第一篇：高等數(shù)學(xué)考研大總結(jié)之五 微分中值定理

第五章微分中值定理

一，羅爾（Rolle）中值定理費(fèi)馬（Fermat）引理：設(shè)f?x?在點(diǎn)x0取得極值，且f/?x0?存在則f/?x0?=0。解析：幾何意義：曲線在極值點(diǎn)處的切線是平行于x軸的。

2羅爾（Rolle）中值定理：函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)（每一點(diǎn)都具有導(dǎo)數(shù)）并且在閉區(qū)間?a,b?的端點(diǎn)函數(shù)值相等，即：f?a??f?b?，那么在開區(qū)間?a,b?內(nèi)至少有一點(diǎn)?使得f/????0。

解析：⑴該定理是奠定一系列中值定理的基礎(chǔ)。

⑵此定理反映了由區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的情況來表現(xiàn)區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)值的變化情況，給出了?點(diǎn)的具體位置和計(jì)算方法（與Lagrange中值定理的區(qū)別）。

⑶幾何意義：若連接曲線兩端點(diǎn)的弦是水平的，則曲線上至少有一點(diǎn)的切線是水平的。⑷兩個(gè)推論：①推論1：如果函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,b?內(nèi)的導(dǎo)數(shù)恒等于零，那么函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,b?內(nèi)是一個(gè)常數(shù)。②推論2：如果函數(shù)f?x?在區(qū)間?a,b?內(nèi)處處有

。f/?x??g/?x?，則在此區(qū)間內(nèi)f?x??g?x??C（常數(shù)）

二，拉格朗日（Lagrange）中值定理

設(shè)函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)且在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)（每一點(diǎn)都具有導(dǎo)數(shù)）那么在開區(qū)間?a,b?內(nèi)至少有一點(diǎn)??a???b?使等式f?b??f?a??f

該定理的其它幾種表示形式：⑴f//????b?a?成立。????f?b??f?a? b?a

?AB解析：反映其幾何意義：如果連接曲線y?f?x?的弧上除端點(diǎn)外處處具有不垂直于x軸的切線，那么這弧上至少有一點(diǎn)?，使曲線在?處的切線平行于弦AB。

⑵令??a???b?a?,?0???1?則f?b??f?a??f/?a???b?a???b?a?,?0???1?。解析：由于?的特定取值范圍，所以在證明不等式時(shí)較常用，若令a?x0,b?x0?h那么有：f?x0?h??f?x0??f/?x0??h?h,?0???1?。

⑶有限增量公式：如果用?x表示?b?a?則函數(shù)增量?y?f?b??f?a?，這時(shí)該定理變成?y?f/????x。

解析：⑴從理論上與微分的區(qū)別：該公式準(zhǔn)確的表明了函數(shù)增量與自變量增量（不要求其趨第1頁

于零或比較小而僅要求其為有限增量）的關(guān)系，而微分只能近似的表示這一關(guān)系，并且要求

?x比較小，而且當(dāng)?x?0時(shí)dy表示?y的誤差才趨于零。但在實(shí)際應(yīng)用中仍常用微分去

近似表示函數(shù)值的改變量。⑵類比與上式，則還可表示為?y?f三，柯西(Cauchy)中值定理

設(shè)兩個(gè)函數(shù)f?x?和g?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)且在開區(qū)間?a,b?內(nèi)可導(dǎo)（每一點(diǎn)都具有導(dǎo)數(shù)）且g/?x?在?a,b?內(nèi)每一點(diǎn)均不為零，則在?a,b?內(nèi)至少存在一點(diǎn)?使得

/

?x???x??x,?0???1?。

f?b??f?a?f/????,?a???b?成立。gb?gag/?解析：⑴要求分子與分母中的?是同一個(gè)值。⑵

類

比

于

Lagrange

定

理，此

定

理

可

表

示

為

f?x0?h??f?x0?f/?x0??h?

?,?0???1?。

gx0?h?gx0g/x0??h四，Rolle,Lagrange,Cauchy中值定理間的關(guān)系

?x??xf?a??f?b?

Cauchy?g???Lagrange?????Rolle

五，泰勒(Taylor)中值定理定義：若f?x?在?a,b?上有直到n階連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，在開區(qū)間?a,b?上?n?1?階導(dǎo)數(shù)存在，則

對(duì)

于

任

意的x,x0??a,b?

有：

f?x??f?x0??

f

/

?x0?

1！

?x?x0??

f

//

?x0?

2！

?x?x0?

f?n??x0??x?x0?n?Rn?x?其中???

n！

f?n?1????稱為余項(xiàng)（與誤差估計(jì)有關(guān)）。其中當(dāng)x0?x?x0?n?1（?介于x與x0之間）Rn?x??

n?1！

取零時(shí)的泰勒(Taylor)公式稱為麥克勞林（Maclaurin）公式。

解析：使復(fù)雜函數(shù)成為簡(jiǎn)單函數(shù)的有效方法。2 各種形式的泰勒(Taylor)公式

⑴帶有皮亞諾（Peano）余項(xiàng)的泰勒

(Taylor)公式：

?f/?x0?f//?x0?f?n??x0?2nn

????????????Taylor:fx?fx?x?x?x?x???x?x??x?x,?x?x0?00000

?1！2！n！?///?n?

?Maclaurin:f?x??f?0??f?0?x?f?0?x2???f?0?xn??xn,?x?0??1！2！n！?

??

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⑵帶有Lagrange余項(xiàng)的泰勒(Taylor)公式：

?f/?x0?f//?x0?f?n??x0?f?n?1????2nn?1

????????????Taylor:fx?fx?x?x?x?x???x?x?x?x?00000

n?11！2！n！?

?///?n??n?1?

??x?xn?1,?0???1??Maclaurin:f?x??f?0??f?0?x?f?0?x2???f?0?xn?f

?n?11！2！n！?

⑶

帶

有

Cauchy

余

項(xiàng)的泰

勒

(Taylor)

公

式

：

n?f?k??x0?

?x?x0?kf?x?????n?1?

????x???n?m,?x???x?m!fk！k?0?Taylor:?0m

?gkx0n!gn?1?k

?x?x0?g?x??? ?

k！k?0?

n??x?x0??x???n?n?1?f?k??x0?k

?x?x0?????f?Cauchy:令g?x??x,m?0則f?x???k！n！k?0?

⑷帶有積分余項(xiàng)的泰勒(Taylor)公式：

n

?f?k??x0?1x?n?1?kn

????????Taylor:fx?x?x?ftx?tdt??0?x0

k！n！?k?0

??k?n?1n1f?0?kxn?n?1??Maclaurin:f?x??????x?fxt1?tdt???0k！n！k?0?常見函數(shù)的麥克勞林（Maclaurin）展式

⑴帶有皮亞諾（Peano）余項(xiàng)的麥克勞林（Maclaurin）展式：

n

x3x5x2n?1x2k?1n?1k?12n

sinx?x???????1???x????1???x2n

2n?12k?13！5！！k?1

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2n2kn

x2x4nxkx2n

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n

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⑵帶有Langrange余項(xiàng)的麥克勞林（Maclaurin）展式：

sinx????1?

k?1n

n

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x2k?1ncos?x

???1?x2n?1,?0???1?2k?12n?1！

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k?1

n

????1?????n??1??x???n?1xn?1,?x?1,0???1?

n?1！Taylor公式的應(yīng)用

⑴求極限。⑵近似計(jì)算，誤差估計(jì)。⑶與冪級(jí)數(shù)的關(guān)系。⑷不等式證明。六，羅比塔（L”Hospital）法則解決問題的情況：

00?

。?

解析：不是以上兩種型的轉(zhuǎn)化為以上型。例如：

“0?”型，“???”型，“00”型，“?0”型，“1?”型。需注意的問題：⑴只有未定式才能應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）法則，不是未定式，則不能用羅比塔（L”Hospital）法則，且分子與分母分別求導(dǎo)。

⑵只有

法則。

00?

未定式才能直接應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）?

00

?

未定?

⑶求其他類型未定式的值時(shí)，就首先將其轉(zhuǎn)化為

式，然后才能應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）法則。

⑷可以對(duì)未定式反復(fù)應(yīng)用羅比塔（L”Hospital）法則，直到求出確定的極限值為止。⑸用對(duì)數(shù)方法求極限時(shí)還要將結(jié)果還原為指數(shù)形式。

⑹有些未定式若用羅比塔（L”Hospital）法則求不出它的值時(shí)，就改用其它方法計(jì)算。

第二篇：高等數(shù)學(xué)中值定理總結(jié)

咪咪原創(chuàng)，轉(zhuǎn)載請(qǐng)注明，謝謝！

中值定理一向是經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)考試的重點(diǎn)（當(dāng)然理工類也常會(huì)考到），咪咪結(jié)合老陳的書和一些自己的想法做了以下這個(gè)總結(jié)，希望能對(duì)各位研友有所幫助。

1、所證式僅與ξ相關(guān)

①觀察法與湊方法

例 1設(shè)f(x)在[0,1]上二階可導(dǎo)，f(0)?f(1)?f?(0)?0

2f?(?)試證至少存在一點(diǎn)??(a,b)使得f??(?)?1??

分析：把要證的式子中的 ? 換成 x，整理得f??(x)?xf??(x)?2f?(x)?0?(1)

由這個(gè)式可知要構(gòu)造的函數(shù)中必含有f?(x)，從xf??(x)找突破口

因?yàn)閇xf?(x)]??xf??(x)?f?(x)，那么把(1)式變一下：

f??(x)?f?(x)?[xf??(x)?f?(x)]?0?f??(x)?f?(x)?[xf?(x)]??0

這時(shí)要構(gòu)造的函數(shù)就看出來了F(x)?(1?x)f?(x)?f(x)

②原函數(shù)法

例 2設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0，又g(x)在[a,b]上連續(xù)

求證：???(a,b)使得f?(?)?g(?)f(?)

分析：這時(shí)不論觀察還是湊都不容易找出要構(gòu)造的函數(shù)，于是換一種方法

現(xiàn)在把與f 有關(guān)的放一邊，與g 有關(guān)的放另一邊，同樣把 ? 換成 x

兩邊積分f?(x)g(x)dx?g(x)?lnf(x)??g(x)dx?lnC?f(x)?Ce?

f(x)

?f(x)e??g(x)dx?C 現(xiàn)在設(shè)C?0，于是要構(gòu)造的函數(shù)就很明顯了

F(x)?f(x)e??g(x)dx

③一階線性齊次方程解法的變形法

對(duì)于所證式為f??pf?0型，（其中p為常數(shù)或x 的函數(shù)）

可引進(jìn)函數(shù)u(x)?e?，則可構(gòu)造新函數(shù)F(x)?f?e?pdxpdx

例：設(shè)f(x)在[a,b]有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，又存在c?(a,b)，使得f?(c)?0

f(?)?f(a)

b?a

f(?)?f(a)分析：把所證式整理一下可得：f?(?)??0b?a

1?[f(?)?f(a)]??[f(?)?f(a)]?0，這樣就變成了f??pf?0型b?a求證：存在??(a,b)，使得f?(?)?

?－dx－引進(jìn)函數(shù)u(x)?eb?a＝eb?a（令C=0），于是就可以設(shè)F(x)?eb?a[f(x)?f(a)]

注：此題在證明時(shí)會(huì)用到f?(c)?

2、所證式中出現(xiàn)兩端點(diǎn)

①湊拉格朗日 1xxf(b)?f(a)?0?f(b)?f(a)這個(gè)結(jié)論b?a

例 3設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)

證明至少存在一點(diǎn)??(a,b)使得bf(b)?af(a)?f(?)??f?(?)b?a

分析：很容易就找到要證的式子的特點(diǎn)，那么可以試一下，不妨設(shè)

F(x)?xf(x),用拉格朗日定理驗(yàn)證一下

F?(?)?f(?)??f?(?)?

②柯西定理 bf(b)?af(a)b?a

例 4設(shè)0?x1?x2，f(x)在[x1,x2]可導(dǎo)，證明在(x1,x2)至少存在一點(diǎn)c，使得

ex1?ex2e1e2?f(c)?f?(c)(x1)f(x2)

e1f(x2)?e2f(x1)

ex1x2xxxx分析：先整理一下要證的式子?e

這題就沒上面那道那么容易看出來了

xx?f(c)?f?(c)x1?x2發(fā)現(xiàn)e1f(x2)?e2f(x1)是交叉的，變換一下，分子分母同除一下e

f(x2)f(x1)

ex2?e

ex11x2e

③k值法 ?1x1于是這個(gè)式子一下變得沒有懸念了用柯西定理設(shè)好兩個(gè)函數(shù)就很容易證明了

仍是上題

分析：對(duì)于數(shù)四，如果對(duì)柯西定理掌握的不是很好上面那題該怎么辦呢？

在老陳的書里講了一個(gè)方法叫做k 值法

第一步是要把含變量與常量的式子分寫在等號(hào)兩邊

以此題為例已經(jīng)是規(guī)范的形式了，現(xiàn)在就看常量的這個(gè)式子

設(shè) e1f(x2)?e2f(x1)

ex1x2xx?e

很容易看出這是一個(gè)對(duì)稱式，也是說互換x1x2還是一樣的記得回帶k，用羅爾定理證明即可。?k 整理得e?x1[f(x1)?k]?e?x2[f(x2)?k]那么進(jìn)入第二步，設(shè)F(x)?e?x[f(x)?k]，驗(yàn)證可知F(x1)?F(x2)

④泰勒公式法

老陳常說的一句話，管它是什么，先泰勒展開再說。當(dāng)定理感覺都起不上作用時(shí)，泰勒法往往是可行的，而且對(duì)于有些題目，泰勒法反而會(huì)更簡(jiǎn)單。

3、所證試同時(shí)出現(xiàn)ξ和η

①兩次中值定理

例 5f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?1

試證存在?，??(0,1)使得e???[f(?)?f?(?)]?1

分析：首先把?與?分開，那么就有e?[f(?)?f?(?)]?e?

一下子看不出來什么，那么可以先從左邊的式子下手試一下

很容易看出e[f(?)?f?(?)]?[ef(?)]?，設(shè)F(x)?exf(x)??

ebf(b)?eaf(a)利用拉格朗日定理可得F?(?)?再整理一下b?a

eb?eaeb?ea

e[f(?)?f?(?)]?只要找到與e?的關(guān)系就行了b?ab?a?

這個(gè)更容易看出來了，令G(x)?ex則再用拉格朗日定理就得到

eb?ea

G?(?)?e??e?[f(?)?f?(?)]b?a?

②柯西定理（與之前所舉例類似）

有時(shí)遇到ξ和η同時(shí)出現(xiàn)的時(shí)候還需要多方考慮，可能會(huì)用到柯西定理與拉氏定理的結(jié)合使用，在老陳書的習(xí)題里就出現(xiàn)過類似的題。

第三篇：高等數(shù)學(xué)中值定理總結(jié)

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中值定理一向是經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)考試的重點(diǎn)（當(dāng)然理工類也常會(huì)考到），咪咪結(jié)合老陳的書和一些自己的想法做了以下這個(gè)總結(jié)，希望能對(duì)各位研友有所幫助。

1、所證式僅與ξ相關(guān) ①觀察法與湊方法

例 1 設(shè)f(x)在[0,1]上二階可導(dǎo)，f(0)?f(1)?f?(0)?02f?(?)試證至少存在一點(diǎn)??(a,b)使得f??(?)?1??分析：把要證的式子中的 ? 換成 x，整理得f??(x)?xf??(x)?2f?(x)?0?(1)由這個(gè)式可知要構(gòu)造的函數(shù)中必含有f?(x)，從xf??(x)找突破口 因?yàn)閇xf?(x)]??xf??(x)?f?(x)，那么把(1)式變一下： f??(x)?f?(x)?[xf??(x)?f?(x)]?0?f??(x)?f?(x)?[xf?(x)]??0 這時(shí)要構(gòu)造的函數(shù)就看出來了F(x)?(1?x)f?(x)?f(x)②原函數(shù)法

例 2 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0，又g(x)在[a,b]上連續(xù) 求證：???(a,b)使得f?(?)?g(?)f(?)分析：這時(shí)不論觀察還是湊都不容易找出要構(gòu)造的函數(shù)，于是換一種方法 現(xiàn)在把與f 有關(guān)的放一邊，與g 有關(guān)的放另一邊，同樣把 ? 換成 x 兩邊積分f?(x)g(x)dx ?g(x)?lnf(x)??g(x)dx?lnC?f(x)?Ce?f(x)

?f(x)e??g(x)dx?C 現(xiàn)在設(shè)C?0，于是要構(gòu)造的函數(shù)就很明顯了 F(x)?f(x)e??g(x)dx③一階線性齊次方程解法的變形法

對(duì)于所證式為f??pf?0型，（其中p為常數(shù)或x 的函數(shù)）可引進(jìn)函數(shù)u(x)?e?，則可構(gòu)造新函數(shù)F(x)?f?e?pdxpdx例：設(shè)f(x)在[a,b]有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，又存在c?(a,b)，使得f?(c)?0f(?)?f(a)b?af(?)?f(a)分析：把所證式整理一下可得：f?(?)??0b?a1 ?[f(?)?f(a)]??[f(?)?f(a)]?0，這樣就變成了f??pf?0型b?a 求證：存在??(a,b)，使得f?(?)??－dx－ 引進(jìn)函數(shù)u(x)?eb?a＝eb?a（令C=0），于是就可以設(shè)F(x)?eb?a[f(x)?f(a)] 注：此題在證明時(shí)會(huì)用到f?(c)?

2、所證式中出現(xiàn)兩端點(diǎn) ①湊拉格朗日 1xxf(b)?f(a)?0?f(b)?f(a)這個(gè)結(jié)論b?a

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例 3 設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo) 證明至少存在一點(diǎn)??(a,b)使得bf(b)?af(a)?f(?)??f?(?)b?a

分析：很容易就找到要證的式子的特點(diǎn)，那么可以試一下，不妨設(shè) F(x)?xf(x),用拉格朗日定理驗(yàn)證一下 F?(?)?f(?)??f?(?)?②柯西定理

bf(b)?af(a)b?a例 4 設(shè)0?x1?x2，f(x)在[x1,x2]可導(dǎo)，證明在(x1,x2)至少存在一點(diǎn)c，使得 1ex1?ex2e1e2?f(c)?f?(c)f(x1)f(x2)e1f(x2)?e2f(x1)ex1x2xxxx分析：先整理一下要證的式子?e 這題就沒上面那道那么容易看出來了xx?f(c)?f?(c)

x1?x2 發(fā)現(xiàn)e1f(x2)?e2f(x1)是交叉的，變換一下，分子分母同除一下ef(x2)f(x1)ex2?eex11x2e③k值法 ?1x1于是這個(gè)式子一下變得沒有懸念了 用柯西定理設(shè)好兩個(gè)函數(shù)就很容易證明了仍是上題分析：對(duì)于數(shù)四，如果對(duì)柯西定理掌握的不是很好上面那題該怎么辦呢？ 在老陳的書里講了一個(gè)方法叫做k 值法 第一步是要把含變量與常量的式子分寫在等號(hào)兩邊 以此題為例已經(jīng)是規(guī)范的形式了，現(xiàn)在就看常量的這個(gè)式子 設(shè)

e1f(x2)?e2f(x1)ex1x2xx?e 很容易看出這是一個(gè)對(duì)稱式，也是說互換x1x2還是一樣的 記得回帶k，用羅爾定理證明即可。?k 整理得e?x1[f(x1)?k]?e?x2[f(x2)?k] 那么進(jìn)入第二步，設(shè)F(x)?e?x[f(x)?k]，驗(yàn)證可知F(x1)?F(x2)④泰勒公式法

老陳常說的一句話，管它是什么，先泰勒展開再說。當(dāng)定理感覺都起不上作用時(shí)，泰勒法往往是可行的，而且對(duì)于有些題目，泰勒法反而會(huì)更簡(jiǎn)單。

3、所證試同時(shí)出現(xiàn)ξ和η ①兩次中值定理

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例 5 f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，f(a)?f(b)?1 試證存在?，??(0,1)使得e???[f(?)?f?(?)]?1分析：首先把?與?分開，那么就有e?[f(?)?f?(?)]?e? 一下子看不出來什么，那么可以先從左邊的式子下手試一下 很容易看出e[f(?)?f?(?)]?[ef(?)]?，設(shè)F(x)?exf(x)??ebf(b)?eaf(a)利用拉格朗日定理可得F?(?)?再整理一下b?aeb?eaeb?ea e[f(?)?f?(?)]?只要找到與e?的關(guān)系就行了b?ab?a?

這個(gè)更容易看出來了，令G(x)?ex則再用拉格朗日定理就得到eb?ea G?(?)?e??e?[f(?)?f?(?)]b?a?②柯西定理（與之前所舉例類似）

有時(shí)遇到ξ和η同時(shí)出現(xiàn)的時(shí)候還需要多方考慮，可能會(huì)用到柯西定理與拉氏定理的結(jié)合使用，在老陳書的習(xí)題里就出現(xiàn)過類似的題。

第四篇：微分中值定理的證明題

微分中值定理的證明題

1.若f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)上可導(dǎo)，f(a)?f(b)?0，證明：???R，???(a,b)使得：f?(?)??f(?)?0。

證：構(gòu)造函數(shù)F(x)?f(x)e?x，則F(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，（a,b)，使F?(?)?0 且F(a)?F(b)?0，由羅爾中值定理知：??? 即：[f?(?)??f(?)]e???0，而e???0，故f?(?)??f(?)?0。

2.設(shè)a,b?0，證明：???(a,b)，使得aeb?bea?(1??)e?(a?b)。

1111 證：將上等式變形得：e?e?(1??)e?(?)

baba1x11b11a111111作輔助函數(shù)f(x)?xe，則f(x)在[,]上連續(xù)，在(,)內(nèi)可導(dǎo)，baba 由拉格朗日定理得：

11f()?f()ba?f?(1)1?(1,1)，11ba???ba11b1a1e?e1a?(1?)e?

1?(1,1)，即 b11ba???ba

即：

aeb?bea?(1??)e?(a?b)

??(a,b)。

3.設(shè)f(x)在(0,1)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且f(1)?0，有F(x)?x2f(x)證明：在(0,1)

內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使得：F??(?)?0。

證：顯然F(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，又F(0)?F(1)?0，故由羅爾定理知：?x0?(0,1)，使得F?(x0)?0

又F?(x)?2xf(x)?x2f?(x)，故F?(0)?0，于是F?(x)在[0，x0]上滿足羅爾定理?xiàng)l件，故存在??(0,x0)，使得：F??(?)?0，而??(0,x0)?(0,1)，即證 4.設(shè)函數(shù)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)上可導(dǎo)，f(0)?0，f(1)?1.證明：(1)在(0,1)內(nèi)存在?，使得f(?)?1??．

(2)在(0,1)內(nèi)存在兩個(gè)不同的點(diǎn)?，?使得f/(?)f/(?)?1

【分析】 第一部分顯然用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理；第二部分為雙介值問題，可考慮用拉格朗日中值定理，但應(yīng)注意利用第一部分已得結(jié)論.【證明】（I）

令F(x)?f(x)?1?x，則F(x)在[0，1]上連續(xù)，且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知，存在??(0,1), 使得F(?)?0，即f(?)?1??.（II）在[0,?]和[?,1]上對(duì)f(x)分別應(yīng)用拉格朗日中值定理，存在兩個(gè)不同的點(diǎn)??(0,?),??(?,1)，使得f?(?)?于是，由問題（1）的結(jié)論有

f?(?)f?(?)?f(?)1?f(?)1???????1.?1???1??f(?)?f(0)f(1)?f(?)，f?(?)?

??01??5.設(shè)f(x)在[0，2a]上連續(xù)，f(0)?f(2a)，證明在[0,a]上存在?使得

f(a??)?f(?).【分析】f(x)在[0,2a]上連續(xù)，條件中沒有涉及導(dǎo)數(shù)或微分，用介值定理或根的存在性定理證明。輔助函數(shù)可如下得到

f(a??)?f(?)?f(a??)?f(?)?0?f(a?x)?f(x)?0

【證明】令G(x)?f(a?x)?f(x)，x?[0,a]．G(x)在[0,a]上連續(xù)，且

G(a)?f(2a)?f(a)?f(0)?f(a)

G(0)?f(a)?f(0)

當(dāng)f(a)?f(0)時(shí)，取??0，即有f(a??)?f(?)；

當(dāng)f(a)?f(0)時(shí)，G(0)G(a)?0，由根的存在性定理知存在??(0,a)使得，G(?)?0，即f(a??)?f(?)．

6.若f(x)在[0,1]上可導(dǎo)，且當(dāng)x?[0,1]時(shí)有0?f(x)?1，且f?(x)?1，證明：在(0,1)內(nèi)有且僅有一個(gè)點(diǎn)?使得f(?)?? 證明：存在性

構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)?f(x)?x

則F(x)在[0,1]上連續(xù)，且有F(0)?f(0)?0?0，F(xiàn)(1)?f(1)?1?0，?由零點(diǎn)定理可知：F(x)在(0,1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)?，使得F(?)?0，即：f(?)??

唯一性：（反證法）

假設(shè)有兩個(gè)點(diǎn)?1,?2?(0,1)，且?1??2，使得F(?1)?F(?2)?0

F(x)在[0,1]上連續(xù)且可導(dǎo)，且[?1,?2]?[0,1] ?

?F(x)在[?1,?2]上滿足Rolle定理?xiàng)l件

?必存在一點(diǎn)??(?1,?2)，使得：F?(?)?f?(?)?1?0

即：f?(?)?1，這與已知中f?(x)?1矛盾

?假設(shè)不成立，即：F(x)?f(x)?x在(0,1)內(nèi)僅有一個(gè)根，綜上所述：在(0,1)內(nèi)有且僅有一個(gè)點(diǎn)?，使得f(?)??

17.設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)=f(1)=0，f()=1。試

2(x)=1。證至少存在一個(gè)??(0，1)，使f￠分析：f'(?)=1?f'(x)=1?f(x)=x?f(x)?x=0 令 F(x)= f(x)?x 證明： 令 F(x)= f(x)?x

F(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0，1)內(nèi)可導(dǎo)，F(xiàn)(1)= f(1)?1??1?0(?f(1)?0)F(11111)= f()???0(?f()?1)222221由介值定理可知，?一個(gè)??(，1)，使 F(?)=0 又 F(0)=f(0)?0=0 對(duì)F(x)在[0，1]上用Rolle定理，?一個(gè)??(0，?)?(0，1)使

F'(?)=0 即 f'(?)=1 8.設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，在(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?f(1)試證存在?和?.滿足0?????1，使f?(?)?f?(?)?0。

證 由拉格朗日中值定理知，1f()?f(0)12?f?(?)??(0,)

12?021f(1)?f()12?f?(?)??(,1)

121?211f()?f(0)f(1)?f()2?0 f?(?)?f?(?)?2?11229.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù),(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(0?a?b),f(a)?f(b), 證明: ??,??(a,b)使得 f?(?)?a?bf?(?).(1)2?證:(用(b?a)乘于(1)式兩端,知)(1)式等價(jià)于

f?(?)f?(?)2(b?a)?(b?a2).(2)12?

為證此式,只要取F(x)?f(x),取G(x)?x和x在[a,b]上分別應(yīng)用Cauchy中值定理,則知

2f?(?)f?(?)2?(b?a)?(b?a2), f(b)?f(a)?12?其中?,??(a,b).10.已知函數(shù)f(x)在[0 ,1]上連續(xù)，在（0，1）內(nèi)可導(dǎo)，0?a?b，證明存在?,??(a,b)，使3?2f/(?)?(a2?ab?b2)f/(?)

f/(?)f(b)?f(a)解：利用柯西中值定理 ?2333?b?a而f(b)?f(a)?f/(?)(b?a)

則

f/(?)f(b)?f(a)f/(?)(b?a)f/(?)（后面略）???22333323?b?ab?aa?ab?b/11.設(shè)f(x)在x?a時(shí)連續(xù)，f(a)?0，當(dāng)x?a時(shí)，f(x)?k?0，則在(a,a?f(a))k內(nèi)f(x)?0有唯一的實(shí)根

/解：因?yàn)閒(x)?k?0，則f(x)在(a,a?f(a))上單調(diào)增加 kf(a)f(a)f/(?)/f(a?)?f(a)?f(?)?f(a)[1?]?0（中值定理）

kkk而f(a)?0故在(a,a?f(a))內(nèi)f(x)?0有唯一的實(shí)根 k1?2t?0?tsin12.試問如下推論過程是否正確。對(duì)函數(shù)f(t)??在[0,x]上應(yīng)用拉t?t?0?0格朗日中值定理得：

1x2sin?0f(x)?f(0)111x??xsin?f??(?)?2si?nc(0s???x)

ox?0x?0x??

即：cos1??2?sin1??xsin1)

(0???x

x1xsin? lim?x?0??0，il2?nsi?0

因0???x，故當(dāng)x?0時(shí)，由m??0?1?0 x

得：lim?cosx?0

1??0，即limcos???01??0

解：我們已經(jīng)知道，lim?cos??01??0不存在，故以上推理過程錯(cuò)誤。

首先應(yīng)注意：上面應(yīng)用拉格朗日中值的?是個(gè)中值點(diǎn)，是由f和區(qū)間[0,x]的

端點(diǎn)而定的，具體地說，?與x有關(guān)系，是依賴于x的，當(dāng)x?0時(shí)，?不 一定連續(xù)地趨于零，它可以跳躍地取某些值趨于零，從而使limcos?x?01??0成

立，而lim?cos??01??0中要求?是連續(xù)地趨于零。故由limcos?x?01??0推不出

??0lim?cos1??0

13.證明：?0?x??2成立x?tgx?x。cos2x

證明：作輔助函數(shù)f(x)?tgx，則f(x)在[0,x]上連續(xù)，在(0,x)內(nèi)可導(dǎo)，由拉格朗日定理知：

f(x)?f(0)tgx1??(0,x)??f?(?)?x?0xcos2?即：tgx??1?x(0,)(0,)，因在內(nèi)單調(diào)遞減，故在cosx22cosx22cos?111xx??x??即： cos20cos2?cos2xcos2?cos2x內(nèi)單調(diào)遞增，故

即：x?tgx?1。cos2x

注：利用拉格朗日中值定理證明不等式，首先由不等式出發(fā)，選擇合適的函數(shù)f(x)及相應(yīng)的區(qū)間[a,b]，然后驗(yàn)證條件，利用定理得

??f?()(?b?a?(a,b)

f(b)?f(a)，再根據(jù)f?(x)在(a,b)內(nèi)符號(hào)或單調(diào)

證明不等式。?14.證明：當(dāng)0?x?時(shí)，sinx?tgx?2x。

證明：作輔助函數(shù)?(x)?sinx?tgx?2x

則??(x)?cosx?sec2x?2

1?2 cos2x1?cos2x?2? 2cosx?cosx?x?(0,)

2?

?(cosx??0

12)cosx??

故?(x)在(0,)上單調(diào)遞減，又因?(0)?0，?(x)在(0,)上連續(xù)，22

故 ?(x)??(0)=0，即：sinx?tgx?2x?0，即：sinx?tgx?2x。

注：利用單調(diào)性證明不等式是常用方法之一，欲證當(dāng)x?I時(shí)f(x)?g(x)，常用輔助函數(shù)?(x)?f(x)?g(x)，則將問題轉(zhuǎn)化證?(x)?0，然后在I上

討論?(x)的單調(diào)性，進(jìn)而完成證明。

15.證明：若f(x)二階可導(dǎo)，且f??(x)?0，f(0)?0，則F(x)?,內(nèi)單調(diào)遞增。)

(0??

f(x)在 x證明：因F?(x)?xf?(x)?f(x)，要證F(x)單調(diào)遞增，只需證F?(x)?0，2x

即證xf?(x)?f(x)?0。

設(shè)G(x)?xf?(x)?f(x)，則G?(x)?xf??(x)?f?(x)?f?(x)?xf??(x)，因?yàn)?/p>

f??(x)?0，x?0，故G(x)是單調(diào)遞增函數(shù)，而G(0)?0f?(x)?0?0，因此G(x)?G(0)，即：xf?(x)?f(x)?0，即：F?(x)?0，即F(x)當(dāng)x?0時(shí)單調(diào)遞增。

第五篇：考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)解析--有關(guān)微分中值定理的證明

考研數(shù)學(xué)高等數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)解析—有關(guān)微分中值定理的證明

萬學(xué)教育?海文考研 王丹

2013年考研數(shù)學(xué)大綱于2012年9月14日正式出爐，數(shù)學(xué)

一、數(shù)學(xué)

二、數(shù)學(xué)三高等數(shù)學(xué)考試內(nèi)容和考試要求包含標(biāo)點(diǎn)符號(hào)在內(nèi)均沒有任何的變化；而線性代數(shù)部分，由原來的“線性方程組的克萊姆法則”改為“線性方程組的克拉默法則”，只是名稱的改變，內(nèi)容沒有變化；概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分，數(shù)學(xué)一沒有任何變化，而數(shù)學(xué)三“多維隨機(jī)變量的分布這一章”考試內(nèi)容和考試要求的難度都降低了，具體變化為將考試內(nèi)容中“兩個(gè)及兩個(gè)以上隨機(jī)變量的函數(shù)的分布”增加了兩個(gè)字“簡(jiǎn)單”，即“兩個(gè)及兩個(gè)以上隨機(jī)變量簡(jiǎn)單函數(shù)的分布”；相應(yīng)的考試內(nèi)容中“會(huì)根據(jù)多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量的聯(lián)合分布求其函數(shù)的分布”改為“會(huì)根據(jù)多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量的聯(lián)合分布求其簡(jiǎn)單函數(shù)的分布”。

有了考試大綱，就有了我們復(fù)習(xí)的依據(jù)，通過對(duì)歷年考研命題規(guī)律的分析，我們得出與中值定理有關(guān)的證明題是考研數(shù)學(xué)的重點(diǎn)且是難點(diǎn)，每年必考有關(guān)中值定理的一道證明題10分．所以大家一定要引起重視，對(duì)于解這類題目,首先要確定證明的結(jié)論,然后聯(lián)想與之相關(guān)的定理、結(jié)論和方法以及所需要的條件,再看題設(shè)中是否給出條件,若都沒有直接給出,考慮如何由題設(shè)條件推出這些所需的條件,最后證明．其中,當(dāng)要證明存在某些點(diǎn)使得它們的函數(shù)值或者高階導(dǎo)數(shù)滿足某些等式關(guān)系或者其他特性時(shí),用中值定理所求的點(diǎn)常常是區(qū)間內(nèi)的點(diǎn)．下面我就有關(guān)中值等式的證明總結(jié)幾種方法，并且通過例題加強(qiáng)對(duì)此類問題方法的理解和把握。

一、有關(guān)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)等式的證明主要有以下幾種方法：

(1)直接法．利用最值定理、介值定理或零點(diǎn)定理直接證明,適用于證明存在??[a,b],使得G(?,f(?))?0．

(2)間接法．構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)(其中F(x)的構(gòu)造方法可參照重要題型五),然后驗(yàn)證F(x)滿足中值定理的條件,最后由相應(yīng)的中值定理得出命題的證明．

二、證明存在一點(diǎn)?使得關(guān)于a,b,f(a),f(b)或?,f(?),f?(?),?,f(n)(?)的等式成立．常用證法：

(1)對(duì)于這類等式的證明問題,可以通過移項(xiàng)使等式一端為0,轉(zhuǎn)化為重要題型五中證明存在一點(diǎn)?使得G(?,f(?),f'(?))?0的問題.(2)利用拉格朗日中值定理直接進(jìn)行證明．

現(xiàn)舉例題如下

例題1：設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，0?a?b，試證明???(a,b)，使得

'f(b)?f(a)22f(?)?(a?ab?b)2b?a3?

分析本題的關(guān)鍵是構(gòu)造輔助函數(shù)．對(duì)于關(guān)系式中顯含a,b及f(a),f(b)的情形,更多地是直接采用拉格朗日中值定理,將含介值的項(xiàng)全部右移,再將左端分子、分母中的a,b分離,然后直接觀察即可得到所需輔助函數(shù)．

'f(b)?f(a)f(b)?f(a)f'(?)22f(?)?(a?ab?b)??222b?a3?b?a(a?ab?b)3?2

f(b)?f(a)f'(?)即.?a3?b33?2

證令g(x)?x3，則f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且當(dāng)x?0時(shí)，g'(x)?0，f(b)?f(a)f'(?)f(b)?f(a)f'(?)則由柯西中值定理有，所以，?'?332g(a)?g(b)g(?)a?b3?

'f(b)?f(a)22f(?)即，得證.?(a?ab?b)b?a3?2

例題2 設(shè)函數(shù)f(x)在?0,3?上連續(xù)，在?0,3?內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且

2f(0?)?fx(d)?x02f(?2)f，(3)

(I)證明：存在??(0,2)使f(?)?f(0);(II)證明存在??(0,3)，使f??(?)?0 證明：(I)?2f(0)??f(x)dx，又?f?x?在?0,2?上連續(xù) 02

?由積分中值定理得，至少有一點(diǎn)???0,2?，使得?f?x?dx?f?????2?0? 02

?2f?0??2f???，?存在???0,2?使得f????f?0?。

(Ⅱ)?f?2??f?3??2f?0?，即f?2??f?3??f?0? 2

又?f?x?在?2,3?上連續(xù)，由介值定理知，至少存在一點(diǎn)?1??2,3?使得f??1??f?0? ?f?x?在?0,2?上連續(xù)，在?0,2?上可導(dǎo)，且f?0??f?2?

?由羅爾中值定理知，??1??0,2?，有f???1??0

又?f?x?在?2,?1?上連續(xù)，在?2,?1?上可導(dǎo)，且f?2??f?0??f??1? ?由羅爾中值定理知，??2??2,?1?，有f??2??0

又?f?x?在??1,?2?上二階可導(dǎo)，且f?(?1)?f?(?2)?0

?由羅爾中值定理，至少有一點(diǎn)????1,?2?，使得f??(?)?0.