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第一篇：初中平面幾何的60個(gè)定理

1、勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)小學(xué)都應(yīng)該掌握的重要定理

2、射影定理(歐幾里得定理)重要

3、三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)，并且，各中線(xiàn)被這個(gè)點(diǎn)分成2：1的兩部分

重要

4、四邊形兩邊中心的連線(xiàn)的兩條對(duì)角線(xiàn)中心的連線(xiàn)交于一點(diǎn) 學(xué)習(xí)中位線(xiàn)時(shí)的一個(gè)常見(jiàn)問(wèn)題，中考不需要，初中競(jìng)賽需要

5、間隔的連接六邊形的邊的中心所作出的兩個(gè)三角形的重心是重合的。

完全沒(méi)有意義，學(xué)習(xí)解析幾何后顯然的結(jié)論，不用知道

6、三角形各邊的垂直一平分線(xiàn)交于一點(diǎn)。重要

7、從三角形的各頂點(diǎn)向其對(duì)邊所作的三條垂線(xiàn)交于一點(diǎn) 重要

8、設(shè)三角形ABC的外心為O，垂心為H，從O向BC邊引垂線(xiàn)，設(shè)垂足不L，則AH=2OL 中考不需要，競(jìng)賽中很顯然的結(jié)論

9、三角形的外心，垂心，重心在同一條直線(xiàn)上。

高中競(jìng)賽中非常重要的定理，稱(chēng)為歐拉線(xiàn)

10、(九點(diǎn)圓或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫?qǐng)A)三角形中，三邊中心、從各頂點(diǎn)向其對(duì)邊所引垂線(xiàn)的垂足，以及垂心與各頂點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)，這九個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，高中競(jìng)賽中的常用定理

11、歐拉定理：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心依次位于同一直線(xiàn)(歐拉線(xiàn))上高中競(jìng)賽中會(huì)用，不常用

12、庫(kù)立奇*大上定理：(圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓)圓周上有四點(diǎn)，過(guò)其中任三點(diǎn)作三角形，這四個(gè)三角形的九點(diǎn)圓圓心都在同一圓周上，我們把過(guò)這四個(gè)九點(diǎn)圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓。

高中競(jìng)賽的題目，不用掌握

13、(內(nèi)心)三角形的三條內(nèi)角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，內(nèi)切圓的半徑公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss為三角形周長(zhǎng)的一半

重要

14、(旁心)三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)和另外兩個(gè)頂點(diǎn)處的外角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)

重要

15、中線(xiàn)定理：(巴布斯定理)設(shè)三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)為P，則有AB2+AC2=2(AP2+BP2)初中競(jìng)賽需要，重要

16、斯圖爾特定理：P將三角形ABC的邊BC內(nèi)分成m:n，則有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2 高中競(jìng)賽需要，重要

17、波羅摩及多定理：圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)互相垂直時(shí)，連接AB中點(diǎn)M和對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)E的直線(xiàn)垂直于CD 顯然的結(jié)論，不需要掌握

18、阿波羅尼斯定理：到兩定點(diǎn)A、B的距離之比為定比m:n(值不為1)的點(diǎn)P，位于將線(xiàn)段AB分成m:n的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D為直徑兩端點(diǎn)的定圓周上高中競(jìng)賽需要，重要

19、托勒密定理：設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則有AB×CD+AD×BC=AC 初中競(jìng)賽需要，重要

20、以任意三角形ABC的邊BC、CA、AB為底邊，分別向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，則△DEF是正三角形，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)后是顯然的結(jié)論，不需要掌握

21、愛(ài)爾可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，則由線(xiàn)段AD、BE、CF的重心構(gòu)成的三角形也是正三角形。不需要掌握

22、愛(ài)爾可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，則由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心構(gòu)成的三角形是正三角形。

不需要掌握

23、梅涅勞斯定理：設(shè)△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)和一條不經(jīng)過(guò)它們?nèi)我豁旤c(diǎn)的直線(xiàn)的交點(diǎn)分別為P、Q、R則有 BPPC×CQQA×ARRB=1 初中競(jìng)賽需要，重要

24、梅涅勞斯定理的逆定理：(略)初中競(jìng)賽需要，重要

25、梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理1：設(shè)△ABC的∠A的外角平分線(xiàn)交邊CA于Q、∠C的平分線(xiàn)交邊AB于R，、∠B的平分線(xiàn)交邊CA于Q，則P、Q、R三點(diǎn)共線(xiàn)。

不用掌握

26、梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理2：過(guò)任意△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C作它的外接圓的切線(xiàn)，分別和BC、CA、AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P、Q、R，則P、Q、R三點(diǎn)共線(xiàn)

不用掌握

28、塞瓦定理的應(yīng)用定理：設(shè)平行于△ABC的邊BC的直線(xiàn)與兩邊AB、AC的交點(diǎn)分別是D、E，又設(shè)BE和CD交于S，則AS一定過(guò)邊BC的中心M 不用掌握

29、塞瓦定理的逆定理：(略)初中競(jìng)賽需要，重要

30、塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1：三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)

這個(gè)定理用塞瓦定理來(lái)證明將毫無(wú)幾何美感，應(yīng)該用中位線(xiàn)證明才漂亮

31、塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)R、S、T，則AR、BS、CT交于一點(diǎn)。

不用掌握

32、西摩松定理：從△ABC的外接圓上任意一點(diǎn)P向三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)作垂線(xiàn)，設(shè)其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線(xiàn)，(這條直線(xiàn)叫西摩松線(xiàn))初中競(jìng)賽的常用定理

33、西摩松定理的逆定理：(略)初中競(jìng)賽的常用定理

34、史坦納定理：設(shè)△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點(diǎn)P，這時(shí)關(guān)于△ABC的點(diǎn)P的西摩松線(xiàn)通過(guò)線(xiàn)段PH的中心。

不用掌握

35、史坦納定理的應(yīng)用定理：△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于邊BC、CA、AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和△ABC的垂心H同在一條(與西摩松線(xiàn)平行的)直線(xiàn)上。這條直線(xiàn)被叫做點(diǎn)P關(guān)于△ABC的鏡象線(xiàn)。

不用掌握

36、波朗杰、騰下定理：設(shè)△ABC的外接圓上的三點(diǎn)為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于△ABC交于一點(diǎn)的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).不用掌握

37、波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點(diǎn)，若P、Q、R關(guān)于△ABC的西摩松線(xiàn)交于一點(diǎn)，則A、B、C三點(diǎn)關(guān)于△PQR的的西摩松線(xiàn)交于與前相同的一點(diǎn) 不用掌握

38、波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線(xiàn)的交點(diǎn)是A、B、C、P、Q、R六點(diǎn)任取三點(diǎn)所作的三角形的垂心和其余三點(diǎn)所作的三角形的垂心的連線(xiàn)段的中點(diǎn)。

不用掌握

39、波朗杰、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于△ABC的西摩松線(xiàn)，如設(shè)QR為垂直于這條西摩松線(xiàn)該外接圓珠筆的弦，則三點(diǎn)P、Q、R的關(guān)于△ABC的西摩松線(xiàn)交于一點(diǎn) 不用掌握

40、波朗杰、騰下定理推論4：從△ABC的頂點(diǎn)向邊BC、CA、AB引垂線(xiàn)，設(shè)垂足分別是D、E、F，且設(shè)邊BC、CA、AB的中點(diǎn)分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點(diǎn)在同一個(gè)圓上，這時(shí)L、M、N點(diǎn)關(guān)于關(guān)于△ABC的西摩松線(xiàn)交于一點(diǎn)。

不用掌握

41、關(guān)于西摩松線(xiàn)的定理1：△ABC的外接圓的兩個(gè)端點(diǎn)P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線(xiàn)互相垂直，其交點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。不用掌握

42、關(guān)于西摩松線(xiàn)的定理2(安寧定理)：在一個(gè)圓周上有4點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，再作其余一點(diǎn)的關(guān)于該三角形的西摩松線(xiàn)，這些西摩松線(xiàn)交于一點(diǎn)。

不用掌握

43、卡諾定理：通過(guò)△ABC的外接圓的一點(diǎn)P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線(xiàn)PD、PE、PF，與三邊的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)。

不用掌握

44、奧倍爾定理：通過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)引互相平行的三條直線(xiàn)，設(shè)它們與△ABC的外接圓的交點(diǎn)分別是L、M、N，在△ABC的外接圓取一點(diǎn)P，則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)

不用掌握

45、清宮定理：設(shè)P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點(diǎn)，P點(diǎn)的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是U、V、W，這時(shí)，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)

不用掌握

46、他拿定理：設(shè)P、Q為關(guān)于△ABC的外接圓的一對(duì)反點(diǎn)，點(diǎn)P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是U、V、W，這時(shí)，如果QU、QV、QW與邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)分別為ED、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)。(反點(diǎn)：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長(zhǎng)線(xiàn)的兩點(diǎn)，如果OC2=OQ×OP 則稱(chēng)P、Q兩點(diǎn)關(guān)于圓O互為反點(diǎn))不用掌握

47、朗古來(lái)定理：在同一圓同上有A1B1C1D14點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，在圓周取一點(diǎn)P，作P點(diǎn)的關(guān)于這4個(gè)三角形的西摩松線(xiàn)，再?gòu)腜向這4條西摩松線(xiàn)引垂線(xiàn)，則四個(gè)垂足在同一條直線(xiàn)上。

不用掌握

49、一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n-1個(gè)點(diǎn)的重心，向該圓周的在其余一點(diǎn)處的切線(xiàn)所引的垂線(xiàn)都交于一點(diǎn)。

不用掌握

50、康托爾定理1：一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n-2個(gè)點(diǎn)的重心向余下兩點(diǎn)的連線(xiàn)所引的垂線(xiàn)共點(diǎn)。

不用掌握

51、康托爾定理2：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N兩點(diǎn)，則M和N點(diǎn)關(guān)于四個(gè)三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個(gè)的兩條西摩松的交點(diǎn)在同一直線(xiàn)上。這條直線(xiàn)叫做M、N兩點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線(xiàn)。不用掌握

52、康托爾定理3：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線(xiàn)、L、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線(xiàn)、M、L兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線(xiàn)交于一點(diǎn)。這個(gè)點(diǎn)叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點(diǎn)。

不用掌握

53、康托爾定理4：一個(gè)圓周上有A、B、C、D、E五點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個(gè)康托爾點(diǎn)在一條直線(xiàn)上。這條直線(xiàn)叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線(xiàn)。

不用掌握

54、費(fèi)爾巴赫定理：三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切。

不用掌握

55、莫利定理：將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線(xiàn)相得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形。這個(gè)三角形常被稱(chēng)作莫利正三角形。

這是我認(rèn)為的平面幾何中最漂亮最神奇的幾個(gè)定理之一，但不用掌握

56、牛頓定理1：四邊形兩條對(duì)邊的延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)所連線(xiàn)段的中點(diǎn)和兩條對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，三條共線(xiàn)。這條直線(xiàn)叫做這個(gè)四邊形的牛頓線(xiàn)。

高中競(jìng)賽中常用

57、牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線(xiàn)。

不用掌握

58、笛沙格定理1：平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)(A和D、B和E、C和F)的連線(xiàn)交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線(xiàn)相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線(xiàn)。

高中競(jìng)賽中偶爾會(huì)用

59、笛沙格定理2：相異平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)(A和D、B和E、C和F)的連線(xiàn)交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線(xiàn)相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線(xiàn)。60、布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對(duì)的頂點(diǎn)A和D、B和E、C和F，則這三線(xiàn)共點(diǎn)。

高中競(jìng)賽中偶爾會(huì)用

60、巴斯加定理：圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對(duì)的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延長(zhǎng)線(xiàn)的)交點(diǎn)共線(xiàn)。高中競(jìng)賽中重要，一般稱(chēng)做帕斯卡定理，而且是圓錐曲線(xiàn)內(nèi)接六邊形。

第二篇：初中平面幾何重要定理匯總

初中平面幾何重要定理匯總

1、勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)（直角三角形的兩直角邊分別是a、b，斜邊是c；則a*a+b*b=c*c）

2、射影定理(歐幾里得定理)(直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。公式Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD是斜邊BC上的高,則有射影定理如下:(1)(AD)^2;=BD·DC,(2)(AB)^2;=BD·BC ,(3)(AC)^2;=CD·BC。等積式(4)ABXAC=BCXAD(可用面積來(lái)證明))

3、三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)，并且，各中線(xiàn)被這個(gè)點(diǎn)分成2：1的兩部分

4、四邊形兩邊中心的連線(xiàn)的兩條對(duì)角線(xiàn)中心的連線(xiàn)交于一點(diǎn)

5、間隔的連接六邊形的邊的中心所作出的兩個(gè)三角形的重心是重合的。

6、三角形各邊的垂直一平分線(xiàn)交于一點(diǎn)。

7、三角形的三條高線(xiàn)交于一點(diǎn)

8、設(shè)三角形ABC的外心為O，垂心為H，從O向BC邊引垂線(xiàn)，設(shè)垂足為L(zhǎng)，則AH=2OL

9、三角形的外心，垂心，重心在同一條直線(xiàn)(歐拉線(xiàn))上。

10、(九點(diǎn)圓或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫?qǐng)A)三角形中，三邊中心、從各頂點(diǎn)向其對(duì)邊所引垂線(xiàn)的垂足，以及垂心與各頂點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)，這九個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，11、歐拉定理：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心依次位于同一直線(xiàn)(歐拉線(xiàn))上

12、庫(kù)立奇*大上定理：(圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓)

圓周上有四點(diǎn)，過(guò)其中任三點(diǎn)作三角形，這四個(gè)三角形的九點(diǎn)圓圓心都在同一圓周上，我們把過(guò)這四個(gè)九點(diǎn)圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓。

13、(內(nèi)心)三角形的三條內(nèi)角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，內(nèi)切圓的半徑公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)s，s為三角形周長(zhǎng)的一半

14、(旁心)三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)和另外兩個(gè)頂點(diǎn)處的外角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)

15、中線(xiàn)定理：(巴布斯定理)設(shè)三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)為P，則有AB2+AC2=2(AP2+BP2)

16、斯圖爾特定理：P將三角形ABC的邊BC內(nèi)分成m:n，則有n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnm+nBC2

17、波羅摩及多定理：圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)互相垂直時(shí)，連接AB中點(diǎn)M和對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)E的直線(xiàn)垂直于CD

18、阿波羅尼斯定理：到兩定點(diǎn)A、B的距離之比為定比m:n(值不為1)的點(diǎn)P，位于將線(xiàn)段AB分成m:n的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D為直徑兩端點(diǎn)的定圓周上

19、托勒密定理：設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則有AB×CD+AD×BC=AC×BD

20、以任意三角形ABC的邊BC、CA、AB為底邊，分別向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，則△DEF是正三角形，21、愛(ài)爾可斯定理1：若△ABC和△DEF都是正三角形，則由線(xiàn)段AD、BE、CF的中心構(gòu)成的三角形也是正三角形。

22、愛(ài)爾可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，則由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心構(gòu)成的三角形是正三角形。

23、梅涅勞斯定理：設(shè)△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)和一條不經(jīng)過(guò)它們?nèi)我豁旤c(diǎn)的直線(xiàn)的交點(diǎn)分別為P、Q、R則有BPPC×CQQA×ARRB=1

24、梅涅勞斯定理的逆定理：(略)

27、塞瓦定理：設(shè)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的不在三角形的邊或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)S連接面成的三條直線(xiàn)，分別與邊BC、CA、AB或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P、Q、R，則BPPC×CQQA×ARRB()=1.28、塞瓦定理的應(yīng)用定理：設(shè)平行于△ABC的邊BC的直線(xiàn)與兩邊AB、AC的交點(diǎn)分別是D、E，又設(shè)BE和CD交于S，則AS一定過(guò)邊BC的中心M

29、塞瓦定理的逆定理：(略)

30、塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1：三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)

31、塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)R、S、T，則AR、BS、CT交于一點(diǎn)。

32、西摩松定理：從△ABC的外接圓上任意一點(diǎn)P向三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)作垂線(xiàn)，設(shè)其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線(xiàn)，(這條直線(xiàn)叫西摩松線(xiàn))

33、西摩松定理的逆定理：(略)

34、史坦納定理：設(shè)△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點(diǎn)P，這時(shí)關(guān)于△ABC的點(diǎn)P的西摩松線(xiàn)通過(guò)線(xiàn)段PH的中心。

36、波朗杰、騰下定理：設(shè)△ABC的外接圓上的三點(diǎn)為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于△ABC交于一點(diǎn)的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2∏).37、波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點(diǎn)，若P、Q、R關(guān)于△ABC的西摩松線(xiàn)交于一點(diǎn)，則A、B、C三點(diǎn)關(guān)于△PQR的的西摩松線(xiàn)交于與前相同的一點(diǎn)

39、波朗杰、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于△ABC的西摩松線(xiàn)，如設(shè)QR為垂直于這條西摩松線(xiàn)該外接圓珠筆的弦，則三點(diǎn)P、Q、R的關(guān)于△ABC的西摩松線(xiàn)交于一點(diǎn)

41、關(guān)于西摩松線(xiàn)的定理1：△ABC的外接圓的兩個(gè)端點(diǎn)P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線(xiàn)互相垂直，其交點(diǎn)在九點(diǎn)圓上。

48、九點(diǎn)圓定理：三角形三邊的中點(diǎn),三高的垂足和三個(gè)歐拉點(diǎn)[連結(jié)三角形各頂點(diǎn)與垂心所得三線(xiàn)段的中點(diǎn)]九點(diǎn)共圓[通常稱(chēng)這個(gè)圓為九點(diǎn)圓[nine-point circle],或歐拉圓,費(fèi)爾巴哈圓.49、一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n-1個(gè)點(diǎn)的重心，向該圓周的在其余一點(diǎn)處的切線(xiàn)所引的垂線(xiàn)都交于一點(diǎn)。

50、康托爾定理1：一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n-2個(gè)點(diǎn)的重心向余下兩點(diǎn)的連線(xiàn)所引的垂線(xiàn)共點(diǎn)。

54、費(fèi)爾巴赫定理：三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切。

57、牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線(xiàn)。

60、布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對(duì)的頂點(diǎn)A和D、B和E、C和F，則這三線(xiàn)共點(diǎn)。

60、巴斯加定理：圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對(duì)的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的(或延長(zhǎng)線(xiàn)的)交點(diǎn)共線(xiàn)。

第三篇：高中平面幾何定理

（高中）平面幾何基礎(chǔ)知識(shí)（基本定理、基本性質(zhì)）

1．勾股定理（畢達(dá)哥拉斯定理）（廣義勾股定理）(1)銳角對(duì)邊的平方，等于其他兩邊之平方和，減去

這兩邊中的一邊和另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍．(2)鈍角對(duì)邊的平方等于其他兩邊的平方和，加上這兩邊中的一邊與另一邊在這邊上的射影乘積的兩倍．

2．射影定理（歐幾里得定理）

3．中線(xiàn)定理（巴布斯定理）設(shè)△ABC的邊BC的中點(diǎn)為P，則有AB2?AC2?2(AP2?BP2)；中線(xiàn)長(zhǎng)：ma?2b?2c?a2222．

4．垂線(xiàn)定理：AB?CD?AC2?AD2?BC2?BD2．高線(xiàn)長(zhǎng)：ha?2ap(p?a)(p?b)(p?c)?bc

asinA?csinB?bsinC．

5．角平分線(xiàn)定理：三角形一個(gè)角的平分線(xiàn)分對(duì)邊所成的兩條線(xiàn)段與這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例．

如△ABC中，AD平分∠BAC，則BD

DC?AB

AC；（外角平分線(xiàn)定理）． cosA

2角平分線(xiàn)長(zhǎng)：ta?

6．正弦定理：a

sinA?2b?cb

sinB(p?a)?csinC2bcb?c（其中p為周長(zhǎng)一半）． ??2R，（其中R為三角形外接圓半徑）．

7．余弦定理：c2?a2?b2?2abcosC．

8．張角定理：sin?BAC

AD? sin?BAD

AC?sin?DAC

AB．

9．斯特瓦爾特(Stewart)定理：設(shè)已知△ABC及其底邊上B、C兩點(diǎn)間的一點(diǎn)D，則有AB2·DC+AC2·BD

－AD2·BC＝BC·DC·BD．

10．圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角相等，等于圓心角的一半．（圓外角如何轉(zhuǎn)化？）

11．12．

13．弦切角定理：弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角．圓冪定理：（相交弦定理：垂徑定理：切割線(xiàn)定理（割線(xiàn)定理）：切線(xiàn)長(zhǎng)定理：）布拉美古塔（Brahmagupta）定理：在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC⊥BD，自對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)P向

一邊作垂線(xiàn)，其延長(zhǎng)線(xiàn)必平分對(duì)邊．

2214．點(diǎn)到圓的冪：設(shè)P為⊙O所在平面上任意一點(diǎn)，PO=d，⊙O的半徑為r，則d－r就是點(diǎn)P對(duì)

于⊙O的冪．過(guò)P任作一直線(xiàn)與⊙O交于點(diǎn)A、B，則PA·PB= |d－r|．“到兩圓等冪的點(diǎn)的軌跡是與此二圓的連心線(xiàn)垂直的一條直線(xiàn)，如果此二圓相交，則該軌跡是此二圓的公共弦所在直線(xiàn)”這個(gè)結(jié)論．這條直線(xiàn)稱(chēng)為兩圓的“根軸”．三個(gè)圓兩兩的根軸如果不互相平行，則它們交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)稱(chēng)為三圓的“根心”．三個(gè)圓的根心對(duì)于三個(gè)圓等冪．當(dāng)三個(gè)圓兩兩相交時(shí)，三條公共弦(就是兩兩的根軸)所在直線(xiàn)交于一點(diǎn)．

15．托勒密（Ptolemy）定理：圓內(nèi)接四邊形對(duì)角線(xiàn)之積等于兩組對(duì)邊乘積之和，即2

2AC·BD=AB·CD+AD·BC，(逆命題成立)．（廣義托勒密定理）AB·CD+AD·BC≥AC·BD．

16．蝴蝶定理：AB是⊙O的弦，M是其中點(diǎn)，弦CD、EF經(jīng)過(guò)點(diǎn)M，CF、DE交AB于P、Q，求證：MP=QM．

17．費(fèi)馬點(diǎn)：定理1等邊三角形外接圓上一點(diǎn)，到該三角形較近兩頂點(diǎn)距離之和等于到另一頂點(diǎn)的距離；不在等邊三角形外接圓上的點(diǎn)，到該三角形兩頂點(diǎn)距離之和大于到另一點(diǎn)的距離．定理2 三角形每一內(nèi)角都小于120°時(shí)，在三角形內(nèi)必存在一點(diǎn)，它對(duì)三條邊所張的角都是120°，該點(diǎn)到三頂點(diǎn)距離和達(dá)到最小，稱(chēng)為“費(fèi)馬點(diǎn)”，當(dāng)三角形有一內(nèi)角不小于120°時(shí)，此角的頂點(diǎn)即為費(fèi)馬

點(diǎn)．

18．拿破侖三角形：在任意△ABC的外側(cè)，分別作等邊△ABD、△BCE、△CAF，則AE、AB、CD三線(xiàn)

共點(diǎn)，并且AE＝BF＝CD，這個(gè)命題稱(chēng)為拿破侖定理．以△ABC的三條邊分別向外作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C1、⊙A1、⊙B1的圓心構(gòu)成的△——外拿破侖的三角形，⊙C1、⊙A1、⊙B1三圓共點(diǎn)，外拿破侖三角形是一個(gè)等邊三角形；△ABC的三條邊分別向△ABC的內(nèi)側(cè)作等邊△ABD、△BCE、△CAF，它們的外接圓⊙C2、⊙A2、⊙B2的圓心構(gòu)成的△——內(nèi)拿破侖三角形，⊙C2、⊙A2、⊙B2三圓共點(diǎn)，內(nèi)拿破侖三角形也是一個(gè)等邊三角形．這兩個(gè)拿破侖三角形還具有相同的中心．

19．九點(diǎn)圓（Nine point round或歐拉圓或費(fèi)爾巴赫?qǐng)A）：三角形中，三邊中心、從各頂點(diǎn)向其對(duì)

邊所引垂線(xiàn)的垂足，以及垂心與各頂點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn)，這九個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上，九點(diǎn)圓具有許多有趣的性質(zhì),例如:

（1）三角形的九點(diǎn)圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半;

（2）九點(diǎn)圓的圓心在歐拉線(xiàn)上,且恰為垂心與外心連線(xiàn)的中點(diǎn);

（3）三角形的九點(diǎn)圓與三角形的內(nèi)切圓,三個(gè)旁切圓均相切〔費(fèi)爾巴哈定理〕． 20．歐拉（Euler）線(xiàn)：三角形的外心、重心、九點(diǎn)圓圓心、垂心依次位于同一直線(xiàn)（歐拉線(xiàn)）上． 21．歐拉（Euler）公式：設(shè)三角形的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，外心與內(nèi)心的距離為d，則d2=R2－2Rr． 22． 23．

G（銳角三角形的外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的和等于外心到各邊距離的和．

重心：三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)，并且各中線(xiàn)被這個(gè)點(diǎn)分成2：1的兩部分；

xA?xB?xC,yA?yB?yC)

重心性質(zhì)：（1）設(shè)G為△ABC的重心，連結(jié)AG并延長(zhǎng)交BC于D，則D為BC的中點(diǎn)，則AG:GD?2:1；

（2）設(shè)G為△ABC的重心，則S?ABG?S?BCG?S?ACG?

交

DEBC

3S?ABC；

（3）設(shè)G為△ABC的重心，過(guò)G作DE∥BC交AB于D，交AC于E，過(guò)G作PF∥AC交AB于P，BC

?FPCA

于

F，過(guò)

KHAB

G作HK∥AB交AC于K，交BC于H，則

2DEFPKH

;???2； 3BCCAAB

（4）設(shè)G為△ABC的重心，則

①BC2?3GA2?CA2?3GB2?AB2?3GC2； ②GA2?GB

?GC

(AB

?BC

?CA)；

③PA2?PB2?PC2?GA2?GB2?GC2?3PG2（P為△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)）；

④到三角形三頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)是重心，即GA2?GB2?GC2最小；

⑤三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)是重心；反之亦然（即滿(mǎn)足上述條件之一，則G為△ABC的重心）．

24．垂

aH（cosA

心

xA?

：

xB?

三

角

xC,形

acosA的yA?

三

yB?

條

高

yC)

線(xiàn)的交點(diǎn)；

cosBcosC

abc

cosAcosBcosCcosBcosC

abc

cosAcosBcosC

垂心性質(zhì)：（1）三角形任一頂點(diǎn)到垂心的距離，等于外心到對(duì)邊的距離的2倍；

（2）垂心H關(guān)于△ABC的三邊的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，均在△ABC的外接圓上；

（3）△ABC的垂心為H，則△ABC，△ABH，△BCH，△ACH的外接圓是等圓；（4）設(shè)O，H分別為△ABC的外心和垂心，則?BAO??HAC,?CBO??ABH,?BCO??HCA．

25．內(nèi)心：三角形的三條角分線(xiàn)的交點(diǎn)—內(nèi)接圓圓心，即內(nèi)心到三角形各邊距離相等；

I（axA?bxB?cxC

a?b?c,ayA?byB?cyC

a?b?c)

內(nèi)心性質(zhì)：（1）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，則I到△ABC三邊的距離相等，反之亦然；（2）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，則?BIC?90??

2?A,?AIC?90??

?B,?AIB?90??

?C；

（3）三角形一內(nèi)角平分線(xiàn)與其外接圓的交點(diǎn)到另兩頂點(diǎn)的距離與到內(nèi)心的距離相等；反之，若?A平分線(xiàn)交△ABC外接圓于點(diǎn)K，I為線(xiàn)段AK上的點(diǎn)且滿(mǎn)足KI=KB，則I為△ABC的內(nèi)心；（4）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，BC?a,AC?b,AB?c, ?A平分線(xiàn)交BC于D，交△ABC外接圓于點(diǎn)K，則

AIID?AKKI

?IKKD

?b?ca；

（5）設(shè)I為△ABC的內(nèi)心，BC?a,AC?b,AB?c,I在BC,AC,AB上的射影分別為D,E,F，內(nèi)切圓

半

徑

為

r，令

(a?b?c)，則①

S?ABC?pr

；②

AE?AF?p?a;BD?BF?p?b;CE?CD?p?c；③abcr?p?AI?BI?CI．

26．外心：三角形的三條中垂線(xiàn)的交點(diǎn)——外接圓圓心，即外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等；

O（sin2AxA?sin2BxB?sin2CxC

sin2A?sin2B?sin2C,sin2Ay

?sin2ByB?sin2CyC

sin2A?sin2B?sin2C)

外心性質(zhì)：（1）外心到三角形各頂點(diǎn)距離相等；

（2）設(shè)O為△ABC的外心，則?BOC?2?A或?BOC?360??2?A；（3）R

和． 27．

旁心：一內(nèi)角平分線(xiàn)與兩外角平分線(xiàn)交點(diǎn)——旁切圓圓心；設(shè)△ABC的三邊

(a?b?c)，分別與BC,AC,AB外側(cè)相切的旁切圓圓心記為

abc4S?

；（4）銳角三角形的外心到三邊的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之

BC?a,AC?b,AB?c,令p?

IA,IB,IC，其半徑分別記為rA,rB,rC．

旁心性質(zhì)：（1）?BIAC?90??（2）?IAIBIC?

?A,?BIBC??BICC?

?A,（對(duì)于頂角B，C也有類(lèi)似的式子）；

(?A??C)；

（3）設(shè)AIA的連線(xiàn)交△ABC的外接圓于D，則DI

； ?DB?DC（對(duì)于BIB,CIC有同樣的結(jié)論）

（4）△ABC是△IAIBIC的垂足三角形，且△IAIBIC的外接圓半徑R'等于△ABC的直徑為2R． 28．三角形面積公式

S?ABC?

12aha?

absinC?

a4R

c2b

?2RsinAsinBsinC?

a4（：

oC)o

A?ccB?c

?pr?

p(p?a)(p?b)(p?c)，其中ha表示BC邊上的高，R為外接圓半徑，r為內(nèi)切圓半徑，p?

(a?b?c)．

29．三角形中內(nèi)切圓，旁切圓和外接圓半徑的相互關(guān)系：

rtan

B2tan

r?4Rsinsin

sin

;ra?4Rsin

rtan

A2tan

cos

C2,rb?4Rcos

;1ra

?1rb

sin

1r.cos

C2,rc?4Rcos

cos

sin

;

?,rb?,rc?

tan

1rc

tan

30．梅涅勞斯（Menelaus）定理：設(shè)△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)和一條不經(jīng)過(guò)它們?nèi)我?/p>

BPPC

?CQQA

?ARRB

?1．（逆定理也成立）

頂點(diǎn)的直線(xiàn)的交點(diǎn)分別為P、Q、R則有

31．梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理1：設(shè)△ABC的∠A的外角平分線(xiàn)交邊CA于Q，∠C的平分線(xiàn)交邊AB

于R，∠B的平分線(xiàn)交邊CA于Q，則P、Q、R三點(diǎn)共線(xiàn)． 32． 33．

梅涅勞斯定理的應(yīng)用定理2：過(guò)任意△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C作它的外接圓的切線(xiàn)，分別和BC、CA、AB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P、Q、R，則P、Q、R三點(diǎn)共線(xiàn)．

塞瓦(Ceva)定理：設(shè)X、Y、Z分別為△ABC的邊BC、CA、AB上的一點(diǎn)，則AX、BY、CZ所在直

AZBXCY

·．

ZBXCYA

34．塞瓦定理的應(yīng)用定理：設(shè)平行于△ABC的邊BC的直線(xiàn)與兩邊AB、AC的交點(diǎn)分別是D、E，又設(shè)

BE和CD交于S，則AS一定過(guò)邊BC的中點(diǎn)M．

線(xiàn)交于一點(diǎn)的充要條件是35．

塞瓦定理的逆定理：（略）

36．塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理1：三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)，三角形的三條高線(xiàn)交于一點(diǎn)，三角形的三條角分線(xiàn)交于一點(diǎn)． 37．

塞瓦定理的逆定理的應(yīng)用定理2：設(shè)△ABC的內(nèi)切圓和邊BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)R、S、T，則AR、BS、CT交于一點(diǎn)．38．西摩松（Simson）定理：從△ABC的外接圓上任意一點(diǎn)P向三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)作垂線(xiàn)，設(shè)其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線(xiàn)，（這條直線(xiàn)叫西摩松線(xiàn)Simson line）． 39．西摩松定理的逆定理：（略）40．

關(guān)于西摩松線(xiàn)的定理1：△ABC的外接圓的兩個(gè)端點(diǎn)P、Q關(guān)于該三角形的西摩松線(xiàn)互相垂直，其交點(diǎn)在九點(diǎn)圓上．

41．關(guān)于西摩松線(xiàn)的定理2（安寧定理）：在一個(gè)圓周上有4點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，再作其

余一點(diǎn)的關(guān)于該三角形的西摩松線(xiàn)，這些西摩松線(xiàn)交于一點(diǎn)． 42．史坦納定理：設(shè)△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點(diǎn)P，這時(shí)關(guān)于△ABC的點(diǎn)P的西摩松線(xiàn)通

過(guò)線(xiàn)段PH的中心． 43．

史坦納定理的應(yīng)用定理：△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于邊BC、CA、AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)和△ABC的垂心H同在一條（與西摩松線(xiàn)平行的）直線(xiàn)上．這條直線(xiàn)被叫做點(diǎn)P關(guān)于△ABC的鏡象線(xiàn)． 44．牛頓定理1：四邊形兩條對(duì)邊的延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)所連線(xiàn)段的中點(diǎn)和兩條對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，三點(diǎn)共

線(xiàn)．這條直線(xiàn)叫做這個(gè)四邊形的牛頓線(xiàn)．45． 46．

牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線(xiàn)．

笛沙格定理1：平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)（A和D、B和E、C和

F）的連線(xiàn)交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線(xiàn)相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線(xiàn)． 47．笛沙格定理2：相異平面上有兩個(gè)三角形△ABC、△DEF，設(shè)它們的對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)（A和D、B和E、C和F）的連線(xiàn)交于一點(diǎn)，這時(shí)如果對(duì)應(yīng)邊或其延長(zhǎng)線(xiàn)相交，則這三個(gè)交點(diǎn)共線(xiàn)． 48．波朗杰、騰下定理：設(shè)△ABC的外接圓上的三點(diǎn)為P、Q、R，則P、Q、R關(guān)于△ABC交于一點(diǎn)的充要條件是：弧AP+弧BQ+弧CR=0(mod2?)．49．波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點(diǎn)，若P、Q、R關(guān)于△ABC的西摩松線(xiàn)交于一點(diǎn)，則A、B、C三點(diǎn)關(guān)于△PQR的的西摩松線(xiàn)交于與前相同的一點(diǎn)． 50．波朗杰、騰下定理推論2：在推論1中，三條西摩松線(xiàn)的交點(diǎn)是A、B、C、P、Q、R六點(diǎn)任取

三點(diǎn)所作的三角形的垂心和其余三點(diǎn)所作的三角形的垂心的連線(xiàn)段的中點(diǎn)． 51．波朗杰、騰下定理推論3：考查△ABC的外接圓上的一點(diǎn)P的關(guān)于△ABC的西摩松線(xiàn)，如設(shè)QR

為垂直于這條西摩松線(xiàn)該外接圓的弦，則三點(diǎn)P、Q、R的關(guān)于△ABC的西摩松線(xiàn)交于一點(diǎn)． 52．

波朗杰、騰下定理推論4：從△ABC的頂點(diǎn)向邊BC、CA、AB引垂線(xiàn)，設(shè)垂足分別是D、E、F，且設(shè)邊BC、CA、AB的中點(diǎn)分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點(diǎn)在同一個(gè)圓上，這時(shí)L、M、N點(diǎn)關(guān)于關(guān)于△ABC的西摩松線(xiàn)交于一點(diǎn)．

53．卡諾定理：通過(guò)△ABC的外接圓的一點(diǎn)P，引與△ABC的三邊BC、CA、AB分別成同向的等角的直線(xiàn)PD、PE、PF，與三邊的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)． 54．

奧倍爾定理：通過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)引互相平行的三條直線(xiàn)，設(shè)它們與△ABC的外接圓的交點(diǎn)分別是L、M、N，在△ABC的外接圓上取一點(diǎn)P，則PL、PM、PN與△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)．

55．清宮定理：設(shè)P、Q為△ABC的外接圓的異于A、B、C的兩點(diǎn)，P點(diǎn)的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是U、V、W，這時(shí)，QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)分別是D、E、F，則

D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)． 56．他拿定理：設(shè)P、Q為關(guān)于△ABC的外接圓的一對(duì)反點(diǎn)，點(diǎn)P的關(guān)于三邊BC、CA、AB的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)

分別是U、V、W，這時(shí)，如果QU、QV、QW和邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)的交點(diǎn)分別是D、E、F，則D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)．（反點(diǎn)：P、Q分別為圓O的半徑OC和其延長(zhǎng)線(xiàn)的兩點(diǎn)，如果OC2=OQ×OP 則稱(chēng)P、Q兩點(diǎn)關(guān)于圓O互為反點(diǎn)）57．朗古來(lái)定理：在同一圓周上有A1、B1、C1、D1四點(diǎn)，以其中任三點(diǎn)作三角形，在圓周取一點(diǎn)P，作P點(diǎn)的關(guān)于這4個(gè)三角形的西摩松線(xiàn)，再?gòu)腜向這4條西摩松線(xiàn)引垂線(xiàn)，則四個(gè)垂足在同一條直

線(xiàn)上．58．

從三角形各邊的中點(diǎn)，向這條邊所對(duì)的頂點(diǎn)處的外接圓的切線(xiàn)引垂線(xiàn)，這些垂線(xiàn)交于該三角形的九點(diǎn)圓的圓心．

59．一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n－1個(gè)點(diǎn)的重心，向該圓周的在其余一點(diǎn)處的切線(xiàn)所引的垂線(xiàn)都交于一點(diǎn)． 60．康托爾定理1：一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n－2個(gè)點(diǎn)的重心向余下兩點(diǎn)的連線(xiàn)所引的垂線(xiàn)共點(diǎn)． 61．

康托爾定理2：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N兩點(diǎn)，則M和N點(diǎn)關(guān)于四個(gè)三角形△BCD、△CDA、△DAB、△ABC中的每一個(gè)的兩條西摩松線(xiàn)的交點(diǎn)在同一直線(xiàn)上．這條直線(xiàn)叫做M、N兩點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線(xiàn)． 62．康托爾定理3：一個(gè)圓周上有A、B、C、D四點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線(xiàn)、L、N兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線(xiàn)、M、L兩點(diǎn)的關(guān)于四邊形ABCD的康托爾線(xiàn)

交于一點(diǎn)．這個(gè)點(diǎn)叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊形ABCD的康托爾點(diǎn)．

63．康托爾定理4：一個(gè)圓周上有A、B、C、D、E五點(diǎn)及M、N、L三點(diǎn)，則M、N、L三點(diǎn)關(guān)于四邊

形BCDE、CDEA、DEAB、EABC中的每一個(gè)康托爾點(diǎn)在一條直線(xiàn)上．這條直線(xiàn)叫做M、N、L三點(diǎn)關(guān)于五邊形A、B、C、D、E的康托爾線(xiàn)． 64． 65．

費(fèi)爾巴赫定理：三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切．

莫利定理：將三角形的三個(gè)內(nèi)角三等分，靠近某邊的兩條三分角線(xiàn)相得到一個(gè)交點(diǎn)，則這樣的三個(gè)交點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)正三角形．這個(gè)三角形常被稱(chēng)作莫利正三角形．

66．布利安松定理：連結(jié)外切于圓的六邊形ABCDEF相對(duì)的頂點(diǎn)A和D、B和E、C和F，則這三線(xiàn)

共點(diǎn)． 67．帕斯卡（Paskal）定理：圓內(nèi)接六邊形ABCDEF相對(duì)的邊AB和DE、BC和EF、CD和FA的（或

延長(zhǎng)線(xiàn)的）交點(diǎn)共線(xiàn)． 68．阿波羅尼斯（Apollonius）定理：到兩定點(diǎn)A、B的距離之比為定比m：n（值不為1）的點(diǎn)P，位于將線(xiàn)段AB分成m：n的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D為直徑兩端點(diǎn)的定圓周上．這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓． 69．庫(kù)立奇*大上定理：（圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓）圓周上有四點(diǎn)，過(guò)其中任三點(diǎn)作三角形，這四個(gè)

三角形的九點(diǎn)圓圓心都在同一圓周上，我們把過(guò)這四個(gè)九點(diǎn)圓圓心的圓叫做圓內(nèi)接四邊形的九點(diǎn)圓． 70．密格爾（Miquel）點(diǎn)：若AE、AF、ED、FB四條直線(xiàn)相交于A、B、C、D、E、F六點(diǎn)，構(gòu)成四

個(gè)三角形，它們是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，則這四個(gè)三角形的外接圓共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為密格爾點(diǎn)． 71．葛爾剛（Gergonne）點(diǎn)：△ABC的內(nèi)切圓分別切邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F，則AE、BF、CD三線(xiàn)共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為葛爾剛點(diǎn)．72．歐拉關(guān)于垂足三角形的面積公式：O是三角形的外心，M是三角形中的任意一點(diǎn)，過(guò)M向三邊

作垂線(xiàn)，三個(gè)垂足形成的三角形的面積，其公式： S?DEF

S?ABC

?|R

．

第四篇：高中平面幾何60大定理

1、勾股定理(畢達(dá)哥拉斯定理)

2、射影定理(歐幾里得定理)

3、三角形的三條中線(xiàn)交于一點(diǎn)，并且，各中線(xiàn)被這個(gè)點(diǎn)分成2：1的兩部分

4、四邊形兩邊中心的連線(xiàn)的兩條對(duì)角線(xiàn)中心的連線(xiàn)交于一點(diǎn)

5、間隔的連接六邊形的邊的中心所作出的兩個(gè)三角形的重心是重合的。

6、三角形各邊的垂直一平分線(xiàn)交于一點(diǎn)。

7、從三角形的各頂點(diǎn)向其對(duì)邊所作的三條垂線(xiàn)交于一點(diǎn)

8、設(shè)三角形ABC的外心為O，垂心為H，從O向BC邊引垂線(xiàn)，設(shè)垂足不L，則AH=2OL9、三角形的外心，垂心，重心在同一條直線(xiàn)上。

13、(內(nèi)心)三角形的三條內(nèi)角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)，內(nèi)切圓的半徑公式：r=(s-a)(s-b)(s-c)ss為三角形周長(zhǎng)的一半

14、(旁心)三角形的一個(gè)內(nèi)角平分線(xiàn)和另外兩個(gè)頂點(diǎn)處的外角平分線(xiàn)交于一點(diǎn)

15、中線(xiàn)定理：(巴布斯定理)設(shè)三角形ABC的邊BC的中點(diǎn)為P，則有AB2+AC2=2(AP2+BP2)

16、斯圖爾特定理：P將三角形ABC的邊BC內(nèi)分成m:n，則有

n×AB2+m×AC2=(m+n)AP2+mnBC17、波羅摩及多定理：圓內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)互相垂直時(shí)，連接AB中點(diǎn)M和對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)E的直線(xiàn)垂直于CD18、阿波羅尼斯定理：到兩定點(diǎn)A、B的距離之比為定比m:n(值不為1)的點(diǎn)P，位于將線(xiàn)段AB分成m:n的內(nèi)分點(diǎn)C和外分點(diǎn)D為直徑兩端點(diǎn)的定圓周上

19、托勒密定理：設(shè)四邊形ABCD內(nèi)接于圓，則有AB×CD+AD×BC=AC20、以任意三角形ABC的邊BC、CA、AB為底邊，分別向外作底角都是30度的等腰△BDC、△CEA、△AFB，則△DEF是正三角形，21、愛(ài)爾可斯定理1：若△ABC和三角形△都是正三角形，則由線(xiàn)段AD、BE、CF的重心構(gòu)成的三角形也是正三角形。

22、愛(ài)爾可斯定理2：若△ABC、△DEF、△GHI都是正三角形，則由三角形△ADG、△BEH、△CFI的重心構(gòu)成的三角形是正三角形。

23、梅涅勞斯定理：設(shè)△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)和一條不經(jīng)過(guò)它們?nèi)我豁旤c(diǎn)的直線(xiàn)的交點(diǎn)分別為P、Q、R則有 BPPC×CQQA×ARRB=

124、梅涅勞斯定理的逆定理：(略)

27、塞瓦定理：設(shè)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C的不在三角形的邊或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)上的一點(diǎn)S連接面成的三條直線(xiàn)，分別與邊BC、CA、AB或它們的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)P、Q、R，則BPPC×CQQA×ARRB()=1.32、西摩松定理：從△ABC的外接圓上任意一點(diǎn)P向三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線(xiàn)作垂線(xiàn)，設(shè)其垂足分別是D、E、R，則D、E、R共線(xiàn)，(這條直線(xiàn)叫西摩松線(xiàn))

34、史坦納定理：設(shè)△ABC的垂心為H，其外接圓的任意點(diǎn)P，這時(shí)關(guān)于△ABC的點(diǎn)P的西摩松線(xiàn)通過(guò)線(xiàn)段PH的中心。

37、波朗杰、騰下定理推論1：設(shè)P、Q、R為△ABC的外接圓上的三點(diǎn)，若P、Q、R關(guān)于△ABC的西摩松線(xiàn)交于一點(diǎn)，則A、B、C三點(diǎn)關(guān)于△PQR的的西摩松線(xiàn)交于與前相同的一點(diǎn)

40、波朗杰、騰下定理推論4：從△ABC的頂點(diǎn)向邊BC、CA、AB引垂線(xiàn)，設(shè)垂足分別是

D、E、F，且設(shè)邊BC、CA、AB的中點(diǎn)分別是L、M、N，則D、E、F、L、M、N六點(diǎn)在同一個(gè)圓上，這時(shí)L、M、N點(diǎn)關(guān)于關(guān)于△ABC的西摩松線(xiàn)交于一點(diǎn)。

50、康托爾定理1：一個(gè)圓周上有n個(gè)點(diǎn)，從其中任意n-2個(gè)點(diǎn)的重心向余下兩點(diǎn)的連線(xiàn)所引的垂線(xiàn)共點(diǎn)。

54、費(fèi)爾巴赫定理：三角形的九點(diǎn)圓與內(nèi)切圓和旁切圓相切。

57、牛頓定理2：圓外切四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線(xiàn)。

第五篇：高中數(shù)學(xué)常用平面幾何名定理

高中數(shù)學(xué)常用平面幾何名定理

定理1 Ptolemy定理托勒密(Ptolemy)定理

四邊形的兩對(duì)邊乘積之和等于其對(duì)角線(xiàn)乘積的充要條件是該四邊形內(nèi)接于一圓。

定理2 Ceva定理

定理3 Menelaus定理

定理4 蝴蝶定理定理

內(nèi)容：圓O中的弦PQ的中點(diǎn)M，任作兩弦AB，CD，弦AD與BC分別交PQ于X，Y，則M為XY之中點(diǎn)。

定理5 張角定理

在△ABC中，D是BC上的一點(diǎn)。連結(jié)AD。張角定理指出:sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD

定理6 Simon line西姆松(Simson)定理（西姆松線(xiàn)）

從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線(xiàn)的垂足共線(xiàn)的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。

定理7 Eular line：

同一三角形的垂心、重心、外心三點(diǎn)共線(xiàn)，這條直線(xiàn)稱(chēng)為三角形的歐拉線(xiàn)；且外心與重心的距離等于垂心與重心距離的一半

定理8 到三角形三定點(diǎn)值和最小的點(diǎn)——費(fèi)馬點(diǎn)

已知P為銳角△ABC內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°時(shí)，PA＋PB＋PC的值最小，這個(gè)點(diǎn)P稱(chēng)為△ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)。

定理9 三角形內(nèi)到三邊距離之積最大的點(diǎn)是三角形的重心

定理10到三角形三頂點(diǎn)距離的平方和最小的點(diǎn)是三角形的重心在幾何里,平面是無(wú)限延展的,是無(wú)大小的,是不可度量的,是無(wú)厚度的,通常畫(huà)平行四邊形來(lái)表示平面

0、勾股定理，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。這是平面幾何中一個(gè)最基本、最重要的定理，國(guó)外稱(chēng)為畢達(dá)哥拉斯定理。

1、歐拉（Euler）線(xiàn)：

同一三角形的垂心、重心、外心三點(diǎn)共線(xiàn)，這條直線(xiàn)稱(chēng)為三角形的歐拉線(xiàn)；且外心與重心的距離等于垂心與重心距離的一半

2、九點(diǎn)圓：

任意三角形三邊的中點(diǎn).三條高線(xiàn)的垂足.垂心與各頂點(diǎn)連線(xiàn)的中點(diǎn),這9點(diǎn)共圓，這個(gè)圓稱(chēng)為三角形的九點(diǎn)圓；其圓心為三角形外心與垂心所連線(xiàn)段的中點(diǎn)，其半徑等于三角形外接圓半徑的一半。

3、費(fèi)爾馬點(diǎn)：

4、海倫（Heron）公式：

在△ABC中，邊BC、CA、AB的長(zhǎng)分別為a、b、c，若p＝0.5*（a＋b＋c），則△ABC的面積S＝√ p*(p-a)(p-b)(p-c)

5、塞瓦（Ceva）定理：

在△ABC中，過(guò)△ABC的頂點(diǎn)作相交于一點(diǎn)P的直線(xiàn)，分別交邊BC、CA、AB與點(diǎn)D、E、F，則；其逆亦真

6、密格爾（Miquel）點(diǎn)：

若AE、AF、ED、FB四條直線(xiàn)相交于A、B、C、D、E、F六點(diǎn)，構(gòu)成四個(gè)三角形，它們是△ABF、△AED、△BCE、△DCF，則這四個(gè)三角形的外接圓共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為密格爾點(diǎn)。

7、葛爾剛（Gergonne）點(diǎn):

△ABC的內(nèi)切圓分別切邊AB、BC、CA于點(diǎn)D、E、F，則AE、BF、CD三線(xiàn)共點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)稱(chēng)為葛爾剛點(diǎn)。

8、西摩松（Simson）線(xiàn)：

已知P為△ABC外接圓周上任意一點(diǎn)，PD⊥BC，PE⊥ACPF⊥AB，D、E、F為垂足，則D、E、F三點(diǎn)共線(xiàn)，這條直線(xiàn)叫做西摩松線(xiàn)。

9、黃金分割：

把一條線(xiàn)段(AB)分成兩條線(xiàn)段,使其中較大的線(xiàn)段(AC)是原線(xiàn)段(AB)與較小線(xiàn)段(BC)的比例中項(xiàng),這樣的分割稱(chēng)為黃金分割

11、笛沙格（Desargues）定理：

已知在△ ABC與△A'B'C'中，AA'、BB'、CC'三線(xiàn)相交于點(diǎn)O，BC與B'C'、CA與C'A'、AB與A'B'分別相交于點(diǎn)X、Y、Z，則X、Y、Z三點(diǎn)共線(xiàn)；其逆亦真。

12、摩萊（Morley）三角形：

在已知△ABC三內(nèi)角的三等分線(xiàn)中，分別與BC、CA、AB相鄰的每?jī)删€(xiàn)相交于點(diǎn)D、E、F，則三角形DDE是正三角形，這個(gè)正三角形稱(chēng)為摩萊三角形。

13、帕斯卡（Paskal）定理：

已知圓內(nèi)接六邊形ABCDEF的邊AB、DE延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)G，邊BC、EF延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)H，邊CD、FA延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)K，則H、G、K三點(diǎn)共線(xiàn)

14、托勒密（Ptolemy）定理：

在圓內(nèi)接四邊形中，AB?CD＋AD?BC＝AC?BD15、阿波羅尼斯（Apollonius）圓

一動(dòng)點(diǎn)P與兩定點(diǎn)A、B的距離之比等于定比m：n，則點(diǎn)P的軌跡，是以定比m：n內(nèi)分和外分定線(xiàn)段的兩個(gè)分點(diǎn)的連線(xiàn)為直徑的圓，這個(gè)圓稱(chēng)為阿波羅尼斯圓，簡(jiǎn)稱(chēng)“阿氏圓”

16、梅內(nèi)勞斯定理

梅內(nèi)勞斯定理（Menelaus’ theorem）的表述：如果一條直線(xiàn)和三角形ABC的三邊或其延長(zhǎng)線(xiàn)分別交于點(diǎn)P、Q、R，則有，BP/PC·CQ/QA·AR/RB=-

1此定理得逆命題也成立。

17、布拉美古塔（Brahmagupta）定理：

在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AC⊥BD，自對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)P向一邊作垂線(xiàn)，其延長(zhǎng)線(xiàn)必平分對(duì)邊

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初中平面幾何的60個(gè)定理

第一篇：初中平面幾何的60個(gè)定理

第二篇：初中平面幾何重要定理匯總

第三篇：高中平面幾何定理

第四篇：高中平面幾何60大定理

第五篇：高中數(shù)學(xué)常用平面幾何名定理

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初中定理

芻議初中平面幾何教學(xué)