第一篇：MM定理證明過(guò)程-MM定理證明過(guò)程

無(wú)稅收條件下的MM定理

1.1 假設(shè)條件

假設(shè)1：無(wú)摩擦市場(chǎng)假設(shè)

? 不考慮稅收；

? 公司發(fā)行證券無(wú)交易成本和交易費(fèi)用，投資者不必為買(mǎi)賣(mài)證券支付任何費(fèi)用； ? 無(wú)關(guān)聯(lián)交易存在；

? 不管舉債多少，公司和個(gè)人均無(wú)破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)；

? 產(chǎn)品市場(chǎng)是有效的：市場(chǎng)參與者是絕對(duì)理性和自私的；市場(chǎng)機(jī)制是完全且完備的；不存在自然壟斷、外部性、信息不對(duì)稱(chēng)、公共物品等市場(chǎng)失靈狀況；不存在帕累托改善；等等；

? 資本市場(chǎng)強(qiáng)有效：即任何人利用企業(yè)內(nèi)部信息都無(wú)法套利，沒(méi)有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)； ? 投資者可以以企業(yè)借貸資金利率相同的利率借入或貸出任意數(shù)量的資金。

假設(shè)2：一致預(yù)期假設(shè)

? 所有的投資者都是絕對(duì)理性的，均能得到有關(guān)宏觀、行業(yè)、企業(yè)的所有信息，并且對(duì)其進(jìn)行完全理性的前瞻性分析，因此大家對(duì)證券價(jià)格預(yù)期都是相同的，且投資者對(duì)組合的預(yù)期收益率和風(fēng)險(xiǎn)都按照馬克維茲的投資組合理論衡量。

1.2 MM定理第一命題及其推論

MM定理第一命題：

有財(cái)務(wù)杠桿企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值和無(wú)財(cái)務(wù)杠桿企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值相等。

第一命題的含義：

即公司的市場(chǎng)價(jià)值（即債權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值+股權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值，不含政府的稅收價(jià)值）與公司的資本結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)，而只與其盈利水平有關(guān)。這說(shuō)明未來(lái)具有完全相同的盈利能力的公司市場(chǎng)價(jià)值相同，但由于其負(fù)債程度不同等因素，故它們的凈資產(chǎn)可能有很大差異。

MM定理第一命題證明過(guò)程：證明方法是無(wú)套利均衡分析法。

基礎(chǔ)假定：我們假定有兩家公司—公司A和公司B，它們的資產(chǎn)性質(zhì)完全相同但資本結(jié)構(gòu)完全不同。A公司沒(méi)有負(fù)債（這是一種極端假設(shè)，但作為比較基準(zhǔn)更能說(shuō)明問(wèn)題）；B公司的負(fù)債額度是D，假設(shè)該負(fù)債具有永久性質(zhì)，因?yàn)榭沙掷m(xù)盈利的公司總可以用新發(fā)行的債券來(lái)償還老債券（這與宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的龐茲計(jì)劃完全不同，那是沒(méi)有收入來(lái)源且信息不對(duì)稱(chēng)下導(dǎo)致的終生借債消費(fèi)計(jì)劃無(wú)效）。

細(xì)節(jié)假設(shè)：

? B公司當(dāng)前債務(wù)利率為r（固定值）； ? A、B兩公司當(dāng)前的股本分別是SA和SB（固定值）；

? A、B兩公司當(dāng)前權(quán)益資本預(yù)期收益率（即市場(chǎng)的資本化率，也就是其股票的預(yù)期收益率）分別是rA和rB（固定數(shù)值，因?yàn)閮H指當(dāng)前的預(yù)期收益率）；

? A、B兩公司任何年份的息稅前利潤(rùn)（EBIT）相同，數(shù)額都為EBIT（隨機(jī)變量，每年的數(shù)值都是它的一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)）； ? A、B兩公司當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)值分別記為PVA和PVB（固定值）；

? A、B兩公司當(dāng)前股票的市場(chǎng)價(jià)格與其真實(shí)價(jià)值完全一致，分別為MPA和MPB（固定值）；

? A、B兩公司當(dāng)前的股東權(quán)益分別記作SEA和SEB（固定值）。

注：假定中固定值較多是因?yàn)殪o態(tài)考察公司當(dāng)前價(jià)值。

考慮一個(gè)套利策略：賣(mài)出A公司1%的股票；同時(shí)買(mǎi)入B公司1%的股票和1%的債券（上述比例可任意假定，但必須均為同一值）。這種套利策略產(chǎn)生的即時(shí)現(xiàn)金流和未來(lái)每年的現(xiàn)金流見(jiàn)表1。

表1 上述套利策略的現(xiàn)金流

頭寸

即時(shí)現(xiàn)金流

未來(lái)每年現(xiàn)金流

賣(mài)出1%A股票

0.01* PVA

-0.01*EBIT

買(mǎi)入1%B股票

-0.01*SB*MPB

0.01*（EBIT-D*r）買(mǎi)入1%B債券

-0.01*D

-0.01* D*r 凈現(xiàn)金流

NC

0

首先，任何公司的資產(chǎn)都等于賬面的負(fù)債加權(quán)益，A公司無(wú)負(fù)債，因此有

PVA?SEA;PVB?D?SEB

其次，任何公司的股票價(jià)格都等于其股東權(quán)益與股本的比值：

MPA?PVA/SA;MPB?(PVB?D)/SB①

再次，市場(chǎng)不應(yīng)該存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，故NC=0，也就是

0.01*PVA?0.01*SB*MPB?0.01*D?0 ?MPB?(PVA?D)/SB②

由①②推得：PVA?PVB③，命題證畢。

MM定理第一命題推論一：

債轉(zhuǎn)股后如果盈利未變，那么企業(yè)的股票價(jià)格也不變。

證明：假設(shè)B公司的債務(wù)權(quán)益比為k，則：

k?D/SEB

1?k?(SEB?D)/SEB?PVB/SEB?PVA/SEB?SA/SB④

將③④代入①得：

MPA?PVA/SA?PVB/(SB(1?k))?(D?SEB)/(SB(1?k))?SEB(1?k)/(SB(1?k))?MPB

證畢。

MM定理第一命題推論二：

股東期望收益率會(huì)隨財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。

含義：正常情況下B公司在債轉(zhuǎn)股之后會(huì)降低其股票的預(yù)期收益率，或者說(shuō)A公司的股票預(yù)期收益率小于B公司的股票的預(yù)期收益率。

證明：B公司的資產(chǎn)負(fù)債率（RDA）和股東權(quán)益比率（REA）分別為：

RDAB?D/PVB?D/(D?SEB)?k/(1?k)REAB?SEB/PVB?SEB/(D?SE)?1/(1?k)

由于公司所有稅前收益均優(yōu)先用于分派股息，而且市場(chǎng)有效性保證了股票的價(jià)格反映股票價(jià)值。則由股票收益現(xiàn)值模型可得A、B兩公司的股票預(yù)期收益率rA和rB分別滿(mǎn)足：

MPA???EBIT/SAEBIT ?jSA*rAj?1(1?rA)(EBIT?R*D)/SBEBIT?R*D ?j(1?rB)SB*rBj?1?MPB??同時(shí)EBIT>r*PVB，因?yàn)檫@表示即使公司全部舉債經(jīng)營(yíng)，公司產(chǎn)生的稅息前收益也足夠支付利息，也就是說(shuō)股票的收益率大于債券的收益率，由于系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益相匹配的結(jié)果導(dǎo)致這個(gè)不等式必然成立。故可推導(dǎo)出：

rB?EBIT?r*DEBIT?r*DEBITEBITEBIT?????rA，證畢。

SEBPVB?DPVBPVASA*MPAMM定理第一命題推論三：

股東每股盈利也會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。

含義：正常情況下，債券轉(zhuǎn)為股票之后，公司股東的每股盈利也會(huì)下降。證明：A、B兩公司每股盈利分別為：

EA?EBIT(EBIT?R*D);EB?⑤ SASB將④代入⑤的第二式得： EB?(EBIT?R*D)(1?k)(EBIT?R*D)k*EBIT?(1?k)*R*D⑥ ??EA?SBSASA由于EBIT>r*PVB，再將前面RDAB定義式代入，可以推得：

kEBITk*EBIT?(1?k)*R*D?(1?k)(EBIT?R*D)?(1?k)*D(?r)?0⑦

1?kPVB由⑥⑦得：EB?EA，證畢。

注：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)非常少的人有可能會(huì)覺(jué)得上述三個(gè)推論感性理解上有相互矛盾的地方，故須深入思考現(xiàn)實(shí)過(guò)程。

1.3

MM定理第二命題：

公司加權(quán)平均資本成本（WACC）與公司的資本結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)。

證明：由于公司A僅有股權(quán)融資，故WACCA?rA MM定理第二命題及其推論

WACCB?rBSEBDEBITEBIT?r???rA①，證畢。PVBPVBPVBPVAMM定理第二命題推論：

有負(fù)債的公司的權(quán)益資本成本等于同一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的無(wú)負(fù)債公司的權(quán)益資本成本加上風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)谋壤蜃邮秦?fù)債權(quán)益比k。

（是不是和CAPM、多因子模型、套利定價(jià)和單證券定價(jià)模型有點(diǎn)像啊，呵呵）

證明：由①（重新編號(hào)）得：

rB?2 PVBr*DDrA??rA?(rA?r)?rA?k(rA?r)，證畢。SEBSEBSEB有稅收條件下的MM定理 2.1

假設(shè)條件

考慮稅收，其他假設(shè)與前面相同。有稅收條件下的MM定理僅一個(gè)定理，有四個(gè)推論。

2.2 MM定理第一命題及其推論

MM定理第一命題：

在考慮稅收的情況下，有財(cái)務(wù)杠桿的企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值等于無(wú)財(cái)務(wù)杠桿的企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值加上“稅盾”的市場(chǎng)價(jià)值。

證明：假定A、B兩公司的所得稅稅率都是T（固定稅率制，累進(jìn)稅率制等也一樣的），那么兩公司的稅后收益（EAT）分別為：

EATA?(1?T)*EBIT

EATB?(1?T)*(EBIT?r*D)?r*D?(1?T)*EBIT?T*r*D?EATA，證畢。

其中T*r*D即稅盾效應(yīng)，與A公司稅后盈利相比，這是B公司多出來(lái)的部分，這是由于B公司的財(cái)務(wù)杠桿起作用了：公司價(jià)值是股權(quán)市價(jià)加債權(quán)市價(jià)，A公司每年產(chǎn)生的現(xiàn)金流EBIT都要交所得稅，而B(niǎo)公司中EBIT僅有一部分交所得稅，故省出一部分價(jià)值計(jì)入到公司的債權(quán)價(jià)值中?；蛘咭部梢岳斫鉃闆](méi)有負(fù)債的公司舉債時(shí)，政府需要把原來(lái)征的稅的一部分退給公司的債主，或者說(shuō)舉債成本里T*r是政府買(mǎi)單的（機(jī)會(huì)成本的角度講），而公司舉債的成本僅是(1?T)*r，這是從金融的角度或者說(shuō)機(jī)會(huì)成本的角度講的，就如經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)和會(huì)計(jì)利潤(rùn)的差別一樣，而證券定價(jià)的基準(zhǔn)正是從金融的角度給出才能準(zhǔn)確。

顯然A、B兩公司的稅前價(jià)值仍然一樣，相當(dāng)于不考慮稅收。我們用帶撇號(hào)的字母表示考慮稅收的變量，則有稅收情況下A、B兩公司的市場(chǎng)價(jià)值分別為：

PVA/?PVA(1?T)

(1?T)r*PVBr*D)?D?PVA/?D(1?)?PVA/① EBITEBIT(1?T)r*PVB)叫做稅盾的市場(chǎng)價(jià)值。其中D(1?EBITPVB/?PVB(1?T)(1?

MM定理第一命題推論一：

在考慮稅收情況下，股東的期望收益率仍然會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。即在考慮稅收的情況下，不考慮稅收時(shí)MM定理的命題一的推論二仍然成立。

證明：考慮稅收，A公司股票預(yù)期收益率為：

/rA?EBIT(1?T)EBIT(1?T)EBIT(1?T)???rA② //SA*MPAPVA(1?T)PVA由不考慮稅收推論二證明的最后一個(gè)公式和①（重新編號(hào)）得B公司股票的預(yù)期收益率為：

rD(EBIT?rD)(1?T)?rD(EBIT?rD)(1?T)?rD(EBIT?rD)(1?T)?rD1?TrB/????//(1?T)*rD*PVBrDSB*MPBPVB?DPVA(1?)PVA/?EBITEBITEBIT?rD?//再由②得：rB?rA?rDrDPVA(1?T)(1?)EBIT③，由于EBIT>rD（盈利足夠付利息，保//證不破產(chǎn)），故rB，證畢。?rA

MM定理第一命題推論二：

考慮稅收情況下，股東的每股收益也仍然會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升，即在考慮稅收情況下，不考慮稅收MM定理命題一推論三仍然成立。

證明：A、B兩公司每股盈利分別為：

/EA?(1?T)EBIT/(1?T)(EBIT?rD)?rD④;EB?SASB將第一部分第一命題推論一下面的④代入④得：

/EB?(1?k)?(1?T)(EBIT?rD)?rD?SA/?EA?TrD?k?(1?T)(EBIT?rD)?rD?SA/?EA

因EBIT>rD，故上不等式成立，證畢。

MM定理第一命題推論三：

在考慮稅收情況下，WACC與公司資本結(jié)構(gòu)有關(guān)。（證略）

根據(jù)CAPM模型，有稅收后的貝塔系數(shù)?/和無(wú)稅收情況下的貝塔系數(shù)?的關(guān)系為?/??(1?(1?T)D)（證明從略），由此得出股權(quán)預(yù)期收益，然后再根據(jù)公司計(jì)算出SEWACC，顯然WACC是受資本結(jié)構(gòu)影響的。MM定理第一命題推論四：

在考慮稅收情況下，有負(fù)債的公司的權(quán)益資本成本仍然大于同一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的無(wú)負(fù)債公司的權(quán)益資本成本，風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)男问揭哺鼜?fù)雜（證明如③）。

注：一個(gè)延伸，PV/?PV?(1?(1?Tc)(1?Ts))D，Tc表示企業(yè)所得稅率，Ts表示股票收入的稅

1?Td率，Td表示利息收入的稅率，個(gè)人可試著證明一下子。

公司稅MM定理命題二

在考慮所得稅情況下，負(fù)債企業(yè)的權(quán)益資本成本率(KSL)等于同一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)中某一無(wú)負(fù)債企業(yè)的權(quán)益資本成本率(KSU)加上一定的風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率。風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率根據(jù)無(wú)負(fù)債企業(yè)的權(quán)益資本成本率和負(fù)債企業(yè)的債務(wù)資本成本率(KD)之差和債務(wù)權(quán)益比所確定。其公式為：

KSL=KSU*(1-T)+(KSU-KD)*(1-T)*D/SL 式中：D — 有負(fù)債企業(yè)的負(fù)債價(jià)值； SL —有負(fù)債企業(yè)的權(quán)益價(jià)值。T—公司稅率 在命題一的基礎(chǔ)上，風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬考慮了所得稅的影響。因?yàn)?1一T)總是小于l，在D/SL比例不變的情況下，這一風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率總小于無(wú)稅條件下命題二中的風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬率。由于節(jié)稅利益，這時(shí)的股東權(quán)益資本成本率的上升幅度小，或者說(shuō)，在賦稅條件下，當(dāng)負(fù)債比率增加時(shí)，股東面臨財(cái)務(wù)風(fēng)險(xiǎn)所要求增加的風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬的程度小于無(wú)稅條件下風(fēng)險(xiǎn)報(bào)酬的增加程度，即在賦稅條件下公司允許更大的負(fù)債規(guī)模。

第二篇：MM定理證明過(guò)程-MM定理證明過(guò)程

無(wú)稅收條件下的MM定理 1.1 假設(shè)條件

假設(shè)1：無(wú)摩擦市場(chǎng)假設(shè)

? 不考慮稅收；

? 公司發(fā)行證券無(wú)交易成本和交易費(fèi)用，投資者不必為買(mǎi)賣(mài)證券支付任何費(fèi)用； ? 無(wú)關(guān)聯(lián)交易存在；

? 不管舉債多少，公司和個(gè)人均無(wú)破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)；

? 產(chǎn)品市場(chǎng)是有效的：市場(chǎng)參與者是絕對(duì)理性和自私的；市場(chǎng)機(jī)制是完全且完備的；不存在自然壟斷、外部性、信息不對(duì)稱(chēng)、公共物品等市場(chǎng)失靈狀況；不存在帕累托改善；等等；

? 資本市場(chǎng)強(qiáng)有效：即任何人利用企業(yè)內(nèi)部信息都無(wú)法套利，沒(méi)有無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)； ? 投資者可以以企業(yè)借貸資金利率相同的利率借入或貸出任意數(shù)量的資金。

假設(shè)2：一致預(yù)期假設(shè)

? 所有的投資者都是絕對(duì)理性的，均能得到有關(guān)宏觀、行業(yè)、企業(yè)的所有信息，并且對(duì)其進(jìn)行完全理性的前瞻性分析，因此大家對(duì)證券價(jià)格預(yù)期都是相同的，且投資者對(duì)組合的預(yù)期收益率和風(fēng)險(xiǎn)都按照馬克維茲的投資組合理論衡量。

1.2 MM定理第一命題及其推論

MM定理第一命題：

有財(cái)務(wù)杠桿企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值和無(wú)財(cái)務(wù)杠桿企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值相等。

第一命題的含義：

即公司的市場(chǎng)價(jià)值（即債權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值+股權(quán)的市場(chǎng)價(jià)值，不含政府的稅收價(jià)值）與公司的資本結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)，而只與其盈利水平有關(guān)。這說(shuō)明未來(lái)具有完全相同的盈利能力的公司市場(chǎng)價(jià)值相同，但由于其負(fù)債程度不同等因素，故它們的凈資產(chǎn)可能有很大差異。

MM定理第一命題證明過(guò)程：證明方法是無(wú)套利均衡分析法。

基礎(chǔ)假定：我們假定有兩家公司—公司A和公司B，它們的資產(chǎn)性質(zhì)完全相同但資本結(jié)構(gòu)完全不同。A公司沒(méi)有負(fù)債（這是一種極端假設(shè)，但作為比較基準(zhǔn)更能說(shuō)明問(wèn)題）；B公司的負(fù)債額度是D，假設(shè)該負(fù)債具有永久性質(zhì)，因?yàn)榭沙掷m(xù)盈利的公司總可以用新發(fā)行的債券來(lái)償還老債券（這與宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)中的龐茲計(jì)劃完全不同，那是沒(méi)有收入來(lái)源且信息不對(duì)稱(chēng)下導(dǎo)致的終生借債消費(fèi)計(jì)劃無(wú)效）。細(xì)節(jié)假設(shè)：

? B公司當(dāng)前債務(wù)利率為r（固定值）；

? A、B兩公司當(dāng)前的股本分別是SA和SB（固定值）；

? A、B兩公司當(dāng)前權(quán)益資本預(yù)期收益率（即市場(chǎng)的資本化率，也就是其股票的預(yù)期收益率）分別是rA和rB（固定數(shù)值，因?yàn)閮H指當(dāng)前的預(yù)期收益率）；

? A、B兩公司任何年份的息稅前利潤(rùn)（EBIT）相同，數(shù)額都為EBIT（隨機(jī)變量，每年的數(shù)值都是它的一個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)）； ? A、B兩公司當(dāng)前的市場(chǎng)價(jià)值分別記為PVA和PVB（固定值）；

? A、B兩公司當(dāng)前股票的市場(chǎng)價(jià)格與其真實(shí)價(jià)值完全一致，分別為MPA和MPB（固定值）；

? A、B兩公司當(dāng)前的股東權(quán)益分別記作SEA和SEB（固定值）。

注：假定中固定值較多是因?yàn)殪o態(tài)考察公司當(dāng)前價(jià)值。

考慮一個(gè)套利策略：賣(mài)出A公司1%的股票；同時(shí)買(mǎi)入B公司1%的股票和1%的債券（上述比例可任意假定，但必須均為同一值）。這種套利策略產(chǎn)生的即時(shí)現(xiàn)金流和未來(lái)每年的現(xiàn)金流見(jiàn)表1。

表1 上述套利策略的現(xiàn)金流

頭寸

即時(shí)現(xiàn)金流

未來(lái)每年現(xiàn)金流

賣(mài)出1%A股票

0.01* PVA

-0.01*EBIT

買(mǎi)入1%B股票

-0.01*SB*MPB

0.01*（EBIT-D*r）買(mǎi)入1%B債券

-0.01*D

-0.01* D*r 凈現(xiàn)金流

NC

0

首先，任何公司的資產(chǎn)都等于賬面的負(fù)債加權(quán)益，A公司無(wú)負(fù)債，因此有

PVA?SEA;PVB?D?SEB

其次，任何公司的股票價(jià)格都等于其股東權(quán)益與股本的比值：

MPA?PVA/SA;MPB?(PVB?D)/SB①

再次，市場(chǎng)不應(yīng)該存在無(wú)風(fēng)險(xiǎn)套利機(jī)會(huì)，故NC=0，也就是

0.01*PVA?0.01*SB*MPB?0.01*D?0 ?MPB?(PVA?D)/SB②

由①②推得：PVA?PVB③，命題證畢。

MM定理第一命題推論一：

債轉(zhuǎn)股后如果盈利未變，那么企業(yè)的股票價(jià)格也不變。

證明：假設(shè)B公司的債務(wù)權(quán)益比為k，則：

k?D/SEB

1?k?(SEB?D)/SEB?PVB/SEB?PVA/SEB?SA/SB④

將③④代入①得：

MPA?PVA/SA?PVB/(SB(1?k))?(D?SEB)/(SB(1?k))?SEB(1?k)/(SB(1?k))?MPB

證畢。

MM定理第一命題推論二：

股東期望收益率會(huì)隨財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。

含義：正常情況下B公司在債轉(zhuǎn)股之后會(huì)降低其股票的預(yù)期收益率，或者說(shuō)A公司的股票預(yù)期收益率小于B公司的股票的預(yù)期收益率。

證明：B公司的資產(chǎn)負(fù)債率（RDA）和股東權(quán)益比率（REA）分別為：

RDAB?D/PVB?D/(D?SEB)?k/(1?k)REAB?SEB/PVB?SEB/(D?SE)?1/(1?k)

由于公司所有稅前收益均優(yōu)先用于分派股息，而且市場(chǎng)有效性保證了股票的價(jià)格反映股票價(jià)值。則由股票收益現(xiàn)值模型可得A、B兩公司的股票預(yù)期收益率rA和rB分別滿(mǎn)足：

?MPA??j?1?EBIT/SA(1?rA)j?EBITSA*rA

MPB??j?1(EBIT?R*D)/SB(1?rB)j?EBIT?R*DSB*rB

同時(shí)EBIT>r*PVB，因?yàn)檫@表示即使公司全部舉債經(jīng)營(yíng)，公司產(chǎn)生的稅息前收益也足夠支付利息，也就是說(shuō)股票的收益率大于債券的收益率，由于系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)和預(yù)期收益相匹配的結(jié)果導(dǎo)致這個(gè)不等式必然成立。故可推導(dǎo)出：

rB?EBIT?r*DSEB?EBIT?r*DPVB?D?EBITPVB?EBITPVA?EBITSA*MPA?rA，證畢。

MM定理第一命題推論三：

股東每股盈利也會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。

含義：正常情況下，債券轉(zhuǎn)為股票之后，公司股東的每股盈利也會(huì)下降。證明：A、B兩公司每股盈利分別為：

EA?EBITSA;EB?(EBIT?R*D)SB⑤

將④代入⑤的第二式得： EB?(EBIT?R*D)SB?(1?k)(EBIT?R*D)SA?EA?k*EBIT?(1?k)*R*DSA⑥

由于EBIT>r*PVB，再將前面RDAB定義式代入，可以推得：

k*EBIT?(1?k)*R*D?(1?k)(k1?kEBIT?R*D)?(1?k)*D(EBITPVB?r)?0⑦

由⑥⑦得：EB?EA，證畢。

注：數(shù)學(xué)基礎(chǔ)非常少的人有可能會(huì)覺(jué)得上述三個(gè)推論感性理解上有相互矛盾的地方，故須深入思考現(xiàn)實(shí)過(guò)程。

1.3

MM定理第二命題：

公司加權(quán)平均資本成本（WACC）與公司的資本結(jié)構(gòu)無(wú)關(guān)。

證明：由于公司A僅有股權(quán)融資，故WACCA?rA

WACCB?rBSEBPVB?rDPVB?EBITPVB?EBITPVA?rA①，證畢。MM定理第二命題及其推論

MM定理第二命題推論：

有負(fù)債的公司的權(quán)益資本成本等于同一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的無(wú)負(fù)債公司的權(quán)益資本成本加上風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償，風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)谋壤蜃邮秦?fù)債權(quán)益比k。

（是不是和CAPM、多因子模型、套利定價(jià)和單證券定價(jià)模型有點(diǎn)像啊，呵呵）

證明：由①（重新編號(hào)）得：

rB?PVBSEBrA?r*DSEB?rA?DSEB(rA?r)?rA?k(rA?r)，證畢。有稅收條件下的MM定理 2.1 假設(shè)條件

考慮稅收，其他假設(shè)與前面相同。有稅收條件下的MM定理僅一個(gè)定理，有四個(gè)推論。

2.2

MM定理第一命題：

在考慮稅收的情況下，有財(cái)務(wù)杠桿的企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值等于無(wú)財(cái)務(wù)杠桿的企業(yè)的市場(chǎng)價(jià)值加上“稅盾”的市場(chǎng)價(jià)值。MM定理第一命題及其推論

證明：假定A、B兩公司的所得稅稅率都是T（固定稅率制，累進(jìn)稅率制等也一樣的），那么兩公司的稅后收益（EAT）分別為：

EATA?(1?T)*EBIT

EATB?(1?T)*(EBIT?r*D)?r*D?(1?T)*EBIT?T*r*D?EATA，證畢。

其中T*r*D即稅盾效應(yīng)，與A公司稅后盈利相比，這是B公司多出來(lái)的部分，這是由于B公司的財(cái)務(wù)杠桿起作用了：公司價(jià)值是股權(quán)市價(jià)加債權(quán)市價(jià)，A公司每年產(chǎn)生的現(xiàn)金流EBIT都要交所得稅，而B(niǎo)公司中EBIT僅有一部分交所得稅，故省出一部分價(jià)值計(jì)入到公司的債權(quán)價(jià)值中。或者也可以理解為沒(méi)有負(fù)債的公司舉債時(shí)，政府需要把原來(lái)征的稅的一部分退給公司的債主，或者說(shuō)舉債成本里T*r是政府買(mǎi)單的（機(jī)會(huì)成本的角度講），而公司舉債的成本僅是(1?T)*r，這是從金融的角度或者說(shuō)機(jī)會(huì)成本的角度講的，就如經(jīng)濟(jì)利潤(rùn)和會(huì)計(jì)利潤(rùn)的差別一樣，而證券定價(jià)的基準(zhǔn)正是從金融的角度給出才能準(zhǔn)確。

顯然A、B兩公司的稅前價(jià)值仍然一樣，相當(dāng)于不考慮稅收。我們用帶撇號(hào)的字母表示考慮稅收的變量，則有稅收情況下A、B兩公司的市場(chǎng)價(jià)值分別為：

PVA?PVA(1?T)

/EBIT(1?T)r*PVB)叫做稅盾的市場(chǎng)價(jià)值。其中D(1?EBITPVB?PVB(1?T)(1?/r*D)?D?PVA?D(1?/(1?T)r*PVBEBIT)?PVA①

/

MM定理第一命題推論一：

在考慮稅收情況下，股東的期望收益率仍然會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升。即在考慮稅收的情況下，不考慮稅收時(shí)MM定理的命題一的推論二仍然成立。

證明：考慮稅收，A公司股票預(yù)期收益率為：

rA?/EBIT(1?T)SA*MPA/?EBIT(1?T)PVA/?EBIT(1?T)(1?T)PVA?rA②

由不考慮稅收推論二證明的最后一個(gè)公式和①（重新編號(hào)）得B公司股票的預(yù)期收益率為：

(EBIT?rD)(1?T)?rDSB*MP/BrB?/?(EBIT?rD)(1?T)?rDPV?D/B?(EBIT?rD)(1?T)?rDPVA?/EBIT?rD??rD(1?T)*rD*PVBEBIT1?TrDPVA(1?)EBIT再由②得：rB?rA?//rDPVA(1?T)(1?rDEBIT)③，由于EBIT>rD（盈利足夠付利息，保//證不破產(chǎn)），故rB?rA，證畢。

MM定理第一命題推論二：

考慮稅收情況下，股東的每股收益也仍然會(huì)隨著財(cái)務(wù)杠桿的上升而上升，即在考慮稅收情況下，不考慮稅收MM定理命題一推論三仍然成立。

證明：A、B兩公司每股盈利分別為：

EA?/(1?T)EBITSA;EB?/(1?T)(EBIT?rD)?rDSB④

將第一部分第一命題推論一下面的④代入④得：

EB?/(1?k)?(1?T)(EBIT?rD)?rD?SA?EA?/TrD?k?(1?T)(EBIT?rD)?rD?SA?EA/

因EBIT>rD，故上不等式成立，證畢。

MM定理第一命題推論三：

在考慮稅收情況下，WACC與公司資本結(jié)構(gòu)有關(guān)。（證略）

根據(jù)CAPM模型，有稅收后的貝塔系數(shù)?/和無(wú)稅收情況下的貝塔系數(shù)?的關(guān)系為???(1?(1?T)/DSE)（證明從略），由此得出股權(quán)預(yù)期收益，然后再根據(jù)公司計(jì)算出WACC，顯然WACC是受資本結(jié)構(gòu)影響的。

MM定理第一命題推論四：

在考慮稅收情況下，有負(fù)債的公司的權(quán)益資本成本仍然大于同一風(fēng)險(xiǎn)等級(jí)的無(wú)負(fù)債公司的權(quán)益資本成本，風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償?shù)男问揭哺鼜?fù)雜（證明如③）。

注：一個(gè)延伸，PV/?PV?(1?(1?Tc)(1?Ts)1?Td)D，Tc表示企業(yè)所得稅率，Ts表示股票收入的稅率，Td表示利息收入的稅率，個(gè)人可試著證明一下子。MM定理的缺陷

主要是假設(shè)不合理導(dǎo)致的缺陷

? 假設(shè)沒(méi)有破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)不符合實(shí)際?？紤]稅收的話(huà)，按照MM定理所有都是債權(quán)融資則公司價(jià)值最大化，但考慮到實(shí)際的破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)，杠桿增加降低了融資成本W(wǎng)ACC，但增加了公司的破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)，故存在最優(yōu)的資本結(jié)構(gòu)使得公司達(dá)到價(jià)值最大化。? MM定理忽略了交易成本和信息不對(duì)稱(chēng)性等，顯然不符合事實(shí)。? 以上僅是兩個(gè)例子，其他的大家可以想想。

撰寫(xiě)人：小秋

第三篇：線面垂直的判定定理的證明過(guò)程

線面垂直的判定定理的證明過(guò)程

證明：已知直線L1 L22相交于O點(diǎn)且都與直線L垂直，L3是L1 L2所在平面內(nèi)任意1條不與L1 L2重合或平行的直線（重合或平行直接可得它與L1平行）

不妨假設(shè)L3過(guò)O點(diǎn)（可以通過(guò)平移得到），在L3上取E、F令OE=OF，分別過(guò)E、F作ED、FB交L2于D、B（令OD=OB）則⊿OED ≌⊿ OFB（SAS）

延長(zhǎng)DE、BF分別交L1于A、C 則⊿OEA≌⊿OFC（ASA）（注意角AEO與角CFO的補(bǔ)角相等所以它們相等）。所以O(shè)A=OC，所以⊿OAD≌⊿OBC（SAS）所以AD=CB

因?yàn)長(zhǎng)3垂直于L1 L2所以MA=MC，MD=MB（M為L(zhǎng) 上的任意點(diǎn)）所以⊿MAD≌⊿MCD（SSS）所以 角MAE= 角MCF 所以⊿MAE≌⊿MCF（SAS）

所以ME=MF，所以⊿MOE≌⊿MOF（SSS），所以角MOE=角MOF又因?yàn)?角MOE與 角MOF互補(bǔ)，所以角MOE=角MOF=90度，即L⊥L3

第四篇：正弦定理證明

新課標(biāo)必修數(shù)學(xué)5“解三角形”內(nèi)容分析及教學(xué)建議

江蘇省錫山高級(jí)中學(xué)楊志文

新課程必修數(shù)學(xué)5的內(nèi)容主要包括解三角形、數(shù)列、不等式。這些內(nèi)容都是高中數(shù)學(xué)中的傳統(tǒng)內(nèi)容。其中“解三角形”既是高中數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，又有較強(qiáng)的應(yīng)用性。在歷次教材改革中都作為中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容，一直被保留下來(lái)。在這次新課程改革中，新普通高中《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》）與原全日制普通高級(jí)中學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《大綱》）相比，“解三角形”這塊內(nèi)容在安排順序上進(jìn)行了新的整合。本文就《標(biāo)準(zhǔn)》必修模塊數(shù)學(xué)5第一部分“解三角形”的課程內(nèi)容、教學(xué)目標(biāo)要求、課程關(guān)注點(diǎn)、內(nèi)容處理上等方面的變化進(jìn)行簡(jiǎn)要的分析，并對(duì)教學(xué)中應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題談?wù)勛约旱囊恍┰O(shè)想和教學(xué)建議，供大家參考。

一、《標(biāo)準(zhǔn)》必修模塊數(shù)學(xué)5中“解三角形”與原課程中“解斜三角形”的比較

1．課程內(nèi)容安排上的變化

“解三角形”在原課程中為“解斜三角形”，安排在“平面向量”一章中，作為平面向量的一個(gè)單元。而在新課程《標(biāo)準(zhǔn)》中重新進(jìn)行了整合，將其安排在必修模塊數(shù)學(xué)5中，獨(dú)立成為一章，與必修模塊數(shù)學(xué)4中的“平面向量”分別安排在不同的模塊中。

2．教學(xué)要求的變化

原大綱對(duì)“解斜三角形”的教學(xué)要求是：

（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能運(yùn)用它們解斜三角形，能利用計(jì)算器解決解斜三角形的計(jì)算問(wèn)題。

（2）通過(guò)解三角形的應(yīng)用的教學(xué)，提高運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

（3）實(shí)習(xí)作業(yè)以測(cè)量為內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力和實(shí)際操作的能力?！稑?biāo)準(zhǔn)》對(duì)“解三角形”的教學(xué)要求是：

（1）通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題。

（2）能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。由此可以看出，《標(biāo)準(zhǔn)》在計(jì)算方面降低了要求，取消了“利用計(jì)算器解決解斜三角形的計(jì)算問(wèn)題”的要求，而在探索推理方面提高了要求，要求“通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。

3、課程關(guān)注點(diǎn)的變化

原《大綱》中，解斜三角形內(nèi)容，比較關(guān)注三角形邊角關(guān)系的恒等變換，往往把側(cè)重點(diǎn)放在運(yùn)算上。而《標(biāo)準(zhǔn)》則關(guān)注運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。側(cè)重點(diǎn)放在學(xué)生探究和推理能力的培養(yǎng)上。

4、內(nèi)容處理上的變化

原《大綱》中，解斜三角形作為平面向量知識(shí)的應(yīng)用，突出其工具性和應(yīng)用性。而《標(biāo)準(zhǔn)》將解三角形作為幾何度量問(wèn)題來(lái)處理，突出幾何的作用，為學(xué)生理解數(shù)學(xué)中的量化思想、進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)。解三角形處理的是三角形中長(zhǎng)度、角度、面積的度量問(wèn)題，長(zhǎng)度、面積是理解積分的基礎(chǔ)，角度是刻畫(huà)方向的，長(zhǎng)度、方向是向量的特征，有了長(zhǎng)度、方向，向量的工具自然就有用武之地。

二、教學(xué)中應(yīng)注意的幾個(gè)問(wèn)題及教學(xué)建議

原《大綱》中解斜三角形的內(nèi)容，比較關(guān)注三角形邊角關(guān)系的恒等變換，往往把側(cè)重點(diǎn)放在運(yùn)算上。而《標(biāo)準(zhǔn)》將解三角形作為幾何度量問(wèn)題來(lái)展開(kāi)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)任意三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長(zhǎng)與角度之間的數(shù)量關(guān)系，解決簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題。這就要求在教學(xué)過(guò)程中，突出幾何的作用和數(shù)學(xué)量化思想，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程成為在教師引導(dǎo)下的探究過(guò)程、再創(chuàng)造過(guò)程。因此在教學(xué)中應(yīng)注意以下幾個(gè)問(wèn)題。

1．要重視探究和推理

《標(biāo)準(zhǔn)》要求“通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。因此建議在教學(xué)中，既要重視從特殊到一般的探索學(xué)習(xí)過(guò)程的教學(xué)，又要重視數(shù)學(xué)的理性思維的培養(yǎng)。教學(xué)中不要直接給出定理進(jìn)行證明，可通過(guò)學(xué)生對(duì)三角形邊與角的正弦的測(cè)量與計(jì)算，研究邊與其對(duì)角的正弦之間的比，揭示它們?cè)跀?shù)量上的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)正弦定理的結(jié)論，然后再?gòu)睦碚撋线M(jìn)行論證，從而掌握正弦定理。從中體會(huì)發(fā)現(xiàn)和探索數(shù)學(xué)知識(shí)的思想方法。

參考案例：正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)與證明

教學(xué)建議：建議按如下步驟設(shè)計(jì)教學(xué)過(guò)程：

(1)從特殊三角形入手進(jìn)行發(fā)現(xiàn)

讓學(xué)生觀察并測(cè)量一個(gè)三角板的邊長(zhǎng)。

提出問(wèn)題：你能發(fā)現(xiàn)三邊長(zhǎng)與其對(duì)角的正弦值之比之間的關(guān)系嗎？

例如，量得三角板三內(nèi)角300，600，900所對(duì)的三邊長(zhǎng)分別約為5cm，8.6cm，10cm，58.610，?10?10?10 000

sin30sin60sin90

abc

對(duì)于特殊三角形，我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律：。??

sinAsinBsinC

則有：

提出問(wèn)題：上述規(guī)律，對(duì)任意三角形成立嗎？(2)實(shí)驗(yàn)，探索規(guī)律

二人合作，先在紙上做一任意銳角（銳角或鈍角）三角形，測(cè)量三邊長(zhǎng)及其三個(gè)對(duì)角，然后用計(jì)算器計(jì)算每一邊與其對(duì)角正弦值的比，填入下面表中，驗(yàn)證前面得出的結(jié)論是否正確。（其中，角精確到分，忽略測(cè)量誤差，通過(guò)實(shí)驗(yàn)，對(duì)任意三角形，有結(jié)論：

abc，即在一個(gè)三角形中，??

sinAsinBsinC

各邊和它所對(duì)的角的正弦的比相等。

提出問(wèn)題：上述的探索過(guò)程所得出的結(jié)論，只是我們通過(guò)實(shí)驗(yàn)(近似結(jié)果)發(fā)現(xiàn)的一個(gè)結(jié)果，如果我們能在理論上證明它是正確的，則把它叫做正弦定理。那么怎樣證明呢？

(4)研究定理證明的方法方法一：（向量法）①若△ABC為直角三角形，由銳角三角函數(shù)的定義知，定理顯然成立。②若△ABC為銳角三角形，過(guò)點(diǎn)A做單位向量j垂直于AC，則向量j與向量的夾角為900-A，向

量j

與向量CB的夾角為900-C，（如圖1），且有：AC?CB?AB，所以j·(+)= j·即j·+ j· = j·AB 展開(kāi)|j||AC|cos900+ | j||CB|cos(900-C)=| j|||cos(900-A)

ac

。?

sinAsinC

cbabc

同理，過(guò)點(diǎn)C做單位向量j垂直于,可得：，故有。???

sinCsinBsinAsinBsinC

③若△ABC為鈍角三角形，不妨設(shè)角A>900（如圖2），過(guò)點(diǎn)A做單位向量j垂直于AC，則向量j與

則得 a sinC = c sinA，即

向量AB的夾角為A-900，向量j與向量的夾角為900-C，且有：??，同樣可證得：

abc

。??

sinAsinB

提出問(wèn)題：你還能利用其他方法證明嗎？

方法二：請(qǐng)同學(xué)們課后自己利用平面幾何中圓內(nèi)接三角形（銳角，鈍角和直角）及同弧所對(duì)的圓周角相等等知識(shí)，將△ABC中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為以直徑為斜邊的直角三角形中去探討證明方法。

2．要重視綜合應(yīng)用

《標(biāo)準(zhǔn)》要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題。建議在正弦定理、余弦定理的教學(xué)中，設(shè)計(jì)一些關(guān)于正弦定理、余弦定理的綜合性問(wèn)題，提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力。如可設(shè)計(jì)下面的問(wèn)題進(jìn)行教學(xué)：

參考案例：正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用 C 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD?CD，AD=10，AB=14，?BDA=60?，?BCD=135?.求BC的長(zhǎng).教學(xué)建議：

引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行分析，欲求BC，需在△BCD中求解，∵?BCD=135?，?BDC=30?，∴需要求BD，而B(niǎo)D需在△ABD中求解.再引導(dǎo)學(xué)生將

A B

四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題，選擇余弦定理求BD，再由正弦定理

例2圖 求BC。

3．要重視實(shí)際應(yīng)用

《標(biāo)準(zhǔn)》要求運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。因此建議在教學(xué)中，設(shè)計(jì)一些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，為學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決問(wèn)題中的作用，感受數(shù)學(xué)與日常生活及與其他學(xué)科的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。在題目的設(shè)計(jì)中要注意對(duì)恒等變形降低要求，避免技巧性強(qiáng)的變形和繁瑣的運(yùn)算。

參考案例：解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用

參考案例1．航海中甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東45?，與A的距離為10海里的C處正以20海里/h的速度向南偏東75?的方向航行，已知甲船速度是203海里/h，問(wèn)甲船沿什么方向，用多少時(shí)間才能與

乙船相遇？

教學(xué)建議：引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意畫(huà)出示意圖，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題。若設(shè)甲船與乙船經(jīng)過(guò)t小時(shí)在B處相遇，構(gòu)建?ACB，容易計(jì)算出AB?20海里,BC?20海里，根據(jù)余弦定理建立關(guān)于t的方程，求出t，問(wèn)題就解決了。

答: 甲船沿北偏東75?的方向，經(jīng)過(guò)0.5小時(shí)與乙船相遇.參考案例2．為了測(cè)量某城市電視塔的高度，在一條直道上選 擇了A，B，C三點(diǎn)，使AB?BC?60m，在A，B，C三點(diǎn)

?

?

?

例1圖 DA 觀察塔的最高點(diǎn)，測(cè)得仰角分別為45，54.2，60，若測(cè)量 E

者的身高為1.5m，試求電視塔的高度(結(jié)果保留1位小數(shù)).F 教學(xué)建議：引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意畫(huà)出示意圖如圖，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

解三角形問(wèn)題。要求電視塔的高度。只要求出DE的長(zhǎng)。將問(wèn)題中的已

知量、未知量集中到有關(guān)三角形中，構(gòu)造出解三角形的數(shù)學(xué)模型。在例2圖 ?ACE中和?BCE中應(yīng)用余弦定理，使問(wèn)題獲得解決.答: 電視塔的高度約為158.3m.4．要重視研究性學(xué)習(xí)

解三角形的內(nèi)容有較強(qiáng)的應(yīng)用性和研究性，可為學(xué)生提供豐富的研究性素材。建議在教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計(jì)上探索開(kāi)放，在教學(xué)形式上靈活多樣。可設(shè)計(jì)一些研究性、開(kāi)放性的問(wèn)題，讓學(xué)生自行探索解決。參考案例：研究性學(xué)習(xí)

課外研究題：將一塊圓心角為120?，半徑為20厘米的扇形鐵片裁成一塊矩形，請(qǐng)你設(shè)計(jì)裁法，使裁得矩形的面積最大?并說(shuō)明理由．

教學(xué)建議：這是一個(gè)研究性學(xué)習(xí)內(nèi)容，可讓學(xué)生在課外兩人一組合作完成，寫(xiě)成研究報(bào)告，在習(xí)題課上讓學(xué)生交流研究結(jié)果，老師可適當(dāng)進(jìn)行點(diǎn)評(píng)。

參考答案：這是一個(gè)如何下料的問(wèn)題，一般有如圖（1）、圖（2）的兩種裁法：即讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或讓矩形一邊與弦AB

平行。從圖形的特點(diǎn)來(lái)看，涉及到線段的長(zhǎng)度和角度，將

這些量放置在三角形中，通過(guò)解三角形求出矩形的邊長(zhǎng)，再計(jì)算出兩種方案所得矩形的最大面積，加以比較，就可以得出問(wèn)題的結(jié)論．

NBB

PO圖（2）

QM

O圖（1）

按圖（1）的裁法:矩形的一邊OP在OA上，頂點(diǎn)M在圓弧上，設(shè)?MOA??，則：

時(shí)，Smax?200．

4按圖（2）的裁法: 矩形一邊PQ與弦AB平行，設(shè)?MOQ??，在?MOQ中，?OQM?90??30??120?，由正弦定理，得：

sin120?

又?MN?2OMsin(60???)?40sin(60???)，MQ?

20sin?

?

3sin?． 3

MP?20sin?,OP?20cos?，從而S?400sin?cos??200sin2?．即當(dāng)??

?

∴S?MQ?MN?

sin?sin(60???)?cos(2??60?)?cos60?． 33

??

∴當(dāng)??30?時(shí)，Smax?由于

400． 3

400平方厘米． ?200，所以用第二中裁法可裁得面積最大的矩形，最大面積為33

也可以建議學(xué)生在課外自行尋找研究性、應(yīng)用性的題目去做，寫(xiě)出研究或?qū)嶒?yàn)報(bào)告，在學(xué)校開(kāi)設(shè)的研究性學(xué)習(xí)課上進(jìn)行交流，評(píng)價(jià)。

參考文獻(xiàn)：

①全日制普通高中級(jí)學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》。人民教育出版社。2002年4 月。

②《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)））》。人民教育出版社。2003年4月第一次印刷。③《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）解讀》。嚴(yán)士健 張奠宙王尚志等主編。江蘇教育出版社。2004年4月。

第五篇：原創(chuàng)正弦定理證明

1．直角三角形中：sinA=，sinB=，sinC=1

即c=

∴abc，c=，c=．sinAsinBsinCacbcabc== sinAsinBsinC

2．斜三角形中

證明一：（等積法）在任意斜△ABC當(dāng)中

S△ABC=absinC?acsinB?bcsinA

兩邊同除以abc即得：

證明二：（外接圓法）

如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴aa??CD?2R sinAsinD

bc=2R，＝2R sinBsinC12121212abc== sinAsinBsinC

同理

證明三：（向量法）

?????過(guò)A作單位向量j垂直于AC

????????????由 AC+CB=AB

???????????????兩邊同乘以單位向量j 得 j?(AC+CB)=j?AB 則?+?=?

???????????????∴|j|?|AC|cos90?+|j|?|CB|cos(90??C)=| j|?|AB|cos(90??A)

∴asinC?csinA∴ac= sinAsinC

?????cbabc同理，若過(guò)C作j垂直于CB得： =∴== sinCsinBsinAsinBsinC

正弦定理的應(yīng)用 從理論上正弦定理可解決兩類(lèi)問(wèn)題：

1．兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

2已知a, b和A, 用正弦定理求B時(shí)的各種情況

:

⑴若A為銳角時(shí): ?a?bsinA無(wú)解??a?bsinA一解(直角)

??bsinA?a?b二解(一銳, 一鈍)?a?b一解(銳角)?

已知邊a,b和?A

a

無(wú)解a=CH=bsinA僅有一個(gè)解

CH=bsinA

?a?b無(wú)解⑵若A為直角或鈍角時(shí):? ?a?b一解(銳角)