2021年中考數學壓軸題：三角形

分類綜合專題復習練習

1、已知為直線上一點，為直線上一點，設

.（1）如圖，若點在線段上，點在線段上.①如果

那么，.②求

之間的關系式.（2）是否存在不同于以上②中的之間的關系式？若存在，求出這個關系式，若不存在，請說明理由.2、如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，點M，Q分別是邊AB，BC上的動點（點M不與A，B重合），且MQ⊥BC，過點M作BC的平行線MN，交AC于點N，連接NQ，設BQ為x．

（1）試說明不論x為何值時，總有△QBM∽△ABC；

（2）是否存在一點Q，使得四邊形BMNQ為平行四邊形，試說明理由；

（3）當x為何值時，四邊形BMNQ的面積最大，并求出最大值．

3、在中，于點，于點，連接，將沿直線翻折得到（點與點為對應點），連接，過點作交于點．

（1）如圖1，求證：四邊形為平行四邊形；

（2）如圖2，連接，若，在不添加任何輔助線與字母的情況下，請直接寫出圖2中所有正切值等于2的角．

4、如圖①，和中，，．

（1）則的長為（直接寫出結果）；

（2）如圖②，將繞點順時針旋轉至△，使恰好在線段的延長線上．

①求的長．

②若點是線段的中點，求證：．

5、如圖1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB＝，點D為BC邊上的動點（點D不與點B，C重合）．以D為頂點作∠ADE＝∠B，射線DE交AC邊于點E，過點A作AF⊥AD交射線DE于點F，連接CF．

（1）求證：△ABD∽△DCE；

（2）當DE∥AB時（如圖2），求AE的長；

（3）點D在BC邊上運動的過程中，是否存在某個位置，使得DF＝CF？若存在，求出此時BD的長；若不存在，請說明理由．

6、如圖，在等邊△ABC中，AB＝6cm，動點P從點A出發以lcm/s的速度沿AB勻速運動．動點Q同時從點C出發以同樣的速度沿BC的延長線方向勻速運動，當點P到達點B時，點P、Q同時停止運動．設運動時間為以t（s）．過點P作PE⊥AC于E，連接PQ交AC邊于D．以CQ、CE為邊作平行四邊形CQFE．

（1）當t為何值時，△BPQ為直角三角形；

（2）是否存在某一時刻t，使點F在∠ABC的平分線上？若存在，求出t的值，若不存在，請說明理由；

（3）求DE的長；

（4）取線段BC的中點M，連接PM，將△BPM沿直線PM翻折，得△B′PM，連接AB′，當t為何值時，AB＇的值最小？并求出最小值．

7、在中，點、分別是、的中點，將繞點按順時針方向旋轉一定的角度，連接、．

觀察猜想

（1）如圖①，當時，填空：

①　　；

②直線、所夾銳角為　　；

類比探究

（2）如圖②，當時，試判斷的值及直線、所夾銳角的度數，并說明理由；

拓展應用

（3）在（2）的條件下，若，將繞著點在平面內旋轉，當點落在射線上時，請直接寫出的值．

8、將等邊三角形的邊繞點逆時針旋轉至，記旋轉角為，連接，過點作垂直于直線，垂足為，連接．取邊的中點，連接．

（1）如圖1，當時，的度數為，連接，可求出的值為　　．

（2）當且時，①（1）中的兩個結論是否仍然成立？如果成立，請僅就圖2的情形進行證明；如果不成立，請說明理由；

②當，三點共線時，請直接寫出的值．

9、問題提出：

（1）如圖①，在△ABC中，AD是ABC邊BC的高，點E是BC上任意點，若AD＝3，則AE的最小值為；

（2）如圖②，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE是AC的垂直平分線，分別交BC、AC于點D、E，DE＝1cm，求△ABD的周長；

問題解決：

（3）如圖③，某公園管理員擬在園內規劃一個△ABC區域種植花卉，且為方便游客游覽，欲在各頂點之間規劃道路AB、BC和AC，滿足∠BAC＝90°，點A到BC的距離為2km．為了節約成本，要使得AB、BC、AC之和最短，試求AB+BC+AC的最小值（路寬忽略不計）．

10、如圖，在△ABC中．AB＝AC，點E在線段BC上，連接AE并延長到G，使得EG＝AE，過點G作GD∥BA分別交BC，AC于點F，D．

（1）求證：△ABE≌△GFE；

（2）若GD＝3，CD＝1，求AB的長度；

（3）過點D作DH⊥BC于H，P是直線DH上的一個動點，連接AF，AP，FP，若∠C＝45°，在（2）的條件下，求△AFP周長的最小值．

11、閱讀下面材料，完成（1）﹣（3）題

數學課上，老師出示了這樣一道題：如圖1，△ABC中，∠BAC＝90°，點D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC的平分線與BC相交于點F，BG⊥AF，垂足為G，探究線段BG與AC的數量關系，并證明．同學們經過思考后，交流了自已的想法：

小明：“通過觀察和度量，發現∠BAE與∠DAC相等．”

小偉：“通過構造全等三角形，經過進一步推理，可以得到線段BG與AC的數量關系．”

……

老師：“保留原題條件，延長圖1中的BG，與AC相交于點H（如圖2），可以求出的值．”

（1）求證：∠BAE＝∠DAC；

（2）探究線段BG與AC的數量關系（用含k的代數式表示），并證明；

（3）直接寫出的值（用含k的代數式表示）．

12、如圖1，是正方形邊上的一點，連接、，將繞點逆時針旋轉，旋轉后角的兩邊分別與射線交于點和點．

（1）求證：；

（2）猜想線段，和之間的數量關系，并說明理由．

（3）當四邊形為菱形，點是菱形邊所在直線上的一點，連接、，將繞點逆時針旋轉，旋轉后角的兩邊分別與射線交于點和點．

①如圖2，點在線段上時，請探究線段、和之間的數量關系，寫出結論并給出證明；

②如圖3，點在線段的延長線上時，交射線于點，若，直接寫出線段的長度．

13、在中，，點在射線上運動．連接，將線段繞點順時針旋轉得到，連接．

（1）如圖1，點在點的左側運動．

①當，時，則　　；

②猜想線段，與之間的數量關系為　　．

（2）如圖2，點在線段上運動時，第（1）問中線段，與之間的數量關系是否仍然成立？如果成立，請說明理由；如果不成立，請求出它們之間新的數量關系．

（3）點在射線上運動，設，以，，為頂點的四邊形面積為，請直接寫出與之間的函數關系式（不用寫出的取值范圍）．