第一篇：2013年安徽省中考數學壓軸題賞析

2013年安徽省中考數學壓軸題賞析

安徽省太湖縣晉熙中學（246400）朱記松汪本若

郵箱：ahthzys@163.com

一、原題呈現(xiàn)

我們把由不平行于底邊的直線截等腰三角形的兩腰所得的四邊形稱為“準等腰梯形”。如圖1，四邊形ABCD即為“準等腰梯形”。其中∠B=∠C。

（1）在圖1所示的“準等腰梯形”ABCD中，選擇合適的一個頂點引一條直線將四邊形ABCD分割成一個等腰梯形和一個三角形或分割成一個等腰三角形和一個梯形（畫出一種示意圖即可）。

（2）如圖2，在“準等腰梯形”ABCD中，∠B=∠C，E為邊BC上一點，若AB∥DE，AE∥DC，求證：AB?BE。

DCEC

（3）在由不平行于BC的直線截ΔPBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點E，若EB=EC，請問當點E在四邊形ABCD內部時（即圖3所示情形），四邊形ABCD是不是“準等腰梯形”，為什么？若點E不在四邊形ABCD內部時，情況又將如何？寫出你的結論（不必說明理由）

第23題圖1第23題圖2第23題圖

3二、試題解答

（1）如圖所示：（畫出其中一種即可）

第23題（1）答案圖

（2）證明：∵ AE∥CD，∴∠AEB＝∠C，又∵AB∥ED，∴∠B＝∠DEC，∴ △ABE∽△DCE。即：AEBE。=CDEC

ABBE。=CDEC又∠B=∠C，∴△ABE為等腰三角形，AB=AE。故

（3）解：過點分別作EF⊥AB，EG⊥AD，EH⊥CD，垂足分別為F，G，H（如圖）

第23題（3）答案圖

∵AE平分∠BAD，∴EF=EG。

又ED平分∠ADC，∴EG=EH，∴EF=EH，又∵EB=EC，∴Rt△BFE≌Rt△CHE，∴∠3=∠4，又∵EB=EC，∴∠1=∠2，∴∠1+∠3=∠4+∠2，即∠ABC=∠DCB。

又∵四邊形ABCD為AD截某三角形所得，且AD不平行BC，∴四邊形ABCD為“準等腰梯形”。

當點E不在四邊形ABCD內部時，有兩種情況：

當E點在邊BC上時，四邊形ABCD是“準等腰梯形”，如下圖（1）示：

EB =3.0厘

2米

EC =3.0厘2米

?BAE =5 1.2°9

?EAD =5 1.2°9

?ADE =6 8.7°6

?EDC =6 8.7°6

?ABC =5 9.9°

4?DCB =5 9.9°4

B

圖（1）

當E點在四邊形ABCD外時，四邊形ABCD不一定是“準等腰梯形”，如圖（2）（3）示，圖（2）中的四邊形ABCD不是“準等腰梯形”；圖（3）中的四邊形ABCD是“準等腰梯形”。

?BAE = 53.96°

?EAD = 53.96°

?ADE = 68.98°

?EDC = 68.98°

EC = 4.06厘米

BE = 4.06厘米

?ABC = 55.52°

?BCP = 58.59°

圖（2）圖（3）

三、深入研究

(一）規(guī)律探究

通過上述解析，我們發(fā)現(xiàn)，由于E點所處的位置在∠BPC的平分線上不能唯一確定，滿足“在由不平行于BC的直線截ΔPBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點E，若EB=EC”的條件下的四邊形ABCD不一定是“準等腰梯形”。它何時為“準等

腰梯形”引發(fā)了筆者的思考。筆者經過探究發(fā)現(xiàn)：連接PE，無論E點在四邊形ABCD內，或邊BC上，或四邊形ABCD外，若∠BPC的平分線PE⊥BC，則四邊形ABCD是“準等腰梯形”。具體分析如下：

1、若PE⊥BC，無論E點在四邊形ABCD內部，如圖1—1；或 E點在邊BC上，如圖1—2所示；或E點在四邊形ABCD外部，如圖1—3所示。由∠BAD與∠ADC的平分線交于點E，則PE為∠BPC的平分線。因為PE為BC的垂直平分線，由軸對稱可知∠ABC=∠DCB。又∵四邊形ABCD為AD截某三角形所得，且AD不平行BC，∴四邊形ABCD為“準等腰梯形”。

B

圖1—1圖1—

2B

圖1—3圖1—

42、若PE不與BC垂直，如圖1—4所示，根據角的軸對稱性可以作ΔPBM關于射線PM的對稱圖形ΔPNM，因∠NMC≠0，則NC≠0，即B、C不重合，∠ABC≠∠BCD。四邊形ABCD不是“準等腰梯形”。

綜上所述，在由不平行于BC的直線截ΔPBC所得的四邊形ABCD中，∠BAD與∠ADC的平分線交于點E，EB=EC，若直線PE⊥BC，則四邊形ABCD是“準等腰梯形”。

（二）追根溯源

掩卷長思，不禁想起安徽省2008年中考試題的第22題，它們竟然如此相似，其本質是一樣的，為了便于比較，特將原題摘錄如下：

（2008 安徽）已知：點O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等，且OB=OC。

（1）如圖1，若點O在邊BC上，求證：AB=AC。

第22題圖1第22題圖

2（2）如圖2，若點O在△ABC的內部，求證：AB=AC。

（3）若點O在△ABC的外部，AB=AC成立嗎？請畫圖表示。

經過比較，發(fā)現(xiàn)這兩道的本質是一致的，主要表現(xiàn)在：

1、已知的條件是一致的。

由（2008年第22題）的已知條件“O到△ABC的兩邊AB、AC所在直線的距離相等且OB=OC”，可以得到點O既在∠A（或∠A的鄰補角）的平分線上，又在線段BC的垂直平分線上；由（2013年第23題）的已知條件“∠BAD與∠ADC的平分線交于點E，EB=EC”亦可得出E點在∠BPC的角平分線上，又在線段BC的垂直平分線上。

2、設置的問題是一致的。

（2008年第22題）設置了三個問題，根據O點的三種不同位置，探索AB、AC之間的數量關系；（2013年第23題）同樣是根據E點的三種不同位置，探索∠ABC、∠BCD之間的數量關系，即轉化成探索PA、PB之間的數量關系。

3、分析的思路是一致的。都要運用分類討論的數學思想。

4、隱含的規(guī)律是一致的。（2008年第22題）無論O點是在三角形內，或BC邊上，或三角形外，AB=AC成立的條件是“∠BAC平分線O A⊥BC”；（2013年第23題）無論E點在四邊形ABCD內，或在邊BC上，或在四邊形ABCD外，四邊形ABCD為“準等腰梯形”的條件是∠BPC的平分線PE⊥BC。

或許有老師說，前五年的中考題再次走進中考考場，這公平嗎？

其實不然，這道題還確實體現(xiàn)了中考的公平。理由是：“準等腰梯形”是一個新的幾何圖形的定義，幾乎所有的教輔資料上都沒有見過，屬于原創(chuàng)，且表述簡潔，明了能較好地考察學生自主閱讀、自主學習新知識、并運用新知識分析并解決一些簡單問題的能力，這正是新課標所倡導的；考察了核心知識和基本的數學思想，關注了學生的基本經驗，緊扣課程標準，試題不偏不難，也沒有繁雜的推理和計算，尤其值得一提的是，該題第（1）、（2）小問比較基礎，只要學生平時認真學了，絕大部分考生都可以得到一定的分數，從這個角度看，作為本卷的壓軸題同樣也體現(xiàn)了中考命題的公平公正。

四、幾點啟示

1、平時教學中，要引導學生用聯(lián)系的觀點看問題，尤其在復習的過程中，要將相關知識點進行有機整合，串聯(lián)起來，建立知識網絡，形成能力；

2、加強例習題的教學，挖掘出例習題所蘊含的基本數學思想和方法，引導學生進行解題后的反思。做到在解題中訓練，在反思中欣賞，在欣賞中提升；

3、應加強對課標，考題的研究。教師研究的范圍要廣，不僅要研究它考查的內容，考察的深度，難度及解題思路，還應加強對考題的變式研究，提倡“陳題新編，陳題新做”，切忌“拿來主義”，用研究的成果來指導教學實踐，使教學的針對性更強，訓練的效果更好。

第二篇：中考數學壓軸題整理

【運用相似三角形特性解題，注意分清不同情況下的函數會發(fā)生變法，要懂得分情況討論問題】

【分情況討論，抓住特殊圖形的面積，多運用勾股定理求高，構造梯形求解】

【出現(xiàn)邊與邊的比，構造相似求解】

【當圖形比較復雜的時候，要學會提煉出基礎圖形進行分析，如此題中可將兩個三角形構成的平行四邊形提取出來分析，出現(xiàn)兩個頂點，結合平行四邊形性質和函數圖像性質，找出不變的量，如此題中N點的縱坐標不變，為-3，為突破口從而求解】

已知△ABC是等邊三角形．

（1）將△ABC繞點A逆時針旋轉角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直線相交于點O．

①如圖a，當θ=20°時，△ABD與△ACE是否全等？（填“是”或“否”），∠BOE=度；

②當△ABC旋轉到如圖b所在位置時，求∠BOE的度數；

【旋轉，平移，軸對稱的題目，要將動態(tài)轉化為靜態(tài)求解，運用全等和相似的方法】

【通過旋轉把條件進行轉移，利用與第一題相同的方法做輔助線，采用構造直角三角形的方法求解】

如下數表是由從1開始的連續(xù)自然數組成，觀察規(guī)律并完成各題的解答．

（1）表中第8行的最后一個數是_________，它是自然數_______的平方，第8行共有________個數；

（2）用含n的代數式表示：第n行的第一個數是_______，最后一個數是_________，第n行共有個數__________；

（3）求第n行各數之和．

【利用三角函數求解】

如圖所示，已知A點從（1，0）點出發(fā)，以每秒1個單位長的速度沿著x軸的正方向運動，經過t秒后，以O、A為頂點作菱形OABC，使B、C點都在第一象限內，且∠AOC=60°，又以P（0，4）為圓心，PC為半徑的圓恰好與OA所在的直線相切，則t=_____________．

【提取基礎圖形，此題將三角形提取出來，構造直角三角形，利用30°所對的邊是斜邊的一半，設未知數求解】

【要求是否能構造成直角三角形，構造包含欲求三角形的三邊的另外三個直角三角形，利用勾股定理求出三條邊，再運用勾股定理，分三種情況求解】

如圖，正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合，將△AEF繞頂點A旋轉，在旋轉過程中，當BE=DF時，∠BAE的大小可以是___________．

當遇到求是否構成等腰三角形，等邊三角形，等腰直角三角形，直角三角形時，在坐標軸中，設未知數求解；如設點A為（x,y）或設點A為（0，m），多尋找可用相似表示的邊，運用相似的面積比，周長比，高之比，邊之比求解

求坐標軸上有多少個圖形能夠構成面積為多少，周長為多少的三角形四邊形等時，注意坐標點可能在正半軸或負半軸，注意加絕對值符號，計算多邊形面積可采用割補法

第三篇：如何應對中考數學壓軸題

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如何應對中考數學壓軸題

作者：玉孔總

來源：《中學教學參考·理科版》2013年第07期

近幾年的中考試題，一些題型靈活、設計新穎、富有創(chuàng)意的壓軸題涌現(xiàn)出來，其中一類以平移、旋轉、翻折等圖形變換為解題思路的題目更是成為中考壓軸大戲的主角.以圖形運動中的函數關系問題為例，這部分壓軸題的主要特征是在圖形運動變化的過程中，探求兩個變量之間的函數關系.現(xiàn)談談筆者十年來指導中考復習的一些感悟.一、解數學壓軸題的策略

解數學壓軸題可分為五個步驟：1.認真默讀題目，全面審視題目的所有條件和答題要求，注意挖掘隱蔽的條件和內在聯(lián)系，理解好題意；2.利用重要數學思想探究解題思路；3.選擇好解題的方法正確解答；4.做好檢驗工作，完善解題過程；5.當思維受阻、思路難覓時，要及時調整思路和方法，并重新審視題意，既要防止鉆牛角尖，又要防止輕易放棄.二、解動態(tài)幾何壓軸題的策略

近幾年的數學中考試卷中都是以函數和幾何圖形的綜合作為壓軸題，用到圓、三角形和四邊形等有關知識，方程與圖形的綜合也是常見的壓軸題.動態(tài)幾何問題是一種新題型，在圖形的變換過程中，探究圖形中某些不變的因素，把操作、觀察、探求、計算和證明融合在一起.動態(tài)幾何題解決的策略是：把握運動規(guī)律，尋求運動中的特殊位置；在“動”中求“靜”，在“靜”中探求“動”的一般規(guī)律.通過探索、歸納、猜想，獲得圖形在運動過程中是否保留或具有某種性質.簡析：本題是一個雙動點問題，是中考動態(tài)問題中出現(xiàn)頻率最高的題型，這類題的解題策略是化動為靜，注意運用分類思想.三、巧用數學思想方法解分類討論型壓軸題

數學思想和方法是數學的靈魂，是知識轉化為能力的橋梁.近幾年的各省市中考數學試題，越來越注重數學思想和數學方法的考查，這已成為大家的共識，為幫助讀者更好地理解和掌握常用的基本數學思想和數學方法，特用一例說明.

第四篇：2013中考數學壓軸題四個解題技巧

2013中考數學壓軸題四個解題技巧

各類題型的中考數學壓軸題在近幾年的中考中慢慢涌現(xiàn)出來，比如設計新穎、富有創(chuàng)意的，還有以平移、旋轉、翻折等圖形變換為解題思路的。中考數學壓軸題，解題需找好四大切入點。

切入點一：做不出、找相似，有相似、用相似

壓軸題牽涉到的知識點較多，知識轉化的難度較高。學生往往不知道該怎樣入手，這時往往應根據題意去尋找相似三角形。【查看：歷年中考數學試題】

切入點二：構造定理所需的圖形或基本圖形

在解決問題的過程中，有時添加輔助線是必不可少的。對于北京中考來說，只有一道很簡單的證明題是可以不用添加輔助線的，其余的全都涉及到輔助線的添加問題。中考對學生添線的要求還是挺高的，但添輔助線幾乎都遵循這樣一個原則：構造定理所需的圖形或構造一些常見的基本圖形。

切入點三：緊扣不變量，并善于使用前題所采用的方法或結論》》》2012中考數學知識點

在圖形運動變化時，圖形的位置、大小、方向可能都有所改變，但在此過程中，往往有某兩條線段，或某兩個角或某兩個三角形所對應的位置或數量關系不發(fā)生改變。

切入點四：在題目中尋找多解的信息

圖形在運動變化，可能滿足條件的情形不止一種，也就是通常所說的兩解或多解，如何避免漏解也是一個令考生頭痛的問題，其實多解的信息在題目中就可以找到，這就需要我們深度的挖掘題干，實際上就是反復認真的審題。

總之，中考數學壓軸題的切入點有很多，考試時并不是一定要找到那么多，往往只需找到一兩個就行了，關鍵是找到以后一定要敢于去做。有些同學往往想想覺得不行就放棄了，其實絕大多數的題目只要想到上述切入點，認真做下去，問題基本都可以得到解決。

第五篇：中考數學壓軸題破解方法

中考數學壓軸題破解方法

近幾年的中考，一些題型靈活、設計新穎、富有創(chuàng)意的壓軸試題涌現(xiàn)出來，其中一類以平移、旋轉、翻折等圖形變換為解題思路的題目更是成為中考壓軸大戲的主角。不過這些傳說中的主角，并沒有大家想象的那么神秘，只是我們需要找出這些壓軸題目的切入點。切入點一：構造定理所需的圖形或基本圖形

在解決問題的過程中，有時添加輔助線是必不可少的。對于北京中考來說，只有一道很簡單的證明題是可以不用添加輔助線的，其余的全都涉及到輔助線的添加問題。中考對學生添線的要求還是挺高的，但添輔助線幾乎都遵循這樣一個原則：構造定理所需的圖形或構造一些常見的基本圖形。

切入點二：做不出、找相似，有相似、用相似

壓軸題牽涉到的知識點較多，知識轉化的難度較高。學生往往不知道該怎樣入手，這時往往應根據題意去尋找相似三角形。

切入點三：緊扣不變量，并善于使用前題所采用的方法或結論

在圖形運動變化時，圖形的位置、大小、方向可能都有所改變，但在此過程中，往往有某兩條線段，或某兩個角或某兩個三角形所對應的位置或數量關系不發(fā)生改變。切入點四：在題目中尋找多解的信息

圖形在運動變化，可能滿足條件的情形不止一種，也就是通常所說的兩解或多解，如何避免漏解也是一個令考生頭痛的問題，其實多解的信息在題目中就可以找到，這就需要我們深度的挖掘題干，實際上就是反復認真的審題。

總之，問題的切入點很多，考試時也不是一定要找到那么多，往往只需找到一兩個就行了，關鍵是找到以后一定要敢于去做。有些同學往往想想覺得不行就放棄了，其實絕大多數的題目只要想到上述切入點，認真做下去，問題基本都可以得到解決。