第一篇：例談運用構造法證明不等式

例談運用構造法證明不等式

湖北省天門中學薛德斌

在我們的學習過程中，常遇到一些不等式的證明，看似簡單，但卻無從下手，很難找到

切入點，幾種常用證法一一嘗試，均難以湊效。這時我們不妨變換一下思維角度，從不等式的結構和特點出發，在已學過的知識的基礎上進行廣泛的聯想，構造一個與不等式相關的數

學模型，實現問題的轉化，從而使不等式得到證明。下面通過舉例加以說明。

一、構造向量證明不等式

例1：證明7x?2(9?x2)?9，并指出等號成立的條件。簡析與證明：不等式左邊可看成7與 x 和2與9?x2兩兩乘積的和，從而聯想

到數量積的坐標表示，將左邊看成向量a=(,2)與b=(x,又a·b ≤|a|·|b|，所以7x?9?x2)的數量積，2(9?x2)?(7)2?(2)2x2?(9?x2)?9當且僅當b=λa(λ>0)時等號成立，故由

時，等號成立。x7?9?x22x=,λ=1，即 x =7???0得：（1－y)?(x?y?3)?(2x?y?6)?例2：求證：2221 6

簡析與證明：不等式左邊的特點，使我們容易聯想到空間向量模的坐標表示，將左邊看

成a =(1－y , x+y－3 , 2x+y－6)模的平方，又 |a|·|b|≥a·b ,為使 a·b為常數，根據待定系數

法又可構造b=(1 , 2，-1)

222于是|a|·|b|=(1?y)?(x?y?3)?(2x?y?6)6

（1－y)·1＋(x?y?3)·2?(2x?y?6（）·?1）－1 a·b＝

222所以(1?y)?(x?y?3)?(2x?y?6)6?1（1－y)?(x?y?3)?(2x?y?6)?即

二、構造復數證明不等式

22例

3、x?y?2221 6x2?(1?y)2?(1?x)2?y2?(1?x)2?(1?y)2?2

2簡析與證明：從不等式左邊的結構特點容易聯想到復數的模，將左邊看成復數Z1=

x+y i , Z2 = x +（1－ y）i，Z3 = 1－ x +y i，Z4 = 1－ x +（1－ y）i 模的和，又注意到

Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2＋2 i，于是由 z1＋z2＋z3＋z4≥z1?z2?z3?z4可得

x2?y2?x2?(1?y)2?(1?x)2?y2?(1?x)2?(1?y)2?22?22?22

此題也可構造向量來證明。

三、構造幾何圖形證明不等式

例4：已知：a>0、b>0、c>0 ,求證：a2?ab?b2?b2?bc?c2?

且僅當a2?ac?c2當111??時取等號。bac

簡析與證明：從三個根式的結構特點容易聯想到余弦定理，于是可構造如下圖形：

作OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60° 如圖（1）

則∠AOC＝120°，AB=a2?ab?b2，BC=b

2?bc?c2,AC=a2?ac?c2由幾何知識可知：AB＋BC≥AC

∴a2?ab?b2+b2?bc?c2≥a2?ac?c2

當且僅當A、B、C三點共線時等號成立，此時有

111absin60??bcsin60??acsin120?，即22

2ab+bc=ac

故當且僅當111??時取等號。bac圖（1）

四、構造橢圓證明不等式

例5：求證：?42 ?4?9x2?2x?3

3簡析與證明：4?9x2的結構特點，使我們聯

想到橢圓方程及數形結合思想。

于是令 y?4?9x2(y?0)，則其圖象是橢

x2y

2??1圓4的上半部分，設y-2x=m，于是只需

49證?42?m?, 因 m為直線y=2x＋m在y軸上33圖（2）的截距，由圖（2）可知：當直線 y = 2 x＋m 過點（直線y =2x＋m與橢圓上半部分相切時，m有最大值。

由 ?24，0）時，m有最小值為m=?；當33?y?2x?m

22?9x?y?4 得：13x2 + 4mx + m2 – 4 = 0

令△= 4（52－9m2）=0 得：m?22或m?－（33

即m的最大值為424222，故??m?，即??4?9x?2x? 33333

五、構造方程證明不等式

例6：設 a1、a2、…an 為任意正數，證明對任意正整數n

不等式(a1 + a2 + … + an)2≤ n(a12+a22+ …+ an2)均成立

簡析與證明：原不等式即為 4(a1 + a2 + … + an)2－4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0

由此聯想到根的判別式而構造一元二次方程：

(a12+ a22+ … + an2)x 2 + 2(a1 + a2 + … + an)x + n=0（＊）

因方程左邊＝(a1 x + 1)2 +(a2 x + 1)2 + … ＋(an x + 1)2 ≥ 0

當a1、a2、…an不全相等時，a1 x+

1、a2 x+

1、…an x+1至少有一個不為0，方程（＊）左邊恒為正數，方程（＊）顯然無解。

當a1＝a2＝…＝an 時，方程（＊）有唯一解 x＝?1 a

1故△＝4(a1 + a2 + … + an)2 － 4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0

即(a1 + a2 + … +an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2)對任意正整數n均成立

六、構造數列證明不等式

2例7：求證：Cn1+Cn2+…+Cnn >n·

n n-121?2n

簡析與證明：不等式左邊即為 2－1=從而聯想到等比數列的求和公式，于是左1?

2邊=1+2+2+…+ 2 2n－1112=[(1+2n-1)+(2+2n-2)+ …(2n-1+1)≥·n·22n?1=n·22n-12

例8：設任意實數a、b均滿足| a | < 1，| b | < 1 求證：112?? 221?ab1?a1?b

簡析與證明：不等式中各分式的結構特點與題設聯想到無窮等比數列（| q | < 1）各項和公式S＝a1112424?，則：=（1 + a + a + …）+（1 + b + b + …）221?a1?b1?q1?ab=2+（a2 + b2）+(a4 + b4)+ … ≥2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + … =

七、構造函數證明不等式

例9：已知| a | < 1，| b | < 1，| c | < 1，求證：ab＋bc＋ca＞－

1簡析與證明：原不等式即為：（b＋c）a＋bc＋1>0 ……①

將a看作自變量，于是問題轉化為只須證：當－1＜a＜1時，（b＋c）a＋bc＋1恒為正數。因而可構造函數 f(a)=(b + c)a + bc +1(－1＜a＜1)

若b + c = 0原不等式顯然成立。

若b + c ≠0，則f(a)是a的一次函數，f(a)在（－1,1）上為單調函數

而 f(-1)=－ b －c+ bc +1＝（1－b）（1－c）＞0

f(1)＝b＋c＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0

∴f(a)＞0 即ab＋bc＋ca＞－1

此題還可由題設構造不等式（1＋a）（1＋b）（1＋c）＞0

（1－a）（1－b）（1－c）＞0

兩式相加得：2＋2（ab＋bc＋ca）＞0即ab＋bc＋ca＞－1

八、構造對偶式證明不等式

例10：對任意自然數n，求證：(1+1)(1+

簡析與證明：設an =(1+1)(1+

構造對偶式：bn = 11)…(1+)> 43n?23n?1 112583n?43n?1)…(1+)= ··…·?43n?21473n?53n?23693n?33n47103n?23n?1··…，cn = ·… 2583n?43n?13693n?33n?1?1111?1??1?，1? 3n?23n?13n?23n

即an > bn，an > cn

3∴an> an bn cn

∴an> 11)> n?1 3n?1，即：(1+1)(1+)…(1+43n?2

小結：從以上幾例還可以看出：（1）構造法不僅是證明不等式的重要思想方法，也是解不等式，求函數值域或最值的重要思想方法。（2）運用構造法解題，必須對基礎知識掌握的非常熟練，必須有豐富的聯想和敢于創新的精神。（3）不時機地運用構造法，定能激發和培養學生的探索精神與創新能力。

（本文于2004年在《高中數學教與學》第10期上發表）

第二篇：例談運用構造法證明不等式 - 新課程數學 - 新課程數學新課程

例談運用構造法證明不等式

在我們的學習過程中，常遇到一些不等式的證明，看似簡單，但卻無從下手，很難找到切入點，幾種常用證法一一嘗試，均難以湊效。這時我們不妨變換一下思維角度，從不等式的結構和特點出發，在已學過的知識的基礎上進行廣泛的聯想，構造一個與不等式相關的數學模型，實現問題的轉化，從而使不等式得到證明。下面通過舉例加以說明。

一、構造向量證明不等式 例1：證明7x?2(9?x2)?9，并指出等號成立的條件。

簡析與證明：不等式左邊可看成7與 x 和2與9?x2兩兩乘積的和，從而聯想到數量積的坐標表示，將左邊看成向量a=(7,2)與b=(x, 又a·b ≤|a|·|b|，所以

9?x2)的數量積，7x?2(9?x2)?(7)2?(2)2·x2?(9?x2)?9

當且僅當b=λa(λ>0)時等號成立，故由立。

x7?9?x22???0得：x=7,λ=1，即 x =7時，等號成（1－y)?(x?y?3)?(2x?y?6)?例2：求證：2221 6簡析與證明：不等式左邊的特點，使我們容易聯想到空間向量模的坐標表示，將左邊看成a =(1－y , x+y－3 , 2x+y－6)模的平方，又 |a|·|b|≥a·b ,為使 a·b為常數，根據待定系數法又可構造

b=(1 , 2，-1)

222于是|a|·|b|=(1?y)?(x?y?3)?(2x?y?6)·6

（1－y)·1＋(x?y?3)·2?(2x?y?6（）·?1）－1 a·b＝222所以(1?y)?(x?y?3)?(2x?y?6)·6?1

（1－y)?(x?y?3)?(2x?y?6)?即

二、構造復數證明不等式

22例

3、求證：x?y?2221 6x2?(1?y)2?(1?x)2?y2?(1?x)2?(1?y)2?22

簡析與證明：從不等式左邊的結構特點容易聯想到復數的模，將左邊看成復數Z1= x+y i , Z2 = x +（1－ y）i，Z3 = 1－ x + y i，Z4 = 1－ x +（1－ y）i 模的和，又注意到Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2＋2 i，于是由

z1＋z2＋

z3＋

z4≥

z1?z2?z3?z4可得x2?y2?x2?(1?y)2?(1?x)2?y2?(1?x)2?(1?y)2?22?22?2

2此題也可構造向量來證明。

三、構造幾何圖形證明不等式

例4：已知：a>0、b>0、c>0 ,求證：

a2?ab?b2?b2?bc?c2?a2?ac?c2當且僅當111??時取等號。bac

簡析與證明：從三個根式的結構特點容易聯想到余弦定理，于是可構造如下圖形： 作OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60° 如圖（1）

則∠AOC＝120°，AB=a2?ab?b2，BC=b2?bc?c2,AC=a2?ac?c

2由幾何知識可知：AB＋BC≥AC

∴a2?ab?b2+b2?bc?c2≥a2?ac?c2 當且僅當A、B、C三點共線時等號成立，此時有

111absin60??bcsin60??acsin120?，即ab+bc=ac 222故當且僅當111??時取等號。bac

四、構造橢圓證明不等式 例5：求證：?4213 ?4?9x2?2x?33簡析與證明：4?9x2的結構特點，使我們聯想到橢圓方程及數形結合思想。

于是令 y?4?9x2(y?0)，則其圖象是橢圓

圖（1）

x2y2??14的上半部分，設y-2x=m，于是只需證49?4213, 因 m為直線y=2x＋m在y軸上的截?m?332，0）3距，由圖（2）可知：當直線 y = 2 x＋m 過點（時，m有最小值為m=?4；當直線y =2x＋m與橢圓上3半部分相切時，m有最大值。

?y?2x?m2 2 由 ?2 得：13x+ 4mx + m– 4 = 0 2?9x?y?4令△= 4（52－9m2）=0 得：m?圖（2）

213213或m?－（舍）33即m的最大值為

421342132132，故??m?，即??4?9x?2x?

3333

3五、構造方程證明不等式

例6：設 a1、a2、…an 為任意正數，證明對任意正整數n 不等式(a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + …

+ an

2)均成立

簡析與證明：原不等式即為 4(a1 + a2 + … + an)2－4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0

由此聯想到根的判別式而構造一元二次方程：

(a12 + a22 + … + an2)x 2 + 2(a1 + a2 + … + an)x + n=0

（＊）因方程左邊＝(a1 x + 1)2 +(a2 x + 1)2 + … ＋(an x + 1)2 ≥ 0 當a1、a2、…an不全相等時，a1 x+

1、a2 x+

1、…an x+1至少有一個不為0，方程（＊）左邊恒為正數，方程（＊）顯然無解。

當a1＝a2＝…＝an 時，方程（＊）有唯一解 x＝?1 a1故△＝4(a1 + a2 + … + an)2 － 4n(a12 + a22 + … + an

2)≤ 0 即(a1 + a2 + … +an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2)對任意正整數n均成立

六、構造數列證明不等式 例7：求證：Cn1+Cn2+…+Cnn >

n·2n

n-12

1?2n簡析與證明：不等式左邊即為 2－1=從而聯想到等比數列的求和公式，于是左邊=1+2+22+…+

1?22 n－1112=[(1+2n-1)+(2+2n-2)+ …(2n-1+1)≥·n·22n?1=n·22例8：設任意實數a、b均滿足| a | < 1，| b | < 1 求證：

n-12

112??

1?a21?b21?ab簡析與證明：不等式中各分式的結構特點與題設聯想到無窮等比數列（| q | < 1）各項和公式S＝

a1，1?q則：112424?=（1 + a + a + …）+（1 + b + b + …）221?a1?b2 1?ab=2+（a2 + b2）+(a4 + b4)+ … ≥2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + … =

七、構造函數證明不等式

例9：已知| a | < 1，| b | < 1，| c | < 1，求證：ab＋bc＋ca＞－1 簡析與證明：原不等式即為：（b＋c）a＋bc＋1>0 ……①

將a看作自變量，于是問題轉化為只須證：當－1＜a＜1時，（b＋c）a＋bc＋1恒為正數。因而可構造函數 f(a)=(b + c)a + bc +1

(－1＜a＜1)若b + c = 0原不等式顯然成立。

若b + c ≠0，則f(a)是a的一次函數，f(a)在（－1,1）上為單調函數 而 f(-1)=－ b －c + bc +1＝（1－b）（1－c）＞0 f(1)＝b＋c＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0 ∴f(a)＞0 即ab＋bc＋ca＞－1 此題還可由題設構造不等式（1＋a）（1＋b）（1＋c）＞0

（1－a）（1－b）（1－c）＞0 兩式相加得：2＋2（ab＋bc＋ca）＞0即ab＋bc＋ca＞－1

八、構造對偶式證明不等式

例10：對任意自然數n，求證：(1+1)(1+簡析與證明：設an =(1+1)(1+構造對偶式：bn =

11)…(1+)> 43n?233n?1

112583n?43n?1)…(1+)= ··…·?43n?21473n?53n?23693n?33n47103n?23n?1··…·，cn = ··…· 2583n?43n?13693n?33n?1?1111?1??1?，1?

3n?23n?13n?23n即an > bn，an > cn

3∴an> an bn cn

∴an > 311)> 33n?1 3n?1，即：(1+1)(1+)…(1+

43n?2小結：從以上幾例還可以看出：（1）構造法不僅是證明不等式的重要思想方法，也是解不等式，求函數值域或最值的重要思想方法。（2）運用構造法解題，必須對基礎知識掌握的非常熟練，必須有豐富的聯想和敢于創新的精神。（3）不時機地運用構造法，定能激發和培養學生的探索精神與創新能力。

（本文于2004年在《高中數學教與學》第10期上發表）

第三篇：構造法證明不等式例說

構造法證明不等式例說

【中圖分類號】g633.5 【文獻標識碼】a 【文章編號】

2095-3089（2012）11-0081-01

對于如何解題，g.波利亞曾這樣精辟地說過：“解題的成功要靠正確的選擇。”在解題中，常規的思考方法是由條件到結論的定向思考，但有些問題按照這樣的思維方式來尋求解題途徑比較困難，甚至無從下手。在這種情況下，要求我們改變思維方向，換一個角度思考，以找到一條繞過障礙的新途徑。構造法思想及其方法就是這種手段。下面舉例說明構造法在證明不等式方面的具體應用。

一、構造函數，利用函數性質證明不等式

第四篇：巧用構造法證明不等式

巧用構造法證明不等式

構造法是指在解決數學問題的過程中，為了完成由條件向結論的轉化，通過構造輔助元素，架起一座溝通條件和結論的橋梁，從而使問題得到解決。不等式證明是高中數學的一個難點問題，若能巧用構造方法，可以使一些問題化難為易.本文擬用構造法巧證一些不等式問題，僅供參考.一、構造函數證明不等式

若能根據題中條件的特征，巧妙地構造函數，利用函數的圖象和性質來證明不等式.例1（2011年安徽高考理科題）（Ⅰ）設x?1,y?1，證明 111x?y????xy，xyxy

（Ⅱ）1?a?b?c，證明

logab?logbc?logca?logba?logcb?logac.解：∵x?1，y?1，所以要證明原不等式成立，則只需證

xy(x?y)?1?y?x?(xy)

2成立.令f(x)?y?x?(xy)2?[xy(x?y)?1]?(y2?y)x2?(1?y2)x?y?1 當y?1時，則f(x)?0，即xy(x?y)?1?y?x?(xy)2，所以

111x?y????xy xyxy

111?(,1).函數當y?1時，二次函數f(x)的圖象開口向上，對稱軸x??22y2

f(x)在[1,??)上單調遞增，所以

f(x)?f(1)?y2?y?1?y2?y?1?0

所以

111x?y????xy xyxy

綜上，所證明的原不等式成立.（Ⅱ）證明略.二、構造方程證明不等式

由解不等式的經驗知，不等式的解的區間的端點就是相應方程的解，所以可以利用方程與不等式的內在聯系，構造方程來證明不等式.例2 設實數a,b,c滿足

?a2?bc?8a?7?0?2 2?b?c?bc?6a?6?0

求證：1?a?9.?bc?a2?8a?7證明：由已知得?，故可構造關于x的方程：

?b?c??(a?1)

x2?(a?1)x?a2?8a?7?0

所以??[?(a?1)]2?4(a2?8a?7)?0，即a2?10a?9?0，所以1?a?9.三、構造三角形證明不等式

若能根據不等式的特征，構造出與不等式相同的幾何背景的三角形，通過三角形的性質和幾何特征來證明不等式.例3設a,b,c為正實數，求證：

a2?ab?b2?b2?bc?c2?c2?ca?a2?(a?b?c)證明：由于a2?ab?b2?

下圖所示.Aa2?b2?2abcos1200，構造三角形ABC，如 ? D B

使AC?b,BC?a,?ACB?1200，則AB?a2?ab?b2.作?ACB的角平分線交AB于D.令?ADC??，則ADbBDaa?，.??sin600sin?sin600sin(1800??)sin?

33ba(a?b)

所以AB?，BD?.由此可得AB?AD?DB?.sin?sin?sin?

∵0?????1，所以AB?，所以0?si?n3(a?b)，即

2a2?ab?b2?

同理：b2?bc?c2?(a?b)①.23(c?b)② 2

(c?a)③ 2c2?ca?a2?

由①②③得a2?ab?b2?b2?bc?c2?c2?ca?a2?(a?b?c).四、構造幾何體證明不等式

若要證明的不等式與幾何體中一些線段的長度有某種內在的關系，可通過構造幾何體來證明不等式.例4 已知a,b,c均為正數，且a2?b2?c2?1.證明：

?a2??b2??c2?3?(a?b?c)

證明：由a2?b2?c2?1，可發現此式與長方體的對角線長的公式有一定聯

系.故可構造長方體，使其長寬高分別為a,b,c，且AC1?1.A

c 1A1 D

1而AB1?b2?c2??a2.在?AB1C1中，有AB1?B1C1?AC1，即

?a2?a?1①

同理有

?b2?b?1②

?c2?c?1③

由①②③得?a2??b2??c2?3?(a?b?c).用構造法證明不等式是一種非常重要的解題方法.運用此方法的關鍵在于“構造”，可以根據所要證明的不等式的結構特征，合理運用類比、聯想等方法，構造出“輔助元素”，使所要證明的不等式化難為易，從而解決問題。

第五篇：構造法證明不等式

構造法證明不等式

由于證明不等式沒有固定的模式，證法靈活多樣，技巧性強，使得不等式證明成為中學數學的難點之一.下面通過數例介紹構造法在證明不等式中的應用.一、構造一次函數法證明不等式

有些不等式可以和一次函數建立直接聯系，通過構造一次函數式，利用一次函數的有關特性，完成不等式的證明.例1設0≤a、b、c≤2，求證：4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.證明：視a為自變量，構造一次函數

=4a+b+c+abc-2ab-2bc-2ca=(bc-2b-2c+4)a+(b+c-2bc)，由0≤a≤2，知表示一條線段.又=b+c-2bc=(b-c)≥0，=b+c-4b-4c+8=(b-2)+(c-2)≥0，可見上述線段在橫軸及其上方，∴≥0，即4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.二、構造二次函數法證明不等式

對一些不等式證明的題目，若能巧妙構造一元二次函數，利用二次函數的有關特性，可以簡潔地完成不等式證明.例2實數a、b、c滿足(a+c)(a+b+c)<0，求證：(b-c)>4a(a+b+c).證明：由已知得a=0時，b≠c，否則與(a+c)(a+b+c)<0矛盾，故a=0時，(b-c)>4a(a+b+c)成立.當a≠0時，構造二次函數=ax+(b-c)x+(a+b+c)，則有

=a+b+c，=2(a+c)，而·=2(a+c)(a+b+c)<0，∴存在m，當-1