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第一篇：【中考數學復習專題】“二次函數”常考題型總結[精選]

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【中考數學復習專題】“二次函數”常考題

型總結

“二次函數”綜合題往往考察以下幾類，面積啊，周長啊，最值啊，或者與四邊形，圓等結合考察一些相關的性質等，題目變化靈活，難度有點大，數姐今天整理了常考的題型，希望對大家能有幫助！

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第二篇：初中數學二次函數七大常考題型分類解析

首先，二次函數的考點在歷年的中考當中，其變化的形式并非固定不變的。

很多同學就說唐老師怎么講的題太簡單了，對于中考來說并沒有太大的幫助。但是我想說在中考復習當中，我們并不是每一部分的內容只盯著最難的題型來進行講解，唐老師講解的每一個視頻或者是某一部分的內容都是針對該考點近幾年的考察方式進行考點的解析，希望能夠全面地幫助同學們了解考點以及其考察的形式。如果同學們都能做到將每一個考點的考察形式和解決該考點問題的方法都能掌握熟練，那么在壓軸題或者是難題當中，其丟分也不會太多。

在每一個考點所對應的經典的考題，例題解析的背后。針對該知識點和考點所涉及到的基礎內容都進行了詳細的講解，希望通過該例題講解的形式，將其涉及到的知識點能夠進行適當的補充，這也是給同學們在復習階段做了很好的例證。這樣復習的方式，通過例題結合知識考點的方法能夠幫助同學們復習該考點所涉及到的知識點和該類型的題型在解題過程中，其基本的思路和思路的突破方法都有哪些？

其次，針對不同的考點可能涉及的方法都略有不同，那么針對同一題型有不同的解法，對于在復習階段的同學來說是非常不錯的選擇。不僅能夠解決際的問題，通過以自己方法的比對進行思維的拓展與補充。

從不同的角度去思考這類型的題，會讓同學們在遇到自己沒見過的題型時，從自己學習的知識點和內容出發，一步一個腳印地去分析題型，那么解決這類題型也將是指日可待。

二次函數圖像與性質算是二次函數考點當中比較重要，運用比較多的考點之一。它要求同學們對二次函數的性質有充分的了解，結合圖形通過數形結合的方法，將二次函數的基本運用能夠達到快速，高效的解題，這個過程當中就需要同學們結合實際的題型進行條件的分析以及各個結論的推導，這是我們在備考階段必須經歷的一個過程，這類題型在選擇的壓軸題當中也會出現。這類題型大多是利用數形結合的方法來進行解題，很多重要的解題思路和數據都是來源于圖像，只需要大家搞清楚這類題型的考察的套路，解決這類題型將會變得容易得多。

寫

第三篇：第三輪專題復習中考數學壓軸題：二次函數常考類型題練習

2021年中考數學壓軸題第三輪專題復習：二次函數

常考類型題練習

1、如圖，已知二次函數y＝x2+bx+c的圖象與x軸交于點A（1，0）、B（3，0），與y軸交于點C．

（1）求二次函數的解析式；

（2）若點P為拋物線上的一點，點F為對稱軸上的一點，且以點A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標；

（3）點E是二次函數第四象限圖象上一點，過點E作x軸的垂線，交直線BC于點D，求四邊形AEBD面積的最大值及此時點E的坐標．

2、如圖，二次函數的圖象與x軸的一個交點為，另一個交點為A，且與y軸相交于C點

（1）求m的值及C點坐標；

（2）在直線BC上方的拋物線上是否存在一點M，使得它與B，C兩點構成的三角形面積最大，若存在，求出此時M點坐標；若不存在，請簡要說明理由

（3）P為拋物線上一點，它關于直線BC的對稱點為Q，當四邊形PBQC為菱形時，求點P的坐標(直接寫出答案)；

3、如圖，拋物線經過點，與軸負半軸交于點，與軸交于點，且.（1）求拋物線的解析式；

（2）點在軸上，且，求點的坐標；

（3）點在拋物線上，點在拋物線的對稱軸上，是否存在以點，，為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在。求出所有符合條件的點的坐標；若不存在，請說明理由.4、已知拋物線y＝ax2＋bx＋c經過A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三點，直線l是拋物線的對稱軸．

(1)求拋物線的函數關系式；

(2)設點P是直線l上的一個動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標；

(3)在直線l上是否存在點M，使△MAC為等腰三角形？若存在，直接寫出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

5、如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=x2+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，B點的坐標為（3，0），與y軸交于點C（0，﹣3），點P是直線BC下方拋物線上的任意一點．

（1）求這個二次函數y=x2+bx+c的解析式．

（2）連接PO，PC，并將△POC沿y軸對折，得到四邊形POP′C，如果四邊形POP′C為菱形,求點P的坐標．

（3）如果點P在運動過程中，能使得以P、C、B為頂點的三角形與△AOC相似，請求出此時點P的坐標．

6、拋物線y=﹣3x2+bx+c（b，c均是常數）經過點O（0，0），A（4，43），與x軸的另一交點為點B，且拋物線對稱軸與線段OA交于點P．

（1）求該拋物線的解析式和頂點坐標；

（2）過點P作x軸的平行線l，若點Q是直線上的動點，連接QB．

①若點O關于直線QB的對稱點為點C，當點C恰好在直線l上時，求點Q的坐標；

②若點O關于直線QB的對稱點為點D，當線段AD的長最短時，求點Q的坐標（直接寫出答案即可）．

7、如圖，拋物線y＝ax2+bx+4交x軸于A（﹣3，0），B（4，0）兩點，與y軸交于點C，連接AC，BC．點P是第一象限內拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為m．

（1）求此拋物線的表達式；

（2）過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，PM交BC于點Q．試探究點P在運動過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請求出此時點Q的坐標，若不存在，請說明理由；

（3）過點P作PN⊥BC，垂足為點N．請用含m的代數式表示線段PN的長，并求出當m為何值時PN有最大值，最大值是多少？

8、二次函數y＝ax2+bx+2的圖象交x軸于點（﹣1，0），B（4，0）兩點，交y軸于點C．動點M從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿AB方向運動，過點M作MN⊥x軸交直線BC于點N，交拋物線于點D，連接AC，設運動的時間為t秒．

（1）求二次函數y＝ax2+bx+2的表達式；

（2）連接BD，當t＝時，求△DNB的面積；

（3）在直線MN上存在一點P，當△PBC是以∠BPC為直角的等腰直角三角形時，求此時點D的坐標；

（4）當t＝時，在直線MN上存在一點Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求點Q的坐標．

9、如圖，在平面直角坐標系中，以點M（2，0）為圓心的⊙M與y軸相切于原點O，過點B（﹣2，0）作⊙M的切線，切點為C，拋物線y=-33x2+bx+c經過點B和點M．

（1）求這條拋物線解析式；

（2）求點C的坐標，并判斷點C是否在（1）中拋物線上；

（3）動點P從原點O出發，沿y軸負半軸以每秒1個單位長的速度向下運動，當運動t秒時到達點Q處．此時△BOQ與△MCB全等，求t的值．

10、如圖所示，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經過A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三點，其頂點為D，連接BD，點是線段BD上一個動點（不與B、D重合），過點P作y軸的垂線，垂足為E，連接BE．

（1）求拋物線的解析式，并寫出頂點D的坐標；

（2）如果P點的坐標為（x，y），△PBE的面積為，求S與x的函數關系式，寫出自變量x的取值范圍，并求出S的最大值；

（3）在（2）的條件下，當S取得最大值時，過點P作x的垂線，垂足為F，連接EF，把△PEF沿直線EF折疊，點P的對應點為P′，請直接寫出P′點坐標，并判斷點P′是否在該拋物線上．

11、已知拋物線y＝﹣x2﹣（m+3）x+m2﹣12與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0）兩點，且x1＜0，x2＞0，拋物線與y軸交于點C，OB＝2OA．

（1）求拋物線解析式；

（2）已知直線y＝x+2與拋物線相交于M、N兩點，分別過M、N作x軸的垂線，垂足為M1、N1，是否存在點P，同時滿足如下兩個條件：

①P為拋物線上的點，且在直線MN上方；

②:＝6：35

若存在，則求點P橫坐標t，若不存在，說明理由．

12、如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+c經過點A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y軸，交拋物線于點D，DE垂直于x軸，垂足為E，直線l是該拋物線的對稱軸，點F是拋物線的頂點．

（1）求出該二次函數的表達式及點D的坐標；

（2）若Rt△AOC沿x軸向右平移，使其直角邊OC與對稱軸l重合，再沿對稱軸l向上平移到點C與點F重合，得到Rt△A1O1F，求此時Rt△A1O1F與矩形OCDE重疊部分圖形的面積；

（3）若Rt△AOC沿x軸向右平移t個單位長度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2與Rt△OED重疊部分圖形的面積記為S，求S與t之間的函數表達式，并寫出自變量t的取值范圍．

13、如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c經過點A（2，0），B（0，2），與x軸交于另一點C．

（1）求拋物線的解析式及點C的坐標；

（2）點P是拋物線y＝﹣x2+bx+c在第一象限上的點，過點P分別向x軸、y軸作垂線，垂足分別為D，E，求四邊形ODPE的周長的最大值；

（3）如圖2，點P是拋物線y＝﹣x2+bx+c在第一象限上的點，過點P作PN⊥x軸，垂足為N，交AB于M，連接PB，PA．設點P的橫坐標為t，當△ABP的面積等于△ABC面積的時，求t的值．

14、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2﹣x﹣與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，對稱軸與x軸交于點D，點E（4，n）在拋物線上．

（1）求直線AE的解析式；

（2）點P為直線CE下方拋物線上的一點，連接PC，PE．當△PCE的面積最大時，連接CD，CB，點K是線段CB的中點，點M是CP上的一點，點N是CD上的一點，求KM+MN+NK的最小值；

（3）點G是線段CE的中點，將拋物線y=x2﹣x﹣沿x軸正方向平移得到新拋物線y′，y′經過點D，y′的頂點為點F．在新拋物線y′的對稱軸上，是否存在一點Q，使得△FGQ為等腰三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

15、已知拋物線y＝﹣x2﹣x+2與x軸交于點A，B兩點，交y軸于C點，拋物線的對稱軸與x軸交于H點，分別以OC、OA為邊作矩形AECO．

（1）求直線AC的解析式；

（2）如圖2，P為直線AC上方拋物線上的任意一點，在對稱軸上有一動點M，當四邊形AOCP面積最大時，求|PM﹣OM|的最大值．

（3）如圖3，將△AOC沿直線AC翻折得△ACD，再將△ACD沿著直線AC平移得△A＇C′D＇．使得點A′、C＇在直線AC上，是否存在這樣的點D′，使得△A′ED′為直角三角形？若存在，請求出點D′的坐標；若不存在，請說明理由．

第四篇：人教版中考數學專題復習二次函數

2021年人教版中考數學專題復習

二次函數

（滿分120分；時間：90分鐘）

一、選擇題

（本題共計

小題，每題

分，共計24分，）

1.在下列函數表達式中，一定為二次函數的是（）

A.y=x+3

B.y=ax2+bx+c

C.y=t2-2t+2

D.y=x2+1x

2.已知二次函數的圖象經過與兩點，關于的方程有兩個根，其中一個根是3．則關于的方程有兩個整數根，這兩個整數根是()

A.或0

B.或2

C.或3

D.或4

3.函數y=ax+1與y=ax2+bx+1(a≠0)的圖象可能是（）

A.B.C.D.4.二次函數y＝2x2的頂點坐標是（）

A.(-2,?0)

B.(2,?0)

C.(0,?2)

D.(0,?0)

5.小強在一次訓練中，擲出的實心球飛行高度y（米）與水平距離x（米）之間的關系大致滿足二次函數y=-112x2+23x+53，則小強此次成績為（）

A.8米

B.10米

C.12米

D.14米

6.如圖，二次函數的圖象經過點（，0)，對稱軸為直線，給出下列結論：①；②；③；④；⑤．其中正確的結論有()

A.1個

B.2個

C.3個

D.4個

7.若拋物線y=x2+ax+b與x軸兩個交點間的距離為2，已知該拋物線的對稱軸為直線x=1，將此拋物線向左平移2個單位，再向下平移3個單位，得到的拋物線過點（）

A.(-3,-6)

B.(-3,?0)

C.(-3,-5)

D.(-3,-1)

8.已知二次函數y＝x2+mx+n的圖像經過點(-1,-3)，則代數式mn+1有（）

A.最小值-3

B.最小值3

C.最大值-3

D.最大值3

二、填空題

（本題共計

小題，每題

分，共計24分，）

9.已知二次函數y=ax2的圖象經過點(1,-3)，則該函數的關系式為________．

10.當a-1≤x≤a時，函數y=x2-2x+1的最小值為1，則a的值為________.11.用配方法把二次函數y=12x2+2x-5化成y=a(x-h)2+k的形式為________．

12.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖所示，根據圖象答下列問題：

（1）方程ax2+bx+c=0的兩個根是________；

（2）不等式ax2+bx+c>0的解集是________；

（3）y隨x的增大而減小的自變量x的取值范圍是________．

13.二次函數y=x2+2x-3的頂點坐標是________．

14.如圖是函數y=-x2+2x+3的圖象，觀察圖象說明：當x________（x取何值時），y<0，當x________（x取何值時），y>0．

15.已知y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，其對稱軸為直線x=-1，與x軸的一個交點為(1,?0)，與y軸的交點在(0,?2)與(0,?3)之間（不包含端點），有如下結論：①.2a+b=0②.3a+2c<0③．a+5b+2c>0；④．-1，則結論正確的有________.16.如圖，是二次函數?y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的一部分，給出下列命題：①a+b+c=0；②b>2a；③ax2+bx+c=0的兩根分別為-3和1；④a-2b+c>0．其中正確的命題是________．（只要求填寫正確命題的序號）

三、解答題

（本題共計

小題，共計72分，）

17.已知一拋物線與拋物線y=-12x2+3形狀相同，開口方向相反，頂點坐標是(-5,?0)，根據以上特點，試寫出該拋物線的解析式．

18.已知二次函數的圖象經過，兩點．

（1）求二次函數的頂點坐標；

（2）如果將此二次函數的圖象向上平移n個單位后過點，再將點P向右平移3個單位后得點Q，點Q恰好落在原二次函數的圖象上，求n的值．

19.已知拋物線y=ax2+x+b上的一點為(-1,-7)，與y軸交點為(0,-5)

（1）求拋物線的解析式．

（2）求拋物線的對稱軸和頂點坐標．

20.在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+3與x軸的兩個交點分別為A(-3,?0)、B(1,?0)，過頂點C作CH⊥x軸于點H．

(1)直接填寫：a=________，b=________，頂點C的坐標為________；

(2)在y軸上是否存在點D，使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形？若存在，求出點D的坐標；若不存在，說明理由；

(3)若點P為x軸上方的拋物線上一動點（點P與頂點C不重合），PQ⊥AC于點Q，當△PCQ與△ACH相似時，求點P的坐標．

21.如果將拋物線y=2x2+bx+c沿直角坐標平面先向左平移3個單位，再向下平移2個單位，得到了拋物線y=2x2-4x+3．

(1)試確定b，c的值；

(2)求出拋物線y=2x2+bx+c的對稱軸和頂點坐標．

22.已知：如圖，二次函數y=x2+(2k-1)x+k+1的圖象與x軸相交于O、A兩點．

（1）求這個二次函數的解析式；

（2）在這條拋物線的對稱軸右邊的圖象上有一點B，使銳角△AOB的面積等于3．求點B的坐標．

23.在數學拓展課上，九（1）班同學根據學習函數的經驗，對新函數y＝x2-2|x|的圖象和性質進行了探究，探究過程如下：

【初步嘗試】求二次函數y＝x2-2x的頂點坐標及與x軸的交點坐標；

【類比探究】當函數y＝x2-2|x|時，自變量x的取值范圍是全體實數，下表為y與x的幾組對應值．

…

-52

…

①根據表中數據，在如圖所示的平面直角坐標系中描點，并畫出了函數圖象的一部分，請你畫出該函數圖象的另一部分；

②根據畫出的函數圖象，寫出該函數的兩條性質．

【深入探究】若點M(m,?y1)在圖象上，且y1≤0，若點N(m+k,?y2)也在圖象上，且滿足y2≥3恒成立，求k的取值范圍．

第五篇：2018中考數學專題二次函數

2018中考數專題二次函數

（共40題）

1．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）兩點，直線AC：y=﹣x﹣6交y軸于點C．點E是直線AB上的動點，過點E作EF⊥x軸交AC于點F，交拋物線于點G．

（1）求拋物線y=﹣x2+bx+c的表達式；

（2）連接GB，EO，當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標；

（3）①在y軸上存在一點H，連接EH，HF，當點E運動到什么位置時，以A，E，F，H為頂點的四邊形是矩形？求出此時點E，H的坐標；

②在①的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為⊙E上一動點，求AM+CM它的最小值．

2．如圖，拋物線y=a（x﹣1）（x﹣3）與x軸交于A，B兩點，與y軸的正半軸交于點C，其頂點為D．

（1）寫出C，D兩點的坐標（用含a的式子表示）；（2）設S△BCD：S△ABD=k，求k的值；

（3）當△BCD是直角三角形時，求對應拋物線的解析式．

第1頁（共118頁）

3．如圖，直線y=kx+b（k、b為常數）分別與x軸、y軸交于點A（﹣4，0）、B（0，3），拋物線y=﹣x2+2x+1與y軸交于點C．（1）求直線y=kx+b的函數解析式；

（2）若點P（x，y）是拋物線y=﹣x2+2x+1上的任意一點，設點P到直線AB的距離為d，求d關于x的函數解析式，并求d取最小值時點P的坐標；

（3）若點E在拋物線y=﹣x2+2x+1的對稱軸上移動，點F在直線AB上移動，求CE+EF的最小值．

4．如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與y軸相交于點A（0，3），與x正半軸相交于點B，對稱軸是直線x=1（1）求此拋物線的解析式以及點B的坐標．

（2）動點M從點O出發，以每秒2個單位長度的速度沿x軸正方向運動，同時動點N從點O出發，以每秒3個單位長度的速度沿y軸正方向運動，當N點到達A點時，M、N同時停止運動．過動點M作x軸的垂線交線段AB于點Q，交拋物線于點P，設運動的時間為t秒．

①當t為何值時，四邊形OMPN為矩形．

②當t＞0時，△BOQ能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

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5．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點．（1）求拋物線的解析式；

（2）在第二象限內取一點C，作CD垂直X軸于點D，鏈接AC，且AD=5，CD=8，將Rt△ACD沿x軸向右平移m個單位，當點C落在拋物線上時，求m的值；

（3）在（2）的條件下，當點C第一次落在拋物線上記為點E，點P是拋物線對稱軸上一點．試探究：在拋物線上是否存在點Q，使以點B、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

6．我們知道，經過原點的拋物線可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，對于這樣的拋物線：（1）當拋物線經過點（﹣2，0）和（﹣1，3）時，求拋物線的表達式；（2）當拋物線的頂點在直線y=﹣2x上時，求b的值；

（3）如圖，現有一組這樣的拋物線，它們的頂點A1、A2、…，An在直線y=﹣2x上，橫坐標依次為﹣1，﹣2，﹣3，…，﹣n（n為正整數，且n≤12），分別過每個頂點作x軸的垂線，垂足記為B1、B2，…，Bn，以線段AnBn為邊向左作正方形AnBnCnDn，如果這組拋物線中的某一條經過點Dn，求此時滿足條件的正方形AnBnCnDn的邊長．

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7．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象交坐標軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點．（1）求這個二次函數的解析式；

（2）是否存在點P，使△POC是以OC為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由；

（3）動點P運動到什么位置時，△PBC面積最大，求出此時P點坐標和△PBC的最大面積．

8．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=4，OC=3，若拋物線經過O，A兩點，且頂點在BC邊上，對稱軸交BE于點F，點D，E的坐標分別為（3，0），（0，1）．（1）求拋物線的解析式；

（2）猜想△EDB的形狀并加以證明；

（3）點M在對稱軸右側的拋物線上，點N在x軸上，請問是否存在以點A，F，M，N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出所有符合條件的點M的坐標；若不存在，請說明理由．

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9．如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=﹣x2+bx+c經過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．（1）求拋物線的函數表達式；

（2）點D為直線AC上方拋物線上一動點；

①連接BC、CD，設直線BD交線段AC于點E，△CDE的面積為S1，△BCE的面積為S2，求的最大值；

②過點D作DF⊥AC，垂足為點F，連接CD，是否存在點D，使得△CDF中的某個角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由．

10．已知二次函數y=﹣x2+bx+c+1，①當b=1時，求這個二次函數的對稱軸的方程；

②若c=﹣b2﹣2b，問：b為何值時，二次函數的圖象與x軸相切？

③若二次函數的圖象與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，與y軸的正半軸交于點M，以AB為直徑的半圓恰好過點M，二次函數的對稱軸l與x軸、直線BM、直線AM分別交于點D、E、F，且滿足

=，求二次函數的表達式．

第5頁（共118頁）

11．如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，點B坐標為（6，0），點C坐標為（0，6），點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．

（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；

（2）點F是拋物線上的動點，當∠FBA=∠BDE時，求點F的坐標；

（3）若點M是拋物線上的動點，過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N，點P在x軸上，點Q在坐標平面內，以線段MN為對角線作正方形MPNQ，請寫出點Q的坐標． 12．拋物線y=ax2+bx+3經過點A（1，0）和點B（5，0）．（1）求該拋物線所對應的函數解析式；

（2）該拋物線與直線y=x+3相交于C、D兩點，點P是拋物線上的動點且位于x軸下方，直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點M、N．

①連結PC、PD，如圖1，在點P運動過程中，△PCD的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，說明理由；

②連結PB，過點C作CQ⊥PM，垂足為點Q，如圖2，是否存在點P，使得△CNQ與△PBM相似？若存在，求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

第6頁（共118頁）

13．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸交與點C（0，3），與x軸交于A、B兩點，點B坐標為（4，0），拋物線的對稱軸方程為x=1．（1）求拋物線的解析式；

（2）點M從A點出發，在線段AB上以每秒3個單位長度的速度向B點運動，同時點N從B點出發，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動，設△MBN的面積為S，點M運動時間為t，試求S與t的函數關系，并求S的最大值；

（3）在點M運動過程中，是否存在某一時刻t，使△MBN為直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．

14．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其頂點為D．（1）求拋物線的解析式；

（2）設點M（1，m），當MB+MD的值最小時，求m的值；

（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值；

（4）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點N，E為直線AC上任意一點，過點E作EF∥ND交拋物線于點F，以N，D，E，F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由．

第7頁（共118頁）

15．如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象經過A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三點．

（1）求該二次函數的解析式；

（2）點D是該二次函數圖象上的一點，且滿足∠DBA=∠CAO（O是坐標原點），求點D的坐標；

（3）點P是該二次函數圖象上位于第一象限上的一動點，連接PA分別交BC、y軸于點E、F，若△PEB、△CEF的面積分別為S1、S2，求S1﹣S2的最大值．

16．如圖，拋物線y=x2+bx+c經過B（﹣1，0），D（﹣2，5）兩點，與x軸另一交點為A，點H是線段AB上一動點，過點H的直線PQ⊥x軸，分別交直線AD、拋物線于點Q，P．（1）求拋物線的解析式；

（2）是否存在點P，使∠APB=90°，若存在，求出點P的橫坐標，若不存在，說明理由；（3）連接BQ，一動點M從點B出發，沿線段BQ以每秒1個單位的速度運動到Q，再沿線段QD以每秒個單位的速度運動到D后停止，當點Q的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時t最少？

第8頁（共118頁）

17．如圖1，拋物線C1：y=x2+ax與C2：y=﹣x2+bx相交于點O、C，C1與C2分別交x軸于點B、A，且B為線段AO的中點．（1）求的值；

（2）若OC⊥AC，求△OAC的面積；

（3）拋物線C2的對稱軸為l，頂點為M，在（2）的條件下：

①點P為拋物線C2對稱軸l上一動點，當△PAC的周長最小時，求點P的坐標；

②如圖2，點E在拋物線C2上點O與點M之間運動，四邊形OBCE的面積是否存在最大值？若存在，求出面積的最大值和點E的坐標；若不存在，請說明理由．

18．如圖，已知直角坐標系中，A、B、D三點的坐標分別為A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），點C與點B關于x軸對稱，連接AB、AC．（1）求過A、B、D三點的拋物線的解析式；

（2）有一動點E從原點O出發，以每秒2個單位的速度向右運動，過點E作x軸的垂線，交拋物線于點P，交線段CA于點M，連接PA、PB，設點E運動的時間為t（0＜t＜4）秒，求四邊形PBCA的面積S與t的函數關系式，并求出四邊形PBCA的最大面積；

（3）拋物線的對稱軸上是否存在一點H，使得△ABH是直角三角形？若存在，請直接寫出

第9頁（共118頁）

點H的坐標；若不存在，請說明理由．

19．如圖1，在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax2+bx﹣5與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的函數表達式；

（2）若點D是y軸上的一點，且以B，C，D為頂點的三角形與△ABC相似，求點D的坐標；（3）如圖2，CE∥x軸與拋物線相交于點E，點H是直線CE下方拋物線上的動點，過點H且與y軸平行的直線與BC，CE分別相交于點F，G，試探究當點H運動到何處時，四邊形CHEF的面積最大，求點H的坐標及最大面積；

（4）若點K為拋物線的頂點，點M（4，m）是該拋物線上的一點，在x軸，y軸上分別找點P，Q，使四邊形PQKM的周長最小，求出點P，Q的坐標．

20．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象的頂點坐標是（2，1），并且經過點（4，2），直線y=x+1與拋物線交于B，D兩點，以BD為直徑作圓，圓心為點C，圓C與直線m交于對稱軸右側的點M（t，1），直線m上每一點的縱坐標都等于1．（1）求拋物線的解析式；（2）證明：圓C與x軸相切；

（3）過點B作BE⊥m，垂足為E，再過點D作DF⊥m，垂足為F，求BE：MF的值．

第10頁（共118頁）

21．如圖1，拋物線y=x2+bx+c經過A（﹣

2，0）、B（0，﹣2）兩點，點C在y軸上，△ABC為等邊三角形，點D從點A出發，沿AB方向以每秒2個單位長度的速度向終點B運動，設運動時間為t秒（t＞0），過點D作DE⊥AC于點E，以DE為邊作矩形DEGF，使點F在x軸上，點G在AC或AC的延長線上．

（1）求拋物線的解析式；

（2）將矩形DEGF沿GF所在直線翻折，得矩形D'E'GF，當點D的對稱點D'落在拋物線上時，求此時點D'的坐標；

（3）如圖2，在x軸上有一點M（2，0），連接BM、CM，在點D的運動過程中，設矩形DEGF與四邊形ABMC重疊部分的面積為S，直接寫出S與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍．

22．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，拋物線y=﹣x2+bx+c經過A，B兩點，其中點A，C的坐標分別為（1，0），（﹣4，0），拋物線的頂點為點D．（1）求拋物線的解析式；

（2）點E是直角三角形ABC斜邊AB上的一個動點（不與A，B重合），過點E作x軸的垂線，交拋物線于點F，當線段FE的長度最大時，求點E的坐標；

（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在一點P，使△PEF是以EF為直角邊的直角三角形？

第11頁（共118頁）

若存在，求出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．

23．如圖1，點A坐標為（2，0），以OA為邊在第一象限內作等邊△OAB，點C為x軸上一動點，且在點A右側，連接BC，以BC為邊在第一象限內作等邊△BCD，連接AD交BC于E．

（1）①直接回答：△OBC與△ABD全等嗎？ ②試說明：無論點C如何移動，AD始終與OB平行；

（2）當點C運動到使AC2=AE?AD時，如圖2，經過O、B、C三點的拋物線為y1．試問：y1上是否存在動點P，使△BEP為直角三角形且BE為直角邊？若存在，求出點P坐標；若不存在，說明理由；

（3）在（2）的條件下，將y1沿x軸翻折得y2，設y1與y2組成的圖形為M，函數y=的圖象l與M有公共點．試寫出：l與M的公共點為3個時，m的取值．

24．如圖，拋物線y=ax2﹣2x+c（a≠0）與x軸、y軸分別交于點A，B，C三點，已知點A（﹣2，0），點C（0，﹣8），點D是拋物線的頂點．

第12頁（共118頁）

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）如圖1，拋物線的對稱軸與x軸交于點E，第四象限的拋物線上有一點P，將△EBP沿直線EP折疊，使點B的對應點B'落在拋物線的對稱軸上，求點P的坐標；

（3）如圖2，設BC交拋物線的對稱軸于點F，作直線CD，點M是直線CD上的動點，點N是平面內一點，當以點B，F，M，N為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點M的坐標． 25．拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A（1，0），B（m，0），與y軸交于C．

（1）若m=﹣3，求拋物線的解析式，并寫出拋物線的對稱軸；

（2）如圖1，在（1）的條件下，設拋物線的對稱軸交x軸于D，在對稱軸左側的拋物線上有一點E，使S△ACE=S△ACD，求點E的坐標；

（3）如圖2，設F（﹣1，﹣4），FG⊥y于G，在線段OG上是否存在點P，使∠OBP=∠FPG？若存在，求m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

26．如圖，⊙M的圓心M（﹣1，2），⊙M經過坐標原點O，與y軸交于點A．經過點A的一條直線l解析式為：y=﹣x+4與x軸交于點B，以M為頂點的拋物線經過x軸上點D（2，第13頁（共118頁）

0）和點C（﹣4，0）．（1）求拋物線的解析式；（2）求證：直線l是⊙M的切線；

（3）點P為拋物線上一動點，且PE與直線l垂直，垂足為E；PF∥y軸，交直線l于點F，是否存在這樣的點P，使△PEF的面積最小．若存在，請求出此時點P的坐標及△PEF面積的最小值；若不存在，請說明理由．

27．如圖，拋物線y=ax2+bx+4交y軸于點A，并經過B（4，4）和C（6，0）兩點，點D的坐標為（4，0），連接AD，BC，點E從點A出發，以每秒

個單位長度的速度沿線段AD向點D運動，到達點D后，以每秒1個單位長度的速度沿射線DC運動，設點E的運動時間為t秒，過點E作AB的垂線EF交直線AB于點F，以線段EF為斜邊向右作等腰直角△EFG．（1）求拋物線的解析式；

（2）當點G落在第一象限內的拋物線上時，求出t的值；

（3）設點E從點A出發時，點E，F，G都與點A重合，點E在運動過程中，當△BCG的面積為4時，直接寫出相應的t值，并直接寫出點G從出發到此時所經過的路徑長．28．拋物線y=ax2+bx+c過A（2，3），B（4，3），C（6，﹣5）三點．

第14頁（共118頁）

（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖①，拋物線上一點D在線段AC的上方，DE⊥AB交AC于點E，若滿足求點D的坐標；

（3）如圖②，F為拋物線頂點，過A作直線l⊥AB，若點P在直線l上運動，點Q在x軸上運動，是否存在這樣的點P、Q，使得以B、P、Q為頂點的三角形與△ABF相似，若存在，求P、Q的坐標，并求此時△BPQ的面積；若不存在，請說明理由．

29．如圖，已知拋物線y=ax2+x+c與x軸交于A，B兩點，與y軸交于丁C，且A（2，0），C（0，﹣4），直線l：y=﹣x﹣4與x軸交于點D，點P是拋物線y=ax2+x+c上的一動點，過點P作PE⊥x軸，垂足為E，交直線l于點F．

=，（1）試求該拋物線表達式；

（2）如圖（1），過點P在第三象限，四邊形PCOF是平行四邊形，求P點的坐標；（3）如圖（2），過點P作PH⊥y軸，垂足為H，連接AC． ①求證：△ACD是直角三角形；

②試問當P點橫坐標為何值時，使得以點P、C、H為頂點的三角形與△ACD相似？ 30．如圖，已知拋物線y=ax2﹣

2ax﹣9a與坐標軸交于A，B，C三點，其中C（0，3），∠BAC的平分線AE交y軸于點D，交BC于點E，過點D的直線l與射線AC，AB分別交于點

第15頁（共118頁）

M，N．

（1）直接寫出a的值、點A的坐標及拋物線的對稱軸；

（2）點P為拋物線的對稱軸上一動點，若△PAD為等腰三角形，求出點P的坐標；（3）證明：當直線l繞點D旋轉時，+

均為定值，并求出該定值．

31．《函數的圖象與性質》拓展學習片段展示：

【問題】如圖①，在平面直角坐標系中，拋物線y=a（x﹣2）2﹣經過原點O，與x軸的另一個交點為A，則a=

．

【操作】將圖①中拋物線在x軸下方的部分沿x軸折疊到x軸上方，將這部分圖象與原拋物線剩余部分的圖象組成的新圖象記為G，如圖②．直接寫出圖象G對應的函數解析式．【探究】在圖②中，過點B（0，1）作直線l平行于x軸，與圖象G的交點從左至右依次為點C，D，E，F，如圖③．求圖象G在直線l上方的部分對應的函數y隨x增大而增大時x的取值范圍．

【應用】P是圖③中圖象G上一點，其橫坐標為m，連接PD，PE．直接寫出△PDE的面積不小于1時m的取值范圍．

32．如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點B坐標為（4，t）（t＞0），二次函數y=x2+bx（b＜0）的圖象經過點B，頂點為點D．（1）當t=12時，頂點D到x軸的距離等于

；

（2）點E是二次函數y=x2+bx（b＜0）的圖象與x軸的一個公共點（點E與點O不重合），求OE?EA的最大值及取得最大值時的二次函數表達式；

（3）矩形OABC的對角線OB、AC交于點F，直線l平行于x軸，交二次函數y=x2+bx（b＜0）

第16頁（共118頁）的圖象于點M、N，連接DM、DN，當△DMN≌△FOC時，求t的值．

33．在平面直角坐標系中，直線y=﹣x+1交y軸于點B，交x軸于點A，拋物線y=﹣x2+bx+c經過點B，與直線y=﹣x+1交于點C（4，﹣2）．（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖，橫坐標為m的點M在直線BC上方的拋物線上，過點M作ME∥y軸交直線BC于點E，以ME為直徑的圓交直線BC于另一點D，當點E在x軸上時，求△DEM的周長．（3）將△AOB繞坐標平面內的某一點按順時針方向旋轉90°，得到△A1O1B1，點A，O，B的對應點分別是點A1，O1，B1，若△A1O1B1的兩個頂點恰好落在拋物線上，請直接寫出點A1的坐標．

34．已知，拋物線y=ax2+bx+3（a＜0）與x軸交于A（3，0）、B兩點，與y軸交于點C，拋物線的對稱軸是直線x=1，D為拋物線的頂點，點E在y軸C點的上方，且CE=．（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；（2）求證：直線DE是△ACD外接圓的切線；

（3）在直線AC上方的拋物線上找一點P，使S△ACP=S△ACD，求點P的坐標；

（4）在坐標軸上找一點M，使以點B、C、M為頂點的三角形與△ACD相似，直接寫出點M

第17頁（共118頁）的坐標．

35．如圖①，在平面直角坐標系中，二次函數y=﹣x2+bx+c的圖象與坐標軸交于A，B，C三點，其中點A的坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（4，0），連接AC，BC．動點P從點A出發，在線段AC上以每秒1個單位長度的速度向點C作勻速運動；同時，動點Q從點O出發，在線段OB上以每秒1個單位長度的速度向點B作勻速運動，當其中一點到達終點時，另一點隨之停止運動，設運動時間為t秒．連接PQ．（1）填空：b=

，c=

；

（2）在點P，Q運動過程中，△APQ可能是直角三角形嗎？請說明理由；

（3）在x軸下方，該二次函數的圖象上是否存在點M，使△PQM是以點P為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，請求出運動時間t；若不存在，請說明理由；

（4）如圖②，點N的坐標為（﹣，0），線段PQ的中點為H，連接NH，當點Q關于直線NH的對稱點Q′恰好落在線段BC上時，請直接寫出點Q′的坐標．

36．如圖，已知直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A，B兩點，拋物線

y=﹣x2+bx+c經過A，B兩點，點P在線段OA上，從點O出發，向點A以每秒1個單位的速度勻速運動；同時，點Q在線段AB上，從點A出發，向點B以每秒運動，連接PQ，設運動時間為t秒．（1）求拋物線的解析式；

第18頁（共118頁）

個單位的速度勻速

（2）問：當t為何值時，△APQ為直角三角形；

（3）過點P作PE∥y軸，交AB于點E，過點Q作QF∥y軸，交拋物線于點F，連接EF，當EF∥PQ時，求點F的坐標；

（4）設拋物線頂點為M，連接BP，BM，MQ，問：是否存在t的值，使以B，Q，M為頂點的三角形與以O，B，P為頂點的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

37．如圖，直線y=﹣x+3與x軸，y軸分別相交于點B，C，經過B，C兩點的拋物線y=ax2+bx+c與x軸的另一交點為A，頂點為P，且對稱軸是直線x=2．（1）求該拋物線的函數表達式；

（2）請問在拋物線上是否存在點Q，使得以點B，C，Q為頂點的三角形為直角三角形？若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）過S（0，4）的動直線l交拋物線于M，N兩點，試問拋物線上是否存在定點T，使得不過定點T的任意直線l都有∠MTN=90°？若存在，請求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．

38．如圖，拋物線C1：y1=ax2+2ax（a＞0）與x軸交于點A，頂點為點P．

（1）直接寫出拋物線C1的對稱軸是

，用含a的代數式表示頂點P的坐標

；（2）把拋物線C1繞點M（m，0）旋轉180°得到拋物線C2（其中m＞0），拋物線C2與x軸右側的交點為點B，頂點為點Q．

第19頁（共118頁）

①當m=1時，求線段AB的長；

②在①的條件下，是否存在△ABP為等腰三角形，若存在請求出a的值，若不存在，請說明理由；

③當四邊形APBQ為矩形時，請求出m與a之間的數量關系，并直接寫出當a=3時矩形APBQ的面積．

39．已知二次函數y=ax2﹣4ax+a2+2（a＜0）圖象的頂點G在直線AB上，其中 A（﹣，0）、B（0，3），對稱軸與x軸交于點E．（1）求二次函數y=ax2﹣4ax+a2+2的關系式；

（2）點P在對稱軸右側的拋物線上，且AP平分四邊形GAEP的面積，求點P坐標；（3）在x軸上方，是否存在整數m，使得當

＜x≤

時，拋物線y隨x增大而增大？若存在，求出所有滿足條件的m值；若不存在，請說明理由．

40．如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，拋物線y=x2+bx+c交x軸于A、B兩點，交y軸于點C，直線y=x﹣3經過B、C兩點．（1）求拋物線的解析式；

（2）過點C作直線CD⊥y軸交拋物線于另一點D，點P是直線CD下方拋物線上的一個動點，且在拋物線對稱軸的右側，過點P作PE⊥x軸于點E，PE交CD于點F，交BC于點M，連接AC，過點M作MN⊥AC于點N，設點P的橫坐標為t，線段MN的長為d，求d與t之間的函數關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；

第20頁（共118頁）

（3）在（2）的條件下，連接PC，過點B作BQ⊥PC于點Q（點Q在線段PC上），BQ交CD于點T，連接OQ交CD于點S，當ST=TD時，求線段MN的長．

第21頁（共118頁）

參考答案與試題解析

（共40題）

1．（2017?蘭州）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）兩點，直線AC：y=﹣x﹣6交y軸于點C．點E是直線AB上的動點，過點E作EF⊥x軸交AC于點F，交拋物線于點G．

（1）求拋物線y=﹣x2+bx+c的表達式；

（2）連接GB，EO，當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標；

（3）①在y軸上存在一點H，連接EH，HF，當點E運動到什么位置時，以A，E，F，H為頂點的四邊形是矩形？求出此時點E，H的坐標；

②在①的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為⊙E上一動點，求AM+CM它的最小值．

【解答】解：（1）∵點A（﹣4，﹣4），B（0，4）在拋物線y=﹣x2+bx+c上，∴∴，∴拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+4；

（2）設直線AB的解析式為y=kx+n過點A，B，∴∴，第22頁（共118頁）

，∴直線AB的解析式為y=2x+4，設E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四邊形GEOB是平行四邊形，∴EG=OB=4，∴|﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4|=4，∴m=﹣2或m=2+2或m=2﹣

2，）或（2﹣2，﹣12+12）． ∴G（﹣2，4）或（2+2

（3）①如圖1，﹣12﹣12由（2）知，直線AB的解析式為y=2x+4，∴設E（a，2a+4），∵直線AC：y=﹣x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6），設H（0，p），∵以點A，E，F，H為頂點的四邊形是矩形，∵直線AB的解析式為y=2x+4，直線AC：y=﹣x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF為對角線，∴（﹣4+0）=（a+a），（﹣4+p）=（2a+4﹣a﹣6），∴a=﹣2，P=﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；

②如圖2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH=，AE=2，設AE交⊙E于G，取EG的中點P，∴PE=，第23頁（共118頁）

連接PC交⊙E于M，連接EM，∴EM=EH=，∴∵∴=，=，=，∵∠PEM=∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴，∴PM=AM，∴AM+CM的最小值=PC，設點P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2=（p+2）2+（2p+4）2=5（p+2）2，∵PE=，∴5（p+2）2=，∴p=﹣或p=﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（﹣，﹣1），∵C（0，﹣6），∴PC=即：AM+CM=．

=，第24頁（共118頁）

2．（2017?貴港）如圖，拋物線y=a（x﹣1）（x﹣3）與x軸交于A，B兩點，與y軸的正半軸交于點C，其頂點為D．

（1）寫出C，D兩點的坐標（用含a的式子表示）；（2）設S△BCD：S△ABD=k，求k的值；

（3）當△BCD是直角三角形時，求對應拋物線的解析式．

第25頁（共118頁）

【解答】解：

（1）在y=a（x﹣1）（x﹣3），令x=0可得y=3a，∴C（0，3a），∵y=a（x﹣1）（x﹣3）=a（x2﹣4x+3）=a（x﹣2）2﹣a，∴D（2，﹣a）；

（2）在y=a（x﹣1）（x﹣3）中，令y=0可解得x=1或x=3，∴A（1，0），B（3，0），∴AB=3﹣1=2，∴S△ABD=×2×a=a，如圖，設直線CD交x軸于點E，設直線CD解析式為y=kx+b，把C、D的坐標代入可得，解得，∴直線CD解析式為y=﹣2ax+3a，令y=0可解得x=，∴E（，0），∴BE=3﹣=

∴S△BCD=S△BEC+S△BED=××（3a+a）=3a，∴S△BCD：S△ABD=（3a）：a=3，第26頁（共118頁）

∴k=3；

（3）∵B（3，0），C（0，3a），D（2，﹣a），∴BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（﹣a﹣3a）2=4+16a2，BD2=（3﹣2）2+a2=1+a2，∵∠BCD＜∠BCO＜90°，∴△BCD為直角三角形時，只能有∠CBD=90°或∠CDB=90°兩種情況，①當∠CBD=90°時，則有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=﹣1（舍去）或a=1，此時拋物線解析式為y=x2﹣4x+3；

②當∠CDB=90°時，則有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=﹣此時拋物線解析式為y=

x2﹣

2x+

；

x2﹣2

．

（舍去）或a=，綜上可知當△BCD是直角三角形時，拋物線的解析式為y=x2﹣4x+3或y=3．（2017?濱州）如圖，直線y=kx+b（k、b為常數）分別與x軸、y軸交于點A（﹣4，0）、B（0，3），拋物線y=﹣x2+2x+1與y軸交于點C．（1）求直線y=kx+b的函數解析式；

（2）若點P（x，y）是拋物線y=﹣x2+2x+1上的任意一點，設點P到直線AB的距離為d，求d關于x的函數解析式，并求d取最小值時點P的坐標；

（3）若點E在拋物線y=﹣x2+2x+1的對稱軸上移動，點F在直線AB上移動，求CE+EF的最小值．

【解答】解：（1）由題意可得，解得，∴直線解析式為y=x+3；

（2）如圖1，過P作PH⊥AB于點H，過H作HQ⊥x軸，過P作PQ⊥y軸，兩垂線交于點

第27頁（共118頁）

Q，則∠AHQ=∠ABO，且∠AHP=90°，∴∠PHQ+∠AHQ=∠BAO+∠ABO=90°，∴∠PHQ=∠BAO，且∠AOB=∠PQH=90°，∴△PQH∽△BOA，∴==，設H（m，m+3），則PQ=x﹣m，HQ=m+3﹣（﹣x2+2x+1），∵A（﹣4，0），B（0，3），∴OA=4，OB=3，AB=5，且PH=d，∴==，，整理消去m可得d=x2﹣x+=（x﹣）2+∴d與x的函數關系式為d=（x﹣）2+∵＞0，∴當x=時，d有最小值，此時y=﹣（）2+2×+1=∴當d取得最小值時P點坐標為（，）；，（3）如圖2，設C點關于拋物線對稱軸的對稱點為C′，由對稱的性質可得CE=C′E，第28頁（共118頁）

∴CE+EF=C′E+EF，∴當F、E、C′三點一線且C′F與AB垂直時CE+EF最小，∵C（0，1），∴C′（2，1），由（2）可知當x=2時，d=×（2﹣）2+即CE+EF的最小值為

．

=，4．（2017?廣安）如圖，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與y軸相交于點A（0，3），與x正半軸相交于點B，對稱軸是直線x=1（1）求此拋物線的解析式以及點B的坐標．

①當t為何值時，四邊形OMPN為矩形．

②當t＞0時，△BOQ能否為等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，請說明理由．

第29頁（共118頁）

【解答】解：

（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c對稱軸是直線x=1，∴﹣=1，解得b=2，∵拋物線過A（0，3），∴c=3，∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3，令y=0可得﹣x2+2x+3=0，解得x=﹣1或x=3，∴B點坐標為（3，0）；

（2）①由題意可知ON=3t，OM=2t，∵P在拋物線上，∴P（2t，﹣4t2+4t+3），∵四邊形OMPN為矩形，∴ON=PM，∴3t=﹣4t2+4t+3，解得t=1或t=﹣（舍去），∴當t的值為1時，四邊形OMPN為矩形； ②∵A（0，3），B（3，0），∴OA=OB=3，且可求得直線AB解析式為y=﹣x+3，∴當t＞0時，OQ≠OB，∴當△BOQ為等腰三角形時，有OB=QB或OQ=BQ兩種情況，由題意可知OM=2t，∴Q（2t，﹣2t+3），∴OQ=

=，BQ=

第30頁（共118頁）

=|2t﹣3|，又由題意可知0＜t＜1，當OB=QB時，則有當OQ=BQ時，則有綜上可知當t的值為|2t﹣3|=3，解得t=

（舍去）或t=

；

|2t﹣3|，解得t=；

或時，△BOQ為等腰三角形．

5．（2017?宜賓）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點．（1）求拋物線的解析式；

（2）在第二象限內取一點C，作CD垂直X軸于點D，鏈接AC，且AD=5，CD=8，將Rt△ACD沿x軸向右平移m個單位，當點C落在拋物線上時，求m的值；

【解答】解：

（1）∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點，∴，解得，∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x+5；

（2）∵AD=5，且OA=1，∴OD=6，且CD=8，∴C（﹣6，8），設平移后的點C的對應點為C′，則C′點的縱坐標為8，第31頁（共118頁）

代入拋物線解析式可得8=﹣x2+4x+5，解得x=1或x=3，∴C′點的坐標為（1，8）或（3，8），∵C（﹣6，8），∴當點C落在拋物線上時，向右平移了7或9個單位，∴m的值為7或9；

（3）∵y=﹣x2+4x+5=﹣（x﹣2）2+9，∴拋物線對稱軸為x=2，∴可設P（2，t），由（2）可知E點坐標為（1，8），①當BE為平行四邊形的邊時，連接BE交對稱軸于點M，過E作EF⊥x軸于點F，過Q作對稱軸的垂線，垂足為N，如圖，則∠BEF=∠BMP=∠QPN，在△PQN和△EFB中

∴△PQN≌△EFB（AAS），∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4，設Q（x，y），則QN=|x﹣2|，∴|x﹣2|=4，解得x=﹣2或x=6，當x=﹣2或x=6時，代入拋物線解析式可求得y=﹣7，第32頁（共118頁）

∴Q點坐標為（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）； ②當BE為對角線時，∵B（5，0），E（1，8），∴線段BE的中點坐標為（3，4），則線段PQ的中點坐標為（3，4），設Q（x，y），且P（2，t），∴x+2=3×2，解得x=4，把x=4代入拋物線解析式可求得y=5，∴Q（4，5）；

綜上可知Q點的坐標為（﹣2，﹣7）或（6，﹣7）或（4，5）．

6．（2017?貴陽）我們知道，經過原點的拋物線可以用y=ax2+bx（a≠0）表示，對于這樣的拋物線：

（1）當拋物線經過點（﹣2，0）和（﹣1，3）時，求拋物線的表達式；（2）當拋物線的頂點在直線y=﹣2x上時，求b的值；

【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx經過點（﹣2，0）和（﹣1，3），∴，解得，∴拋物線的表達式為y=﹣3x2﹣6x；

（2）∵拋物線y=ax2+bx的頂點坐標是（﹣∴﹣=﹣2×（﹣），﹣），且該點在直線y=﹣2x上，∵a≠0，∴﹣b2=4b，第33頁（共118頁）

解得b1=﹣4，b2=0；

（3）這組拋物線的頂點A1、A2、…，An在直線y=﹣2x上，由（2）可知，b=4或b=0．

①當b=0時，拋物線的頂點在坐標原點，不合題意，舍去； ②當b=﹣4時，拋物線的表達式為y=ax2﹣4x．

由題意可知，第n條拋物線的頂點為An（﹣n，2n），則Dn（﹣3n，2n），∵以An為頂點的拋物線不可能經過點Dn，設第n+k（k為正整數）條拋物線經過點Dn，此時第n+k條拋物線的頂點坐標是An+k（﹣n﹣k，2n+2k），∴﹣=﹣n﹣k，∴a=

=﹣，x2﹣4x，∴第n+k條拋物線的表達式為y=﹣∵Dn（﹣3n，2n）在第n+k條拋物線上，∴2n=﹣×（﹣3n）2﹣4×（﹣3n），解得k=n，∵n，k為正整數，且n≤12，∴n1=5，n2=10．當n=5時，k=4，n+k=9；

當n=10時，k=8，n+k=18＞12（舍去），∴D5（﹣15，10），∴正方形的邊長是10．

7．（2017?畢節市）如圖，在平面直角坐標系中，二次函數的圖象交坐標軸于A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣4）三點，點P是直線BC下方拋物線上一動點．（1）求這個二次函數的解析式；

（2）是否存在點P，使△POC是以OC為底邊的等腰三角形？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由；

（3）動點P運動到什么位置時，△PBC面積最大，求出此時P點坐標和△PBC的最大面積．

第34頁（共118頁）

【解答】解：

（1）設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，把A、B、C三點坐標代入可得∴拋物線解析式為y=x2﹣3x﹣4；

（2）作OC的垂直平分線DP，交OC于點D，交BC下方拋物線于點P，如圖1，解得，∴PO=PD，此時P點即為滿足條件的點，∵C（0，﹣4），∴D（0，﹣2），∴P點縱坐標為﹣2，代入拋物線解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2，解得x=∴存在滿足條件的P點，其坐標為（（3）∵點P在拋物線上，∴可設P（t，t2﹣3t﹣4），過P作PE⊥x軸于點E，交直線BC于點F，如圖2，﹣2）；

（小于0，舍去）或x=，第35頁（共118頁）

∵B（4，0），C（0，﹣4），∴直線BC解析式為y=x﹣4，∴F（t，t﹣4），∴PF=（t﹣4）﹣（t2﹣3t﹣4）=﹣t2+4t，∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=PF?OE+PF?BE=PF?（OE+BE）=PF?OB=（﹣t2+4t）×4=﹣2（t﹣2）2+8，∴當t=2時，S△PBC最大值為8，此時t2﹣3t﹣4=﹣6，∴當P點坐標為（2，﹣6）時，△PBC的最大面積為8．

8．（2017?西寧）如圖，在平面直角坐標系中，矩形OABC的頂點A，C分別在x軸，y軸的正半軸上，且OA=4，OC=3，若拋物線經過O，A兩點，且頂點在BC邊上，對稱軸交BE于點F，點D，E的坐標分別為（3，0），（0，1）．（1）求拋物線的解析式；

（2）猜想△EDB的形狀并加以證明；

第36頁（共118頁）

【解答】解：

（1）在矩形OABC中，OA=4，OC=3，∴A（4，0），C（0，3），∵拋物線經過O、A兩點，∴拋物線頂點坐標為（2，3），∴可設拋物線解析式為y=a（x﹣2）2+3，把A點坐標代入可得0=a（4﹣2）2+3，解得a=﹣，∴拋物線解析式為y=﹣（x﹣2）2+3，即y=﹣x2+3x；（2）△EDB為等腰直角三角形．證明：

由（1）可知B（4，3），且D（3，0），E（0，1），∴DE2=32+12=10，BD2=（4﹣3）2+32=10，BE2=42+（3﹣1）2=20，∴DE2+BD2=BE2，且DE=BD，∴△EDB為等腰直角三角形；（3）存在．理由如下：設直線BE解析式為y=kx+b，把B、E坐標代入可得，解得，∴直線BE解析式為y=x+1，當x=2時，y=2，∴F（2，2），①當AF為平行四邊形的一邊時，則M到x軸的距離與F到x軸的距離相等，即M到x軸的第37頁（共118頁）

距離為2，∴點M的縱坐標為2或﹣2，在y=﹣x2+3x中，令y=2可得2=﹣x2+3x，解得x=∵點M在拋物線對稱軸右側，∴x＞2，∴x=，2）；，∴M點坐標為（在y=﹣x2+3x中，令y=﹣2可得﹣2=﹣x2+3x，解得x=∵點M在拋物線對稱軸右側，∴x＞2，∴x=，﹣2）； ∴M點坐標為（②當AF為平行四邊形的對角線時，∵A（4，0），F（2，2），∴線段AF的中點為（3，1），即平行四邊形的對稱中心為（3，1），設M（t，﹣t2+3t），N（x，0），則﹣t2+3t=2，解得t=∵點M在拋物線對稱軸右側，∴x＞2，∴t=，2）；，2）或（，﹣2）．，∴M點坐標為（綜上可知存在滿足條件的點M，其坐標為（9．（2017?鹽城）如圖，在平面直角坐標系中，直線y=x+2與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線y=﹣x2+bx+c經過A、C兩點，與x軸的另一交點為點B．（1）求拋物線的函數表達式；

第38頁（共118頁）

（2）點D為直線AC上方拋物線上一動點；

①連接BC、CD，設直線BD交線段AC于點E，△CDE的面積為S1，△BCE的面積為S2，求的最大值；

②過點D作DF⊥AC，垂足為點F，連接CD，是否存在點D，使得△CDF中的某個角恰好等于∠BAC的2倍？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）根據題意得A（﹣4，0），C（0，2），∵拋物線y=﹣x2+bx+c經過A、C兩點，∴，∴，∴y=﹣x2﹣x+2；（2）①如圖，令y=0，∴﹣x2﹣x+2=0，∴x1=﹣4，x2=1，∴B（1，0），過D作DM⊥x軸交AC于點M，過B作BN⊥x軸交于AC于N，∴DM∥BN，∴△DME∽△BNE，∴==，第39頁（共118頁）

設D（a，﹣a2﹣a+2），∴M（a，a+2），∵B（1，0），∴N（1，），∴==

（a+2）2+；

∴當a=﹣2時，的最大值是；

②∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），∴AC=2，BC=，AB=5，∴AC2+BC2=AB2，∴△ABC是以∠ACB為直角的直角三角形，取AB的中點P，∴P（﹣，0），∴PA=PC=PB=，∴∠CPO=2∠BAC，∴tan∠CPO=tan（2∠BAC）=，過D作x軸的平行線交y軸于R，交AC的延長線于G，情況一：如圖，∴∠DCF=2∠BAC=∠DGC+∠CDG，∴∠CDG=∠BAC，∴tan∠CDG=tan∠BAC=，即，令D（a，﹣a2﹣a+2），∴DR=﹣a，RC=﹣a2﹣a，∴，∴a1=0（舍去），a2=﹣2，第40頁（共118頁）

∴xD=﹣2，情況二，∴∠FDC=2∠BAC，∴tan∠FDC=，設FC=4k，∴DF=3k，DC=5k，∵tan∠DGC==，∴FG=6k，∴CG=2k，DG=3k，∴RC=k，RG=k，DR=3k﹣k=k，∴==，∴a1=0（舍去），a2=﹣，點D的橫坐標為﹣2或﹣

．

第41頁（共118頁）

10．（2017?株洲）已知二次函數y=﹣x2+bx+c+1，①當b=1時，求這個二次函數的對稱軸的方程；

②若c=﹣b2﹣2b，問：b為何值時，二次函數的圖象與x軸相切？

=，求二次函數的表達式．

【解答】解：①二次函數y=﹣x2+bx+c+1的對稱軸為x=，當b=1時，=，∴當b=1時，求這個二次函數的對稱軸的方程為x=． ②二次函數y=﹣x2+bx+c+1的頂點坐標為（，∵二次函數的圖象與x軸相切且c=﹣b2﹣2b，），∴，解得：b=，∴b為，二次函數的圖象與x軸相切． ③∵AB是半圓的直徑，∴∠AMB=90°，∴∠OAM+∠OBM=90°，∵∠AOM=∠MOB=90°，∴∠OAM+∠OMA=90°，∴∠OMA=∠OBM，第42頁（共118頁）

∴△OAM∽△OMB，∴，∴OM2=OA?OB，∵二次函數的圖象與x軸交于點A（x1，0），B（x2，0），∴OA=﹣x1，OB=x2，x1+x2，=b，x1?x2=﹣（c+1），∵OM=c+1，∴（c+1）2=c+1，解得：c=0或c=﹣1（舍去），∴c=0，OM=1，∵二次函數的對稱軸l與x軸、直線BM、直線AM分別交于點D、E、F，且滿足∴AD=BD，DF=4DE，DF∥OM，∴△BDE∽△BOM，△AOM∽△ADF，∴∴DE=∴，DF=×4，，=，∴OB=4OA，即x2=﹣4x1，∵x1?x2=﹣（c+1）=﹣1，∴，解得：，∴b=﹣+2=，∴二次函數的表達式為y=﹣x2+x+1．

11．（2017?棗莊）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于點A和點B，與y軸交于點C，點B坐標為（6，0），點C坐標為（0，6），點D是拋物線的頂點，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD．

第43頁（共118頁）

（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；

（2）點F是拋物線上的動點，當∠FBA=∠BDE時，求點F的坐標；

（3）若點M是拋物線上的動點，過點M作MN∥x軸與拋物線交于點N，點P在x軸上，點Q在坐標平面內，以線段MN為對角線作正方形MPNQ，請寫出點Q的坐標．【解答】解：

（1）把B、C兩點坐標代入拋物線解析式可得∴拋物線解析式為y=﹣x2+2x+6，∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，∴D（2，8）；

（2）如圖1，過F作FG⊥x軸于點G，解得，設F（x，﹣x2+2x+6），則FG=|﹣x2+2x+6|，∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴=，∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6﹣x，第44頁（共118頁）

∴=，當點F在x軸上方時，有（﹣1，）；

=，解得x=﹣1或x=6（舍去），此時F點的坐標為當點F在x軸下方時，有為（﹣3，﹣）；

=﹣，解得x=﹣3或x=6（舍去），此時F點的坐標綜上可知F點的坐標為（﹣1，）或（﹣3，﹣）；

（3）如圖2，設對角線MN、PQ交于點O′，∵點M、N關于拋物線對稱軸對稱，且四邊形MPNQ為正方形，∴點P為拋物線對稱軸與x軸的交點，點Q在拋物線的對稱軸上，設Q（2，2n），則M坐標為（2﹣n，n），∵點M在拋物線y=﹣x2+2x+6的圖象上，∴n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+

或n=﹣1﹣，）． ∴滿足條件的點Q有兩個，其坐標分別為（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣212．（2017?海南）拋物線y=ax2+bx+3經過點A（1，0）和點B（5，0）．（1）求該拋物線所對應的函數解析式；

（2）該拋物線與直線y=x+3相交于C、D兩點，點P是拋物線上的動點且位于x軸下方，直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點M、N．

①連結PC、PD，如圖1，在點P運動過程中，△PCD的面積是否存在最大值？若存在，求

第45頁（共118頁）

出這個最大值；若不存在，說明理由；

②連結PB，過點C作CQ⊥PM，垂足為點Q，如圖2，是否存在點P，使得△CNQ與△PBM相似？若存在，求出滿足條件的點P的坐標；若不存在，說明理由．

【解答】解：

（1）∵拋物線y=ax2+bx+3經過點A（1，0）和點B（5，0），∴，解得，∴該拋物線對應的函數解析式為y=x2﹣

x+3；

（2）①∵點P是拋物線上的動點且位于x軸下方，∴可設P（t，t2﹣t+3）（1＜t＜5），∵直線PM∥y軸，分別與x軸和直線CD交于點M、N，∴M（t，0），N（t，t+3），∴PN=t+3﹣（t2﹣

t+3）=﹣（t﹣）2+

聯立直線CD與拋物線解析式可得，解得或，∴C（0，3），D（7，），分別過C、D作直線PN的直線，垂足分別為E、F，如圖1，第46頁（共118頁）

則CE=t，DF=7﹣t，∴S△PCD=S△PCN+S△PDN=2PN?CE+PN?DF=PN=[﹣（t﹣）2+

]=﹣（t﹣）+，； ∴當t=時，△PCD的面積有最大值，最大值為②存在．

∵∠CQN=∠PMB=90°，∴當△CNQ與△PBM相似時，有∵CQ⊥PM，垂足為Q，∴Q（t，3），且C（0，3），N（t，t+3），∴CQ=t，NQ=t+3﹣3=t，∴=，t+3），M（t，0），B（5，0），第47頁（共118頁）

或=兩種情況，∵P（t，t2﹣

∴BM=5﹣t，PM=0﹣（t2﹣當

t+3）=﹣t2+

t﹣3，時，則PM=BM，即﹣t2+

t﹣3=（5﹣t），解得t=2或t=5（舍去），此時P（2，﹣）；當=時，則BM=PM，即5﹣t=（﹣t2+，﹣）；，﹣）．

t﹣3），解得t=

或t=5（舍去），此時P（綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（2，﹣）或（13．（2017?內江）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與y軸交與點C（0，3），與x軸交于A、B兩點，點B坐標為（4，0），拋物線的對稱軸方程為x=1．（1）求拋物線的解析式；

（3）在點M運動過程中，是否存在某一時刻t，使△MBN為直角三角形？若存在，求出t值；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）∵點B坐標為（4，0），拋物線的對稱軸方程為x=1． ∴A（﹣2，0），把點A（﹣2，0）、B（4，0）、點C（0，3），分別代入y=ax2+bx+c（a≠0），得，第48頁（共118頁）

解得，所以該拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+3；

（2）設運動時間為t秒，則AM=3t，BN=t． ∴MB=6﹣3t．

由題意得，點C的坐標為（0，3）．在Rt△BOC中，BC=

=5．

如圖1，過點N作NH⊥AB于點H． ∴NH∥CO，∴△BHN∽△BOC，∴，即=，∴HN=t．

∴S△MBN=MB?HN=（6﹣3t）?t=﹣當△PBQ存在時，0＜t＜2，∴當t=1時，S△PBQ最大=．

；

t2+t=﹣

（t﹣1）2+，答：運動1秒使△PBQ的面積最大，最大面積是

（3）如圖2，在Rt△OBC中，cos∠B=

=．

設運動時間為t秒，則AM=3t，BN=t． ∴MB=6﹣3t．

當∠MNB=90°時，cos∠B=化簡，得17t=24，解得t=

=，即，第49頁（共118頁）

=，當∠BMN=90°時，cos∠B=化簡，得19t=30，解得t=綜上所述：t=或t=

=，時，△MBN為直角三角形．

14．（2017?廣元）如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其頂點為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點M（1，m），當MB+MD的值最小時，求m的值；

（3）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值；

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