第一篇：著名定理證明(初中)

24.著名定理證明（14分）（該題有六個(gè)小題，須選做兩個(gè)，全對(duì)才給分，每個(gè)七分，多做滿分也是14分）

（1）試證明海倫公式：S三角形=√p(p-a)(p-b)(p-c),(p=三角形周長(zhǎng)的一半)

(2)試證明角平分線定理：如圖：若AD平分∠BAC，證明：

AB*CD=AC*BD

（3）證明射影定理：如圖：在RT三角形EGF中，HG⊥EF，EG⊥FG

ⅰ：證明：HG2=EH*HF

ⅱ：證明：FG2=HF*EF

ⅲ：證明：EG2=EH*EF

（4）證明：S圓錐=sh/3（s=底面積，h=高）（提示，將圓錐等分為無(wú)限個(gè)“圓片”）

（5）證明：2π=sin（360/∞）*∞（提示，作圓內(nèi)接正n邊形）

（6）證明：中線定理：

如圖，AI是三角形ABC中線，證明：

25、三角形是一個(gè)神奇的圖形，如三角形有五心（旁心、重心、內(nèi)心、外心、垂心），在三角形中有許多重要定理，如：勾股定理、余弦定理??，三角形有許多重要公式，如：海倫公式??，在三角形中還有許多重要的點(diǎn)，如：費(fèi)馬點(diǎn)、歐拉點(diǎn)??

但今天，我們來(lái)研究一個(gè)多點(diǎn)共圓的問(wèn)題：

首先，要證明多點(diǎn)共圓，只能從四點(diǎn)共圓入手，因此我現(xiàn)在這里提出一個(gè)證明四點(diǎn)共圓的方法：

證明：在任意凸四邊形中，連接對(duì)角線，若同邊所對(duì)的角相等，則這四點(diǎn)共圓，請(qǐng)以下圖為例證明：如圖，∠CBD=∠CAD（4分）

（2）如圖，在任意等腰三角形中（頂角小于90度），證明：三垂線垂足、及三個(gè)歐拉點(diǎn)共圓（歐拉點(diǎn)：三角形三垂線交于一點(diǎn)為垂心，垂心與三頂點(diǎn)的連線的三條線段的中點(diǎn)即為歐拉點(diǎn)）（10分）：以下圖為例證明：

如圖，AB=AC，CH、AD、BM是等腰三角形ABC的高，P為垂心，O、N、G是三個(gè)歐拉點(diǎn)

第二篇：初中數(shù)學(xué)定理證明

初中數(shù)學(xué)定理證明

數(shù)學(xué)定理

三角形三條邊的關(guān)系

定理：三角形兩邊的和大于第三邊

推論：三角形兩邊的差小于第三邊

三角形內(nèi)角和

三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°

推論1直角三角形的兩個(gè)銳角互余

推論2三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和

推論3三角形的一個(gè)外角大雨任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角

角的平分線

性質(zhì)定理在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

幾何語(yǔ)言：

∵OC是∠AOB的角平分線(或者∠AOC=∠BOC)

pE⊥OA，pF⊥OB

點(diǎn)p在OC上

∴pE=pF(角平分線性質(zhì)定理)

判定定理到一個(gè)角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上

幾何語(yǔ)言：

∵pE⊥OA，pF⊥OB

pE=pF

∴點(diǎn)p在∠AOB的角平分線上(角平分線判定定理)

等腰三角形的性質(zhì)

等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩底角相等

幾何語(yǔ)言：

∵AB=AC

∴∠B=∠C(等邊對(duì)等角)

推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

幾何語(yǔ)言：

(1)∵AB=AC，BD=DC

∴∠1=∠2，AD⊥BC(等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊)

(2)∵AB=AC，∠1=∠

2∴AD⊥BC，BD=DC(等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊)

(3)∵AB=AC，AD⊥BC

∴∠1=∠2，BD=DC(等腰三角形頂角的平分線垂直平分底邊)

推論2等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角等于60°

幾何語(yǔ)言：

∵AB=AC=BC

∴∠A=∠B=∠C=60°(等邊三角形的各角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°)

等腰三角形的判定

判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等

幾何語(yǔ)言：

∵∠B=∠C

∴AB=AC(等角對(duì)等邊)

推論1三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

幾何語(yǔ)言：

∵∠A=∠B=∠C

∴AB=AC=BC(三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形)

推論2有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

幾何語(yǔ)言：

∵AB=AC，∠A=60°(∠B=60°或者∠C=60°)

∴AB=AC=BC(有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形)

推論3在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半

幾何語(yǔ)言：

∵∠C=90°，∠B=30°

∴BC=AB或者AB=2BC(在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半)

線段的垂直平分線

定理線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

幾何語(yǔ)言：

∵M(jìn)N⊥AB于C，AB=BC，(MN垂直平分AB)

點(diǎn)p為MN上任一點(diǎn)

∴pA=pB(線段垂直平分線性質(zhì))

逆定理和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上

幾何語(yǔ)言：

∵pA=pB

∴點(diǎn)p在線段AB的垂直平分線上(線段垂直平分線判定)

軸對(duì)稱和軸對(duì)稱圖形

定理1關(guān)于某條之間對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形

定理2如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線

定理3兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱，若它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上

逆定理若兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分，那這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱

勾股定理

勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和，等于斜邊c的平方，即

a2+b2=c

2勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系，那么這個(gè)三角形是直角三角形

四邊形

定理任意四邊形的內(nèi)角和等于360°

多邊形內(nèi)角和

定理多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)·180°

推論任意多邊形的外角和等于360°

平行四邊形及其性質(zhì)

性質(zhì)定理1平行四邊形的對(duì)角相等

性質(zhì)定理2平行四邊形的對(duì)邊相等

推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

性質(zhì)定理3平行四邊形的對(duì)角線互相平分

幾何語(yǔ)言：

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD‖BC，AB‖CD(平行四邊形的對(duì)角相等)

∠A=∠C，∠B=∠D(平行四邊形的對(duì)邊相等)

AO=CO，BO=DO(平行四邊形的對(duì)角線互相平分)

平行四邊形的判定

判定定理1兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形

幾何語(yǔ)言：

∵AD‖BC，AB‖CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形)

判定定理2兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形

幾何語(yǔ)言：

∵∠A=∠C，∠B=∠D

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形)

判定定理3兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

幾何語(yǔ)言：

∵AD=BC，AB=CD

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形)

判定定理4對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

幾何語(yǔ)言：

∵AO=CO，BO=DO

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形)

判定定理5一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

幾何語(yǔ)言：

∵AD‖BC，AD=BC

∴四邊形ABCD是平行四邊形

(一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形)

矩形

性質(zhì)定理1矩形的四個(gè)角都是直角

性質(zhì)定理2矩形的對(duì)角線相等

幾何語(yǔ)言：

∵四邊形ABCD是矩形

∴AC=BD(矩形的對(duì)角線相等)

∠A=∠B=∠C=∠D=90°(矩形的四個(gè)角都是直角)

推論直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

幾何語(yǔ)言：

∵△ABC為直角三角形，AO=OC

∴BO=AC(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)

判定定理1有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

幾何語(yǔ)言：

∵∠A=∠B=∠C=90°

∴四邊形ABCD是矩形(有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形)

判定定理2對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

幾何語(yǔ)言：

∵AC=BD

∴四邊形ABCD是矩形(對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形)

菱形

性質(zhì)定理1菱形的四條邊都相等

性質(zhì)定理2菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角

幾何語(yǔ)言：

∵四邊形ABCD是菱形

∴AB=BC=CD=AD(菱形的四條邊都相等)

AC⊥BD，AC平分∠DAB和∠DCB，BD平分∠ABC和∠ADC

(菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角)

判定定理1四邊都相等的四邊形是菱形

幾何語(yǔ)言：

∵AB=BC=CD=AD

∴四邊形ABCD是菱形(四邊都相等的四邊形是菱形)

判定定理2對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形

幾何語(yǔ)言：

∵AC⊥BD，AO=CO，BO=DO

∴四邊形ABCD是菱形(對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形)

正方形

性質(zhì)定理1正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等

性質(zhì)定理2正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角

中心對(duì)稱和中心對(duì)稱圖形

定理1關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形

定理2關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分

逆定理如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱

梯形

等腰梯形性質(zhì)定理等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等

幾何語(yǔ)言：

∵四邊形ABCD是等腰梯形

∴∠A=∠B，∠C=∠D(等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等)

等腰梯形判定定理在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形

幾何語(yǔ)言：

∵∠A=∠B，∠C=∠D

∴四邊形ABCD是等腰梯形(在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形)

三角形、梯形中位線

三角形中位線定理三角形的中位線平行與第三邊，并且等于它的一半

幾何語(yǔ)言：

∵EF是三角形的中位線

∴EF=AB(三角形中位線定理)

梯形中位線定理梯形的中位線平行與兩底，并且等于兩底和的一半

幾何語(yǔ)言：

∵EF是梯形的中位線

∴EF=(AB+CD)(梯形中位線定理)

比例線段

1、比例的基本性質(zhì)

如果a∶b=c∶d，那么ad=bc2、合比性質(zhì)

3、等比性質(zhì)

平行線分線段成比例定理

平行線分線段成比例定理三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例

幾何語(yǔ)言：

∵l‖p‖a

(三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例)

推論平行與三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例

定理如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行與三角形的第三邊

垂直于弦的直徑

垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

幾何語(yǔ)言：

∵OC⊥AB，OC過(guò)圓心

(垂徑定理)

推論

1(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

幾何語(yǔ)言：

∵OC⊥AB，AC=BC，AB不是直徑

(平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧)

(2)弦的垂直平分線過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧

幾何語(yǔ)言：

∵AC=BC，OC過(guò)圓心

(弦的垂直平分線過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧)

(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧

幾何語(yǔ)言：

(平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧)

推論2圓的兩條平分弦所夾的弧相等

幾何語(yǔ)言：∵AB‖CD

圓心角、虎弦、弦心距之間的關(guān)系

定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距也相等

推論在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條虎兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等

圓周角

定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半

推論1同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧也相等

推論2半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角;90°的圓周角所對(duì)的弦是直角

推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形

圓的內(nèi)接四邊形

定理圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角

幾何語(yǔ)言：

∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形

∴∠A+∠C=180°，∠B+∠ADB=180°，∠B=∠ADE

切線的判定和性質(zhì)

切線的判定定理經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

幾何語(yǔ)言：∵l⊥OA，點(diǎn)A在⊙O上

∴直線l是⊙O的切線(切線判定定理)

切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)半徑

幾何語(yǔ)言：∵OA是⊙O的半徑，直線l切⊙O于點(diǎn)A

∴l(xiāng)⊥OA(切線性質(zhì)定理)

推論1經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直徑必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)

推論2經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心

切線長(zhǎng)定理

定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角

幾何語(yǔ)言：∵弦pB、pD切⊙O于A、C兩點(diǎn)

∴pA=pC，∠ApO=∠CpO(切線長(zhǎng)定理)

弦切角

弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角

幾何語(yǔ)言：∵∠BCN所夾的是，∠A所對(duì)的是

∴∠BCN=∠A

推論如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等，那么這兩個(gè)弦切角也相等

幾何語(yǔ)言：∵∠BCN所夾的是，∠ACM所對(duì)的是，=

∴∠BCN=∠ACM

和圓有關(guān)的比例線段

相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被焦點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等

幾何語(yǔ)言：∵弦AB、CD交于點(diǎn)p

∴pA·pB=pC·pD(相交弦定理)

推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)

幾何語(yǔ)言：∵AB是直徑，CD⊥AB于點(diǎn)p

∴pC2=pA·pB(相交弦定理推論)

切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓焦點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)

幾何語(yǔ)言：∵pT切⊙O于點(diǎn)T，pBA是⊙O的割線

∴pT2=pA·pB(切割線定理)

推論從圓外一點(diǎn)因圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的焦點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等

幾何語(yǔ)言：∵pBA、pDC是⊙O的割線

∴pT2=pA·pB(切割線定理推論)。

第三篇：北師大版初中數(shù)學(xué)證明定理

公理 兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行（同位角相等，兩直線平行）

定理 兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

定理 兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）

定理 對(duì)頂角相等

公理 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等（兩直線平行，同位角相等）定理 兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）定理 兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）定理 如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行

定理 三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°（三角形內(nèi)角和定理）

定理 四邊形的內(nèi)角和等于360°

定理 三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。

定理 三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角。

公理 三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SSS）

公理 兩邊及其家變對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（SAS）

公理 兩角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）

公理 全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等。

定理 兩角及其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等（AAS）

定理 等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）

定理 等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（三線合一）定理 等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60°

定理 有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）

定理 有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形。

定理 在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。定理 三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形

定理 直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）

定理 如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形 定理 斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（HL）

定理 線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等

定理 到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。

定理 三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。

定理 角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等

定理 在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上

定理 三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等

定理平行四邊形的對(duì)邊相等

定理平行四邊形的對(duì)角相等

定理平行四邊形法的對(duì)角線互相平分

定理 等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等

定義 兩腰相等的梯形是等腰梯形

定理 同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形

定理 夾在兩條平行線間的平行線段相等

定義 兩組對(duì)邊互相平行的四邊形是平行四邊形

定理 兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形

定理 一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

定理 對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形

定理 兩組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形

定理 三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半

定理 矩形的四個(gè)角都是直角

定理 矩形的對(duì)角線相等

定理 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

定義 有一個(gè)叫是直角的平行四邊形是矩形

定理 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形

定理 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形

定理 如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形 定理 菱形的四條邊都相等

定理 菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角

定義 一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

定理 對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形

定理 有四條邊相等的四邊形是菱形

定理 正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等

定理 正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每條對(duì)角線平分一組對(duì)角 定理 有一個(gè)角是直角的菱形是正方形

定理 對(duì)角線相等的菱形是正方形

定理 對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形

第四篇：定理與證明(一)初中數(shù)學(xué)教案

（一）教材分析

1、知識(shí)結(jié)構(gòu)

2、重點(diǎn)、難點(diǎn)分析

重點(diǎn)：真命題的證明步驟與格式．命題的證明步驟與格式是本節(jié)的主要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必具備的能力，在今后的學(xué)習(xí)中將會(huì)有大量的證明問(wèn)題；另一方面它還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)謹(jǐn)性．

難點(diǎn)：推論證明的思路和方法．因?yàn)樗w現(xiàn)了學(xué)生的抽象思維能力，由于學(xué)生對(duì)邏輯的理解不深刻，往往找不出最優(yōu)的思維切入點(diǎn)，證明的盲目性很大，因此對(duì)學(xué)生證明的思路和方法的訓(xùn)練是教學(xué)的難點(diǎn)．

（二）教學(xué)建議

1、四個(gè)注意

（1）注意：①公理是通過(guò)長(zhǎng)期實(shí)踐反復(fù)驗(yàn)證過(guò)的，不需要再進(jìn)行推理論證而都承認(rèn)的真命題；②公理可以作為判定其他命題真假的根據(jù)．

（2）注意：定理都是真命題，但真命題不一定都是定理．一般選擇一些最基本最常用的真命題作為定理，可以以它們?yōu)楦鶕?jù)推證其他命題．這些被選作定理的真命題，在教科書中是用黑體字排印的．

（3）注意：在幾何問(wèn)題的研究上，必須經(jīng)過(guò)證明，才能作出真實(shí)可靠的判斷．如“兩直線平行，同位角相等”這個(gè)命題，如果只采用測(cè)量的方法．只能測(cè)量有限個(gè)兩平行直線的同位角是相等的．但采用推理方法證明兩平行直線的同位角相等，那么就可以確信任意兩平行直線的同位角相等．

（4）注意：證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當(dāng)然”．①論據(jù)必須是真命題，如：定義、公理、已經(jīng)學(xué)過(guò)的定理和巳知條件；②論據(jù)的真實(shí)性不能依賴于論證的真實(shí)性；③論據(jù)應(yīng)是論題的充足理由．

2、逐步滲透數(shù)學(xué)證明的思想：

（1）加強(qiáng)數(shù)學(xué)推理(證明)的語(yǔ)言訓(xùn)練使學(xué)生做到，能用準(zhǔn)確的語(yǔ)言表述學(xué)過(guò)的概念和命題，即進(jìn)行語(yǔ)言準(zhǔn)確性訓(xùn)練；能學(xué)會(huì)一些基本的推理論證語(yǔ)言，如“因?yàn)??，所以??”句式，“如果??，那么??”句式等等；提高符號(hào)語(yǔ)言的識(shí)別和表達(dá)能力，例如，把要證明的命題結(jié)合圖形，用已知，求證的形式寫出來(lái)．

（2）提高學(xué)生的“圖形”能力，包括利用大綱允許的工具畫圖(垂線、平行線)的能力和在對(duì)要證命題的理解(如分清題設(shè)、結(jié)論)的基礎(chǔ)上，畫出要證明的命題的圖形的能力，后一點(diǎn)尤其重要，一般通過(guò)圖形易于弄清命題并找出證明的方法．

（3）加強(qiáng)各種推理訓(xùn)練，一般應(yīng)先使學(xué)生從“模仿”教科書的形式開始訓(xùn)練．首先是用自然語(yǔ)言敘述只有一步推理的過(guò)程，然后用簡(jiǎn)化的“三段論”方法表述出這一過(guò)程，再進(jìn)行有兩步推理的過(guò)程的模仿；最后，在學(xué)完“命題、定理、證明”一單元后，總結(jié)證明的一般步驟，并進(jìn)行多至三、四步的推理．在以上訓(xùn)練中，每一步推理的后面都應(yīng)要求填注推理根據(jù)，這既可訓(xùn)練良好的推理習(xí)慣，又有助于掌握學(xué)過(guò)的命題．

教學(xué)目標(biāo)：

1、了解證明的必要性，知道推理要有依據(jù)；熟悉綜合法證明的格式，能說(shuō)出證明的步驟．

2、能用符號(hào)語(yǔ)言寫出一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論．

3、通過(guò)對(duì)真命題的分析，加強(qiáng)推理能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力．

教學(xué)重點(diǎn)：證明的步驟與格式．

教學(xué)難點(diǎn)：將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為幾何符號(hào)語(yǔ)言．

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)提問(wèn)

1、命題“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”的題設(shè)和結(jié)論各是什么？

2、根據(jù)題設(shè)，應(yīng)畫出什么樣的圖形？（答：兩條平行線a、b被第三條直線c所截）

3、結(jié)論的內(nèi)容在圖中如何表示？（答：在圖中標(biāo)出一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角，并用符號(hào)表示）

二、例題分析

例

1、證明：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．

已知：a∥b，c是截線．

求證：∠1＝∠2．

分析：要證∠1＝∠2，只要證∠3＝∠2即可，因?yàn)?/p>

∠3與∠1是對(duì)頂角，根據(jù)平行線的性質(zhì)，易得出∠3＝∠2．

證明：∵a∥b（已知），∴∠3＝∠2（兩直線平行，同位角相等）．

∵∠1＝∠3（對(duì)頂角相等），∴∠1＝∠2（等量代換）．

例

2、證明：鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直．

已知：如圖，∠aob＋∠boc＝180°，oe平分∠aob，of平分∠boc．

求證：oe⊥of．

分析：要證明oe⊥of，只要證明∠eof＝90°，即∠1＋∠2＝90°即可．

證明：∵oe平分∠aob，∴∠1＝ ∠aob，同理 ∠2＝ ∠boc，∴∠1＋∠2＝（∠aob＋∠boc）＝ ∠aoc＝90°，∴oe⊥of（垂直定義）．

三、課堂練習(xí)：

1、平行于同一條直線的兩條直線平行．

2、兩條平行線被第三條直線所截，同位角的平分線互相平行．

四、歸納小結(jié)

主要通過(guò)學(xué)生回憶本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，從知識(shí)、技能、數(shù)學(xué)思想方法等方面加以歸納，有利于學(xué)生掌握、運(yùn)用知識(shí)．然后見投影儀．

五、布置作業(yè)

課本p143

5、（2）,7.六、課后思考：

1、垂直于同一條直線的兩條直線的位置關(guān)系怎樣？

2、兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角的平分線位置關(guān)系怎樣？

3、兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角的平分線位置關(guān)系怎樣？

第五篇：初中定理

初中幾何證明的依據(jù)

1.兩點(diǎn)連線中線段最短.2.同角（或等角）的余角相等.同角(或等角)的補(bǔ)角相等.對(duì)頂角相等.3.平面內(nèi)經(jīng)過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直.直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中，垂線段最短.4．線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等,到線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．

5.兩直線平行，同位角相等．同位角相等，兩直線平行．

6.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等(同旁內(nèi)角互補(bǔ))．內(nèi)錯(cuò)角相等(同旁內(nèi)角互補(bǔ))，兩直線平行．

7.經(jīng)過(guò)直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與這條直線平行．

8.三角形的任意兩邊之和大于第三邊．三角形任意兩邊之差小于第三邊．

9.三角形的內(nèi)角之和等于180°．三角形的外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．三角形的外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.10.三角形的中位線平行于第三邊,并且等于它的一半.11.全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角分別相等.12.兩邊夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.兩角夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等.13.角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.14.等腰三角形的兩底角相等(等邊對(duì)等角）.底邊上的高、中線及頂角的平分線三線合一.15.有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形(等角對(duì)等邊）.等邊三角形的每個(gè)角都等于60°.三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形.有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.16.有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.如果三角形的一邊的平方等于另外兩邊的平方和,那么這個(gè)三角形是直角三角形.17.直角三角形的兩銳角互余,斜邊上的中線等于斜邊的一半.直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.18.n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)·180°;任意多邊形的外角和等于360°.19.平行四邊形的對(duì)邊相等、對(duì)角相等、兩對(duì)角線互相平分.20.一組對(duì)邊平行且相等,或兩條對(duì)角線互相平分,或兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形.21.矩形的四個(gè)角都是直角,對(duì)角線相等.22.三個(gè)角是直角的四邊形,或?qū)蔷€相等的平行四邊形是矩形.23.菱形的四邊相等,對(duì)角線互相垂直平分.24.四邊相等的四邊形,或?qū)蔷€互相垂直的平行四邊形是菱形.25.正方形具有菱形和矩形的性質(zhì).26.有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.有一組鄰邊相等的矩形是正方形.27.等腰梯形同一底邊上的兩底角相等,兩條對(duì)角線相等.28.在同一底上的兩底角相等的梯形是等腰梯形.梯形的中位線平行于兩底,并且等于兩底和的一半.