第二部分/三、壓軸題

壓軸題(一)

8．(2020·山東德州一模)已知函數f(x)＝若關于x的方程f2(x)＋(1－m)f(x)－m＝0有且只有兩個不同實數根，則m的取值范圍是()

A.B．(－∞，0)∪

C．(－∞，－1)∪(－1,0)∪

D．(－∞，0)∪∪(1,2)

答案　C

解析　當x>0時，f(x)＝，則f′(x)＝，令f′(x)>0，得0e.函數f(x)在(0，e)上單調遞增，在[e，＋∞)上單調遞減，又f(e)＝，畫出函數圖象，如圖所示．f2(x)＋(1－m)f(x)－m＝0，即(f(x)－m)(f(x)＋1)＝0，當f(x)＝－1時，根據圖象知有1個解，故f(x)＝m有1個解，根據圖象知m∈(－∞，－1)∪(－1,0)∪.故選C.12．(多選)(2020·山東大學附屬中學6月模擬檢測)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，如圖，M為CC1上的動點，AM⊥平面α.下面說法正確的是()

A．直線AB與平面α所成角的正弦值范圍為

B．點M與點C1重合時，平面α截正方體所得的截面，其面積越大，周長就越大

C．點M為CC1的中點時，若平面α經過點B，則平面α截正方體所得截面圖形是等腰梯形

D．已知N為DD1的中點，當AM＋MN的和最小時，M為CC1的中點

答案　AC

解析　以點D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系Dxyz，則點A(2，0,0)，B(2,2,0)，設點M(0,2，a)(0≤a≤2)，∵AM⊥平面α，則為平面α的一個法向量，且＝(－2,2，a)，＝(0,2,0)，|cos〈，〉|＝＝＝∈，∴直線AB與平面α所成角的正弦值范圍為，A正確；當M與C1重合時，連接A1D，BD，A1B，AC，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，CC1⊥平面ABCD，∵BD?平面ABCD，∴BD⊥CC1，∵四邊形ABCD是正方形，∴BD⊥AC，∵CC1∩AC＝C，∴BD⊥平面ACC1，∵AC1?平面ACC1，∴AC1⊥BD，同理可證AC1⊥A1D，∵A1D∩BD＝D，∴AC1⊥平面A1BD，易知△A1BD是邊長為2的等邊三角形，其面積為S△A1BD＝×(2)2＝2，周長為2×3＝6.設E，F，Q，N，G，H分別為棱A1D1，A1B1，BB1，BC，CD，DD1的中點，易知六邊形EFQNGH是邊長為的正六邊形，且平面EFQNGH∥平面A1BD，正六邊形EFQNGH的周長為6，面積為6××()2＝3，則△A1BD的面積小于正六邊形EFQNGH的面積，它們的周長相等，B錯誤；設平面α交棱A1D1于點E(b,0,2)，點M(0,2,1)，＝(－2,2,1)，∵AM⊥平面α，DE?平面α，∴AM⊥DE，即·＝－2b＋2＝0，得b＝1，∴E(1,0,2)，∴點E為棱A1D1的中點，同理可知，平面α與棱A1B1的交點F為棱A1B1的中點，則F(2,1,2)，＝(1,1,0)，而＝(2,2,0)，∴＝，∴EF∥DB且EF≠DB，由空間中兩點間的距離公式可得DE＝＝，BF＝＝，∴DE＝BF，∴四邊形BDEF為等腰梯形，C正確；將矩形ACC1A1與矩形CC1D1D展開到一個平面內，如下圖所示：

若AM＋MN最短，則A，M，N三點共線，∵CC1∥DD1，∴＝＝＝2－，∵DN＝1，∴MC＝2－≠CC1，∴點M不是棱CC1的中點，D錯誤．故選AC.16．(2020·新高考卷Ⅰ)某中學開展勞動實習，學生加工制作零件，零件的截面如圖所示．O為圓孔及輪廓圓弧AB所在圓的圓心，A是圓弧AB與直線AG的切點，B是圓弧AB與直線BC的切點，四邊形DEFG為矩形，BC⊥DG，垂足為C，tan∠ODC＝，BH∥DG，EF＝12

cm，DE＝2

cm，A到直線DE和EF的距離均為7

cm，圓孔半徑為1

cm，則圖中陰影部分的面積為________

cm2.答案　4＋

解析　設OB＝OA＝r，如圖，過點A作直線DE和EF的垂線，垂足分別為M，N，AN交CG于點P.由題意知AM＝AN＝7，EF＝12，所以EN＝AM＝7，NF＝EF－EN＝5，又因為DE＝2，PN＝2，所以AP＝AN－PN＝5，又PG＝NF＝5，所以AP＝PG，所以∠AGP＝45°，因為BH∥DG，所以∠AHO＝45°，因為AG與圓弧AB相切于A點，所以OA⊥AG，即△OAH為等腰直角三角形．在Rt△OQD中，OQ＝5－r，DQ＝7－r，因為tan∠ODC＝＝，所以21－r＝25－r，解得r＝2，所以等腰直角三角形OAH的面積為S1＝×2×2＝4，扇形AOB的面積為S2＝××(2)2＝3π，所以陰影部分的面積為S1＋S2－π×12＝4＋.21．已知函數f(x)＝(x2＋2aln

x)．

(1)討論f(x)＝(x2＋2aln

x)，x∈(1，e)的單調性；

(2)若存在x1，x2∈(1，e)(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)<0成立，求a的取值范圍．

解(1)由f(x)＝(x2＋2aln

x)，得

f′(x)＝x＋＝(x>0)，當a≥0時，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在(1，e)上單調遞增；

當a<0時，f′(x)＝0的解為x＝(舍去負值)，若≤1，即a∈[－1,0)，則f(x)在(1，e)上單調遞增；

若≥e，即a∈(－∞，－e2]，則f(x)在(1，e)上單調遞減；

若a∈(－e2，－1)，則f(x)在(1，)上單調遞減，在[，e)上單調遞增．

(2)由(1)可知，當a≤－e2或a≥－1時，函數f(x)在(1，e)上為單調函數，此時不存在x1，x2∈(1，e)(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)<0.當a∈(－e2，－1)時，f(x)在(1，)上單調遞減，在[，e)上單調遞增，所以f(x)在x＝處取得極小值，f(x)極小值＝f()＝(－a＋2aln)＝－a＋aln

(－a)，其中a∈(－e2，－1)，令g(a)＝－a＋aln

(－a)，a∈(－e2，－1)，則g′(a)＝－＋ln

(－a)＋＝ln

(－a)，a∈(－e2，－1)，易得g′(a)>0，所以g(a)在(－e2，－1)上單調遞增，且g(－e)＝0，所以當a∈(－e2，－e)時，f(x)極小值<0，此時存在x1，x2∈(1，e)(x1≠x2)，使得f(x1)＝f(x2)<0.所以a的取值范圍為(－e2，－e)．

22．(2020·河北衡水中學高三質量檢測一)已知橢圓E：＋＝1(a>b>0)以拋物線y2＝8x的焦點為頂點，且離心率為.(1)求橢圓E的方程；

(2)若直線l：y＝kx＋m與橢圓E相交于A，B兩點，與直線x＝－4相交于Q點，P是橢圓E上一點且滿足＝＋(其中O為坐標原點)，試問在x軸上是否存在一點T，使得·為定值？若存在，求出點T的坐標及·的值；若不存在，請說明理由．

解(1)拋物線y2＝8x的焦點坐標為(2,0)，由題意可知a＝2，且e＝＝，所以c＝1，則b＝＝，所以橢圓E的方程為＋＝1.(2)設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯立

消去y并整理得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，由Δ＝(8km)2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝48(4k2－m2＋3)>0，得m2<4k2＋3.由根與系數的關系，得x1＋x2＝－，則y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝，因為＝＋＝(x1＋x2，y1＋y2)＝，所以點P，由于點P在橢圓E上，則2·＋2·＝1，化簡，得4m2＝4k2＋3，則m≠0，且滿足Δ>0.聯立得則點Q(－4，m－4k)，設在x軸上存在一點T(t,0)，使得·為定值，則＝(－4－t，m－4k)，·

＝＝

＝＋為定值，要使·為定值，只需2＝＝為定值，則t＋1＝0，解得t＝－1，因此，在x軸上存在定點T(－1,0)，使得·為定值．