第一篇：存在與唯一性定理的證明

Picard存在與唯一性定理的證明

定義：設函數f(x,y)在閉區域上有定義，如果存在常數L?0，使對任何(x,y1),(x,y2)?均滿足不等式f(x,y1)?f(x,y2)?Ly1?y2，則稱f(x,y)在上關于y滿足Lipschitz條件，稱L為

Lipschitz常數

Picard定理：設f(x,y)在閉矩形域：x?x0?a,y?y0?b上連續，且關于y滿足Lipschitz條

?dy

??f(x,y)

件，則初值問題?dx·········①

??y(x0)?y0

在區間I??x0?h,x0?h?上有且只有一個解，其中h?min(a,證明：整個證明過程分成如下五個部分

x

b),M?f(x,y)M(x,y)?Ⅰ，首先證明求初值①的解等價于求積分方程y?y0?

x0

·········②的連續解。?f(x,y)dx,x?I·

?d(?(x))

?f(x,?(x))?

事實上，若y??(x)(x?I)是初值問題①的解，則有?dx,x?I

??(x0)?y0?

由此，f(x,?(x))在I上連續，從而可積，于是對恒等式

x

d(?(x))

?f(x,?(x)),x?I積分并利用初始條件，dx

得到?(x)?y0?

x0

?f(x,?(x))dx,x?I即，y??(x)(x?I)是積分方程②的解

x

反之，設y??(x)(x?I)是方程②的連續解，即有恒等式?(x)?y0?

x0

?f(x,?(x))dx,x?I

x

因為f(x,?(x))在I上連續，故?(x)?y0?

x0

?f(x,?(x))dx,x?I右端是積分上限x?I的可微函數，從而

?(x)在I可微

x

于是將?(x)?y0?

x0

?f(x,?(x))dx,x?I兩邊對x求導，得恒等式

d(?(x))

?f(x,?(x)),x?I，并令x?x0得y(x0)?y0，因此 dx

y?(x)(x?I)是初值問題①的解

因此，我們只需證明積分方程②存在唯一定義在區間I??x0?h,x0?h?上的連續解。我們采用Picard的逐次逼近法來證明，基本思路就是在所設條件下構造出一個一致收斂的連續函數序列，它的極限函數恰是積分方程②的唯一解

Ⅱ，用逐次迭代法在區間I上構造逐次近似的連續函數序列

x

?

?yn?1(x)?y0??f(x,yn(x))dx

·········③ ,x?I·?x0

?

y0(x)?y0?

當n?0時，注意到f(x,y0(x))是I上的連續函數，所以由③知

x

y1(x)?y0??f(x,y0(x)),(x?I)在I

x0

上是連續可微的，而且滿足不等式

x

y1(x)?y0?

x0

?

f(x,y0(x))?Mx?x0于是在區間I上y1(x)?y0?Mh?b

因此，f(x,y1(x))在I上是連續的，所以由式③知

x

y2(x)?y0??f(x,y1(x)),(x?I)

x0

在區間I上是連續可微的，而且滿足

x

y2(x)?y0?

x0

?

f(x,y1(x))dx?Mx?x0于是在區間I上y2(x)?y0?Mh?b

以此類推，應用數學歸納法易證： 由③式給出的所謂Picard序列

?yn(x)?

是區間I上的連續函數序列，而且滿足不等式

yn(x)?y0?Mx?x0?Mh?b,n?0,1,....Ⅲ，證明Picard序列?yn(x)?在區間I上一致收斂

考慮級數

y0??y1(x)?y0??...??yn(x)?yn?1(x)??...··········④它的部分和為

y0???yk(x)?yk?1(x)??yn(x)，于是，要證明序列?yn(x)?在區間I上一致收斂，只需證明級數④在I

k?1

n

上一致收斂。為此我們歸納證明不等式：

yn?1(x)?yn(x)?ML

n

x?x0

n?1

(n?1)?

(n?0,1,...)·······⑤在I上成立事實上，當n?0時由

x

y1(x)???

x0

f(x,0y(x))?dx

k?1

知式M?0xx⑤成立，假設當n?k時⑤式成立，即有

yk?1(x)?yk(x)?ML

k

x?x0

(k?1)?

x

(k?0,1,...)在I上成立

則由式③知yk?2(x)?yk?1(x)?

x0

?[f(x,y

k?1

(x))?f(x,yk(x))]dx根據Lipschitz條件和歸納假設得

x

yk?2(x)?yk?1(x)?

x

x0

?Ly

k?1

(x)?yk(x)dx

x?x0

k?2

?MLk?1

x0

?

x?x0

k?1

(k?1)?

dx?MLk?1

(k?2)?

即當n?k?1時式⑤也成立，因此有數學歸納法知式⑤得證

hn?1

(n?0,1,...)因當x?I時，x?x0?h，故由式⑤知yn?1(x)?yn(x)?ML

(n?1)?

n

hn?1

因正項級數?ML收斂，故由函數項級數一致收斂的Weierstrass（魏爾斯特拉斯）判別法知級數

(n?1)?n?0

??

n

④在區間I上一致收斂從而Picard序列?yn(x)?在區間I上一致收斂 設其極限函數為?(x)，即當x?I時一致的有limyn(x)??(x)

n??

則y??(x)在I上是連續的且由yn(x)?y0?b推知(x)?y0?b,x?I Ⅳ，證明y??(x),(x?I)是積分方程②的解

x

在式③兩端令n??得到?(x)?y0?lim

n??

x0

?f(s,y(s))ds

n

x

x

因此問題歸結為證明lim

n??

x0

?f(s,y(s))ds??f(s,?(s))ds

n

x0

因Picard序列?yn(x)?在I上一致收斂，則任給??0，存在自然數N?N(?)，當n?N時，對I中所

?

Lh

故當x?I時，由Lipschitz條件知

有x有yn(x)??(x)?

x

n

x

x0

?f(s,y(s))ds??f(x,?(x))ds

x0

xx0x

?

?

f(s,yn(s))?f(s,?(x))ds

?

x0x

?Ly(s)??(s)ds

n

??

x0

?L

?dsLh

??

x?x0?h??hh

x

x

n

因此式lim

n??

x0

?f(s,y(s))ds??f(s,?(s))ds成立

x0

x

因而當x?I時有?(x)?y0?

x0

?f(s,?(s))ds，所以y??(x),(x?I)是積分方程②的一個連續解

Ⅴ，證明積分方程②的連續解的唯一性

x

設y??(x)也是方程②的定義在區間I上的連續解，則?(x)?y0?

x0

?f(x,?(x))dx,x?I于是與步驟Ⅲ類

hn?1

(n?0,1,...)在I上成立 似，可歸納證明得yn(x)??(x)?ML

(n?1)?

n

從而Picard序列?yn(x)?在區間I上也一致收斂與?(x)，因此我們推出?(x)??(x),x?I 所以，積分方程②的連續解是唯一的。至此，定理得證。【注】定理中數h?min{a,b的幾何意義 M

dy

?f(x,y)的積分曲線上任一點的切線斜率介于?Mdx

與M之間。過點p(x0,y0)分別引斜率為?M與M的直線B1C和BC1：

因為在閉矩形域上有f(x,y)?M，所以方程

y?y0?M(x?x0),y?y0?M(x?x0)，當M?

顯然方程

bb

時，如圖㈠所示；當M?時，如圖㈡所示 aa

dy

?f(x,y)過點p(x0,y0)的積分曲線y??(x)(如果存在的話)不可能進入圖㈠或㈡所示的兩dx

bb

(即a?)由圖㈠可見解y??(x)在整個區間?x?a,x?a?上有定義；若

Ma

個陰影區域內。若M?

M?

bb

(即a?)由㈡可見，不能保證解y??(x)在?x?a,x?a?上有定義。它可能在Ma

x?x1(x0?x1?x0?a)或x?x2(x0?a?x2?x0)外到達的上邊界y?y0?b或下邊界y?y0?b，于

是，當x?x1或x?x2時，y??(x)沒有定義。此時，由于點B1,C1,B,C的橫坐標分別為x0?

b

及M

x0?

bbbb??，故可保證解y??(x)在區間?x0?,x0??上有定義。綜上，只要取h?min{a,，則MMMM??

當x?x0?h時，有?(x)??(x0)??(x)?y0?Mx?x0?Mh?b，即當x?I?[x0?h,x0?h]時，積分曲線y??(x)不會躍出閉矩形域

第二篇：定理與證明

定理與證明(一)

教學建議

（一）教材分析

1、知識結構

2、重點、難點分析

重點：真命題的證明步驟與格式．命題的證明步驟與格式是本節的主要內容，是學習數學必具備的能力，在今后的學習中將會有大量的證明問題；另一方面它還體現了數學的邏輯性和嚴謹性．

難點：推論證明的思路和方法．因為它體現了學生的抽象思維能力，由于學生對邏輯的理解不深刻，往往找不出最優的思維切入點，證明的盲目性很大，因此對學生證明的思路和方法的訓練是教學的難點．

（二）教學建議

1、四個注意

（1）注意：①公理是通過長期實踐反復驗證過的，不需要再進行推理論證而都承認的真命題；②公理可以作為判定其他命題真假的根據．

（2）注意：定理都是真命題，但真命題不一定都是定理．一般選擇一些最基本最常用的真命題作為定理，可以以它們為根據推證其他命題．這些被選作定理的真命題，在教科書中是用黑體字排印的．

（3）注意：在幾何問題的研究上，必須經過證明，才能作出真實可靠的判斷．如“兩直線平行，同位角相等”這個命題，如果只采用測量的方法．只能測量有限個兩平行直線的同位角是相等的．但采用推理方法證明兩平行直線的同位角相等，那么就可以確信任意兩平行直線的同位角相等．

（4）注意：證明中的每一步推理都要有根據，不能“想當然”．①論據必須是真命題，如：定義、公理、已經學過的定理和巳知條件；②論據的真實性不能依賴于論證的真實性；③論據應是論題的充足理由．

2、逐步滲透數學證明的思想：

（1）加強數學推理(證明)的語言訓練使學生做到，能用準確的語言表述學過的概念和命題，即進行語言準確性訓練；能學會一些基本的推理論證語言，如“因為??，所以??”句式，“如果??，那么??”句式等等；提高符號語言的識別和表達能力，例如，把要證明的命題結合圖形，用已知，求證的形式寫出來．

（2）提高學生的“圖形”能力，包括利用大綱允許的工具畫圖(垂線、平行線)的能力和在對要證命題的理解(如分清題設、結論)的基礎上，畫出要證明的命題的圖形的能力，后一點尤其重要，一般通過圖形易于弄清命題并找出證明的方法．

（3）加強各種推理訓練，一般應先使學生從“模仿”教科書的形式開始訓練．首先是用自然語言敘述只有一步推理的過程，然后用簡化的“三段論”方法表述出這一過程，再進行有兩步推理的過程的模仿；最后，在學完“命題、定理、證明”一單元后，總結證明的一般步驟，并進行多至三、四步的推理．在以上訓練中，每一步推理的后面都應要求填注推理根據，這既可訓練良好的推理習慣，又有助于掌握學過的命題．

教學目標：

1、了解證明的必要性，知道推理要有依據；熟悉綜合法證明的格式，能說出證明的步驟．

2、能用符號語言寫出一個命題的題設和結論．

3、通過對真命題的分析，加強推理能力的訓練，培養學生邏輯思維能力．教學重點：證明的步驟與格式．

教學難點：將文字語言轉化為幾何符號語言．

教學過程：

一、復習提問

1、命題“兩直線平行，內錯角相等”的題設和結論各是什么？

2、根據題設，應畫出什么樣的圖形？（答：兩條平行線a、b被第三條直線c所截）

3、結論的內容在圖中如何表示？（答：在圖中標出一對內錯角，并用符號表示）

二、例題分析

例

1、證明：兩直線平行，內錯角相等．

已知：a∥b，c是截線．

求證：∠1＝∠2．

分析：要證∠1＝∠2，只要證∠3＝∠2即可，因為

∠3與∠1是對頂角，根據平行線的性質，易得出∠3＝∠2．

證明：∵a∥b（已知），∴∠3＝∠2（兩直線平行，同位角相等）．

∵∠1＝∠3（對頂角相等），∴∠1＝∠2（等量代換）．

例

2、證明：鄰補角的平分線互相垂直．

已知：如圖，∠AOB＋∠BOC＝180°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC．

求證：OE⊥OF．

分析：要證明OE⊥OF，只要證明∠EOF＝90°，即∠1＋∠2＝90°即可．

證明：∵OE平分∠AOB，∴∠1＝ ∠AOB，同理 ∠2＝ ∠BOC，∴∠1＋∠2＝（∠AOB＋∠BOC）＝ ∠AOC＝90°，∴OE⊥OF（垂直定義）．

三、課堂練習：

1、平行于同一條直線的兩條直線平行．

2、兩條平行線被第三條直線所截，同位角的平分線互相平行．

四、歸納小結

主要通過學生回憶本節課所學內容，從知識、技能、數學思想方法等方面加以歸納，有利于學生掌握、運用知識．然后見投影儀．

五、布置作業

課本P143

5、（2）,7.六、課后思考：

1、垂直于同一條直線的兩條直線的位置關系怎樣？

2、兩條平行線被第三條直線所截，內錯角的平分線位置關系怎樣？

3、兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角的平分線位置關系怎樣？

第三篇：定理與證明

《定理與證明》學案

【學習目標】

1．了解定理，證明的定義。

2．知定理必須證明是正確的命題后才可運用。(重點)

3．會用幾何語言證明一個命題。(難點)

【問題導學】

1．閱讀課本55頁，寫下并記憶五個基本事實。

1）兩點確定一條直線；2）兩點之間，線段最短；3）過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；4）過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行；

5）兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩直線平行。

2．認真閱讀課本56頁后回答：

① 什么是定理？定理的作用是什么？

數學中，有些命題可以從基本事實或其他真命題出發，用邏輯推理的方法判斷他們是正確的，并且可以作為進一步判斷其他命題真假的依據，這樣的真命題叫做定理。

作用：揭示客觀事實的本質屬性，作為進一步確認其他命題真假的依據。

② 認真完成“思考”的問題，參照云圖中的提示，判斷結論的正確與否：可知第一個結論不正確.2?3?5?7?11?13?1?59?509 第二個結論不正確.鈍角三角形 第三個結論正確.對上面不正確的結論舉反例說明。

③什么是證明？哪些可以作為證明的依據呢？

根據條件、定義以及基本事實、定理等，經過演繹推理，來判斷一個命題是否正確，這樣的推理過程叫做證明。

3．閱讀“直角三角形的兩銳角互余”的證明后回答：

③ 寫出這個命題的條件和結論，總結證明命題的步驟。

④ 仿照例題步驟證明定理“有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形”

4.閱讀課本57頁讀一讀，寫出證明的依據有哪些？

定義、基本事實、已經學過的定理，等式的性質、等量代換

【課堂檢測】

課本練習的第一題和第二題【學習小結】

第四篇：定理與證明

定理與證明(二)

一、教學目標

1．了解“證明”的必要性和推理過程中要步步有據．

2．了解綜合法證明的格式和步驟．

3．通過一些簡單命題的證明，初步訓練學生的邏輯推理能力．

4．通過證明步驟中由命題畫出圖形，寫出已知、求證的過程，繼續訓練學生由幾何語句正確畫出幾何圖形的能力．

5．通過舉例判定一個命題是假命題，使學生學會反面思考問題的方法．

二、學法引導

1．教師教法：嘗試指導，引導發現與討論相結合．

2．學生學法：在教師的指導下，積極思維，主動發現．

三、重點·難點及解決辦法

（－）重點

證明的步驟和格式是本節重點．

（二）難點

理解命題，分清其題設和結論，正確對照命題畫出圖形，寫出已知、求證．

（三）解決辦法

通過學生分組討論，教師歸納得出證明的步驟和格式，再以練習加以鞏固，解決重點、難點及疑點．

四、課時安排

l課時

五、教具學具準備

投影儀、三角板、自制膠片．

六、師生互動活動設計

1．通過引例創設情境，點題，引入新課．

2．通過情境教學，學生分組討論，歸納總結及練習鞏固等手段完成新授．

3．通過提問的形式完成小結．

七、教學步驟

（－）明確目標

使學生嚴密推理過程，掌握推理格式，提高推理能力。

（二）整體感知

以情境設計，引出課題，引導討論，例題示范講解新知，以練習鞏固新知．

（三）教學過程

創設情境，引出課題

師：上節課我們學習了定理與證明，了解了這兩個概念．并以證明“兩直線平行，內錯角相等”來說明什么是證明．我們再看這一命題的證明（投影出示）．

例1已知：如圖1，是截線，求證： ．

證明：∵（已知），∴（兩直線平行，同位角相等）．

∵（對項角相等），∴（等量代換）．

這節課我們分析這一命題的證明過程，學習命題證明的步驟和格式．

［板書］2.9定理與證明

探究新知

1．命題證明步驟

學生活動：由學生分組討論以上命題的證明過程，按自己的理解說出證明一個命題都需要哪幾步．

【教法說明】根據上一節“兩直線平行，內錯角相等”這一命題的證明過程讓學生討論、分析、歸納命題證明的一般步驟，一是可以加深對命題證明的理解，二是培養學生歸納總結能力。在總結步驟時，學生所說的層次不一定有邏輯性，或不太嚴密，教師要注意引導，使學生分清命題證明幾個步驟的先后層次．

根據學生討論，回答結果．教師歸納小結，師生共同得出證明命題的步驟（出示投影）：第一步，畫出命題的圖形．

先根據命題的題設即已知條件，畫出圖形，再把命題的結論即求證的內容在圖上標出．還要根據證明的需要，在圖上標出必要的字母或符號，以便于敘述或推理過程的表達．第二步，結合圖形寫出已知、求證．

把命題的題設化為幾何符號的語言寫在已知中，命題的結論轉化為幾何符號的語言寫在求證中．

第三步，經過分析，找出由已知推得求證的途徑，寫出推理的過程．

學生活動：結合“兩直線平行，內錯角相等”這一命題的證明，理解以上命題證明的一般步驟（給學生一定時間理解記憶）．

【教法說明】在以上第二個步驟中，將文字語言轉化為符號語言是教學中的難點，要注意在練習中加強輔導，第三步由學生獨立完成有困難，要逐步培養訓練，現階段暫不要求學生獨立完成．

反饋練習：（1）畫出證明命題“兩直線平行，同旁內角互補”時的圖形，寫出已知、求證．

（2）課本第112頁A組第5題．

【教法說明】由學生依照例1“兩直線平行，內錯角相等”這一命題的證明畫出圖形，寫出已知、求證，鞏固命題證明的第一、二步．

2．命題的證明

例2證明：鄰補角的平分線互相垂直．

【教法說明】此例題完全放手讓學生獨立完成有一定困難，但教師也不能包辦代替，最好通過讓學生分步討論，同桌互相磋商，分步完成的方法，使學生對命題證明的每一步都進一步理解，教師可以給學生指明思考步驟．

（1）分析命題的題設與結論，畫出命題證明所需要的圖形．

鄰補角用圖2表示：

圖2

添畫鄰補角的平分線，見圖3：

圖3

（2）根據命題的題設與結論寫出已知、求證．鄰補角用幾何符號語言提示：，角平分線用幾何符號語言表示：，求證鄰補角平分錢互相垂直，用符號語言表示： ．

（3）分析由已知誰出求證途徑，寫出證明過程．

有什么結論后可得（），由已知可以推導 嗎？學生討論思考．

【教法說明】以上步驟的完成教師只提供思路，具體結論的得出與操作要由學生獨立完成．找一個學生到黑板上板演，其他同學在練習本上寫出完成整過程．

已知：如圖，，．

求證：

證明：∵（已知），又∵，（已知），∴ ．

∴（垂直定義）．

證明完成后提醒學生注意以下幾點：

①要證明的是一個簡單敘述的命題，題設和結論不明顯，可以先根據題意畫出圖形．如例2，結合圖形分析命題的題設和結論．

②在寫已知、求證的內容時，要將文字語言轉化為符號語言來表示，轉化時的寫法也不是惟一的，要根據使用的方便來寫，如： 與 互為鄰補角，在已知中寫為，角平分線有幾種表示方法，如 是 的平分線，，根據此題寫成 較好，方便于下面的推理計算．

③對命題的分析、畫圖，如何推理的思考過程，證明時不必寫出來，不屬于證明內容．

反饋練習：按證明命題的步驟證明：“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么內錯角相等．”

【教法說明】由學生獨立完成，找學生板演，發現問題教師及時糾正．

3．判定一個命題是假命題的方法

師：以上我們的推理是說明一個命題是真命題的判定方法．那么如何判定一個命題是假命題呢？如“相等的角是對項角”，同學們都知道這是一個假命題，如何說明它是一個假命題呢？誰能試著說明一下？

【教法說明】教師先不告訴學生判定一個命題是假命題的方法，而是由很明顯的“相等角是對頂角”這一假命題，讓學生自己嘗試著去說明，體驗從反面去說明一個問題的方法，然后教師歸納小結．

根據學生說明，教師小結：

判定一個命題是假命題，只要舉出一個反例即可，也就是說你所舉命題符合命題的題設，但不滿足結論．如“同位角相等”可如圖，與 是同位角但不相等就說明“同位角相等是假命題”．

反饋練習：課本第111頁習題2.3A組第4題．

【教法說明】在做以上練習時一定讓學生學會從反面思考問題的方法，再就是要澄清一些錯誤的概念．

反饋練習

投影出示以下練習：

1．指出下列命題的題設和結論

（1）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補．

（2）兩個角的和等于直角，這兩個角互為余角．

（3）對項角相等．

（4）同角或等角的余角相等．

2．畫圖，寫出已知，求證（不證明）

（1）同垂直于一條直線的兩條直線平行．

（2）兩條平行直線被第三條直線所截，同位角的平分線互相平行．

3．抄寫下題并填空

已知：如圖，．

求證： ．

證明：∵（），∴（）．

∴（）．

【教法說明】以上練習讓學生獨立完成，第1題主要是訓練學生分清命題的題設和結論；第2題是訓練學生把命題轉化為幾何語言、幾何圖形的能力；第3題是讓學生進一步體會命題證明的三個步驟．

總結、擴展

以提問的形式歸納出本節課的知識結構：

八、布置作業

（－）必做題

課本第110頁習題2.3A組第3（2）、（3）、（4）題．

（二）思考題

課本第112頁B組第l、2題．

作業答案

A組（略）

B組1．已知兩直線平行，同旁內角互補。

（兩直線平行，同旁內角互補）（同角的補角相等）．

2．已知：如圖，、分別平分 與 ．求證： ．

第五篇：老教材定理與證明

----------[初中數學]---------

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定理與證明

教學目標

1使學生理解公理和定理的意義，并能對公理與定理加以區別

2使學生理解證明命題的思路、書寫的格式，使學生對幾何的重要內容之一——推理論證，有初步的認識，從而初步培養學生思維的條理性和邏輯性

教學重點和難點

重點是命題證明的一般步驟，難點是探索命題證明的思路以及思維方向

教學過程設計

一、復習命題，引入公理和定理

教師提問：學生思考后回答

1什么叫命題?請你說出一個數學命題

2什么叫真命題?什么叫假命題?請你分別舉出兩個實例

3在前面學過的真命題中，還有什么名稱?

當學生回答完第三個問題后，教師再問

4公理和定理有什么區別?

先由學生隨意回答，互相補充，然后教師與學生一起歸納總結

公理：它的正確性是人們長期實踐中總結出來并作為判定其它命題真假的根據 定理：它是正確性是用推理證實的，這樣的真命題叫做定理

用幻燈投影命題與公理等關系

命題

真命題假命題(只需舉一個反例)

公理(正確性由實踐總結)

定理(正確性由推理證實)

二、證明的意義、過程和步驟

1證明的意義

請證明以下命題：三個連續奇數的和是3的整數倍

問：請學生們思考，怎樣證明?

當三個連續奇數為3，5，7時，它們的和為3+5+7=15是3的整數倍，當三個數為7，8，9時，7+8+9=24，也對那么，我們能否這樣試下去，能不能通過試具體數的方法，證明這個命題是真命題不能，如何證明呢?

設n為整數,三個連續奇數為2n+1,2n+3,2n+5,它們的積為(2n+1)+(2n+3)+(2n+5)=6n+9=3,因為n是整數,所以2n+3為整數,3(2 n+3)是3的整數倍。

這就是推理的過程

要判斷一個命題的真假，必須要有推理論證的過程，也叫證明只有證明，才能區分命題的真假，否則就會得出錯誤的結論證明的意義就在于此

再問：“兩個連續整數的平方差是一個奇數，這個命題是真還是假?怎樣證明，學生分組討論，選做出結果的同學板演或講解 證明：設n為整數，n+1，n為兩個連續整數

(n+1)2-n2=n2+2n+1-n2=2n+1，因為2n+1為奇數，所以得證

2命題證明的一般步驟

例求證：同角的余角相等

已知：如圖2—87，∠2是∠1的余角，∠3是∠1的余角

求證：∠2＝∠3

證明：因為∠2與∠1互為余角，(已知)

∠3與∠1互為余角，所以∠2+∠1＝90°，∠3+∠1＝90°(余角定義)

所以∠2+∠1＝∠3+∠1(等量代換)

則∠2＝∠3(等量減等量差相等)

同學總結步驟：

1審題：分清命題的“題設”和“結論”

2譯題：結合圖形中的字母及符號，寫出已知，求證

3想題：用“執因索果”(綜合法)；用“執果索因”(分析法)尋找論證推理的邏輯思路一般是把二者結合起來思考，效果較好，這也叫綜合分析法

4證題：從已知出發，每一步過程要有根據(定義，公理或定理)最后得到結論，全面推理過程要因果分明

三、命題證明的練習

1證明：“如果一條直線和兩條平行線中的一條垂直，這條直線也和另一條垂直” 教師指導學生，按證明命題的四步，邊講邊請學生回答如下問題：

(1)命題的“題設”和“結論”各是什么?學生回答后，教師板書：

已知：如圖2—88，a∥b，a⊥c，求證：b⊥c

(2)以上譯題時應注意：圖形盡量準確，圖中字母與譯文要一致，不能隨意添加或丟失條件或結論

(3)思維的邏輯路線是什么?

要證垂直，就是要證兩條直線相交成90°的角，由第一條直線a與c垂直成90°角又a∥b，同位角相等，所以a與c的交角也為90°，所以b⊥c

(4)證明過程中有幾對因果關系?(兩對)

請學生寫出證明過程，最好請兩名證明順序有所不同的學生到黑板上證，兩種順序如下證法

(一)：∵a⊥c，(已知)

∴∠1=90°(垂直的定義)

∵a∥b，(已知)

∴∠1=∠2，(兩直線平行，同位角相等)

∴∠2=90°，(等量代換)

∵b⊥c(垂直定義)

證法(二)：

∵a∥b，(已知)

∴∠1=∠2(兩直線平行，同位角相等)

∵a⊥c，(已知)

∴∠1=90°，(垂直定義)

∴∠2=90°，(等量代換)

∴b⊥c(垂直定義)

2證明：“垂直于同一直線的兩條直線平行”

教師給出命題后，讓學生每人都在筆記本上自己做，然后找妯兩個或三個學生，讓他們在黑板上寫出證明的過程在學生板演的過程中，教師提問：

(1)將此命題寫成“如果??，那么??”的形式“如果兩條直線都與第三條直線垂直，那么這兩條直線平行”

(2)已知，求證，及圖形的畫法，由學生分別寫出和畫出，并與板演的學生對照 已知：a⊥c，b⊥c，如圖2—89，求證：a∥b

(3)師生共同探索證題的思考過程，然后找一位學生板演

證明：∵a⊥c，(已知)

∴∠1＝90°(垂直定義)

∵b⊥c，(已知)

∴∠2＝90°(垂直定義)

∴∠1＝∠2，(等量代換)

∴a∥b(同位角相等，兩條直線平行)

以上過程也可以簡寫為：

∵a⊥c，b⊥c，∴∠1＝90°，∠2＝90°

(……)

四、總結

教師以提問形式，學生回答，教師糾正。

1命題，定理之間的關系是什么?(關系圖)

2公理的正確性怎樣判定?定理的正確性怎樣判定?

3假命題應怎樣判定?

4證明命題的一般步驟是什么?(審題、譯題、想題、證題)

五、作業

1將第一章的定理、公理整理出來，將第二章的定理、公理、整理出來。2復習證明命題的一般步驟。

3如圖2-90，已知：∠ABC=90°，∠1+∠C=90°，求證：∠C=∠2。

4如圖2-91，已知：∠1=∠2，∠2+∠3=180°，求證：a∥b，c∥d。

5(選作題)

證明：

(1)13個同學中必有2個或2個以上的同學在同一個月份出生。

(2)初一年級共有400人，必有2個或2個以上的同學的生日是同一天。

(注：以上證明可用抽屜原則。詳細答案見“設計說明”。)

板書設計

定理與證明

一、公理與定理

三、證明練習

1公理例

12定理例

23關系圖

四、總結

二、證明命題

五、作業

1意義例：

2一般步驟

課堂教學設計說明

1本教案的教學時間為1課時45分鐘。

2關于真命題與定理的關系，可以告訴學生，在數學中經過推理論證是正確的真命題都可以作為定理。

2在前面的教學中，實際已經滲入了不少有關推理證明的問題，學生也已經熟悉。在這一節課中，對證明的過程再加以系統的總結和歸納，使學生在將來的證明中，書寫和思考更加規范和合理。

3本節的例題內容和作業內容都比較簡單。有些基礎較好的學校和班級還可以適當補充難度大一些的題目。如抽屜原則的習題和某些代數證明題。以下幾題可供參考：

(1)求證：對任意整數n，(n+5)-(n-3)(n+2)能被6整除。

(提示：化簡后原式=6(n+1))

(2)求證：任意兩個連續整數的平方差是一個奇數。

(3)求證：無論a取何值，代數式3(a-2)(a+2)+3(a+2)2-6a(a+2)的值永遠為0。4選作題答案：

(1)將12個月作為12個抽屜，13個學生當做13個蘋果，根據抽屜原則：把多于n個蘋果放到n個抽屜里，至少有一個抽屜有兩個或兩個以上的蘋果，則13個同學中必有2個或2個以上的同學在同一個月份出生。

(2)一年365天看作365個抽屜，400個同學為400個蘋果。

由抽屜原則可得到答案。