2021年中考數學壓軸題：二次函數

分類綜合專題復習練習

1、如圖，拋物線交軸于，兩點，交軸于點，直線與拋物線交于點，與軸交于點，連接，．

（1）求拋物線的解析式和直線的解析式．

（2）點是直線上方拋物線上一點，若，求此時點的坐標．

2、如圖，拋物線經過、、三點，對稱軸與拋物線相交于點，與直線相交于點，連接，．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）設對稱軸與軸交于點，在對稱軸上是否存在點，使以、、為頂點的三角形與相似？如果存在，請求出點的坐標；如果不存在，請說明理由；

（3）拋物線上是否存在一點，使與的面積相等，若存在，求點的坐標；若不存在，請說明理由．

3、如圖，二次函數的圖象與軸交于點、點兩點，與軸交于點．

（1）求二次函數的表達式；

（2）連接、，若點在線段上運動（不與點、重合），過點作，交于點，當面積最大時，求點的坐標；

（3）在（2）的結論下，若點在第一象限，且，線段是否存在最值？如果存在，請直接寫出最值，如果不存在，請說明理由．

4、如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，拋物線經過點，．

（1）求拋物線的解析式．

（2）是拋物線對稱軸上的一點連接，求的最小值．

（3）若為軸正半軸上一動點，過點作直線軸，交直線于點，交拋物線于點，連接，當時，請求出的值．

5、如圖，在平面直角坐標系中，直線與拋物線交于、兩點．

（1）直線總經過定點，請直接寫出該定點的坐標；

（2）點在拋物線上，當時，解決下列問題：

①在直線下方的拋物線上求點，使得的面積等于20；

②連接，，作軸于點，若和相似，請直接寫出點的坐標．

6、如圖1，我們將經過拋物線頂點的所有非豎直的直線，叫做該拋物線的“風車線”，若拋物線的頂點為，則它的所有“風車線”可以統一表示為：，即當時，始終等于．

（1）若拋物線與軸交于點，求該拋物線經過點的“風車線”的解析式；

（2）若拋物線可以通過平移得到，且它的“風車線”可以統一表示為，求該拋物線的解析式；

（3）如圖2，直線與直線交于點，拋物線的“風車線”與直線、分別交于、兩點，若的面積為12，求滿足條件的“風車線”的解析式．

7、如圖1，已知拋物線過點，．

（1）求拋物線的解析式及其頂點的坐標；

（2）設點是軸上一點，當時，求點的坐標；

（3）如圖2．拋物線與軸交于點，點是該拋物線上位于第二象限的點，線段交于點，交軸于點，和的面積分別為、，求的最大值．

8、已知：拋物線經過點和點，與軸交于另一點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點為第四象限內拋物線上的點，連接，．設點的橫坐標為．

①如圖1，當時，求的值；

②如圖2，連接，過點作軸的垂線，垂足為點．過點作的垂線，與射線交于點，與軸交于點．當時，求的值．

9、如圖，拋物線與軸交于，兩點在的右側），且與直線交于，兩點，已知點的坐標為．

（1）求拋物線的函數表達式；

（2）過點的直線與線段交于點，且滿足，與拋物線交于另一點．

①若點為直線上方拋物線上一動點，設點的橫坐標為，當為何值時，的面積最大；

②過點向軸作垂線，交軸于點，在拋物線上是否存在一點，使得，若存在，求出的坐標，若不存在，請說明理由．

10、如圖，拋物線分別交軸于，兩點（點在點的左邊），交軸正半軸于點，過點作的平行線交拋物線于另一點，交軸于點．

（1）如圖（1），．

①直接寫出點的坐標和直線的解析式；

②直線上有兩點，橫坐標分別為，分別過，兩點作軸的平行線交拋物線于，兩點．若以，，四點為頂點的四邊形是平行四邊形，求的值．

（2）如圖（2），若，求的值．

11、如圖，在平面直角坐標系中，拋物線交軸于點，點的坐標為，與軸于交于點．

（1）求此拋物線的解析式；

（2）在拋物線上取點，若點的橫坐標為5，求點的坐標及的度數；

（3）在（2）的條件下，設拋物線對稱軸交軸于點，的外接圓圓心為（如圖，①求點的坐標及的半徑；

②過點作的切線交于點（如圖，設為上一動點，則在點運動過程中的值是否變化？若不變，求出其值；若變化，請說明理由．

12、如圖，二次函數的圖象與軸、軸交于點、、三點，點是拋物線位于一象限內圖象上的一點．

（1）求二次函數的解析式；

（2）作點關于直線的對稱點，求四邊形面積的最大值；

（3）在（2）的條件下，連接線段，將線段繞點逆時針旋轉到，連接交拋物線于點，交直線于點，試求當為直角三角形時點的坐標．

13、如圖所示：二次函數的圖象與軸交于，兩點，與軸交于點，連接，．

（1）求直線的函數表達式；

（2）如圖1，若點為拋物線上線段右側的一動點，連接，．求面積的最大值及相應點的坐標；

（3）如圖2，該拋物線上是否存在點，使得？若存在，請求出所有點的坐標；若不存在，請說明理由．

14、在平面直角坐標系中，拋物線與軸相交于點、，與軸相交于點，拋物線的頂點縱坐標為4．

（1）如圖1，求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點是拋物線第一象限上一點，設點的橫坐標為，連接、、，的面積為，求與的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；

（3）如圖3，在（2）的條件下，過點作軸于點，在上有一點，連接、，與交于點，連接，延長交軸于點，若，點為中點，連接，過點作的垂線，垂足為，延長交于點，求的長．

15、已知拋物線與軸交于，兩點（點在點左邊），與軸交于點．直線經過，兩點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，動點，同時從點出發，點以每秒4個單位的速度在線段上運動，點以每秒個單位的速度在線段上運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也隨之停止運動設運動的時間為秒．

①如圖1，連接，再將線段繞點逆時針旋轉，設點落在點的位置，若點恰好落在拋物線上，求的值及此時點的坐標；

②如圖2，過點作軸的垂線，交于點，交拋物線于點，過點作于，當點運動到線段上時，是否存在某一時刻，使與相似．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．