第一篇：中考壓軸題的教學策略論文

每年初中數學中考，一般都把試題分為基礎題，中檔題以及難題。近年初中數學中考中，填空題，選擇題，解答題的最后一題都是拉分題，難題不突破學生是很難取得中考好成績的。

初中數學中考中的難題主要有以下幾種：

1、思維要求有一定深度或技巧性較強的題目。

2、題意新或解題思路新的題目。

3、探究性或開放性的數學題。

針對不同題型要有不同的教學策略，無論解哪種題型的數學題，都要求學生有一定的數學基礎知識和基本的解題技能（對數學概念的較好理解，對定理公式的理解，對定理公式的證明的理解。能很熟練迅速地解答出直接運用定理公式的基礎題），所以對學生進行“雙基”訓練是很必要的。當然，初三畢業復習第一階段都是進行“雙基”訓練，但要使學生對數學知識把握得深化和基本技能得到強化，復習效果才好。

我認為可以將初中中考中的難題分以下幾類進行專題復習：

第一類：綜合多個知識點或需要一定解題技巧才能解的難題。

這類難題的教學關鍵要求學生運用分析和綜合的方法，運用一些數學思想和方法，以及一定的解題技巧來解答。

例1某省公路建設發展速度越來越快，通車總里程已位居全國第一，公路的建設促進了廣大城鄉客運的發展。某市擴建了市縣際公路，運輸公司根據實際需要計劃購買大，中兩型客車共10輛，大型客車每輛價格為25萬元，中型客車每輛價格為15萬元。

（1）設購買大型客車x（輛），購車總費用為y（萬元），求y與x之間的函數表達式。

（2）若購車資金為180萬元—200萬元（180萬元和200萬元），那么有幾種購車方案？在確保交通安全的前提下，根據客流量調查，大型客車不少于4輛，此時如何確定購車方案可使該運輸公司購車費用最少。

解：

（1）y=25+15（10—x）=10x+150。

（2）有題意，得10x+150180，10x+150200，解得3x5，x是非負整數，x=3，4，5。

共有三種購車方案：

第一種：大型客車3輛，中型客車7輛，不合題意。

第二種：大型客車4輛，中型客車6輛。

第三種：大型客車5輛，中型客車5輛。

第二種方案的購車費用為254+156=190（萬元）。

第三種方案的購車費用為254+155=200（萬元）。

即符合客流量要求并且購車費用較少的購車方案是購買大型客車4輛，中型客車6輛。

第二類：新題型（近年全國各地初中中考中才出現的題型）。

（2006 寧夏卷）為了提高土地的利用率，將小麥，玉米，黃豆三種農作物套種在一起，俗稱“三種三收”，這樣的種植方法可將土地每畝的總產量提高40%。下面是這三種農作物的畝產量，銷售單價及種植成本的對應表：

現將面積為10畝的一塊農田進行“三種三收”套種，為保證主要農作物的種植比例，要求小麥的種植面積占種植面積的一半。

（1）設玉米的種植面積為x畝，三種農作物的總銷售價為y元，寫出y與x的函數關系式。

（2）在保證小麥種植面積不變的情況下，玉米，黃豆的種植面積均不得低于一畝，且兩種農作物均以整畝數種植，三種農作物套種的種植畝數，有哪幾種種植方案？

（3）在（2）中的種植方案中，采用哪種套種方案，才能使總銷售價最高？最高價是多少？

（4）在（2）中的種植方案中，采用哪種套種方案，才能使總利潤最大？最大利潤是多少？（總利潤=總銷售單價—總成本）

解析：此題信息量較大，數量關系較復雜，因此需仔細閱讀，分析，弄清楚各種數量關系，才能找到解決問題的方法。

解（1）y=[5*400*2+x*680+（5—x）250*2。6]*1.4

（2）方案如下。

（3）根據函數關系式可知，隨的增大而增大，所以采用方案四，即小麥5畝，玉米4畝，黃豆1畝，可使總銷售價最高，最高價為10318元。

（2）總成本c與x的函數關系式為c=5*200+x*130+50*（5—x）=80x+1250，總利潤與的函數關系式為y—c=42x+10150—（80x+1250）=—38x+8900。

（3）根據函數關系式可得，采用方案一：即小麥5畝，玉米1畝，黃豆4畝，可使總銷售價最高，最高價為8862元。

可能我們都有這樣的經驗：我們講解難題的時候，學生都能理解，但讓學生再做另外一些難題的時候，學生又做不出來。這是因為，我們只是把結果告訴學生，學生解題的思維方式沒有得到訓練。在難題的教學中，我們不能只把結論告訴學生，更重要的是要讓學生知道解題的思維方式，我們不要急于把題目的解法告訴學生，應當引導學生自己去解題，在解題的過程中尋找解題思路以及訓練思維能力和創新能力，這也是新課標的要求。我們應當把教學重點放在訓練學生解題的思路上，在引導學生尋找解題思路的這一過程之中，使學生找到開鎖的鑰匙。

第二篇：中考數學壓軸題整理

【運用相似三角形特性解題，注意分清不同情況下的函數會發生變法，要懂得分情況討論問題】

【分情況討論，抓住特殊圖形的面積，多運用勾股定理求高，構造梯形求解】

【出現邊與邊的比，構造相似求解】

【當圖形比較復雜的時候，要學會提煉出基礎圖形進行分析，如此題中可將兩個三角形構成的平行四邊形提取出來分析，出現兩個頂點，結合平行四邊形性質和函數圖像性質，找出不變的量，如此題中N點的縱坐標不變，為-3，為突破口從而求解】

已知△ABC是等邊三角形．

（1）將△ABC繞點A逆時針旋轉角θ（0°＜θ＜180°），得到△ADE，BD和EC所在直線相交于點O．

①如圖a，當θ=20°時，△ABD與△ACE是否全等？（填“是”或“否”），∠BOE=度；

②當△ABC旋轉到如圖b所在位置時，求∠BOE的度數；

【旋轉，平移，軸對稱的題目，要將動態轉化為靜態求解，運用全等和相似的方法】

【通過旋轉把條件進行轉移，利用與第一題相同的方法做輔助線，采用構造直角三角形的方法求解】

如下數表是由從1開始的連續自然數組成，觀察規律并完成各題的解答．

（1）表中第8行的最后一個數是_________，它是自然數_______的平方，第8行共有________個數；

（2）用含n的代數式表示：第n行的第一個數是_______，最后一個數是_________，第n行共有個數__________；

（3）求第n行各數之和．

【利用三角函數求解】

如圖所示，已知A點從（1，0）點出發，以每秒1個單位長的速度沿著x軸的正方向運動，經過t秒后，以O、A為頂點作菱形OABC，使B、C點都在第一象限內，且∠AOC=60°，又以P（0，4）為圓心，PC為半徑的圓恰好與OA所在的直線相切，則t=_____________．

【提取基礎圖形，此題將三角形提取出來，構造直角三角形，利用30°所對的邊是斜邊的一半，設未知數求解】

【要求是否能構造成直角三角形，構造包含欲求三角形的三邊的另外三個直角三角形，利用勾股定理求出三條邊，再運用勾股定理，分三種情況求解】

如圖，正方形ABCD與正三角形AEF的頂點A重合，將△AEF繞頂點A旋轉，在旋轉過程中，當BE=DF時，∠BAE的大小可以是___________．

當遇到求是否構成等腰三角形，等邊三角形，等腰直角三角形，直角三角形時，在坐標軸中，設未知數求解；如設點A為（x,y）或設點A為（0，m），多尋找可用相似表示的邊，運用相似的面積比，周長比，高之比，邊之比求解

求坐標軸上有多少個圖形能夠構成面積為多少，周長為多少的三角形四邊形等時，注意坐標點可能在正半軸或負半軸，注意加絕對值符號，計算多邊形面積可采用割補法

第三篇：2018年中考二次函數壓軸題

2018年中考二次函數壓軸題匯編

2．如圖1，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于C點，點P是拋物線上在第一象限內的一個動點，且點P的橫坐標為t．

（1）求拋物線的表達式；

（2）設拋物線的對稱軸為l，l與x軸的交點為D．在直線l上是否存在點M，使得四邊形CDPM是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）如圖2，連接BC，PB，PC，設△PBC的面積為S． ①求S關于t的函數表達式；

②求P點到直線BC的距離的最大值，并求出此時點P的坐標．

3．如圖，拋物線y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）與x軸交于A、B兩點，拋物線上另有一點C在x軸下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求線段OC的長度；

（2）設直線BC與y軸交于點M，點C是BM的中點時，求直線BM和拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，直線BC下方拋物線上是否存在一點P，使得四邊形ABPC面積最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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4．如圖，拋物線y=ax2+bx（a＜0）過點E（10，0），矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點A在點B的左邊），點C，D在拋物線上．設A（t，0），當t=2時，AD=4．（1）求拋物線的函數表達式．

（2）當t為何值時，矩形ABCD的周長有最大值？最大值是多少？

（3）保持t=2時的矩形ABCD不動，向右平移拋物線．當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G，H，且直線GH平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離．

5．如圖，點P為拋物線y=x2上一動點．

（1）若拋物線y=x2是由拋物線y=（x+2）2﹣1通過圖象平移得到的，請寫出平移的過程；

（2）若直線l經過y軸上一點N，且平行于x軸，點N的坐標為（0，﹣1），過點P作PM⊥l于M．

①問題探究：如圖一，在對稱軸上是否存在一定點F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出點F的坐標：若不存在，請說明理由．

②問題解決：如圖二，若點Q的坐標為（1，5），求QP+PF的最小值．

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6．已知直線y=x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=x2+bx+c經過A、B兩點，點M在線段OA上，從O點出發，向點A以每秒1個單位的速度勻速運動；同時點N在線段AB上，從點A出發，向點B以每秒速運動，連接MN，設運動時間為t秒（1）求拋物線解析式；

（2）當t為何值時，△AMN為直角三角形；

（3）過N作NH∥y軸交拋物線于H，連接MH，是否存在點H使MH∥AB，若存在，求出點H的坐標，若不存在，請說明理由．

個單位的速度勻

7．如圖，拋物線經過原點O（0，0），點A（1，1），點（1）求拋物線解析式；

．

（2）連接OA，過點A作AC⊥OA交拋物線于C，連接OC，求△AOC的面積；（3）點M是y軸右側拋物線上一動點，連接OM，過點M作MN⊥OM交x軸于點N．問：是否存在點M，使以點O，M，N為頂點的三角形與（2）中的△AOC相似，若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

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8．如圖，已知二次函數y=ax2+1（a≠0，a為實數）的圖象過點A（﹣2，2），一次函數y=kx+b（k≠0，k，b為實數）的圖象l經過點B（0，2）．（1）求a值并寫出二次函數表達式；（2）求b值；

（3）設直線l與二次函數圖象交于M，N兩點，過M作MC垂直x軸于點C，試證明：MB=MC；

（4）在（3）的條件下，請判斷以線段MN為直徑的圓與x軸的位置關系，并說明理由．

9．如圖，已知拋物線y=ax2+x+4的對稱軸是直線x=3，且與x軸相交于A，B兩點（B點在A點右側）與y軸交于C點．（1）求拋物線的解折式和A、B兩點的坐標；

（2）若點P是拋物線上B、C兩點之間的一個動點（不與B、C重合），則是否存在一點P，使△PBC的面積最大．若存在，請求出△PBC的最大面積；若不存在，試說明理由；

（3）若M是拋物線上任意一點，過點M作y軸的平行線，交直線BC于點N，當MN=3時，求M點的坐標．

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10．已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與坐標軸分別交于點A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），點P是線段AB上方拋物線上的一個動點．（1）求拋物線的解析式；

（2）當點P運動到什么位置時，△PAB的面積有最大值？

（3）過點P作x軸的垂線，交線段AB于點D，再過點P做PE∥x軸交拋物線于點E，連結DE，請問是否存在點P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

11．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2﹣x﹣4與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．（1）求點A，B，C的坐標；

（2）點P從A點出發，在線段AB上以每秒2個單位長度的速度向B點運動，同時，點Q從B點出發，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動．設運動時間為t秒，求運動時間t為多少秒時，△PBQ的面積S最大，并求出其最大面積；

（3）在（2）的條件下，當△PBQ面積最大時，在BC下方的拋物線上是否存在點M，使△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．

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12．綜合與探究 如圖，拋物線y=

x﹣4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，連接AC，BC．點P是第四象限內拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為m，過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，PM交BC于點Q，過點P作PE∥AC交x軸于點E，交BC于點F．（1）求A，B，C三點的坐標；

（2）試探究在點P運動的過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請直接寫出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）請用含m的代數式表示線段QF的長，并求出m為何值時QF有最大值．

13．已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（0，2）．（1）若點（﹣，0）也在該拋物線上，求a，b滿足的關系式；

（2）若該拋物線上任意不同兩點M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當x1＜x2＜0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當0＜x1＜x2時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點O為心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B，C，且△ABC有一個內角為60°．

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①求拋物線的解析式；

②若點P與點O關于點A對稱，且O，M，N三點共線，求證：PA平分∠MPN． 14．如圖，已知拋物線y=ax2+bx與x軸分別交于原點O和點F（10，0），與對稱軸l交于點E（5，5）．矩形ABCD的邊AB在x軸正半軸上，且AB=1，邊AD，BC與拋物線分別交于點M，N．當矩形ABCD沿x軸正方向平移，點M，N位于對稱軸l的同側時，連接MN，此時，四邊形ABNM的面積記為S；點M，N位于對稱軸l的兩側時，連接EM，EN，此時五邊形ABNEM的面積記為S．將點A與點O重合的位置作為矩形ABCD平移的起點，設矩形ABCD平移的長度為t（0≤t≤5）．

（1）求出這條拋物線的表達式；（2）當t=0時，求S△OBN的值；

（3）當矩形ABCD沿著x軸的正方向平移時，求S關于t（0＜t≤5）的函數表達式，并求出t為何值時，S有最大值，最大值是多少？

15．如圖，已知拋物線經過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點，點D與點C關于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P做x軸的垂線l交拋物線于點Q，交直線BD于點M．（1）求該拋物線所表示的二次函數的表達式；

（2）已知點F（0，），當點P在x軸上運動時，試求m為何值時，四邊形DMQF是平行四邊形？

（3）點P在線段AB運動過程中，是否存在點Q，使得以點B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

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16．如圖，拋物線y=ax2﹣5ax+c與坐標軸分別交于點A，C，E三點，其中A（﹣3，0），C（0，4），點B在x軸上，AC=BC，過點B作BD⊥x軸交拋物線于點D，點M，N分別是線段CO，BC上的動點，且CM=BN，連接MN，AM，AN．（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；

（2）當△CMN是直角三角形時，求點M的坐標；（3）試求出AM+AN的最小值．

17．如圖①，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=ax2+bx+3經過點A（﹣1，0）、B（3，0）兩點，且與y軸交于點C．（1）求拋物線的表達式；

（2）如圖②，用寬為4個單位長度的直尺垂直于x軸，并沿x軸左右平移，直尺的左右兩邊所在的直線與拋物線相交于P、Q兩點（點P在點Q的左側），連接PQ，在線段PQ上方拋物線上有一動點D，連接DP、DQ．

（1）若點P的橫坐標為﹣，求△DPQ面積的最大值，并求此時點D的坐標；（Ⅱ）直尺在平移過程中，△DPQ面積是否有最大值？若有，求出面積的最大值；若沒有，請說明理由．

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18．在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的頂點坐標為（2，0），且經過點（4，1），如圖，直線y=x與拋物線交于A、B兩點，直線l為y=﹣1．（1）求拋物線的解析式；

（2）在l上是否存在一點P，使PA+PB取得最小值？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）知F（x0，y0）為平面內一定點，M（m，n）為拋物線上一動點，且點M到直線l的距離與點M到點F的距離總是相等，求定點F的坐標．

19．在平面直角坐標系中，點O（0，0），點A（1，0）．已知拋物線y=x2+mx﹣2m（m是常數），頂點為P．

（Ⅰ）當拋物線經過點A時，求頂點P的坐標；

（Ⅱ）若點P在x軸下方，當∠AOP=45°時，求拋物線的解析式；

（Ⅲ）無論m取何值，該拋物線都經過定點H．當∠AHP=45°時，求拋物線的解析式．

20．如圖所示，將二次函數y=x2+2x+1的圖象沿x軸翻折，然后向右平移1個單位，再向上平移4個單位，得到二次函數y=ax2+bx+c的圖象．函數y=x2+2x+1的圖象的頂點為點A．函數y=ax2+bx+c的圖象的頂點為點B，和x軸的交點為點C，第9頁（共107頁）

D（點D位于點C的左側）．（1）求函數y=ax2+bx+c的解析式；

（2）從點A，C，D三個點中任取兩個點和點B構造三角形，求構造的三角形是等腰三角形的概率；

（3）若點M是線段BC上的動點，點N是△ABC三邊上的動點，是否存在以AM為斜邊的Rt△AMN，使△AMN的面積為△ABC面積的？若存在，求tan∠MAN的值；若不存在，請說明理由．

21．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若以點A為圓心的圓與直線BC相切于點M，求切點M的坐標；

（3）若點Q在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以點B，C，Q，P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

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22．已知頂點為A拋物線（1）求拋物線的解析式；

經過點，點．

（2）如圖1，直線AB與x軸相交于點M，y軸相交于點E，拋物線與y軸相交于點F，在直線AB上有一點P，若∠OPM=∠MAF，求△POE的面積；

（3）如圖2，點Q是折線A﹣B﹣C上一點，過點Q作QN∥y軸，過點E作EN∥x軸，直線QN與直線EN相交于點N，連接QE，將△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若點N1落在x軸上，請直接寫出Q點的坐標．

23．已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（0，2），且拋物線上任意不同兩點M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當x1＜x2＜0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當0＜x1＜x2時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點O為圓心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B，C，且B在C的左側，△ABC有一個內角為60°．（1）求拋物線的解析式；（2）若MN與直線y=﹣2決以下問題：

①求證：BC平分∠MBN；

②求△MBC外心的縱坐標的取值范圍．

24．如圖，已知二次函數的圖象過點O（0，0）．A（8，4），與x軸交于另一點B，且對稱軸是直線x=3．（1）求該二次函數的解析式；

（2）若M是OB上的一點，作MN∥AB交OA于N，當△ANM面積最大時，求M的坐標；

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x平行，且M，N位于直線BC的兩側，y1＞y2，解

（3）P是x軸上的點，過P作PQ⊥x軸與拋物線交于Q．過A作AC⊥x軸于C，當以O，P，Q為頂點的三角形與以O，A，C為頂點的三角形相似時，求P點的坐標．

25．如圖，拋物線y=ax2+bx+c與兩坐標軸相交于點A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是拋物線的頂點，E是線段AB的中點．（1）求拋物線的解析式，并寫出D點的坐標；（2）F（x，y）是拋物線上的動點：

①當x＞1，y＞0時，求△BDF的面積的最大值； ②當∠AEF=∠DBE時，求點F的坐標．

26．如圖1，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，拋物線y=ax2+bx+3交x軸于B、C兩點（點B在左，點C在右），交y軸于點A，且OA=OC，B（﹣1，0）．

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（1）求此拋物線的解析式；

（2）如圖2，點D為拋物線的頂點，連接CD，點P是拋物線上一動點，且在C、D兩點之間運動，過點P作PE∥y軸交線段CD于點E，設點P的橫坐標為t，線段PE長為d，寫出d與t的關系式（不要求寫出自變量t的取值范圍）；（3）如圖3，在（2）的條件下，連接BD，在BD上有一動點Q，且DQ=CE，連接EQ，當∠BQE+∠DEQ=90°時，求此時點P的坐標．

27．已知拋物線F：y=x2+bx+c的圖象經過坐標原點O，且與x軸另一交點為（﹣，0）．

（1）求拋物線F的解析式；（2）如圖1，直線l：y=

x+m（m＞0）與拋物線F相交于點A（x1，y1）和點B（x2，y2）（點A在第二象限），求y2﹣y1的值（用含m的式子表示）；（3）在（2）中，若m=，設點A′是點A關于原點O的對稱點，如圖2． ①判斷△AA′B的形狀，并說明理由；

②平面內是否存在點P，使得以點A、B、A′、P為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

28．已知：如圖，一次函數y=kx﹣1的圖象經過點A（3，m）（m＞0），與y軸交于點B．點C在線段AB上，且BC=2AC，過點C作x軸的垂線，垂足為點D．若AC=CD．

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（1）求這個一次函數的表達式；

（2）已知一開口向下、以直線CD為對稱軸的拋物線經過點A，它的頂點為P，若過點P且垂直于AP的直線與x軸的交點為Q（﹣函數表達式．，0），求這條拋物線的

29．如圖，已知拋物線y=ax2+bx（a≠0）過點A（點A作直線AC∥x軸，交y軸于點C．（1）求拋物線的解析式；，﹣3）和點B（3，0）．過（2）在拋物線上取一點P，過點P作直線AC的垂線，垂足為D．連接OA，使得以A，D，P為頂點的三角形與△AOC相似，求出對應點P的坐標；

（3）拋物線上是否存在點Q，使得S△AOC=S△AOQ？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

30．如圖1，拋物線C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C．已知點A的坐標為（﹣1，0），點O為坐標原點，OC=3OA，拋物線C1的頂點為G．

第14頁（共107頁）

（1）求出拋物線C1的解析式，并寫出點G的坐標；

（2）如圖2，將拋物線C1向下平移k（k＞0）個單位，得到拋物線C2，設C2與x軸的交點為A′、B′，頂點為G′，當△A′B′G′是等邊三角形時，求k的值：（3）在（2）的條件下，如圖3，設點M為x軸正半軸上一動點，過點M作x軸的垂線分別交拋物線C1、C2于P、Q兩點，試探究在直線y=﹣1上是否存在點N，使得以P、Q、N為頂點的三角形與△AOQ全等，若存在，直接寫出點M，N的坐標：若不存在，請說明理由．

31．在平面直角坐標系中，二次函數y=ax2+x+c的圖象經過點C（0，2）和點D（4，﹣2）．點E是直線y=﹣x+2與二次函數圖象在第一象限內的交點．（1）求二次函數的解析式及點E的坐標．

（2）如圖①，若點M是二次函數圖象上的點，且在直線CE的上方，連接MC，OE，ME．求四邊形COEM面積的最大值及此時點M的坐標．（3）如圖②，經過A、B、C三點的圓交y軸于點F，求點F的坐標．

32．如圖，已知頂點為C（0，﹣3）的拋物線y=ax2+b（a≠0）與x軸交于A，B兩點，直線y=x+m過頂點C和點B．（1）求m的值；

（2）求函數y=ax2+b（a≠0）的解析式；

（3）拋物線上是否存在點M，使得∠MCB=15°？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

第15頁（共107頁）

33．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+2x+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C，點D是該拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式和直線AC的解析式；

（2）請在y軸上找一點M，使△BDM的周長最小，求出點M的坐標；（3）試探究：在拋物線上是否存在點P，使以點A，P，C為頂點，AC為直角邊的三角形是直角三角形？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

34．已知拋物線y=a（x﹣1）2過點（3，1），D為拋物線的頂點．（1）求拋物線的解析式；

（2）若點B、C均在拋物線上，其中點B（0，），且∠BDC=90°，求點C的坐標；

（3）如圖，直線y=kx+4﹣k與拋物線交于P、Q兩點． ①求證：∠PDQ=90°； ②求△PDQ面積的最小值．

第16頁（共107頁）

35．拋物線y=﹣x2+x﹣1與x軸交于點A，B（點A在點B的左側），與y軸交于點C，其頂點為D．將拋物線位于直線l：y=t（t＜）上方的部分沿直線l向下翻折，拋物線剩余部分與翻折后所得圖形組成一個“M”形的新圖象．（1）點A，B，D的坐標分別為

，；

（2）如圖①，拋物線翻折后，點D落在點E處．當點E在△ABC內（含邊界）時，求t的取值范圍；

（3）如圖②，當t=0時，若Q是“M”形新圖象上一動點，是否存在以CQ為直徑的圓與x軸相切于點P？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

36．如圖，拋物線y=ax2+4x+c（a≠0）經過點A（﹣1，0），點E（4，5），與y軸交于點B，連接AB．（1）求該拋物線的解析式；

（2）將△ABO繞點O旋轉，點B的對應點為點F．

①當點F落在直線AE上時，求點F的坐標和△ABF的面積； ②當點F到直線AE的距離為請直接寫出交點的坐標．

第17頁（共107頁）

時，過點F作直線AE的平行線與拋物線相交，37．如圖，在平面直角坐標系中，二次函數y=（x﹣a）（x﹣3）（0＜a＜3）的圖象與x軸交于點A、B（點A在點B的左側），與y軸交于點D，過其頂點C作直線CP⊥x軸，垂足為點P，連接AD、BC．（1）求點A、B、D的坐標；

（2）若△AOD與△BPC相似，求a的值；

（3）點D、O、C、B能否在同一個圓上？若能，求出a的值；若不能，請說明理由．

38．如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于原點及點A，且經過點B（4，8），對稱軸為直線x=﹣2．（1）求拋物線的解析式；

（2）設直線y=kx+4與拋物線兩交點的橫坐標分別為x1，x（，當2x1＜x2）時，求k的值；

（3）連接OB，點P為x軸下方拋物線上一動點，過點P作OB的平行線交直線AB于點Q，當S△POQ：S△BOQ=1：2時，求出點P的坐標．（坐標平面內兩點M（x1，y1），N（x2，y2）之間的距離MN=）

第18頁（共107頁）

39．如圖，在平面直角坐標系中，∠ACB=90°，OC=2OB，tan∠ABC=2，點B的坐標為（1，0）．拋物線y=﹣x2+bx+c經過A、B兩點．（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是直線AB上方拋物線上的一點，過點P作PD垂直x軸于點D，交線段AB于點E，使PE=DE． ①求點P的坐標；

②在直線PD上是否存在點M，使△ABM為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點M的坐標；若不存在，請說明理由．

40．如圖1，經過原點O的拋物線y=ax2+bx（a、b為常數，a≠0）與x軸相交于另一點A（3，0）．直線l：y=x在第一象限內和此拋物線相交于點B（5，t），與拋物線的對稱軸相交于點C．

第19頁（共107頁）

（1）求拋物線的解析式；

（2）在x軸上找一點P，使以點P、O、C為頂點的三角形與以點A、O、B為頂點的三角形相似，求滿足條件的點P的坐標；

（3）直線l沿著x軸向右平移得到直線l′，l′與線段OA相交于點M，與x軸下方的拋物線相交于點N，過點N作NE⊥x軸于點E．把△MEN沿直線l′折疊，當點E恰好落在拋物線上時（圖2），求直線l′的解析式；

（4）在（3）問的條件下（圖3），直線l′與y軸相交于點K，把△MOK繞點O順時針旋轉90°得到△M′OK′，點F為直線l′上的動點．當△M'FK′為等腰三角形時，求滿足條件的點F的坐標．

第20頁（共107頁）

2018年07月10日139****3005的初中數學組卷

參考答案與試題解析

一．選擇題（共1小題）

1．如圖，點A，B在雙曲線y=（x＞0）上，點C在雙曲線y=（x＞0）上，若AC∥y軸，BC∥x軸，且AC=BC，則AB等于（）

A． B．2 C．4 D．

3【解答】解：點C在雙曲線y=上，AC∥y軸，BC∥x軸，設C（a，），則B（3a，），A（a，），∵AC=BC，∴﹣=3a﹣a，解得a=1，（負值已舍去）

∴C（1，1），B（3，1），A（1，3），∴AC=BC=2，∴Rt△ABC中，AB=2故選：B．

二．解答題（共39小題）

2．如圖1，已知拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，與y軸交于C點，點P是拋物線上在第一象限內的一個動點，且點P的橫坐標為t．

（1）求拋物線的表達式；

（2）設拋物線的對稱軸為l，l與x軸的交點為D．在直線l上是否存在點M，使

第21頁（共107頁），得四邊形CDPM是平行四邊形？若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）如圖2，連接BC，PB，PC，設△PBC的面積為S． ①求S關于t的函數表達式；

②求P點到直線BC的距離的最大值，并求出此時點P的坐標．

【解答】解：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=﹣x2+bx+c，解得：，∴拋物線的表達式為y=﹣x2+2x+3．

（2）在圖1中，連接PC，交拋物線對稱軸l于點E，∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸交于A（﹣1，0），B（3，0）兩點，∴拋物線的對稱軸為直線x=1．

當t=2時，點C、P關于直線l對稱，此時存在點M，使得四邊形CDPM是平行四邊形．

∵拋物線的表達式為y=﹣x2+2x+3，∴點C的坐標為（0，3），點P的坐標為（2，3），∴點M的坐標為（1，6）； 當t≠2時，不存在，理由如下：

若四邊形CDPM是平行四邊形，則CE=PE，∵點C的橫坐標為0，點E的橫坐標為0，∴點P的橫坐標t=1×2﹣0=2． 又∵t≠2，第22頁（共107頁）

∴不存在．

（3）①在圖2中，過點P作PF∥y軸，交BC于點F． 設直線BC的解析式為y=mx+n（m≠0），將B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，解得：，∴直線BC的解析式為y=﹣x+3． ∵點P的坐標為（t，﹣t2+2t+3），∴點F的坐標為（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=PF?OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+②∵﹣＜0，∴當t=時，S取最大值，最大值為

．

．

∵點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，3），∴線段BC=

=

3，∴P點到直線BC的距離的最大值為=，此時點P的坐標為（，）．

第23頁（共107頁）

3．如圖，拋物線y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）與x軸交于A、B兩點，拋物線上另有一點C在x軸下方，且使△OCA∽△OBC．（1）求線段OC的長度；

（2）設直線BC與y軸交于點M，點C是BM的中點時，求直線BM和拋物線的解析式；

（3）在（2）的條件下，直線BC下方拋物線上是否存在一點P，使得四邊形ABPC面積最大？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）由題可知當y=0時，a（x﹣1）（x﹣3）=0，解得：x1=1，x2=3，即A（1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=3 ∵△OCA∽△OBC，∴OC：OB=OA：OC，第24頁（共107頁）

∴OC2=OA?OB=3，則OC=；

（2）∵C是BM的中點，即OC為斜邊BM的中線，∴OC=BC，∴點C的橫坐標為，又OC=，點C在x軸下方，），∴C（，﹣設直線BM的解析式為y=kx+b，把點B（3，0），C（，﹣解得：b=﹣∴y=x﹣，k=，）在拋物線上，代入拋物線解析式，）代入得：，又∵點C（，﹣解得：a=，∴拋物線解析式為y=（3）點P存在，設點P坐標為（x，則Q（x，∴PQ=x﹣x﹣），x2﹣

x+2；

x2﹣

x+2），過點P作PQ⊥x軸交直線BM于點Q，﹣（x2﹣

x+2）=﹣

x2+

3x﹣3，當△BCP面積最大時，四邊形ABPC的面積最大，S△BCP=PQ（3﹣x）+PQ（x﹣）=PQ=﹣當x=﹣（，﹣

x2+

x﹣，=時，S△BCP有最大值，四邊形ABPC的面積最大，此時點P的坐標為）．

第25頁（共107頁）

4．如圖，拋物線y=ax2+bx（a＜0）過點E（10，0），矩形ABCD的邊AB在線段OE上（點A在點B的左邊），點C，D在拋物線上．設A（t，0），當t=2時，AD=4．（1）求拋物線的函數表達式．

（2）當t為何值時，矩形ABCD的周長有最大值？最大值是多少？

（3）保持t=2時的矩形ABCD不動，向右平移拋物線．當平移后的拋物線與矩形的邊有兩個交點G，H，且直線GH平分矩形的面積時，求拋物線平移的距離．

【解答】解：（1）設拋物線解析式為y=ax（x﹣10），∵當t=2時，AD=4，∴點D的坐標為（2，4），∴將點D坐標代入解析式得﹣16a=4，解得：a=﹣，拋物線的函數表達式為y=﹣x2+x；

（2）由拋物線的對稱性得BE=OA=t，∴AB=10﹣2t，第26頁（共107頁）

當x=t時，AD=﹣t2+t，∴矩形ABCD的周長=2（AB+AD）=2[（10﹣2t）+（﹣t2+t）] =﹣t2+t+20 =﹣（t﹣1）2+∵﹣＜0，∴當t=1時，矩形ABCD的周長有最大值，最大值為，；

（3）如圖，當t=2時，點A、B、C、D的坐標分別為（2，0）、（8，0）、（8，4）、（2，4），∴矩形ABCD對角線的交點P的坐標為（5，2），當平移后的拋物線過點A時，點H的坐標為（4，4），此時GH不能將矩形面積平分；

當平移后的拋物線過點C時，點G的坐標為（6，0），此時GH也不能將矩形面積平分；

∴當G、H中有一點落在線段AD或BC上時，直線GH不可能將矩形的面積平分，當點G、H分別落在線段AB、DC上時，直線GH過點P，必平分矩形ABCD的面積，∵AB∥CD，∴線段OD平移后得到的線段GH，∴線段OD的中點Q平移后的對應點是P，在△OBD中，PQ是中位線，第27頁（共107頁）

∴PQ=OB=4，所以拋物線向右平移的距離是4個單位．

5．如圖，點P為拋物線y=x2上一動點．

（1）若拋物線y=x2是由拋物線y=（x+2）2﹣1通過圖象平移得到的，請寫出平移的過程；

（2）若直線l經過y軸上一點N，且平行于x軸，點N的坐標為（0，﹣1），過點P作PM⊥l于M．

①問題探究：如圖一，在對稱軸上是否存在一定點F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出點F的坐標：若不存在，請說明理由．

②問題解決：如圖二，若點Q的坐標為（1，5），求QP+PF的最小值．

【解答】解：（1）∵拋物線y=（x+2）2﹣1的頂點為（﹣2，﹣1）

∴拋物線y=（x+2）2﹣1的圖象向上平移1個單位，再向右2個單位得到拋物線y=x2的圖象．

（2）①存在一定點F，使得PM=PF恒成立． 如圖一，過點P作PB⊥y軸于點B

第28頁（共107頁）

設點P坐標為（a，a2）∴PM=PF=a2+1 ∵PB=a ∴Rt△PBF中 BF=∴OF=1

∴點F坐標為（0，1）②由①，PM=PF

QP+PF的最小值為QP+PM的最小值

當Q、P、M三點共線時，QP+PM有最小值，最小值為點Q縱坐標加M縱坐標的絕對值．

∴QP+PF的最小值為6．

6．已知直線y=x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，拋物線y=x2+bx+c經過A、B兩點，點M在線段OA上，從O點出發，向點A以每秒1個單位的速度勻速運動；同時點N在線段AB上，從點A出發，向點B以每秒速運動，連接MN，設運動時間為t秒（1）求拋物線解析式；

（2）當t為何值時，△AMN為直角三角形；

（3）過N作NH∥y軸交拋物線于H，連接MH，是否存在點H使MH∥AB，若存在，求出點H的坐標，若不存在，請說明理由．

個單位的速度勻

第29頁（共107頁）

【解答】解：（1）∵直線y=x+3與x軸、y軸分別相交于A、B兩點，∴點A的坐標為（﹣3，0），點B的坐標為（0，3）． 將A（﹣3，0）、B（0，3）代入y=x2+bx+c，得：，解得：，∴拋物線解析式為y=x2+4x+3．

（2）當運動時間為t秒時，點M的坐標為（﹣t，0），點N的坐標為（t﹣3，t），∴AM=3﹣t，AN=t．

∵△AMN為直角三角形，∠MAN=45°，∴△AMN為等腰直角三角形（如圖1）． 當∠ANM=90°時，有AM=解得：t=1；

當∠AMN=90°時，有t﹣3=﹣t，解得：t=．

綜上所述：當t為1秒或秒時，△AMN為直角三角形．（3）設NH與x軸交于點E，如圖2所示．

當運動時間為t秒時，點M的坐標為（﹣t，0），點N的坐標為（t﹣3，t），∴點E的坐標為（t﹣3，0），點H的坐標為（t﹣3，t2﹣2t）． ∵MH∥AB，∴∠EMH=45°，∴△EMH為等腰直角三角形，∴ME=HE，即|2t﹣3|=|t2﹣2t|，解得：t1=1，t2=3（舍去），t3=當t=

AN，即3﹣t=2t，t4=﹣（舍去）．

時，點E在點M的右邊，點H在x軸下方，第30頁（共107頁）

∴此時MH⊥AB，∴t=1．

∴存在點H使MH∥AB，點H的坐標為（﹣2，﹣1）．

7．如圖，拋物線經過原點O（0，0），點A（1，1），點（1）求拋物線解析式；

（2）連接OA，過點A作AC⊥OA交拋物線于C，連接OC，求△AOC的面積；（3）點M是y軸右側拋物線上一動點，連接OM，過點M作MN⊥OM交x軸于點N．問：是否存在點M，使以點O，M，N為頂點的三角形與（2）中的△AOC相似，若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由．

．

【解答】解：（1）設拋物線解析式為y=ax（x﹣），把A（1，1）代入得a?1（1﹣）=1，解得a=﹣，第31頁（共107頁）

∴拋物線解析式為y=﹣x（x﹣），即y=﹣x2+x；

（2）延長CA交y軸于D，如圖1，∵A（1，1），∴OA=，∠DOA=45°，∴△AOD為等腰直角三角形，∵OA⊥AC，∴OD=OA=2，∴D（0，2），易得直線AD的解析式為y=﹣x+2，解方程組∴S△AOC=S△COD﹣S△AOD =×2×5﹣×2×1 =4；（3）存在．

如圖2，作MH⊥x軸于H，AC=設M（x，﹣x2+x）（x＞0），∵∠OHM=∠OAC，∴當=時，△OHM∽△OAC，即

=，（舍去），此時M點坐標為（，﹣54）；

=

4，OA=，得

或，則C（5，﹣3），解方程﹣x2+x=4x得x1=0（舍去），x2=﹣解方程﹣x2+x=﹣4x得x1=0（舍去），x2=當=時，△OHM∽△CAO，即=，此時M點的坐標為（，），解方程﹣x2+x=x得x1=0（舍去），x2=

第32頁（共107頁）

解方程﹣x2+x=﹣x得x1=0（舍去），x2=﹣∵MN⊥OM，∴∠OMN=90°，∴∠MON=∠HOM，∴△OMH∽△ONM，∴當M點的坐標為（，﹣54）或（，此時M點坐標為（，﹣）；）或（，﹣）時，以點O，M，N為頂點的三角形與（2）中的△AOC相似．

8．如圖，已知二次函數y=ax2+1（a≠0，a為實數）的圖象過點A（﹣2，2），一次函數y=kx+b（k≠0，k，b為實數）的圖象l經過點B（0，2）．（1）求a值并寫出二次函數表達式；（2）求b值；

（3）設直線l與二次函數圖象交于M，N兩點，過M作MC垂直x軸于點C，試證明：MB=MC；

（4）在（3）的條件下，請判斷以線段MN為直徑的圓與x軸的位置關系，并說明理由．

【解答】解：（1）∵二次函數y=ax2+1（a≠0，a為實數）的圖象過點A（﹣2，2），第33頁（共107頁）

∴2=4a+1，解得：a=，∴二次函數表達式為y=x2+1．

（2）∵一次函數y=kx+b（k≠0，k，b為實數）的圖象l經過點B（0，2），∴2=k×0+b，∴b=2．

（3）證明：過點M作ME⊥y軸于點E，如圖1所示． 設點M的坐標為（x，x2+1），則MC=x2+1，∴ME=|x|，EB=|x2+1﹣2|=|x2﹣1|，∴MB=====x2+1． ∴MB=MC．

（4）相切，理由如下：

過點N作ND⊥x軸于D，取MN的中點為P，過點P作PF⊥x軸于點F，過點N作NH⊥MC于點H，交PF于點Q，如圖2所示． 由（3）知NB=ND，∴MN=NB+MB=ND+MC．

∵點P為MN的中點，PQ∥MH，∴PQ=MH．

∵ND∥HC，NH∥DC，且四個角均為直角，∴四邊形NDCH為矩形，∴QF=ND，∴PF=PQ+QF=MH+ND=（ND+MH+HC）=（ND+MC）=MN． ∴以MN為直徑的圓與x軸相切．

第34頁（共107頁）

，，9．如圖，已知拋物線y=ax2+x+4的對稱軸是直線x=3，且與x軸相交于A，B兩點（B點在A點右側）與y軸交于C點．（1）求拋物線的解折式和A、B兩點的坐標；

（2）若點P是拋物線上B、C兩點之間的一個動點（不與B、C重合），則是否存在一點P，使△PBC的面積最大．若存在，請求出△PBC的最大面積；若不存在，試說明理由；

（3）若M是拋物線上任意一點，過點M作y軸的平行線，交直線BC于點N，當MN=3時，求M點的坐標．

【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+x+4的對稱軸是直線x=3，第35頁（共107頁）

∴﹣=3，解得：a=﹣，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+x+4． 當y=0時，﹣x2+x+4=0，解得：x1=﹣2，x2=8，∴點A的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（8，0）．（2）當x=0時，y=﹣x2+x+4=4，∴點C的坐標為（0，4）．

設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0）． 將B（8，0）、C（0，4）代入y=kx+b，解得：，∴直線BC的解析式為y=﹣x+4．

假設存在，設點P的坐標為（x，﹣x2+x+4），過點P作PD∥y軸，交直線BC于點D，則點D的坐標為（x，﹣x+4），如圖所示． ∴PD=﹣x2+x+4﹣（﹣x+4）=﹣x2+2x，∴S△PBC=PD?OB=×8?（﹣x2+2x）=﹣x2+8x=﹣（x﹣4）2+16． ∵﹣1＜0，∴當x=4時，△PBC的面積最大，最大面積是16． ∵0＜x＜8，∴存在點P，使△PBC的面積最大，最大面積是16．

（3）設點M的坐標為（m，﹣m2+m+4），則點N的坐標為（m，﹣m+4），∴MN=|﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）|=|﹣m2+2m|． 又∵MN=3，∴|﹣m2+2m|=3．

第36頁（共107頁）

當0＜m＜8時，有﹣m2+2m﹣3=0，解得：m1=2，m2=6，∴點P的坐標為（2，6）或（6，4）； 當m＜0或m＞8時，有﹣m2+2m+3=0，解得：m3=4﹣2，m4=4+

2，﹣1）或（4+2，﹣

﹣1）．，﹣∴點P的坐標為（4﹣2綜上所述：M點的坐標為（4﹣2﹣1）．

﹣1）、（2，6）、（6，4）或（4+

210．已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與坐標軸分別交于點A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），點P是線段AB上方拋物線上的一個動點．（1）求拋物線的解析式；

（2）當點P運動到什么位置時，△PAB的面積有最大值？

（3）過點P作x軸的垂線，交線段AB于點D，再過點P做PE∥x軸交拋物線于點E，連結DE，請問是否存在點P使△PDE為等腰直角三角形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由．

【解答】解：（1）∵拋物線過點B（6，0）、C（﹣2，0），∴設拋物線解析式為y=a（x﹣6）（x+2），第37頁（共107頁）

將點A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣，所以拋物線解析式為y=﹣（x﹣6）（x+2）=﹣x2+2x+6；

（2）如圖1，過點P作PM⊥OB與點M，交AB于點N，作AG⊥PM于點G，設直線AB解析式為y=kx+b，將點A（0，6）、B（6，0）代入，得：，解得：，則直線AB解析式為y=﹣x+6，設P（t，﹣t2+2t+6）其中0＜t＜6，則N（t，﹣t+6），∴PN=PM﹣MN=﹣t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣t2+2t+6+t﹣6=﹣t2+3t，∴S△PAB=S△PAN+S△PBN =PN?AG+PN?BM =PN?（AG+BM）=PN?OB

=×（﹣t2+3t）×6 =﹣t2+9t =﹣（t﹣3）2+，∴當t=3時，△PAB的面積有最大值；

第38頁（共107頁）

（3）如圖2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE∥x軸、PD⊥x軸，∴∠DPE=90°，若△PDE為等腰直角三角形，則PD=PE，設點P的橫坐標為a，∴PD=﹣a2+2a+6﹣（﹣a+6）=﹣a2+3a，PE=2|2﹣a|，∴﹣a2+3a=2|2﹣a|，解得：a=4或a=5﹣，3﹣5）． 所以P（4，6）或P（5﹣

11．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=x2﹣x﹣4與x軸交于A，B兩點（點A在點B左側），與y軸交于點C．（1）求點A，B，C的坐標；

（2）點P從A點出發，在線段AB上以每秒2個單位長度的速度向B點運動，同時，點Q從B點出發，在線段BC上以每秒1個單位長度的速度向C點運動，當其中一個點到達終點時，另一個點也停止運動．設運動時間為t秒，求運動時間t為多少秒時，△PBQ的面積S最大，并求出其最大面積；

第39頁（共107頁）

（3）在（2）的條件下，當△PBQ面積最大時，在BC下方的拋物線上是否存在點M，使△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍？若存在，求點M的坐標；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）當x=0時，y=x2﹣x﹣4=﹣4，∴點C的坐標為（0，﹣4）； 當y=0時，有x2﹣x﹣4=0，解得：x1=﹣2，x2=3，∴點A的坐標為（﹣2，0），點B的坐標為（3，0）．（2）設直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），將B（3，0）、C（0，﹣4）代入y=kx+b，解得：，∴直線BC的解析式為y=x﹣4．

過點Q作QE∥y軸，交x軸于點E，如圖1所示，當運動時間為t秒時，點P的坐標為（2t﹣2，0），點Q的坐標為（3﹣t，﹣t），∴PB=3﹣（2t﹣2）=5﹣2t，QE=t，∴S△PBQ=PB?QE=﹣t2+2t=﹣（t﹣）2+． ∵﹣＜0，∴當t=時，△PBQ的面積取最大值，最大值為．

第40頁（共107頁）

（3）當△PBQ面積最大時，t=，此時點P的坐標為（，0），點Q的坐標為（，﹣1）．

假設存在，設點M的坐標為（m，m2﹣m﹣4），則點F的坐標為（m，m﹣4），∴MF=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2+2m，∴S△BMC=MF?OB=﹣m2+3m．

∵△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍，∴﹣m2+3m=×1.6，即m2﹣3m+2=0，解得：m1=1，m2=2． ∵0＜m＜3，∴在BC下方的拋物線上存在點M，使△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍，點M的坐標為（1，﹣4）或（2，﹣）．

第41頁（共107頁）

12．綜合與探究 如圖，拋物線y=

x﹣4與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，連接AC，BC．點P是第四象限內拋物線上的一個動點，點P的橫坐標為m，過點P作PM⊥x軸，垂足為點M，PM交BC于點Q，過點P作PE∥AC交x軸于點E，交BC于點F．（1）求A，B，C三點的坐標；

（2）試探究在點P運動的過程中，是否存在這樣的點Q，使得以A，C，Q為頂點的三角形是等腰三角形．若存在，請直接寫出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由；

（3）請用含m的代數式表示線段QF的長，并求出m為何值時QF有最大值．

【解答】解：（1）當y=0，∴A（﹣3，0），B（4，0），當x=0，y=∴C（0，﹣4）；（2）AC==5，x﹣4=﹣4，x﹣4=0，解得x1=﹣3，x2=4，易得直線BC的解析式為y=x﹣4，設Q（m，m﹣4）（0＜m＜4），當CQ=CA時，m2+（m﹣4+4）2=52，解得m1=點坐標為（，﹣4）；，m2=﹣

（舍去），此時Q當AQ=AC時，（m+3）2+（m﹣4）2=52，解得m1=1，m2=0（舍去），此時Q點坐標為（1，﹣3）；

第42頁（共107頁）

當QA=QC時，（m+3）2+（m﹣4）2=52，解得m=綜上所述，滿足條件的Q點坐標為（，（舍去），﹣4）或（1，﹣3）；

（3）解：過點F作FG⊥PQ于點G，如圖，則FG∥x軸．由B（4，0），C（0，﹣4）得△OBC為等腰直角三角形

∴∠OBC=∠QFG=45

∴△FQG為等腰直角三角形，∴FG=QG=FQ，∵PE∥AC，PG∥CO，∴∠FPG=∠ACO，∵∠FGP=∠AOC=90°，∴△FGP～△AOC． ∴=，即=，FQ，FQ=

FQ，∴PG=FG=?∴PQ=PG+GQ=∴FQ=PQ，FQ=FQ+設P（m，m2﹣m﹣4）（0＜m＜4），則Q（m，m﹣4），∴PQ=m﹣4﹣（m2﹣m﹣4）=﹣m2+m，∴FQ=∵﹣（﹣m2+m）=﹣＜0，（m﹣2）2+

∴QF有最大值．

∴當m=2時，QF有最大值．

第43頁（共107頁）

13．已知拋物線y=ax2+bx+c過點A（0，2）．（1）若點（﹣，0）也在該拋物線上，求a，b滿足的關系式；

（2）若該拋物線上任意不同兩點M（x1，y1），N（x2，y2）都滿足：當x1＜x2＜0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；當0＜x1＜x2時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原點O為心，OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B，C，且△ABC有一個內角為60°．

①求拋物線的解析式；

②若點P與點O關于點A對稱，且O，M，N三點共線，求證：PA平分∠MPN． 【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過點A（0，2），∴c=2． 又∵點（﹣∴a（﹣∴2a﹣，0）也在該拋物線上，）+c=0，）2+b（﹣b+2=0（a≠0）．

（2）①∵當x1＜x2＜0時，（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0，∴當x＜0時，y隨x的增大而增大； 同理：當x＞0時，y隨x的增大而減小，∴拋物線的對稱軸為y軸，開口向下，∴b=0．

∵OA為半徑的圓與拋物線的另兩個交點為B、C，∴△ABC為等腰三角形，又∵△ABC有一個內角為60°，第44頁（共107頁）

∴△ABC為等邊三角形．

設線段BC與y軸交于點D，則BD=CD，且∠OCD=30°，又∵OB=OC=OA=2，∴CD=OC?cos30°=，OD=OC?sin30°=1．，﹣1）． 不妨設點C在y軸右側，則點C的坐標為（∵點C在拋物線上，且c=2，b=0，∴3a+2=﹣1，∴a=﹣1，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2．

②證明：由①可知，點M的坐標為（x1，﹣直線OM的解析式為y=k1x（k1≠0）． ∵O、M、N三點共線，∴x1≠0，x2≠0，且∴﹣x1+=﹣x2+，，﹣

+2）． =，+2），點N的坐標為（x2，﹣

+2）．

∴x1﹣x2=﹣∴x1x2=﹣2，即x2=﹣∴點N的坐標為（﹣設點N關于y軸的對稱點為點N′，則點N′的坐標為（∵點P是點O關于點A的對稱點，∴OP=2OA=4，∴點P的坐標為（0，4）． 設直線PM的解析式為y=k2x+4，∵點M的坐標為（x1，﹣∴﹣，﹣+2）．

+2），+2=k2x1+4，第45頁（共107頁）

∴k2=﹣，∴直線PM的解析式為y=﹣x+4．

∵﹣?+4==﹣+2，∴點N′在直線PM上，∴PA平分∠MPN．

14．如圖，已知拋物線y=ax2+bx與x軸分別交于原點O和點F（10，0），與對稱軸l交于點E（5，5）．矩形ABCD的邊AB在x軸正半軸上，且AB=1，邊AD，BC與拋物線分別交于點M，N．當矩形ABCD沿x軸正方向平移，點M，N位于對稱軸l的同側時，連接MN，此時，四邊形ABNM的面積記為S；點M，N位于對稱軸l的兩側時，連接EM，EN，此時五邊形ABNEM的面積記為S．將點A與點O重合的位置作為矩形ABCD平移的起點，設矩形ABCD平移的長度為t（0≤t≤5）．

第46頁（共107頁）

（1）求出這條拋物線的表達式；（2）當t=0時，求S△OBN的值；

（3）當矩形ABCD沿著x軸的正方向平移時，求S關于t（0＜t≤5）的函數表達式，并求出t為何值時，S有最大值，最大值是多少？

【解答】解：（1）將E（5，5）、F（10，0）代入y=ax2+bx，解得：，∴拋物線的表達式為y=﹣x2+2x．

（2）當t=0時，點B的坐標為（1，0），點N的坐標為（1，），∴BN=，OB=1，∴S△OBN=BN?OB=

．

（3）①當0＜t≤4時（圖1），點A的坐標為（t，0），點B的坐標為（t+1，0），∴點M的坐標為（t，﹣t2+2t），點N的坐標為（t+1，﹣（t+1）2+2（t+1）），∴AM=﹣t2+2t，BN=﹣（t+1）2+2（t+1），∴S=（AM+BN）?AB=×1×[﹣t2+2t﹣（t+1）2+2（t+1）]，=﹣t2+t+，=﹣（t﹣）2+∵﹣＜0，∴當t=4時，S取最大值，最大值為；

②當4＜t≤5時（圖2），點A的坐標為（t，0），點B的坐標為（t+1，0），第47頁（共107頁）

∴點M的坐標為（t，﹣t2+2t），點N的坐標為（t+1，﹣（t+1）2+2（t+1）），∴AM=﹣t2+2t，BN=﹣（t+1）2+2（t+1），∴S=（5﹣t）（﹣t2+2t+5）+（t﹣4）[5﹣（t+1）2+2（t+1）]，=（t3﹣3t2+5t+25）+（﹣t3+=﹣=﹣∵﹣t2+t﹣，t2+t﹣），（t﹣）2+＜0，∴當t=時，S取最大值，最大值為∵=＜，．

∴當t=時，S有最大值，最大值是．

15．如圖，已知拋物線經過點A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三點，點D與點C關于x軸對稱，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P做x軸的垂線l交拋物線于點Q，交直線BD于點M．（1）求該拋物線所表示的二次函數的表達式；

第48頁（共107頁）

（2）已知點F（0，），當點P在x軸上運動時，試求m為何值時，四邊形DMQF是平行四邊形？

（3）點P在線段AB運動過程中，是否存在點Q，使得以點B、Q、M為頂點的三角形與△BOD相似？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）由拋物線過點A（﹣1，0）、B（4，0）可設解析式為y=a（x+1）（x﹣4），將點C（0，2）代入，得：﹣4a=2，解得：a=﹣，則拋物線解析式為y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2；

（2）由題意知點D坐標為（0，﹣2），設直線BD解析式為y=kx+b，將B（4，0）、D（0，﹣2）代入，得：解得：，∴直線BD解析式為y=x﹣2，∵QM⊥x軸，P（m，0），∴Q（m，﹣m2+m+2）、M（m，m﹣2），則QM=﹣m2+m+2﹣（m﹣2）=﹣m2+m+4，第49頁（共107頁）

∵F（0，）、D（0，﹣2），∴DF=，∵QM∥DF，∴當﹣m2+m+4=時，四邊形DMQF是平行四邊形，解得：m=﹣1（舍）或m=3，即m=3時，四邊形DMQF是平行四邊形；

（3）如圖所示：

∵QM∥DF，∴∠ODB=∠QMB，分以下兩種情況：

①當∠DOB=∠MBQ=90°時，△DOB∽△MBQ，則===，∵∠MBQ=90°，∴∠MBP+∠PBQ=90°，∵∠MPB=∠BPQ=90°，∴∠MBP+∠BMP=90°，∴∠BMP=∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴=，即=，第50頁（共107頁）

第四篇：2018年中考菱形壓軸題

2018年中考菱形 壓軸題

一．解答題（共19小題）

1．如圖，兩個全等的△ABC和△DFE重疊在一起，固定△ABC，將△DEF進行如下變換：

（1）如圖1，△DEF沿直線CB向右平移（即點F在線段CB上移動），連接AF、AD、BD．請直接寫出S△ABC與S四邊形AFBD的關系；

（2）如圖2，當點F平移到線段BC的中點時，若四邊形AFBD為正方形，那么△ABC應滿足什么條件？請給出證明；

（3）在（2）的條件下，將△DEF沿DF折疊，點E落在FA的延長線上的點G處，連接CG，請你在圖3的位置畫出圖形，并求出sin∠CGF的值．

2．如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點，那么以這兩個交點和該拋物線的頂點、對稱軸上一點為頂點的菱形稱為這條拋物線的“拋物菱形”．（1）若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的兩個交點為（﹣1，0）、（3，0），且這條拋物線的“拋物菱形”是正方形，求這條拋物線的函數解析式；（2）如圖，四邊形OABC是拋物線y=﹣x2+bx（b＞0）的“拋物菱形”，且∠OAB=60° ①求“拋物菱形OABC”的面積．

②將直角三角板中含有“60°角”的頂點與坐標原點O重合，兩邊所在直線與“拋物菱形OABC”的邊AB、BC交于E、F，△OEF的面積是否存在最小值，若存在，求出此時△OEF的面積；若不存在，說明理由．

3．如圖，二次函數圖象的頂點為坐標原點O，y軸為對稱軸，且經過點A（3，3），一次函數的圖象經過點A和點B（6，0）．（1）求二次函數與一次函數的解析式；

（2）如果一次函數圖象與y軸相交于點C，E是拋物線上OA段上一點，過點E作y軸平行的直線DE與直線AC交于點D，∠DOE=∠EDA，求點E的坐標；（3）點M是線段AC延長線上的一個動點，過點M作y軸的平行線交拋物線于F，以點O、C、M、F為頂點的四邊形能否為菱形？若能，求出點F的坐標；若不能，請說明理由．

4．如圖，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O為原點，OC、OA所在直線為軸建立坐標系．拋物線頂點為A，且經過點C．點P在線段AO上由A向點O運動，點Q在線段OC上由C向點O運動，QD⊥OC交BC于點D，OD所在直線與拋物線在第一象限交于點E．（1）求拋物線的解析式；

（2）點E′是E關于y軸的對稱點，點Q運動到何處時，四邊形OEAE′是菱形？（3）點P、Q分別以每秒2個單位和3個單位的速度同時出發，運動的時間為t秒，當t為何值時，PB∥OD？

5．如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D為頂點的拋物線y=ax2+bx+c過點B．動點P從點D出

發，沿DC邊向點C運動，同時動點Q從點B出發，沿BA邊向點A運動，點P、Q運動的速度均為每秒1個單位，運動的時間為t秒．過點P作PE⊥CD交BD于點E，過點E作EF⊥AD于點F，交拋物線于點G．（1）求拋物線的解析式；

（2）當t為何值時，四邊形BDGQ的面積最大？最大值為多少？

（3）動點P、Q運動過程中，在矩形ABCD內（包括其邊界）是否存在點H，使以B，Q，E，H為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出此時菱形的周長；若不存在，請說明理由．

6．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a交x軸于A、B兩點，交y的正半軸于點C，連接BC，且OB=OC．（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點D為第一象限拋物線上一點，過點D作DE⊥BC于點E，設DE=d，點D的橫坐標為t，求d與t的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，點F為拋物線的頂點，對稱軸交x軸于點G，連接DF，過D作DH⊥DF交FG于點H，點M為對稱軸左側拋物線上一點，點N為平面上一點且tan∠HDN=，當四邊形DHMN為菱形時，求點N的坐標．

7．已知拋物線y=ax2+bx+8（a≥1）過點D（5，3），與x軸交于點B、C（點B、C均在y軸右側）且BC=2，直線BD交y軸于點A．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在坐標軸上是否存在一點N，使△ABN與△BCD相似？若存在，求出點A、N的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）在直線BD上是否存在一點P和平面內一點Q，使以Q、P、B、C四點為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

8．已知，如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的邊BC在x軸上，頂點A在y軸的正半軸上，OA=2，OB=1，OC=4．

（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；

（2）設點G是對稱軸上一點，求當△GAB周長最小時，點G的坐標；

（3）若拋物線對稱軸交x軸于點P，在平面直角坐標系中，是否存在點Q，使△PAQ是以PA為腰的等腰直角三角形？若存在，寫出所有符合條件的點Q的坐標，并選擇其中一個的加以說明；若不存在，說明理由；

（4）設點M是x軸上的動點，試問：在平面直角坐標系中，是否存在點N，使得以點A、B、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，說明理由．

9．如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其對稱軸交拋物線于點D，交x軸于點E，已知OB=OC=6．（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；

（2）連接BD，F為拋物線上一動點，當∠FAB=∠EDB時，求點F的坐標；（3）平行于x軸的直線交拋物線于M、N兩點，以線段MN為對角線作菱形MPNQ，當點P在x軸上，且PQ=MN時，求菱形對角線MN的長．

10．如圖，拋物線y=ax2﹣2x+c（a≠0）與x軸、y軸分別交于點A，B，C三點，已知點A（﹣2，0），點C（0，﹣8），點D是拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）如圖1，拋物線的對稱軸與x軸交于點E，第四象限的拋物線上有一點P，將△EBP沿直線EP折疊，使點B的對應點B'落在拋物線的對稱軸上，求點P的坐標；

（3）如圖2，設BC交拋物線的對稱軸于點F，作直線CD，點M是直線CD上的動點，點N是平面內一點，當以點B，F，M，N為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點M的坐標．

11．如圖，?ABCD的兩個頂點B，D都在拋物線y=tan∠ACB=．

（1）求拋物線的解析式；

x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，（2）在拋物線上是否存在點E，使以A，C，D，E為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）動點P從點A出發向點D運動，同時動點Q從點C出發向點A運動，運動速度都是每秒1個單位長度，當一個點到達終點時另一個點也停止運動，運動時間為t（秒）．當t為何值時，△APQ是直角三角形？

12．如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為（﹣3，0）、（0，4），拋物線y=x2+bx+c經過B點，且頂點在直線x=上（1）求拋物線對應的函數關系式；

（2）若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，若M點是CD所在指向下方該拋物線上的一個動點，過點M作MN平行于y軸交CD于點N，設點M的橫坐標為t，MN的長度為L，求l與t之間的函數關系式，并求l取最大值時，點M的坐標；

（3）△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，當四邊形ABCD是菱形時，連接BD，點P在拋物線上，若△PBD是以BD為直角邊的直角三角形，請求出此時P點的坐標．

13．如圖，直線y=x+1與y軸交于A點，過點A的拋物線y=﹣x2+bx+c與直線交于另一點B，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（3，0）．

（1）直接寫出拋物線的解析式；

（2）動點P在線段OC上從原點出發以每秒一個單位的速度向C移動，過點P作PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N，設點P移動的時間為t秒，MN的長度為s個單位，求s與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；（3）設在（2）的條件下（不考慮點P與點O，點C重合的情況），連接CM，BN，當t為何值時，四邊形BCMN為平行四邊形？對于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明理由．

14．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+

（其中a、b為常數，a≠0）經過點A（﹣1，0）和點B（3，0），且與y軸交于點C，點D為對稱軸與直線BC的交點．

（1）求該拋物線的表達式；

（2）拋物線上存在點P，使得△DPB∽△ACB，求點P的坐標；

（3）若點Q為點O關于直線BC的對稱點，點M為直線BC上一點，點N為坐標平面內一點，是否存在這樣的點M和點N，使得以Q、B、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

15．如圖，對稱軸為直線x=的拋物線經過點A（6，0）和B（0，4）．（1）求

拋物線解析式及頂點坐標；

（2）設點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形，求四邊形OEAF的面積S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）①當四邊形OEAF的面積為24時，請判斷OEAF是否為菱形？

②是否存在點E，使四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

（4）在（3）①的條件下，當四邊形OEAF為菱形時，設動點P在直線OE下方的拋物線上移動，則點P到直線OE的最大距離是

．

16．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點A（1，0），B（6，0）和C（0，4）三個點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點E（m，n）是拋物線上一個動點，且位于第四象限，四邊形OEBF是以OB為對角線的平行四邊形，求四邊形OEBF的面積S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；

（3）當四邊形OEBF的面積為24時，請判斷四邊形OEBF是否為菱形？

17．如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線l：y=kx+m交于A（4，2）、B（0，﹣1）兩點．

（1）求拋物線與直線的解析式；

（2）若點D是直線l下方拋物線上的一動點，過點D作DE∥y軸交直線l于點E，求DE的最大值，并求出此時D的坐標；

（3）在（2）的條件下，DE取最大值時，點P在直線AB上，平面內是否存在點Q，使得以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

18．如圖，拋物線y=﹣x2﹣

x+1與y軸交于A點，過點A的直線與拋物線交于另一點B，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（﹣3，0）．（1）求直線AB的函數關系式；

（2）動點E在線段OC上從原點出發以每秒一個單位的速度向C移動，過點E作EG⊥x軸，交直線AB于點F，交拋物線于點G．設點E移動的時間為t秒，GF的長度為s個單位，求s與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；

（3）設在（2）的條件下（不考慮點E與點O、C重合的情況），連接CF，BG，當t為何值時，四邊形BCFG為平行四邊形？問對于所求的t值，平行四邊形BCFG是否菱形？請說明理由．

19．如圖，已知拋物線y=ax2+c過點（﹣2，2），（4，5），過定點F（0，2）的直線l：y=kx+2與拋物線交于A、B兩點，點B在點A的右側，過點B作x軸的垂線，垂足為C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）當點B在拋物線上運動時，判斷線段BF與BC的數量關系（＞、＜、=），并證明你的判斷；

（3）P為y軸上一點，以B、C、F、P為頂點的四邊形是菱形，設點P（0，m），求自然數m的值；

（4）若k=1，在直線l下方的拋物線上是否存在點Q，使得△QBF的面積最大？若存在，求出點Q的坐標及△QBF的最大面積；若不存在，請說明理由．

2018年04月19日191****7496的初中數學組卷

參考答案與試題解析

一．解答題（共19小題）

1．如圖，兩個全等的△ABC和△DFE重疊在一起，固定△ABC，將△DEF進行如下變換：

（1）如圖1，△DEF沿直線CB向右平移（即點F在線段CB上移動），連接AF、AD、BD．請直接寫出S△ABC與S四邊形AFBD的關系；

（2）如圖2，當點F平移到線段BC的中點時，若四邊形AFBD為正方形，那么△ABC應滿足什么條件？請給出證明；

（3）在（2）的條件下，將△DEF沿DF折疊，點E落在FA的延長線上的點G處，連接CG，請你在圖3的位置畫出圖形，并求出sin∠CGF的值．

【解答】解：（1）S△ABC=S四邊形AFBD，理由：由題意可得：AD∥EC，則S△ADF=S△ABD，故S△ACF=S△ADF=S△ABD，則S△ABC=S四邊形AFBD；

（2）△ABC為等腰直角三角形，即：AB=AC，∠BAC=90°，理由如下：∵F為BC的中點，∴CF=BF，∵CF=AD，∴AD=BF，又∵AD∥BF，∴四邊形AFBD為平行四邊形，∵AB=AC，F為BC的中點，∴AF⊥BC，∴平行四邊形AFBD為矩形，∵∠BAC=90°，F為BC的中點，∴AF=BC=BF，∴四邊形AFBD為正方形；

（3）如圖3所示：

由（2）知，△ABC為等腰直角三角形，AF⊥BC，設CF=k，則GF=EF=CB=2k，由勾股定理得：CG=sin∠CGF===

k，．

2．如果一條拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸有兩個交點，那么以這兩個交點和該拋物線的頂點、對稱軸上一點為頂點的菱形稱為這條拋物線的“拋物菱形”．（1）若拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的兩個交點為（﹣1，0）、（3，0），且這條拋物線的“拋物菱形”是正方形，求這條拋物線的函數解析式；（2）如圖，四邊形OABC是拋物線y=﹣x2+bx（b＞0）的“拋物菱形”，且∠OAB=60° ①求“拋物菱形OABC”的面積．

②將直角三角板中含有“60°角”的頂點與坐標原點O重合，兩邊所在直線與“拋物菱形OABC”的邊AB、BC交于E、F，△OEF的面積是否存在最小值，若存在，求出此時△OEF的面積；若不存在，說明理由．

【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的兩個交點為（﹣1，0）、（3，0），四邊形OABC是正方形，∴A（1，2）或（1，﹣2），當A（1，2）時，解得：

當A（1，﹣2）時解得

∴拋物線的解析式為：y=﹣x2+x+或y=x2﹣x﹣；（2）①∵由拋物線y=﹣x2+bx（b＞0）可知OB=b，∵∠OAB=60°，∴A（，b），b=﹣（）2+b，解得：b=

2，代入y=﹣x2+bx得：∴OB=2，AC=6，∴“拋物菱形OABC”的面積=OB?AC=6②存在；

；

當三角板的兩邊分別垂直與AB和BC時三角形OEF的面積最小，∵OE⊥AB，∴∠EOB==30°，同理∠BOF=30°，∵∠EOF=60°

∴OB垂直EF且平分EF，∴三角形OEF是等邊三角形，∵OB=2∴OE=3，∴OE=OF=EF=3，∴△OEF的面積=

3．如圖，二次函數圖象的頂點為坐標原點O，y軸為對稱軸，且經過點A（3，3），一次函數的圖象經過點A和點B（6，0）．（1）求二次函數與一次函數的解析式；

（2）如果一次函數圖象與y軸相交于點C，E是拋物線上OA段上一點，過點E作y軸平行的直線DE與直線AC交于點D，∠DOE=∠EDA，求點E的坐標；（3）點M是線段AC延長線上的一個動點，過點M作y軸的平行線交拋物線于F，以點O、C、M、F為頂點的四邊形能否為菱形？若能，求出點F的坐標；若不能，請說明理由．

．，【解答】解：（1）設二次函數的解析式為y=ax2，把點A（3，3）代入得3=a×32，解得a=； 設一次函數的解析式為y=kx+b，把點A（3，3）、點B（6，0）代入得，解得，所以二次函數與一次函數的解析式分別為y=x2，y=﹣x+6；

（2）C點坐標為（0，6），∵DE∥y軸，∴∠ODE=∠COD，∠EDA=∠OCD，∵∠DOE=∠EDA，∴∠DOE=∠OCD，∴△OCD∽△DOE，∴OC：OD=OD：DE，即OD2=OC?DE，設E點坐標為（a，a2），則D點坐標為（a，6﹣a），OD2=a2+（6﹣a）2，=2a2﹣12a+36，OC=6，DE=6﹣a﹣a2，∴2a2﹣12a+36=6（6﹣a﹣a2），解得a1=0，a2=，∵E是拋物線上OA段上一點，∴0＜a＜3，∴a=，∴點E坐標為（，）；

（3）以點O、C、M、F為頂點的四邊形不能為菱形．理由如下：

如圖，過O點作OF∥AC交拋物線于F，過F點作FM∥y軸交AC延長線于M點，交x軸于H點，則四邊形OCMF為平行四邊形，∵OC=OB=6，∴△OCB為等腰直角三角形，∴∠OBC=45°，∴∠HOF=45°，∴△OHF為等腰直角三角形，∴HO=HF，設F點坐標為（m，﹣m）（m＞0），把F（m，﹣m）代入y=x2得﹣m=m2，解得m1=0，m2=﹣3，∴m=﹣3，∴HO=HF=3，∴OF=OH=3，而OC=6，∴四邊形OCMF不為菱形．

4．如圖，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O為原點，OC、OA所在直線為軸建立坐標系．拋物線頂點為A，且經過點C．點P在線段AO上由A向點O運動，點Q在線段OC上由C向點O運動，QD⊥OC交BC于點D，OD所在直線與拋物線在第一象限交于點E．（1）求拋物線的解析式；

（2）點E′是E關于y軸的對稱點，點Q運動到何處時，四邊形OEAE′是菱形？（3）點P、Q分別以每秒2個單位和3個單位的速度同時出發，運動的時間為t秒，當t為何值時，PB∥OD？

【解答】解：（1）∵A（0，2）為拋物線的頂點，∴設y=ax2+2，∵點C（3，0），在拋物線上，∴9a+2=0，解得：a=﹣，∴拋物線為；y=﹣x2+2；

（2）如果四邊形OEAE′是菱形，則AO與EE′互相垂直平分，∴EE′經過AO的中點，∴點E縱坐標為1，代入拋物線解析式得： 1=﹣x2+2，解得：x=±，∵點E在第一象限，∴點E為（，1），設直線BC的解析式為y=kx+b，把B（1，2），C（3，0），代入得：，解得：，∴BC的解析式為：y=﹣x+3，將E點代入y=ax，可得出EO的解析式為：y=由，x，得：，∴Q點坐標為：（∴當Q點坐標為（，0），0）時，四邊形OEAE′是菱形；

（3）法一：設t為m秒時，PB∥DO，又QD∥y軸，則有∠APB=∠AOE=∠ODQ，又∵∠BAP=∠DQO，則有△APB∽△QDO，∴=，由題意得：AB=1，AP=2m，QO=3﹣3m，又∵點D在直線y=﹣x+3上，∴DQ=3m，因此：=，解得：m=，經檢驗：m=是原分式方程的解，∴當t=秒時，PB∥OD．

法二：作BH⊥OC于H，則BH=AO=2，OH=AB=1，HC=OC﹣OH=2，∴BH=HC，∴∠BCH=∠CBH=45°，易知DQ=CQ，設t為m秒時PB∥OE，則△ABP∽△QOD，∴∴==，易知AP=2m，DQ=CQ=3m，QO=3﹣3m，解得m=，經檢驗m=是方程的解，∴當t為秒時，PB∥OD．

5．如圖，在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的三個頂點A（﹣3，4）、B（﹣3，0）、C（﹣1，0）．以D為頂點的拋物線y=ax2+bx+c過點B．動點P從點D出發，沿DC邊向點C運動，同時動點Q從點B出發，沿BA邊向點A運動，點P、Q運動的速度均為每秒1個單位，運動的時間為t秒．過點P作PE⊥CD交BD于點E，過點E作EF⊥AD于點F，交拋物線于點G．（1）求拋物線的解析式；

（2）當t為何值時，四邊形BDGQ的面積最大？最大值為多少？

（3）動點P、Q運動過程中，在矩形ABCD內（包括其邊界）是否存在點H，使以B，Q，E，H為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接寫出此時菱形的周長；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）由題意得，頂點D點的坐標為（﹣1，4）． 設拋物線的解析式為y=a（x+1）2+4（a≠0），∵拋物線經過點B（﹣3，0），代入y=a（x+1）2+4 可求得a=﹣1

∴拋物線的解析式為y=﹣（x+1）2+4，即y=﹣x2﹣2x+3．

（2）由題意知，DP=BQ=t，∵PE∥BC，∴△DPE∽△DBC． ∴==2，∴PE=DP=t．

∴點E的橫坐標為﹣1﹣t，AF=2﹣t．

將x=﹣1﹣t代入y=﹣（x+1）2+4，得y=﹣t2+4． ∴點G的縱坐標為﹣t2+4，∴GE=﹣t2+4﹣（4﹣t）=﹣t2+t． 如圖1所示：連接BG．

S四邊形BDGQ=S△BQG+S△BEG+S△DEG，即S四邊形BDGQ=BQ?AF+EG?（AF+DF）=t（2﹣t）﹣t2+t． =﹣t2+2t=﹣（t﹣2）2+2．

∴當t=2時，四邊形BDGQ的面積最大，最大值為2．（3）存在． ∵CD=4，BC=2，∴tan∠BDC=，BD=2∴cos∠BDC=∵BQ=DP=t，∴DE=t． ．

．

如圖2所示：當BE和BQ為菱形的鄰邊時，BE=QB．

∵BE=BD﹣DE，∴BQ=BD﹣DE，即t=

2﹣

t，解得t=20﹣8．

．

∴菱形BQEH的周長=80﹣32如圖3所示：當BE為菱形的對角時，則BQ=QE，過點Q作QM⊥BE，則BM=EM．

∵MB=cos∠QBM?BQ，∴MB=∴BE=t． t．

∵BE+DE=BD，∴t+t=2，解得：t=

．

或80﹣32

．

．

∴菱形BQEH的周長為綜上所述，菱形BQEH的周長為

6．如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a交x軸于A、B兩點，交y的正半軸于點C，連接BC，且OB=OC．（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖2，點D為第一象限拋物線上一點，過點D作DE⊥BC于點E，設DE=d，點D的橫坐標為t，求d與t的函數關系式；

（3）在（2）的條件下，點F為拋物線的頂點，對稱軸交x軸于點G，連接DF，過D作DH⊥DF交FG于點H，點M為對稱軸左側拋物線上一點，點N為平面上一點且tan∠HDN=，當四邊形DHMN為菱形時，求點N的坐標．

【解答】解：（1）對于拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a，令y=0，得到ax2﹣2ax﹣3a=0，解得x=﹣1或3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∴OA=1，OB=OC=3，∴C（0，3），∴﹣3a=3，∴a=﹣1，∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3．

（2）如圖2中，作DT⊥AB于T，交BC于R．設D（t，﹣t2+2t+3）．

∵OB=OC，∠BOC=∠RTB=90°，∴∠OBC=∠TRB=∠DRE=45°，∵DE⊥BC，∴∠DER=90°，∴△DER是等腰直角三角形，∵直線BC的解析式為y=﹣x+3，∴R（t，﹣t+3），∴DR=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴DE=DR?cos45°=﹣

t2+

t．

（3）如圖3中，∵四邊形DHMN是菱形，點H在對稱軸上，∴D、M關于對稱軸對稱，點N在對稱軸上，設DM交FH于Q，作HK⊥DN于K． ∵tan∠HDK==，設HK=12k，DK=5k，則DH=

=13k，∴DN=DH=13k，NK=DN﹣DK=8k，在Rt△NHK中，NH=∴QN=QH=2k，=

=

4k，∵S△DNH=?NH?DQ=?DN?HK，∴DQ=3，=，∴tan∠QDH=

∵DF⊥DH，∴∠QDH+∠FDQ=90°，∵∠QFD+∠FDQ=90°，∴∠DFQ=∠QDH，∴tan∠DFQ==，∵拋物線的頂點F（1，4），Q（1，﹣t2+2t+3），∴FQ=4﹣（﹣t2+2t+3），∴解得t=，∴D（，），∴DQ=﹣1=，∵=，=，∴QN=1，∴N（1，7．已知拋物線y=ax2+bx+8（a≥1）過點D（5，3），與x軸交于點B、C（點B、C均在y軸右側）且BC=2，直線BD交y軸于點A．（1）求拋物線的解析式；

（2）在坐標軸上是否存在一點N，使△ABN與△BCD相似？若存在，求出點A、N的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）在直線BD上是否存在一點P和平面內一點Q，使以Q、P、B、C四點為頂點的四邊形為菱形？若存在，請直接寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由．）．

【解答】解：

（1）設B點坐標為（x1，0），C點坐標為（x2，0），則x1、x2是方程ax2+bx+8=0的兩根，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∵BC=|x1﹣x2|=2，∴（x1﹣x2）2=4，即（x1+x2）2﹣4x1x2=4，∴﹣=4①，把D點坐標代入拋物線解析式可得25a+5b+8=3②，由①②可解得或（舍去），∴拋物線解析式為y=x2﹣6x+8；

（2）在y=x2﹣6x+8中，令y=0可得x2﹣6x+8=0，解得x=2或x=4，∴B（2，0），C（4，0），設直線BD解析式為y=kx+s，把B、D坐標代入可得∴直線BD解析式為y=x﹣2，∴A（0，﹣2），①當點N在x軸上時，設N（x，0），則點N應在點B左側，∴BN=2﹣x，∵A（0，﹣2），B（2，0），D（5，3），∴AB=2，BD=3，解得，∵∠ABN=∠DBC，∴有△BCD∽△BNA或△BCD∽△BAN，當△BCD∽△BNA時，則有（，0）；

=，即

=，解得x=，此時N點坐標為

當△BCD∽△BAN時，則有為（﹣4，0）；

=，即=，解得x=﹣4，此時N點坐標②當點N在y軸上時，設N（0，y），則點N應在A點上方，∴AN=y+2，由上可知有△BCD∽△ABN或△BCD∽△ANB，當△BCD∽△ABN時，則有（0，4）；

當△BCD∽△ANB時，則有為（0，）；

綜上可知存在滿足條件的N點，其坐標為（，0）或（﹣4，0）或（0，4）或（0，）；

=，即=，解得y=4，此時N點坐標為

=，即=，解得y=﹣，此時N點坐標（3）∵點P在直線BD上，∴可設P（t，t﹣2），∴BP=

=

|t﹣2|，PC=

=，∵以Q、P、B、C四點為頂點的四邊形為菱形，∴有BC為邊或BC為對角線，當BC為邊時，則有BP=BC，即坐標為（2+，）或（2﹣

|t﹣2|=2，解得t=2+，）； |t﹣2|=，解得t=3，此時P或t=2﹣，此時P點當BC為對角線時，則有BP=PC，即點坐標為（3，1）；

綜上可知存在滿足條件的點P，其坐標為（2+1）．，）或（2﹣，）或（3，8．已知，如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的邊BC在x軸上，頂點A在y軸的正半軸上，OA=2，OB=1，OC=4．

（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；

（2）設點G是對稱軸上一點，求當△GAB周長最小時，點G的坐標；

（3）若拋物線對稱軸交x軸于點P，在平面直角坐標系中，是否存在點Q，使△PAQ是以PA為腰的等腰直角三角形？若存在，寫出所有符合條件的點Q的坐標，并選擇其中一個的加以說明；若不存在，說明理由；

（4）設點M是x軸上的動點，試問：在平面直角坐標系中，是否存在點N，使得以點A、B、M、N為頂點的四邊形是菱形？若存在，直接寫出點N的坐標；若不存在，說明理由．

【解答】解：（1）由題意可求，A（0，2），B（﹣1，0），點C的坐標為（4，0）． 設過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=a（x﹣4）（x+1），把點A（0，2）代入，解得：a=﹣，所以拋物線的解析式為：y=﹣（x﹣4）（x+1）=（2）如圖1，物線y=的對稱軸為：x=，由點C是點B關于直線：x=的對稱點，所以直線AC和直線x=的交點即為△GAB周長最小時的點G，設直線AC的解析式為：y=mx+n，把A（0，2），點C（4，0）代入得：．，解得：所以：y=，x+2，當x=時，y=，所以此時點G（，）；（3）如圖2

使△PAQ是以PA為腰的等腰直角三角形的所有符合條件的點Q的坐標：Q1（，），Q2（，﹣），Q3（2，），Q4（﹣2，），證明Q1：過點Q1作Q1M⊥x軸，垂足為M，由題意：∠APQ1=90°，AP=PQ1，∴∠APO+∠MPQ1=90°，∵∠APO+∠PAO=90°，∴∠PAO=∠MPQ1，在△AOP和△MPQ1中，∴△AOP≌△MPQ1，∴PM=AO=2，Q1M=OP=，∴OM=，此時點Q的坐標為：（，）；（4）存在

點N的坐標為：（0，﹣2），（9．如圖，拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其對稱軸交拋物線于點D，交x軸于點E，已知OB=OC=6．（1）求拋物線的解析式及點D的坐標；

（2）連接BD，F為拋物線上一動點，當∠FAB=∠EDB時，求點F的坐標；（3）平行于x軸的直線交拋物線于M、N兩點，以線段MN為對角線作菱形MPNQ，當點P在x軸上，且PQ=MN時，求菱形對角線MN的長．，2），（﹣，2），（，2）．

【解答】解：（1）∵OB=OC=6，∴B（6，0），C（0，﹣6），∴，解得，∴拋物線解析式為y=x2﹣2x﹣6，∵y=x2﹣2x﹣6=（x﹣2）2﹣8，∴點D的坐標為（2，﹣8）；

（2）如圖1，過F作FG⊥x軸于點G，設F（x，x2﹣2x﹣6），則FG=|x2﹣2x﹣6|，在y=x2﹣2x﹣6中，令y=0可得x2﹣2x﹣6=0，解得x=﹣2或x=6，∴A（﹣2，0），∴OA=2，則AG=x+2，∵B（6，0），D（2，﹣8），∴BE=6﹣2=4，DE=8，當∠FAB=∠EDB時，且∠FGA=∠BED，∴△FAG∽△BDE，∴=，即

==，當點F在x軸上方時，則有點坐標為（7，）；

=，解得x=﹣2（舍去）或x=7，此進F當點F在x軸下方時，則有F點坐標為（5，﹣）；

=﹣，解得x=﹣2（舍去）或x=5，此進綜上可知F點的坐標為（7，）或（5，﹣）；

（3）∵點P在x軸上，∴由菱形的對稱性可知P（2，0），如圖2，當MN在x軸上方時，設T為菱形對角線的交點，∵PQ=MN，∴MT=2PT，設PT=n，則MT=2n，∴M（2+2n，n），∵M在拋物線上，∴n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=∴MN=2MT=4n=+1；

或n=

（舍去），當MN在x軸下方時，同理可設PT=n，則M（2+2n，﹣n），∴﹣n=（2+2n）2﹣2（2+2n）﹣6，解得n=∴MN=2MT=4n=﹣1；

+1或

﹣1．

或n=

（舍去），綜上可知菱形對角線MN的長為

10．如圖，拋物線y=ax2﹣2x+c（a≠0）與x軸、y軸分別交于點A，B，C三點，已知點A（﹣2，0），點C（0，﹣8），點D是拋物線的頂點．

（1）求拋物線的解析式及頂點D的坐標；

（2）如圖1，拋物線的對稱軸與x軸交于點E，第四象限的拋物線上有一點P，將△EBP沿直線EP折疊，使點B的對應點B'落在拋物線的對稱軸上，求點P的坐標；

（3）如圖2，設BC交拋物線的對稱軸于點F，作直線CD，點M是直線CD上的動點，點N是平面內一點，當以點B，F，M，N為頂點的四邊形是菱形時，請直接寫出點M的坐標．

【解答】解：（1）將點A、點C的坐標代入拋物線的解析式得：解得：a=1，c=﹣8．

∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣8． ∵y=（x﹣1）2﹣9，∴D（1，﹣9）．

（2）將y=0代入拋物線的解析式得：x2﹣2x﹣8=0，解得x=4或x=﹣2，∴B（4，0）． ∵y=（x﹣1）2﹣9，∴拋物線的對稱軸為x=1，∴E（1，0）．

∵將△EBP沿直線EP折疊，使點B的對應點B'落在拋物線的對稱軸上，∴EP為∠BEF的角平分線． ∴∠BEP=45°．

設直線EP的解析式為y=﹣x+b，將點E的坐標代入得：﹣1+b=0，解得b=1，∴直線EP的解析式為y=﹣x+1．

將y=﹣x+1代入拋物線的解析式得：﹣x+1=x2﹣2x﹣8，解得：x=x=．

或，∵點P在第四象限，∴x=∴y=． ．

∴P（，）．

（3）設CD的解析式為y=kx﹣8，將點D的坐標代入得：k﹣8=﹣9，解得k=﹣1，∴直線CD的解析式為y=﹣x﹣8．

設直線CB的解析式為y=k2x﹣8，將點B的坐標代入得：4k2﹣8=0，解得：k2=2． ∴直線BC的解析式為y=2x﹣8．

將x=1代入直線BC的解析式得：y=﹣6，∴F（1，﹣6）．

設點M的坐標為（a，﹣a﹣8）．

當MF=MB時，（a﹣4）2+（a+8）2=（a﹣1）2+（a+2）2，整理得：6a=﹣75，解得：a=﹣．，）． ∴點M的坐標為（﹣當FM=FB時，（a﹣1）2+（a+2）2=（4﹣1）2+（﹣6﹣0）2，整理得：a2+a﹣20=0，解得：a=4或a=﹣5．

∴點M的坐標為（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）． 綜上所述，點M的坐標為（﹣

11．如圖，?ABCD的兩個頂點B，D都在拋物線y=tan∠ACB=．

（1）求拋物線的解析式；

（2）在拋物線上是否存在點E，使以A，C，D，E為頂點的四邊形是菱形？若存在，請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

（3）動點P從點A出發向點D運動，同時動點Q從點C出發向點A運動，運動速度都是每秒1個單位長度，當一個點到達終點時另一個點也停止運動，運動時間為t（秒）．當t為何值時，△APQ是直角三角形？

x2+bx+c上，且OB=OC，AB=5，）或（4，﹣12）或（﹣5，﹣3）．

【解答】解：（1）∵OB=OC，OA⊥BC，AB=5，∴AB=AC=5． ∴tan∠ACB=∴． =，由勾股定理，得OA2+OC2=AC2，∴（∴）2+OC2=52，解得OC=±4（負值舍去）．，OB=OC=4，AD=BC=8．

∴A（0，3），B（﹣4，0），C（4，0），D（8，3）．

∴

解之得，x2+x+5； ∴拋物線的解析式為y=

（2）存在．

∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AC=AB=CD． 又∵AD≠CD，∴當以A，C，D，E為頂點的四邊形是菱形時，AC=CD=DE=AE． 由對稱性可得，此時點E的坐標為（4，6）當x=4時，y=x2+x+5=6，所以點（4，6）在拋物線y=

x2+x+5上．

∴存在點E的坐標為（4，6）；

（3）∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB＜90°．

∴當△APQ是直角三角形時，∠APQ=90°或∠AQP=90°． ∵∴．，由題意可知AP=t，AQ=5﹣t，0≤t≤5． 當∠APQ=90°時，∴解得，．，．，當∠AQP=90°時，∴∵∴或，解得，．

12．如圖，Rt△ABO的兩直角邊OA、OB分別在x軸的負半軸和y軸的正半軸上，O為坐標原點，A、B兩點的坐標分別為（﹣3，0）、（0，4），拋物線y=x2+bx+c經過B點，且頂點在直線x=上（1）求拋物線對應的函數關系式；

（2）若△DCE是由△ABO沿x軸向右平移得到的，若M點是CD所在指向下方該拋物線上的一個動點，過點M作MN平行于y軸交CD于點N，設點M的橫坐標為t，MN的長度為L，求l與t之間的函數關系式，并求l取最大值時，點

M的坐標；

（3）△ABO沿x軸向右平移得到△DCE，當四邊形ABCD是菱形時，連接BD，點P在拋物線上，若△PBD是以BD為直角邊的直角三角形，請求出此時P點的坐標．

【解答】解：（1）∵拋物線頂點在直線x=上，∴﹣=，解得b=﹣∵拋物線y=x2+bx+c經過點B（0，4），∴c=4，∴拋物線對應的函數關系式為y=x2﹣

x+4；

（2）設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），則 解得，所以，直線AB的解析式為y=x+4，當過點M平行于AB的直線與拋物線只有一個交點時，點M到CD的距離最大，此時MN的值最大，此時，設過點M的直線解析式為y=x+m，聯立，消掉y得，x2﹣x+4=x+m，整理得，2x2﹣14x+12﹣3m=0，△=b2﹣4ac=（﹣14）2﹣4×2×（12﹣3m）=0，解得m=﹣此時，x=﹣y=×﹣，=，=，）使MN的值最大． 所以，點M（（3）四邊形ABCD是菱形時，點C、D在該拋物線上． 理由如下：∵A（﹣3，0），B（0，4），∴OA=3，OB=4，∴AB==5，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=BC=AD=5，∴D（2，0），∴直線BD的解析式為y=﹣2x+4，①當B為Rt△PBD 直角頂點時，直線PB的解析式為y=x+4，由解得或，∴P（，）．

②當D為Rt△PBD 直角頂點時，直線PD的解析式為y=x﹣1，由解得或，∴P（，），）或（，）． 綜上所述，滿足條件的點P坐標為（13．如圖，直線y=x+1與y軸交于A點，過點A的拋物線y=﹣x2+bx+c與直線交于另一點B，過點B作BC⊥x軸，垂足為點C（3，0）．（1）直接寫出拋物線的解析式；

（2）動點P在線段OC上從原點出發以每秒一個單位的速度向C移動，過點P作PN⊥x軸，交直線AB于點M，交拋物線于點N，設點P移動的時間為t秒，MN的長度為s個單位，求s與t的函數關系式，并寫出t的取值范圍；（3）設在（2）的條件下（不考慮點P與點O，點C重合的情況），連接CM，BN，當t為何值時，四邊形BCMN為平行四邊形？對于所求的t值，平行四邊形BCMN是否菱形？請說明理由．

【解答】解：（1）∵BC⊥x軸，垂足為點C，C（3，0），∴B的橫坐標為3．

將x=3代入y=x+1得：y=． ∴B（3，）．

將x=0代入y=x+1得：y=1． ∴A（0，1）．

將點A和點B的坐標代入得：∴拋物線的解析式為y=﹣x2+，解得：b=

x+1．，c=1．

（2）設點P的坐標為（t，0），則N（t，﹣t2+∴S=（﹣t2+

t+1），M（t，t+1）．

t+1）﹣（t+1）=﹣t2+

t．（0＜t＜3）．

（3）∵MN∥BC，∴當MN=NB時，四邊形BCMN為平行四邊形． ∴﹣t2+t=，解得t=1或t=2．

∴當t=1或t=2時，四邊形BCMN為平行四邊形． 當t=1時，M（1，）．

依據兩點間的距離公式可知：MC=∴MN=MC．

∴四邊形BCMN為菱形． 當t=2時，M（2，2），則MC=∴MC≠MN．

∴此時四邊形BCMN不是菱形．

綜上所述，當t=1時，四邊形BCMN為菱形．

14．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx+

（其中a、b為常數，a≠

=

． =．

0）經過點A（﹣1，0）和點B（3，0），且與y軸交于點C，點D為對稱軸與直線BC的交點．

（1）求該拋物線的表達式；

（2）拋物線上存在點P，使得△DPB∽△ACB，求點P的坐標；

（3）若點Q為點O關于直線BC的對稱點，點M為直線BC上一點，點N為坐標平面內一點，是否存在這樣的點M和點N，使得以Q、B、M、N為頂點的四

邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）將A（﹣1，0）、B（3，0）代入y=ax2+bx+

中，得：，解得：，∴該拋物線的表達式為y=﹣

x2+

x+．

（2）當x=0時，y=∴C（0，），．

∵A（﹣1，0）、B（3，0），∴AB=4，AC=2，BC=2∵AB2=AC2+BC2，∴∠ACB=90°，∴△ABC為直角三角形．且∠ABC=30°，設直線BC的解析式為y=kx+將點B（3，0）代入y=kx+得：0=3k+，解得：k=﹣，中，x+

．，∴直線BC的解析式為y=﹣當x=1時，y=∴D（1，）．，設點P的坐標為（m，﹣

m2+

m+），如圖1，過點P作PE⊥OB于點E，則BE=3﹣m，PE=﹣在Rt△ABC中，∵△DPB∽△ACB，∴∠ABC=∠DBP=30°，∴∠PBE=60°，則tan∠PBE=，即

m2+

m+，=，解得：m=2或m=3（舍），∴點P的坐標為（2，）．

（3）根據題意，如圖2，直線BC垂直平分OQ，且kBC=﹣，∴kOQ=，x，點Q的坐標為（a，a），a），設直線OQ解析式為y=則OQ的中點F坐標為（a，將點Q代入直線BC的解析式為y=﹣解得：a=，∴Q（，則BQ=），=3，x+，得：﹣a+=a，①當BQ是四邊形BQNM的邊時，∵四邊形BQNM是菱形，∴NQ∥BC，且NQ=BQ，∴kNQ=kBC=﹣，（x﹣）+，即y=﹣

x+

2，∴直線NQ解析式為y=﹣設N（m，﹣m+2），由NQ=BQ，即NQ2=BQ2可得（m﹣）2+（﹣解得：m=，）、（m+2﹣）2=9，此時點N的坐標為（若MQ∥BN，且BN=BQ，）；

根據菱形的性質可知BM垂直平分NQ，∴點N與點O重合，即N（0，0）； ②當BQ為四邊形BMQN的對角線時，∵四邊形BMQN是菱形，∴BQ、MN互相垂直平分，由B（3，0）、Q（，∴kMN=則yMN=，（x﹣）+

=

x，）可得yBQ=﹣

x+

3，BQ中點H（，），由可得點M（，），設點N坐標為（m，n），由M、N的中點H（，）可得：，解得：，即點N的坐標為（3，綜上，點N的坐標為（（3，）．），）或（，）或（0，0）或15．如圖，對稱軸為直線x=的拋物線經過點A（6，0）和B（0，4）．（1）求拋物線解析式及頂點坐標；

（2）設點E（x，y）是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形，求四邊形OEAF的面積S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；

（3）①當四邊形OEAF的面積為24時，請判斷OEAF是否為菱形？

②是否存在點E，使四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

（4）在（3）①的條件下，當四邊形OEAF為菱形時，設動點P在直線OE下方的拋物線上移動，則點P到直線OE的最大距離是 0.1 ．

【解答】解：（1）由題可設拋物線的解析式為y=a（x﹣）2+k，∵拋物線經過點A（6，0）和B（0，4），∴．

解得；．

∴拋物線的解析式為y=（x﹣）2﹣，此時頂點坐標為（，﹣）．

（2）過點E作EH⊥OA，垂足為H，如圖1，由（x﹣）2﹣=0得x1=1，x2=6．

∵點E（x，y）是拋物線上位于第四象限一動點，∴1＜x＜6，﹣≤y＜0．

∵四邊形OEAF是平行四邊形，∴△OAE≌△AOF．

∴S=2S△OAE=2×OA?EH=OA?EH =﹣6y

=﹣6×[（x﹣）2﹣=﹣4（x﹣）2+25．

∴四邊形OEAF的面積S與x之間的函數關系式為S=﹣4（x﹣）2+25，其中1＜x＜6．

]

（3）①當S=24時，﹣4（x﹣）2+25=24，解得x1=4，x2=3． Ⅰ．當x=4時，y=×（4﹣）2﹣

=﹣4，則點E（4，﹣4）．

過點E作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2，則有OH=4，EH=4，AH=2． ∵EH⊥x軸，∴OE=4，AE=2．

∴OE≠AE．

∴平行四邊形OEAF不是菱形． Ⅱ．當x=3時，y=×（3﹣）2﹣

=﹣4，則點E（3，﹣4）．

過點E作EH⊥x軸，垂足為H，如圖3，則有OH=3，EH=4，AH=3． ∵EH⊥x軸，∴OE=5，AE=5． ∴OE=AE．

∴平行四邊形OEAF是菱形．

綜上所述；當點E為（4，﹣4）時，平行四邊形OEAF不是菱形；當點E為（3，﹣4）時，平行四邊形OEAF是菱形． ②不存在點E，使四邊形OEAF為正方形． 理由如下：

當點E在線段OA的垂直平分線上時，EO=EA，則平行四邊形OEAF是菱形，如圖4，此時，xE==3，yE=﹣4，點E為（3，﹣4）．

則有OA=6，EF=8． ∵OA≠EF，∴菱形OEAF不是正方形．

∴不存在點E，使四邊形OEAF為正方形．

（4）在（3）①的條件下，當四邊形OEAF為菱形時，點E的坐標為（3，﹣4）． 設直線OE的解析式為y=mx，則有3m=﹣4，解得m=﹣． ∴直線OE的解析式為y=﹣x．

設與直線OE平行且與拋物線y=（x﹣）2﹣x+n，相切的直線l的解析式為y=﹣

∴方程（x﹣）2﹣=﹣x+n即2x2﹣10x+12﹣3n=0有兩個相等的實數根．

∴（﹣10）2﹣4×2×（12﹣3n）=0． 解得：n=﹣．

∴直線l的解析式為y=﹣x﹣．

設直線l與x軸、y軸分別相交于點M、N，過點O作OG⊥MN．垂足為G，如圖5，由﹣x﹣=0得x=﹣，則點M（﹣，0）；由x=0得y=﹣，則點N（0，﹣）． 在Rt△MON中，∵OM=，ON=，∴MN=∴OG===0.1．

．

∴直線OA與直線l之間的距離是0.1． ∴點P到直線OE的最大距離是0.1． 故答案為：0.1．

16．如圖，已知拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經過點A（1，0），B（6，0）和C（0，4）三個點．

（1）求拋物線的解析式；

（2）設點E（m，n）是拋物線上一個動點，且位于第四象限，四邊形OEBF是以OB為對角線的平行四邊形，求四邊形OEBF的面積S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值范圍；

（3）當四邊形OEBF的面積為24時，請判斷四邊形OEBF是否為菱形？

【解答】（1）解：∵把A（1，0），B（6，0），C（0，4）代入y=ax2+bx+c得：解得：a=，b=﹣，c=4，x+4．，∴拋物線的解析式是y=x2﹣

（2）解：∵E在拋物線y=x2﹣

x+4上，E（m，n），∴E的坐標是（m，m2﹣

m+4），∵E在第四象限，且四邊形OEBF是平行四邊形，OB為對角線，∴平行四邊形OEBF的面積等于2S△OBE，即S=2××OB×（﹣n），∴S=2××6×（﹣m2+∵A（1，0），B（6，0），∴m的范圍是1＜m＜6，答：四邊形OEBF的面積S與m之間的函數關系式是S=﹣4m2+28m﹣24，自變量m的取值范圍是1＜m＜6．

m﹣4）=﹣4m2+28m﹣24，（3）解：根據題意得：S=﹣4m2+28m﹣24=24，即m2﹣7m+12=0，解得：m=3，m=4，當m=3時，y=x2﹣當m=4時，y=x2﹣

x+4=﹣4，x+4=﹣4，=5，∵當O（0，0），E（3，﹣4），B（6，0）時，由勾股定理得：OE=BE=即OE=BE，∴此時四邊形OEBF是菱形；

∵當O（0，0），E（4，﹣4），B（6，0）時，由勾股定理得：OE=BE==

2，=4=5，即OE和BE不相等，∴此時四邊形OEBF不是菱形；

綜合上述，當四邊形OEBF的面積為24時，四邊形OEBF不是菱形．

17．如圖，拋物線y=x2+bx+c與直線l：y=kx+m交于A（4，2）、B（0，﹣1）

兩點．

（1）求拋物線與直線的解析式；

（2）若點D是直線l下方拋物線上的一動點，過點D作DE∥y軸交直線l于點E，求DE的最大值，并求出此時D的坐標；

（3）在（2）的條件下，DE取最大值時，點P在直線AB上，平面內是否存在點Q，使得以點D、E、P、Q為頂點的四邊形為菱形？若存在，直接寫出Q點坐標；若不存在，請說明理由．

【解答】解：（1）∵拋物線y=x2+bx+c與直線l：y=kx+m交于A（4，2）、B（0，﹣1）兩點，∴，λ

解得：，．

∴拋物線的解析式為：y=x2﹣x﹣1，直線的解析式為：y=x﹣1；

（2）設點D的坐標為：（x，x2﹣x﹣1），則點E的坐標為：（x，x﹣1），∴ED=（x﹣1）﹣（x2﹣x﹣1）=﹣x2+2x=﹣（x﹣2）2+2，∴DE的最大值為：2，∴此時D的坐標為：（2，﹣）；

（3）當DE取最大值時，E的坐標為：（2，），∴DE=2，

第五篇：中考化學壓軸題 實驗探究題

中考化學壓軸題-實驗探究題

[提出問題]

該淡黃色固體的化學成分是什么？

[查閱資料]

（1）硫單質是一種淡黃色固體，難溶于水，在空氣中點燃硫單質，生成一種無色、有刺激性氣味的氣體。

（2）過氧化鈉（Na2O2）是一種淡黃色固體，能與水反應，生成氣體并放出大量的熱。

[設計實驗方案]

方案一：取少量該固體粉末于試管中，加

2mL

水，振蕩并觀察現象。方案二：在燃燒匙里放少量該固體，在酒精燈上加熱，觀察現象。

比較以上兩方案，你認為的最佳方案是，理由是（從環保、操作等角度分析）。

[實驗驗證并得出結論]

小明向盛有少量該固體的試管中加入

2mL

水，立刻觀察到有無色氣泡產生，并且驗證出該反應同時生成了氫氧化鈉（NaOH）。通過實驗驗證，確定該淡黃色粉末為過氧化鈉。

小明想對生成的氣體成分判斷，他提出了以下兩種假設：

①該氣體是

CO

②該氣體是

O2

你

認

為

上

述

假

設

哪

個

更

合理？

并

說

明

選

擇的理由。

請設計一個實驗，驗證你的合理假設（寫出簡要操作步驟、實驗現象和結論）。

操作步驟

實驗現象

結論

操作步驟

實驗現象

結論

取少量固體粉末于試管中，向試管中加入

2mL

水，將帶火星的木條伸入試管中

有氣泡，木條復燃

該氣體為氧氣

2．為進一步研究高錳酸鉀的分解產物，某興趣小組同學查閱資料，并取一定質量的高錳酸鉀加熱使之完全分解，然后分別進行了以下三個實驗。

【實驗內容】：

編

號

實驗內容

實驗現象

實驗結論

取反應后固體剩余物0.2g

加入5mL

6%的H2O2

溶液中

劇烈反應，放出大量熱量，產生大量氣體

固體剩余物中的MnO2

對

H2O2

分解有催化作

用

取

0.2gMnO2

加

入

5mL

a

（H2O2

溶液的質量分數）的H2O2

溶液中

平穩反應，放出熱量，持續產生氣體

MnO2

對

H2O2

分解有催化作用

取反應后固體剩余物1.0g

加入足量水中，充分溶解，過濾

固體完全溶解，濾紙上無黑色固體

殘余物

固體剩余物中無

b

【實驗分析】

（1）完成上表中的填空內容：a、b；

（2）實驗

2的目的是；

（3）同學們經過討論，認為實驗

1的結論不正確，理由是；

【查閱資料】

Ⅰ、KMnO4

受熱分解時，在某條件下可能發生以下兩個反應：

①6KMnO4

2K2MnO4+K2Mn4O8+4O2↑

②KMnO4

KMnO2+O2↑

Ⅱ、相對分子質量：（KMnO4：158

O2：32）

（4）16gKMnO4

中氧元素的質量為

；加熱使之完全分解，若完全發生反應①，生成O2的質量為

；若同時發生反應①②，生成O2的質量范圍是。

（保留二位小數。提示：依據質量守恒定律觀察）

①a：6%

b：KMnO4

分解后的產物中沒有

MnO2

②和實驗

進行對比，確定

MnO2的催化作用

③可能是分解后產物中其他物質起催化作用

③6.48g

2.16g

2.16g～3.24g

3．張麗同學欲通過實驗證明“二氧化錳是過氧化氫分解的催化劑”這一命題。她設計并完成了下表所示的探究實驗：

實驗操作

實

驗

現象

實驗結論或總結

結論

總結

實一

驗

取

5mL5%的過氧化氫溶液于試管中，伸入帶火星的木條

有

氣

泡產生，木條

不

復燃

過氧化氫分解產生氧氣，但反應速率。

反應的化學方程式為：。

二

氧

化錳

是

過

實二

驗

向盛水的試管中加入二

氧化錳，伸入帶火星的木條

沒

有

明顯現象

氧

化

氫

分

解的催化劑

實三

驗

二氧化錳能加快過氧化氫的分解

請你幫張麗同學填寫上表中未填完的空格。

（1）在張麗的探究實驗中，“實驗一”和“實驗二”起的作用是。

（2）小英同學認為僅由上述實驗還不能完全得出表內的“總結”，她補充設計了兩個方面的探究實驗，最終完成了對“命題”的實驗證明。

第一方面的實驗操作中包含了兩次稱量，其目的是：；

第二方面的實驗是利用“實驗三”反應后試管內的剩余物繼續實驗。接下來的實驗操作是：。

實驗步驟和方法

實驗現象

實驗結論

實驗一：取一小段光亮銅片，放

推

知

入試管內，然后用試管夾夾持試

銅片變黑

（填甲、乙、丙）的錯

管，放在酒精燈的外焰部位加熱。

誤。說明黑色物質的出

現

可能

與

空

氣中的有關。

實驗二：取一試管，將一小段光

取下膠塞前的現象：

亮銅片放入試管中，塞上膠塞，并用注射器抽出試管內的空氣。取下膠塞后的現

乙的猜想正確

封好膠塞，并加熱，趁熱取下膠

象：

塞，觀察現象。

實驗操作

實驗主要現象

①

取少量原料樣品于試管中，加入一定量的水充分溶解

溶液變渾濁，且有明顯放熱

②

靜置一段時間后，過濾，向濾液中加入過量的試劑

A

無明顯變化

③

向白色固體中加入試劑

B，將產生的氣體通入試劑

A

白色固體消失，有氣泡產生，試劑

A

變渾濁

實驗步驟

實驗現象

實驗結論

實驗一

有少量氣泡木條不復燃

常

溫

下

過

氧

化

氫溶

液

分

解

速

率

很慢．

實驗二

在裝有過氧化氫溶液的試管中加入少量

Al2

O3，然后將帶火星的木條伸入試管中

產生大量的氣泡木條復燃

步驟③現象

步驟⑥結果

步驟⑦操作

結論，帶火星的木條復燃

在過氧化氫溶液的分解反應中，氧化銅也能作催化劑

第一組

第二組

第三組

第四組

物質

MgSO4

Na2SO4

(NH4)2SO4

H2SO4

溶解度

35．1g

19．5g

75．4g

與水任意比互

溶

實驗操作

實驗現象

實驗結論

①取該溶液少許于試管中，向其中滴加幾滴

溶液

溶液中有白色沉淀生成猜想①成立

②用玻璃棒蘸取少許原溶液滴在pH

試紙上，并跟標準比色卡對照

溶液

pH

小于

猜想③成立

實驗操作

實驗現象

實驗結論

取該溶液少許于試管中，猜想④成立，該反應的化學方程式為

實驗步驟

實驗現象和結論

實驗操作

實驗現象

實驗結論

（1）取少量固體于試管中，加適量水振蕩后靜置，再滴幾滴無色酚酞試液．

溶液變紅

剩余固體成分中一定含有

．（填化學

式）

（2）

剩余固體成分中

一定含有碳酸鈣．

實驗步驟

預計現象

預計結論

取少量反應后的溶液于試管中，逐滴加入碳酸鈉溶液。

猜想（B）正確

猜想（C）正確

實驗操作

實驗現象

實驗結論

取適量該漂白液與燒杯中，該漂白液已完全失效

實驗步驟

預期實驗現象

實驗目的或預期結論

步驟①；取少量該漂白液于試管中，加

入，靜置，觀

察

產生白色沉淀

目的：

步驟②：取上層清液于試管中，觀察

結論：

猜想成立；否則，另一位同學猜想成立。

實驗步驟

實驗現象

實驗結論

用潔凈干燥的玻璃棒蘸取少量反應后的溶液滴在干

燥的pH

試紙上，觀察顏色變化并與標準比色卡對比．

pH

（填“＞”、“=”或“＜”）7

猜想一不成立

實驗步驟

實驗現象

實驗結論

操作步驟

實驗現象

實驗結論

分別用

A，B，C

三支試管取樣，然后各加入適量碳酸鈉溶液

A

中

B

中

C

中

A

中的物質是食鹽水

B

中的物質是稀鹽酸

C

中的物質是澄清石灰水

實驗操作

實驗現象

實驗結論

取少量

M

溶液于試管中，向其

中滴加

猜想①正確，碳酸鈉與其反應的化學

方程式為

實驗步驟

實驗現象

實驗結論

取樣于試管中，滴入幾滴稀

鹽酸

沒有氣體產生

“猜想一”不成立

實驗操作

實驗現象

實驗結論

分別取少量濾液于

A、B

兩支試管中，A

中加入

CaCI2

溶液，B

中加入

溶

液

若

A

中產生白色沉

淀，B

中沒有沉淀

“猜想一”成立

“猜想二”成立