第一篇：高等數學考研幾個重要定理的證明

幾個重要定理的證明

1、羅爾定理（考過）

如果函數f(x)在閉區間［a，b］上連續，在開區間（a，b）上可導，且f(a)= f(b)，則在開區間（a，b）內至少存在一點￡，使得f'(?)=0.證：∵函數f(x)在閉區間［a，b］上連續

∴由最大最小值定理有：m< f(x)

(1)若m=M，此時f(x)在［a，b］上為恒定值

對任意的x∈（a，b）都有f'(?)=0。

（2）若m≠M，因為f(a)= f(b)，則m和M中至少有一個不等于區間的端點值。不妨設M≠f(a)，則存在?∈（a，b）使得f(?)=M。

∴對任意的x∈［a，b］使得f(x)≤f(?)，從而由費馬引理，可知f'(?)=0.證畢。

2、拉格朗日中值定理（考過）

如果函數f(x)滿足：（1）在閉區間［a，b］上連續；（2）在開區間（a，b）上可導，那么在（a，b）內至少存在（a，b）一點?，使得f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)成立。

證：引進輔助函數?(x)?f(x)?f(a)?f(b)?f(a)(x?a)b?a

易知F（a）=F（b）=0，且F（x）在［a，b］內連續，在（a，b）內

f(b)?f(a)b?a可導 且?'(x)?f'(x)?

根據羅爾定理，可知在（a，b）內至少存在有一點?，使?'(x)=0，即

f(b)?f(a)?0 b?a

f(b)?f(a)?f'(?)，由此可得b?af'(?)?

即f(b)?f(a)?f'(?)(b?a)

證畢。

三、積分中值定理（考過）

如果函數f（x）在積分區間［a，b］上連續，則在（a，b）內至少存在一點?，使得

1幾個重要定理的證明

b

?f(x)dx?

af(?)(b?a)

證：由于f（x）在［a，b］上連續，則存在m，M使得

m?f(x)?M

又由定積分估值定理，有

b

m(b?a)??f(x)dx?M(b?a)

a

b

即m?

由介值定理得： ?f(x)dxab?a?M

b

f(?)?

證畢。?f(x)dxab?a

四、變上限積分函數求導公式（沒考過）

五、牛頓-萊布尼茨公式（沒考過）

設函數f（x）在［a，b］上連續，F（x）是f（x）在（a，b）上的任意一個原函數，b

則?f(x)dx?F(x)

aba?F(b)?F(a)

證：

第二篇：考研數學高等數學重要知識點解析--有關微分中值定理的證明

考研數學高等數學重要知識點解析—有關微分中值定理的證明

萬學教育?海文考研 王丹

2013年考研數學大綱于2012年9月14日正式出爐，數學

一、數學

二、數學三高等數學考試內容和考試要求包含標點符號在內均沒有任何的變化；而線性代數部分，由原來的“線性方程組的克萊姆法則”改為“線性方程組的克拉默法則”，只是名稱的改變，內容沒有變化；概率論與數理統計部分，數學一沒有任何變化，而數學三“多維隨機變量的分布這一章”考試內容和考試要求的難度都降低了，具體變化為將考試內容中“兩個及兩個以上隨機變量的函數的分布”增加了兩個字“簡單”，即“兩個及兩個以上隨機變量簡單函數的分布”；相應的考試內容中“會根據多個相互獨立隨機變量的聯合分布求其函數的分布”改為“會根據多個相互獨立隨機變量的聯合分布求其簡單函數的分布”。

有了考試大綱，就有了我們復習的依據，通過對歷年考研命題規律的分析，我們得出與中值定理有關的證明題是考研數學的重點且是難點，每年必考有關中值定理的一道證明題10分．所以大家一定要引起重視，對于解這類題目,首先要確定證明的結論,然后聯想與之相關的定理、結論和方法以及所需要的條件,再看題設中是否給出條件,若都沒有直接給出,考慮如何由題設條件推出這些所需的條件,最后證明．其中,當要證明存在某些點使得它們的函數值或者高階導數滿足某些等式關系或者其他特性時,用中值定理所求的點常常是區間內的點．下面我就有關中值等式的證明總結幾種方法，并且通過例題加強對此類問題方法的理解和把握。

一、有關閉區間上連續函數等式的證明主要有以下幾種方法：

(1)直接法．利用最值定理、介值定理或零點定理直接證明,適用于證明存在??[a,b],使得G(?,f(?))?0．

(2)間接法．構造輔助函數F(x)(其中F(x)的構造方法可參照重要題型五),然后驗證F(x)滿足中值定理的條件,最后由相應的中值定理得出命題的證明．

二、證明存在一點?使得關于a,b,f(a),f(b)或?,f(?),f?(?),?,f(n)(?)的等式成立．常用證法：

(1)對于這類等式的證明問題,可以通過移項使等式一端為0,轉化為重要題型五中證明存在一點?使得G(?,f(?),f'(?))?0的問題.(2)利用拉格朗日中值定理直接進行證明．

現舉例題如下

例題1：設f(x)在[a,b]上連續，(a,b)內可導，0?a?b，試證明???(a,b)，使得

'f(b)?f(a)22f(?)?(a?ab?b)2b?a3?

分析本題的關鍵是構造輔助函數．對于關系式中顯含a,b及f(a),f(b)的情形,更多地是直接采用拉格朗日中值定理,將含介值的項全部右移,再將左端分子、分母中的a,b分離,然后直接觀察即可得到所需輔助函數．

'f(b)?f(a)f(b)?f(a)f'(?)22f(?)?(a?ab?b)??222b?a3?b?a(a?ab?b)3?2

f(b)?f(a)f'(?)即.?a3?b33?2

證令g(x)?x3，則f(x),g(x)在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，且當x?0時，g'(x)?0，f(b)?f(a)f'(?)f(b)?f(a)f'(?)則由柯西中值定理有，所以，?'?332g(a)?g(b)g(?)a?b3?

'f(b)?f(a)22f(?)即，得證.?(a?ab?b)b?a3?2

例題2 設函數f(x)在?0,3?上連續，在?0,3?內存在二階導數，且

2f(0?)?fx(d)?x02f(?2)f，(3)

(I)證明：存在??(0,2)使f(?)?f(0);(II)證明存在??(0,3)，使f??(?)?0 證明：(I)?2f(0)??f(x)dx，又?f?x?在?0,2?上連續 02

?由積分中值定理得，至少有一點???0,2?，使得?f?x?dx?f?????2?0? 02

?2f?0??2f???，?存在???0,2?使得f????f?0?。

(Ⅱ)?f?2??f?3??2f?0?，即f?2??f?3??f?0? 2

又?f?x?在?2,3?上連續，由介值定理知，至少存在一點?1??2,3?使得f??1??f?0? ?f?x?在?0,2?上連續，在?0,2?上可導，且f?0??f?2?

?由羅爾中值定理知，??1??0,2?，有f???1??0

又?f?x?在?2,?1?上連續，在?2,?1?上可導，且f?2??f?0??f??1? ?由羅爾中值定理知，??2??2,?1?，有f??2??0

又?f?x?在??1,?2?上二階可導，且f?(?1)?f?(?2)?0

?由羅爾中值定理，至少有一點????1,?2?，使得f??(?)?0.

第三篇：2018考研高數重要定理證明微積分基本定理

2018考研高數重要定理證明微積分基本定理

來源：智閱網

微積分基本定理是考研數學中的重要定理，考察的頻率較高，難度也比較大，下面詳細的講解一下，希望大家有所收獲。

微積分定理包括兩個定理：變限積分求導定理和牛頓-萊布尼茨公式。

變限積分求導定理的條件是變上限積分函數的被積函數在閉區間連續，結論可以形式地理解為變上限積分函數的導數為把積分號扔掉，并用積分上限替換被積函數的自變量。注意該求導公式對閉區間成立，而閉區間上的導數要區別對待：對應開區間上每一點的導數是一類，而區間端點處的導數屬單側導數。花開兩朵，各表一枝。我們先考慮變上限積分函數在開區間上任意點x處的導數。一點的導數仍用導數定義考慮。至于導數定義這個極限式如何化簡，筆者就不能剝奪讀者思考的權利了。單側導數類似考慮。

“牛頓-萊布尼茨公式是聯系微分學與積分學的橋梁，它是微積分中最基本的公式之一。它證明了微分與積分是可逆運算，同時在理論上標志著微積分完整體系的形成，從此微積分成為一門真正的學科。”這段話精彩地指出了牛頓-萊布尼茨公式在高數中舉足輕重的作用。而多數考生能熟練運用該公式計算定積分。不過，提起該公式的證明，熟悉的考生并不多。

該公式和變限積分求導定理的公共條件是函數f(x)在閉區間連續，該公式的另一個條件是F(x)為f(x)在閉區間上的一個原函數，結論是f(x)在該區間上的定積分等于其原函數在區間端點處的函數值的差。該公式的證明要用到變限積分求導定理。若該公式的條件成立，則不難判斷變限積分求導定理的條件成立，故變限積分求導定理的結論成立。

注意到該公式的另一個條件提到了原函數，那么我們把變限積分求導定理的結論用原函數的語言描述一下，即f(x)對應的變上限積分函數為f(x)在閉區間上的另一個原函數。根據原函數的概念，我們知道同一個函數的兩個原函數之間只差個常數，所以F(x)等于f(x)的變上限積分函數加某個常數C。萬事俱備，只差寫一下。將該公式右側的表達式結合推出的等式變形，不難得出結論。

上面講述的微積分基本定理是考研數學的高頻考點，考生們要認真學習其解題方法，并且學會運用。湯神《考研數學接力題典1800》可以檢驗大家的復習效果，總結做題經驗，對我們現階段的復習幫助很大。

第四篇：考研數學定理證明

考研數學定理證明

不一定會考，或者說是好像近幾年也就是09年的考題出過一道證明題(拉格朗日中值定理的證明)。但準備時最好把課本上幾個重要定理(比如中值定理)的證明看下，做到會自己證明。還有就是幾個證明過程或方法比較奇特的定理，要看懂證明。一個可以應付直接考證明題，還可以借鑒證明思路幫助自己解其他題目，算是開擴思路吧，總之看下會有好處的，而且也不是很多，比照課本自己總結下吧，我去年就是這么整理的。數學140+

定理的證明屬于比較難的，可以不看。很多人看都看不懂，或者看懂了也不會用。

但是定理的結論和應用一定要會。

考研里的證明題屬于壓軸的，大部分人都做不出來，所以不用擔心。只要把基本盤拿下，你的分數就應該能過國家線。

祝你成功。

呵呵非常理解你的處境。我覺得這個問題不難解決，主要有兩個辦法。下面幫你具體分析一下，呵呵～

一。旁聽師弟師妹的數學課～優點：不僅經濟，便利，而且對老師的水平有保證～因為都是你們學校的嘛，你可以事先充分打聽好哪個老師哪門課講得好，然后還能比較容易獲取課程進度，這樣就可以專門去聽自己不懂得那塊，針對性強矮甚至你下課后還可以就不懂得習題跟老師請教一下～就本人這么多年的上學經驗，老師對“問題學生”都是歡迎的，至少不排斥～缺點：由于不是專門針對考研復習的講授，有些東西可能不是很適合～舉個例子吧，比如將同樣的知識，高一時候和高三第一輪復習時，講的側重點就不一樣～(但是個人覺得這不算什么大缺點～嘿嘿～)

二。報名參加專門的考驗輔導班。優點顯而易見。老師肯定都是有多年考研輔導經驗的，指導復習當然針對性強，有事半功倍的效果。缺點就是，嘿嘿，學費問題。你所在地的學費情況我就不清楚了，你可以自己去查一下～

還有一句話想說，其實這兩個辦法也不是對立的，你可以在學校里去旁聽老師的課，把第一輪扎扎實實的復習完，放假回家去報名參加個輔導班，利用假期有針對性的做第二輪復習～相信兩輪復習下來，你的長進一定不蝎呵呵～

我就說這么多，要是以后想起來了會再來補充的～最后祝你如愿考上理想院校哦～加油

也不知道一樓是哪個名校數學系的研究生，廣州大學嗎?這么有才華!聽他的話等樓主沒考到130哭的地方都找不到。

考研每一門學科都要復習好幾輪，也不知道樓主考什么專業，數學幾?

基礎差的話第一輪復習要弄清楚定理及其證明過程。如果應屆本科生又是學理科，平時成績不錯，高數，線性分都很高的話第一輪可以直接看教材做題。

第五篇：2018考研高等數學基本定理：函數與極限部分

凱程考研輔導班，中國最權威的考研輔導機構

2018考研高等數學基本定理：函數與極

限部分

在暑期完成

凱程考研輔導班，中國最權威的考研輔導機構

數列{xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對于函數該準則也成立。

單調有界數列必有極限。

6、函數的連續性設函數y=f(x)在點x0的某一鄰域內有定義，如果函數f(x)當x→x0時的極限存在，且等于它在點x0處的函數值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就稱函數f(x)在點x0處連續。

不連續情形：

1、在點x=x0沒有定義;

2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在;

3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時則稱函數在x0處不連續或間斷。

如果x0是函數f(x)的間斷點，但左極限及右極限都存在，則稱x0為函數f(x)的