第一篇：高等數學(上冊)教案13 中值定理與洛必達法則

第3章 導數的應用

洛必達法則

【教學目的】：

1.理解洛必達法則的含義；

2.會用洛必達法則解決未定式的極限的計算；

3.聯系前兩章有關計算極限的知識，學習極限的綜合計算。

【教學重點】：

1.洛必達法則使用的條件； 2.各種未定式的極限計算； 3.學習極限的綜合計算。

【教學難點】：

1.各種未定式的極限計算； 2.學習極限的綜合計算。

【教學時數】：2學時 【教學過程】：

3.1.2 洛必達法則

1、洛必達（L’Hospital）法則 若函數f(x)和g(x)滿足下列條件：（1）limf(x)?limg(x)?0（或limf(x)?limg(x)??）；

x?x0x?x0x?x0x?x0（2）f(x)和g(x)在點x0的左右近旁可導，且g?(x)?0，f?(x)（3）有lim，=A（或?）x?x0g?(x)f(x)f?(x)lim?lim則有 =A（或?）.x?x0g(x)x?x0g?(x)f(x)f?(x)?lim當運用洛必達法則后得到lim，而仍然滿足定理的條件，則

x?x0g(x)x?x0g?(x)f?(x)f??(x)?lim可以繼續使用洛必達法則，得到lim.x?x0g?(x)x?x0g??(x)0? 除型和型的未定式之外，還有0??、??0、???、00、?0、1?等五0?0?種，對這類未定式求極限，通常是利用代數恒等式變形轉化為型或型，然

0?后利用洛必達法則進行計算.(secx?tanx).例7 求lim?x?2(secx?tanx)?lim解lim?x?2xx?01?sinx?cosx??lim?0．

?cosx??sinxx?x?22例8 求lim?x.解 因為x?exx?lnx，因而lim?xx?0x=ex?0?limx?lnx

1lnxx=lim(?x)=0 lim(x?lnx)?=limlimx?0?x?0?x?0?1x?0?1?2xxx0xe=?.1所以，lim ?x?0注：有些極限雖是未定式，但使用洛必達法則無法求出極限值，這類未定式須考慮用其它方法計算．

聯系前兩章有關計算極限的知識，以課后能力訓練為例，學習極限的綜合計算。

【教學小節】：

通過本節的學習，掌握洛必達法則使用的條件，并能夠應用洛必達法則解決各種未定式的極限的計算，聯系之前學習的知識，掌握極限的綜合計算問題。

【課后作業】：

能力訓練 P77 4（2、6、7、9）

第二篇：高等數學 極限與中值定理 應用

(一)1.x??sin?limx??limxsin2xx?1 22xx?1(洛必達法則)1x2

=lim2x22x??x?1

?2

2.x????x ?limx??limsinxcosx?1

?1

3.x?0sinx?limcosxx?0limtanx?sinxx3

?sinx3?limx sinx(1?cosx)x?0xcosx3

x3?lim23x?0x1?2

4.limx?sinx3x?0?lim?16x1?cosx3x2 x?0

（二）1.若

limsinxe?axx?0(cosx?b)?5，求常數a，b

lim(cosx?b)xe?a sinx(cosx?b)?limxx?0e?a x?0sinx由等價無窮小可得a=1

=lim(cosx?b)?xsinxexx?0?5

b??4

2.若x?0,?(x)?kx,?(x)?21?xarcsinx?cosx

是等價無窮小，求常數K lim1?xarcsinx?kx2cosxx?0?1

?lim1?xarcsinx?cosxkx(1?xarcsinx?1?xarcsinx?cosx2kx2x?02cosx)

?limx?0

x2arcsinx??limx?0?sinx1?x4kx1x)?cosx'?lim31?x2?(x?01?x4k2

4k3k?4??1

3.證明當X>02

時，(x?1)lnx?(x?1)222

f(x)?(x?1)lnx?(x?1)則f(x)?2xlnx?x??2xlnx?x?'''

1x?2(x?1)1x?2

1x2f(x)?2(lnx?1)?1?

?2lnx???ln1x21x?2?11

x2?1?0'再倒推可得：f(x)?0

22f(x)?0f(x?0)，所以(x?1)lnx?(x?1)

（三）1.設f(x)在[0，a]上連續，在（0，a）內可導，且

f(a)?0，證明：???(0,a)，使得f(?)??f(?)?0。

'求原函數F(x)?xf(x)

F(0)?F(a)?0滿足羅爾定律，所以F(x)?0

'即 f(?)??f(?)?0'

2.設f(x)在[0，1]上連續，在（0，1）上可導。且

f(0)?0,f(1)?1，證明

（1）?c?(0,1).推出f(c)?1?c（2）??，??(0,1)有f(?)?f(?)=1（???）''

（1）F(x)?f(c)?c?1

F(0)??1,F(1)?1

由零點定理得?c?(0,1)有F(c)=0

所以?c?(0,1).推出f(c)?1?c（2）設??(o,c),??(c,1)得

f(?)?f(?)?''f(c)?f(0)c?0f(1)?f(c)1?c??1?ccc1?c'

'所以 ??，??(0,1)有f(?)?f(?)=1（???）

第三篇：關于判別式法與韋達定理的論述

關于判別式法與韋達定理論述

weiqingsong

摘要：判別式法與韋達定理除了已知一元二次方程的一個根，求另一根；已知兩個數的和與積，求這兩個數等簡單應用外，還可以求根的對稱函數，討論二次方程根的符號，解對稱方程組，以及解一些有關二次曲線的問題等，都有非常廣泛的應用。

關鍵詞：判別式法韋達定理

在中學解題中判別式法與韋達定理的應用極其普遍，因此系統的研究一下利用判別式法與韋達定理解題是有必要的。別式法與韋達定理說明了一元二次方程中根和系數之間的關系。它們都有著廣泛的應用在整個中學階段。

一、韋達定理的由來

法國數學家韋達最早發現代數方程的根與系數之間有這種關系，因此，人們把這個關系稱為韋達定理。歷史是有趣的，韋達的16世紀就得出這個定理，證明這個定理要依靠代數基本定理，而代數基本定理卻是在1799年才由高斯作出第一個實質性的論性。判別式法與韋達定理在方程論中有著廣泛的應用。

二、對判別式法的介紹及概括

一般的關于一元二次方程ax^2+bx+c=0（a、b、c屬于R，a≠0）根的判別，△=b^2-4ac，不僅用來判定根的性質，而且作為一種解題方法，在代數式變形，解方程(組)，解不等式，研究函數乃至幾何、三角運算中都有非常廣泛的應用。

關于x的一元二次方程x^2+mx+n=0有兩個相等的實數根，求符合條件的一組的實數值。這是應注意以下問題：如果說方程有實數根，即應當包括方程只有一個實根和有兩個不等實根或有兩個相等實根三種情況；如果方程不是一般形式，要化為一般形式，再確定a、b、c的值；使用判別式的前提是方程為一元二次方程，即二次項系數a≠0；當二次項系數含字母時，解題時要加以考慮。

判別式的主要應用有：不解方程就可以直接判定方程的根的情況；已知方程根的情況，確定方程中未知系數（或參數）的取值范圍；判別或證明一元二次方程的根的性質；判別二次三項式ax^2+bx+c(a≠0)能否在實數范圍內分解因式(1)當△≥0 時，二次三項式在實數范圍內能分解因式；（2）當△≤0 時，二次三項式在實數范圍內不能分解因式。

三、某些利用別式法解題的例題

“判別式法”是我們解題時常用的方法，對初高中同學來說，在解題中常常用到，掌握它很有必要，下面舉例說明它的作用。

1.求最值

例： 已知a?2b?ab?30，且a?0，b?0，試求實數a、b為何值時，ab

1取得最大值。

解：構造關于a的二次方程，應用“判別式法”。設ab?y

由已知得a?2b?y?30（2）

（3）（1）2ab由（1）（2）消去，對a整理得?(y?30)a?2y?0

22對于（3），由??(y?30)?4?2y?0，y?68y?900?0，解得y?50或

y?18。由y?ab?30，舍去y?50，得y?18。

2把y?18代入（3）（注意此時??0），得a?12a?36?0，即a?6，從而

b?3。

故當a?6，b?3時，ab取得最大值為18。

2.求參數的取值范圍

例：對于函數f(x)，若存在x0?R，使f(x0)?x0成立，則稱x0為f(x)的2f(x)?ax?(b?1)x?b?1(a?0)，不動點。已知函數對于任意實數b，函數f(x)

恒有兩個相異的不動點，求a的取值范圍。

解：對任意實數b，f(x)恒有兩個相異的不動點?對任意實數b,ax2?(b?1)x?b?1?x恒有兩個不等實根?對任意實數b，ax2?bx?b?1?0

2恒有兩個不等實根?對任意實數b,??b?4a(b?1)?0恒成立。

22??b?4a(b?1)?b?4ab?4a看作關于b的二次函數，可以將則對任意實

22b，??b?4ab?4a?0?'?(?4a)?4?4a?0?a(a?1)?0 ?數恒成立

?0?a?1

故a的取值范圍是(0，1)

四、對韋達定理的介紹及概括

韋達定理說明了一元n次方程中根和系數之間的關系。這里講一元二次方程兩根之間的關系。一元二次方程aX^2+bX+C=0﹙a≠0﹚中，兩根X1,X2有如下關系：X1+ X2=-b/a，X1·X2=c/a.韋達定理（即根與系數的關系）雖然是初中數學的內容，但它的應用卻貫穿于整個中學數學教學的始終，用它來解決一些數學問題非常簡捷巧妙，簡捷得使人驚嘆，巧妙的令人叫絕，能激發學生的學習興

2趣。有利于創造思維能力的培養。

五、某些利用韋達定理解題的例題

1.利用根與系數的關系求值

11?2例：若方程x?3x?1?0的兩根為x1,x2，則x1x2的值為_____.x1?x2??b?3c?1???3,x1?x2????1a1a1解：根據韋達定理得：

?11x1?x23?????3x1x2x1x2?

12.利用根與系數的關系構造新方程

理論：以兩個數為根的一元二次方程是。例：解方程組

解：顯然，x，y是方程z2-5z+6＝0 ① 的兩根

由方程①解得 z1=2,z2=

3∴原方程組的解為 x1=2,y1=3

x2=3,y2=

2六、判別式法與韋達定理相結合的綜合應用

例1.如圖所示，拋物線y2=4x的頂點為O，點A的坐標為(5，0)，傾斜角為?

4的直線l與線段OA相交(不經過點O或點A)且交拋物線于M、N兩點，求△AMN面積最大時直線l的方程，并求△AMN的最大面積解：由題意，可設l的方程為y=x+m,其中－5＜m＜0由方?y?x?m?2程組?y?4x,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0①∵直線l線有兩個不同交點M、N，∴方程①的判別式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范圍為(－5，0)

設M(x1,y1),N(x2,y2)則x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,∴|MN|=42(1?m)點

A到直線l的距離為∴S△=2(5+m)?m,從而S△2=4(1－m)(5+m)2=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤

32?2m?5?m?5?m

32()3=128

∴S△≤82,當且僅當2－2m=5+m,即m=－1時取等號故直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為

解法二由題意，可設l與x軸相交于B（m,0）, l的方程為x = y +m,其中0＜m＜5?x?y?m?2y?4x由方程組?,消去x,得y 2－4 y －4m=0①∵直線l與拋物線有

兩個不同交點M、N，∴方程①的判別式Δ=(－4)2+16m=16(1+m)＞0必成立,設M(x1,y1),N(x2,y2)則y 1+ y 2=4，y 1·y 2=－4m,11(5?m)|y1?y2|?(5?m2∴S△

=251(?m)＝42

2??∴S△≤851(?m)?(1?m)22即m=1時取等號2,當且僅當

故直線l的方程為y=x－1，△AMN的最大面積為

82y例2.已知拋物線?4x的焦點為F，過F作兩條互相垂直的弦AB、CD，設AB、CD的中點分別為M、N。求證：直線MN必過定點，并求出定點的坐標。

解：設直線AB的方程為y?k(x?1)（k?0），則

4??y?k(x?1)x?x?2??B?k2x2?(2k2?4)x?k2?0??Ak2?2?y?4x??xA?xB?1，4?2?yA?yB???xC?xD?2?4k?yC?yD??4kk22???M?1?2,????yA?yB??2x?x?1kk???yC?yD??2，??CD從而有。同理，有?，N(1?2k,?2k)。因此，直線MN的斜率2kMN?k

1?k2，從而直線MN的方程為

y?2k?kk2(x?1?2k)y?(x?3)21?k21?k，即。顯然，直線MN必過定點(3,0)； 參考文獻：①《淺談“判別式法”的作用》作者：徐國鋒、袁玉鳳

②《 2008年安徽省安慶一中高考模擬試卷》

③《 2009年烏魯木齊地區高三年級第二次診斷性測驗試卷》

第四篇：高等數學(上冊)教案05 函數的連續性與間斷點

第1章 函數、極限與連續

函數的連續性與間斷點

【教學目的】：

1.理解函數在一點連續的概念； 2.會求簡單函數的間斷點；

【教學重點】：

1.函數連續、間斷的概念；

2.函數在一點處連續的判定方法； 3.函數間斷點的分類；

【教學難點】：

1.函數在一點處連續的判定方法； 2.分段函數分段點處的連續性判斷； 3.函數間斷點的分類。

【教學時數】：2學時 【教學過程】：

1.4.1函數的連續性的概念

1、函數的增量

2、函數的連續性

定義1 設函數y?f(x)在點x0及其附近有定義，且lim?y?0，則稱函數

?x?0f(x)在點x0連續，x0稱為函數y?f(x)的連續點．

連續的另一等價定義是：

定義2 設函數y?f?x?在點x0及其附近有定義，如果函數f?x?當x?x0時的極限存在，且等于它在點x0處的函數值f?x0?，即limf?x??f?x0?，那么就稱函數y?f?x?在點x0連續.注意：由定義知函數f(x)在x0處連續要limf?x??f?x0?成立，則必須同時

x?x0x?x0滿足以下三個條件

(1)函數f(x)在x0處有定義；

(2)極限limf(x)存在；

x?x0(3)極限值等于函數值，即limf(x)?f(x0)．

x?x0定義3 如果函數y?f(x)在x0處及其左鄰域內有定義，且limf(x)=f(x0)，?x?x0則稱函數y?f(x)在x0處左連續．如果函數y?f(x)在x0處及其右鄰域內有定義，且limf(x)?f(x0)，則稱函數y?f(x)在x0處右連續．

?x?x0y?f(x)在x0處連續 ? y?f(x)在x0處既左連續且右連續．

?x?1x?0?例5 討論函數f(x)??0x?0 在點x?0處的連續性.?x?1x?0?解 函數定義域為(??,??)，x?0?limf(x)=lim(x?1)??1，limf(x)?lim(x?1)?1，???x?0x?0x?0由于左極限與右極限雖然都存在但不相等，所以limf(x)不存在，函數f(x)在點

x?0x?0處不連續.定義4 若函數f(x)在開區間(a,b)內任何一點處都連續，則稱函數f(x)在開區間(a,b)內連續；若函數f(x)在開區間(a,b)內連續，且在左端點a處右連續，在右端點b處左連續，則稱函數f(x)在閉區間[a,b]上連續.可以證明，基本初等函數以及常數函數在其定義區間內都是連續的．

3、函數的間斷點

如果函數y?f(x)在點x0處不連續，則稱f(x)在x0處間斷，并稱x0為f(x)的間斷點．

設x0是f(x)的間斷點，若f(x)在x0點的左、右極限都存在，則稱x0為f(x)的第一類間斷點；其他的間斷點都稱為第二類間斷點．

在第一類間斷點中，如果左、右極限存在但不相等，這種間斷點又稱為跳躍間斷點；如果左、右極限存在且相等(即極限存在)，但函數在該點沒有定義，或者雖然函數在該點有定義，但函數值不等于極限值，這種間斷點又稱為可去間斷點．在第二類間斷點中左、右極限至少有一個為無窮大的間斷點稱為無窮間斷點.【教學小節】：

通過本節的學習，理解函數連續的一系列概念，并掌握判斷函數連續的方法，學會判斷函數的間斷點并分類。

【課后作業】：

無

第五篇：教科版九年級道德與法治上冊 第12課 財富中的法與德 教案

《財富中的法與德》教學設計

教材分析：

我獲得財富的手段有合法與非法之分，支配財富的方式有正確與錯誤之別，財富的獲得與支配需要從法律角度與道德角度對其進行衡量。【知識與能力目標】

1.知道勤儉節約是中華民族的傳統美德,培養勤儉節約、文明消費的良好行為習慣。2.知道獲得財富必須遵紀守法,理解合法致富的原因;知道依法納稅是公民的基本義務,理解稅收的作用。

3.認識到勤儉節約是治國安邦之道,是企業家取得成就的法寶,是人的美德。【過程與方法目標】

培養學生分析問題、解決問題的能力。【情感態度價值觀目標】

1.幫助學生明確“君子愛財,取之有道”的財富觀、價值觀;明確依法納稅是公民的義務 2.培養學生對社會的強烈責任感,激勵學生樹立“富而思源,富而思進”的思想,從小做一個有理想、懂得回報社會的人

3.懂得在生活中應當量力而行,不貪圖虛榮,不盲目攀比,樹立良好的消費觀。

教學重難點：

1財富中法與德的要求。2.樹立正確的財富觀。

課前準備：

教學課件、圖表

教學過程：

導入新課：

材料分析：今年6月初，群眾舉報范冰冰“陰陽合同”涉稅問題后，國家稅務總局高度重視，即責成江蘇等地稅務機關依法開展調查核實。

從調查核實情況看，范冰冰在電影《大轟炸》劇組拍攝過程中實際取得片酬3000萬元，其中1000萬元已經申報納稅，其余2000萬元以拆分合同方式偷逃個人所得稅618萬元，少繳營業稅及附加112萬元，合計730萬元。此外，還查出范冰冰及其擔任法定代表人的企業少繳稅款2.48億元，其中偷逃稅款1.34億元。

依據《中華人民共和國行政處罰法》第四十二條以及《江蘇省行政處罰聽證程序規則》相關規定，9月26日，江蘇省稅務局依法先向范冰冰下達《稅務行政處罰事項告知書》，對此范冰冰未提出聽證申請。9月30日，江蘇省稅務局依法已向范冰冰正式下達《稅務處理決定書》和《稅務行政處罰決定書》，要求其將追繳的稅款、滯納金、罰款在收到上述處理處罰決定后在規定期限內繳清。

教師：你從上述新聞材料獲取了哪些信息?這對我們獲得財富有何警示? 學生討論。

教師:范冰冰事件告訴我們，財富的獲得有多種辦法和途徑。然而,在法制社會下，無論用什么方法,通過什么途徑,都必須符合法律的規定。交稅是每個中華人民共和國的公民應盡的義務，偷稅漏稅是十分可恥的行為，需要受到法律的制裁。每個人都應該通過合法的方式獲得財富。

【設計意圖】：通過案例分析闡明納稅是公民應盡的義務，獲得財富必須遵紀守法。

教師：你們能夠從圖片中解讀出什么？ 學生討論。

教師：這是一幅講述納稅的圖片，樹葉上寫了是國防、基礎建設、文化、民生、社會和諧等等。樹干上寫了人民說明人民是這些活動的主體，而旁邊有兩個人在給這棵樹澆水，也諧音“交稅”因為上述活動的人民主體地位是通過人民的納稅才能夠達到的。這幅圖描繪了誠信納稅的重要性。

【設計意圖】：明白依法納稅是公民的基本義務,理解稅收的作用。

教師：在獲取財富的過程中我們需要依據法律做到誠信納稅，在獲得財富之后，我們在支配這些財富的時候，同樣也需要做道德上的考量。

案例：2018年6月14日，古天樂慈善基金捐建的第99個學校教學樓舉行了竣工典禮，這所小學的位于廣西蒼梧。竣工典禮現場，教學樓上面的校訓中首當其沖的就是：善念和感恩。上述材料說明了什么? 學生討論。

教師:我們可以將這兩位社會公共人物做一個對比，社會上存在著很多只考慮一己私利的人，但是也存在著許多心懷社會，擁有高度的社會責任感的人。越來越多的人開始以各種方式回報社會、奉獻社會,帶動和幫助后富,逐步走向共同富裕。在他們的身上,表現出了“富而思源”的高尚境界。我國允許和鼓勵一部分人先富起來，做到先富帶動后富，以實現共同富裕。這個過程中先富起來的人承擔了更多的社會責任，以實際行動回報社會，是社會責任感的體現，也是射虎進步的需要和標志。當然，先富之人更需要擁有一種積極向上的人生觀做到富而思進取。

【設計意圖】：通過案例分析，培養學生對社會的強烈責任感,激勵學生樹立“富而思源,富而思進”的思想。

教師：在支配財富的過程中我們還需要做到勤儉節約，勤儉節約是中華民族的傳統美德。只有做到請見節約才能夠做到守業有成，這是古今中外不變的真理。

案例： 1.共產主義戰士雷鋒在生活中處處注意節約，他參軍后，每月領到的津貼費，除了交團費，買書等必需的生活日用品外，其它的全部存入了儲蓄所。他的襪子總是補了穿，穿了又補。變得面目全非了還舍不得買雙新的。搪瓷臉盆和洗口杯有許多疤子，還不愿意丟掉另買。他的內衣也補了許多補丁。但部隊發夏裝時，按規定每人可領兩套單軍裝，兩件襯衣、兩雙鞋，而雷鋒卻只領一份，說是是“夠穿了”。

2.英國女王伊麗莎白二世經常說的一句英國諺語是“節約便士，英鎊自來”，每一天深夜她都親自熄滅白金漢宮小廳堂和走廊的燈，她堅持皇家用的牙膏要擠到一點不剩。教師：你們從上述故事中得到那些啟示？ 學會討論。

教師：隨著經濟的發展，人們生活水平的提高,有些人把勤儉的美德當作“過時”的觀念加以否定。這種觀念是錯誤的，使國家足夠發達了，我們的生活真正富足了,勤儉節約的美德也不能丟。因此,在艱苦的年代,我們要用勤儉節約渡過難關,在富裕的年代,更要用勤儉節約的習慣培養我們的品德.從我國的實現國情來看,我國仍然是一個發展中的人口大國,人均資源短缺,艱苦奮斗、勤儉節約將是一個要永遠倡導的精神,要在全社會提倡勤儉節約、珍惜勞力、創造財富的意識,為達到目標而不畏艱難、銳意進取的意識狀態和思想品格，使得銳意進取的世界觀、人生觀、價值觀深入人心。

教師：在消費過程中也要做到量力而行，適度消費，過度消費不僅會積累個人的不良習慣，也會造成社會資源的浪費。那么在你們生活中有沒有過度消費的案例呢？ 學生討論。

【設計意圖】：了解的傳統美德,培養勤儉節約、文明消費的良好行為習慣。