于F，與AC相切于E，⊙O的半徑為r。連接OE，OF，OA。

⊿ABP的面積=⊿AOP的面積+⊿ABO的面積

111有OE?AP?AB?OF?AP?BC 2221

1即有r(2?10)??6?2，所以r=1 22反思：在本題的解法中，同學(xué)們可以看出，通過不同的分析思路和觀察的角度可以明顯地得到不同的解法，而且其繁簡(jiǎn)程度一目了然。然而由于本題綜合性較強(qiáng)，學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中被動(dòng)接受的可能性大，在今后的練習(xí)設(shè)計(jì)中要更加注重難度的梯度和適當(dāng)?shù)匿亯|。

2．課堂訓(xùn)練：

如圖：⊙O是以正方形ABCD一邊BC為直徑的圓，過A作AF與⊙O相切于點(diǎn)E，交CD于F，若AB=4，求S⊿ADF

（三）小結(jié)

1、提出問題學(xué)生歸納

（1）這節(jié)課學(xué)習(xí)的具體內(nèi)容；

（2）學(xué)習(xí)用的數(shù)學(xué)思想方法；

（3）應(yīng)注意哪些概念之間的區(qū)別?

2、歸納基本圖形的結(jié)論

3、學(xué)習(xí)了用代數(shù)方法解決幾何問題的思想方法．

（四）布置作業(yè)

教學(xué)反思：

在整節(jié)課中對(duì)本課的重點(diǎn)學(xué)習(xí)內(nèi)容能組織學(xué)生自主觀察、猜想、證明，并深刻剖析切線長(zhǎng)定理的基本圖形；對(duì)重要的結(jié)論及時(shí)總結(jié)。尤其是切線長(zhǎng)定理的基本圖形研究環(huán)節(jié)學(xué)生能充分利用已有的知識(shí)和新授內(nèi)容結(jié)合，把切線長(zhǎng)定理和圓的對(duì)稱性緊密接合，體現(xiàn)了本節(jié)課知識(shí)點(diǎn)的工具性。在例題的選擇中注重了角度計(jì)算，長(zhǎng)度計(jì)算和在具體情境中能準(zhǔn)確地找出并運(yùn)用切線長(zhǎng)定理來(lái)分析問題，解決問題。

在提高題的選擇上，我的本意是能在平時(shí)教學(xué)中讓學(xué)生接觸中考題型，提供一題多解的證明思路，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，但從學(xué)生的接受程度來(lái)看，顯然是有點(diǎn)偏難了。通過本節(jié)課使我充分地認(rèn)識(shí)到：教學(xué)不能只從教師的知識(shí)水平和以往的教學(xué)實(shí)踐來(lái)施行，更應(yīng)該注重學(xué)生的實(shí)際知識(shí)水平和能力狀況。就構(gòu)建主義的理論而言，學(xué)生只有對(duì)發(fā)生在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)的教學(xué)內(nèi)容效果是最顯著的，如果梯度過大就失去了“腳手架”的作用了。

第五篇：切線長(zhǎng)定理教案

切線長(zhǎng)定理教案

教學(xué)目標(biāo)：

1、了解切線長(zhǎng)定義，掌握切線長(zhǎng)定理，并利用它進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。

2、在運(yùn)用切線長(zhǎng)定理的解題過程中，進(jìn)一步滲透方程的思想，熟悉用代數(shù)的方法解幾何題。

教學(xué)重點(diǎn)：理解切線長(zhǎng)定理。

教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用切線長(zhǎng)定理解決問題。教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)引入：

1．切線的判定定理和性質(zhì)定理．

2．過圓上一點(diǎn)可作圓的幾條切線？過圓外一點(diǎn)呢？過圓內(nèi)一點(diǎn)呢？

二、合作探究

1、切線長(zhǎng)定義：經(jīng)過圓外一點(diǎn)作圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到圓的切線長(zhǎng)。

2、切線長(zhǎng)定理

（1）操作：紙上一個(gè)⊙O，PA是⊙O的切線，?連結(jié)PO，?沿著直線PO將紙對(duì)折，設(shè)與點(diǎn)A重合的點(diǎn)為B。OB是⊙O 的半徑嗎？PB是⊙O的切線嗎？猜一猜PA與PB的關(guān)系？∠APO與∠BPO呢？

從上面的操作及圓的對(duì)稱性可得：

從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．（2）幾何證明．

如圖，已知PA、PB是⊙O的兩條切線．求證：PA=PB，∠APO=∠BPO．

證明：

切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．

3、三角形的內(nèi)切圓

思考：如圖是一張三角形的鐵皮，如何在它上面截下一塊圓形的鐵片，并且使圓的面積盡可能大呢？

三角形的內(nèi)切圓定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓

三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心即三角形三條角平分線的交點(diǎn)叫做——

（1）圖中共有幾對(duì)相等的線段

（2）若AF=

4、BD=

5、CE=9，則△ABC周長(zhǎng)為____

例 如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC,CA,AB分別相切于點(diǎn)D,E,F, 且AB=9cm BC=14cm,CA=13cm,求AF,BD,CE的長(zhǎng)。若S△ABC=1810,求⊙O的半徑。

三、鞏固練習(xí)

1、如圖1，PA、PB是⊙O的兩條切線、A、B為切點(diǎn)。PO交⊙O于E點(diǎn)（1）若PB=12，PO=13，則AO=____（2）若PO=10，AO=6，則PB=____（3）若PA=4，AO=3，則PO=____；PE=_____.（4）若PA=4，PE=2，則AO=____.2、如圖2，PA、PB是⊙O的兩條切線、A、B為切點(diǎn)，CD切⊙O于E交PA、PB于C、D兩點(diǎn)。

（1）若PA=12，則△PCD周長(zhǎng)為____。（2）若△PCD周長(zhǎng)=10，則PA=____。（3）若∠APB=30°,則∠AOB=_____，M是⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，則∠AMB=____

3、如圖Rt△ABC的內(nèi)切圓分別與AB、AC、BC、相切于點(diǎn)E、D、F，且∠ACB=90°，AC=

3、BC=4，求⊙O的半徑。

4、如圖Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=

6、BC=8，O為BC上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OC為半徑作圓與AB切于D點(diǎn)，求⊙O的半徑。

5、如圖，⊙O與△ADE各邊所在直線都相切，切點(diǎn)分別為M、P、N，且DE⊥AE，AE=8，AD=10，求⊙O的半徑

6、如圖，AB是⊙O的直徑，AE、BF切⊙O于A、B，EF切⊙O于C.求證：OE⊥OF

7、如圖，⊙O的直徑AB=12cm，AM、BN是切線，DC切⊙O于E，交AM于D，BN于C，設(shè)AD=x，BC=y．

（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并說(shuō)明是什么函數(shù)？

（2）若x、y是方程2t2-30t+m=0的兩根，求x，y的值．

（3）求△COD的面積．

四、小結(jié)歸納

1．圓的切線長(zhǎng)概念和定理

2．三角形的內(nèi)切圓及內(nèi)心的概念

五、作業(yè)設(shè)計(jì)

交?