第一篇：2018考研數學沖刺：高數常考題型總結

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2018考研已經進入沖刺階段，文都網校考研小編幫大家梳理了在考研數學高數中的常考題型。高等數學是考研數學的重中之重，所占的比重較大，在數學一、三中占56%，數學二中占78%，重點難點較多。希望大家不要盲目復習，加強鞏固以下知識點。

函數、極限與連續

求分段函數的復合函數;

求極限或已知極限確定原式中的常數;

討論函數的連續性，判斷間斷點的類型;

無窮小階的比較;

討論連續函數在給定區間上零點的個數，或確定方程在給定區間上有無實根。

這一部分更多的會以選擇題，填空題，或者作為構成大題的一個部件來考核，復習的關鍵是要對這些概念有本質的理解，在此基礎上找習題強化。

一元函數微分學

求給定函數的導數與微分(包括高階導數)，隱函數和由參數方程所確定的函數求導，特別是分段函數和帶有絕對值的函數可導性的討論;

利用洛比達法則求不定式極限;

討論函數極值，方程的根，證明函數不等式;

利用羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理證明有關命題，如“證明在開區間內至少存在一點滿足……”，此類問題證明經常需要構造輔助函數;

http://www.tmdps.cn/kaoyan/ 幾何、物理、經濟等方面的最大值、最小值應用問題，解這類問題，主要是確定目標函數和約束條件，判定所討論區間;

利用導數研究函數性態和描繪函數圖形，求曲線漸近線。

一元函數積分學

計算題：計算不定積分、定積分及廣義積分;

關于變上限積分的題：如求導、求極限等;

有關積分中值定理和積分性質的證明題;

定積分應用題：計算面積，旋轉體體積，平面曲線弧長，旋轉面面積，壓力，引力，變力作功等;

綜合性試題。

向量代數和空間解析幾何

計算題：求向量的數量積，向量積及混合積;

求直線方程，平面方程;

判定平面與直線間平行、垂直的關系，求夾角;

建立旋轉面的方程;

與多元函數微分學在幾何上的應用或與線性代數相關聯的題目。

這一部分為數一同學考查，難度在考研數學中應該是相對簡單的，找輔導書上的習題練習，需要做到快速正確的求解。

多元函數的微分學

http://www.tmdps.cn/kaoyan/ 判定一個二元函數在一點是否連續，偏導數是否存在、是否可微，偏導數是否連續;

求多元函數(特別是含有抽象函數)的一階、二階偏導數，求隱函數的一階、二階偏導數;

求二元、三元函數的方向導數和梯度;

求曲面的切平面和法線，求空間曲線的切線與法平面，該類型題是多元函數的微分學與前面向量代數與空間解析幾何的綜合題，應結合起來復習;

多元函數的極值或條件極值在幾何、物理與經濟上的應用題;求一個二元連續函數在一個有界平面區域上的最大值和最小值。這部分應用題多要用到其他領域的知識，考生在復習時要引起注意。

這部分應用題多要用到其他領域的知識，在復習時要引起注意，可以找一些題目做做，找找這類題目的感覺。

多元函數的積分學

二重、三重積分在各種坐標下的計算，累次積分交換次序;

第一型曲線積分、曲面積分計算;

第二型(對坐標)曲線積分的計算，格林公式，斯托克斯公式及其應用;

第二型(對坐標)曲面積分的計算，高斯公式及其應用;

梯度、散度、旋度的綜合計算;

重積分，線面積分應用;求面積，體積，重量，重心，引力，變力作功等。數學一考生對這部分內容和題型要引起足夠的重視。

無窮級數

http://www.tmdps.cn/kaoyan/ 判定數項級數的收斂、發散、絕對收斂、條件收斂;

求冪級數的收斂半徑，收斂域;

求冪級數的和函數或求數項級數的和;

將函數展開為冪級數(包括寫出收斂域);

將函數展開為傅立葉級數，或已給出傅立葉級數，要確定其在某點的和(通常要用狄里克雷定理);

綜合證明題。

微分方程

求典型類型的一階微分方程的通解或特解：這類問題首先是判別方程類型，當然，有些方程不直接屬于我們學過的類型，此時常用的方法是將x與y對調或作適當的變量代換，把原方程化為我們學過的類型;

求解可降階方程;

求線性常系數齊次和非齊次方程的特解或通解;

根據實際問題或給定的條件建立微分方程并求解;

綜合題，常見的是以下內容的綜合：變上限定積分，變積分域的重積分，線積分與路徑無關，全微分的充要條件，偏導數等。

考研沖刺提分，考研英語、政治可以看看文都名師何凱文、蔣中挺老師的考前點睛班哦，祝同學們備考順利!

第二篇：考研.數學 高數總結3

定積分理論

一、實際應用背景

1、運動問題—設物體運動速度為v?v(t)，求t?[a,b]上物體走過的路程。

（1）取a?t0?t1???tn?b，[a,b]?[t0,t1]?[t1,t2]???[tn?1,tn]，其中?ti?ti?ti?1(1?i?n)；

（2）任取?i?[xi?1,xi](1?i?n)，S?

n?f(?)?t； iii?1

iin（3）取??max{?xi}，則S?lim1?i?n??0?f(?)?x i?12、曲邊梯形的面積—設曲線L:y?f(x)?0(a?x?b)，由L,x?a,x?b及x軸圍成的區域稱為曲邊梯形，求其面積。

（1）取a?x0?x1???xn?b，[a,b]?[x0,x1]?[x1,x2]???[xn?1,xn]，其中?xi?xi?xi?1(1?i?n)；

（2）任取?i?[xi?1,xi](1?i?n)，A?

n?f(?)?x； iii?1

iin（3）取??max{?xi}，則A?lim1?i?n??0?f(?)?x。i?1

二、定積分理論

（一）定積分的定義—設f(x)為[a,b]上的有界函數，（1）取a?x0?x1???xn?b，[a,b]?[x0,x1]?[x1,x2]???[xn?1,xn]，其中?xi?xi?xi?1(1?i?n)；

（2）任取?i?[xi?1,xi](1?i?n)，作

n?f(?)?x； iii?1

inax{?xi}，（3）取??m若lim1?i?n??0?f(?)?x存在，稱f(x)在[a,b]上可積，極限稱為f(x)i

i?1

在[a,b]上的定積分，記?b

af(x)dx，即?f(x)dx?lim?f(?i)?xi。abn??0i?1

【注解】

（1）極限與區間的劃分及?i的取法無關。

n

?1,x?Q

【例題】當x?[a,b]時，令f(x)??，對lim?f(?i)?xi，??0

i?1?0,x?RQ

n

n

情形一：取所有?i?Q(1?i?n)，則lim

??0

?f(?)?x

i

i?1

n

i

?lim??xi?b?a；

??0

i?1

情形二：取所有?i?RQ(1?i?n)，則lim

??0

n

?f(?)?x

i

i?1

i

?0，所以極限lim

??0

?f(?)?x不存在，于是f(x)在[a,b]上不可積。

i

i

i?1

（2）??0?n??，反之不對。

112n?1n1,]，?xi?(1?i?n)；

nnnnnn

i?1i

取法：取?i?或?i?(1?i?n)，則

nn

分法：等分，即[0,1]?[0,]?[,]???[

?

1ni1ni?1

f(x)dx?lim?f()?lim?f()。

n??nn??nni?1ni?1

則

?

b

a

b?anif(x)dx?limf[a?(b?a)]。?n??ni?1n

1n2i【例題1】求極限lim??。

n??nni?1

11n2i

【解答】lim?????2xdx。

0n??nni?1

【例題2】求極限lim（n??

1n?1

?

?

1n?2

???

???

1n?n)。

22)

【解答】lim（n??

1n?1

?

1n?

21n?n1n

?()2

n

1?lim[n??n

11?()2

n

2?()2

n

???

]??

dx?x

三、定積分的普通性質1、2、3、4、?[f(x)?g(x)]dx??

a

bb

a

f(x)dx??g(x)dx。

a

b

?kf(x)dx?k?

a

bb

a

f(x)dx。

bc

?

b

a

f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx。

a

c

?

b

a

dx?b?a。

5、設f(x)?0(a?x?b)，則【證明】

?

b

a

f(x)dx?0。

?

b

a

f(x)dx?lim?f(?i)?xi，??0

i?1

n

因為f(x)?0，所以f(?i)?0，又因為a?b，所以?xi?0，于是

n

?f(?)?x

i

i?1

n

i

?0，由極限保號性得

lim?f(?i)?xi?0，即?f(x)dx?0。

??0

i?1

b

a

（1）

?

b

a

f(x)dx??|f(x)|dx(a?b)。

a

b

（2）設f(x)?g(x)(a?x?b)，則

?

b

a

f(x)dx??g(x)dx。

a

b

6（積分中值定理）設f(x)?C[a,b]，則存在??[a,b]，使得

四、定積分基本理論

定理1 設f(x)?C[a,b]，令?(x)?

?

b

a

f(x)dx?f(?)(b?a)。

?

x

a

f(t)dt，則?(x)為f(x)的一個原函數，即

??(x)?f(x)。

【注解】

（1）連續函數一定存在原函數。

dx

f(t)dt?f(x)，（2）?adx

d?(x)

f(t)dt?f[?(x)]??(x)。?adx

d?2(x)

?(x)?f[?1(x)]?1?(x)。f(t)dt?f[?2(x)]?2（3）

dx??1(x)

【例題1】設f(x)連續，且?(x)?【解答】?(x)?

x

?(x?t)f(t)dt，求???(x)。

0x0

x

?(x?t)f(t)dt?x?

0f(t)dt??tf(t)dt，x

??(x)??f(t)dt?xf(x)?xf(x)??f(t)dt，???(x)?f(x)。

xx

【例題2】設f(x)為連續函數，且?(x)?【解答】?(x)?

x2?t2?u

?tf(x

x

?t2)dt，求??(x)。

?

x

tf(x2?t2)dt??

1x2222

f(x?t)d(x?t)2?0

101x2

???2f(u)du??f(u)du，2x20

f(x2)?2x?xf(x2)。2

??(x)?

定理2（牛頓—萊布尼茲公式）設f(x)?C[a,b]，且F(x)為f(x)的一個原函數，則

?

b

a

f(x)dx?F(b)?F(a)。

【證明】由F?(x)?f(x),??(x)?f(x)得[F(x)??(x)]??f(x)?f(x)?0，從而F(x)??(x)?constant，于是F(b)??(b)?F(a)??(a)，注意到?(a)?0，所以?(b)?F(b)?F(a)，即

五、定積分的積分法

（一）換元積分法—設f(x)?C[a,b]，令x??(t)，其中?(t)可導，且??(t)?0，其中

?

b

a

f(x)dx?F(b)?F(a)。

?(?)?a,?(?)?b，則?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt。

a

b?

?

（二）分部積分法—

?udv?uv??vdu。

a

a

a

b

b

b

六、定積分的特殊性質

1、對稱區間上函數的定積分性質 設f(x)?C[?a,a]，則（1）則

?

a

?a

f(x)dx??[f(x)?f(?x)]dx。

a

（2）若f(?x)?f(x)，則

?

a

?a

f(x)dx?2?f(x)dx。

a

（3）若f(?x)??f(x)，則

?

a

?a

f(x)dx?0。

【例題1】設f(x),g(x)?C[?a,a]，其中f(x)?f(?x)?A,g(x)為偶函數，證明：

?

a

?a

f(x)g(x)dx?A?g(x)dx。

a

【解答】

a

?

a

?a

f(x)g(x)dx??[f(x)g(x)?f(?x)g(?x)]dx

a0

a

??[f(x)?f(?x)]g(x)dx?A?g(x)dx。

?

（2）計算

??arctane

2?2

x

|sinx|dx。

?

?

【解答】

?

?

?

arctane|sinx|dx??2(arctanex?arctane?x)sinxdx，x

?x

x

exe?x

??0，因為(arctane?arctane)??2x?2x

1?e1?e

所以arctanex?arctane?x?C0，取x?0得C0?

?

?，于是

??arctane|sinx|dx?

2?2

x

?

?

2?

sinxdx?

?。

2、周期函數定積分性質 設f(x)以T為周期，則（1）

?

a?T

a

。f(x)dx??f(x)dx，其中a為任意常數（周期函數的平移性質）

T

如

?

3?

?

?

?

?

?

sinxdx??2?sinxdx?2?2sin2xdx。

（2）

?

nT

f(x)dx?n?f(x)dx。

T3、特殊區間上三角函數定積分性質

?

?

（1）設f(x)?C[0,1]，則

?

?

f(sinx)dx??2f(cosx)dx，特別地，?

sinxdx??cosxdx?In，且In?

n

?

n

n?1?

In?2,I0?,I1?1。n2

sinx

【例題1】計算?2?dx。

?1?ex2

?

sin4xsin4xsin4x2【解答】??dx??(?)dx ?x01?ex?1?ex1?e2

??

1131?3?42sin4xdx?I???2(?)sinxdx????。4?x?01?ex0422161?e

??

【例題2】計算【解答】

?

?cos?xdx。

?

?cos?xdx?

??

?cos?xd(?x)?

??

100?

?cosxdx

?

?

?

?

2?

?cosxdx?

?

??

?

?

?cosxdx?

?

?

?

?cosxdx

?

?

?

?

1?cosx2?xx222

。dx?sind()?sinxdx???002?22??

第三篇：2014考研高數八大題型

2014考研數學高數八大題型你了解了嗎

暑假階段，這時大家基本已經對高數的總體有了了解，也許對很多考點還只是大致的復習，沒有深入，這個不要緊，因為還有半年的時間。復習是一步一步，循序漸進的，不要指望一口氣把什么都掌握，學習必然是一個不斷加強的過程，需要反復的訓練，特別是考研數學，考點如此之多，想要短期內掌握的很好，顯然是不可能的，它是需要一遍一遍的不斷強化復習的。

在這一階段的主要目標是針對高數中的重點考點做強化復習，對一般難度和常見題型要做到熟練掌握。

一.函數、極限與連續

求分段函數的復合函數;求極限或已知極限考研英語真題確定原式中的常數;討論函數的連續性，判斷間斷點的類型;無窮小階的比較;討論連續函數在給定區間上零點的個數，或確定方程在給定區間上有無實根。

這一部分更多的會以選擇題，填空題，或者作為構成大題的一個部件來考核，復習的關鍵是要對這些概念有本質的理解，在此基礎上找習題強化。

二.一元函數微分學

求給定函數的導數與微分(包括高階導數)，隱函數和由參數方程所確定的函數求導，特別是分段函數和帶有絕對值的函數可導性的討論;利用洛比達法則求不定式極限;討論函數極值，方程的根，證明函數不等式;利用羅爾定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒

中值定理證明有關命題，如“證明在海文鉆石卡價格開區間內至少存在一點滿足....”，此類問題證明經常需要構造輔助函數;幾何、物理、經濟等方面的最大值、最小值應用問題，解這類問題，主要是確定目標函數和約束條件，判定所討論區間;利用導數研究函數性態和描繪函數圖形，求曲線漸近線。

這一部分會比較頻繁的出現在大題中，復習的關鍵是掌握一般的方法步驟，這就需要多做題目來鞏固掌握，要做到對一般難度和常見題型有100%的把握。

三.一元函數積分學

計算題：計算不定積分、定積分及廣義積分;關于變上限積分的題：如求導、求極限等;有關積分中值定理和積分性質的證明題;定積分應用題：計算面積，旋轉體體積，平面曲線弧長，旋轉面面積，壓力，引力，變力作功等;綜合性試題。

這一部分主要以計算應用題出現，只需多加練習即可。

四.向量代數和空間解析幾何

計算題：求向量的數量積，向量積及混合積;求直線方程，平面方程;判定平面與直線間平行、垂直的關系，求夾角醫學考研論壇;建立旋轉面的方程;與多元函數微分學在幾何上的應用或與線性代數相關聯的題目。

這一部分的難度在考研數學中應該是相對簡單的，找輔導書上的習題練習，需要做到快速正確的求解。

五.多元函數的微分學

判定一個二元函數在一點是否連續，偏導數是否存在、是否可微，偏導數是否連續;求多元函數(特別是含有抽象函數)的一階、二階偏導數，求隱函數的一階、二階偏導數;求二元、三元函數的方向導數和梯度;求曲面的切平面和法線，求空間曲線的切線與法平面，該類型題是多元函數的微分學與前面向量代數與空間解析幾何的綜合題，應結合起來復習;多元函數的極值或條件極值在幾何、物理與經濟上的應用題;求一個二元連續函數在一個有界平面區域上的最大值和最小值。

這部分應用題多要用到其他領域的知識，在復習時要引起注意，可以找一些題目做做，找找這類題目的感覺。

六.多元函數的積分學

二重、三重積分在各種坐標下的計算，累次積分交換次序;第一型曲線積分、曲面積分計算;第二型(對坐標)曲線積分的計算，格林公式，斯托克斯公式及其應用;第二型(對坐標)曲面積分的計算，高斯公式及其應用;梯度、散度、旋度的綜合計算;重積分，線面積分應用;求面積，體積，重量，重心，引力，變力作功等。

這部分內容和題型，數一考生要足夠的重視。

七.無窮級數

判定數項級數的收斂、發散、絕對收斂、條件收斂;求冪級數的收斂半徑，收斂域;求冪級數的和函數或求數項級數的和;將函數展考研數學大綱開為冪級數(包括寫出收斂域);將函數展開為傅立葉級數，或已給出傅立葉級數，要確定其在某點的和(通常要用狄里克雷定理);綜合證明題。

這部分相對來說可能有難度，但是掌握好還是有辦法的。首先，各個概念要清楚;其次，對一般的題型要有把握解答;最后，找一些比較靈活的題型練練自己的思路。

八.微分方程

求典型類型的一階微分方程的通解或特解：這類問題首先是判別方程類型，當然，有些方程不直接屬于我們學過的類型，此時常用的方法是將x與y對調或作適當的變量代換，把原方程化為我們學過的類型;求解可降階方程;求線性常系數齊次和非齊次方程的特解或通解;根據實際問題或給定的條件建立微分方程并求解;綜合題，常見的是以下內容的綜合：變上限定積分，變積分域的重積分，線積分與路徑無關，全微分的充要條件，偏導數等。

這一部分也是考研數學中的難點，對上面提到的常用方計算機考研法要熟練掌握，多做這方面的綜合題來強化。

總之，數學要想考高分，2014年的考生必須認真系統地按照考試大綱的要求全面復習，掌握數學的基本概念、基本方法和基本定理。注意抓題型的解決方法和技巧，不斷總結。而這一切的獲得，都是建立在大量的做習題的基礎上的，但是做習題不僅僅是追求量，還要保證質，所謂“質”，就是徹底理解所做過的每一道題，而這一點通常顯的更為重要。

第四篇：2014福州大學考研沖刺階段高數復習計劃

思遠福大考研網

2014福州大學考研沖刺階段高數復習計劃

考研數學每年都是文科類考研的難點也是薄弱環節，那么針對沖刺階段如何做好強化復習從以下幾點給大家分享分享：

1.確立目標。高等數學部分的主體由函數、極限和連續、一元函數的微積分、多元函數的微積分、微分方程和級數五大模塊構成(數學一、二、三在各個模塊的要求有一定差異)，從歷年的試題中，高等數學的考查重點和難點更多的集中在前兩個模塊，他們既是考試的重點，也是學好后面模塊的基礎，因此，建議大家在整個寒假期間把復習高數的重點集中在這兩個模塊，根據個人實際情況，一步步扎實的復習，切不可囫圇吞棗，盲目圖快。

2.資料選擇。考試大綱里有四種要求，分別是：掌握，理解，會，了解。這四個要求程度是不同的，是這么一種關系：掌握>會>理解>了解，所以對于掌握和會的知識點，一定要無比的透徹，往年大題的出題點一般都超不出這兩個要求的范圍。建議是：拿著大綱先將標有“掌握”和“會”的知識點標出來，然后盡最大努力全面掌握，比如09年考研的拉格朗日定理知識點就屬于“會”的范疇，一定全面掌握，不但會用，更要會證明它。這一階段復習建議以教材為主，數學一、二的考生建議使用同濟版高等數學、數學三同學推薦趙樹嫄的《微積分》(第3版)，中國人民大學出版社。當教材習題對你而言沒有太大困難的時候，可以參考一本基礎階段的考研輔導講義，比較推薦的是國家行政學院出版社出版的，李永樂的復習全書，或北京理工大學出版社出版，張宇、蔡燧林主編的輔導講義。

3.復習任務。課本應該怎樣看？課本很重要，其實從小到大老師無數遍強調要重視基礎，不要只顧做題。如果你現在還在猶豫要不要再看課本，那就不用猶豫了，要想考到140分，這絕對是一個必不可少的過程。可能會有一些考研的同學來說：課本我也認真看過了，但結果依然很遭。我想說：課本不是用來看的，是用來研究的，課本學的細致了么！我們建議大家第一步先細看教材，以及結合上課內容，逐一突破每個知識點，然后通過習題去鞏固檢測，需要注意的是，由于考試是以題目是否作對為給分依據的，建議大家從現在開始就養成將每道題做到底的習慣，當然選題很重要，2014福大經濟學綜合考研模擬五套卷與解析這本書就緊貼專業課本，大眼看去感覺會做就不具體算出來這樣完全沒什么效果。教材習題解決后，可結合輔導書，適當增加難度。當遇到不懂得知識點，要做上記號，及時解決。

課本應該怎樣看？課本很重要，其實從小到大老師無數遍強調要重視基礎，不要只顧做題。如果你現在還在猶豫要不要再看課本，那就不用猶豫了，要想考到140分，這絕對是一個必不可少的過程。

可能會有一些考研的同學來說：課本我也認真看過了，但結果依然很遭。我想說：課本不是用來看的，是用來研究的，課本學的細致了么！

那什么樣才叫細致呢，當課本研究完之后，上面會標記很多東西，畫的比較亂，而不是嶄新的像沒看過一樣。課本上的例題(這些題都是經典中的經典，一定弄透徹)沒有不會的，課后題認真做過(哪怕只是在草紙上做，在書上標個答案，也要自己認真做一遍，這一遍就要訓練自己合理利用草紙的習慣，做到對完答案發現錯誤后，都能很順利找到這道題的過程然后分析為什么會做錯，這個習慣很重要，如果你還有拿起草紙找個空就開始演算，就要趕緊改改這個習慣了，因為要改掉這個壞習慣真的需要平時多加練習)，有些人說課本后的題實在太多了，應該挑著做，但我覺得這本2014福大經濟學綜合考研模擬五套卷與答案解析的習題是都貼近考題的，遠遠勝過市面上的參考書，它也不像你想象得那么簡單，如果你覺得簡單，那你能一遍做完，沒有一個不會，一個都不錯嗎？當然了，你也可以選取一部分做，但如果課后題你一個都不做，那真的會吃虧的。定義性質定理公式，一定搞透徹了，弄清楚其中有幾個點，而不是硬生生的背下來，而且要多思考下(比如說關于極大值，這個詞大家一定都知道，而且高中開始就見過，你知道它的定義嗎，你可能會說：定義沒用。這你就錯了，當你感覺一道題模糊不會做時，定義才是你根本的出發點。

第五篇：高考數學歸納法的常考題型

高考數學歸納法的常考題型

文/譚著名

一、題意直接指明利用數學歸納法證題的探索題型 例1已知數列?xn}滿足：x1＝11xn＋1＝,n?N*.2’1?xn

(1)猜想數列?x2n?的單調性,并證明你的結論.(2)證明：|xn?1-xn|≤()

(1)解：由x1?1265n?1.125131和xn?1?，得x2?,x4?,x6?.由x2?x4?x6，猜想：238211?xn數列?x2n?是遞減數列.下面用數學歸納法證明.①當n=1時，命題成立.②假設當n=k時命題成立，即x2k?x2k?2，易知x2k?0，那么

=

23x2k?2?xk?2x2k?3?xk?2111???1?x2k?11?xk?23(1?xk?)(1xk?)2?

1x2k?x2k?2?0，即x2(k?1)?x2(k?1)?2，也就是說，當n=k+1時命(1?x2k)(1?x2k?1)(1?x2k?2)(1?x2k?3)

題也成立.結合①②，可知命題成立.(2)證明：①當n=1時，xn?1?xn?x2?x1?1，結論成立.6

k?11?2?②假設當n?k時命題成立，則有xk?1?xk????6?5?

0?xn?1?1,?1?xn?1?2,xn?

?(1?xn)(1?xn?1)?(1?.當n?2時，易知11?.1?xn?1215)(1?xn?1)?2?xn?1?1?xn?12?

當12?.1?xk1?xk?15n?k?1時，xk?

2k?1k

xk?xk?11121?2??1??2?

?xk??????????????.也就是

1?xk?11?xk?6??5?56?5?1?xk?11?xk

說，當n?k?1時命題成立.結合①②，可知命題成立.小結本題中明確說明“先猜想再證明”的數學歸納法的證題思路.觀察、歸納、猜想、證明是解決這類探索型問題的思維方式，其關鍵在于進行正確、合理的歸納猜想，否則接下來的證明只能是背道而馳了.二、與正整數n有關的不等式證明通常采用數學歸納法的證明題型

例2等比數列{an}的前n項和為Sn，已知對于任意的n?N，點(n,Sn)均在函數

?

y?bx?r(b?0且b?1,b,r均為常數)的圖像上.(1)求r的值.?

(2)當b?2時，記bn?2?log2an?1?n?N?，證明：對于任意的n?N，不等式

??

b?1b1?1b2?

1????n?n?1成立.b1b2bn

(1)解：因為對于任意的n?N，點(n,Sn)均在函數y?b?r(b?0且b?1,b,r均為常數)的圖像上，所以有Sn?bn?r.當n?1時，a1?S1?b?r.當n?2時，?

x

an?Sn?Sn?1?bn?r?(bn?1?r)?bn?bn?1?(b?1)bn?1.又數列{an}是等比數列，所以

r??1，公比為b，an?(b?1)bn?1.(2)

證

明

：

當

b?

2，時，an?(b?1)bn?1?2n?1

bn?12n?1

?bn2n，所，以

bn?2(log2an?1)?2(log22n?1?1)?2n

b?13572n?1b1?1b2?1

.····n????

b1b2bn2462n

下面用數學歸納法證明不等式立.①當n?1時，左邊=

則

b?13572n?1b1?1b2?1

····n?????成b1b2bn2462n

3，右邊

由于?，所以不等式成立.22

②假設當n?

k時不等式成立，即

b?13572k?1b1?1b2?1

····k?????b1b2bk2462k

成立，則當n?k?1時，左邊=

b?1bk?1?1357b1?1b2?12k?12k?3

····k?????

??b1b2bkbk?12462k2k?2

2k?3?????.2k?2所以當n?k?1時，不等式也成立.綜合①②，可知不等式恒成立.小結數學歸納法是證明不等式的一種重要方法.與正整數有關的不等式，如果用其他方法證明比較困難時，我們通常會考慮用數學歸納法.用數學歸納法證明不等式時，我們應分析f?x?與f?x?1?相關的兩個不等式，找出證明的目標式子和關鍵點，適當地利用不等式的性質、比較法、分析法、放縮法等方法證得結論.三、利用數學歸納法比較兩個與正整數有關的代數式大小的題型

n?

1例3已知數列?an?的前n項和Sn??an?()?2(n為正整數).1

2(1)令bn?2nan，求證數列?bn?是等差數列，并求數列?an?的通項公式.n?15n

an，Tn?c1?c2???cn，試比較Tn與的大小，并予以證明.n2n?1

1n?11

(1)證明：在Sn??an?()?2中，令n=1，可得S1??an?1?2?a1，即a1?.221n?21

?an?Sn?Sn?1??an?an?1?()n?1.當n?2時，Sn?1??an?1?()?2，22

?2an?an?1?()n?1,即2nan?2n?1an?1?1.(2)令cn?

?bn?2nan,?bn?bn?1?1,即當n?2時，bn?bn?1?1.又b1?2a1?1,?數列bn?是首項和公差均為1的等差數列.于是有

?

bn?1?(n?1)?1?n?2nan,?an?

(2)解：由(1)可得cn?

n.n2

n?11

an?(n?1)()n，所以 n2

n

1?1??1??1?

① Tn?2??3????4???????n?1???，2?2??2??2?1?1??1??1??1?Tn?2????3????4???????n?1???2?2??3??2??2?

n

n?1

.②

n?1

1?1??1??1??1?①-②，得Tn?1?????????????n?1???

2?2??2??2??2?

11[1?()n?1]

13n?3?1??(n?1)()n?1??n?1

2221? 2n?

3?Tn?3?n

5n5nn?35n(n?3)(2n?2n?1)

T與.于是確定的大小關Tn??3?n??n

2n?12n?122n?12n(2n?1)

系等價于比較2與2n?1的大小.由2?2?1?1;22?2?2?1;23?2?3?1;24?2?4?1;25?2?5?1;?,可猜想當

n

n?3時，2n?2n?1.證明如下：

(i)當n=3時，由上驗算可知不等式顯然成立.k

(ii)假設當n?k?k?3?時，2?2k?1成立.則當n?k?1時，2k?1?2?2k?2?2k?1??4k?2?2?k?1??1??2k?1??2?k?1??1.所以當n?k?1

時猜想也成立.綜合(i)(ii)，可知對于一切n?3的正整數，都有2?2n?1.所以當n?1,2時，n

Tn?

小結兩個式子的大小關系隨n取值的不同而不同.像這種情況學生要注意不要由

5n5n

n?3T?；當時，n.2n?12n?1

n?1,2時的大小關系，得出Tn?

5n，應向后多試驗幾個n值后，再確定所下結論的準2n?1

確性，以免走彎路.四、用數學歸納法求范圍的題型

例4首項為正數的數列?an?滿足an?1?

(an?3),n?N?.4

(1)證明：若a1為奇數，則對于一切n?2,an都是奇數.(2)若對于一切n?N?，都有an?1?an，求a1的取值范圍.(1)證明：已知a1是奇數，假設ak?2m?1是奇數，其中m為正整數，則由遞推關系

ak2?3

?m(m?1)?1是奇數.根據數學歸納法，可知?n?N?，an都是奇數.可得ak?1?4

a12?3

?a1,得a12?4a1?3?0,于是0?a1?1或(2)解：由a2?4

an2?3an?12?3(an?an?1)(an?an?1)

??, a1?3.an?1?an?444

an2?3,所以所有的an均大于0.所以an?1?an與an?an?1同號.根由于a1?0,an?1?4

據數學歸納法，可知?n?N?，an?1?an與a2?a1同號.因此，對于一切n?N?，都有an?1?an的充要條件是0?a1?1或a1?3.小結解答本題是從特殊值?n?1?切入，找到所求的結論(a1的范圍)，再用數學歸納法證明結論的一般性，即將an?1?an退至具體的a2?a1開始觀察，以尋求a1的范圍，然后證明其正確性.