選填題(三)

一、單項選擇題

1．設a為的虛部，b為(1＋i)2的實部，則a＋b＝()

A．－1

B．－2

C．－3

D．0

答案　A

解析　因為＝－i，所以a＝－1，又(1＋i)2＝2i，所以b＝0，所以a＋b＝－1，故選A.2．(2020·山東日照二模)已知A＝{y|y＝log2x，x>1}，B＝，則A∩B＝()

A.B．

C．(0，＋∞)

D．(－∞，0)∪

答案　B

解析　由題意，集合A＝{y|y＝log2x，x>1}＝{y|y>0}，集合B＝＝，所以A∩B＝＝.故選B.3．(2020·全國卷Ⅲ)Logistic模型是常用數學模型之一，可應用于流行病學領域．有學者根據公布數據建立了某地區新冠肺炎累計確診病例數I(t)(t的單位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K為最大確診病例數．當I(t*)＝0.95K時，標志著已初步遏制疫情，則t*約為(ln

19≈3)()

A．60

B．63

C．66

D．69

答案　C

解析　因為I(t)＝，所以I(t*)＝＝0.95K，則e0.23(t*－53)＝19，所以0.23(t*－53)＝ln

19≈3，解得t*≈＋53≈66.故選C.4．已知(ax＋b)6的展開式中x4的系數與x5的系數分別為135與－18，則(ax＋b)6的展開式中所有項的系數之和為()

A．－1

B．1

C．32

D．64

答案　D

解析　由二項展開式的通項公式可知x4的系數為Ca4b2，x5的系數為Ca5b，則由題意可得解得或所以a＋b＝±2，故(ax＋b)6的展開式中所有項的系數之和為(a＋b)6＝64，選D.5．(2020·山東菏澤高三聯考)從1,2,3,4,5中任取兩個不同的數，其中一個作為對數的底數，另一個作為對數的真數，則對數值大于0且小于1的概率是()

A.B．

C．

D．

答案　C

解析　由于1只能作為真數，從其余各數中任取一數為底數，共得到4個對數，其值均為0.從1除外的其余各數中任取兩數分別作為對數的底數和真數，基本事件為(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，共12個，所以基本事件總數為16個，滿足題設條件的事件有(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)，共6個，由古典概型的計算公式得所求事件的概率P＝＝.故選C.6．已知數列{an}滿足an＋1＋(－1)n＋1an＝2，則其前100項和為()

A．250

B．200

C．150

D．100

答案　D

解析　因為an＋1＋(－1)n＋1an＝2，所以a2＋a1＝2，a4＋a3＝2，a6＋a5＝2，…a100＋a99＝2.以上50個等式相加可得，數列{an}的前100項和為2×50＝100.7．(2020·山東聊城二模)我國古代《九章算術》中將上、下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童．如圖的芻童ABCD－EFGH有外接球，且AB＝2，AD＝2，EH＝，EF＝，平面ABCD與平面EFGH間的距離為1，則該芻童外接球的體積為()

A．12π

B．24π

C．36π

D．48π

答案　C

解析　假設O為芻童外接球的球心，連接HF，EG交于點O1，連接AC，DB交于點O2，由球的幾何性質可知O，O1，O2在同一條直線上，連接OB，OG，如圖所示．由題意可知，OO1⊥平面ABCD，OO1⊥平面EFGH，O2O1＝1.設O2O＝r，在Rt△OGO1中，OG2＝OO＋O1G2，在矩形EFGH中，EG＝＝

＝2.O1G＝EG＝.∴OG2＝OO＋O1G2＝(r＋1)2＋()2.在Rt△OBO2中，OB2＝OO＋O2B2，在矩形ABCD中，DB＝＝＝4.O2B＝DB＝2.∴OB2＝OO＋O2B2＝r2＋(2)2.設外接球的半徑OG＝OB＝R，∴(r＋1)2＋()2＝r2＋(2)2，解得r＝1.則OB＝＝3，即R＝3.則該芻童外接球的體積V＝πR3＝π×33＝36π.故選C.8．(2020·山東青島二模)已知圖象連續不斷的函數f(x)的定義域為R，f(x)是周期為2的奇函數，y＝|f(x)|在區間[－1,1]上恰有5個零點，則f(x)在區間[0,2020]上的零點個數為()

A．5050

B．4041

C．4040

D．2020

答案　B

解析　由函數f(x)是定義域為R的奇函數，可得f(0)＝0，f(－1)＋f(1)＝0，又由函數f(x)的圖象連續不斷，且周期為2，所以f(－1)＝f(1)，所以f(－1)＝f(1)＝0.又由y＝|f(x)|在區間[－1,1]上恰有5個零點，可得函數f(x)在區間[－1,0)和(0,1]內各有2個零點，其中f(－1)＝0，f(1)＝0，又因為f(x)的周期為2，所以f(x)在區間(1,2]內有2個零點，其中f(2)＝0，所以函數f(x)在區間(0,2]內有4個零點，所以f(x)在區間[0,2020]上的零點個數為×4＋1＝4041.故選B.二、多項選擇題

9．(2020·山東省實驗中學6月模擬)CPI是居民消費價格指數的簡稱，是一個反映居民家庭一般所購買的消費品和服務項目價格水平變動情況的宏觀經濟指標．同比，一般情況下是今年第n月與去年第n月之比；環比，表示連續2個統計周期(比如連續兩月)內的量的變化比．如圖是根據國家統計局發布的2019年4月～2020年4月我國CPI漲跌幅數據繪制的折線圖，根據該折線圖，則下列說法正確的是()

A．2020年1月CPI同比漲幅最大

B．2019年4月與同年12月相比較，4月CPI環比更大

C．2019年7月至12月CPI一直增長

D．2020年1月至4月CPI只跌不漲

答案　AB

解析　對于A，由同比折線可發現2020年1月CPI同比漲幅最大，故A正確；對于B，由圖可知2019年4月環比漲幅為0.1%,2019年12月為0%，故B正確；對于C,2019年7月至12月CPI不是一直增長的，故C錯誤；對于D,2020年1月至4月CPI有漲有跌，故D錯誤．故選AB.10．(2020·新高考卷Ⅰ)如圖是函數y＝sin(ωx＋φ)的部分圖象，則sin(ωx＋φ)＝()

A．sin

B．sin

C．cos

D．cos

答案　BC

解析　由函數圖象可知＝－＝，則|ω|＝＝＝2，所以A不正確．當x＝＝時，y＝－1，取ω＝2，則2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)，即函數的解析式為y＝sin＝sin＝cos＝sin.而cos＝－cos.故選BC.11．(2020·海南四模)已知數列{an}的首項為4，且滿足2(n＋1)an－nan＋1＝0(n∈N*)，則()

A.為等差數列

B．{an}為遞增數列

C．{an}的前n項和Sn＝(n－1)·2n＋1＋4

D.的前n項和Tn＝

答案　BD

解析　由2(n＋1)an－nan＋1＝0，得＝2×，所以是以＝a1＝4為首項，2為公比的等比數列，故A錯誤；因為＝4×2n－1＝2n＋1，所以an＝n·2n＋1，顯然遞增，故B正確；因為Sn＝1×22＋2×23＋…＋n·2n＋1,2Sn＝1×23＋2×24＋…＋n·2n＋2，所以－Sn＝1×22＋23＋…＋2n＋1－n·2n＋2＝－n·2n＋2，故Sn＝(n－1)×2n＋2＋4，故C錯誤；因為＝＝n，所以的前n項和Tn＝＝，故D正確．故選BD.12．(2020·山東聊城一模)已知直線l：2kx－2y－kp＝0與拋物線C：y2＝2px(p>0)相交于A，B兩點，點M(－1，－1)是拋物線C的準線與以AB為直徑的圓的公共點，則下列結論正確的是()

A．p＝2

B．k＝－2

C．|AB|＝5

D．△MAB的面積為5

答案　ABC

解析　由題意知，拋物線C的準線為x＝－1，即＝1，解得p＝2，故A正確；因為p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x，其焦點為F(1,0)，又直線l：2kx－2y－kp＝0，即y＝k(x－1)，所以直線l恒過拋物線的焦點F(1,0)．設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，因為A，B兩點在拋物線C上，聯立方程兩式相減可得，＝＝k，設AB的中點為Q(x0，y0)，則y0＝，因為點Q(x0，y0)在直線l上，所以x0＝＋1，所以點Q是以AB為直徑的圓的圓心，由拋物線的定義知，圓Q的半徑r＝＝＝＝＋2，因為|QM|2＝2＋2＝r2，所以2＋2＝2，解得k＝－2，故B正確；因為k＝－2，所以弦長|AB|＝2r＝2＝2×＝5，故C正確；因為k＝－2，所以直線l的方程為y＋2(x－1)＝0，由點到直線的距離公式可得，點M到直線l的距離為d＝＝，所以S△MAB＝·d·|AB|＝××5＝，故D錯誤．故選ABC.三、填空題

13．(2020·海南中學高三第七次月考)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝，a⊥(a＋b)，則a與b夾角的大小是________．

答案

解析　由a⊥(a＋b)得，a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0，據此可得a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－a2，∴cos〈a，b〉＝－＝－，又a與b的夾角的取值范圍為[0，π]，故a與b的夾角為.14．(2020·貴陽高三6月適應性考試二)曲線y＝＋2在x＝1處的切線方程為________．

答案　x－y＋1＝0

解析　當x＝1時，y＝＋2＝2，∵y′＝＝，∴y′|x＝1＝＝1，則曲線y＝＋2在x＝1處的切線方程為y－2＝1·(x－1)，即x－y＋1＝0.15．(2020·福建高三畢業班質量檢查測試)設△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若＋＝，cosC＝，a2＋b2＝68，則△ABC的面積為________．

答案

解析　由＋＝，得＝，即＝，所以＝a，即c＝ab，又a2＋b2＝68，cosC＝，所以c2＝a2＋b2－2abcosC＝68－2c×，即2c2＋c－136＝0，解得c＝8或c＝－(舍去)，所以ab＝8，又sinC＝＝，所以△ABC的面積S△ABC＝absinC＝.16.如圖，記橢圓＋＝1，＋＝1內部重疊區域的邊界為曲線C，P是曲線C上的任意一點，給出下列四個命題：

①P到F1(－4,0)，F2(4,0)，E1(0，－4)，E2(0,4)四點的距離之和為定值；

②曲線C關于直線y＝x，y＝－x均對稱；

③曲線C所圍區域的面積必小于36；

④曲線C的總長度不大于6π.其中正確命題的序號為________．

答案　②③

解析　對于①，若點P在橢圓＋＝1上，P到F1(－4，0)，F2(4,0)兩點的距離之和為定值，到E1(0，－4)，E2(0,4)兩點的距離之和不為定值，故①錯誤；對于②，聯立兩個橢圓的方程，得得y2＝x2，結合橢圓的對稱性知，曲線C關于直線y＝x，y＝－x均對稱，故②正確；對于③，曲線C所圍區域在邊長為6的正方形內部，所以其面積必小于36，故③正確；對于④，曲線C所圍區域的內切圓為半徑為3的圓，所以曲線C的總長度必大于圓的周長6π，故④錯誤．