第一篇：例談分式不等式的證明

例談分式不等式的證明

鄧超（福建省福州市第十八中學350001）

不等式的證明是高中數學教學的一個難點，我們遇到的大多數不等式都是以分式不等式的形式出現的，這就更令人頭疼。事實上，分式不等式的證明還是有一定規律可尋的，下文將做一簡單介紹。

一、利用證明不等式的常用方法

對于一些不太復雜的分式不等式，直接采用分析法、綜合法、比較法等常用的不等式證明方法即可。

111???1。1?2a1?2b1?2c

111證明：要證原式只要證(??)?(1?2a)(1?2b)(1?2c)?(1?2a)(1?2b)(1?2c)，1?2a1?2b1?2c例

1、設a,b,c?R，且abc?1，求證：?

即證：(1?2b)(1?2c)?(1?2a)(1?2c)?(1?2a)(1?2b)?(1?2a)(1?2b)(1?2c)，即證（展開整理）：a?b?c?3（其中使用了abc?1），而由均值不等式得a?b?c??3，故原不等式成立。

例

2、（數學教學問題788）已知a,b,c?R，且a?b?c?1，求證： ?

abc9??? a?bcb?cac?ab

4證明：注意到：a?bc?1?b?c?bc?(1?b)(1?c)，b?ca?1?a?c?ac?(1?c)(1?a)c?ab?1?a?b?ab(?1，故原不等式可化為： ?)a(1?b)

a?(1?b)(?1c)b?(1c)?(a1c9)?a(1?b)(1)4

a?a2?b?b2?c?c29?，要證此式只要證（通分即可）：(1?a)(1?b)(1?c)4

1?a2?b2?c29?（其中使用了a?b?c?1）即證：，(1?a)(1?b)(1?c)4

只要證：4(1?a?b?c)?9(1?a)(1?b)(1?c)，（(1?a)(1?b)(1?c)?0）

即證（展開整理）：ac?bc?ca?9abc?0

（此處用到(a?b?c)?a?b+c?2ab?2bc?2ca和a?b?c?1），只要證

2222222111，???9（上式同除abc）abc

事實上，由柯西不等式得：

11111

1???(??)(a?b?c)?9，故原不等式成立。abcabc

注：此不等式的證明采用了分析法，沒用太多的技巧，關鍵的一步是能夠看出原不等式可化為（1）

式，這將大大簡化計算；否則要證明一個6次的不等式，這將大大增加計算。

二、利用重要不等式

1、利用排序不等式

分式不等式中有不少是對稱的（即各個未知元的地位平等），因此我們往往可以利用“不妨設”創造出排序不等式所需的條件，然后利用這一重要不等式給出證明，如例3。當然并不是說排序不等式只能證明對稱不等式，這在例4中將會看到。

例

3、（數學通報問題1651）設x、y、z是正數，n?N，求證：

?

xyz

3。???

nx?y?zx?ny?zx?y?nzn?

2證明：因為此不等式是對稱的，故不妨設x?y?z，則nx?y?z?x?ny?z?x?y?nz，所以

1。至此條件創造完畢，可以利用排序不等式了。??

x?y?nzx?ny?znx?y?z

xyzyzx

（反序和小等于亂序?????

nx?y?zx?ny?zx?y?nznx?y?zx?ny?zx?y?nz

因為

和）（1）

xyzzxy

（反序和小等于亂序和）?????

nx?y?zx?ny?zx?y?nznx?y?zx?ny?zx?y?nz

（2）所以(n?2）?（xyz

??）

nx?y?zx?ny?zx?y?nz

=（n

xyzxyz

??）+2（??）

nx?y?zx?ny?zx?y?nznx?y?zx?ny?zx?y?nz

nxnynzyzx

??）+（??）

nx?y?zx?ny?zx?y?nznx?y?zx?ny?zx?y?nz

zxynx?y?zny?z?xnz?x?y+(??)???=3nx?y?zx?ny?zx?y?nznx?y?zx?ny?zx?y?nz?（故原不等式成立。

注：此題供題者所給的證明采用了換元的方法，有興趣的讀者可參見數學通報2007年第2期。當n?0時，不等號應反向，即有同的特例。

xyz3

???，請讀者自證。另外，當n取不同值時可得到不y?zx?zx?y2

222

anana12a2?1

????????a1?a2?????an。例

4、設ai（1?i?n）是正數，求證：

a2a3ana

1證明：將ai（1?i?n）重小到大排列，設

aj1?aj2?aj3?????ajn?1?ajn

成立

11111????????（1?ji?n,ji?N，ji各不相同），則

ajnajn?1aj3aj2aj1

可以利用排序不等式了。

222222

2aaaaanaa12a2jjnjj?1nn?112

???????????????所以

a2a3ana1aj1aj2ajn?1ajn

。至此條件創造完畢，（亂序和大等于反序和），又因為

a2j1aj1

?

a2j2aj2

?????

a2jn?1ajn?1

?

a2jnajn

?aj1?aj2?????ajn?1?ajn?a1?a2?????an，故原不等式成立。

注：此題亦可用柯西不等式和均值不等式證明，請讀者參考下面的例子。

2、利用柯西不等式 對于分式不等式

?x

i?1n

n

i

?A，可在不等式左邊乘上一個因式?xi'2，這里要保證xixi'為整式，i?

12n

'

2n

然后利用柯西不等式

?x?x

ii?1

i?1

i

?(?xixi')2給出證明。

i?1

n

例

5、（24屆全蘇數學奧林匹克試題）設ai（1?i?n）是正數，且有

?a

i?

1n

i

?1，求證：

an2a12a221

???????。

a1?a2a2?a3an?a1

2證明：利用柯西不等式得：

an2a12a22(??????)[(2(a1?a2?????an)] a1?a2a2?a3an?a1

an2a12a22?(??????)[(a1?a2)?(a2?a3)?????(an?a1)]

a1?a2a2?a3an?a1

222

??????22????

2] =??????2

?(a1?a2?????an)2?1

an2a12a221

???????。所以

a1?a2a2?a3an?a12

例

6、（2009年全國高中數學聯賽福建賽區預賽）設a、b、c是三個正數，滿足a?b?c?3，求證：

a?1b?1c?

1???2。

a(a?2)b(b?2)c(c?2)

證明：由柯西不等式得[

a?1b?1c?1a(a?2)b(b?2)c(c?2)

??][??]?9，a(a?2)b(b?2)c(c?2)a?1b?1c?1

即[

a?1b?1c?1111??][a?b?c?3???]?9，a(a?2)b(b?2)c(c?2)a?1b?1c?1

a?1b?1c?19，???

a(a?2)b(b?2)c(c?2)a?b?c?3?1?1?1

a?1b?1c?1

1119

故要證原不等式只要證明上式右邊?2，即證a?b?c?3????，a?1b?1c?1

21113即證???a?b?c?。

a?1b?1c?12

3因為a?b?c?3，故要證上式只要證：???

a?1b?1c?12

而事實上，由柯西不等式得：(??)(a?1?b?1?c?1)?9，a?1b?1c?1

111993故(??)???（a?b?c?3）

a?1b?1c?1a?1?b?1?c?13?32

亦即

故原不等式成立。

注：原賽題由題（1）和題（2）兩小題構成，此題是題（2）。在參考答案的證明中，題（2）的證明要用到題（1）的結論。本例要求直接證明題（2），從而增加了難度。本例的證明同時使用了分析法和柯西不等式，且用了兩次柯西不等式，具有一定難度。

3、利用均值不等式 對于分式不等式

?x

i?

1n

i

?A，可考慮添加xi'和xi配成一對，然后利用均值不等式xi?xi'?'

得到n

個不等式（一般來說要保證，然后將這n個不等式相加，消去添加的各項xi，最后得到證明。

a2b2c2a?b?c

???例

7、（第二屆友誼杯國際數學邀請賽）已知a、b、c為正數。

b?cc?aa?b2a2b?c???a，證明：由均值不等式可得：

b?c

4b2c?ac2a?b??

?b，???c，同理有：

c?a4a?b4a2b?cb2c?ac2a?b

將以上三式相加即可得：??????a?b?c，b?c4c?a4a?b4

整理后即可得結論。

注：此不等式的證明簡潔，其中所用的添項技巧也是運用均值不等式的常見技巧之一。另外，用此法證明例5就要用到該技巧。

三、利用某些技巧

1、構造對偶式

例

8、利用構造對偶式這一技巧給出例5的另一個證明。

an2a12a2

2??????證明：設M?，a1?a2a2?a3an?a

1a32an2a22

N???????（對偶式），a1?a2a2?a3an?a1

a32an2a12a22a22a12

?)?(?)?????(?)因為M?N?（a1?a2a1?a2a2?a3a2?a3an?a1an?a1

???(an?a1)?0，所以M?N。=(a1?a2)?(a2?a3)??

an2?a12a12?a22a22?a32

??????所以2M?M?N?

a1?a2a2?a3an?a1

?(a1?a2)?(a2?a3)?????(an?a1)?a1?a2?????an?1（這里利用了不等式 222a2?b21

?(a?b)），a?b2

所以M?，原不等式成立。2

注：利用對偶式這一技巧可以簡潔的證明許多形式上很復雜的不等式，這里列舉一例供讀者思考：如

a3b3c3a?b?c

???果a、b、c是正數，證明：2。更多的構造對偶

a?ab?b2b2?bc?c2c2?ca?a2

3式證明不等式的例子請參見文[1]。

2、引入參數

例

9、設x、y、z?0，且x?y?z?

11??。4z?15

分析：此不等式是對稱不等式，可考慮構造一個和為的表達式，故引入參數?，嘗試證明：5

1??x，且??。5

證明：引入參數?

??x。當x?0時，有

??x?(0,1]都

成立。故要求?的值，(0,1]上的最小值即可。

在(0,1]上的最小值為（此時x?1），故當??

時，有??5x?(0,1]），此時

同時有

11??x（x?[0,1]）?x。

。取??

?y和?z，將以上三式相加即可得結論。

54z?15

注：本例引入的參數是作為項的系數引入的。另外，參數還可作為冪指數引入，作為直線斜率引入等，具體的例子可參見文[2]。

本文考慮了分式不等式的證明，對不太復雜的分式不等式的證明不應忘記采用最常用的分析法和綜合法等方法進行；其次可考慮利用高中數學教科書中出現的三個重要不等式證明；在上述方法證明無效的情況下，可考慮采用一些技巧進行證明。由于分式不等式的證明方法靈活多樣，故對其證明不應拘泥于上述思路和方法，但對于常見的分式不等式，上述方法是夠用的。

參考文獻：

[1]楊華.構造配對式，證明不等式[J].中等數學，2005（3），10～13 [2]程東軍.巧引參數，證明不等式[J].中等數學，2007（9），5～8

第二篇：分式不等式放縮、裂項、證明

放縮法的常見技巧

（1）舍掉（或加進）一些項（2）在分式中放大或縮小分子或分母。（3）應用基本不等式放縮(例如均值不等式）。（4）應用函數的單調性進行放縮（5）根據題目條件進行放縮。（6）構造等比數列進行放縮。（7）構造裂項條件進行放縮。（8）利用函數切線、割線逼近進行放縮。使用放縮法的注意事項

（1）放縮的方向要一致。（2）放與縮要適度。

（3）很多時候只對數列的一部分進行放縮法，保留一些項不變（多為前幾項或后幾項）。（4）用放縮法證明極其簡單，然而，用放縮法證不等式，技巧性極強，稍有不慎，則會出現放縮失當的現象。所以對放縮法，只需要了解，不宜深入。

先介紹工具

柯西不等式（可以通過向量表示形式記住即摸摸大于向量乘積）

均值不等式

調和平均數≤幾何平均數≤算術平均數≤平方平均數

絕對值三角不等式

定理1：|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b| 推論1：|a1＋a2＋a3|≤|a1|＋|a2|＋|a3| 此性質可推廣為|a1＋a2＋…＋an|≤|a1|＋|a2|＋…＋|an|． 推論2：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b| 定理2：如果a，b，c是實數，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，當且僅當(a－b)(b－c)≥0時，等號成立． 常用放縮思想

這幾個務必牢記

不常見不常用的不等式

這幾個一般用不到，放的太大了，知道有印象就好了

下面就是常用思路了，主要就是裂項部分

二項平方和

f（x）=（a1x-b1）^2+（a2x-b2）^2+……(anx-bn)^2 由f（x）≥0可得△小于等于0

1.分式不等式中的典范，典范中的典范，放縮、裂項、去等，步步精彩

解析：

步步經典，用筆化化就能明白思想，換元或許更直觀，即令t=1/（x+2）

第一步意義--開不了方的，開方，并且可取等號 第二步意義--開不了方的，開方，裂項，并且可取等號 個人認為這倆個放縮，很犀利，沒見過，看似難實則簡單，看似簡單實則難

2.構造+三角形 ★★★★

平面內三點A、B、C，連接三點，令AB=c，AC=b，BC=a，求 解析：

構造，主要就是構造，b/c就是很明顯的提示。三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

構造 ★★★★

為了方便觀察，沒有采用換元，直接寫更清楚，這題應該是一直在向目標上湊得題目了

3.反證法典例 ★★

解析：

4.柯西不等式典例 ★★★

有些方法就是那么氣人，神奇的氣人

或者用三角函數也可以不過要用到三角恒等式： 令x+2y+3z=t則(t-3z)^2／√5≤√(5-z^2)即14z^2-6tz+t^2-25≤0△=-20t^2+1400≤0 所以tmax=√70

5.

第三篇：不等式和分式應用題

1、某中學為八年級寄宿學生安排宿舍，如果每間4人，那么有20人無法安排，如果每間8人，那么有一間不空也不滿，求宿舍間數和寄宿學生人數。

2、有10名菜農,每人可種甲種蔬菜3畝或乙種蔬菜2畝,已知甲種蔬菜每畝可收入

0.5萬元,乙種蔬菜每畝可收入0.8萬元,若要使總收入不低于15.6萬元,則應該如何安排人員？

3、出租汽車起價是10元(即行駛路程在5km以內需付10元車費),達到或超過5km

后,每增加1km加價1.2元(不足1km部分按1km計),現在某人乘這種出租 汽車從甲地到乙地支付車費17.2元,從甲地到乙地的路程大約是多少?

4、在雙休日,某公司決定組織48名員工到附近一水上公園坐船游園,公司先派一個

人去了解船只的租金情況,這個人看到的租金價格表如下:

那么,怎樣設計租船方案才能使所付租金最少?(嚴禁超載)

5、(2001安徽)某工程隊要招聘甲、乙兩種工種的工人150人，甲、乙兩種工種的工人月工資分別為600元和1000元.現要求乙種工種的人數不少于甲種工種人數的2倍,問甲、乙兩種工種各招聘多少人時，可使得每月所付的工資最少？

6、某工程隊要招聘甲、乙兩種工種的工人150人，甲、乙兩種工種的工人月工資分別為

600元和1000元.現要求乙種工種的人數不少于甲種工種人數的2倍,問甲、乙兩種工種各招聘多少人時，可使得每月所付的工資最少？

7、某公司到果品基地購買某種優質水果慰問醫務工作者，果品基地對購買量在3000kg

以上（含3000kg）的顧客采用兩種銷售方案。

甲方案：每千克9元，由基地送貨上門；乙方案：每千克8元，由顧客自己租車運回。已知該公司租車從基地到公司的運輸費用為5000元。

（1）分別寫出該公司兩種購買方案付款金額y（元）與所購買的水果量x（kg）之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍。

（2）當購買量在哪一范圍時，選擇哪種購買方案付款最少？并說明理由

8、某公司為了擴大經營，決定購進6臺機器用于生產某種活塞．現有甲、?乙兩種機器

供選擇，其中每種機器的價格和每臺機器日生產活塞的數量如下表所示．經過預算，本次購買機器所耗資金不能超過34萬元．

（1）按該公司要求可以有幾種購買方案？

（2）若該公司購進的6臺機器的日生產能力不能低于380個，那么為了節約資金應

選擇哪種方案？

9、水果店進了某中水果1t，進價是7元/kg。售價定為10元/kg，銷售一半以后，為了

盡快售完，準備打折出售。如果要使總利潤不低于2000元，那么余下的水果可以按原定價的幾折出售？

10、“中秋節”期間蘋果很熱銷，一商家進了一批蘋果，進價為每千克1.5元，銷售中有

6%的蘋果損耗，商家把售價至少定為每kg多少元，才能避免虧本？

11、陽光中學校長準備在暑假帶領該校的“市級三好生”去青島旅游，甲旅行社說“如果

校長買全票一張，則其余學生享受半價優惠.”乙旅行社說“包括校長在內，全體人員均按全票的6折優惠”.若到青島的全票為1000元.（1）設學生人數為x人，甲旅行社收費為y 甲元，乙旅行社收費為y乙元，分別寫出

兩家旅行社的收費表達式.（2）就學生人數x，討論哪家旅行社更優惠？

12、某用煤單位有煤m噸，每天燒煤n噸，現已知燒煤三天后余煤102噸，燒煤8天后

余煤72噸.(1)求該單位余煤量y噸與燒煤天數x之間的函數解析式；(2)當燒煤12天后，還余煤多少噸？(3)預計多少天后會把煤燒完？

13、重量相同的兩種商品，分別價值900元和1500元,已知第一種商品每千克的價值比第二種少300元,分別求這兩種商品每千克的價值。

14、某客車從甲地到乙地走全長480Km的高速公路，從乙地到甲地走全長600Km的普通公路。又知在高速公路上行駛的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路從甲地到乙地所需的時間是由普通公路從乙地到甲地所需時間的一半，求該客車由高速公路從甲地到乙地所需要的時間。

15、從甲地到乙地的路程是15千米，A騎自行車從甲地到乙地先走，40分鐘后，B騎自行車從甲地出發，結果同時到達。已知B的速度是A的速度的3倍，求兩車的速度。

16、一臺甲型拖拉機4天耕完一塊地的一半，加一臺乙型拖拉機，兩臺合耕，1天耕完這塊地的另一半。乙型拖拉機單獨耕這塊地需要幾天？

17、A做90個零件所需要的時間和B做120個零件所用的時間相同，又知每小時A、B兩人共做35個機器零件。求A、B每小時各做多少個零件。

18、某甲有25元，這些錢是甲、乙兩人總數的20%。乙有多少錢？

19、某甲有錢400元，某乙有錢150元，若乙將一部分錢給甲，此時乙的錢是甲的錢的10%，問乙應把多少錢給甲？

20、我部隊到某橋頭狙擊敵人，出發時敵人離橋頭24千米，我部隊離橋頭30千米，我部隊急行軍速度是敵人的1.5倍，結果比敵人提前48分鐘到達，求我部隊的速度。

21、輪船順水航行80千米所需要的時間和逆水航行60千米所用的時間相同。已知水流的速度是3千米/時，求輪船在靜水中的速度。

22、某中學到離學校15千米的某地旅游，先遣隊和大隊同時出發，行進速度是大隊的1.2倍，以便提前半小時到達目的地做準備工作。求先遣隊和大隊的速度各是多少？

23、某人現在平均每天比原計劃多加工33個零件，已知現在加工3300個零件所需的時間和原計劃加工2310個零件的時間相同，問現在平均每天加工多少個零件。

24、我軍某部由駐地到距離30千米的地方去執行任務，由于情況發生了變化，急行軍速度必需是原計劃的1.5倍，才能按要求提前2小時到達，求急行軍的速度。

25、某商廈進貨員預測一種應季襯衫能暢銷市場，就用8萬元購進這種襯衫，面市后果然供不應求，商廈又用17.6萬元購進了第二批這種襯衫，所購數量是第一批購進量的2倍，但單價貴了4元，商廈銷售這種襯衫時每件定價都是58元，最后剩下的150件按八折銷售，很快售完，在這兩筆生意中，商廈共贏利多少元。

26、一個批發兼零售的文具店規定：凡一次購買鉛筆300枝以上，（不包括300枝），可以按批發價付款，購買300枝以下，（包括300枝）只能按零售價付款。小明來該店購買鉛筆，如果給八年級學生每人購買1枝，那么只能按零售價付款，需用120元，如果購買60枝，那么可以按批發價付款，同樣需要120元，（1）這個八年級的學生總數在什么范圍內？

（2）若按批發價購買6枝與按零售價購買5枝的款相同，那么這個學校八年級學生有

多少人？

27、某項緊急工程，由于乙沒有到達，只好由甲先開工，6小時后完成一半，乙到來后倆人同時進行，1小時完成了后一半，如果設乙單獨x小時可以完成后一半任務，那么x應滿足的方程是什么？

28、走完全長3000米的道路，如果速度增加25%，可提前30分到達，那么速度應達到多少？

29、對甲乙兩班學生進行體育達標檢查，結果甲班有48人合格，乙班有45人合格，甲班的合格率比乙班高5%，求甲班的合格率？

30、某種商品價格，每千克上漲1/3，上回用了15元，而這次則是30元，已知這次比上回多買5千克，求這次的價格。

31、小明和同學一起去書店買書，他們先用15元買了一種科普書，又用15元買了一種文學書，科普書的價格比文學書的價格高出一半，因此他們買的文學書比科普書多一本，這種科普和文學書的價格各是多少？

32、甲種原料和乙種原料的單價比是2：3，將價值2000元的甲種原料有價值1000元的乙混合后，單價為9元，求甲的單價。

33、某商品每件售價15元，可獲利25%，求這種商品的成本價。

34、某商店甲種糖果的單價為每千克20元，乙種糖果的單價為每千克16元，為了促銷，現將10千克的乙種糖果和一包甲種糖果混合后銷售，如果將混合后的糖果單價定為每千克17.5元，那么混合銷售與分開銷售的銷售額相同，這包甲糖果有多少千克？

35、兩地相距360千米，回來時車速比去時提高了50%，因而回來比去時途中時間縮短了2小時，求去時的速度

36、某車間加工1200個零件，采用新工藝，工效是原來的1.5倍，這樣加工同樣多的零件就少用10小時，采用新工藝前后每時分別加工多少個零件？

第四篇：分式不等式教案

2.3分式不等式的解法

上海市虹口高級中學

韓璽

一、教學內容分析

簡單的分式不等式解法是高中數學不等式學習的一個基本內容.對一個不等式通過同解變形轉化為熟悉的不等式是解不等式的一個重要方法.這兩類不等式將在以后的數學學習中不斷出現，所以需牢固掌握.二、教學目標設計

1、掌握簡單的分式不等式的解法.2、體會化歸、等價轉換的數學思想方法.三、教學重點及難點

重點 簡單的分式不等式的解法.難點 不等式的同解變形.四、教學過程設計

一、分式不等式的解法

1、引入

某地鐵上，甲乙兩人為了趕乘地鐵，分別從樓梯和運行中的自動扶梯上樓（樓梯和自動扶梯長度相同），如果甲的上樓速度是乙的2倍，他倆同時上樓，且甲比乙早到樓上，問甲的速度至少是自動扶梯運行速度的幾倍.設樓梯的長度為s，甲的速度為v，自動扶梯的運行速度為v0.于是甲上樓所需時間為

s，乙上樓所需時間為vsvv0?2.由題意，得ss.?vvv?02整理的12?.v2v0?v

由于此處速度為正值，因此上式可化為2v0?v?2v，即v?2v0.所以，甲的速度應大于自動扶梯運行速度的2倍.2、分式不等式的解法 例1 解不等式：x?1?2.3x?2 1

解：（化分式不等式為一元一次不等式組）

?5?x?1?x?1x?1x?1?2??2?0??0 ?0?3x?23x?23x?23x?2?x?1?x?1?x?1?0?x?1?02???x?1或x不或?或?????2?233x?2?03x?2?0x?x????3?3??存在.所以，原不等式的解集為??2??2?,1???，即解集為?,1?.?3??3?注意到

x?1?03x?2??x?1?0??3x?2?0或?x?1?0??3x?2??x?1??0，可以簡化上述解法.??3x?2?0另解：（利用兩數的商與積同號（為一元二次不等式）

aa?0?ab?0，?0?ab?0）化bb?5?x?1?x?1x?1x?1?2??2?0??0 ?0?3x?23x?23x?23x?2??3x?2??x?1??0?2?2??x?1，所以，原不等式的解集為?,1?.3?3?由例1我們可以得到分式不等式的求解通法：

（1）不要輕易去分母，可以移項通分，使得不等號的右邊為零.（2）利用兩數的商與積同號，化為一元二次不等式求解.一般地，分式不等式分為兩類：

f?x?（1）； ?0（?0）?f?x?g?x??0（?0）g?x?（2）

?f?x??f?x?g?x??0??0?.?0（?0）??g?x???g?x??0 2

[說明]

解不等式中的每一步往往要求“等價”，即同解變形，否則所得的解集或“增”或“漏”.由于不等式的解集常為無限集，所以很難像解無理方程那樣，對解進行檢驗，因此同解變形就顯得尤為重要.例2 解下列不等式

?x?1?0.x?52?3.（2）3?5xx?8?2.（3）2x?2x?3x?1?0??x?1??x?5??0?1?x?5，解（1）原不等式?x?5（1）所以，原不等式的解集為?1,5?.（2）原不等式?215x?715x?7?3?0??0??0 3?5x3?5x5x?3????15x?7??5x?3??0???5x?3?0?3?7?x???155??x?3?5??73?x?，155所以，原不等式的解集為??73,155?2??.?2（3）分母：x?2x?3??x?1??1?1?0，則

原不2等式?x?82?2?xx????x?2??3?x4x?? ??2x22?6?x??2或x??1??,?2????,????.?2?1，所以，原不等式的解集為2 3

例3 當m為何值時，關于x的不等式m?x?1??3?x?2?的解是（1）正數？

（2）是負數？

解：m?x?1??3?x?2? ??m?3?x?m?6（*）當m?3時，（*）?0?x?9?x不存在.當m?3時，（*）?x?（1）原

m?6.m?3方

程的解

為

正

數?x?（m?6?0?(m?m?3）原

方

m6?程

?)?m??6或m?3.的解

為

負

數2?x?m?6?0?(m?m?3m6??)??6?m?3.所以，當m????,?6???3,???時，原方程的解為正數.當m???6,3?時，原方程的解為負數.四、作業布置

選用練習2.3（1）（2）、習題2.3中的部分練習.五、課后反思

解分式不等式關鍵在于同解變形.通過同解變形將其轉化為熟悉的不等式來加以解決，這種通過等價變形變“未知”為“已知”的解決問題的方法是教學的重點也是難點，需在課堂教學中有所強調.整個教學內容需讓學生共同參與，特別是在“同解變形”這一點上，應在學生思考、討論的基礎上教師、學生共同進行歸納小結.

第五篇：例談運用構造法證明不等式

例談運用構造法證明不等式

湖北省天門中學薛德斌

在我們的學習過程中，常遇到一些不等式的證明，看似簡單，但卻無從下手，很難找到

切入點，幾種常用證法一一嘗試，均難以湊效。這時我們不妨變換一下思維角度，從不等式的結構和特點出發，在已學過的知識的基礎上進行廣泛的聯想，構造一個與不等式相關的數

學模型，實現問題的轉化，從而使不等式得到證明。下面通過舉例加以說明。

一、構造向量證明不等式

例1：證明7x?2(9?x2)?9，并指出等號成立的條件。簡析與證明：不等式左邊可看成7與 x 和2與9?x2兩兩乘積的和，從而聯想

到數量積的坐標表示，將左邊看成向量a=(,2)與b=(x,又a·b ≤|a|·|b|，所以7x?9?x2)的數量積，2(9?x2)?(7)2?(2)2x2?(9?x2)?9當且僅當b=λa(λ>0)時等號成立，故由

時，等號成立。x7?9?x22x=,λ=1，即 x =7???0得：（1－y)?(x?y?3)?(2x?y?6)?例2：求證：2221 6

簡析與證明：不等式左邊的特點，使我們容易聯想到空間向量模的坐標表示，將左邊看

成a =(1－y , x+y－3 , 2x+y－6)模的平方，又 |a|·|b|≥a·b ,為使 a·b為常數，根據待定系數

法又可構造b=(1 , 2，-1)

222于是|a|·|b|=(1?y)?(x?y?3)?(2x?y?6)6

（1－y)·1＋(x?y?3)·2?(2x?y?6（）·?1）－1 a·b＝

222所以(1?y)?(x?y?3)?(2x?y?6)6?1（1－y)?(x?y?3)?(2x?y?6)?即

二、構造復數證明不等式

22例

3、x?y?2221 6x2?(1?y)2?(1?x)2?y2?(1?x)2?(1?y)2?2

2簡析與證明：從不等式左邊的結構特點容易聯想到復數的模，將左邊看成復數Z1=

x+y i , Z2 = x +（1－ y）i，Z3 = 1－ x +y i，Z4 = 1－ x +（1－ y）i 模的和，又注意到

Z1＋Z2＋Z3＋Z4＝2＋2 i，于是由 z1＋z2＋z3＋z4≥z1?z2?z3?z4可得

x2?y2?x2?(1?y)2?(1?x)2?y2?(1?x)2?(1?y)2?22?22?22

此題也可構造向量來證明。

三、構造幾何圖形證明不等式

例4：已知：a>0、b>0、c>0 ,求證：a2?ab?b2?b2?bc?c2?

且僅當a2?ac?c2當111??時取等號。bac

簡析與證明：從三個根式的結構特點容易聯想到余弦定理，于是可構造如下圖形：

作OA＝a，OB＝b，OC＝c，∠AOB=∠BOC=60° 如圖（1）

則∠AOC＝120°，AB=a2?ab?b2，BC=b

2?bc?c2,AC=a2?ac?c2由幾何知識可知：AB＋BC≥AC

∴a2?ab?b2+b2?bc?c2≥a2?ac?c2

當且僅當A、B、C三點共線時等號成立，此時有

111absin60??bcsin60??acsin120?，即22

2ab+bc=ac

故當且僅當111??時取等號。bac圖（1）

四、構造橢圓證明不等式

例5：求證：?42 ?4?9x2?2x?3

3簡析與證明：4?9x2的結構特點，使我們聯

想到橢圓方程及數形結合思想。

于是令 y?4?9x2(y?0)，則其圖象是橢

x2y

2??1圓4的上半部分，設y-2x=m，于是只需

49證?42?m?, 因 m為直線y=2x＋m在y軸上33圖（2）的截距，由圖（2）可知：當直線 y = 2 x＋m 過點（直線y =2x＋m與橢圓上半部分相切時，m有最大值。

由 ?24，0）時，m有最小值為m=?；當33?y?2x?m

22?9x?y?4 得：13x2 + 4mx + m2 – 4 = 0

令△= 4（52－9m2）=0 得：m?22或m?－（33

即m的最大值為424222，故??m?，即??4?9x?2x? 33333

五、構造方程證明不等式

例6：設 a1、a2、…an 為任意正數，證明對任意正整數n

不等式(a1 + a2 + … + an)2≤ n(a12+a22+ …+ an2)均成立

簡析與證明：原不等式即為 4(a1 + a2 + … + an)2－4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0

由此聯想到根的判別式而構造一元二次方程：

(a12+ a22+ … + an2)x 2 + 2(a1 + a2 + … + an)x + n=0（＊）

因方程左邊＝(a1 x + 1)2 +(a2 x + 1)2 + … ＋(an x + 1)2 ≥ 0

當a1、a2、…an不全相等時，a1 x+

1、a2 x+

1、…an x+1至少有一個不為0，方程（＊）左邊恒為正數，方程（＊）顯然無解。

當a1＝a2＝…＝an 時，方程（＊）有唯一解 x＝?1 a

1故△＝4(a1 + a2 + … + an)2 － 4n(a12 + a22 + … + an2)≤ 0

即(a1 + a2 + … +an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2)對任意正整數n均成立

六、構造數列證明不等式

2例7：求證：Cn1+Cn2+…+Cnn >n·

n n-121?2n

簡析與證明：不等式左邊即為 2－1=從而聯想到等比數列的求和公式，于是左1?

2邊=1+2+2+…+ 2 2n－1112=[(1+2n-1)+(2+2n-2)+ …(2n-1+1)≥·n·22n?1=n·22n-12

例8：設任意實數a、b均滿足| a | < 1，| b | < 1 求證：112?? 221?ab1?a1?b

簡析與證明：不等式中各分式的結構特點與題設聯想到無窮等比數列（| q | < 1）各項和公式S＝a1112424?，則：=（1 + a + a + …）+（1 + b + b + …）221?a1?b1?q1?ab=2+（a2 + b2）+(a4 + b4)+ … ≥2+2ab+2 a2 b2 + 2a4b4 + … =

七、構造函數證明不等式

例9：已知| a | < 1，| b | < 1，| c | < 1，求證：ab＋bc＋ca＞－

1簡析與證明：原不等式即為：（b＋c）a＋bc＋1>0 ……①

將a看作自變量，于是問題轉化為只須證：當－1＜a＜1時，（b＋c）a＋bc＋1恒為正數。因而可構造函數 f(a)=(b + c)a + bc +1(－1＜a＜1)

若b + c = 0原不等式顯然成立。

若b + c ≠0，則f(a)是a的一次函數，f(a)在（－1,1）上為單調函數

而 f(-1)=－ b －c+ bc +1＝（1－b）（1－c）＞0

f(1)＝b＋c＋bc＋1＝（1＋b）（1＋c）＞0

∴f(a)＞0 即ab＋bc＋ca＞－1

此題還可由題設構造不等式（1＋a）（1＋b）（1＋c）＞0

（1－a）（1－b）（1－c）＞0

兩式相加得：2＋2（ab＋bc＋ca）＞0即ab＋bc＋ca＞－1

八、構造對偶式證明不等式

例10：對任意自然數n，求證：(1+1)(1+

簡析與證明：設an =(1+1)(1+

構造對偶式：bn = 11)…(1+)> 43n?23n?1 112583n?43n?1)…(1+)= ··…·?43n?21473n?53n?23693n?33n47103n?23n?1··…，cn = ·… 2583n?43n?13693n?33n?1?1111?1??1?，1? 3n?23n?13n?23n

即an > bn，an > cn

3∴an> an bn cn

∴an> 11)> n?1 3n?1，即：(1+1)(1+)…(1+43n?2

小結：從以上幾例還可以看出：（1）構造法不僅是證明不等式的重要思想方法，也是解不等式，求函數值域或最值的重要思想方法。（2）運用構造法解題，必須對基礎知識掌握的非常熟練，必須有豐富的聯想和敢于創新的精神。（3）不時機地運用構造法，定能激發和培養學生的探索精神與創新能力。

（本文于2004年在《高中數學教與學》第10期上發表）