第一篇：圓的解題技巧總結

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圓的解題技巧總結

一、垂徑定理的應用

給出的圓形紙片如圖所示，如果在圓形紙片上任意畫一條垂直于直徑CD的弦AB，垂足為P，再將紙片沿著直徑CD對折，我們很容易發現A、B兩點重合，即有結論AP=BP，弧AC=弧BC．其實這個結論就是“垂徑定理”，準確地敘述為：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧．

垂徑定理是“圓”這一章最早出現的重要定理，它說明的是圓的直徑與弦及弦所對的弧之間的垂直或平分的對應關系，是解決圓內線段、弧、角的相等關系及直線間垂直關系的重要依據，同時，也為我們進行圓的有關計算與作圖提供了方法與依據．

例1 某居民小區一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．

(1)請你補全這個輸水管道的圓形截面；

(2)若這個輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm，水面最深地方的高度為4cm，求這個圓形截面的半徑．

例2 如圖，PQ=3，以PQ為直徑的圓與一個以5為半徑的圓相切于點P，正方形ABCD的頂點A、B在大圓上，小圓在正方形的外部且與CD切于點Q，則AB=？

例3 如圖，已知⊙O中，直徑MN=10，正方形ABCD的四個頂點分別在半徑OM、OP以及⊙O上，并且∠POM=45°，則AB的長為多少？

例4 圖為小自行車內胎的一部分，如何將它平均分給兩個小朋發做玩具？

郭氏數學

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二、與圓有關的多解題

幾何題目一般比較靈活，若畫圖片面，考慮不周，很容易漏解，造成解題錯誤，在解有關圓的問題時，常常會因忽視圖形的幾種可能性而漏解．

1．忽視點的可能位置．

例5 △ABC是半徑為2的圓的內接三角形，若BC?23cm，則∠A的度數為______．

2．忽視點與圓的位置關系．

例6 點P到⊙0的最短距離為2 cm，最長距離為6 cm，則⊙0的半徑是______．

3．忽視平行弦與圓心的不同位置關系．

例7 已知四邊形ABCD是⊙0的內接梯形，AB∥CD，AB=8 cm，CD=6 cm，⊙0的半徑是5 cm，則梯形的面積是______．

4．忽略兩圓相切的不同位置關系

例8 點P在⊙0外，OP=13 cm，PA切⊙0于點A，PA=12 cm，以P為圓心作⊙P與⊙0相切，則⊙P的半徑是______．

例9 若⊙O1與⊙02相交，公共弦長為24 cm，⊙O1與⊙02的半徑分別為13 cm和15 cm，則圓心距0102的長為______．

三、巧證切線

切線是圓中重要的知識點，而判斷直線為圓的切線是中考的重要考點． 判斷直線是否是圓的切線，主要有兩條途徑： 1．圓心到直線的距離等于半徑

當題中沒有明確直線與圓是否相交時，可先過圓心作直線的垂線，然后證明圓心到直線郭氏數學

guoshishuxue 的距離等于半徑．

例10 如圖，P是∠AOB的角平分線OC上一點，PD⊥OA于點D，以點P為圓心，PD為半徑畫⊙P，試說明OB是⊙P的切線．

2．證明直線經過圓的半徑的外端，并且垂直于這條半徑 當已知直線與圓有交點時，連結交點和圓心（即半徑），然后證明這條半徑與直線垂直即可．

例11 如圖，已知AB為⊙O的直徑，直線BC與⊙0相切于點B，過A作AD∥OC交⊙0于點D，連結CD.(1)求證：CD是⊙0的切線；

(2)若AD=2，直徑AB=6，求線段BC的長．

四、結論巧用，妙解題

例12 已知：如圖，⊙O為Rt△ABC的內切圓，D、E、F分別為AB、AC、BC邊上的切點，求證：s?ABC?AD?BD．

該結論可敘述為：“直角三角形的面積等于其內切圓與斜邊相切的切點分斜邊所成兩條線段的乘積．”運用它，可較簡便地解決一些與直角三角形內切圓有關的問題，舉例如下：

例13 如圖，⊙0為Rt△ABC的內切圓，切點D分斜邊AB為兩段，其中AD＝10，BD＝3，求AC和BC的長．

郭氏數學 3

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例14 如圖，△ABC中∠A與∠B互余，且它們的角平分線相交于點0，又OE⊥AC，OF⊥BC，垂足分別為E、F，AC=10，BC＝13．求AE·BF的值．

五、點擊圓錐的側面展開圖

圓錐的側面展開圖是中考中的熱點內容：

解決此類問題的關鍵是明確圓錐的側面展開圖中各元素與圓錐各元素之間的關系：圓錐的側面展開圖是扇形，而扇形的半徑是圓錐的母線，弧長是圓錐的底面周長．

例15 若一個圓錐的母線長是它的底面半徑長的3倍，則它的側面展開圖的圓心角是()A．180° B．90° C．120° D．135°

例16 圓錐的側面展開圖是一個半圓面，則這個圓錐的母線長與底面半徑長的比是()A.2:1 B.2π:1 C．2：1 D．3：1

例17 如圖，小紅要制作一個高4 cm，底面直徑是6 cm的圓錐形小漏斗，若不計接縫，不計損耗，則她所需紙板的面積是()A．15πcm B．613?cm C．1213??cm D．30 cm

例18 下圖是小芳學習時使用的圓錐形臺燈罩的示意圖，則圍成這個燈罩的鐵皮的面2積為______cm．（不考慮接縫等因素，計算結果用π表示）

222

2郭氏數學 4

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評注：圓錐的側面積，需要熟練掌握其計算公式，理解圓錐的側面積等于其剪開后扇形的面積．

例19 如圖，有一塊四邊形形狀的鐵皮ABCD，BC= CD,AB= 2AD,∠ABC＝∠ADB= 90°．

(1)求∠C的度數；

(2)以C為圓心，CB為半徑作圓弧BD得一扇形CBD，剪下該扇形并用它圍成一圓錐的側面，若已知BC＝a，求該圓錐的底面半徑；

(3)在剩下的材料中，能否剪下一塊整圓做該圓錐的底面？并說明理由．

六、例談三角形內切圓問題

三角形的內切圓是與三角形都相切的圓，它的圓心是三角形三條角平分線的交點，它到三角形三邊的距離相等，它與頂點的連線平分內角．應用內心的性質，結合切線的性質、切線長的性質可以解決很多問題，現舉例說明，例20 如圖，△ABC中，內切圓⊙I和邊BC、CA、AB分別相切于點D、E、F．

求證：(1)?FDE?90??1?A；

(2)?BIC?90o?1?A．

2郭氏數學

guoshishuxue 例21 如果△ABC的三邊長分別為a、b、c，它的內切圓⊙I半徑為r，那么△ABC的面積為().A．(a?b?c)r B．1（a?b?c）r

2C．1（a?b?c）r D．1（a?b?c）r

4七、陰影部分面積的求值技巧

求陰影部分面積，通常是根據圖形的特點，將其分解、轉化為規則圖形求解．但在轉化過程中又有許多方法．本文精選幾個題，介紹幾種常用方法．

1．直接法

當已知圖形為熟知的基本圖形時，先求出適合該圖形的面積計算公式中某些線段、角的大小，然后直接代入公式進行計算．

例22 如圖，在矩形ABCD中，AB=1，AD=3，以BC的中點E為圓心的與AD相切于點P，則圖中陰影部分的面積為()

3A．2? B．3? C．? D．?

43432．和差法

當圖形比較復雜時，我們可以把陰影部分的面積轉化為若干個熟悉的圖形的面積的和或差來計算．

例23 如圖，AB和AC是⊙0的切線，B、C為切點，∠BAC=60°，⊙0的半徑為1，則陰影部分的面積是()

A．3?2? B．3?? C．23?? D．23??

3333．割補法

把不規則的圖形割補成規則圖形，然后求面積． 例24 如圖，正方形ABCD的頂點A是正方形EFGH的中心，EF=6 cm，則圖中的陰影部分的面積為______．

4．等積變形法

把所求陰影部分的圖形進行適當的等積變形，即可找出與它面積相等的特殊圖形，從而求出陰影部分面積．

例25 如圖，C、D兩點是半圓周上的三等分點，圓的半徑為R，求陰影部分的面積．

5．平移法

把圖形做適當的平移，然后再計算面積．

例26 如圖，CD是半圓0的直徑，半圓0的弦AB與半圓O' 相切，點O' 在CD上，且AB∥CD，AB＝4，則陰影部分的面積是（結果保留π）．

郭氏數學 6

guoshishuxue 6．整體法

例27 如圖，正方形的邊長為a，分別以對角頂點為圓心，邊長為半徑畫弧，則圖中陰影部分的面積是()

A．?1a2?1?a2 B．2(a2?1?a2)

244C．?a2?1.?a2 D．a2?1?a2

227．折疊法

例28 如圖，半圓A和半圓B均與y軸相切于點0，其直徑CD，EF均和x軸垂直，以0為頂點的兩條拋物線分別經過點C、E和點D、F，則圖中陰影部分的面積是______．

8．聚零為整法 例29 如圖所示，將半徑為2 cm的⊙0分割成十個區域，其中弦AB、CD關于點0對稱，EF、GH關于點0對稱，連結PM，則圖中陰影部分的面積是______（結果用π表示）．

八、圓中輔助線大集合

圓是初中重點內容，是中考必考內容．關于圓的大部分題目，常需作輔助線來求解．現對圓中輔助線的作法歸納總結如下：

1、有關弦的問題，常做其弦心距，構造直角三角形

例30 如圖，矩形ABCD與圓心在AB上的⊙O交于點G、B、F、E，GB=8 cm，AG＝1 cm，DE＝2 cm，則EF＝______cm．

2、有關直徑問題，常做直徑所對的圓周角

例31 如圖，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一點0為圓心，以OB為半徑的圓交AB于點M，交BC于點N．

(1)求證：AB?BM?BC?BN

(2)如果CM是⊙0的切線，N為OC的中點，當AC＝3時，求AB的值．

3、直線與圓相切的問題，常連結過切點的半徑，得到垂直關系；或選圓周角，找出等郭氏數學

guoshishuxue 角關系

例32 如圖，AB、AC分別是⊙0的直徑和弦，點D為劣弧AC上一點，弦ED分別交⊙0于點E，交AB于點H，交AC于點F，過點C的切線交ED的延長線于P．

(1)若PC＝PF，求證：AB⊥ED．

2(2)點D在劣弧的什么位置時，才能使AD＝DE·DF，為什么？

4、兩圓相切，常做過切點的公切線或連心線，充分利用連心線必過切點等定理

例33 如圖，⊙02與半圓Ol內切于點C，與半圓的直徑AB切于D，若AB=6，⊙02的半徑為1，則∠ABC的度數為______．

C、數學思想方法與中考能力要求

數學思想和方法是數學的血液和精髓，是解決數學問題的有力武器，是數學的靈魂．因此，我們領悟和掌握以數學知識為載體的數學思想方法，是提高數學思維水平，提高數學能力，運用數學知識解決實際問題的有力保證，因此，我們在學習中必須重視數學思想在解題中的應用．

一、數形結合思想．

數形結合的思想，其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維相結合．通過對圖形的認識，數形結合的轉化，可培養同學們思維的靈活性、形象性，使問題化難為易，化抽象為具體．

例1 MN是半圓直徑，點A是的一個三等分點，點B是的中點，P是直徑MN上的一動點，⊙0的半徑是1，求AP+BP的最小值．

二、轉化思想

轉化思想，就是在研究和解決有關數學問題時，采用某種手段將問題通過變換，使之轉化，進而得到解決的一種方程，轉化思想，能化繁為簡，化難為易，化未知為已知．

郭氏數學

guoshishuxue 例2 如圖，以0⊙的直徑BC為一邊作等邊△ABC，AB、AC交⊙0于D、E兩點，試說明BD=DE=EC．

在同圓或等圓中，經常利用圓心角、圓周角、弧、弦等量的轉化，說明其他量．

三、分類思想

所謂分類思想，就是當被研究的問題包含多種可能情況，不能一概而論時，必須按可能出現的所有情況來分別討論，得出各種情況下相應的結論．分類必須遵循一定的原則：(1)每一次分類要按照同一標準進行；(2)不重、不漏、最簡.例3 ⊙0的直徑AB=2 cm，過點A的兩條弦AC=2cm，AD=3cm，求∠CAD所夾的圓內部分的面積．

在圓中有許多分類討論的題目，希望同學們做題時，要全面、縝密，杜絕“會而不對，對而不全”的現象．

四、方程思想

通過對問題的觀察、分析、判斷，將問題化歸為方程問題，利用方程的性質和實際問題與方程的互相轉化達到解決問題的目的．

例4 如圖，AB是⊙0的直徑，點P在BA的延長線上，弦CD⊥AB，垂足為E，且PC是⊙O的切線，若OE:EA=1:2，PA＝6，求⊙0的半徑．

郭氏數學

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五、函數思想

例5（2005·梅州市）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BA=5，點P是AC上的動點（P不與A、C重合），設PC＝x，點P到AB的距離為y．

(1)求y與x的函數關系式；(2)試討論以P為圓心，半徑為x的圓與AB所在直線的位置關系，并指出相應的x的取值范圍．

例6(2006·煙臺)如圖，從⊙0外一點A作⊙0的切線AB、AC，切點分別為B、C，且⊙0直徑BD＝6，連結CD、AO.(1)求證：CD∥AO；

(2)設CD=x，AO=y，求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；(3)若AO+CD＝11，求AB的長．

郭氏數學 10

第二篇：初三數學圓知識點總結和初中數學圓解題技巧

初三數學圓知識點總結和初中數學圓解題技巧

初三數學圓知識點總結

一、圓的相關概念

1、圓的定義

在一個個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。

2、直線圓的與置位關系

1.線直與圓有唯公一共時,點做直叫與圓線切

2.三角的外形圓接的圓叫做三心形角外心

3.弦切角于所等夾弧所對的的圓心角

4.三角的內形圓切的圓叫做三心形角內心

5.垂于直徑半直線必為圓的的切線

6.過徑半外的點并且垂直端于半的徑直線是圓切線

7.垂于直徑半直線是圓的的切線

8.圓切線垂的直過切于點半徑

3、圓的幾何表示

以點O為圓心的圓記作“⊙O”，讀作“圓O”

二、垂徑定理及其推論

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。

推論1：(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。

(2)弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。

(3)平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。

推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

垂徑定理及其推論可概括為：

過圓心

垂直于弦

直徑平分弦 知二推三

平分弦所對的優弧

平分弦所對的劣弧

三、弦、弧等與圓有關的定義

1、弦

連接圓上任意兩點的線段叫做弦。(如圖中的AB)

2、直徑

經過圓心的弦叫做直徑。(如途中的CD)

直徑等于半徑的2倍。

3、半圓

圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。

4、弧、優弧、劣弧

圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。

弧用符號“⌒”表示，以A，B為端點的弧記作“ ”，讀作“圓弧AB”或“弧AB”。

大于半圓的弧叫做優弧(多用三個字母表示);小于半圓的弧叫做劣弧(多用兩個字母表示)

四、圓的對稱性

1、圓的軸對稱性

圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。

2、圓的中心對稱性

圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。

五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關系定理

1、圓心角

頂點在圓心的角叫做圓心角。

2、弦心距

從圓心到弦的距離叫做弦心距。

3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關系定理

在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦想等，所對的弦的弦心距相等。

推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。

六、圓周角定理及其推論

1、圓周角

頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。

2、圓周角定理

一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。

推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90°的圓周角所對的弦是直徑。

推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

七、點和圓的位置關系

設⊙O的半徑是r，點P到圓心O的距離為d，則有：

d＜r點P在圓內

d=r 點P在⊙O上;

d>r 點P在⊙O外。

八、過三點的圓

1、過三點的圓

不在同一直線上的三個點確定一個圓。

2、三角形的外接圓

經過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓。

3、三角形的外心

三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它叫做這個三角形的外心。

4、圓內接四邊形性質(四點共圓的判定條件)

圓內接四邊形對角互補。

九、反證法

先假設命題中的結論不成立，然后由此經過推理，引出矛盾，判定所做的假設不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法。

十、直線與圓的位置關系

直線和圓有三種位置關系，具體如下：

(1)相交：直線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線，公共點叫做交點;

(2)相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，(3)相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離。

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么：

直線l與⊙O相交 d

直線l與⊙O相切 d=r;

直線l與⊙O相離 d>r;

十一、切線的判定和性質

1、切線的判定定理

經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

2、切線的性質定理

圓的切線垂直于經過切點的半徑。

十二、切線長定理

1、切線長

在經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長。

2、切線長定理

從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

十三、圓和圓的位置關系

1、圓和圓的位置關系

如果兩個圓沒有公共點，那么就說這兩個圓相離，相離分為外離和內含兩種。

如果兩個圓只有一個公共點，那么就說這兩個圓相切，相切分為外切和內切兩種。

如果兩個圓有兩個公共點，那么就說這兩個圓相交。

2、圓心距

兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。

3、圓和圓位置關系的性質與判定

設兩圓的半徑分別為R和r，圓心距為d，那么

兩圓外離 d>R+r

兩圓外切 d=R+r

兩圓相交 R-r

兩圓內切 d=R-r(R>r)

兩圓內含 dr)

4、兩圓相切、相交的重要性質

如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線;相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。十四、三角形的內切圓

1、三角形的內切圓

與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。

2、三角形的內心

三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心。

十五、與正多邊形有關的概念

1、正多邊形的中心

正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。

2、正多邊形的半徑

正多邊形的外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑。

3、正多邊形的邊心距

正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個正多邊形的邊心距。

4、中心角

正多邊形的每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個正多邊形的中心角。

十六、正多邊形和圓

1、正多邊形的定義

各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。

2、正多邊形和圓的關系

只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以做出這個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。

十七、正多邊形的對稱性

1、正多邊形的軸對稱性

正多邊形都是軸對稱圖形。一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心。

2、正多邊形的中心對稱性

邊數為偶數的正多邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是正多邊形的中心。

3、正多邊形的畫法

先用量角器或尺規等分圓，再做正多邊形。

十八、弧長和扇形面積

1、弧長公式

n°的圓心角所對的弧長l的計算公式為

2、扇形面積公式

其中n是扇形的圓心角度數，R是扇形的半徑，l是扇形的弧長。

3、圓錐的側面積

其中l是圓錐的母線長，r是圓錐的地面半徑。

初中數學圓解題技巧

半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。

切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。

是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。

圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。

要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內接圓，內角平分線夢圓。

如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內外相切的兩圓，經過切點公切線。

若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。

輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉去實驗。

基本作圖很關鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經?？偨Y方法顯。

切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。

虛心勤學加苦練，成績上升成直線。

第三篇：數列解題技巧歸納總結

知識框架

??數列的分類?數列??的概念?數列的通項公式?函數角度理解?數列的遞推關系??????等差數列的定義an?an?1?d(n?2)???等差數列的通項公式an?a1?(n?1)d?????等差數列?nn(n?1)??等差數列的求和公式S?(a?a)?na?d?n1n1??22????等差數列的性質an?am?ap?aq(m?n?p?q)?????兩個基?an?等比數列的定義?q(n?2)???本數列an?1???n?1???等比數列的通項公式an?a1q????a1?anqa1(1?qn)??等比數列?數列??(q?1)??等比數列的求和公式Sn??1?q1?q?????na(q?1)??1?????等比數列的性質aa?aa(m?n?p?q)nmpq?????公式法??分組求和????錯位相減求和??數列?裂項求和 ?求和??倒序相加求和????累加累積??歸納猜想證明????分期付款?數列的應用???其他?掌握了數列的基本知識，特別是等差、等比數列的定義、通項公式、求和公式及性質，掌握了典型題型的解法和數學思想法的應用，就有可能在高考中順利地解決數列問題。

一、典型題的技巧解法

1、求通項公式（1）觀察法。（2）由遞推公式求通項。

對于由遞推公式所確定的數列的求解，通常可通過對遞推公式的變換轉化成等差數列或等比數列問題。

(1)遞推式為an+1=an+d及an+1=qan（d，q為常數）例

1、已知{an}滿足an+1=an+2，而且a1=1。求an。

例

1、解 ∵an+1-an=2為常數 ∴{an}是首項為1，公差為2的等差數列

∴an=1+2（n-1）即an=2n-1 例

2、已知{an}滿足an?1?1an，而a1?2，求an=？ 2

（2）遞推式為an+1=an+f（n）

例

3、已知{an}中a1?11，an?1?an?，求an.224n?11111?(?)

(2n?1)(2n?1)22n?12n?1解： 由已知可知an?1?an?令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）個等式累加，即（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）

114n?3an?a1?(1?)?

22n?14n?2★ 說明 只要和f（1）+f（2）+…+f（n-1）是可求的，就可以由an+1=an+f（n）以n=1，2，…，（n-1）代入，可得n-1個等式累加而求an。

(3)遞推式為an+1=pan+q（p，q為常數）

例

4、{an}中，a1?1，對于n＞1（n∈N）有an?3an?1?2，求an.解法一： 由已知遞推式得an+1=3an+2，an=3an-1+2。兩式相減：an+1-an=3（an-an-1）因此數列{an+1-an}是公比為3的等比數列，其首項為a2-a1=（3×1+2）-1=4 n-1n-1 n-1∴an+1-an=4·3 ∵an+1=3an+2 ∴3an+2-an=4·3即 an=2·3-1

2n-2解法二： 上法得{an+1-an}是公比為3的等比數列，于是有：a2-a1=4，a3-a2=4·3，a4-a3=4·3，…，an-an-1=4·3，把n-1個等式累加得： ∴an=2·3n-1-1

(4)遞推式為an+1=p an+q n（p，q為常數）

bn?1?bn?b221n1n(bn?bn?1)由上題的解法，得：bn?3?2()n ∴an?n?3()?2()33232n

(5)遞推式為an?2?pan?1?qan

思路：設an?2?pan?1?qan,可以變形為：an?2??an?1??(an?1??an)，想

于是{an+1-αan}是公比為β的等比數列，就轉化為前面的類型。

求an。

(6)遞推式為Sn與an的關系式

關系；（2）試用n表示an。

∴Sn?1?Sn?(an?an?1)?(∴an?1?an?an?1?n+1n+

1n

12n?1n

∴an?1)

2n?22n?111?an?n 221?1上式兩邊同乘以2得2an+1=2an+2則{2an}是公差為2的等差數列。

n∴2an= 2+（n-1）·2=2n

2．數列求和問題的方法（1）、應用公式法

等差、等比數列可直接利用等差、等比數列的前n項和公式求和，另外記住以下公式對求和來說是有益的。

1＋3＋5＋……＋(2n-1)=n

2【例8】 求數列1，（3+5），（7+9+10），（13+15+17+19），…前n項的和。

1解 本題實際是求各奇數的和，在數列的前n項中，共有1+2+…+n=n(n?1)個奇數，212∴最后一個奇數為：1+[n(n+1)-1]×2=n+n-1 2因此所求數列的前n項的和為

（2）、分解轉化法

對通項進行分解、組合,轉化為等差數列或等比數列求和。

2222222【例9】求和S=1·（n-1）+ 2·（n-2）+3·（n-3）+…+n（n-n）

解 S=n（1+2+3+…+n）-（1+2+3+…+n）2333

3（3）、倒序相加法

適用于給定式子中與首末兩項之和具有典型的規律的數列，采取把正著寫與倒著寫的兩個和式相加，然后求和。

例

10、求和：Sn?3Cn?6Cn???3nCn 例

10、解 Sn?0?Cn?3Cn?6Cn???3nCn

∴ Sn=3n·2 n-1 12n012n4

（4）、錯位相減法

如果一個數列是由一個等差數列與一個等比數列對應項相乘構成的，可把和式的兩端同乘以上面的等比數列的公比，然后錯位相減求和．

例

11、求數列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n項的和．

解 設Sn=1+3+5x+…+(2n-1)x． ①

(2)x=0時，Sn=1．

23n(3)當x≠0且x≠1時，在式①兩邊同乘以x得 xSn=x+3x+5x+…+(2n-1)x，②

23n-1n①-②，得(1-x)Sn=1+2x+2x+2x+…+2x-(2n-1)x．

2n-

1(5)裂項法：

把通項公式整理成兩項(式多項)差的形式，然后前后相消。常見裂項方法：

例12、求和1111???? 1?53?75?9(2n?1)(2n?3)

注：在消項時一定注意消去了哪些項，還剩下哪些項，一般地剩下的正項與負項一樣多。

在掌握常見題型的解法的同時，也要注重數學思想在解決數列問題時的應用。

二、常用數學思想方法 1．函數思想

運用數列中的通項公式的特點把數列問題轉化為函數問題解決。

【例13】 等差數列{an}的首項a1＞0，前n項的和為Sn，若Sl=Sk（l≠k）問n為何值時Sn最大？

此函數以n為自變量的二次函數?！遖1＞0 Sl=Sk（l≠k），∴d＜0故此二次函數的圖像開口向下 ∵ f（l）=f（k）

2．方程思想

【例14】設等比數列{an}前n項和為Sn，若S3+S6=2S9，求數列的公比q。分析 本題考查等比數列的基礎知識及推理能力。

解 ∵依題意可知q≠1。

∵如果q=1，則S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。由此應推出a1=0與等比數列不符?！遯≠1

整理得 q（2q-q-1）=0 ∵q≠0 363

此題還可以作如下思考：

33336S6=S3+qS3=（1+q）S3。S9=S3+qS6=S3（1+q+q），33663∴由S3+S6=2S9可得2+q=2（1+q+q），2q+q=0

3．換元思想

【例15】 已知a，b，c是不為1的正數，x，y，z∈R+，且

求證：a，b，c順次成等比數列。

xyz 證明 依題意令a=b=c=k ∴x=1ogak，y=logbk，z=logck

∴b=ac ∴a，b，c成等比數列（a，b，c均不為0）2 6

第四篇：解題技巧

記敘文閱讀：

1.概括（？人做了？事，結果？）2.“這”“那”指代的內容（答案就在附近）3.用原文回答時，更改代詞 4.賞析：角度、修辭

句式（長短句結合、對偶句）

用得生動形象的動詞、形容詞 5.寫作方法：欲揚先抑

對比

正、側面描寫相結合 托物言志

由小見大

借景抒情、寓情于景

借物喻人

擬人（童話故事中）

夸張 6.比喻：找相似點

7.景色描寫：賞析（動靜結合、調動五官：聽覺、視覺、嗅覺、味覺、觸覺）

作用（渲染??的氣氛、烘托人物的心情、推動故事情節的發展、交代故事背景）

8.小說：情節（波瀾起伏、扣人心弦）

9.人物刻畫的方法：語言、動作、心理、外貌（肖像、衣著、神態）、側面烘托

一句話新聞：找導語（新聞的第一句話或第一段）正方觀點、反方觀點：正：有“理”走天下

反：無“文”寸步難行 說不盡的橋：過河拆橋、過橋抽板

橋歸橋，路歸路；你走你的陽光道，我走我的獨木橋

枯藤老樹昏鴉，小橋流水人家

二十四橋明月夜，玉人何處教吹簫 古文加點字解釋：用課內解釋

放在語境中組詞

換字法

古文劃分節奏：主語、謂語分開

連詞根句子分開

翻譯成現代漢語，尋找斷開點

說明文閱讀：

1.說明中心：在總說部分找概括性的句子 分段概括

2.說明方法：舉例子（真實可信、具體）

打比方（生動形象、通俗易懂、深入淺出）做比較（強調、突出）列數據（具體、準確）分類別（條理清晰）

引用

（古詩詞：生動形象、有詩意、有韻味、文學性、趣味性）

（名人名言：更有說服性、權威性）摹狀貌（生動形象）

列圖表（直觀、一目了然）

說明方法+表達效果+小組長+中心句

舉兩個例子：不同地方各舉同一例，說明目的不一樣，各為其主

同一地方舉兩例，怕帶有偶任性，舉兩例會讓讀者相信 3.說明語言：限制性的詞語（時間，范圍??）

區別兩詞詞義“悅目”——“明顯”（分別解釋）

答題步驟：解釋該詞——具體分析——準確、科學

4.說明文結構：總分、總分總、分總（注意過渡句，有可能就是中心）5.說明順序：時間順序（事物的發展、制作過程、理論的發展）

空間順序（工藝品、建筑物）

邏輯順序（由現象到本質、由原因到結果

由主要到次要、從整體到局部 由一般到特殊）

第五篇：解題技巧

她，一雙水靈靈的大眼睛鑲嵌在遠遠的臉蛋上，閃著稚氣的光，那薄薄的嘴唇一動一動像吃櫻桃。頭上還屬這兩條羊角辮，最有趣的是她的鼻子，竟是扁扁的，好像怎么也立不起來似的。他就是我的好伙伴——張艷，在她身上，我學到了不少東西呢！

那是一個星期天的下午，我們幾個小書迷正在看書。這是，張艷問劉麗：“我給你的《創新作文大全》呢？”“在這里，只是封面掉了，沒有找著?！眲Ⅺ愡呎f邊從包里拿出那本沒有“臉”的書。張艷問劉麗：“你再找找好嗎？”“我上哪找去，大不了賠錢給你！”劉麗不耐煩地說。張艷見她生氣了，便不再作聲了，可劉麗不依不撓地和張艷吵了起來，我見話越說越不投機，就勸他們別吵了。劉麗反而說我——狗咬耗子多管閑事。氣得我七竅生煙，心想：走著瞧吧！過了幾天，張艷對我說：“劉麗生病了，我想去看看她，給她補補課?！蔽也唤獾恼f：“你還幫助劉麗??？上次她無事生非，你都忘了嗎？這叫惡有惡報！”“報什么報，上次的事我也有不對的地方，使這寬容別人，自己也會快樂起來的！”她的一席話使我心里明朗了許多。也讓我懂得了什么是寬容。

“愛護環境，人人有責?！笔撬囊痪淇陬^禪。他是這樣說的也是這樣做的。暑假的一天下午，我一個人去新華書店，路上，我邊走邊吃著西瓜，在炎熱的夏天，吃西瓜真解暑啊。吃完后，我把西瓜皮往垃圾桶的方向扔去，不料西瓜皮從桶邊彈到了地上，我只當沒看見，繼續往前走?！翱彀盐鞴掀炱饋??！蔽覈樍艘淮筇?，可回頭一看，張艷，不知她從哪兒冒出來了。我不以為然地說：“你管閑事管到太平洋去了？那邊不是也有一塊嘛！”說著隨手指了遠處的一塊西瓜皮?！敖裉炷悴粨煜麓我欢ㄓ謺y扔的，如果每個人都像你那樣想，地球不就成垃圾庫了嗎？”我聽她說的有道理，便把西瓜皮連同遠處那塊一起扔進了了垃圾桶。

雖然她現在轉學了，我們沒能在一起，但他那種以寬容為本、為大眾著想的精神卻值得我學習。我為我有這樣一個品德高尚的朋友而自豪。

2.我的好伙伴是一名女同學，就先從她的外貌說起吧!

她留著一頭烏黑的齊耳卷發，個子高而瘦，濃密的眉毛下鑲著一雙黑寶石般的眼睛，閃耀著快樂和智慧的光芒，高高的鼻梁下長著一張能說會道的櫻桃小嘴，她很樸素，經常穿一件紅色上衣，一條藍色的牛仔褲和一雙紫色的皮鞋，湊成了一個活潑可愛的小精靈。

她的學習成績非常好，總是名列前茅。有一次，我們數學老師出了一道小學六年級的題，我看了一眼，沒加思索地說不會做，還不耐煩的這兒抓抓，那兒撓撓,偶而一瞥她卻是那樣的仔細,正在專心致志地鉆研這道難題,經過苦思冥想終于做出了這道題,然而當我請教她答案時,她卻說“以后若要成大器，從現在起不管做什么事都要認認真真?！蔽冶凰囊谎砸恍猩钌畹卮騽恿恕哪且院螅业某煽兙烷_始慢慢地上升。因此我最感動的還是她的行為。

她還非?；顫?，尤其非常喜歡笑。俗話說“女子笑時不露齒”，可是她笑時兩排潔白的牙齒立刻展現在我的面前了。有一次，我們在班上玩一個游戲，名叫——貼鼻子。游戲開始了，老師先在黑板上畫了一個小姑娘，還給這個小姑娘涂上了眼睛、耳朵和嘴巴，可就是沒有鼻子，大家都迷惑不解，當老師畫完時才說今天我們來玩一個貼鼻子的游戲，每個人都得畫一個鼻子，大家輪流來，當輪到她時她不慌不忙的走上講臺，拿起她畫的鼻子就往上貼，當她貼好時，取下遮眼睛的布一看，鼻子貼在了嘴巴上，頓時她哈哈大笑，又露出了她那潔白無比的牙齒，惹得同學們也笑出了聲,這笑聲一直蕩漾在溫馨的教室里……

同時她又是一個樂于助人的人。記得有一次，我們的課程表改變了，可同學們卻一無所知，其他所有同學都沒有拿彩筆，只有她善于觀察，看見課程表更換了，立刻把新課表填寫在紙上，因而這次及時拿上了彩筆。上課時，同學們都來借她的彩筆，可她卻什么也沒有說就把彩筆借給了同學們，同學們都對她感激不盡，我卻很疑惑，自言自語道“呀！她平時可不是這樣的啊，怎么今天變了呢？”她正好聽見了，就對我說“你對別人仁，別人就對你好，再說助人為樂是好事啊，這次在別人有困難時你幫助了她（他），下次在你有困難時，同學們也會挺身而出幫助你啊！”我聽了之后慌然大悟。

她不僅是我的好伙伴，還是我的競爭對手哩！你們想知道她的真實姓名嗎？嘿嘿，告訴你們吧，不過你們可要替我保密哦—她就是我形影不離的好伙伴

3.他，個子不算太高，卻很自戀又樂于助人；臉上鑲自一雙水靈靈的大眼睛是那樣有神；笑起來時，臉上的小酒窩使他顯得十分可愛。這個少年便是我的好伙伴——小明。

說他是自戀狂還得從那一件事說起：那是在一堂自習課上，同學們都在學習，教室里頓時鴉雀無聲。“啦，啦啦……”這歌聲打破了教室的沉靜。哦！原來小明在唱歌呀！我在點忍無可忍，便對他說：“喂，不要再唱了，小明！你以為你的歌聲有多好聽，還不如聽鳥叫呢！”“唉，這么好聽的聲音，能不如鳥叫？想夸我你就直說，我一向是很謙虛的，要不我再獻上一首歌曲……”小明的話剛說到一半，全班同學大笑起來，我便急忙說道：“別，別……你繼續唱你的歌去，不過你先唱在心里，下課在向同學們表演?！彼犖艺f完，向我做了個鬼臉，便又輕聲地唱起了歌，我心想：這么難聽的聲音，還不如堵上耳朵，他卻自以為好聽，再怎么唱也比不過鳥叫。

不要看他這么自戀，其實他心地十分善良，喜歡樂于助人。記得那是一個烏云密布的下午，天正下著傾盆大雨，我因沒有帶雨傘正在著急地等待著，希望雨早點停。我心想：怎么辦？我沒有雨傘，媽媽正在上班無法拿傘給我，該怎么辦？正當我沉思時，小明的話語打破了這個寧靜。“怎么，沒帶雨傘嗎？”他沖我笑了笑，臉上的酒窩顯得十分可愛?！笆茄剑恢涝撛趺崔k！”“嗯…我的雨傘先借你吧！我家就在這附近，記得明天還給我哦！”沒等我回答，他便把雨傘硬塞到我的手里?！斑@，這怎么好意思，不過，謝謝你……”沒等我說完，他早就消失在雨霧中不見了蹤影。直到第二天，我才知道小明因淋濕而感冒了，沒能來上學。這就是我的好伙伴——小明。