第一篇：考研.數學 高數總結3
定積分理論
一、實際應用背景
1、運動問題—設物體運動速度為v?v(t)，求t?[a,b]上物體走過的路程。
（1）取a?t0?t1???tn?b，[a,b]?[t0,t1]?[t1,t2]???[tn?1,tn]，其中?ti?ti?ti?1(1?i?n)；
（2）任取?i?[xi?1,xi](1?i?n)，S?
n?f(?)?t； iii?1
iin（3）取??max{?xi}，則S?lim1?i?n??0?f(?)?x i?12、曲邊梯形的面積—設曲線L:y?f(x)?0(a?x?b)，由L,x?a,x?b及x軸圍成的區域稱為曲邊梯形，求其面積。
（1）取a?x0?x1???xn?b，[a,b]?[x0,x1]?[x1,x2]???[xn?1,xn]，其中?xi?xi?xi?1(1?i?n)；
（2）任取?i?[xi?1,xi](1?i?n)，A?
n?f(?)?x； iii?1
iin（3）取??max{?xi}，則A?lim1?i?n??0?f(?)?x。i?1
二、定積分理論
（一）定積分的定義—設f(x)為[a,b]上的有界函數，（1）取a?x0?x1???xn?b，[a,b]?[x0,x1]?[x1,x2]???[xn?1,xn]，其中?xi?xi?xi?1(1?i?n)；
（2）任取?i?[xi?1,xi](1?i?n)，作
n?f(?)?x； iii?1
inax{?xi}，（3）取??m若lim1?i?n??0?f(?)?x存在，稱f(x)在[a,b]上可積，極限稱為f(x)i
i?1
在[a,b]上的定積分，記?b
af(x)dx，即?f(x)dx?lim?f(?i)?xi。abn??0i?1
【注解】
（1）極限與區間的劃分及?i的取法無關。
n
?1,x?Q
【例題】當x?[a,b]時，令f(x)??，對lim?f(?i)?xi，??0
i?1?0,x?RQ
n
n
情形一：取所有?i?Q(1?i?n)，則lim
??0
?f(?)?x
i
i?1
n
i
?lim??xi?b?a；
??0
i?1
情形二：取所有?i?RQ(1?i?n)，則lim
??0
n
?f(?)?x
i
i?1
i
?0，所以極限lim
??0
?f(?)?x不存在，于是f(x)在[a,b]上不可積。
i
i
i?1
（2）??0?n??，反之不對。
112n?1n1,]，?xi?(1?i?n)；
nnnnnn
i?1i
取法：取?i?或?i?(1?i?n)，則
nn
分法：等分，即[0,1]?[0,]?[,]???[
?
1ni1ni?1
f(x)dx?lim?f()?lim?f()。
n??nn??nni?1ni?1
則
?
b
a
b?anif(x)dx?limf[a?(b?a)]。?n??ni?1n
1n2i【例題1】求極限lim??。
n??nni?1
11n2i
【解答】lim?????2xdx。
0n??nni?1
【例題2】求極限lim（n??
1n?1
?
?
1n?2
???
???
1n?n)。
22)
【解答】lim（n??
1n?1
?
1n?
21n?n1n
?()2
n
1?lim[n??n
11?()2
n
2?()2
n
???
]??
dx?x
三、定積分的普通性質1、2、3、4、?[f(x)?g(x)]dx??
a
bb
a
f(x)dx??g(x)dx。
a
b
?kf(x)dx?k?
a
bb
a
f(x)dx。
bc
?
b
a
f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx。
a
c
?
b
a
dx?b?a。
5、設f(x)?0(a?x?b)，則【證明】
?
b
a
f(x)dx?0。
?
b
a
f(x)dx?lim?f(?i)?xi，??0
i?1
n
因為f(x)?0，所以f(?i)?0，又因為a?b，所以?xi?0，于是
n
?f(?)?x
i
i?1
n
i
?0，由極限保號性得
lim?f(?i)?xi?0，即?f(x)dx?0。
??0
i?1
b
a
（1）
?
b
a
f(x)dx??|f(x)|dx(a?b)。
a
b
（2）設f(x)?g(x)(a?x?b)，則
?
b
a
f(x)dx??g(x)dx。
a
b
6（積分中值定理）設f(x)?C[a,b]，則存在??[a,b]，使得
四、定積分基本理論
定理1 設f(x)?C[a,b]，令?(x)?
?
b
a
f(x)dx?f(?)(b?a)。
?
x
a
f(t)dt，則?(x)為f(x)的一個原函數，即
??(x)?f(x)。
【注解】
（1）連續函數一定存在原函數。
dx
f(t)dt?f(x)，（2）?adx
d?(x)
f(t)dt?f[?(x)]??(x)。?adx
d?2(x)
?(x)?f[?1(x)]?1?(x)。f(t)dt?f[?2(x)]?2（3）
dx??1(x)
【例題1】設f(x)連續，且?(x)?【解答】?(x)?
x
?(x?t)f(t)dt，求???(x)。
0x0
x
?(x?t)f(t)dt?x?
0f(t)dt??tf(t)dt，x
??(x)??f(t)dt?xf(x)?xf(x)??f(t)dt，???(x)?f(x)。
xx
【例題2】設f(x)為連續函數，且?(x)?【解答】?(x)?
x2?t2?u
?tf(x
x
?t2)dt，求??(x)。
?
x
tf(x2?t2)dt??
1x2222
f(x?t)d(x?t)2?0
101x2
???2f(u)du??f(u)du，2x20
f(x2)?2x?xf(x2)。2
??(x)?
定理2（牛頓—萊布尼茲公式）設f(x)?C[a,b]，且F(x)為f(x)的一個原函數，則
?
b
a
f(x)dx?F(b)?F(a)。
【證明】由F?(x)?f(x),??(x)?f(x)得[F(x)??(x)]??f(x)?f(x)?0，從而F(x)??(x)?constant，于是F(b)??(b)?F(a)??(a)，注意到?(a)?0，所以?(b)?F(b)?F(a)，即
五、定積分的積分法
（一）換元積分法—設f(x)?C[a,b]，令x??(t)，其中?(t)可導，且??(t)?0，其中
?
b
a
f(x)dx?F(b)?F(a)。
?(?)?a,?(?)?b，則?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt。
a
b?
?
（二）分部積分法—
?udv?uv??vdu。
a
a
a
b
b
b
六、定積分的特殊性質
1、對稱區間上函數的定積分性質 設f(x)?C[?a,a]，則（1）則
?
a
?a
f(x)dx??[f(x)?f(?x)]dx。
a
（2）若f(?x)?f(x)，則
?
a
?a
f(x)dx?2?f(x)dx。
a
（3）若f(?x)??f(x)，則
?
a
?a
f(x)dx?0。
【例題1】設f(x),g(x)?C[?a,a]，其中f(x)?f(?x)?A,g(x)為偶函數，證明：
?
a
?a
f(x)g(x)dx?A?g(x)dx。
a
【解答】
a
?
a
?a
f(x)g(x)dx??[f(x)g(x)?f(?x)g(?x)]dx
a0
a
??[f(x)?f(?x)]g(x)dx?A?g(x)dx。
?
（2）計算
??arctane
2?2
x
|sinx|dx。
?
?
【解答】
?
?
?
arctane|sinx|dx??2(arctanex?arctane?x)sinxdx，x
?x
x
exe?x
??0，因為(arctane?arctane)??2x?2x
1?e1?e
所以arctanex?arctane?x?C0，取x?0得C0?
?
?，于是
??arctane|sinx|dx?
2?2
x
?
?
2?
sinxdx?
?。
2、周期函數定積分性質 設f(x)以T為周期，則（1）
?
a?T
a
。f(x)dx??f(x)dx，其中a為任意常數（周期函數的平移性質）
T
如
?
3?
?
?
?
?
?
sinxdx??2?sinxdx?2?2sin2xdx。
（2）
?
nT
f(x)dx?n?f(x)dx。
T3、特殊區間上三角函數定積分性質
?
?
（1）設f(x)?C[0,1]，則
?
?
f(sinx)dx??2f(cosx)dx，特別地，?
sinxdx??cosxdx?In，且In?
n
?
n
n?1?
In?2,I0?,I1?1。n2
sinx
【例題1】計算?2?dx。
?1?ex2
?
sin4xsin4xsin4x2【解答】??dx??(?)dx ?x01?ex?1?ex1?e2
??
1131?3?42sin4xdx?I???2(?)sinxdx????。4?x?01?ex0422161?e
??
【例題2】計算【解答】
?
?cos?xdx。
?
?cos?xdx?
??
?cos?xd(?x)?
??
100?
?cosxdx
?
?
?
?
2?
?cosxdx?
?
??
?
?
?cosxdx?
?
?
?
?cosxdx
?
?
?
?
1?cosx2?xx222
。dx?sind()?sinxdx???002?22??
第二篇：考研高數知識總結1
考研數學講座（17）論證不能憑感覺
一元微分學概念眾多，非常講究條件。討論問題時，要努力從概念出發，積極運用規范的算法與爛熟的基本素材。絕不能憑感覺憑想象就下結論。
1． x趨于∞時，求極限 lim xsin（2x∕(x平方+1),你敢不敢作等價無窮小替換?
分析 只憑感覺，多半不敢。依據定義與規則，能換就換。
x 趨于∞時，α = 2x∕(x平方+1)是無窮小，sinα 是無窮小，sinα（x）～ α（x）且 sinα 處于“因式”地位。可以換。
等價無窮小替換后，有理分式求極限，是“化零項法”處理的標準∞∕∞型，答案為 2
2．設f(x)可導，若f(x)是奇（偶）函數（周期函數，單調函數，有界函數），它的導函數fˊ(x)有什么樣的奇偶性（周期性，單調性，有界性）？
分析 有定義數學式的概念，一定要先寫出其定義式。簡單一點也行。比如 奇函數 f(－x)= －f(x)周期為T的函數 f(x+T)= f(x)等式兩端分別求導，得 fˊ(－x)= fˊ(x)fˊ(x+T)= fˊ(x)（實際上，由復合函數求導法則，（f(－x)）ˊ= fˊ(－x)(－x)ˊ= －fˊ(－x)）
所以，奇函數的導數是偶函數；偶函數的導數是奇函數。（如果高階可導，還可以逐階說下去。）周期函數的導數也是周期函數。很有趣的是，因為(x)ˊ= 1，有的非周期函數，比如y = x + sinx，的導數卻是周期函數。
（潛臺詞：周期函數的原函數不一定是周期函數。）
單調函數定義中沒有等式的概念，可以先在基本初等函數中舉例觀察。
如y = x單增，yˊ = 1不是單調函數。y = sinx在（0，π/2）單增，yˊ = conx 單減，沒有確定的結論。
有界性討論相對較為困難。如果注意到導數的幾何意義是函數圖形的切線斜率。即切線傾角的正切。就可以想到，在x趨于x0時，要是導數值無限增大，相應的圖形切線就趨向于與x軸垂直。顯然，圓周上就有具豎直切線的點。
取 y =√（1－x的平方），它在[0，1]有界，但是 x 趨于 1 時，其導數的絕對值趨于正無窮。這個反例說明有界函數的導數不一定有界。
（畫外音：寫出來很嚇人啊。x → 1 時，lim f(x)= 0，而 lim fˊ(x)= －∞）
3． 連續函數的復合函數一定連續。有間斷點的函數的復合函數就一定間斷嗎？
分析 連續函數的復合，花樣更多。原因在于復合函數f（g（x））的定義域，是f（x）的定義域與g（x）值域的交。有“病”的點可能恰好不在“交”內。因而，有間斷點的函數的復合函數不一定間斷。比如：
取分段函數 g（x）為，x ＞ 0 時 g =1，x ≤ 0 時 g = －1，0是其間斷點。取 f（u）=√u，則 f（g（x））= 1 在 x ＞ 0 時有定義且連續。還有一些原因讓“病態點”消失。
如果只圖簡單，你可以取 f（u）為常函數。以不變應萬變。
取 f（u）= u的平方，則 f（g（x））= 1，顯然是個連續函數。
4．設 f(x)可導，若x趨于 +∞ 時，lim f(x)= +∞ ,是否必有lim fˊ(x)= +∞ 分析 稍為一想，就知為否。例如 y = x 更復雜但頗為有趣的是 y = ln x，x 趨于 +∞ 時，它是無窮大。但是 yˊ = 1∕x 趨于0，這就是對數函數異常緩慢增長的原因。5．設f(x)可導，若 x 趨于+∞時，lim fˊ(x)= +∞ , 是否必有 lim f(x)= +∞ 分析 用導數研究函數，這是微積分的正道。首先要體念極限（見指導（3）。）： 因為 lim fˊ(x)= +∞，所以當 x 充分大時，不仿設 x ＞ x0 時，總有 fˊ(x)＞1 用拉格朗日公式給函數一個新的表達式
f(x)= f(x0)+ fˊ(ξ)(x－x0), x0 ＜ξ＜ x(潛臺詞: ξ=ξ(x)。你有這種描述意識嗎？)進而就有, x ＞x0 時, f(x)＞f(x0)+ 1(x－x0)（畫外音：這一步是高級動作。）因為 f(x0)是個常數，x0是我們選擇的定點，所以上式表明，必有 lim f(x)= +∞ 6。設 f(x)可導，若 x 趨于-∞ 時，lim fˊ(x)=-∞ , 是否必有 lim f(x)=-∞ 分析 否。你如果與上述問題5對比，認為情形相仿，結論必有。那就太想當然了。請你還是老老實實地象5中那樣寫出推理吧。結論是
若 x 趨于-∞ 時，lim fˊ(x)=-∞ , 則必有 lim f(x)= +∞
7．設 f(x)可導，若x 趨于+∞時，lim f(x)= c（常數，）是否必有lim f ˊ(x)= 0 分析 否。lim fˊ(x)有可能不存在。
這是最容易憑感覺想當然的一個題目。我讀本科時，最初的想法就是，“lim f(x)= c 表示函數圖形有水平漸近線，函數又可導，當然在 x 趨于+∞時，切線就趨于水平了。”
想當然的原因之一是我們見識太少，腦子里的函數都較簡單，圖形很光滑漂亮。之二則是對于漸近線的初等理解有慣性。
由極限定義的水平漸近線，并不在乎曲線中途是否與其相交。比如，曲線可以以漸近線為軸震蕩，最終造成 lim fˊ(x)不存在的后果。對比條件強化 —— 如果 lim fˊ(x)存在，則必有 lim fˊ(x)= 0 用反證法證明。且不仿設 x 趨于 +∞ 時 lim fˊ(x)= A ＞0 與前述5中同樣，可以選定充分大的正數 x0，使 x＞x0 時，總有 fˊ(x)＞A/2，然后用拉格朗日公式給函數一個新的表達式，導數條件管住ξ，從而有
f(x)＞f(x0)+ A(x－x0)/2 —→+∞ 矛盾。
8．函數在一點可導，且導數大于0，能說函數在這一點單增嗎？
分析 不能。函數的單調性是宏觀特征，背景是區間。函數在一點可導，且導數大于0，其間所蘊含的信息只能通過可導的定義去挖掘。即先把條件還原成定義算式，即 x 趨于x0 時，lim(f(x)－f（x0））/（x－x0）＞ 0 如果沒有別的條件，下一步就試試體念符號。即在x0鄰近，分子分母同號。進而在其右側鄰近，分子分母皆為正，f(x)＞ f（x0）。但是，我們不知道函數值相互間的大小。
*9 設f(x)可導，若fˊ(a)·fˊ(b)＜ 0，則（a，b）內必有點c，fˊ(c)= 0
分析 對。盡管可導函數的導函數不一定連續。但是，導函數天然地滿足介值定理。這個結論在微積分中叫“達布定理”。
在本篇問題8中，我們講了“一點導數大于0”的邏輯推理。現在不仿設 fˊ(a)＞ 0 而 fˊ(b)＜ 0 分別在a，b兩點處寫出導數定義式，體念極限符號，（本篇問題8。）可以綜合得到結論：
函數的端值 f(a)，f(b)都不是 f(x)在[a，b] 上的最大值。最大值只能在（a，b）內一點實現，該點處導數為0 好啊，多少意外有趣事，盡在身邊素材中。要的是腳踏實地，切忌空想。考研數學講座（18）泰勒公式級數連
中值定理是應用函數的導數研究函數變化特點的橋梁。中值定理運用函數在選定的中心點x0的函數值、導數值以及可能的高階導數值，把函數表示為一個多項式加尾項的形式。再利用已知導函數的性質來處理尾項，對函數做進一步討論。
中值定理的公式（可微分條件，有限增量公式，泰勒公式）都是描述型的數學公式。描述型的數學公式并不難學。什么條件下可以用什么樣的公式描述，你記住公式，完整地寫出來不就行了。公式中的“點ξ”理解為客觀存在的點。
在選定的中心點x0，函數的已知信息越豐富，相應的泰勒多項式與函數越貼近。1.“微分是個新起點” —— 若函數 f（x）在點x0可微，Δy = f ′(x0)Δx +ο(Δx)；其中，ο(Δx)表示“比Δx高階的無窮小。” 則函數實際上就有了一個新的（微局部的）表達式：
f（x）= f(x0)+ f ′(x0)(x－x0)+ ο(Δx)（ο(Δx)尾項，比Δx高階的無窮小）
（潛臺詞：只有|Δx |充分小，“高階無窮小”才有意義。）
歷史上，這個表達式稱為，“帶皮阿諾余項的一階泰勒公式”。
2.拉格郎日公式 —— 若 函數f(x)在閉區間 [a，b] 上連續，在（a，b）內可導，則（a，b）內至少有一點ξ，使得 f(b)－f(a)= f ′(ξ)（b－a）
定理說的是區間，應用時不能太死板。在滿足條件的區間內取任意兩點，實際上也組成一個（子）區間。比如，在區間內任意選定一點x0，對于區間內任意一點x，（任給一點，相對不變。）也可以有 f(x)－f(x0)= f ′(ξ)（x－x0），ξ 在 x 與 x0之間，（潛臺詞：任意一點x，對應著一個客觀存在的“點ξ”，ξ=ξ（x））即 f（x）= f（x0）+ f ′(ξ)（x－x0），ξ 在 x 與 x0之間，3.泰勒公式 —— 如果函數在點x0 鄰近有二階導數
f（x）= f（x0）+ f ′(x0)（x－x0）+（f ″(ξ)/2）（x－x0）2，ξ 在x與x0之間 式中的尾項叫拉格郎日尾項。有時也把 ξ 表示為 x0 +θ(x－x0)，0＜θ＜1 一般情況下，我們無法知道
ξ=ξ（x）的結構、連續性等，只能依靠已知導函數的性質來限定尾項，實現應用目的。
如果函數僅在點x0二階可導，我們可以用高階無窮小尾項（皮阿諾余項）
f（x）= f（x0）+ f ′(x0)（x－x0）+（f ″(x0)/2）（x－x0）2+ ο（|Δx| 2）泰勒系數 —— 如果在點x0 鄰近f（x）n+1 階可導，則有泰勒系數 f（x0），f ′(x0)，f ″(x0)/ 2！，f ′ ″(x0)/ 3！，??
可以寫出，f（x）= n 次泰勒多項式 + 拉格朗日尾項
4.泰勒級數 —— 如果在點x0鄰近f（x）無窮階可導，不妨取x0 = 0，則利用泰勒系數可以寫出一個冪級數
f（x）= f（0）+ f ′(0)x +（f ″(0)/2）x2+（f ′ ″(0)/ 3！）x3 + ?? 這個冪級數的和函數是否就是f（x）呢？不一定！
（畫外音：太詭異了，f（x）產生了泰勒系數列，由此泰勒系數列生成一個冪級數，它的和函數卻不一定是 f（x）。就象雞下的蛋，蛋孵出的卻不一定是雞。）
關鍵在余項。當且僅當 n → ∞ 時，泰勒公式尾項的極限為 0，f（x）一定是它的泰勒系數列生成的冪級數的和函數。稱為 f（x）的泰勒展開式。驗證這個條件是否成立，往往十分困難。故通常利用五個常用函數的泰勒展開式，依靠唯一性定理，用間接法求某些別的函數的泰勒展開式。
美國的學生特別輕松，他們的大學數學教材很有創意，早在極限部分就要求他們,當成定義記住指數函數與正弦函數的泰勒展開式。
exp（x）= 1 + x + x2/2！+ x3/3！+ ?? －∞＜x＜∞ sin x = x － x3/3！+ ?? －∞＜x＜∞
（逐項求導，cos x = 1－ x2/2！+ ??
－∞＜x＜∞）此外還有 ln（1+x）= x － x2/2 + x3/3 + ?? －1＜x＜ 1（1+x）的μ次方 = 1 + μ x +（μ(μ－1)/ 2！）x2+（μ(μ－1)(μ－2)/ 3！）x3+ ?? 1/(1－x)= 1 + x2 + x3 + ?? －1＜x＜ 1，上同
泰勒公式基本應用（1）—— 等價無窮小相減產生高階無窮小。關鍵在于低階項相互抵消。應用泰勒公式直接有，x → 0 時，exp（x）－ 1 ~ x，exp(x)－1－x ~ x2 / 2
sin x ~ x，sin x － x ~ － x3 / 3！，cos x －1 ~ － x2/2 ln（1+x）~ x，ln(1+x)－x ~ －x2/2（1+x）的μ次方－ 1 ~ μ x 例87 已知x→ 1時，lim(√(x3+3)－A－B(x －1)－(x －1)2)/(x －1)2 = 0，試確定常數，A，B，C 分析
已知表明 x → 1 時，分子是較分母高階的無窮小。
題面已暗示，應將函數y =√(x3+3)在點 x = 1 表示為帶皮阿諾余項的泰勒公式，且必有
常數項 = A 一次項系數 = B 二次項系數 = C 這些低階項相互抵消，分子才能成為高于二次方級的無窮小。
于是 A = y(1)= 2，B = y ′(1)= 3/4，C = y″(1)/ 2 = 39/64（畫外音：有的人一遇上這類題就想用洛必達法則，這在邏輯上是錯的。不懂得無窮小的變化機理。如果只有兩個參數，可看講座（9）。）
泰勒公式基本應用（2）—— 帶皮阿諾余項的泰勒公式用于求極限
例88 若 x→ 0 時，極限 lim(sin6 x+ f（x）)/ x3 = 0，則
x→ 0 時，極限 l im(6 + f（x）)/ x2 = ? 分析
分子有兩項。決不能把 sin6 x 換為 6x，（潛臺詞：sin6 x不是分子的因式，是分子的一項。）
這時正好用“帶皮阿諾余項的一階泰勒公式”，sin 6x = 6 x －（6x）3/3！+ ο（|Δx| 3）代入已知極限，移項得 lim(6 + f（x）)/ x2 = 36
例89 設函數 f(x)在 x = 0 的某鄰域內有連續的二階導數，且 f(0)≠0，f ′(0)≠0, 記 F(h)= λ1 f(h)+ λ2 f(2h)+ λ
f(3h)一 f(0)，試證，存在唯一的實數組 λ1，λ2，λ3，使 h → 0 時，F(h)是比 h 2 高階的無窮小。分析 討論極限問題，有高階導數信息，先寫帶皮亞諾余項的泰勒公式 f（x）= f（0）+ f ′(0)x +（f ″(0)/2）x2+ ο（|x| 2）
這是函數 f（x）的一個新的（微局部的）表達式，當然可以表示 f(h)，f(2h)，f(3h)f(h)= f（0）+ f ′(0)h +（f ″(0)/2）h 2+ ο（| h | 2）
f(2h)= f（0）+ f ′(0)2 h +（f ″(0)/2）（2h）2+ ο（| h | 2）f(3h)= f（0）+ f ′(0)3 h +（f ″(0)/2）（3h）2+ ο（| h | 2）（潛臺詞：常數因子不影響尾項。）將各式代入F(h),整理得
F(h)=(λ1+λ2+λ3一1)f（0）+(λ1+2λ2 + 3λ3)f ′(0)h +(λ1+ 4λ2 + 9λ3)f ″(0)h 2/2 + ο（| h | 2）
要讓 h → 0 時，F(h)是比 h 2高階的無窮小。，只需令上式中的常數項及 h 和 h 2項的系數全為 0，這就得到未知量
λ1，λ2，λ3 的一個齊次線性方程組，它的系數行列式是三階的范德蒙行列式，其值不為 0，故可以相應算得唯一的一組 λ1，λ2，和 λ3 泰勒公式基本應用（3）——帶拉格郎日尾項的泰勒公式用于一般討論 例90 —— 凸函數不等式
如果函數 f(x)二階可導且二階導數定號，（稱為凸函數），則應用泰勒公式可以得到不等式
f(x)≥ f（x0）+ f ′(x0)(x－x0)（或≤）
實際上 f（x）= f（x0）+ f ′(x0)(x－x0)+(f ″(ξ)/2)(x－x0)2，ξ 在 x 與 x0之間
設 f ″(x)＞ 0，自然有(f ″(ξ)/2)(x－x0)2 ＞ 0，舍掉此項就得到不等式。
*例91 函數 f(x)在 [－1，1] 上有連續的三階導數，且 f(－1)= 0，f(1)=1，f ′(0)= 0，試證明在區間 內至少有一點 ξ，使得 f ″′(ξ)= 3 分析 選中心點 x0 = 0，在區間內討論，寫出帶拉格郎日尾項的泰勒公式
f（x）= f（0）+（f ″(0)/2）x2+（f ′ ″(η)/ 3！）x3 , η在0與x之間 既然這是 f(x)的又一個表達式，當然可以代入x = －1 , 1，它們分別相應有 ξ 1，ξ 2 0 = f（－1）= f（0）+（f ″(0)/2）(－1)2+（f ′ ″(ξ 1)/ 3！）(－1)3 , －1＜ξ 1＜0 1 = f（1）= f（0）+（f ″(0)/2）12 +（f ′ ″(ξ 2)/ 3！）13 , 0 ＜ξ 2 ＜ 1 到了這一步，仔細觀察發現，兩式相減，能得到只剩下有關三階導數值的表達式。f ′″(ξ 2)+ f ′″(ξ 1)= 6 或著兩個三階導數值都等于3，本題得證。或者它們一大于3，一小于3，而函數 f ″′(x)連續，可以應用介值定理完成本題證明。
第三篇：考研高數知識點總結
綜合理解是在基礎知識點基礎上進行的,加強綜合解題能力的訓練,熟悉常見的考題的類型，下面是小編為你帶來的考研高數知識點總結，希望對你有所幫助。
高等數學是考研數學的重中之重，所占的比重較大，在數學一、三中占56%，數學二中占78%，重點難點較多。具體說來，大家需要重點掌握的知識點有幾以下幾點：
1.函數、極限與連續：主要考查極限的計算或已知極限確定原式中的常數;討論函數連續性和判斷間斷點類型;無窮小階的比較;討論連續函數在給定區間上零點的個數或確定方程在給定區間上有無實根。
2.一元函數微分學：主要考查導數與微分的定義;各種函數導數與微分的計算;利用洛比達法則求不定式極限;函數極值;方程的的個數;證明函數不等式;與中值定理相關的證明;最大值、最小值在物理、經濟等方面實際應用;用導數研究函數性態和描繪函數圖形;求曲線漸近線。
3.一元函數積分學：主要考查不定積分、定積分及廣義積分的計算;變上限積分的求導、極限等;積分中值定理和積分性質的證明;定積分的應用，如計算旋轉面面積、旋轉體體積、變力作功等。
4.多元函數微分學：主要考查偏導數存在、可微、連續的判斷;多元函數和隱函數的一階、二階偏導數;多元函數極值或條件極值在與經濟上的應用;二元連續函數在有界平面區域上的最大值和最小值。此外，數學一還要求會計算方向導數、梯度、曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線。
5.多元函數的積分學：包括二重積分在各種坐標下的計算，累次積分交換次序。數一還要求掌握三重積分，曲線積分和曲面積分以及相關的重要公式。
6.微分方程及差分方程：主要考查一階微分方程的通解或特解;二階線性常系數齊次和非齊次方程的特解或通解;微分方程的建立與求解。差分方程的基本概念與一介常系數線形方程求解方法
由于微積分的知識是一個完整的體系，考試的題目往往帶有很強的綜合性，跨章節的題目很多，需要考生對整個學科有一個完整而系統的把握。最后凱程考研名師預祝大家都能取得好成績。
凱程教育張老師整理了幾個節約時間的準則：一是要早做決定，趁早備考;二是要有計劃，按計劃前進;三是要跟時間賽跑，爭分奪秒。總之，考研是一場“時間戰”，誰懂得抓緊時間，利用好時間，誰就是最后的勝利者。
1.制定詳細周密的學習計劃。
這里所說的計劃，不僅僅包括總的復習計劃，還應該包括月計劃、周計劃，甚至是日計劃。努力做到這一點是十分困難的，但卻是非常必要的。我們要把學習計劃精確到每一天，這樣才能利用好每一天的時間。當然，總復習計劃是從備考的第一天就應該指定的;月計劃可以在每一輪復習開始之前，制定未來三個月的學習計劃。以此類推，具體到周計劃就是要在每個月的月初安排一月四周的學習進程。那么，具體到每一天，可以在每周的星期一安排好周一到周五的學習內容，或者是在每一天晚上做好第二天的學習計劃。并且，要在每一天睡覺之前檢查一下是否完成當日的學習任務，時時刻刻督促自己按時完成計劃。
方法一：規劃進度。分別制定總計劃、月計劃、周計劃、日計劃學習時間表，并把它們
貼在最顯眼的地方，時刻提醒自己按計劃進行。
方法二：互相監督。和身邊的同學一起安排計劃復習，互相監督，共同進步。
方法三：定期考核。定期對自己復習情況進行考察，靈活運用筆試、背誦等多種形式。
2.分配好各門課程的復習時間。
一天的時間是有限的，同學們應該按照一定的規律安排每天的學習，使時間得到最佳利用。一般來說上午的頭腦清醒、狀態良好，有利于背誦記憶。除去午休時間，下午的時間相對會少一些，并且下午人的精神狀態會相對低落。晚上相對安靜的外部環境和較好的大腦記憶狀態，將更有利于知識的理解和記憶。據科學證明，晚上特別是九點左右是一個人記憶力最好的時刻，演員們往往利用這段時間來記憶臺詞。因此，只要掌握了一天當中每個時段的自然規律，再結合個人的生活學習習慣分配好時間，就能讓每一分每一秒都得到最佳利用。方法一：按習慣分配。根據個人生活學習習慣，把專業課和公共課分別安排在一天的不同時段。比如：把英語復習安排在上午，練習聽力、培養語感，做英語試題;把政治安排在下午，政治的掌握相對來說利用的時間較少;把專業課安排在晚上，利用最佳時間來理解和記憶。
方法二：按學習進度分配。考生可以根據個人成績安排學習，把復習時間向比較欠缺的科目上傾斜，有計劃地重點復習某一課程。
方法三：交叉分配。在各門課程學習之間可以相互穿插別的科目的學習，因為長時間接受一種知識信息，容易使大腦產生疲勞。另外，也可以把一周每一天的同一時段安排不同的學習內容。
第四篇：考研數學高數重要知識點
考研數學高數重要知識點
摘要：從整個學科上來看，高數實際上是圍繞著、導數和積分這三種基本的運算展開的。對于每一種運算，我們首先要掌握它們主要的計算方法;熟練掌握計算方法后，再思考利用這種運算我們還可以解決哪些問題，比如會計算以后：那么我們就能解決函數的連續性，函數間斷點的分類，導數的定義這些問題。這樣一梳理，整個高數的邏輯體系就會比較清晰。
函數部分：
函數的計算方法很多，總結起來有十多種，這里我們只列出主要的：四則運算，等價無窮小替換，洛必達法則，重要，泰勒公式，中值定理，夾逼定理，單調有界收斂定理。每種方法具體的形式教材上都有詳細的講述，考生可以自己回顧一下，不太清晰的地方再翻到對應的章節看一看。
接下來，我們來說說直接通過定義的基本概念：
通過，我們定義了函數的連續性：函數在處連續的定義是，根據的定義，我們知道該定義又等價于。所以討論函數的連續性就是計算。然后是間斷點的分類，討論函數間斷點的分類，需要計算左右。
再往后就是導數的定義了，函數在處可導的定義是存在，也可以寫成存在。這里的式與前面相比要復雜一點，但本質上是一樣的。最后還有可微的定義，函數在處可微的定義是存在只與有關而與無關的常數使得時，有，其中。直接利用其定義，我們可以證明函數在一點可導和可微是等價的，它們都強于函數在該點連續。
以上就是這個體系下主要的知識點。
導數部分：
導數可以通過其定義計算，比如對分段函數在分段點上的導數。但更多的時候，我們是直接通過各種求導法則來計算的。主要的求導法則有下面這些：四則運算，復合函數求導法則，反函數求導法則，變上限積分求導。其中變上限積分求導公式本質上應該是積分學的內容，但出題的時候一般是和導數這一塊的知識點一起出的，所以我們就把它歸到求導法則里面了。
能熟練運用這些基本的求導法則之后，我們還需要掌握幾種特殊形式的函數導數的計算：隱函數求導，參數方程求導。我們對導數的要求是不能有不會算的導數。這一部分的題目往往不難，但計算量比較大，需要考生有較高的熟練度。
然后是導數的應用。導數主要有如下幾個方面的應用：切線，單調性，極值，拐點。每一部分都有一系列相關的定理，考生自行回顧一下。
這中間導數與單調性的關系是核心的考點，考試在考查這一塊時主要有三種考法：
①求單調區間或證明單調性;
②證明不等式;
③討論方程根的個數。
同時，導數與單調性的關系還是理解極值與拐點部分相關定理的基礎。另外，數學三的考生還需要注意導數的經濟學應用;數學一和數學二的考生還要掌握曲率的計算公式。
積分部分：
一元函數積分學首先可以分成不定積分和定積分，其中不定積分是計算定積分的基礎。對于不定積分，我們主要掌握它的計算方法：第一類換元法，第二類換元法，分部積分法。這三種方法要融會貫通，掌握各種常見形式函數的積分方法。
熟練掌握不定積分的計算技巧之后再來看一看定積分。定積分的定義考生需要稍微注意一下，考試對定積分的定義的要求其實就是兩個方面：會用定積分的定義計算一些簡單的;理解微元法(分割、近似、求和、取)。至于可積性的嚴格定義，考生沒有必要掌握。
然后是定積分這一塊相關的定理和性質，這中間我們就提醒考生注意兩個定理：積分中值定理和微積分基本定理。這兩個定理的條件要記清楚，證明過程也要掌握，考試都直接或間接地考過。
至于定積分的計算，我們主要的方法是利用牛頓—萊布尼茲公式借助不定積分進行計算，當然還可以利用一些定積分的特殊性質(如對稱區間上的積分)。
一般來說，只要不定積分的計算沒問題，定積分的計算也就不成問題。定積分之后還有個廣義積分，它實際上就是把積分過程和求的過程結合起來了。考試對這一部分的要求不太高，只要掌握常見的廣義積分收斂性的判別，再會進行一些簡單的計算就可以了。
會計算積分了，再來看一看定積分的應用。定積分的應用分為幾何應用和物理應用。其中幾何應用包括平面圖形面積的計算，簡單的幾何體(主要是旋轉體)體積的計算，曲線弧長的計算，旋轉曲面面積的計算。物理應用主要是一些常見物理量的計算，包括功，壓力，質心，引力，轉動慣量等。其中數學一和數學二的考生需要全部掌握;數學三的考生只需掌握平面圖形面積的計算，簡單的幾何體(主要是旋轉體)體積的計算。這一部分題目的綜合性往往比較強，對考生綜合能力要求較高。
這就是高等數學整個學科從三種基本運算的角度梳理出來的主要知識點。除此之外，考生需要掌握的知識點還有多元函數微積分，它實際上是將一元函數中的，連續，可導，可微，積分等概念推廣到了多元函數的情況，考生可以按照上面一樣的思路來總結。
第五篇：2015考研數學高數真題解析
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2015考研數學高數真題解析
[摘要]2015年考研結束后，凱程考研不斷的為大家整理各類真題，按題型、考點、科目等進行剖析，希望能幫助大家更好的復習！
2014年12月28日凱程考研數學教研組第一時間解析了2015考研數學(一)(二)(三)真題，今年的試題難度和去年相比差不多，出題的方向和題目的類型完全在預料之中。沒有偏題怪題，也沒有計算量特別大的題目，完全按照考試大綱的要求，只要考生有比較扎實的基本功，復習比較全面，是比較容易拿到高分的。相信同學們都能做的不錯。
證明題是研究生考試幾乎每年必考的內容，今年考研數學(一)(三)證明題與以往不同，之前經常考到的是有關中值等式的證明或不等式的證明等等，而今年的證明題是導數公式的證明，題目如下
以上是這道證明題的解題過程，這道題也是咱們同濟大學第六版高等數學上冊教材88頁的原定理，所以同學們在預習課本的時候，一定要重視定理、公式、法則、性質等的證明，近幾年考研真題都有考過原定理的證明，比如08年考了邊上限函數導數的證明，09年考查了拉格朗日中值定理的證明。所以對于2016屆考研的學子來說，一定要重視書中定理、公式、法則、性質等的證明。在此對準備2016年考試的考生來說，復習安排應注意以下方面：
首先，注重基本概念、基本原理的理解，弄懂、弄通教材，打一個堅實的數學基礎，書本上每一個概念、每一個原理都要理解到位。象今年考查的導數的運算法則，就是教材上的一個定理，選擇題和部分填空題也是考查基本概念和基本原理，基礎知識的考查占有相當大的比例，切不可開始就看復習資料而放棄課本的復習。
其次，注重公式的記憶，方法的掌握和應用。填空題部分和一部分大題難度不大，需要能夠理解原理，熟悉公式，靈活運用方法。
基礎復習階段非常重要，只要掌握好基礎，對于后期題型的訓練和方法的掌握都有很大的幫助，只有打好基礎才能做題達到游刃有余。
再次，注重綜合問題、實際問題，這部分內容是強化階段重點關注的問題和需要培養的能力，需要大家練習一定量的問題，以達到鞏固概念方法和原理、提高所學知識解決問題能凱程考研，考研機構，10年高質量輔導，值得信賴！以學員的前途為已任，為學員提供高效、專業的服務，團隊合作,為學員服務，為學員引路。凱程考研輔導班，中國最強的考研輔導機構，http://www.tmdps.cn
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力的目的。
最后，凱程考研衷心地祝愿廣大考生2016年考研成功!2015考研剛剛結束，在這里首先祝福各位考生金榜題名!根據今年考研真題，凱程考研數學名師李擂為2016考研的學子介紹一下真題中線性代數的出題特點，以便大家在接下來的復習中能夠更好的把握線性代數的復習方法。
從真題上可以看出，對基本概念、基本性質和基本方法的考查才是考研數學的重點。下面以真題中的幾道題目為例，例如：數學三第13題，考查的內容就是特征值的基本運算性質，如果考生能夠掌握特征值之積等于行列式的值，那么該題很容易求解;數學三第5題，考查的內容是非齊次線性方程組解的判定，如果考生能夠清楚的知道非齊次線性方程組有無窮多解的充要條件為r(A)=r(A,b)
針對以上特點，老師建議各位2016考研的學子在進行線性代數復習時，一定要注重基本概念、基本性質和基本方法的復習。很多考生由于對這些基礎內容掌握不夠牢固，理解不夠透徹，導致許多失分現象，這一點在線性代數這個模塊上體現的更加明顯。
比如，線性代數中經常涉及到的基本概念，余子式，代數余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩(矩陣、向量組、二次型)，等價(矩陣、向量組)，線性表示，線性相關與線性無關，極大線性無關組，基礎解系與通解，特征值與特征向量，矩陣相似與相似對角化，二次型的標準形與規范形，正定矩陣與正定二次型，合同變換與合同矩陣等等，這些概念必須理解清楚。
對于線性代數中的基本運算，行列式的計算(數值型、抽象型)，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關組，線性相關性的判定，求基礎解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量，判斷矩陣是否可以相似對角化，求相似對角矩陣，用正交變換法化實對稱矩陣為對角矩陣，用正交變換化二次型為標準形等等。一定要注意總結這些基本運算的運算方法。例如，復習行列式的計算時，就要將各種類型的行列式計算方法掌握清楚，如，行(列)和相等型、爪型、三對角線型，范德蒙行列式等等。
最后，凱程考研衷心地祝愿廣大考生2016年考研成功!
凱程教育：
凱程考研成立于2005年，國內首家全日制集訓機構考研，一直從事高端全日制輔導，由李海洋教授、張鑫教授、盧營教授、王洋教授、楊武金教授、張釋然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高級考研教研隊伍組成，為學員全程高質量授課、答疑、測試、督導、報考指導、方法指導、聯系導師、復試等全方位的考研服務。凱程考研的宗旨：讓學習成為一種習慣；
凱程考研的價值觀口號：凱旋歸來，前程萬里；
凱程考研，考研機構，10年高質量輔導，值得信賴！以學員的前途為已任，為學員提供高效、專業的服務，團隊合作,為學員服務，為學員引路。凱程考研輔導班，中國最強的考研輔導機構，http://www.tmdps.cn
考研就找凱程考研，學生滿意，家長放心，社會認可！
信念：讓每個學員都有好最好的歸宿；
使命：完善全新的教育模式，做中國最專業的考研輔導機構； 激情：永不言棄，樂觀向上；
敬業：以專業的態度做非凡的事業；
服務：以學員的前途為已任，為學員提供高效、專業的服務，團隊合作，為學員服務，為學員引路。
如何選擇考研輔導班：
在考研準備的過程中，會遇到不少困難，尤其對于跨專業考生的專業課來說，通過報輔導班來彌補自己復習的不足，可以大大提高復習效率，節省復習時間，大家可以通過以下幾個方面來考察輔導班，或許能幫你找到適合你的輔導班。
師資力量：師資力量是考察輔導班的首要因素，考生可以針對輔導名師的輔導年限、輔導經驗、歷年輔導效果、學員評價等因素進行綜合評價，詢問往屆學長然后選擇。判斷師資力量關鍵在于綜合實力，因為任何一門課程，都不是由
一、兩個教師包到底的，是一批教師配合的結果。還要深入了解教師的學術背景、資料著述成就、輔導成就等。凱程考研名師云集，李海洋、張鑫教授、方浩教授、盧營教授、孫浩教授等一大批名師在凱程授課。而有的機構只是很普通的老師授課，對知識點把握和命題方向，欠缺火候。
對該專業有輔導歷史：必須對該專業深刻理解，才能深入輔導學員考取該校。在考研輔導班中，從來見過如此輝煌的成績：凱程教育拿下2015五道口金融學院狀元，考取五道口15人，清華經管金融碩士10人，人大金融碩士15個，中財和貿大金融碩士合計20人，北師大教育學7人，會計碩士保錄班考取30人，翻譯碩士接近20人，中傳狀元王園璐、鄭家威都是來自凱程，法學方面，凱程在人大、北大、貿大、政法、武漢大學、公安大學等院校斬獲多個法學和法碩狀元，更多專業成績請查看凱程網站。在凱程官方網站的光榮榜，成功學員經驗談視頻特別多，都是凱程戰績的最好證明。對于如此高的成績，凱程集訓營班主任邢老師說，凱程如此優異的成績，是與我們凱程嚴格的管理，全方位的輔導是分不開的，很多學生本科都不是名校，某些學生來自二本三本甚至不知名的院校，還有很多是工作了多年才回來考的，大多數是跨專業考研，他們的難度大，競爭激烈，沒有嚴格的訓練和同學們的刻苦學習，是很難達到優異的成績。最好的辦法是直接和凱程老師詳細溝通一下就清楚了。
建校歷史：機構成立的歷史也是一個參考因素，歷史越久，積累的人脈資源更多。例如，凱程教育已經成立10年（2005年），一直以來專注于考研，成功率一直遙遙領先，同學們有興趣可以聯系一下他們在線老師或者電話。
有沒有實體學校校區：有些機構比較小，就是一個在寫字樓里上課，自習，這種環境是不太好的，一個優秀的機構必須是在教學環境，大學校園這樣環境。凱程有自己的學習校區，有吃住學一體化教學環境，獨立衛浴、空調、暖氣齊全，這也是一個考研機構實力的體現。此外，最好還要看一下他們的營業執照。
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