第一篇：定理與證明

《定理與證明》學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標】

1．了解定理，證明的定義。

2．知定理必須證明是正確的命題后才可運用。(重點)

3．會用幾何語言證明一個命題。(難點)

【問題導(dǎo)學(xué)】

1．閱讀課本55頁，寫下并記憶五個基本事實。

1）兩點確定一條直線；2）兩點之間，線段最短；3）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；4）過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；

5）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩直線平行。

2．認真閱讀課本56頁后回答：

① 什么是定理？定理的作用是什么？

數(shù)學(xué)中，有些命題可以從基本事實或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判斷他們是正確的，并且可以作為進一步判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理。

作用：揭示客觀事實的本質(zhì)屬性，作為進一步確認其他命題真假的依據(jù)。

② 認真完成“思考”的問題，參照云圖中的提示，判斷結(jié)論的正確與否：可知第一個結(jié)論不正確.2?3?5?7?11?13?1?59?509 第二個結(jié)論不正確.鈍角三角形 第三個結(jié)論正確.對上面不正確的結(jié)論舉反例說明。

③什么是證明？哪些可以作為證明的依據(jù)呢？

根據(jù)條件、定義以及基本事實、定理等，經(jīng)過演繹推理，來判斷一個命題是否正確，這樣的推理過程叫做證明。

3．閱讀“直角三角形的兩銳角互余”的證明后回答：

③ 寫出這個命題的條件和結(jié)論，總結(jié)證明命題的步驟。

④ 仿照例題步驟證明定理“有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形”

4.閱讀課本57頁讀一讀，寫出證明的依據(jù)有哪些？

定義、基本事實、已經(jīng)學(xué)過的定理，等式的性質(zhì)、等量代換

【課堂檢測】

課本練習(xí)的第一題和第二題【學(xué)習(xí)小結(jié)】

第二篇：定理與證明

定理與證明(一)

教學(xué)建議

（一）教材分析

1、知識結(jié)構(gòu)

2、重點、難點分析

重點：真命題的證明步驟與格式．命題的證明步驟與格式是本節(jié)的主要內(nèi)容，是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必具備的能力，在今后的學(xué)習(xí)中將會有大量的證明問題；另一方面它還體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴謹性．

難點：推論證明的思路和方法．因為它體現(xiàn)了學(xué)生的抽象思維能力，由于學(xué)生對邏輯的理解不深刻，往往找不出最優(yōu)的思維切入點，證明的盲目性很大，因此對學(xué)生證明的思路和方法的訓(xùn)練是教學(xué)的難點．

（二）教學(xué)建議

1、四個注意

（1）注意：①公理是通過長期實踐反復(fù)驗證過的，不需要再進行推理論證而都承認的真命題；②公理可以作為判定其他命題真假的根據(jù)．

（2）注意：定理都是真命題，但真命題不一定都是定理．一般選擇一些最基本最常用的真命題作為定理，可以以它們?yōu)楦鶕?jù)推證其他命題．這些被選作定理的真命題，在教科書中是用黑體字排印的．

（3）注意：在幾何問題的研究上，必須經(jīng)過證明，才能作出真實可靠的判斷．如“兩直線平行，同位角相等”這個命題，如果只采用測量的方法．只能測量有限個兩平行直線的同位角是相等的．但采用推理方法證明兩平行直線的同位角相等，那么就可以確信任意兩平行直線的同位角相等．

（4）注意：證明中的每一步推理都要有根據(jù)，不能“想當然”．①論據(jù)必須是真命題，如：定義、公理、已經(jīng)學(xué)過的定理和巳知條件；②論據(jù)的真實性不能依賴于論證的真實性；③論據(jù)應(yīng)是論題的充足理由．

2、逐步滲透數(shù)學(xué)證明的思想：

（1）加強數(shù)學(xué)推理(證明)的語言訓(xùn)練使學(xué)生做到，能用準確的語言表述學(xué)過的概念和命題，即進行語言準確性訓(xùn)練；能學(xué)會一些基本的推理論證語言，如“因為??，所以??”句式，“如果??，那么??”句式等等；提高符號語言的識別和表達能力，例如，把要證明的命題結(jié)合圖形，用已知，求證的形式寫出來．

（2）提高學(xué)生的“圖形”能力，包括利用大綱允許的工具畫圖(垂線、平行線)的能力和在對要證命題的理解(如分清題設(shè)、結(jié)論)的基礎(chǔ)上，畫出要證明的命題的圖形的能力，后一點尤其重要，一般通過圖形易于弄清命題并找出證明的方法．

（3）加強各種推理訓(xùn)練，一般應(yīng)先使學(xué)生從“模仿”教科書的形式開始訓(xùn)練．首先是用自然語言敘述只有一步推理的過程，然后用簡化的“三段論”方法表述出這一過程，再進行有兩步推理的過程的模仿；最后，在學(xué)完“命題、定理、證明”一單元后，總結(jié)證明的一般步驟，并進行多至三、四步的推理．在以上訓(xùn)練中，每一步推理的后面都應(yīng)要求填注推理根據(jù)，這既可訓(xùn)練良好的推理習(xí)慣，又有助于掌握學(xué)過的命題．

教學(xué)目標：

1、了解證明的必要性，知道推理要有依據(jù)；熟悉綜合法證明的格式，能說出證明的步驟．

2、能用符號語言寫出一個命題的題設(shè)和結(jié)論．

3、通過對真命題的分析，加強推理能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力．教學(xué)重點：證明的步驟與格式．

教學(xué)難點：將文字語言轉(zhuǎn)化為幾何符號語言．

教學(xué)過程：

一、復(fù)習(xí)提問

1、命題“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”的題設(shè)和結(jié)論各是什么？

2、根據(jù)題設(shè)，應(yīng)畫出什么樣的圖形？（答：兩條平行線a、b被第三條直線c所截）

3、結(jié)論的內(nèi)容在圖中如何表示？（答：在圖中標出一對內(nèi)錯角，并用符號表示）

二、例題分析

例

1、證明：兩直線平行，內(nèi)錯角相等．

已知：a∥b，c是截線．

求證：∠1＝∠2．

分析：要證∠1＝∠2，只要證∠3＝∠2即可，因為

∠3與∠1是對頂角，根據(jù)平行線的性質(zhì)，易得出∠3＝∠2．

證明：∵a∥b（已知），∴∠3＝∠2（兩直線平行，同位角相等）．

∵∠1＝∠3（對頂角相等），∴∠1＝∠2（等量代換）．

例

2、證明：鄰補角的平分線互相垂直．

已知：如圖，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．

求證：OE⊥OF．

分析：要證明OE⊥OF，只要證明∠EOF＝90°，即∠1＋∠2＝90°即可．

證明：∵OE平分∠AOB，∴∠1＝ ∠AOB，同理 ∠2＝ ∠BOC，∴∠1＋∠2＝（∠AOB＋∠BOC）＝ ∠AOC＝90°，∴OE⊥OF（垂直定義）．

三、課堂練習(xí)：

1、平行于同一條直線的兩條直線平行．

2、兩條平行線被第三條直線所截，同位角的平分線互相平行．

四、歸納小結(jié)

主要通過學(xué)生回憶本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，從知識、技能、數(shù)學(xué)思想方法等方面加以歸納，有利于學(xué)生掌握、運用知識．然后見投影儀．

五、布置作業(yè)

課本P143

5、（2）,7.六、課后思考：

1、垂直于同一條直線的兩條直線的位置關(guān)系怎樣？

2、兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯角的平分線位置關(guān)系怎樣？

3、兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角的平分線位置關(guān)系怎樣？

第三篇：定理與證明

定理與證明(二)

一、教學(xué)目標

1．了解“證明”的必要性和推理過程中要步步有據(jù)．

2．了解綜合法證明的格式和步驟．

3．通過一些簡單命題的證明，初步訓(xùn)練學(xué)生的邏輯推理能力．

4．通過證明步驟中由命題畫出圖形，寫出已知、求證的過程，繼續(xù)訓(xùn)練學(xué)生由幾何語句正確畫出幾何圖形的能力．

5．通過舉例判定一個命題是假命題，使學(xué)生學(xué)會反面思考問題的方法．

二、學(xué)法引導(dǎo)

1．教師教法：嘗試指導(dǎo)，引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)與討論相結(jié)合．

2．學(xué)生學(xué)法：在教師的指導(dǎo)下，積極思維，主動發(fā)現(xiàn)．

三、重點·難點及解決辦法

（－）重點

證明的步驟和格式是本節(jié)重點．

（二）難點

理解命題，分清其題設(shè)和結(jié)論，正確對照命題畫出圖形，寫出已知、求證．

（三）解決辦法

通過學(xué)生分組討論，教師歸納得出證明的步驟和格式，再以練習(xí)加以鞏固，解決重點、難點及疑點．

四、課時安排

l課時

五、教具學(xué)具準備

投影儀、三角板、自制膠片．

六、師生互動活動設(shè)計

1．通過引例創(chuàng)設(shè)情境，點題，引入新課．

2．通過情境教學(xué)，學(xué)生分組討論，歸納總結(jié)及練習(xí)鞏固等手段完成新授．

3．通過提問的形式完成小結(jié)．

七、教學(xué)步驟

（－）明確目標

使學(xué)生嚴密推理過程，掌握推理格式，提高推理能力。

（二）整體感知

以情境設(shè)計，引出課題，引導(dǎo)討論，例題示范講解新知，以練習(xí)鞏固新知．

（三）教學(xué)過程

創(chuàng)設(shè)情境，引出課題

師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了定理與證明，了解了這兩個概念．并以證明“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”來說明什么是證明．我們再看這一命題的證明（投影出示）．

例1已知：如圖1，是截線，求證： ．

證明：∵（已知），∴（兩直線平行，同位角相等）．

∵（對項角相等），∴（等量代換）．

這節(jié)課我們分析這一命題的證明過程，學(xué)習(xí)命題證明的步驟和格式．

［板書］2.9定理與證明

探究新知

1．命題證明步驟

學(xué)生活動：由學(xué)生分組討論以上命題的證明過程，按自己的理解說出證明一個命題都需要哪幾步．

【教法說明】根據(jù)上一節(jié)“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”這一命題的證明過程讓學(xué)生討論、分析、歸納命題證明的一般步驟，一是可以加深對命題證明的理解，二是培養(yǎng)學(xué)生歸納總結(jié)能力。在總結(jié)步驟時，學(xué)生所說的層次不一定有邏輯性，或不太嚴密，教師要注意引導(dǎo)，使學(xué)生分清命題證明幾個步驟的先后層次．

根據(jù)學(xué)生討論，回答結(jié)果．教師歸納小結(jié)，師生共同得出證明命題的步驟（出示投影）：第一步，畫出命題的圖形．

先根據(jù)命題的題設(shè)即已知條件，畫出圖形，再把命題的結(jié)論即求證的內(nèi)容在圖上標出．還要根據(jù)證明的需要，在圖上標出必要的字母或符號，以便于敘述或推理過程的表達．第二步，結(jié)合圖形寫出已知、求證．

把命題的題設(shè)化為幾何符號的語言寫在已知中，命題的結(jié)論轉(zhuǎn)化為幾何符號的語言寫在求證中．

第三步，經(jīng)過分析，找出由已知推得求證的途徑，寫出推理的過程．

學(xué)生活動：結(jié)合“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”這一命題的證明，理解以上命題證明的一般步驟（給學(xué)生一定時間理解記憶）．

【教法說明】在以上第二個步驟中，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言是教學(xué)中的難點，要注意在練習(xí)中加強輔導(dǎo)，第三步由學(xué)生獨立完成有困難，要逐步培養(yǎng)訓(xùn)練，現(xiàn)階段暫不要求學(xué)生獨立完成．

反饋練習(xí)：（1）畫出證明命題“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補”時的圖形，寫出已知、求證．

（2）課本第112頁A組第5題．

【教法說明】由學(xué)生依照例1“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”這一命題的證明畫出圖形，寫出已知、求證，鞏固命題證明的第一、二步．

2．命題的證明

例2證明：鄰補角的平分線互相垂直．

【教法說明】此例題完全放手讓學(xué)生獨立完成有一定困難，但教師也不能包辦代替，最好通過讓學(xué)生分步討論，同桌互相磋商，分步完成的方法，使學(xué)生對命題證明的每一步都進一步理解，教師可以給學(xué)生指明思考步驟．

（1）分析命題的題設(shè)與結(jié)論，畫出命題證明所需要的圖形．

鄰補角用圖2表示：

圖2

添畫鄰補角的平分線，見圖3：

圖3

（2）根據(jù)命題的題設(shè)與結(jié)論寫出已知、求證．鄰補角用幾何符號語言提示：，角平分線用幾何符號語言表示：，求證鄰補角平分錢互相垂直，用符號語言表示： ．

（3）分析由已知誰出求證途徑，寫出證明過程．

有什么結(jié)論后可得（），由已知可以推導(dǎo) 嗎？學(xué)生討論思考．

【教法說明】以上步驟的完成教師只提供思路，具體結(jié)論的得出與操作要由學(xué)生獨立完成．找一個學(xué)生到黑板上板演，其他同學(xué)在練習(xí)本上寫出完成整過程．

已知：如圖，，．

求證：

證明：∵（已知），又∵，（已知），∴ ．

∴（垂直定義）．

證明完成后提醒學(xué)生注意以下幾點：

①要證明的是一個簡單敘述的命題，題設(shè)和結(jié)論不明顯，可以先根據(jù)題意畫出圖形．如例2，結(jié)合圖形分析命題的題設(shè)和結(jié)論．

②在寫已知、求證的內(nèi)容時，要將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言來表示，轉(zhuǎn)化時的寫法也不是惟一的，要根據(jù)使用的方便來寫，如： 與 互為鄰補角，在已知中寫為，角平分線有幾種表示方法，如 是 的平分線，，根據(jù)此題寫成 較好，方便于下面的推理計算．

③對命題的分析、畫圖，如何推理的思考過程，證明時不必寫出來，不屬于證明內(nèi)容．

反饋練習(xí)：按證明命題的步驟證明：“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么內(nèi)錯角相等．”

【教法說明】由學(xué)生獨立完成，找學(xué)生板演，發(fā)現(xiàn)問題教師及時糾正．

3．判定一個命題是假命題的方法

師：以上我們的推理是說明一個命題是真命題的判定方法．那么如何判定一個命題是假命題呢？如“相等的角是對項角”，同學(xué)們都知道這是一個假命題，如何說明它是一個假命題呢？誰能試著說明一下？

【教法說明】教師先不告訴學(xué)生判定一個命題是假命題的方法，而是由很明顯的“相等角是對頂角”這一假命題，讓學(xué)生自己嘗試著去說明，體驗從反面去說明一個問題的方法，然后教師歸納小結(jié)．

根據(jù)學(xué)生說明，教師小結(jié)：

判定一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可，也就是說你所舉命題符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論．如“同位角相等”可如圖，與 是同位角但不相等就說明“同位角相等是假命題”．

反饋練習(xí)：課本第111頁習(xí)題2.3A組第4題．

【教法說明】在做以上練習(xí)時一定讓學(xué)生學(xué)會從反面思考問題的方法，再就是要澄清一些錯誤的概念．

反饋練習(xí)

投影出示以下練習(xí)：

1．指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論

（1）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補．

（2）兩個角的和等于直角，這兩個角互為余角．

（3）對項角相等．

（4）同角或等角的余角相等．

2．畫圖，寫出已知，求證（不證明）

（1）同垂直于一條直線的兩條直線平行．

（2）兩條平行直線被第三條直線所截，同位角的平分線互相平行．

3．抄寫下題并填空

已知：如圖，．

求證： ．

證明：∵（），∴（）．

∴（）．

【教法說明】以上練習(xí)讓學(xué)生獨立完成，第1題主要是訓(xùn)練學(xué)生分清命題的題設(shè)和結(jié)論；第2題是訓(xùn)練學(xué)生把命題轉(zhuǎn)化為幾何語言、幾何圖形的能力；第3題是讓學(xué)生進一步體會命題證明的三個步驟．

總結(jié)、擴展

以提問的形式歸納出本節(jié)課的知識結(jié)構(gòu)：

八、布置作業(yè)

（－）必做題

課本第110頁習(xí)題2.3A組第3（2）、（3）、（4）題．

（二）思考題

課本第112頁B組第l、2題．

作業(yè)答案

A組（略）

B組1．已知兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。

（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補）（同角的補角相等）．

2．已知：如圖，、分別平分 與 ．求證： ．

第四篇：老教材定理與證明

----------[初中數(shù)學(xué)]---------

初中數(shù)學(xué) 經(jīng)典教材系列 老人教版

定理與證明

教學(xué)目標

1使學(xué)生理解公理和定理的意義，并能對公理與定理加以區(qū)別

2使學(xué)生理解證明命題的思路、書寫的格式，使學(xué)生對幾何的重要內(nèi)容之一——推理論證，有初步的認識，從而初步培養(yǎng)學(xué)生思維的條理性和邏輯性

教學(xué)重點和難點

重點是命題證明的一般步驟，難點是探索命題證明的思路以及思維方向

教學(xué)過程設(shè)計

一、復(fù)習(xí)命題，引入公理和定理

教師提問：學(xué)生思考后回答

1什么叫命題?請你說出一個數(shù)學(xué)命題

2什么叫真命題?什么叫假命題?請你分別舉出兩個實例

3在前面學(xué)過的真命題中，還有什么名稱?

當學(xué)生回答完第三個問題后，教師再問

4公理和定理有什么區(qū)別?

先由學(xué)生隨意回答，互相補充，然后教師與學(xué)生一起歸納總結(jié)

公理：它的正確性是人們長期實踐中總結(jié)出來并作為判定其它命題真假的根據(jù) 定理：它是正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理

用幻燈投影命題與公理等關(guān)系

命題

真命題假命題(只需舉一個反例)

公理(正確性由實踐總結(jié))

定理(正確性由推理證實)

二、證明的意義、過程和步驟

1證明的意義

請證明以下命題：三個連續(xù)奇數(shù)的和是3的整數(shù)倍

問：請學(xué)生們思考，怎樣證明?

當三個連續(xù)奇數(shù)為3，5，7時，它們的和為3+5+7=15是3的整數(shù)倍，當三個數(shù)為7，8，9時，7+8+9=24，也對那么，我們能否這樣試下去，能不能通過試具體數(shù)的方法，證明這個命題是真命題不能，如何證明呢?

設(shè)n為整數(shù),三個連續(xù)奇數(shù)為2n+1,2n+3,2n+5,它們的積為(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)=6n+9=3,因為n是整數(shù),所以2n+3為整數(shù),3(2 n+3)是3的整數(shù)倍。

這就是推理的過程

要判斷一個命題的真假，必須要有推理論證的過程，也叫證明只有證明，才能區(qū)分命題的真假，否則就會得出錯誤的結(jié)論證明的意義就在于此

再問：“兩個連續(xù)整數(shù)的平方差是一個奇數(shù)，這個命題是真還是假?怎樣證明，學(xué)生分組討論，選做出結(jié)果的同學(xué)板演或講解 證明：設(shè)n為整數(shù)，n+1，n為兩個連續(xù)整數(shù)

(n+1)2-n2=n2+2n+1-n2=2n+1，因為2n+1為奇數(shù)，所以得證

2命題證明的一般步驟

例求證：同角的余角相等

已知：如圖2—87，∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角

求證：∠2＝∠3

證明：因為∠2與∠1互為余角，(已知)

∠3與∠1互為余角，所以∠2+∠1＝90°，∠3+∠1＝90°(余角定義)

所以∠2+∠1＝∠3+∠1(等量代換)

則∠2＝∠3(等量減等量差相等)

同學(xué)總結(jié)步驟：

1審題：分清命題的“題設(shè)”和“結(jié)論”

2譯題：結(jié)合圖形中的字母及符號，寫出已知，求證

3想題：用“執(zhí)因索果”(綜合法)；用“執(zhí)果索因”(分析法)尋找論證推理的邏輯思路一般是把二者結(jié)合起來思考，效果較好，這也叫綜合分析法

4證題：從已知出發(fā)，每一步過程要有根據(jù)(定義，公理或定理)最后得到結(jié)論，全面推理過程要因果分明

三、命題證明的練習(xí)

1證明：“如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，這條直線也和另一條垂直” 教師指導(dǎo)學(xué)生，按證明命題的四步，邊講邊請學(xué)生回答如下問題：

(1)命題的“題設(shè)”和“結(jié)論”各是什么?學(xué)生回答后，教師板書：

已知：如圖2—88，a∥b，a⊥c，求證：b⊥c

(2)以上譯題時應(yīng)注意：圖形盡量準確，圖中字母與譯文要一致，不能隨意添加或丟失條件或結(jié)論

(3)思維的邏輯路線是什么?

要證垂直，就是要證兩條直線相交成90°的角，由第一條直線a與c垂直成90°角又a∥b，同位角相等，所以a與c的交角也為90°，所以b⊥c

(4)證明過程中有幾對因果關(guān)系?(兩對)

請學(xué)生寫出證明過程，最好請兩名證明順序有所不同的學(xué)生到黑板上證，兩種順序如下證法

(一)：∵a⊥c，(已知)

∴∠1=90°(垂直的定義)

∵a∥b，(已知)

∴∠1=∠2，(兩直線平行，同位角相等)

∴∠2=90°，(等量代換)

∵b⊥c(垂直定義)

證法(二)：

∵a∥b，(已知)

∴∠1=∠2(兩直線平行，同位角相等)

∵a⊥c，(已知)

∴∠1=90°，(垂直定義)

∴∠2=90°，(等量代換)

∴b⊥c(垂直定義)

2證明：“垂直于同一直線的兩條直線平行”

教師給出命題后，讓學(xué)生每人都在筆記本上自己做，然后找妯兩個或三個學(xué)生，讓他們在黑板上寫出證明的過程在學(xué)生板演的過程中，教師提問：

(1)將此命題寫成“如果??，那么??”的形式“如果兩條直線都與第三條直線垂直，那么這兩條直線平行”

(2)已知，求證，及圖形的畫法，由學(xué)生分別寫出和畫出，并與板演的學(xué)生對照 已知：a⊥c，b⊥c，如圖2—89，求證：a∥b

(3)師生共同探索證題的思考過程，然后找一位學(xué)生板演

證明：∵a⊥c，(已知)

∴∠1＝90°(垂直定義)

∵b⊥c，(已知)

∴∠2＝90°(垂直定義)

∴∠1＝∠2，(等量代換)

∴a∥b(同位角相等，兩條直線平行)

以上過程也可以簡寫為：

∵a⊥c，b⊥c，∴∠1＝90°，∠2＝90°

(……)

四、總結(jié)

教師以提問形式，學(xué)生回答，教師糾正。

1命題，定理之間的關(guān)系是什么?(關(guān)系圖)

2公理的正確性怎樣判定?定理的正確性怎樣判定?

3假命題應(yīng)怎樣判定?

4證明命題的一般步驟是什么?(審題、譯題、想題、證題)

五、作業(yè)

1將第一章的定理、公理整理出來，將第二章的定理、公理、整理出來。2復(fù)習(xí)證明命題的一般步驟。

3如圖2-90，已知：∠ABC=90°，∠1+∠C=90°，求證：∠C=∠2。

4如圖2-91，已知：∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求證：a∥b，c∥d。

5(選作題)

證明：

(1)13個同學(xué)中必有2個或2個以上的同學(xué)在同一個月份出生。

(2)初一年級共有400人，必有2個或2個以上的同學(xué)的生日是同一天。

(注：以上證明可用抽屜原則。詳細答案見“設(shè)計說明”。)

板書設(shè)計

定理與證明

一、公理與定理

三、證明練習(xí)

1公理例

12定理例

23關(guān)系圖

四、總結(jié)

二、證明命題

五、作業(yè)

1意義例：

2一般步驟

課堂教學(xué)設(shè)計說明

1本教案的教學(xué)時間為1課時45分鐘。

2關(guān)于真命題與定理的關(guān)系，可以告訴學(xué)生，在數(shù)學(xué)中經(jīng)過推理論證是正確的真命題都可以作為定理。

2在前面的教學(xué)中，實際已經(jīng)滲入了不少有關(guān)推理證明的問題，學(xué)生也已經(jīng)熟悉。在這一節(jié)課中，對證明的過程再加以系統(tǒng)的總結(jié)和歸納，使學(xué)生在將來的證明中，書寫和思考更加規(guī)范和合理。

3本節(jié)的例題內(nèi)容和作業(yè)內(nèi)容都比較簡單。有些基礎(chǔ)較好的學(xué)校和班級還可以適當補充難度大一些的題目。如抽屜原則的習(xí)題和某些代數(shù)證明題。以下幾題可供參考：

(1)求證：對任意整數(shù)n，(n+5)-(n-3)(n+2)能被6整除。

(提示：化簡后原式=6(n+1))

(2)求證：任意兩個連續(xù)整數(shù)的平方差是一個奇數(shù)。

(3)求證：無論a取何值，代數(shù)式3(a-2)(a+2)+3(a+2)2-6a(a+2)的值永遠為0。4選作題答案：

(1)將12個月作為12個抽屜，13個學(xué)生當做13個蘋果，根據(jù)抽屜原則：把多于n個蘋果放到n個抽屜里，至少有一個抽屜有兩個或兩個以上的蘋果，則13個同學(xué)中必有2個或2個以上的同學(xué)在同一個月份出生。

(2)一年365天看作365個抽屜，400個同學(xué)為400個蘋果。

由抽屜原則可得到答案。

第五篇：正弦定理證明

新課標必修數(shù)學(xué)5“解三角形”內(nèi)容分析及教學(xué)建議

江蘇省錫山高級中學(xué)楊志文

新課程必修數(shù)學(xué)5的內(nèi)容主要包括解三角形、數(shù)列、不等式。這些內(nèi)容都是高中數(shù)學(xué)中的傳統(tǒng)內(nèi)容。其中“解三角形”既是高中數(shù)學(xué)的基本內(nèi)容，又有較強的應(yīng)用性。在歷次教材改革中都作為中學(xué)數(shù)學(xué)中的重點內(nèi)容，一直被保留下來。在這次新課程改革中，新普通高中《數(shù)學(xué)課程標準》（以下簡稱《標準》）與原全日制普通高級中學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》（以下簡稱《大綱》）相比，“解三角形”這塊內(nèi)容在安排順序上進行了新的整合。本文就《標準》必修模塊數(shù)學(xué)5第一部分“解三角形”的課程內(nèi)容、教學(xué)目標要求、課程關(guān)注點、內(nèi)容處理上等方面的變化進行簡要的分析，并對教學(xué)中應(yīng)注意的幾個問題談?wù)勛约旱囊恍┰O(shè)想和教學(xué)建議，供大家參考。

一、《標準》必修模塊數(shù)學(xué)5中“解三角形”與原課程中“解斜三角形”的比較

1．課程內(nèi)容安排上的變化

“解三角形”在原課程中為“解斜三角形”，安排在“平面向量”一章中，作為平面向量的一個單元。而在新課程《標準》中重新進行了整合，將其安排在必修模塊數(shù)學(xué)5中，獨立成為一章，與必修模塊數(shù)學(xué)4中的“平面向量”分別安排在不同的模塊中。

2．教學(xué)要求的變化

原大綱對“解斜三角形”的教學(xué)要求是：

（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能運用它們解斜三角形，能利用計算器解決解斜三角形的計算問題。

（2）通過解三角形的應(yīng)用的教學(xué)，提高運用所學(xué)知識解決實際問題的能力。

（3）實習(xí)作業(yè)以測量為內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力和實際操作的能力。《標準》對“解三角形”的教學(xué)要求是：

（1）通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。

（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。由此可以看出，《標準》在計算方面降低了要求，取消了“利用計算器解決解斜三角形的計算問題”的要求，而在探索推理方面提高了要求，要求“通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。

3、課程關(guān)注點的變化

原《大綱》中，解斜三角形內(nèi)容，比較關(guān)注三角形邊角關(guān)系的恒等變換，往往把側(cè)重點放在運算上。而《標準》則關(guān)注運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。側(cè)重點放在學(xué)生探究和推理能力的培養(yǎng)上。

4、內(nèi)容處理上的變化

原《大綱》中，解斜三角形作為平面向量知識的應(yīng)用，突出其工具性和應(yīng)用性。而《標準》將解三角形作為幾何度量問題來處理，突出幾何的作用，為學(xué)生理解數(shù)學(xué)中的量化思想、進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)奠定基礎(chǔ)。解三角形處理的是三角形中長度、角度、面積的度量問題，長度、面積是理解積分的基礎(chǔ)，角度是刻畫方向的，長度、方向是向量的特征，有了長度、方向，向量的工具自然就有用武之地。

二、教學(xué)中應(yīng)注意的幾個問題及教學(xué)建議

原《大綱》中解斜三角形的內(nèi)容，比較關(guān)注三角形邊角關(guān)系的恒等變換，往往把側(cè)重點放在運算上。而《標準》將解三角形作為幾何度量問題來展開，強調(diào)學(xué)生在已有知識的基礎(chǔ)上，通過對任意三角形邊角關(guān)系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長與角度之間的數(shù)量關(guān)系，解決簡單的三角形度量問題。這就要求在教學(xué)過程中，突出幾何的作用和數(shù)學(xué)量化思想，發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，使學(xué)生的學(xué)習(xí)過程成為在教師引導(dǎo)下的探究過程、再創(chuàng)造過程。因此在教學(xué)中應(yīng)注意以下幾個問題。

1．要重視探究和推理

《標準》要求“通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。因此建議在教學(xué)中，既要重視從特殊到一般的探索學(xué)習(xí)過程的教學(xué)，又要重視數(shù)學(xué)的理性思維的培養(yǎng)。教學(xué)中不要直接給出定理進行證明，可通過學(xué)生對三角形邊與角的正弦的測量與計算，研究邊與其對角的正弦之間的比，揭示它們在數(shù)量上的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)正弦定理的結(jié)論，然后再從理論上進行論證，從而掌握正弦定理。從中體會發(fā)現(xiàn)和探索數(shù)學(xué)知識的思想方法。

參考案例：正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)與證明

教學(xué)建議：建議按如下步驟設(shè)計教學(xué)過程：

(1)從特殊三角形入手進行發(fā)現(xiàn)

讓學(xué)生觀察并測量一個三角板的邊長。

提出問題：你能發(fā)現(xiàn)三邊長與其對角的正弦值之比之間的關(guān)系嗎？

例如，量得三角板三內(nèi)角300，600，900所對的三邊長分別約為5cm，8.6cm，10cm，58.610，?10?10?10 000

sin30sin60sin90

abc

對于特殊三角形，我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律：。??

sinAsinBsinC

則有：

提出問題：上述規(guī)律，對任意三角形成立嗎？(2)實驗，探索規(guī)律

二人合作，先在紙上做一任意銳角（銳角或鈍角）三角形，測量三邊長及其三個對角，然后用計算器計算每一邊與其對角正弦值的比，填入下面表中，驗證前面得出的結(jié)論是否正確。（其中，角精確到分，忽略測量誤差，通過實驗，對任意三角形，有結(jié)論：

abc，即在一個三角形中，??

sinAsinBsinC

各邊和它所對的角的正弦的比相等。

提出問題：上述的探索過程所得出的結(jié)論，只是我們通過實驗(近似結(jié)果)發(fā)現(xiàn)的一個結(jié)果，如果我們能在理論上證明它是正確的，則把它叫做正弦定理。那么怎樣證明呢？

(4)研究定理證明的方法方法一：（向量法）①若△ABC為直角三角形，由銳角三角函數(shù)的定義知，定理顯然成立。②若△ABC為銳角三角形，過點A做單位向量j垂直于AC，則向量j與向量的夾角為900-A，向

量j

與向量CB的夾角為900-C，（如圖1），且有：AC?CB?AB，所以j·(+)= j·即j·+ j· = j·AB 展開|j||AC|cos900+ | j||CB|cos(900-C)=| j|||cos(900-A)

ac

。?

sinAsinC

cbabc

同理，過點C做單位向量j垂直于,可得：，故有。???

sinCsinBsinAsinBsinC

③若△ABC為鈍角三角形，不妨設(shè)角A>900（如圖2），過點A做單位向量j垂直于AC，則向量j與

則得 a sinC = c sinA，即

向量AB的夾角為A-900，向量j與向量的夾角為900-C，且有：??，同樣可證得：

abc

。??

sinAsinB

提出問題：你還能利用其他方法證明嗎？

方法二：請同學(xué)們課后自己利用平面幾何中圓內(nèi)接三角形（銳角，鈍角和直角）及同弧所對的圓周角相等等知識，將△ABC中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為以直徑為斜邊的直角三角形中去探討證明方法。

2．要重視綜合應(yīng)用

《標準》要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。建議在正弦定理、余弦定理的教學(xué)中，設(shè)計一些關(guān)于正弦定理、余弦定理的綜合性問題，提高學(xué)生綜合應(yīng)用知識解決問題的能力。如可設(shè)計下面的問題進行教學(xué)：

參考案例：正弦定理、余弦定理的綜合應(yīng)用 C 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD?CD，AD=10，AB=14，?BDA=60?，?BCD=135?.求BC的長.教學(xué)建議：

引導(dǎo)學(xué)生進行分析，欲求BC，需在△BCD中求解，∵?BCD=135?，?BDC=30?，∴需要求BD，而BD需在△ABD中求解.再引導(dǎo)學(xué)生將

A B

四邊形問題轉(zhuǎn)化為三角形問題，選擇余弦定理求BD，再由正弦定理

例2圖 求BC。

3．要重視實際應(yīng)用

《標準》要求運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。因此建議在教學(xué)中，設(shè)計一些實際應(yīng)用問題，為學(xué)生體驗數(shù)學(xué)在解決問題中的作用，感受數(shù)學(xué)與日常生活及與其他學(xué)科的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識，提高學(xué)生解決實際問題的能力。在題目的設(shè)計中要注意對恒等變形降低要求，避免技巧性強的變形和繁瑣的運算。

參考案例：解三角形在實際中的應(yīng)用

參考案例1．航海中甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東45?，與A的距離為10海里的C處正以20海里/h的速度向南偏東75?的方向航行，已知甲船速度是203海里/h，問甲船沿什么方向，用多少時間才能與

乙船相遇？

教學(xué)建議：引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意畫出示意圖，將實際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題。若設(shè)甲船與乙船經(jīng)過t小時在B處相遇，構(gòu)建?ACB，容易計算出AB?20海里,BC?20海里，根據(jù)余弦定理建立關(guān)于t的方程，求出t，問題就解決了。

答: 甲船沿北偏東75?的方向，經(jīng)過0.5小時與乙船相遇.參考案例2．為了測量某城市電視塔的高度，在一條直道上選 擇了A，B，C三點，使AB?BC?60m，在A，B，C三點

?

?

?

例1圖 DA 觀察塔的最高點，測得仰角分別為45，54.2，60，若測量 E

者的身高為1.5m，試求電視塔的高度(結(jié)果保留1位小數(shù)).F 教學(xué)建議：引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)題意畫出示意圖如圖，將實際問題轉(zhuǎn)化為

解三角形問題。要求電視塔的高度。只要求出DE的長。將問題中的已

知量、未知量集中到有關(guān)三角形中，構(gòu)造出解三角形的數(shù)學(xué)模型。在例2圖 ?ACE中和?BCE中應(yīng)用余弦定理，使問題獲得解決.答: 電視塔的高度約為158.3m.4．要重視研究性學(xué)習(xí)

解三角形的內(nèi)容有較強的應(yīng)用性和研究性，可為學(xué)生提供豐富的研究性素材。建議在教學(xué)內(nèi)容的設(shè)計上探索開放，在教學(xué)形式上靈活多樣。可設(shè)計一些研究性、開放性的問題，讓學(xué)生自行探索解決。參考案例：研究性學(xué)習(xí)

課外研究題：將一塊圓心角為120?，半徑為20厘米的扇形鐵片裁成一塊矩形，請你設(shè)計裁法，使裁得矩形的面積最大?并說明理由．

教學(xué)建議：這是一個研究性學(xué)習(xí)內(nèi)容，可讓學(xué)生在課外兩人一組合作完成，寫成研究報告，在習(xí)題課上讓學(xué)生交流研究結(jié)果，老師可適當進行點評。

參考答案：這是一個如何下料的問題，一般有如圖（1）、圖（2）的兩種裁法：即讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或讓矩形一邊與弦AB

平行。從圖形的特點來看，涉及到線段的長度和角度，將

這些量放置在三角形中，通過解三角形求出矩形的邊長，再計算出兩種方案所得矩形的最大面積，加以比較，就可以得出問題的結(jié)論．

NBB

PO圖（2）

QM

O圖（1）

按圖（1）的裁法:矩形的一邊OP在OA上，頂點M在圓弧上，設(shè)?MOA??，則：

時，Smax?200．

4按圖（2）的裁法: 矩形一邊PQ與弦AB平行，設(shè)?MOQ??，在?MOQ中，?OQM?90??30??120?，由正弦定理，得：

sin120?

又?MN?2OMsin(60???)?40sin(60???)，MQ?

20sin?

?

3sin?． 3

MP?20sin?,OP?20cos?，從而S?400sin?cos??200sin2?．即當??

?

∴S?MQ?MN?

sin?sin(60???)?cos(2??60?)?cos60?． 33

??

∴當??30?時，Smax?由于

400． 3

400平方厘米． ?200，所以用第二中裁法可裁得面積最大的矩形，最大面積為33

也可以建議學(xué)生在課外自行尋找研究性、應(yīng)用性的題目去做，寫出研究或?qū)嶒瀳蟾妫趯W(xué)校開設(shè)的研究性學(xué)習(xí)課上進行交流，評價。

參考文獻：

①全日制普通高中級學(xué)《數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》。人民教育出版社。2002年4 月。

②《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗））》。人民教育出版社。2003年4月第一次印刷。③《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（實驗）解讀》。嚴士健 張奠宙王尚志等主編。江蘇教育出版社。2004年4月。