第一篇：MM定理證明過程-MM定理證明過程

無稅收條件下的MM定理 1.1 假設條件

假設1：無摩擦市場假設

? 不考慮稅收；

? 公司發行證券無交易成本和交易費用，投資者不必為買賣證券支付任何費用； ? 無關聯交易存在；

? 不管舉債多少，公司和個人均無破產風險；

? 產品市場是有效的：市場參與者是絕對理性和自私的；市場機制是完全且完備的；不存在自然壟斷、外部性、信息不對稱、公共物品等市場失靈狀況；不存在帕累托改善；等等；

? 資本市場強有效：即任何人利用企業內部信息都無法套利，沒有無風險套利機會； ? 投資者可以以企業借貸資金利率相同的利率借入或貸出任意數量的資金。

假設2：一致預期假設

? 所有的投資者都是絕對理性的，均能得到有關宏觀、行業、企業的所有信息，并且對其進行完全理性的前瞻性分析，因此大家對證券價格預期都是相同的，且投資者對組合的預期收益率和風險都按照馬克維茲的投資組合理論衡量。

1.2 MM定理第一命題及其推論

MM定理第一命題：

有財務杠桿企業的市場價值和無財務杠桿企業的市場價值相等。

第一命題的含義：

即公司的市場價值（即債權的市場價值+股權的市場價值，不含政府的稅收價值）與公司的資本結構無關，而只與其盈利水平有關。這說明未來具有完全相同的盈利能力的公司市場價值相同，但由于其負債程度不同等因素，故它們的凈資產可能有很大差異。

MM定理第一命題證明過程：證明方法是無套利均衡分析法。

基礎假定：我們假定有兩家公司—公司A和公司B，它們的資產性質完全相同但資本結構完全不同。A公司沒有負債（這是一種極端假設，但作為比較基準更能說明問題）；B公司的負債額度是D，假設該負債具有永久性質，因為可持續盈利的公司總可以用新發行的債券來償還老債券（這與宏觀經濟學中的龐茲計劃完全不同，那是沒有收入來源且信息不對稱下導致的終生借債消費計劃無效）。細節假設：

? B公司當前債務利率為r（固定值）；

? A、B兩公司當前的股本分別是SA和SB（固定值）；

? A、B兩公司當前權益資本預期收益率（即市場的資本化率，也就是其股票的預期收益率）分別是rA和rB（固定數值，因為僅指當前的預期收益率）；

? A、B兩公司任何年份的息稅前利潤（EBIT）相同，數額都為EBIT（隨機變量，每年的數值都是它的一個數據點）； ? A、B兩公司當前的市場價值分別記為PVA和PVB（固定值）；

? A、B兩公司當前股票的市場價格與其真實價值完全一致，分別為MPA和MPB（固定值）；

? A、B兩公司當前的股東權益分別記作SEA和SEB（固定值）。

注：假定中固定值較多是因為靜態考察公司當前價值。

考慮一個套利策略：賣出A公司1%的股票；同時買入B公司1%的股票和1%的債券（上述比例可任意假定，但必須均為同一值）。這種套利策略產生的即時現金流和未來每年的現金流見表1。

表1 上述套利策略的現金流

頭寸

即時現金流

未來每年現金流

賣出1%A股票

0.01* PVA

-0.01*EBIT

買入1%B股票

-0.01*SB*MPB

0.01*（EBIT-D*r）買入1%B債券

-0.01*D

-0.01* D*r 凈現金流

NC

0

首先，任何公司的資產都等于賬面的負債加權益，A公司無負債，因此有

PVA?SEA;PVB?D?SEB

其次，任何公司的股票價格都等于其股東權益與股本的比值：

MPA?PVA/SA;MPB?(PVB?D)/SB①

再次，市場不應該存在無風險套利機會，故NC=0，也就是

0.01*PVA?0.01*SB*MPB?0.01*D?0 ?MPB?(PVA?D)/SB②

由①②推得：PVA?PVB③，命題證畢。

MM定理第一命題推論一：

債轉股后如果盈利未變，那么企業的股票價格也不變。

證明：假設B公司的債務權益比為k，則：

k?D/SEB

1?k?(SEB?D)/SEB?PVB/SEB?PVA/SEB?SA/SB④

將③④代入①得：

MPA?PVA/SA?PVB/(SB(1?k))?(D?SEB)/(SB(1?k))?SEB(1?k)/(SB(1?k))?MPB

證畢。

MM定理第一命題推論二：

股東期望收益率會隨財務杠桿的上升而上升。

含義：正常情況下B公司在債轉股之后會降低其股票的預期收益率，或者說A公司的股票預期收益率小于B公司的股票的預期收益率。

證明：B公司的資產負債率（RDA）和股東權益比率（REA）分別為：

RDAB?D/PVB?D/(D?SEB)?k/(1?k)REAB?SEB/PVB?SEB/(D?SE)?1/(1?k)

由于公司所有稅前收益均優先用于分派股息，而且市場有效性保證了股票的價格反映股票價值。則由股票收益現值模型可得A、B兩公司的股票預期收益率rA和rB分別滿足：

?MPA??j?1?EBIT/SA(1?rA)j?EBITSA*rA

MPB??j?1(EBIT?R*D)/SB(1?rB)j?EBIT?R*DSB*rB

同時EBIT>r*PVB，因為這表示即使公司全部舉債經營，公司產生的稅息前收益也足夠支付利息，也就是說股票的收益率大于債券的收益率，由于系統風險和預期收益相匹配的結果導致這個不等式必然成立。故可推導出：

rB?EBIT?r*DSEB?EBIT?r*DPVB?D?EBITPVB?EBITPVA?EBITSA*MPA?rA，證畢。

MM定理第一命題推論三：

股東每股盈利也會隨著財務杠桿的上升而上升。

含義：正常情況下，債券轉為股票之后，公司股東的每股盈利也會下降。證明：A、B兩公司每股盈利分別為：

EA?EBITSA;EB?(EBIT?R*D)SB⑤

將④代入⑤的第二式得： EB?(EBIT?R*D)SB?(1?k)(EBIT?R*D)SA?EA?k*EBIT?(1?k)*R*DSA⑥

由于EBIT>r*PVB，再將前面RDAB定義式代入，可以推得：

k*EBIT?(1?k)*R*D?(1?k)(k1?kEBIT?R*D)?(1?k)*D(EBITPVB?r)?0⑦

由⑥⑦得：EB?EA，證畢。

注：數學基礎非常少的人有可能會覺得上述三個推論感性理解上有相互矛盾的地方，故須深入思考現實過程。

1.3

MM定理第二命題：

公司加權平均資本成本（WACC）與公司的資本結構無關。

證明：由于公司A僅有股權融資，故WACCA?rA

WACCB?rBSEBPVB?rDPVB?EBITPVB?EBITPVA?rA①，證畢。MM定理第二命題及其推論

MM定理第二命題推論：

有負債的公司的權益資本成本等于同一風險等級的無負債公司的權益資本成本加上風險補償，風險補償的比例因子是負債權益比k。

（是不是和CAPM、多因子模型、套利定價和單證券定價模型有點像啊，呵呵）

證明：由①（重新編號）得：

rB?PVBSEBrA?r*DSEB?rA?DSEB(rA?r)?rA?k(rA?r)，證畢。有稅收條件下的MM定理 2.1 假設條件

考慮稅收，其他假設與前面相同。有稅收條件下的MM定理僅一個定理，有四個推論。

2.2

MM定理第一命題：

在考慮稅收的情況下，有財務杠桿的企業的市場價值等于無財務杠桿的企業的市場價值加上“稅盾”的市場價值。MM定理第一命題及其推論

證明：假定A、B兩公司的所得稅稅率都是T（固定稅率制，累進稅率制等也一樣的），那么兩公司的稅后收益（EAT）分別為：

EATA?(1?T)*EBIT

EATB?(1?T)*(EBIT?r*D)?r*D?(1?T)*EBIT?T*r*D?EATA，證畢。

其中T*r*D即稅盾效應，與A公司稅后盈利相比，這是B公司多出來的部分，這是由于B公司的財務杠桿起作用了：公司價值是股權市價加債權市價，A公司每年產生的現金流EBIT都要交所得稅，而B公司中EBIT僅有一部分交所得稅，故省出一部分價值計入到公司的債權價值中。或者也可以理解為沒有負債的公司舉債時，政府需要把原來征的稅的一部分退給公司的債主，或者說舉債成本里T*r是政府買單的（機會成本的角度講），而公司舉債的成本僅是(1?T)*r，這是從金融的角度或者說機會成本的角度講的，就如經濟利潤和會計利潤的差別一樣，而證券定價的基準正是從金融的角度給出才能準確。

顯然A、B兩公司的稅前價值仍然一樣，相當于不考慮稅收。我們用帶撇號的字母表示考慮稅收的變量，則有稅收情況下A、B兩公司的市場價值分別為：

PVA?PVA(1?T)

/EBIT(1?T)r*PVB)叫做稅盾的市場價值。其中D(1?EBITPVB?PVB(1?T)(1?/r*D)?D?PVA?D(1?/(1?T)r*PVBEBIT)?PVA①

/

MM定理第一命題推論一：

在考慮稅收情況下，股東的期望收益率仍然會隨著財務杠桿的上升而上升。即在考慮稅收的情況下，不考慮稅收時MM定理的命題一的推論二仍然成立。

證明：考慮稅收，A公司股票預期收益率為：

rA?/EBIT(1?T)SA*MPA/?EBIT(1?T)PVA/?EBIT(1?T)(1?T)PVA?rA②

由不考慮稅收推論二證明的最后一個公式和①（重新編號）得B公司股票的預期收益率為：

(EBIT?rD)(1?T)?rDSB*MP/BrB?/?(EBIT?rD)(1?T)?rDPV?D/B?(EBIT?rD)(1?T)?rDPVA?/EBIT?rD??rD(1?T)*rD*PVBEBIT1?TrDPVA(1?)EBIT再由②得：rB?rA?//rDPVA(1?T)(1?rDEBIT)③，由于EBIT>rD（盈利足夠付利息，保//證不破產），故rB?rA，證畢。

MM定理第一命題推論二：

考慮稅收情況下，股東的每股收益也仍然會隨著財務杠桿的上升而上升，即在考慮稅收情況下，不考慮稅收MM定理命題一推論三仍然成立。

證明：A、B兩公司每股盈利分別為：

EA?/(1?T)EBITSA;EB?/(1?T)(EBIT?rD)?rDSB④

將第一部分第一命題推論一下面的④代入④得：

EB?/(1?k)?(1?T)(EBIT?rD)?rD?SA?EA?/TrD?k?(1?T)(EBIT?rD)?rD?SA?EA/

因EBIT>rD，故上不等式成立，證畢。

MM定理第一命題推論三：

在考慮稅收情況下，WACC與公司資本結構有關。（證略）

根據CAPM模型，有稅收后的貝塔系數?/和無稅收情況下的貝塔系數?的關系為???(1?(1?T)/DSE)（證明從略），由此得出股權預期收益，然后再根據公司計算出WACC，顯然WACC是受資本結構影響的。

MM定理第一命題推論四：

在考慮稅收情況下，有負債的公司的權益資本成本仍然大于同一風險等級的無負債公司的權益資本成本，風險補償的形式也更復雜（證明如③）。

注：一個延伸，PV/?PV?(1?(1?Tc)(1?Ts)1?Td)D，Tc表示企業所得稅率，Ts表示股票收入的稅率，Td表示利息收入的稅率，個人可試著證明一下子。MM定理的缺陷

主要是假設不合理導致的缺陷

? 假設沒有破產風險不符合實際。考慮稅收的話，按照MM定理所有都是債權融資則公司價值最大化，但考慮到實際的破產風險，杠桿增加降低了融資成本WACC，但增加了公司的破產風險，故存在最優的資本結構使得公司達到價值最大化。? MM定理忽略了交易成本和信息不對稱性等，顯然不符合事實。? 以上僅是兩個例子，其他的大家可以想想。

撰寫人：小秋

第二篇：MM定理證明過程-MM定理證明過程

無稅收條件下的MM定理

1.1 假設條件

假設1：無摩擦市場假設

? 不考慮稅收；

? 公司發行證券無交易成本和交易費用，投資者不必為買賣證券支付任何費用； ? 無關聯交易存在；

? 不管舉債多少，公司和個人均無破產風險；

? 產品市場是有效的：市場參與者是絕對理性和自私的；市場機制是完全且完備的；不存在自然壟斷、外部性、信息不對稱、公共物品等市場失靈狀況；不存在帕累托改善；等等；

? 資本市場強有效：即任何人利用企業內部信息都無法套利，沒有無風險套利機會； ? 投資者可以以企業借貸資金利率相同的利率借入或貸出任意數量的資金。

假設2：一致預期假設

? 所有的投資者都是絕對理性的，均能得到有關宏觀、行業、企業的所有信息，并且對其進行完全理性的前瞻性分析，因此大家對證券價格預期都是相同的，且投資者對組合的預期收益率和風險都按照馬克維茲的投資組合理論衡量。

1.2 MM定理第一命題及其推論

MM定理第一命題：

有財務杠桿企業的市場價值和無財務杠桿企業的市場價值相等。

第一命題的含義：

即公司的市場價值（即債權的市場價值+股權的市場價值，不含政府的稅收價值）與公司的資本結構無關，而只與其盈利水平有關。這說明未來具有完全相同的盈利能力的公司市場價值相同，但由于其負債程度不同等因素，故它們的凈資產可能有很大差異。

MM定理第一命題證明過程：證明方法是無套利均衡分析法。

基礎假定：我們假定有兩家公司—公司A和公司B，它們的資產性質完全相同但資本結構完全不同。A公司沒有負債（這是一種極端假設，但作為比較基準更能說明問題）；B公司的負債額度是D，假設該負債具有永久性質，因為可持續盈利的公司總可以用新發行的債券來償還老債券（這與宏觀經濟學中的龐茲計劃完全不同，那是沒有收入來源且信息不對稱下導致的終生借債消費計劃無效）。

細節假設：

? B公司當前債務利率為r（固定值）； ? A、B兩公司當前的股本分別是SA和SB（固定值）；

? A、B兩公司當前權益資本預期收益率（即市場的資本化率，也就是其股票的預期收益率）分別是rA和rB（固定數值，因為僅指當前的預期收益率）；

? A、B兩公司任何年份的息稅前利潤（EBIT）相同，數額都為EBIT（隨機變量，每年的數值都是它的一個數據點）； ? A、B兩公司當前的市場價值分別記為PVA和PVB（固定值）；

? A、B兩公司當前股票的市場價格與其真實價值完全一致，分別為MPA和MPB（固定值）；

? A、B兩公司當前的股東權益分別記作SEA和SEB（固定值）。

注：假定中固定值較多是因為靜態考察公司當前價值。

考慮一個套利策略：賣出A公司1%的股票；同時買入B公司1%的股票和1%的債券（上述比例可任意假定，但必須均為同一值）。這種套利策略產生的即時現金流和未來每年的現金流見表1。

表1 上述套利策略的現金流

頭寸

即時現金流

未來每年現金流

賣出1%A股票

0.01* PVA

-0.01*EBIT

買入1%B股票

-0.01*SB*MPB

0.01*（EBIT-D*r）買入1%B債券

-0.01*D

-0.01* D*r 凈現金流

NC

0

首先，任何公司的資產都等于賬面的負債加權益，A公司無負債，因此有

PVA?SEA;PVB?D?SEB

其次，任何公司的股票價格都等于其股東權益與股本的比值：

MPA?PVA/SA;MPB?(PVB?D)/SB①

再次，市場不應該存在無風險套利機會，故NC=0，也就是

0.01*PVA?0.01*SB*MPB?0.01*D?0 ?MPB?(PVA?D)/SB②

由①②推得：PVA?PVB③，命題證畢。

MM定理第一命題推論一：

債轉股后如果盈利未變，那么企業的股票價格也不變。

證明：假設B公司的債務權益比為k，則：

k?D/SEB

1?k?(SEB?D)/SEB?PVB/SEB?PVA/SEB?SA/SB④

將③④代入①得：

MPA?PVA/SA?PVB/(SB(1?k))?(D?SEB)/(SB(1?k))?SEB(1?k)/(SB(1?k))?MPB

證畢。

MM定理第一命題推論二：

股東期望收益率會隨財務杠桿的上升而上升。

含義：正常情況下B公司在債轉股之后會降低其股票的預期收益率，或者說A公司的股票預期收益率小于B公司的股票的預期收益率。

證明：B公司的資產負債率（RDA）和股東權益比率（REA）分別為：

RDAB?D/PVB?D/(D?SEB)?k/(1?k)REAB?SEB/PVB?SEB/(D?SE)?1/(1?k)

由于公司所有稅前收益均優先用于分派股息，而且市場有效性保證了股票的價格反映股票價值。則由股票收益現值模型可得A、B兩公司的股票預期收益率rA和rB分別滿足：

MPA???EBIT/SAEBIT ?jSA*rAj?1(1?rA)(EBIT?R*D)/SBEBIT?R*D ?j(1?rB)SB*rBj?1?MPB??同時EBIT>r*PVB，因為這表示即使公司全部舉債經營，公司產生的稅息前收益也足夠支付利息，也就是說股票的收益率大于債券的收益率，由于系統風險和預期收益相匹配的結果導致這個不等式必然成立。故可推導出：

rB?EBIT?r*DEBIT?r*DEBITEBITEBIT?????rA，證畢。

SEBPVB?DPVBPVASA*MPAMM定理第一命題推論三：

股東每股盈利也會隨著財務杠桿的上升而上升。

含義：正常情況下，債券轉為股票之后，公司股東的每股盈利也會下降。證明：A、B兩公司每股盈利分別為：

EA?EBIT(EBIT?R*D);EB?⑤ SASB將④代入⑤的第二式得： EB?(EBIT?R*D)(1?k)(EBIT?R*D)k*EBIT?(1?k)*R*D⑥ ??EA?SBSASA由于EBIT>r*PVB，再將前面RDAB定義式代入，可以推得：

kEBITk*EBIT?(1?k)*R*D?(1?k)(EBIT?R*D)?(1?k)*D(?r)?0⑦

1?kPVB由⑥⑦得：EB?EA，證畢。

注：數學基礎非常少的人有可能會覺得上述三個推論感性理解上有相互矛盾的地方，故須深入思考現實過程。

1.3

MM定理第二命題：

公司加權平均資本成本（WACC）與公司的資本結構無關。

證明：由于公司A僅有股權融資，故WACCA?rA MM定理第二命題及其推論

WACCB?rBSEBDEBITEBIT?r???rA①，證畢。PVBPVBPVBPVAMM定理第二命題推論：

有負債的公司的權益資本成本等于同一風險等級的無負債公司的權益資本成本加上風險補償，風險補償的比例因子是負債權益比k。

（是不是和CAPM、多因子模型、套利定價和單證券定價模型有點像啊，呵呵）

證明：由①（重新編號）得：

rB?2 PVBr*DDrA??rA?(rA?r)?rA?k(rA?r)，證畢。SEBSEBSEB有稅收條件下的MM定理 2.1

假設條件

考慮稅收，其他假設與前面相同。有稅收條件下的MM定理僅一個定理，有四個推論。

2.2 MM定理第一命題及其推論

MM定理第一命題：

在考慮稅收的情況下，有財務杠桿的企業的市場價值等于無財務杠桿的企業的市場價值加上“稅盾”的市場價值。

證明：假定A、B兩公司的所得稅稅率都是T（固定稅率制，累進稅率制等也一樣的），那么兩公司的稅后收益（EAT）分別為：

EATA?(1?T)*EBIT

EATB?(1?T)*(EBIT?r*D)?r*D?(1?T)*EBIT?T*r*D?EATA，證畢。

其中T*r*D即稅盾效應，與A公司稅后盈利相比，這是B公司多出來的部分，這是由于B公司的財務杠桿起作用了：公司價值是股權市價加債權市價，A公司每年產生的現金流EBIT都要交所得稅，而B公司中EBIT僅有一部分交所得稅，故省出一部分價值計入到公司的債權價值中。或者也可以理解為沒有負債的公司舉債時，政府需要把原來征的稅的一部分退給公司的債主，或者說舉債成本里T*r是政府買單的（機會成本的角度講），而公司舉債的成本僅是(1?T)*r，這是從金融的角度或者說機會成本的角度講的，就如經濟利潤和會計利潤的差別一樣，而證券定價的基準正是從金融的角度給出才能準確。

顯然A、B兩公司的稅前價值仍然一樣，相當于不考慮稅收。我們用帶撇號的字母表示考慮稅收的變量，則有稅收情況下A、B兩公司的市場價值分別為：

PVA/?PVA(1?T)

(1?T)r*PVBr*D)?D?PVA/?D(1?)?PVA/① EBITEBIT(1?T)r*PVB)叫做稅盾的市場價值。其中D(1?EBITPVB/?PVB(1?T)(1?

MM定理第一命題推論一：

在考慮稅收情況下，股東的期望收益率仍然會隨著財務杠桿的上升而上升。即在考慮稅收的情況下，不考慮稅收時MM定理的命題一的推論二仍然成立。

證明：考慮稅收，A公司股票預期收益率為：

/rA?EBIT(1?T)EBIT(1?T)EBIT(1?T)???rA② //SA*MPAPVA(1?T)PVA由不考慮稅收推論二證明的最后一個公式和①（重新編號）得B公司股票的預期收益率為：

rD(EBIT?rD)(1?T)?rD(EBIT?rD)(1?T)?rD(EBIT?rD)(1?T)?rD1?TrB/????//(1?T)*rD*PVBrDSB*MPBPVB?DPVA(1?)PVA/?EBITEBITEBIT?rD?//再由②得：rB?rA?rDrDPVA(1?T)(1?)EBIT③，由于EBIT>rD（盈利足夠付利息，保//證不破產），故rB，證畢。?rA

MM定理第一命題推論二：

考慮稅收情況下，股東的每股收益也仍然會隨著財務杠桿的上升而上升，即在考慮稅收情況下，不考慮稅收MM定理命題一推論三仍然成立。

證明：A、B兩公司每股盈利分別為：

/EA?(1?T)EBIT/(1?T)(EBIT?rD)?rD④;EB?SASB將第一部分第一命題推論一下面的④代入④得：

/EB?(1?k)?(1?T)(EBIT?rD)?rD?SA/?EA?TrD?k?(1?T)(EBIT?rD)?rD?SA/?EA

因EBIT>rD，故上不等式成立，證畢。

MM定理第一命題推論三：

在考慮稅收情況下，WACC與公司資本結構有關。（證略）

根據CAPM模型，有稅收后的貝塔系數?/和無稅收情況下的貝塔系數?的關系為?/??(1?(1?T)D)（證明從略），由此得出股權預期收益，然后再根據公司計算出SEWACC，顯然WACC是受資本結構影響的。MM定理第一命題推論四：

在考慮稅收情況下，有負債的公司的權益資本成本仍然大于同一風險等級的無負債公司的權益資本成本，風險補償的形式也更復雜（證明如③）。

注：一個延伸，PV/?PV?(1?(1?Tc)(1?Ts))D，Tc表示企業所得稅率，Ts表示股票收入的稅

1?Td率，Td表示利息收入的稅率，個人可試著證明一下子。

公司稅MM定理命題二

在考慮所得稅情況下，負債企業的權益資本成本率(KSL)等于同一風險等級中某一無負債企業的權益資本成本率(KSU)加上一定的風險報酬率。風險報酬率根據無負債企業的權益資本成本率和負債企業的債務資本成本率(KD)之差和債務權益比所確定。其公式為：

KSL=KSU*(1-T)+(KSU-KD)*(1-T)*D/SL 式中：D — 有負債企業的負債價值； SL —有負債企業的權益價值。T—公司稅率 在命題一的基礎上，風險報酬考慮了所得稅的影響。因為(1一T)總是小于l，在D/SL比例不變的情況下，這一風險報酬率總小于無稅條件下命題二中的風險報酬率。由于節稅利益，這時的股東權益資本成本率的上升幅度小，或者說，在賦稅條件下，當負債比率增加時，股東面臨財務風險所要求增加的風險報酬的程度小于無稅條件下風險報酬的增加程度，即在賦稅條件下公司允許更大的負債規模。

第三篇：線面垂直的判定定理的證明過程

線面垂直的判定定理的證明過程

證明：已知直線L1 L22相交于O點且都與直線L垂直，L3是L1 L2所在平面內任意1條不與L1 L2重合或平行的直線（重合或平行直接可得它與L1平行）

不妨假設L3過O點（可以通過平移得到），在L3上取E、F令OE=OF，分別過E、F作ED、FB交L2于D、B（令OD=OB）則⊿OED ≌⊿ OFB（SAS）

延長DE、BF分別交L1于A、C 則⊿OEA≌⊿OFC（ASA）（注意角AEO與角CFO的補角相等所以它們相等）。所以OA=OC，所以⊿OAD≌⊿OBC（SAS）所以AD=CB

因為L3垂直于L1 L2所以MA=MC，MD=MB（M為L 上的任意點）所以⊿MAD≌⊿MCD（SSS）所以 角MAE= 角MCF 所以⊿MAE≌⊿MCF（SAS）

所以ME=MF，所以⊿MOE≌⊿MOF（SSS），所以角MOE=角MOF又因為 角MOE與 角MOF互補，所以角MOE=角MOF=90度，即L⊥L3

第四篇：正弦定理證明

新課標必修數學5“解三角形”內容分析及教學建議

江蘇省錫山高級中學楊志文

新課程必修數學5的內容主要包括解三角形、數列、不等式。這些內容都是高中數學中的傳統內容。其中“解三角形”既是高中數學的基本內容，又有較強的應用性。在歷次教材改革中都作為中學數學中的重點內容，一直被保留下來。在這次新課程改革中，新普通高中《數學課程標準》（以下簡稱《標準》）與原全日制普通高級中學《數學教學大綱》（以下簡稱《大綱》）相比，“解三角形”這塊內容在安排順序上進行了新的整合。本文就《標準》必修模塊數學5第一部分“解三角形”的課程內容、教學目標要求、課程關注點、內容處理上等方面的變化進行簡要的分析，并對教學中應注意的幾個問題談談自己的一些設想和教學建議，供大家參考。

一、《標準》必修模塊數學5中“解三角形”與原課程中“解斜三角形”的比較

1．課程內容安排上的變化

“解三角形”在原課程中為“解斜三角形”，安排在“平面向量”一章中，作為平面向量的一個單元。而在新課程《標準》中重新進行了整合，將其安排在必修模塊數學5中，獨立成為一章，與必修模塊數學4中的“平面向量”分別安排在不同的模塊中。

2．教學要求的變化

原大綱對“解斜三角形”的教學要求是：

（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能運用它們解斜三角形，能利用計算器解決解斜三角形的計算問題。

（2）通過解三角形的應用的教學，提高運用所學知識解決實際問題的能力。

（3）實習作業以測量為內容，培養學生應用數學知識解決實際問題的能力和實際操作的能力。《標準》對“解三角形”的教學要求是：

（1）通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。

（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。由此可以看出，《標準》在計算方面降低了要求，取消了“利用計算器解決解斜三角形的計算問題”的要求，而在探索推理方面提高了要求，要求“通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。

3、課程關注點的變化

原《大綱》中，解斜三角形內容，比較關注三角形邊角關系的恒等變換，往往把側重點放在運算上。而《標準》則關注運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。側重點放在學生探究和推理能力的培養上。

4、內容處理上的變化

原《大綱》中，解斜三角形作為平面向量知識的應用，突出其工具性和應用性。而《標準》將解三角形作為幾何度量問題來處理，突出幾何的作用，為學生理解數學中的量化思想、進一步學習數學奠定基礎。解三角形處理的是三角形中長度、角度、面積的度量問題，長度、面積是理解積分的基礎，角度是刻畫方向的，長度、方向是向量的特征，有了長度、方向，向量的工具自然就有用武之地。

二、教學中應注意的幾個問題及教學建議

原《大綱》中解斜三角形的內容，比較關注三角形邊角關系的恒等變換，往往把側重點放在運算上。而《標準》將解三角形作為幾何度量問題來展開，強調學生在已有知識的基礎上，通過對任意三角形邊角關系的探究，發現并掌握三角形中的邊長與角度之間的數量關系，解決簡單的三角形度量問題。這就要求在教學過程中，突出幾何的作用和數學量化思想，發揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的探究過程、再創造過程。因此在教學中應注意以下幾個問題。

1．要重視探究和推理

《標準》要求“通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。因此建議在教學中，既要重視從特殊到一般的探索學習過程的教學，又要重視數學的理性思維的培養。教學中不要直接給出定理進行證明，可通過學生對三角形邊與角的正弦的測量與計算，研究邊與其對角的正弦之間的比，揭示它們在數量上的規律，發現正弦定理的結論，然后再從理論上進行論證，從而掌握正弦定理。從中體會發現和探索數學知識的思想方法。

參考案例：正弦定理的探索、發現與證明

教學建議：建議按如下步驟設計教學過程：

(1)從特殊三角形入手進行發現

讓學生觀察并測量一個三角板的邊長。

提出問題：你能發現三邊長與其對角的正弦值之比之間的關系嗎？

例如，量得三角板三內角300，600，900所對的三邊長分別約為5cm，8.6cm，10cm，58.610，?10?10?10 000

sin30sin60sin90

abc

對于特殊三角形，我們發現規律：。??

sinAsinBsinC

則有：

提出問題：上述規律，對任意三角形成立嗎？(2)實驗，探索規律

二人合作，先在紙上做一任意銳角（銳角或鈍角）三角形，測量三邊長及其三個對角，然后用計算器計算每一邊與其對角正弦值的比，填入下面表中，驗證前面得出的結論是否正確。（其中，角精確到分，忽略測量誤差，通過實驗，對任意三角形，有結論：

abc，即在一個三角形中，??

sinAsinBsinC

各邊和它所對的角的正弦的比相等。

提出問題：上述的探索過程所得出的結論，只是我們通過實驗(近似結果)發現的一個結果，如果我們能在理論上證明它是正確的，則把它叫做正弦定理。那么怎樣證明呢？

(4)研究定理證明的方法方法一：（向量法）①若△ABC為直角三角形，由銳角三角函數的定義知，定理顯然成立。②若△ABC為銳角三角形，過點A做單位向量j垂直于AC，則向量j與向量的夾角為900-A，向

量j

與向量CB的夾角為900-C，（如圖1），且有：AC?CB?AB，所以j·(+)= j·即j·+ j· = j·AB 展開|j||AC|cos900+ | j||CB|cos(900-C)=| j|||cos(900-A)

ac

。?

sinAsinC

cbabc

同理，過點C做單位向量j垂直于,可得：，故有。???

sinCsinBsinAsinBsinC

③若△ABC為鈍角三角形，不妨設角A>900（如圖2），過點A做單位向量j垂直于AC，則向量j與

則得 a sinC = c sinA，即

向量AB的夾角為A-900，向量j與向量的夾角為900-C，且有：??，同樣可證得：

abc

。??

sinAsinB

提出問題：你還能利用其他方法證明嗎？

方法二：請同學們課后自己利用平面幾何中圓內接三角形（銳角，鈍角和直角）及同弧所對的圓周角相等等知識，將△ABC中的邊角關系轉化為以直徑為斜邊的直角三角形中去探討證明方法。

2．要重視綜合應用

《標準》要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。建議在正弦定理、余弦定理的教學中，設計一些關于正弦定理、余弦定理的綜合性問題，提高學生綜合應用知識解決問題的能力。如可設計下面的問題進行教學：

參考案例：正弦定理、余弦定理的綜合應用 C 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD?CD，AD=10，AB=14，?BDA=60?，?BCD=135?.求BC的長.教學建議：

引導學生進行分析，欲求BC，需在△BCD中求解，∵?BCD=135?，?BDC=30?，∴需要求BD，而BD需在△ABD中求解.再引導學生將

A B

四邊形問題轉化為三角形問題，選擇余弦定理求BD，再由正弦定理

例2圖 求BC。

3．要重視實際應用

《標準》要求運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。因此建議在教學中，設計一些實際應用問題，為學生體驗數學在解決問題中的作用，感受數學與日常生活及與其他學科的聯系，培養學生的數學應用意識，提高學生解決實際問題的能力。在題目的設計中要注意對恒等變形降低要求，避免技巧性強的變形和繁瑣的運算。

參考案例：解三角形在實際中的應用

參考案例1．航海中甲船在A處發現乙船在北偏東45?，與A的距離為10海里的C處正以20海里/h的速度向南偏東75?的方向航行，已知甲船速度是203海里/h，問甲船沿什么方向，用多少時間才能與

乙船相遇？

教學建議：引導學生依據題意畫出示意圖，將實際問題轉化為解三角形問題。若設甲船與乙船經過t小時在B處相遇，構建?ACB，容易計算出AB?20海里,BC?20海里，根據余弦定理建立關于t的方程，求出t，問題就解決了。

答: 甲船沿北偏東75?的方向，經過0.5小時與乙船相遇.參考案例2．為了測量某城市電視塔的高度，在一條直道上選 擇了A，B，C三點，使AB?BC?60m，在A，B，C三點

?

?

?

例1圖 DA 觀察塔的最高點，測得仰角分別為45，54.2，60，若測量 E

者的身高為1.5m，試求電視塔的高度(結果保留1位小數).F 教學建議：引導學生依據題意畫出示意圖如圖，將實際問題轉化為

解三角形問題。要求電視塔的高度。只要求出DE的長。將問題中的已

知量、未知量集中到有關三角形中，構造出解三角形的數學模型。在例2圖 ?ACE中和?BCE中應用余弦定理，使問題獲得解決.答: 電視塔的高度約為158.3m.4．要重視研究性學習

解三角形的內容有較強的應用性和研究性，可為學生提供豐富的研究性素材。建議在教學內容的設計上探索開放，在教學形式上靈活多樣。可設計一些研究性、開放性的問題，讓學生自行探索解決。參考案例：研究性學習

課外研究題：將一塊圓心角為120?，半徑為20厘米的扇形鐵片裁成一塊矩形，請你設計裁法，使裁得矩形的面積最大?并說明理由．

教學建議：這是一個研究性學習內容，可讓學生在課外兩人一組合作完成，寫成研究報告，在習題課上讓學生交流研究結果，老師可適當進行點評。

參考答案：這是一個如何下料的問題，一般有如圖（1）、圖（2）的兩種裁法：即讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或讓矩形一邊與弦AB

平行。從圖形的特點來看，涉及到線段的長度和角度，將

這些量放置在三角形中，通過解三角形求出矩形的邊長，再計算出兩種方案所得矩形的最大面積，加以比較，就可以得出問題的結論．

NBB

PO圖（2）

QM

O圖（1）

按圖（1）的裁法:矩形的一邊OP在OA上，頂點M在圓弧上，設?MOA??，則：

時，Smax?200．

4按圖（2）的裁法: 矩形一邊PQ與弦AB平行，設?MOQ??，在?MOQ中，?OQM?90??30??120?，由正弦定理，得：

sin120?

又?MN?2OMsin(60???)?40sin(60???)，MQ?

20sin?

?

3sin?． 3

MP?20sin?,OP?20cos?，從而S?400sin?cos??200sin2?．即當??

?

∴S?MQ?MN?

sin?sin(60???)?cos(2??60?)?cos60?． 33

??

∴當??30?時，Smax?由于

400． 3

400平方厘米． ?200，所以用第二中裁法可裁得面積最大的矩形，最大面積為33

也可以建議學生在課外自行尋找研究性、應用性的題目去做，寫出研究或實驗報告，在學校開設的研究性學習課上進行交流，評價。

參考文獻：

①全日制普通高中級學《數學教學大綱》。人民教育出版社。2002年4 月。

②《普通高中數學課程標準（實驗））》。人民教育出版社。2003年4月第一次印刷。③《普通高中數學課程標準（實驗）解讀》。嚴士健 張奠宙王尚志等主編。江蘇教育出版社。2004年4月。

第五篇：原創正弦定理證明

1．直角三角形中：sinA=，sinB=，sinC=1

即c=

∴abc，c=，c=．sinAsinBsinCacbcabc== sinAsinBsinC

2．斜三角形中

證明一：（等積法）在任意斜△ABC當中

S△ABC=absinC?acsinB?bcsinA

兩邊同除以abc即得：

證明二：（外接圓法）

如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴aa??CD?2R sinAsinD

bc=2R，＝2R sinBsinC12121212abc== sinAsinBsinC

同理

證明三：（向量法）

?????過A作單位向量j垂直于AC

????????????由 AC+CB=AB

???????????????兩邊同乘以單位向量j 得 j?(AC+CB)=j?AB 則?+?=?

???????????????∴|j|?|AC|cos90?+|j|?|CB|cos(90??C)=| j|?|AB|cos(90??A)

∴asinC?csinA∴ac= sinAsinC

?????cbabc同理，若過C作j垂直于CB得： =∴== sinCsinBsinAsinBsinC

正弦定理的應用 從理論上正弦定理可解決兩類問題：

1．兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

2已知a, b和A, 用正弦定理求B時的各種情況

:

⑴若A為銳角時: ?a?bsinA無解??a?bsinA一解(直角)

??bsinA?a?b二解(一銳, 一鈍)?a?b一解(銳角)?

已知邊a,b和?A

a

無解a=CH=bsinA僅有一個解

CH=bsinA

?a?b無解⑵若A為直角或鈍角時:? ?a?b一解(銳角)