第一篇：認識平面幾何的61個著名定理

【認識平面幾何的61個著名定理，自行畫出圖形來學習，★部分要求證明出來】

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1、勾股定理（畢達哥拉斯定理）

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2、射影定理（歐幾里得定理）

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3、三角形的三條中線交于一點，并且，各中線被這個點分成2：1的兩部分

4、四邊形兩邊中心的連線和兩條對角線中心的連線交于一點

5、間隔的連接六邊形的邊的中心所作出的兩個三角形的重心是重合的。

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6、三角形各邊的垂直平分線交于一點。

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7、從三角形的各頂點向其對邊所作的三條垂線交于一點

8、設三角形ABC的外心為O，垂心為H，從O向BC邊引垂線，設垂足不L，則AH=2OL

9、三角形的外心，垂心，重心在同一條直線上。

10、（九點圓或歐拉圓或費爾巴赫圓）三角形中，三邊中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上，11、歐拉定理：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上

12、庫立奇大上定理：（圓內接四邊形的九點圓）圓周上有四點，過其中任三點作三角形，這四個三角形的九點圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓內接四邊形的九點圓。

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13、（內心）三角形的三條內角平分線交于一點，內切圓的半徑公式：

r??s?a??s?b??s?c?，s為三角形周長的一半

s

★

14、（旁心）三角形的一個內角平分線和另外兩個頂點處的外角平分線交于一點

15、中線定理：（巴布斯定理）設三角形ABC的邊BC的中點為P，則有AB2+AC2=2(AP2+BP2)

16、斯圖爾特定理：P將三角形ABC的邊BC分成m和n兩段，則有n×AB2+m×AC2=BC×（AP2+mn）

17、波羅摩及多定理：圓內接四邊形ABCD的對角線互相垂直時，連接AB中點M和對角線交點E的直線垂直于CD

18、阿波羅尼斯定理：到兩定點A、B的距離之比為定比m:n（值不為1）的點P，位于將線段AB分成m:n的內分點C和外分點D為直徑兩端點的定圓周上

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19、托勒密定理：設四邊形ABCD內接于圓，則有AB×CD+AD×BC=AC×BD

★20、以任意三角形ABC的邊BC、CA、AB為底邊，分別向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，則△DEF是正三角形，21、愛爾可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，則由線段AD、BE、CF的重心構成的三角形也是正三角形。

22、愛爾可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，則由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心構成的三角形是正三角形。

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23、梅涅勞斯定理：設△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經過它們任一頂點的直線的交點分別為P、Q、R則有 BP/PC×CQ/QA×AR/RB=1

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24、梅涅勞斯定理的逆定理：（略）

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25、梅涅勞斯定理的應用定理1：設△ABC的∠A的外角平分線交邊CA于Q、∠C的平分線交邊AB于R，、∠B的平分線交邊CA于Q，則P、Q、R三點共線。

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26、梅涅勞斯定理的應用定理2：過任意△ABC的三個頂點A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交于點P、Q、R，則P、Q、R三點共線

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27、塞瓦定理：設△ABC的三個頂點A、B、C的不在三角形的邊或它們的延長線上的一點S連接面成的三條直線，分別與邊BC、CA、AB或它們的延長線交于點P、Q、R，則BP/PC×CQ/QA×AR/RB=1.★

28、塞瓦定理的應用定理：設平行于△ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點分別是D、E，又設BE和CD交于S，則AS一定過邊BC的中心M

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29、塞瓦定理的逆定理：（略）

★30、塞瓦定理的逆定理的應用定理1：三角形的三條中線交于一點

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31、塞瓦定理的逆定理的應用定理2：設△ABC的內切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點R、S、T，則AR、BS、CT交于一點。

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32、西摩松定理：從△ABC的外接圓上任意一點P向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線，設其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，（這條直線叫西摩松線）

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33、西摩松定理的逆定理：（略）

34、史坦納定理：設△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點P，這時關于△ABC的點P的西摩松線通過線段PH的中心。

35、史坦納定理的應用定理：△ABC的外接圓上的一點P的關于邊BC、CA、AB的對稱點和△ABC的垂心H同在一條（與西摩松線平行的）直線上。這條直線被叫做點P關于△ABC的鏡象線。

36、波朗杰、騰下定理：設△ABC的外接圓上的三點為P、Q、R，則P、Q、R關于△ABC交于一點的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=360°的倍數

37、波朗杰、騰下定理推論1：設P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點，若P、Q、R關于△ABC的西摩松線交于一點，則A、B、C三點關于△PQR的的西摩松線交于與前相同的一點

38、波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點是A、B、C、P、Q、R六點任取三點所作的三角形的垂心和其余三點所作的三角形的垂心的連線段的中點。

39、波朗杰、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點P的關于△ABC的西摩松線，如設QR為垂直于這條西摩松線該外接圓珠筆的弦，則三點P、Q、R的關于△ABC的西摩松線交于一點

40、波朗杰、騰下定理推論4：從△ABC的頂點向邊BC、CA、AB引垂線，設垂足分別是D、E、F，且設邊BC、CA、AB的中點分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點在同一個圓上，這時L、M、N點關于關于△ABC的西摩松線交于一點。

41、關于西摩松線的定理1：△ABC的外接圓的兩個端點P、Q關于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點在九點圓上。

42、關于西摩松線的定理2（安寧定理）：在一個圓周上有4點，以其中任三點作三角形，再作其余一點的關于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點。

43、卡諾定理：通過△ABC的外接圓的一點P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線。

44、奧倍爾定理：通過△ABC的三個頂點引互相平行的三條直線，設它們與△ABC的外接圓的交點分別是L、M、N，在△ABC的外接圓取一點P，則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線。

45、清宮定理：設P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點，P點的關于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線。

46、他拿定理：設P、Q為關于△ABC的外接圓的一對反點，點P的關于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，如果QU、QV、QW與邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別為ED、E、F，則D、E、F三點共線。（反點：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點，如果OC2=OQ×OP 則稱P、Q兩點關于圓O互為反點）

47、朗古來定理：在同一圓同上有A1B1C1D14點，以其中任三點作三角形，在圓周取一點P，作P點的關于這4個三角形的西摩松線，再從P向這4條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直線上。

48、從三角形各邊的中點，向這條邊所的頂點處的外接圓的切線引垂線，這些垂線交于該三角形的九點圓的圓心。

49、一個圓周上有n個點，從其中任意n-1個點的重心，向該圓周的在其余一點處的切線所引的垂線都交于一點。

50、康托爾定理1：一個圓周上有n個點，從其中任意n-2個點的重心向余下兩點的連線所引的垂線共點。

51、康托爾定理2：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N兩點，則M和N點關于四個三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個的兩條西摩松的交點在同一直線上。這條直線叫做M、N兩點關于四邊形ABCD的康托爾線。

52、康托爾定理3：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N、L三點，則M、N兩點的關于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點的關于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點的關于四邊形ABCD的康托爾線交于一點。這個點叫做M、N、L三點關于四邊形ABCD的康托爾點。

53、康托爾定理4：一個圓周上有A、B、C、D、E五點及M、N、L三點，則M、N、L三點關于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個康托爾點在一條直線上。這條直線叫做M、N、L三點關于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線。

54、費爾巴赫定理：三角形的九點圓與內切圓和旁切圓相切。

55、莫利定理：將三角形的三個內角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形。

56、牛頓定理1：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三條共線。這條直線叫做這個四邊形的牛頓線。

57、牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線。

58、笛沙格定理1：平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線。

59、笛沙格定理2：相異平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線。

60、布利安松定理：連結外切于圓的六邊形ABCDEF相對的頂點A和D、B和E、C和F，則這三線共點。

61、巴斯加定理：圓內接六邊形ABCDEF相對的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或延長線的）交點共線。

第二篇：高中平面幾何定理

（高中）平面幾何基礎知識（基本定理、基本性質）

1． 勾股定理（畢達哥拉斯定理）（廣義勾股定理）(1)銳角對邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去

這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍．(2)鈍角對邊的平方等于其他兩邊的平方和，加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍．

2． 射影定理（歐幾里得定理）

3． 中線定理（巴布斯定理）設△ABC的邊BC的中點為P，則有AB2?AC2?2(AP2?BP2)； 中線長：ma?2b?2c?a2222．

4． 垂線定理：AB?CD?AC2?AD2?BC2?BD2． 高線長：ha?2ap(p?a)(p?b)(p?c)?bc

asinA?csinB?bsinC．

5． 角平分線定理：三角形一個角的平分線分對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例．

如△ABC中，AD平分∠BAC，則BD

DC?AB

AC；（外角平分線定理）． cosA

2角平分線長：ta?

6． 正弦定理：a

sinA?2b?cb

sinB(p?a)?csinC2bcb?c（其中p為周長一半）． ??2R，（其中R為三角形外接圓半徑）．

7． 余弦定理：c2?a2?b2?2abcosC．

8． 張角定理：sin?BAC

AD? sin?BAD

AC?sin?DAC

AB．

9． 斯特瓦爾特(Stewart)定理：設已知△ABC及其底邊上B、C兩點間的一點D，則有AB2·DC+AC2·BD

－AD2·BC＝BC·DC·BD．

10． 圓周角定理：同弧所對的圓周角相等，等于圓心角的一半．（圓外角如何轉化？）

11．12．

13． 弦切角定理：弦切角等于夾弧所對的圓周角． 圓冪定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線定理（割線定理）：切線長定理：）布拉美古塔（Brahmagupta）定理： 在圓內接四邊形ABCD中，AC⊥BD，自對角線的交點P向

一邊作垂線，其延長線必平分對邊．

2214． 點到圓的冪：設P為⊙O所在平面上任意一點，PO=d，⊙O的半徑為r，則d－r就是點P對

于⊙O的冪．過P任作一直線與⊙O交于點A、B，則PA·PB= |d－r|．“到兩圓等冪的點的軌跡是與此二圓的連心線垂直的一條直線，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線”這個結論．這條直線稱為兩圓的“根軸”．三個圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點，這一點稱為三圓的“根心”．三個圓的根心對于三個圓等冪．當三個圓兩兩相交時，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線交于一點．

15． 托勒密（Ptolemy）定理：圓內接四邊形對角線之積等于兩組對邊乘積之和，即2

2AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命題成立)．（廣義托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．

16． 蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中點，弦CD、EF經過點M，CF、DE交AB于P、Q，求證：MP=QM．

17． 費馬點：定理1等邊三角形外接圓上一點，到該三角形較近兩頂點距離之和等于到另一頂點的距離；不在等邊三角形外接圓上的點，到該三角形兩頂點距離之和大于到另一點的距離．定理2 三角形每一內角都小于120°時，在三角形內必存在一點，它對三條邊所張的角都是120°，該點到三頂點距離和達到最小，稱為“費馬點”，當三角形有一內角不小于120°時，此角的頂點即為費馬

點．

18． 拿破侖三角形：在任意△ABC的外側，分別作等邊△ABD、△BCE、△CAF，則AE、AB、CD三線

共點，并且AE＝BF＝CD，這個命題稱為拿破侖定理．以△ABC的三條邊分別向外作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C1、⊙A1、⊙B1的圓心構成的△——外拿破侖的三角形，⊙C1、⊙A1、⊙B1三圓共點，外拿破侖三角形是一個等邊三角形；△ABC的三條邊分別向△ABC的內側作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C2、⊙A2、⊙B2的圓心構成的△——內拿破侖三角形，⊙C2、⊙A2、⊙B2三圓共點，內拿破侖三角形也是一個等邊三角形．這兩個拿破侖三角形還具有相同的中心．

19． 九點圓（Nine point round或歐拉圓或費爾巴赫圓）：三角形中，三邊中心、從各頂點向其對

邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上，九點圓具有許多有趣的性質,例如:

（1）三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半;

（2）九點圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點;

（3）三角形的九點圓與三角形的內切圓,三個旁切圓均相切〔費爾巴哈定理〕． 20． 歐拉（Euler）線：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線（歐拉線）上． 21． 歐拉（Euler）公式：設三角形的外接圓半徑為R，內切圓半徑為r，外心與內心的距離為d，則d2=R2－2Rr． 22． 23．

G（銳角三角形的外接圓半徑與內切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和．

重心：三角形的三條中線交于一點，并且各中線被這個點分成2：1的兩部分；

xA?xB?xC,yA?yB?yC)

重心性質：（1）設G為△ABC的重心，連結AG并延長交BC于D，則D為BC的中點，則AG:GD?2:1；

（2）設G為△ABC的重心，則S?ABG?S?BCG?S?ACG?

交

DEBC

3S?ABC；

（3）設G為△ABC的重心，過G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，過G作PF∥AC交AB于P，BC

?FPCA

于

?

F，過

KHAB

?

G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，則

2DEFPKH

;???2； 3BCCAAB

（4）設G為△ABC的重心，則

①BC2?3GA2?CA2?3GB2?AB2?3GC2； ②GA2?GB

?GC

?

(AB

?BC

?CA)；

③PA2?PB2?PC2?GA2?GB2?GC2?3PG2（P為△ABC內任意一點）；

④到三角形三頂點距離的平方和最小的點是重心，即GA2?GB2?GC2最小；

⑤三角形內到三邊距離之積最大的點是重心；反之亦然（即滿足上述條件之一，則G為△ABC的重心）．

24．垂

aH（cosA

心

xA?

b

：

xB?

三

c

角

xC,形

acosA的yA?

b

三

yB?

條

c

高

yC)

線的交點；

cosBcosC

abc

??

cosAcosBcosCcosBcosC

abc

??

cosAcosBcosC

垂心性質：（1）三角形任一頂點到垂心的距離，等于外心到對邊的距離的2倍；

（2）垂心H關于△ABC的三邊的對稱點，均在△ABC的外接圓上；

（3）△ABC的垂心為H，則△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓；（4）設O，H分別為△ABC的外心和垂心，則?BAO??HAC,?CBO??ABH,?BCO??HCA．

25．內心：三角形的三條角分線的交點—內接圓圓心，即內心到三角形各邊距離相等；

I（axA?bxB?cxC

a?b?c,ayA?byB?cyC

a?b?c)

內心性質：（1）設I為△ABC的內心，則I到△ABC三邊的距離相等，反之亦然；（2）設I為△ABC的內心，則?BIC?90??

2?A,?AIC?90??

?B,?AIB?90??

?C；

（3）三角形一內角平分線與其外接圓的交點到另兩頂點的距離與到內心的距離相等；反之，若?A平分線交△ABC外接圓于點K，I為線段AK上的點且滿足KI=KB，則I為△ABC的內心；（4）設I為△ABC的內心，BC?a,AC?b,AB?c, ?A平分線交BC于D，交△ABC外接圓于點K，則

AIID?AKKI

?IKKD

?b?ca；

（5）設I為△ABC的內心，BC?a,AC?b,AB?c,I在BC,AC,AB上的射影分別為D,E,F，內切圓

半

徑

為

r，令

p?

(a?b?c)，則①

S?ABC?pr

；②

AE?AF?p?a;BD?BF?p?b;CE?CD?p?c；③abcr?p?AI?BI?CI．

26． 外心：三角形的三條中垂線的交點——外接圓圓心，即外心到三角形各頂點距離相等；

O（sin2AxA?sin2BxB?sin2CxC

sin2A?sin2B?sin2C,sin2Ay

A

?sin2ByB?sin2CyC

sin2A?sin2B?sin2C)

外心性質：（1）外心到三角形各頂點距離相等；

（2）設O為△ABC的外心，則?BOC?2?A或?BOC?360??2?A；（3）R

和． 27．

旁心：一內角平分線與兩外角平分線交點——旁切圓圓心；設△ABC的三邊

(a?b?c)，分別與BC,AC,AB外側相切的旁切圓圓心記為

?

abc4S?

；（4）銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內切圓與外接圓半徑之

BC?a,AC?b,AB?c,令p?

IA,IB,IC，其半徑分別記為rA,rB,rC．

旁心性質：（1）?BIAC?90??（2）?IAIBIC?

?A,?BIBC??BICC?

?A,（對于頂角B，C也有類似的式子）；

(?A??C)；

（3）設AIA的連線交△ABC的外接圓于D，則DI

A

； ?DB?DC（對于BIB,CIC有同樣的結論）

（4）△ABC是△IAIBIC的垂足三角形，且△IAIBIC的外接圓半徑R'等于△ABC的直徑為2R． 28． 三角形面積公式

S?ABC?

12aha?

absinC?

a4R

c2b

?2RsinAsinBsinC?

a4（：

?b

?c

oC)o

o

tt

t

A?ccB?c

?pr?

p(p?a)(p?b)(p?c)，其中ha表示BC邊上的高，R為外接圓半徑，r為內切圓半徑，p?

(a?b?c)．

29． 三角形中內切圓，旁切圓和外接圓半徑的相互關系：

A2

rtan

B2tan

C2

r?4Rsinsin

B2

sin

C2

;ra?4Rsin

rtan

A2tan

C2

A2

cos

B2

cos

r

C2,rb?4Rcos

;1ra

?1rb

?

A2

sin

?

B2

1r.cos

C2,rc?4Rcos

A2

cos

B2

sin

C2

;

r

a

?,rb?,rc?

tan

1rc

A2

tan

B2

30． 梅涅勞斯（Menelaus）定理：設△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經過它們任一

BPPC

?CQQA

?ARRB

?1．（逆定理也成立）

頂點的直線的交點分別為P、Q、R則有

31． 梅涅勞斯定理的應用定理1：設△ABC的∠A的外角平分線交邊CA于Q，∠C的平分線交邊AB

于R，∠B的平分線交邊CA于Q，則P、Q、R三點共線． 32． 33．

梅涅勞斯定理的應用定理2：過任意△ABC的三個頂點A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交于點P、Q、R，則P、Q、R三點共線．

塞瓦(Ceva)定理：設X、Y、Z分別為△ABC的邊BC、CA、AB上的一點，則AX、BY、CZ所在直

AZBXCY

·．

ZBXCYA

34． 塞瓦定理的應用定理：設平行于△ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點分別是D、E，又設

BE和CD交于S，則AS一定過邊BC的中點M．

線交于一點的充要條件是35．

塞瓦定理的逆定理：（略）

36． 塞瓦定理的逆定理的應用定理1：三角形的三條中線交于一點，三角形的三條高線交于一點，三角形的三條角分線交于一點． 37．

塞瓦定理的逆定理的應用定理2：設△ABC的內切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點R、S、T，則AR、BS、CT交于一點．38． 西摩松（Simson）定理：從△ABC的外接圓上任意一點P向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線，設其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，（這條直線叫西摩松線Simson line）． 39． 西摩松定理的逆定理：（略）40．

關于西摩松線的定理1：△ABC的外接圓的兩個端點P、Q關于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點在九點圓上．

41． 關于西摩松線的定理2（安寧定理）：在一個圓周上有4點，以其中任三點作三角形，再作其

余一點的關于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點． 42． 史坦納定理：設△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點P，這時關于△ABC的點P的西摩松線通

過線段PH的中心． 43．

史坦納定理的應用定理：△ABC的外接圓上的一點P的關于邊BC、CA、AB的對稱點和△ABC的垂心H同在一條（與西摩松線平行的）直線上．這條直線被叫做點P關于△ABC的鏡象線． 44． 牛頓定理1：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三點共

線．這條直線叫做這個四邊形的牛頓線．45． 46．

牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線．

笛沙格定理1：平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點（A和D、B和E、C和

F）的連線交于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線． 47． 笛沙格定理2：相異平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點（A和D、B和E、C和F）的連線交于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線． 48． 波朗杰、騰下定理：設△ABC的外接圓上的三點為P、Q、R，則P、Q、R關于△ABC交于一點的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2?)．49． 波朗杰、騰下定理推論1：設P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點，若P、Q、R關于△ABC的西摩松線交于一點，則A、B、C三點關于△PQR的的西摩松線交于與前相同的一點． 50． 波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點是A、B、C、P、Q、R六點任取

三點所作的三角形的垂心和其余三點所作的三角形的垂心的連線段的中點． 51． 波朗杰、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點P的關于△ABC的西摩松線，如設QR

為垂直于這條西摩松線該外接圓的弦，則三點P、Q、R的關于△ABC的西摩松線交于一點． 52．

波朗杰、騰下定理推論4：從△ABC的頂點向邊BC、CA、AB引垂線，設垂足分別是D、E、F，且設邊BC、CA、AB的中點分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點在同一個圓上，這時L、M、N點關于關于△ABC的西摩松線交于一點．

53． 卡諾定理：通過△ABC的外接圓的一點P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線． 54．

奧倍爾定理：通過△ABC的三個頂點引互相平行的三條直線，設它們與△ABC的外接圓的交點分別是L、M、N，在△ABC的外接圓上取一點P，則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線．

55． 清宮定理：設P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點，P點的關于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則

D、E、F三點共線． 56． 他拿定理：設P、Q為關于△ABC的外接圓的一對反點，點P的關于三邊BC、CA、AB的對稱點

分別是U、V、W，這時，如果QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線．（反點：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點，如果OC2=OQ×OP 則稱P、Q兩點關于圓O互為反點）57． 朗古來定理：在同一圓周上有A1、B1、C1、D1四點，以其中任三點作三角形，在圓周取一點P，作P點的關于這4個三角形的西摩松線，再從P向這4條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直

線上．58．

從三角形各邊的中點，向這條邊所對的頂點處的外接圓的切線引垂線，這些垂線交于該三角形的九點圓的圓心．

59． 一個圓周上有n個點，從其中任意n－1個點的重心，向該圓周的在其余一點處的切線所引的垂線都交于一點． 60． 康托爾定理1：一個圓周上有n個點，從其中任意n－2個點的重心向余下兩點的連線所引的垂線共點． 61．

康托爾定理2：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N兩點，則M和N點關于四個三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個的兩條西摩松線的交點在同一直線上．這條直線叫做M、N兩點關于四邊形ABCD的康托爾線． 62． 康托爾定理3：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N、L三點，則M、N兩點的關于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點的關于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點的關于四邊形ABCD的康托爾線

交于一點．這個點叫做M、N、L三點關于四邊形ABCD的康托爾點．

63． 康托爾定理4：一個圓周上有A、B、C、D、E五點及M、N、L三點，則M、N、L三點關于四邊

形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個康托爾點在一條直線上．這條直線叫做M、N、L三點關于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線． 64． 65．

費爾巴赫定理：三角形的九點圓與內切圓和旁切圓相切．

莫利定理：將三角形的三個內角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構成一個正三角形．這個三角形常被稱作莫利正三角形．

66． 布利安松定理：連結外切于圓的六邊形ABCDEF相對的頂點A和D、B和E、C和F，則這三線

共點． 67． 帕斯卡（Paskal）定理：圓內接六邊形ABCDEF相對的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或

延長線的）交點共線． 68． 阿波羅尼斯（Apollonius）定理：到兩定點A、B的距離之比為定比m：n（值不為1）的點P，位于將線段AB分成m：n的內分點C和外分點D為直徑兩端點的定圓周上．這個圓稱為阿波羅尼斯圓． 69． 庫立奇*大上定理：（圓內接四邊形的九點圓）圓周上有四點，過其中任三點作三角形，這四個

三角形的九點圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓內接四邊形的九點圓． 70． 密格爾（Miquel）點： 若AE、AF、ED、FB四條直線相交于A、B、C、D、E、F六點，構成四

個三角形，它們是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，則這四個三角形的外接圓共點，這個點稱為密格爾點． 71． 葛爾剛（Gergonne）點：△ABC的內切圓分別切邊AB、BC、CA于點D、E、F，則AE、BF、CD三線共點，這個點稱為葛爾剛點．72． 歐拉關于垂足三角形的面積公式：O是三角形的外心，M是三角形中的任意一點，過M向三邊

作垂線，三個垂足形成的三角形的面積，其公式： S?DEF

S?ABC

?|R

?d

|

．

4R

第三篇：高中平面幾何60大定理

1、勾股定理(畢達哥拉斯定理)

2、射影定理(歐幾里得定理)

3、三角形的三條中線交于一點，并且，各中線被這個點分成2：1的兩部分

4、四邊形兩邊中心的連線的兩條對角線中心的連線交于一點

5、間隔的連接六邊形的邊的中心所作出的兩個三角形的重心是重合的。

6、三角形各邊的垂直一平分線交于一點。

7、從三角形的各頂點向其對邊所作的三條垂線交于一點

8、設三角形ABC的外心為O，垂心為H，從O向BC邊引垂線，設垂足不L，則AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一條直線上。

10、(九點圓或歐拉圓或費爾巴赫圓)三角形中，三邊中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上，11、歐拉定理：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線(歐拉線)上

12、庫立奇*大上定理：(圓內接四邊形的九點圓)圓周上有四點，過其中任三點作三角形，這四個三角形的九點圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓內接四邊形的九點圓。

13、(內心)三角形的三條內角平分線交于一點，內切圓的半徑公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss為三角形周長的一半

14、(旁心)三角形的一個內角平分線和另外兩個頂點處的外角平分線交于一點

15、中線定理：(巴布斯定理)設三角形ABC的邊BC的中點為P，則有AB2+AC2=2(AP2+BP2)

16、斯圖爾特定理：P將三角形ABC的邊BC內分成m:n，則有

n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnBC17、波羅摩及多定理：圓內接四邊形ABCD的對角線互相垂直時，連接AB中點M和對角線交點E的直線垂直于CD18、阿波羅尼斯定理：到兩定點A、B的距離之比為定比m:n(值不為1)的點P，位于將線段AB分成m:n的內分點C和外分點D為直徑兩端點的定圓周上

19、托勒密定理：設四邊形ABCD內接于圓，則有AB×CD+AD×BC=AC20、以任意三角形ABC的邊BC、CA、AB為底邊，分別向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，則△DEF是正三角形，21、愛爾可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，則由線段AD、BE、CF的重心構成的三角形也是正三角形。

22、愛爾可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，則由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心構成的三角形是正三角形。

23、梅涅勞斯定理：設△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經過它們任一頂點的直線的交點分別為P、Q、R則有 BPPC×CQQA×ARRB=

124、梅涅勞斯定理的逆定理：(略)

27、塞瓦定理：設△ABC的三個頂點A、B、C的不在三角形的邊或它們的延長線上的一點S連接面成的三條直線，分別與邊BC、CA、AB或它們的延長線交于點P、Q、R，則BPPC×CQQA×ARRB()=1.32、西摩松定理：從△ABC的外接圓上任意一點P向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線，設其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，(這條直線叫西摩松線)

34、史坦納定理：設△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點P，這時關于△ABC的點P的西摩松線通過線段PH的中心。

36、波朗杰、騰下定理：設△ABC的外接圓上的三點為P、Q、R，則P、Q、R關于△ABC交于一點的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).不用掌握

37、波朗杰、騰下定理推論1：設P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點，若P、Q、R關于△ABC的西摩松線交于一點，則A、B、C三點關于△PQR的的西摩松線交于與前相同的一點

38、波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點是A、B、C、P、Q、R六點任取三點所作的三角形的垂心和其余三點所作的三角形的垂心的連線段的中點。

39、波朗杰、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點P的關于△ABC的西摩松線，如設QR為垂直于這條西摩松線該外接圓珠筆的弦，則三點P、Q、R的關于△ABC的西摩松線交于一點

40、波朗杰、騰下定理推論4：從△ABC的頂點向邊BC、CA、AB引垂線，設垂足分別是

D、E、F，且設邊BC、CA、AB的中點分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點在同一個圓上，這時L、M、N點關于關于△ABC的西摩松線交于一點。

41、關于西摩松線的定理1：△ABC的外接圓的兩個端點P、Q關于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點在九點圓上。

42、關于西摩松線的定理2(安寧定理)：在一個圓周上有4點，以其中任三點作三角形，再作其余一點的關于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點。

43、卡諾定理：通過△ABC的外接圓的一點P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線。

44、奧倍爾定理：通過△ABC的三個頂點引互相平行的三條直線，設它們與△ABC的外接圓的交點分別是L、M、N，在△ABC的外接圓取一點P，則PL、PM、PN與△ABC的三 邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線

45、清宮定理：設P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點，P點的關于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線

46、他拿定理：設P、Q為關于△ABC的外接圓的一對反點，點P的關于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，如果QU、QV、QW與邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別為ED、E、F，則D、E、F三點共線。(反點：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點，如果OC2=OQ×OP 則稱P、Q兩點關于圓O互為反點)

47、朗古來定理：在同一圓同上有A1B1C1D14點，以其中任三點作三角形，在圓周取一點P，作P點的關于這4個三角形的西摩松線，再從P向這4條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直線上。

48、九點圓定理：三角形三邊的中點,三高的垂足和三個歐拉點[連結三角形各頂點與垂心所得三線段的中點]九點共圓[通常稱這個圓為九點圓[nine-point circle],或歐拉圓,費爾巴哈圓.49、一個圓周上有n個點，從其中任意n-1個點的重心，向該圓周的在其余一點處的切線所引的垂線都交于一點。

50、康托爾定理1：一個圓周上有n個點，從其中任意n-2個點的重心向余下兩點的連線所引的垂線共點。

51、康托爾定理2：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N兩點，則M和N點關于四個三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個的兩條西摩松的交點在同一直線上。這條直線叫做M、N兩點關于四邊形ABCD的康托爾線。

52、康托爾定理3：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N、L三點，則M、N兩點的關于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點的關于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點的關于四邊形ABCD的康托爾線交于一點。這個點叫做M、N、L三點關于四邊形ABCD的康托爾點。

53、康托爾定理4：一個圓周上有A、B、C、D、E五點及M、N、L三點，則M、N、L三點關于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個康托爾點在一條直線上。這條直線叫做M、N、L三點關于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線。

54、費爾巴赫定理：三角形的九點圓與內切圓和旁切圓相切。

55、莫利定理：將三角形的三個內角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形。

56、牛頓定理1：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三條共線。這條直線叫做這個四邊形的牛頓線。

57、牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線。

58、笛沙格定理1：平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線。

59、笛沙格定理2：相異平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線。60、布利安松定理：連結外切于圓的六邊形ABCDEF相對的頂點A和D、B和E、C和F，則這三線共點。

第四篇：初中平面幾何重要定理匯總

初中平面幾何重要定理匯總

1、勾股定理(畢達哥拉斯定理)（直角三角形的兩直角邊分別是a、b，斜邊是c；則a*a+b*b=c*c）

2、射影定理(歐幾里得定理)(直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜邊BC上的高,則有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC,(2)(AB)^2;=BD·BC ,(3)(AC)^2;=CD·BC。等積式(4)ABXAC=BCXAD(可用面積來證明))

3、三角形的三條中線交于一點，并且，各中線被這個點分成2：1的兩部分

4、四邊形兩邊中心的連線的兩條對角線中心的連線交于一點

5、間隔的連接六邊形的邊的中心所作出的兩個三角形的重心是重合的。

6、三角形各邊的垂直一平分線交于一點。

7、三角形的三條高線交于一點

8、設三角形ABC的外心為O，垂心為H，從O向BC邊引垂線，設垂足為L，則AH=2OL

9、三角形的外心，垂心，重心在同一條直線(歐拉線)上。

10、(九點圓或歐拉圓或費爾巴赫圓)三角形中，三邊中心、從各頂點向其對邊所引垂線的垂足，以及垂心與各頂點連線的中點，這九個點在同一個圓上，11、歐拉定理：三角形的外心、重心、九點圓圓心、垂心依次位于同一直線(歐拉線)上

12、庫立奇*大上定理：(圓內接四邊形的九點圓)

圓周上有四點，過其中任三點作三角形，這四個三角形的九點圓圓心都在同一圓周上，我們把過這四個九點圓圓心的圓叫做圓內接四邊形的九點圓。

13、(內心)三角形的三條內角平分線交于一點，內切圓的半徑公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s為三角形周長的一半

14、(旁心)三角形的一個內角平分線和另外兩個頂點處的外角平分線交于一點

15、中線定理：(巴布斯定理)設三角形ABC的邊BC的中點為P，則有AB2+AC2=2(AP2+BP2)

16、斯圖爾特定理：P將三角形ABC的邊BC內分成m:n，則有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2

17、波羅摩及多定理：圓內接四邊形ABCD的對角線互相垂直時，連接AB中點M和對角線交點E的直線垂直于CD

18、阿波羅尼斯定理：到兩定點A、B的距離之比為定比m:n(值不為1)的點P，位于將線段AB分成m:n的內分點C和外分點D為直徑兩端點的定圓周上

19、托勒密定理：設四邊形ABCD內接于圓，則有AB×CD+AD×BC=AC×BD

20、以任意三角形ABC的邊BC、CA、AB為底邊，分別向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，則△DEF是正三角形，21、愛爾可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，則由線段AD、BE、CF的中心構成的三角形也是正三角形。

22、愛爾可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，則由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心構成的三角形是正三角形。

23、梅涅勞斯定理：設△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線和一條不經過它們任一頂點的直線的交點分別為P、Q、R則有BPPC×CQQA×ARRB=1

24、梅涅勞斯定理的逆定理：(略)

25、梅涅勞斯定理的應用定理1：設△ABC的∠A的外角平分線交邊CA于Q、∠C的平分線交邊AB于R，、∠B的平分線交邊CA于Q，則P、Q、R三點共線。

26、梅涅勞斯定理的應用定理2：過任意△ABC的三個頂點A、B、C作它的外接圓的切線，分別和BC、CA、AB的延長線交于點P、Q、R，則P、Q、R三點共線

27、塞瓦定理：設△ABC的三個頂點A、B、C的不在三角形的邊或它們的延長線上的一點S連接面成的三條直線，分別與邊BC、CA、AB或它們的延長線交于點P、Q、R，則BPPC×CQQA×ARRB()=1.28、塞瓦定理的應用定理：設平行于△ABC的邊BC的直線與兩邊AB、AC的交點分別是D、E，又設BE和CD交于S，則AS一定過邊BC的中心M

29、塞瓦定理的逆定理：(略)

30、塞瓦定理的逆定理的應用定理1：三角形的三條中線交于一點

31、塞瓦定理的逆定理的應用定理2：設△ABC的內切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點R、S、T，則AR、BS、CT交于一點。

32、西摩松定理：從△ABC的外接圓上任意一點P向三邊BC、CA、AB或其延長線作垂線，設其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線，(這條直線叫西摩松線)

33、西摩松定理的逆定理：(略)

34、史坦納定理：設△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點P，這時關于△ABC的點P的西摩松線通過線段PH的中心。

35、史坦納定理的應用定理：△ABC的外接圓上的一點P的關于邊BC、CA、AB的對稱點和△ABC的垂心H同在一條(與西摩松線平行的)直線上。這條直線被叫做點P關于△ABC的鏡象線。

36、波朗杰、騰下定理：設△ABC的外接圓上的三點為P、Q、R，則P、Q、R關于△ABC交于一點的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).37、波朗杰、騰下定理推論1：設P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點，若P、Q、R關于△ABC的西摩松線交于一點，則A、B、C三點關于△PQR的的西摩松線交于與前相同的一點

38、波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線的交點是A、B、C、P、Q、R六點任取三點所作的三角形的垂心和其余三點所作的三角形的垂心的連線段的中點。

39、波朗杰、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點P的關于△ABC的西摩松線，如設QR為垂直于這條西摩松線該外接圓珠筆的弦，則三點P、Q、R的關于△ABC的西摩松線交于一點

40、波朗杰、騰下定理推論4：從△ABC的頂點向邊BC、CA、AB引垂線，設垂足分別是D、E、F，且設邊BC、CA、AB的中點分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點在同一個圓上，這時L、M、N點關于關于△ABC的西摩松線交于一點。

41、關于西摩松線的定理1：△ABC的外接圓的兩個端點P、Q關于該三角形的西摩松線互相垂直，其交點在九點圓上。

42、關于西摩松線的定理2(安寧定理)：在一個圓周上有4點，以其中任三點作三角形，再作其余一點的關于該三角形的西摩松線，這些西摩松線交于一點。

43、卡諾定理：通過△ABC的外接圓的一點P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線PD、PE、PF，與三邊的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線。

44、奧倍爾定理：通過△ABC的三個頂點引互相平行的三條直線，設它們與△ABC的外接圓的交點分別是L、M、N，在△ABC的外接圓取一點P，則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線

45、清宮定理：設P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點，P點的關于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別是D、E、F，則D、E、F三點共線

46、他拿定理：設P、Q為關于△ABC的外接圓的一對反點，點P的關于三邊BC、CA、AB的對稱點分別是U、V、W，這時，如果QU、QV、QW與邊BC、CA、AB或其延長線的交點分別為ED、E、F，則D、E、F三點共線。(反點：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長線的兩點，如果OC2=OQ×OP 則稱P、Q兩點關于圓O互為反點)

47、朗古來定理：在同一圓同上有A1B1C1D14點，以其中任三點作三角形，在圓周取一點P，作P點的關于這4個三角形的西摩松線，再從P向這4條西摩松線引垂線，則四個垂足在同一條直線上。

48、九點圓定理：三角形三邊的中點,三高的垂足和三個歐拉點[連結三角形各頂點與垂心所得三線段的中點]九點共圓[通常稱這個圓為九點圓[nine-point circle],或歐拉圓,費爾巴哈圓.49、一個圓周上有n個點，從其中任意n-1個點的重心，向該圓周的在其余一點處的切線所引的垂線都交于一點。

50、康托爾定理1：一個圓周上有n個點，從其中任意n-2個點的重心向余下兩點的連線所引的垂線共點。

51、康托爾定理2：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N兩點，則M和N點關于四個三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個的兩條西摩松的交點在同一直線上。這條直線叫做M、N兩點關于四邊形ABCD的康托爾線。

52、康托爾定理3：一個圓周上有A、B、C、D四點及M、N、L三點，則M、N兩點的關于四邊形ABCD的康托爾線、L、N兩點的關于四邊形ABCD的康托爾線、M、L兩點的關于四邊形ABCD的康托爾線交于一點。這個點叫做M、N、L三點關于四邊形ABCD的康托爾點。

53、康托爾定理4：一個圓周上有A、B、C、D、E五點及M、N、L三點，則M、N、L三點關于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個康托爾點在一條直線上。這條直線叫做M、N、L三點關于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線。

54、費爾巴赫定理：三角形的九點圓與內切圓和旁切圓相切。

55、莫利定理：將三角形的三個內角三等分，靠近某邊的兩條三分角線相得到一個交點，則這樣的三個交點可以構成一個正三角形。這個三角形常被稱作莫利正三角形。

56、牛頓定理1：四邊形兩條對邊的延長線的交點所連線段的中點和兩條對角線的中點，三條共線。這條直線叫做這個四邊形的牛頓線。

57、牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對角線的中點，及該圓的圓心，三點共線。

58、笛沙格定理1：平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線。

59、笛沙格定理2：相異平面上有兩個三角形△ABC、△DEF，設它們的對應頂點(A和D、B和E、C和F)的連線交于一點，這時如果對應邊或其延長線相交，則這三個交點共線。

60、布利安松定理：連結外切于圓的六邊形ABCDEF相對的頂點A和D、B和E、C和F，則這三線共點。

60、巴斯加定理：圓內接六邊形ABCDEF相對的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延長線的)交點共線。

第五篇：高中數學常用平面幾何名定理

高中數學常用平面幾何名定理

定理1 Ptolemy定理托勒密(Ptolemy)定理

四邊形的兩對邊乘積之和等于其對角線乘積的充要條件是該四邊形內接于一圓。

定理2 Ceva定理

定理3 Menelaus定理

定理4 蝴蝶定理定理

內容：圓O中的弦PQ的中點M，任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點。

定理5 張角定理

在△ABC中，D是BC上的一點。連結AD。張角定理指出:sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD

定理6 Simon line西姆松(Simson)定理（西姆松線）

從一點向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點落在三角形的外接圓上。

定理7 Eular line：

同一三角形的垂心、重心、外心三點共線，這條直線稱為三角形的歐拉線；且外心與重心的距離等于垂心與重心距離的一半

定理8 到三角形三定點值和最小的點——費馬點

已知P為銳角△ABC內一點，當∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°時，PA＋PB＋PC的值最小，這個點P稱為△ABC的費爾馬點。

定理9 三角形內到三邊距離之積最大的點是三角形的重心

定理10到三角形三頂點距離的平方和最小的點是三角形的重心 在幾何里,平面是無限延展的,是無大小的,是不可度量的,是無厚度的,通常畫平行四邊形來表示平面

0、勾股定理，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這是平面幾何中一個最基本、最重要的定理，國外稱為畢達哥拉斯定理。

1、歐拉（Euler）線：

同一三角形的垂心、重心、外心三點共線，這條直線稱為三角形的歐拉線；且外心與重心的距離等于垂心與重心距離的一半

2、九點圓：

任意三角形三邊的中點.三條高線的垂足.垂心與各頂點連線的中點,這9點共圓，這個圓稱為三角形的九點圓；其圓心為三角形外心與垂心所連線段的中點，其半徑等于三角形外接圓半徑的一半。

3、費爾馬點：

已知P為銳角△ABC內一點，當∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°時，PA＋PB＋PC的值最小，這個點P稱為△ABC的費爾馬點。

4、海倫（Heron）公式：

在△ABC中，邊BC、CA、AB的長分別為a、b、c，若p＝0.5*（a＋b＋c），則△ABC的面積S＝√ p*(p-a)(p-b)(p-c)

5、塞瓦（Ceva）定理：

在△ABC中，過△ABC的頂點作相交于一點P的直線，分別交邊BC、CA、AB與點D、E、F，則 ；其逆亦真

6、密格爾（Miquel）點：

若AE、AF、ED、FB四條直線相交于A、B、C、D、E、F六點，構成四個三角形，它們是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，則這四個三角形的外接圓共點，這個點稱為密格爾點。

7、葛爾剛（Gergonne）點:

△ABC的內切圓分別切邊AB、BC、CA于點D、E、F，則AE、BF、CD三線共點，這個點稱為葛爾剛點。

8、西摩松（Simson）線：

已知P為△ABC外接圓周上任意一點，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F為垂足，則D、E、F三點共線，這條直線叫做西摩松線。

9、黃金分割：

把一條線段(AB)分成兩條線段,使其中較大的線段(AC)是原線段(AB)與較小線段(BC)的比例中項,這樣的分割稱為黃金分割

11、笛沙格（Desargues）定理：

已知在△ ABC與△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三線相交于點O，BC與B'C'、CA與C'A'、AB與A'B'分別相交于點X、Y、Z，則X、Y、Z三點共線；其逆亦真。

12、摩萊（Morley）三角形：

在已知△ABC三內角的三等分線中，分別與BC、CA、AB相鄰的每兩線相交于點D、E、F，則三角形DDE是正三角形，這個正三角形稱為摩萊三角形。

13、帕斯卡（Paskal）定理：

已知圓內接六邊形ABCDEF的邊AB、DE延長線交于點G，邊BC、EF延長線交于點H，邊CD、FA延長線交于點K，則H、G、K三點共線

14、托勒密（Ptolemy）定理：

在圓內接四邊形中，AB?CD＋AD?BC＝AC?BD15、阿波羅尼斯（Apollonius）圓

一動點P與兩定點A、B的距離之比等于定比m：n，則點P的軌跡，是以定比m：n內分和外分定線段的兩個分點的連線為直徑的圓，這個圓稱為阿波羅尼斯圓，簡稱“阿氏圓”

16、梅內勞斯定理

梅內勞斯定理（Menelaus’ theorem）的表述：如果一條直線和三角形ABC的三邊或其延長線分別交于點P、Q、R，則有，BP/PC·CQ/QA·AR/RB=-

1此定理得逆命題也成立。

17、布拉美古塔（Brahmagupta）定理：

在圓內接四邊形ABCD中，AC⊥BD，自對角線的交點P向一邊作垂線，其延長線必平分對邊