第一篇：四色定理的簡單證明

四色定理的簡單證明

雖然現(xiàn)在已經有不少人用不同方法證明出了四色定理，但我認為四色定理的證明還是有點復雜,所以給出以下證明。（注：圖形與圖形的位置關系可分為相離、包含、內向接、內向切、外向接、外向切，在此文中由于題意關系不妨重新分為以下關系：1 把包含、內向接、內向切，統(tǒng)一劃分為包含關系。2 把外向接單獨劃分為相接關系。3把相離、外相切統(tǒng)一劃分為相離關系。）

此證明過程中把圖的組合形式按照其位置關系而抽離出了以下四種基本有效模式：若要存在只需用一種顏色便能彼此區(qū)分開來的地圖，則該圖中所有圖形必定滿足彼此相離。如下圖：

圖（1）

分析：這是最簡單的一種圖形關系模式暫且稱為模式a。若要存在只需用兩種顏色便能彼此區(qū)分開來的地圖，則該圖中的所有圖形必定滿足最多只存在兩個圖形的兩兩相交的圖形。各種有效圖形關系如下圖：

圖（2）

分析：兩個圖形的兩兩相交的所有圖形關系均可變形而得出等價的以上兩種圖形關系模式之

一。由于圖（1）存在包含關系，被包含的圖形是對外部無影響的，所以圖（1）仍屬于模式a。所以兩個圖形的兩兩相交只有圖（2）的相交關系模式的圖形有效的，我們暫且稱之為模式b。若要存在只需用三種顏色便能彼此區(qū)分開來的地圖，則給圖中所有圖形必定滿足最多只存在三個圖形的兩兩相交圖形。各種有效圖形關系如下圖：

圖（3）

分析：三個圖形的兩兩相交的所有圖形關系均可變形而得出等價的以上兩種圖形關系模式之

一。由于圖（2）屬于存在包含關系，同理整體回歸于模式a。所以三個圖形的兩兩相交只有圖（1）的相接關系模式的圖形是有效圖形模式，我們暫且稱之為模式c。若要存在只需用四種顏色便能彼此區(qū)分開來的地圖，則給圖中所有圖形必定滿足最多只存在四個圖形的兩兩相交圖形。各種有效圖形關系如下圖：

圖（4）

分析：四個圖形的兩兩相交的所有圖形關系均可變形而得出等價的以上兩種圖形關系。由于圖（2）屬于存在包含關系，同理可得出整體也就回歸于圖形模式a。同樣我們暫且稱圖（1）的圖形關系模式為模式d。觀察易得，已經擁有四個有效圖形的模式d有一個圖形是被包圍的，所以在此基礎上在球面或是平面上是不可能誕生有五個圖形兩兩相交而組成的模式e了，由于以上的四種基本的有效模式均可由四種以內的顏色彼此分開。所以在平面或球面上四種顏色已足以把它們彼此區(qū)分。另外至于在環(huán)形體或丁形體上，則可用此方法得出五色定理和六色定理。

第二篇：正弦定理證明

新課標必修數學5“解三角形”內容分析及教學建議

江蘇省錫山高級中學楊志文

新課程必修數學5的內容主要包括解三角形、數列、不等式。這些內容都是高中數學中的傳統(tǒng)內容。其中“解三角形”既是高中數學的基本內容，又有較強的應用性。在歷次教材改革中都作為中學數學中的重點內容，一直被保留下來。在這次新課程改革中，新普通高中《數學課程標準》（以下簡稱《標準》）與原全日制普通高級中學《數學教學大綱》（以下簡稱《大綱》）相比，“解三角形”這塊內容在安排順序上進行了新的整合。本文就《標準》必修模塊數學5第一部分“解三角形”的課程內容、教學目標要求、課程關注點、內容處理上等方面的變化進行簡要的分析，并對教學中應注意的幾個問題談談自己的一些設想和教學建議，供大家參考。

一、《標準》必修模塊數學5中“解三角形”與原課程中“解斜三角形”的比較

1．課程內容安排上的變化

“解三角形”在原課程中為“解斜三角形”，安排在“平面向量”一章中，作為平面向量的一個單元。而在新課程《標準》中重新進行了整合，將其安排在必修模塊數學5中，獨立成為一章，與必修模塊數學4中的“平面向量”分別安排在不同的模塊中。

2．教學要求的變化

原大綱對“解斜三角形”的教學要求是：

（1）掌握正弦定理、余弦定理，并能運用它們解斜三角形，能利用計算器解決解斜三角形的計算問題。

（2）通過解三角形的應用的教學，提高運用所學知識解決實際問題的能力。

（3）實習作業(yè)以測量為內容，培養(yǎng)學生應用數學知識解決實際問題的能力和實際操作的能力。《標準》對“解三角形”的教學要求是：

（1）通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。

（2）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。由此可以看出，《標準》在計算方面降低了要求，取消了“利用計算器解決解斜三角形的計算問題”的要求，而在探索推理方面提高了要求，要求“通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。

3、課程關注點的變化

原《大綱》中，解斜三角形內容，比較關注三角形邊角關系的恒等變換，往往把側重點放在運算上。而《標準》則關注運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。側重點放在學生探究和推理能力的培養(yǎng)上。

4、內容處理上的變化

原《大綱》中，解斜三角形作為平面向量知識的應用，突出其工具性和應用性。而《標準》將解三角形作為幾何度量問題來處理，突出幾何的作用，為學生理解數學中的量化思想、進一步學習數學奠定基礎。解三角形處理的是三角形中長度、角度、面積的度量問題，長度、面積是理解積分的基礎，角度是刻畫方向的，長度、方向是向量的特征，有了長度、方向，向量的工具自然就有用武之地。

二、教學中應注意的幾個問題及教學建議

原《大綱》中解斜三角形的內容，比較關注三角形邊角關系的恒等變換，往往把側重點放在運算上。而《標準》將解三角形作為幾何度量問題來展開，強調學生在已有知識的基礎上，通過對任意三角形邊角關系的探究，發(fā)現(xiàn)并掌握三角形中的邊長與角度之間的數量關系，解決簡單的三角形度量問題。這就要求在教學過程中，突出幾何的作用和數學量化思想，發(fā)揮學生學習的主動性，使學生的學習過程成為在教師引導下的探究過程、再創(chuàng)造過程。因此在教學中應注意以下幾個問題。

1．要重視探究和推理

《標準》要求“通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理、余弦定理”。因此建議在教學中，既要重視從特殊到一般的探索學習過程的教學，又要重視數學的理性思維的培養(yǎng)。教學中不要直接給出定理進行證明，可通過學生對三角形邊與角的正弦的測量與計算，研究邊與其對角的正弦之間的比，揭示它們在數量上的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)正弦定理的結論，然后再從理論上進行論證，從而掌握正弦定理。從中體會發(fā)現(xiàn)和探索數學知識的思想方法。

參考案例：正弦定理的探索、發(fā)現(xiàn)與證明

教學建議：建議按如下步驟設計教學過程：

(1)從特殊三角形入手進行發(fā)現(xiàn)

讓學生觀察并測量一個三角板的邊長。

提出問題：你能發(fā)現(xiàn)三邊長與其對角的正弦值之比之間的關系嗎？

例如，量得三角板三內角300，600，900所對的三邊長分別約為5cm，8.6cm，10cm，58.610，?10?10?10 000

sin30sin60sin90

abc

對于特殊三角形，我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律：。??

sinAsinBsinC

則有：

提出問題：上述規(guī)律，對任意三角形成立嗎？(2)實驗，探索規(guī)律

二人合作，先在紙上做一任意銳角（銳角或鈍角）三角形，測量三邊長及其三個對角，然后用計算器計算每一邊與其對角正弦值的比，填入下面表中，驗證前面得出的結論是否正確。（其中，角精確到分，忽略測量誤差，通過實驗，對任意三角形，有結論：

abc，即在一個三角形中，??

sinAsinBsinC

各邊和它所對的角的正弦的比相等。

提出問題：上述的探索過程所得出的結論，只是我們通過實驗(近似結果)發(fā)現(xiàn)的一個結果，如果我們能在理論上證明它是正確的，則把它叫做正弦定理。那么怎樣證明呢？

(4)研究定理證明的方法方法一：（向量法）①若△ABC為直角三角形，由銳角三角函數的定義知，定理顯然成立。②若△ABC為銳角三角形，過點A做單位向量j垂直于AC，則向量j與向量的夾角為900-A，向

量j

與向量CB的夾角為900-C，（如圖1），且有：AC?CB?AB，所以j·(+)= j·即j·+ j· = j·AB 展開|j||AC|cos900+ | j||CB|cos(900-C)=| j|||cos(900-A)

ac

。?

sinAsinC

cbabc

同理，過點C做單位向量j垂直于,可得：，故有。???

sinCsinBsinAsinBsinC

③若△ABC為鈍角三角形，不妨設角A>900（如圖2），過點A做單位向量j垂直于AC，則向量j與

則得 a sinC = c sinA，即

向量AB的夾角為A-900，向量j與向量的夾角為900-C，且有：??，同樣可證得：

abc

。??

sinAsinB

提出問題：你還能利用其他方法證明嗎？

方法二：請同學們課后自己利用平面幾何中圓內接三角形（銳角，鈍角和直角）及同弧所對的圓周角相等等知識，將△ABC中的邊角關系轉化為以直徑為斜邊的直角三角形中去探討證明方法。

2．要重視綜合應用

《標準》要求掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題。建議在正弦定理、余弦定理的教學中，設計一些關于正弦定理、余弦定理的綜合性問題，提高學生綜合應用知識解決問題的能力。如可設計下面的問題進行教學：

參考案例：正弦定理、余弦定理的綜合應用 C 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD?CD，AD=10，AB=14，?BDA=60?，?BCD=135?.求BC的長.教學建議：

引導學生進行分析，欲求BC，需在△BCD中求解，∵?BCD=135?，?BDC=30?，∴需要求BD，而BD需在△ABD中求解.再引導學生將

A B

四邊形問題轉化為三角形問題，選擇余弦定理求BD，再由正弦定理

例2圖 求BC。

3．要重視實際應用

《標準》要求運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題。因此建議在教學中，設計一些實際應用問題，為學生體驗數學在解決問題中的作用，感受數學與日常生活及與其他學科的聯(lián)系，培養(yǎng)學生的數學應用意識，提高學生解決實際問題的能力。在題目的設計中要注意對恒等變形降低要求，避免技巧性強的變形和繁瑣的運算。

參考案例：解三角形在實際中的應用

參考案例1．航海中甲船在A處發(fā)現(xiàn)乙船在北偏東45?，與A的距離為10海里的C處正以20海里/h的速度向南偏東75?的方向航行，已知甲船速度是203海里/h，問甲船沿什么方向，用多少時間才能與

乙船相遇？

教學建議：引導學生依據題意畫出示意圖，將實際問題轉化為解三角形問題。若設甲船與乙船經過t小時在B處相遇，構建?ACB，容易計算出AB?20海里,BC?20海里，根據余弦定理建立關于t的方程，求出t，問題就解決了。

答: 甲船沿北偏東75?的方向，經過0.5小時與乙船相遇.參考案例2．為了測量某城市電視塔的高度，在一條直道上選 擇了A，B，C三點，使AB?BC?60m，在A，B，C三點

?

?

?

例1圖 DA 觀察塔的最高點，測得仰角分別為45，54.2，60，若測量 E

者的身高為1.5m，試求電視塔的高度(結果保留1位小數).F 教學建議：引導學生依據題意畫出示意圖如圖，將實際問題轉化為

解三角形問題。要求電視塔的高度。只要求出DE的長。將問題中的已

知量、未知量集中到有關三角形中，構造出解三角形的數學模型。在例2圖 ?ACE中和?BCE中應用余弦定理，使問題獲得解決.答: 電視塔的高度約為158.3m.4．要重視研究性學習

解三角形的內容有較強的應用性和研究性，可為學生提供豐富的研究性素材。建議在教學內容的設計上探索開放，在教學形式上靈活多樣。可設計一些研究性、開放性的問題，讓學生自行探索解決。參考案例：研究性學習

課外研究題：將一塊圓心角為120?，半徑為20厘米的扇形鐵片裁成一塊矩形，請你設計裁法，使裁得矩形的面積最大?并說明理由．

教學建議：這是一個研究性學習內容，可讓學生在課外兩人一組合作完成，寫成研究報告，在習題課上讓學生交流研究結果，老師可適當進行點評。

參考答案：這是一個如何下料的問題，一般有如圖（1）、圖（2）的兩種裁法：即讓矩形一邊在扇形的一條半徑OA上，或讓矩形一邊與弦AB

平行。從圖形的特點來看，涉及到線段的長度和角度，將

這些量放置在三角形中，通過解三角形求出矩形的邊長，再計算出兩種方案所得矩形的最大面積，加以比較，就可以得出問題的結論．

NBB

PO圖（2）

QM

O圖（1）

按圖（1）的裁法:矩形的一邊OP在OA上，頂點M在圓弧上，設?MOA??，則：

時，Smax?200．

4按圖（2）的裁法: 矩形一邊PQ與弦AB平行，設?MOQ??，在?MOQ中，?OQM?90??30??120?，由正弦定理，得：

sin120?

又?MN?2OMsin(60???)?40sin(60???)，MQ?

20sin?

?

3sin?． 3

MP?20sin?,OP?20cos?，從而S?400sin?cos??200sin2?．即當??

?

∴S?MQ?MN?

sin?sin(60???)?cos(2??60?)?cos60?． 33

??

∴當??30?時，Smax?由于

400． 3

400平方厘米． ?200，所以用第二中裁法可裁得面積最大的矩形，最大面積為33

也可以建議學生在課外自行尋找研究性、應用性的題目去做，寫出研究或實驗報告，在學校開設的研究性學習課上進行交流，評價。

參考文獻：

①全日制普通高中級學《數學教學大綱》。人民教育出版社。2002年4 月。

②《普通高中數學課程標準（實驗））》。人民教育出版社。2003年4月第一次印刷。③《普通高中數學課程標準（實驗）解讀》。嚴士健 張奠宙王尚志等主編。江蘇教育出版社。2004年4月。

第三篇：原創(chuàng)正弦定理證明

1．直角三角形中：sinA=，sinB=，sinC=1

即c=

∴abc，c=，c=．sinAsinBsinCacbcabc== sinAsinBsinC

2．斜三角形中

證明一：（等積法）在任意斜△ABC當中

S△ABC=absinC?acsinB?bcsinA

兩邊同除以abc即得：

證明二：（外接圓法）

如圖所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴aa??CD?2R sinAsinD

bc=2R，＝2R sinBsinC12121212abc== sinAsinBsinC

同理

證明三：（向量法）

?????過A作單位向量j垂直于AC

????????????由 AC+CB=AB

???????????????兩邊同乘以單位向量j 得 j?(AC+CB)=j?AB 則?+?=?

???????????????∴|j|?|AC|cos90?+|j|?|CB|cos(90??C)=| j|?|AB|cos(90??A)

∴asinC?csinA∴ac= sinAsinC

?????cbabc同理，若過C作j垂直于CB得： =∴== sinCsinBsinAsinBsinC

正弦定理的應用 從理論上正弦定理可解決兩類問題：

1．兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；

2已知a, b和A, 用正弦定理求B時的各種情況

:

⑴若A為銳角時: ?a?bsinA無解??a?bsinA一解(直角)

??bsinA?a?b二解(一銳, 一鈍)?a?b一解(銳角)?

已知邊a,b和?A

a

無解a=CH=bsinA僅有一個解

CH=bsinA

?a?b無解⑵若A為直角或鈍角時:? ?a?b一解(銳角)

第四篇：數學定理證明

一．基本定理： 1．（極限或連續(xù)）局部保號性定理（進而證明保序性定理）2．局部有界性定理． 3．拉格朗日中值定理．

4．可微的一元函數取得極值的必要條件． 5．可積函數的變上限積分函數的連續(xù)性． 6．牛頓——萊布尼茨公式．

7．多元函數可微的必要條件（連續(xù)，可導）． 8．可微的二元函數取得極值的必要條件． 9．格林定理．

10．正項級數收斂的充要條件：其部分和數列有界． 11．冪級數絕對收斂性的阿貝爾定理． 12．（數學三、四）利潤取得最大值的必要條件是邊際成本與邊際收入相等． 二．基本方法：

1．等價無窮小替換：若x?a時，有?(x)~?(x)，試證明lim?(x)f(x)?lim?(x)f(x)。

x?a

x?a

2．微元法：若f(x)是區(qū)間[a,b]（a?0）上非負連續(xù)函數，試證明曲邊梯形D??(x,y)a?x?b,0?y?f(x)? 繞 軸旋轉，所得的體積為V?2?

?

ba

xf(x)dx。

3．常數變易法：若P(x)和Q(x)是連續(xù)函數，試證明微分方程y??P(x)y?Q(x)的通解為

?P(x)dx?y?e?C?

??

?

?Q(x)e

P(x)dx

?dx。??

三．一些反例也是很重要的：

1．函數的導函數不一定是連續(xù)函數。反例是：函數點不連續(xù)。

2．f?(a)?0，但不一定存在x?a點某個鄰域使函數f(x)在該鄰域內單調增加。反例是：函數

1?

?x?100x2sin,f(x)??x

?0,?

x?0, x?0,1?2

?xsin,f(x)??x

?0,?

x?0,在x?0點可導，但f?(x)x?0,在x?0

3．多元函數可（偏）導點處不一定連續(xù)。反例是：函數

xy?,?2

f(x,y)??x?y2

?0,?

(x,y)?(0,0),(x,y)?(0,0),4．多元函數在不可（偏）導點處，方向導數不一定不存在。反例是：函數 f(x,y)?處兩個一階偏導數都不存在，但是函數在在(0,0)點處沿任一方向的方向導數都存在。

an?1an

?

x?y

在(0,0)點

?

5．?1，既不是正項級數?an收斂的充分條件，也不是它收斂的必要條件。反例一，正項級數?

n?1

n?1

?

n

1n

滿

足

an?1an

?1但不收斂。反例二，正項級數?

n?1

5?3(?1)

n

不滿足

an?1an

?a2n?

?，但是它是收斂的。?2?1?1? ?a?

?2n?1?

第五篇：幾何證明定理

幾何證明定理

一.直線與平面平行的(判定)

1.判定定理.平面外一條直線如果平行于平面內的一條直線,那么這條直線與這個平面平行.2.應用:反證法(證明直線不平行于平面)

二.平面與平面平行的(判定)

1.判定定理:一個平面上兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行

2.關鍵：判定兩個平面是否有公共點

三.直線與平面平行的(性質)

1.性質：一條直線與一個平面平行，則過該直線的任一與此平面的交線與該直線平行2.應用：過這條直線做一個平面與已知平面相交，那么交線平行于這條直線

四.平面與平面平行的(性質)

1.性質：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么他們的交線平行

2.應用：通過做與兩個平行平面都相交的平面得到交線，實現(xiàn)線線平行

五：直線與平面垂直的(定理)

1.判定定理：一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直

2.應用：如果一條直線與一個平面垂直，那么這條直線垂直于這個平面內所有的直線(線面垂直→線線垂直)

六.平面與平面的垂直(定理)

1.一個平面過另一個平面的垂線,則這兩個平面垂直

(或者做二面角判定)

2.應用:在其中一個平面內找到或做出另一個平面的垂線,即實現(xiàn)線面垂直證面面垂直的轉換

七.平面與平面垂直的(性質)

1.性質一:垂直于同一個平面的兩條垂線平行

2.性質二:如果兩個平面垂直,則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直

3.性質三:如果兩個平面互相垂直,那么經過第一個平面內的一點垂直于第二個平面內的直線,在第一個平面內(性質三沒什么用,可以不用記)

以上,是立體幾何的定理和性質整理.是一定要記住的基本！

31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊

32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和高互相重合33推論3等邊三角形的各角都相等，并且每一個角都等于60°34等腰三角形的判定定理如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊)

35推論1三個角都相等的三角形是等邊三角形

36推論2有一個角等于60°的等腰三角形是等邊三角形

37在直角三角形中，如果一個銳角等于30°那么它所對的直角邊等于斜邊的一半

38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半

39定理線段垂直平分線上的點和這條線段兩個端點的距離相等

40逆定理和一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上

41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點距離相等的所有點的集合42定理1關于某條直線對稱的兩個圖形是全等形

43定理2如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對應點連線的垂直平分線

44定理3兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上

45逆定理如果兩個圖形的對應點連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱

46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方，即a+b=c

47勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a、b、c有關系a+b=c，那么這個三角形是直角三角形

48定理四邊形的內角和等于360°

49四邊形的外角和等于360°

50多邊形內角和定理n邊形的內角的和等于(n-2)×180°

51推論任意多邊的外角和等于360°

52平行四邊形性質定理1平行四邊形的對角相等

53平行四邊形性質定理2平行四邊形的對邊相等

54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等

55平行四邊形性質定理3平行四邊形的對角線互相平分

56平行四邊形判定定理1兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形

57平行四邊形判定定理2兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形

58平行四邊形判定定理3對角線互相平分的四邊形是平行四邊形

59平行四邊形判定定理4一組對邊平行相等的四邊形是平行四邊形

60矩形性質定理1矩形的四個角都是直角

61矩形性質定理2矩形的對角線相等

62矩形判定定理1有三個角是直角的四邊形是矩形。