第一篇:2010年全國各地中考數學壓軸題專集一幾何證明題
外國語中學中考數學壓軸題專集
1.在平面直角坐標系中,矩形OACB的頂點O在坐標原點,頂點A、B分別在x軸、y軸的正半軸上,OA=3,OB=4,D為邊OB的中點.
(Ⅰ)若E為邊OA上的一個動點,當△CDE的周長最小時,求點E的坐標;
(Ⅱ)若E、F為邊OA上的兩個動點,且EF=2,當四邊形CDEF的周長最小時,求點E、F的坐標.
2.如圖1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,半徑為1的圓A與邊AB相交于點D,與邊AC相交于點E,連結DE并延長,與線段BC的延長線交于點P.
(1)當∠B=30°時,連結AP,若△AEP與△BDP相似,求CE的長;
(2)若CE=2,BD=BC,求∠BPD的正切值;
1(3)若tan∠BPD=,設CE=x,△ABC的周長為y,求y關于x的函數關系式.
3B C P B C P B C
圖
1圖2(備用)圖3(備用)
3.已知:如圖①,在平面直角坐標系xOy中,邊長為2的等邊△OAB的頂點B在第一象限,頂點A在x軸的正半軸上.另一等腰△OCA的頂點C在第四象限,OC=AC,∠C=120°.現有兩動點P,Q分別從A,O兩點同時出發(fā),點Q以每秒1個單位的速度沿OC向點C運動,點P以每秒3個單位的速度沿A→O→B運動,當其中一個點到達終點時,另一個點也隨即停止.(1)求在運動過程中形成的△OPQ的面積S與運動的時間t之間的函數關系,并寫出自變量t的取值范圍;
(2)在等邊△OAB的邊上(點A除外)存在點D,使得△OCD為等腰三角形,請直接寫出所有符合條件的點D的坐標;
(3)如圖②,現有∠MCN=60°,其兩邊分別與OB,AB交于點M,N,連接MN.將∠MCN繞著C點旋轉(0°<旋轉角<60°),使得M,N始終在邊OB和邊AB上.試判斷在這一過程中,△BMN的周長是否發(fā)生變化?若沒變化,請求出其周長;若發(fā)生變化,請說明理由.
P
5.如圖,已知△ABC∽△A1B1C1,相似比為k(k>1),且△ABC的三邊長分別為a、b、c(a>b>c),△A1B1C1的三邊長分別為a1、b1、c1.
(1)若c=a1,求證:a=kc;
(2)若c=a1,試給出符合條件的一對△ABC和△A1B1C1,使得a、b、c和a1、b1、c1都是正整數,并加以說明;
(3)若b=a1,c=b1,是否存在△ABC和△A1B1C1,使得k=2?請說明理由.
A
c
1C B1C11
6.如圖1,在△ABC中,AB=BC,且BC≠AC,在△ABC上畫一條直線,若這條直線既平..分△ABC的面積,又平分△ABC的周長,我們稱這條線為△ABC的“等分積周線”.
(1)請你在圖1中用尺規(guī)作圖作出一條△ABC的“等分積周線”;
(2)在圖1中過點C能否畫出一條“等分積周線”?若能,說出確定的方法;若不能,請說明理由;
(3)如圖2,若AB=BC=5cm,AC=6cm,請你找出△ABC的所有“等分積周線”,并簡要說明確定的方法.
C圖2 圖1
7.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,點P以一定的速度沿AC邊由A向C運動,點Q以1cm/s的速度沿CB邊由C向B運動,設P、Q同時運動,且當一點運動到終點時,另一點也隨之停止運動,設運動時間為t(s).
(1)若點P以3cm/s的速度運動
4①當PQ∥AB時,求t的值;
②在①的條件下,試判斷以PQ為直徑的圓與直線AB的位置關系,并說明理由.
(2)若點P以1cm/s的速度運動,在整個運動過程中,以PQ為直徑的圓能否與直線AB
相切?若能,請求出運動時間t;若不能,請說明理由.
A
備用B
8.如圖1、2是兩個相似比為1 :2的等腰直角三角形,將兩個三角形如圖3放置,小直角三角形的斜邊與大直角三角形的一直角邊重合.
(1)在圖3中,繞點D旋轉小直角三角形,使兩直角邊分別與AC、BC交于點E、F,如圖4.
求證:AE +BF =EF ;
(2)若在圖3中,繞點C旋轉小直角三角形,使它的斜邊和CD延長線分別與AB交于點E、F,如圖5,此時結論AE +BF =EF 是否仍然成立?若成立,請給出證明;若不成立,請
說明理由;
D A B A D
圖2 圖3 圖
1A D B A F
圖4 圖
5(3)如圖,在正方形ABCD中,E、F分別是邊BC、CD上的點,滿足△CEF的周長等于正方形ABCD的周長的一半,AE、AF分別與對角線BD交于M、N,試問線段BM、MN、DN能否構成三角形的三邊長?若能,指出三角形的形狀,并給出證明;若不能,請說明理由. D ;
F
C
9.(河南省)222222B B
(1)操作發(fā)現·
如圖,矩形ABCD中,E是AD的中點,將△ABE沿BE折疊后得到△GBE,且點G在矩形ABCD內部.小明將BG延長交DC于點F,認為GF=DF,你同意嗎?說明理由.
(2)問題解決 保持(1)中的條件不變,若DC=2DF,求
(3)類比探究
保持(1)中的條件不變,若DC=n·DF,求
AD的值. ABAD的值; AB
第二篇:中考數學幾何證明壓軸題
AB1、如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BCD=90°,且AB=1,BC=2,tan∠ADC=2.(1)求證:DC=BC;
(2)E是梯形內一點,F是梯形外一點,且∠EDC=
∠FBC,DE=BF,試判斷△ECF的形狀,并證
明你的結論;
(3)在(2)的條件下,當BE:CE=1:2,∠DCBEC=135°時,求sin∠BFE的值.2、已知:如圖,在□ABCD 中,E、F分別為邊AB、CD的中點,BD是對角線,AG∥DB交CB的延長線于G.
(1)求證:△ADE≌△CBF;
(2)若四邊形 BEDF是菱形,則四邊形AGBD
是什么特殊四邊形?并證明你的結論.
F3、如圖13-1,一等腰直角三角尺GEF的兩條直角邊與正方形ABCD的兩條邊分別重合在一起.現正方形ABCD保持不動,將三角尺GEF繞斜邊EF的中點O(點O也是BD中點)按順時針方向旋轉.
(1)如圖13-2,當EF與AB相交于點M,GF與BD相交于點N時,通過觀察或測
量BM,FN的長度,猜想BM,FN滿足的數量關系,并證明你的猜想;
(2)若三角尺GEF旋轉到如圖13-3所示的位置時,線段FE的延長線與AB的延長
線相交于點M,線段BD的延長線與GF的延長線相交于點N,此時,(1)中的猜
想還成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.
A(B(E)圖13-1 圖13-
2圖13-
31.[解析](1)過A作DC的垂線AM交DC于M,則AM=BC=2.又tan∠ADC=2,所以DM?
(2)等腰三角形.證明:因為DE?DF,?EDC??FBC,DC?BC.所以,△DEC≌△BFC 2?1.即DC=BC.2
所以,CE?CF,?ECD??BCF.所以,?ECF??BCF??BCE??ECD??BCE??BCD?90? 即△ECF是等腰直角三角形.(3)設BE?k,則CE?CF?
2k,所以EF?.因為?BEC?135?,又?CEF?45?,所以?BEF?90?.所以BF??3k 所以sin?BFE?k1?.3k3
2.[解析](1)∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠1=∠C,AD=CB,AB=CD .
∵點E、F分別是AB、CD的中點,∴AE=11AB,CF=CD . 22
∴AE=CF
∴△ADE≌△CBF .
(2)當四邊形BEDF是菱形時,四邊形 AGBD是矩形.
∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC .
∵AG∥BD,∴四邊形 AGBD 是平行四邊形.
∵四邊形 BEDF 是菱形,∴DE=BE .
∵AE=BE,∴AE=BE=DE .
∴∠1=∠2,∠3=∠4.
∵∠1+∠2+∠3+∠4=180°,∴2∠2+2∠3=180°.
∴∠2+∠3=90°.
即∠ADB=90°.
∴四邊形AGBD是矩形 3[解析](1)BM=FN.
證明:∵△GEF是等腰直角三角形,四邊形ABCD是正方形,∴ ∠ABD =∠F =45°,OB = OF.
又∵∠BOM=∠FON,∴ △OBM≌△OFN . ∴ BM=FN.
(2)BM=FN仍然成立.
(3)證明:∵△GEF是等腰直角三角形,四邊形ABCD是正方形,∴∠DBA=∠GFE=45°,OB=OF.
∴∠MBO=∠NFO=135°.
又∵∠MOB=∠NOF,∴ △OBM≌△OFN .∴ BM=FN.
第三篇:中考數學幾何證明題
中考數學幾何證明題
在?ABCD中,∠BAD的平分線交直線BC于點E,交直線DC于點F.(1)在圖1中證明CE=CF;
(2)若∠ABC=90°,G是EF的中點(如圖2),直接寫出∠BDG的度數;
第一個問我會,求第二個問。需要過程,快呀!
連接GC、BG
∵四邊形ABCD為平行四邊形,∠ABC=90°
∴四邊形ABCD為矩形
∵AF平分∠BAD
∴∠DAF=∠BAF=45°
∵∠DCB=90°,DF∥AB
∴∠DFA=45°,∠ECF=90°
∴△ECF為等腰Rt△
∵G為EF中點
∴EG=CG=FG
∵△ABE為等腰Rt△,AB=DC
∴BE=DC
∵∠CEF=∠GCF=45°→∠BEG=∠DCG=135°
∴△BEG≌△DCG
∴BG=DG
∵CG⊥EF→∠DGC+∠DGB=90°
又∵∠DGC=∠BGE
∴∠BGE+∠DGB=90°
∴△DGB為等腰Rt△
∴∠BDG=45°
分析已知、求證與圖形,探索證明的思路。
對于證明題,有三種思考方式:
(1)正向思維。對于一般簡單的題目,我們正向思考,輕而易舉可以做出,這里就不詳細講述了。
(2)逆向思維。顧名思義,就是從相反的方向思考問題。運用逆向思維解題,能使學生從不同角度,不同方向思考問題,探索解題方法,從而拓寬學生的解題思路。這種方法是推薦學生一定要掌握的。在初中數學中,逆向思維是非常重要的思維方式,在證明題中體現的更加明顯,數學這門學科知識點很少,關鍵是怎樣運用,對于初中幾何證明題,最好用的方法就是用逆向思維法。如果你已經上初三了,幾何學的不好,做題沒有思路,那你一定要注意了:從現在開始,總結做題方法。同學們認真讀完一道題的題干后,不知道從何入手,建議你從結論出發(fā)。例如:可以有這樣的思考過程:要證明某兩條邊相等,那么結合圖形可以看出,只要證出某兩個三角形相等即可;要證三角形全等,結合所給的條件,看還缺少什么條件需要證明,證明這個條件又需要怎樣做輔助線,這樣思考下去……這樣我們就找到了解題的思路,然后把過程正著寫出來就可以了。這是非常好用的方法,同學們一定要試一試。
(3)正逆結合。對于從結論很難分析出思路的題目,同學們可以結合結論和已知條件認真的分析,初中數學中,一般所給的已知條件都是解題過程中要用到的,所以可以從已知條件中尋找思路,比如給我們三角形某邊中點,我們就要想到是否要連出中位線,或者是否要用到中點倍長法。給我們梯形,我們就要想到是否要做高,或平移腰,或平移對角線,或補形等等。正逆結合,戰(zhàn)無不勝。
第四篇:中考數學經典幾何證明題
2011年中考數學經典幾何證明題
(一)1.(1)如圖1所示,在四邊形ABCD中,AC=BD,AC與BD相交于點O,E、F分別是AD、BC的中點,聯結EF,分別交AC、BD于點M、N,試判斷△OMN的形狀,并加以證明;
(2)如圖2,在四邊形ABCD中,若AB?CD,E、F分別是AD、BC的中點,聯結FE并延長,分別與BA、CD的延長線交于點M、N,請在圖2中畫圖并觀察,圖中是否有相等的角,若有,請直接寫出結論:;
(3)如圖3,在△ABC中,AC?AB,點D在AC上,AB?CD,E、F分別是AD、BC的中點,聯結FE并延長,與BA的延長線交于點M,若?FEC?45?,判斷點M與以AD為直徑的圓的位置關系,并簡要說明理由.B
A
ME
DB
(4)觀察圖
1、圖
2、圖3的特性,請你根據這一特性構造一個圖形,使它仍然具有EF、EG、CH這樣的線
段,并滿足(1)或(2)的結論,寫出相關題設的條件和結論.3.如圖,△ABC是等邊三角形,F是AC的中點,D在線段BC上,連接DF,以DF為邊在DF的右側作等邊△DFE,ED的延長線交AB于H,連接EC,則以下結論:①∠AHE+∠AFD=180°;②AF=在線段BC上(不與B,C重合)運動,其他條件不變時
BC;③當D
2BH
是定值;④當D在線段BC上(不與B,C重合)BD
BC?EC
運動,其他條件不變時是定值;
DC
(1)其中正確的是-------------------;(2)對于(1)中的結論加以說明;
F
C
F
圖 1圖2圖
32.(1)如圖1,已知矩形ABCD中,點E是BC上的一動點,過點E作EF⊥BD于點F,EG⊥AC于點G,CH⊥BD
于點H,試證明CH=EF+EG;
圖
1D
DC
(2)若點E在BC的延長線上,如圖2,過點E作EF⊥BD于點F,EG⊥AC的延長線于點G,CH⊥BD于點H,則EF、EG、CH三者之間具有怎樣的數量關系,直接寫出你的猜想;
(3)如圖3,BD是正方形ABCD的對角線,L在BD上,且BL=BC, 連結CL,點E是CL上任一點, EF⊥BD于
點F,EG⊥BC于點G,猜想EF、EG、BD之間具有怎樣的數量關系,直接寫出你的猜想;
F
H
BCD
E
4.在△ABC中,AC=BC,?ACB?90?,點D為AC的中點.
(1)如圖1,E為線段DC上任意一點,將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF,連結CF,過點F作FH?FC,交直線AB于點H.判斷FH與FC的數量關系并加以證明.(2)如圖2,若E為線段DC的延長線上任意一點,(1)中的其他條件不變,你在(1)中得出的結論是否發(fā)生改變,直接寫出你的結論,不必證明.
A
A
F
D F
D
E
C B
C
圖
1E
圖
2H
5.如圖12,在△ABC中,D為BC的中點,點E、F分別在邊AC、AB上,并且∠ABE=∠ACF,BE、CF交于點O.過點O作OP⊥AC,OQ⊥AB,P、Q為垂足.求證:DP=DQ.
證明.
8.設點E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點,F是BC邊上一點,線段DE和AF相交于點P,點Q在線段DE
上,且AQ∥PC.(1)證明:PC=2AQ.
(2)當點F為BC的中點時,試比較△PFC和梯形APCQ面積的大小關系,并對你的結論加以證明.
6.如圖。,BD是△ABC的內角平分線,CE是△ABC的外角平分線,過點A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分別為F、G。
探究:線段FG的長與△ABC三邊的關系,并加以證明。
說明:⑴如果你經歷反復探索,沒有找到解決問題的方法,請你把探索過程中的某種思路寫出來(要求至少寫3步);⑵在你經歷說明⑴的過程之后,可以從下列①、②中選取一個補充或更換已知條件,完成你的證明。注意:選取①完成證明得10分;選取②完成證明得7分。①可畫出將△ADF沿BD折疊后的圖形; ②將CE變?yōu)椤鰽BC的內角平分線。(如圖2)
附加題:探究BD、CE滿足什么條件時,線段FG的長與△ABC的周長存在一定的數量關系,并給出證明。
9.兩塊等腰直角三角板△ABC和△DEC如圖擺放,其中∠ACB =∠DCE = 90°,F是DE的中點,H是AE的中點,G是BD的中點.
(1)如圖1,若點D、E分別在AC、BC的延長線上,通過觀察和測量,猜想FH和FG的數量關系為_______和位置關系為______;
(2)如圖2,若將三角板△DEC繞著點C順時針旋轉至ACE在一條直線上時,其余條件均不變,則(1)中的猜想是否還成立,若成立,請證明,不成立請說明理由;
(2)如圖3,將圖1中的△DEC繞點C順時針旋轉一個銳角,得到圖3,(1)中的猜想還成立嗎?直接寫出結論,不用證明.CH
G
A圖3 圖1 圖
27.在四邊形ABCD中,對角線AC平分∠DAB.
(1)如圖①,當∠DAB=120°,∠B=∠D=90°時,求證:AB+AD=AC.
(2)如圖②,當∠DAB=120°,∠B與∠D互補時,線段AB、AD、AC有怎樣的數量關系?寫出你的猜想,并給予證明.
(3)如圖③,當∠DAB=90°,∠B與∠D互補時,線段AB、AD、AC有怎樣的數量關系?寫出你的猜想,并給予
10.已知△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=90°,點D為BC上一點,把一個足夠大的直角三角板的直角頂點放
在D處.
(1)如圖①,若BD=CD,將三角板繞點D逆時針旋轉,兩條直角邊分別交AB、AC于點E、點F,求出重疊部分AEDF的面積(直接寫出結果).
(2)如圖②,若BD=CD,將三角板繞點D逆時針旋轉,使一條直角邊交AB于點E、另一條直角邊交AB的延長線于點F,設AE=x,重疊部分的面積為y,求出y與x的函數關系式,并寫出自變量x的取值范圍.(3)若BD=2CD,將三角板繞點D逆時針旋轉,使一條直角邊交AC于點F、另一條直角邊交射線AB于點E.設CF=x(x>1),重疊部分的面積為y,求出y與x的函數關系式,并寫出自變量x的取值范圍.
2、如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC,若AB=kAC,試探究BE與CF的數量關系。
3、如圖,在△ABC和△PQD中,AC=kBC,DP=kDQ,∠C=∠PDQ,D、E分別是AB、AC的中點,點P在直線BC上,連接EQ交PC于點H。猜想線段EH與AC的數量關系,并證明你的猜想,若證明有困難,則可選k=1證明之。
4、在△ABC中,O是AC上一點,P、Q分別是AB、BC上一點,∠B=45°,∠POQ=135°,BC=kAB,OC=mAO。試說明OP與OQ是數量關系,選擇條件:(1)m=1,(2)m=k=1。
2011年中考幾何經典證明題
(二)1、如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E為CB延長線上一點,且∠EAB=∠BAD,設DC=kBD,試探究EC與EA的數量關系。
5、如圖,△ABC中,AD是BC邊上的中線,∠CAD=∠B,AC=kAB,E在AD延長線上,∠CED=∠ADB,探究AE與AD的關系。
6、如圖,∠BAC=90°,AD⊥BC,DE⊥AB, AB=kAC,探究BE與AE是數量關系。
第五篇:2012年全國各地中考數學壓軸題精選講座二:幾何綜合題問題
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2012年全國各地中考數學壓軸題精選講座二
幾何綜合題
(浙江省象山天天培訓學校方德懿)
【知識縱橫】
幾何綜合題是中考試卷中常見的題型,大致可分為幾何計算型綜合題與幾何論證型綜合題,它主 要考查學生綜合運用幾何知識的能力,這類題往往圖形較復雜,涉及的知識點較多,題設和結論之間的關系較隱蔽,常常需要添加輔助線來解答。解幾何綜合題,一要注意圖形的直觀提示;二要注意分析挖掘題目的隱含條件、發(fā)展條件,為解題創(chuàng)造條件打好基礎;同時,也要由未知想需要,選擇已知條件,轉化結論來探求思路,找到解決問題的關鍵。
解幾何綜合題,還應注意以下幾點:
⑴ 注意觀察、分析圖形,把復雜的圖形分解成幾個基本圖形,通過添加輔助線補全或構造基本圖形。
⑵ 掌握常規(guī)的證題方法和思路。
⑶ 運用轉化的思想解決幾何證明問題,運用方程的思想解決幾何計算問題.還要靈活運用數學思想方法、數形結合、分類討論等。
【選擇填空】
1.(浙江寧波)勾股定理是幾何中的一個重要定理.在我國古算書《周髀算經》中就有“若勾三,股四,則弦五”的記載.如圖1是由邊長相等的小正方形和直角三角形構成的,可以用其面積關系驗證勾股定理.圖2是由圖1放入矩形內得到的,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,點D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的邊上,則矩形KLMJ的面積為【】
A.90B.100C.110D.1
212.(浙江湖州)如圖,將正△ABC分割成m個邊長為1的小正三角形和一個黑色
菱形,這個黑色菱形可分割成n個邊長為1的小三角形,若的邊長是
m47?,則△ABCn2
53.(浙江寧波)如圖,△ABC中,∠BAC=60°,∠ABC=45°,AB,D是線段BC
上的一個動點,以AD為直徑畫⊙O分別交AB,AC于E,F,連接EF,則線段EF長
度的最小值為.
【典型試題】
1、.(福建廈門)已知ABCD,對角線AC與BD相交于點O,點P在邊AD上,過點P分 別作PE⊥AC、PF⊥BD,垂足分別為E、F,PE=PF.
(1)如圖,若PE3,EO=1,求∠EPF的度數;
(2)若點P是AD的中點,點F是DO的中點,BF =BC+
32-4,求BC的長.
【考點】平行四邊形的性質,角平分線的性質,三角形中位線定理,全等三角形的判定和性質,正方形的判定和性質,銳角三角函數定義。
【分析】(1)連接PO,利用解直角三角形求出∠EPO=30°,再利用“HL”證明△PEO和△PFO全等,根據全等三角形對應角相等可得∠FPO=∠EPO,從而得解。
(2)根據條件證出 ABCD是正方形。根據正方形的對角線與邊長的關系列式計算即可得解。
2.(浙江義烏)在銳角△ABC中,AB=4,BC=5,∠ACB=45°,將△ABC繞點B按逆時針方向旋轉,得到△A1BC1.
(1)如圖1,當點C1在線段CA的延長線上時,求∠CC1A1的度數;
(2)如圖2,連接AA1,CC1.若△ABA1的面積為4,求△CBC1的面積;
(3)如圖3,點E為線段AB中點,點P是線段AC上的動點,在△ABC繞點B按逆時針方向旋轉過程中,點P的對應點是點P1,求線段EP1長度的最大值與最小值.
【考點】旋轉的性質,等腰三角形的性質,全等三角形的判定和性質,相似三角形的判定和性質。
【分析】(1)由旋轉的性質可得:∠A1C1B=∠ACB=45°,BC=BC1,又由等腰三角形的性質,即可求得∠CC1A1的度數。
(2)由旋轉的性質可得:△ABC≌△A1BC1,易證得△ABA1∽△CBC1,利用相似三角形的面積比等于相似比的平方,即可求得△CBC1的面積。
(3)由①當P在AC上運動至垂足點D,△ABC繞點B旋轉,使點P的對應點P1在線段AB上時,EP1最小;②當P在AC上運動至點C,△ABC繞點B旋轉,使點P的對應點P1在線段AB的延長線上時,EP1最大,即可求得線段EP1長度的最大值與最小值。
3.(浙江杭州)如圖,AE切⊙O于點E,AT交⊙O于點M,N,線段OE交AT于點C,OB⊥AT于點B,已知∠EAT=30°,AE,MN
(1)求∠COB的度數;
(2)求⊙O的半徑R;
?(3)點F在⊙O上(FME是劣弧),且EF=5,把△OBC經過平移、旋轉和相似
變換后,使它的兩個頂點分別與點E,F重合.在EF的同一側,這樣的三角形
共有多少個?你能在其中找出另一個頂點在⊙O上的三角形嗎?請在圖中畫出
這個三角形,并求出這個三角形與△OBC的周長之比.
【考點】切線的性質,含30度角的直角三角形的性質,銳角三角函數定義,勾股定理,垂徑定理,平移、旋轉的性質,相似三角形的判定和性質。
【分析】(1)利用兩對對應角相等的兩三角形相似可得出△AEC∽△OBC,根據相似三角形的對應角相等可得出所求的角與∠A相等,由∠A的度數即可求出所求角的度數。
(2)利用銳角三角函數定義求出CE的長,再由OB⊥MN,根據垂徑定
理、勾股定理列出關于R的方程。
(3)把△OBC經過平移、旋轉和相似變換后,使它的兩個頂點分別與
點E,F重合.在EF的同一側,這樣的三角形共有6個。
頂點在圓上的三角形,延長EO與圓交于點D,連接DF,△FDE即為所
求。
利用銳角三角函數定義求出DF的長,表示出△EFD的周長,再由(2)求出的△OBC的三邊表示出△BOC的周長,即可求出兩三角形的周長之比。
4.(廣東佛山)(1)按語句作圖并回答:作線段AC(AC=4),以A為圓心a為半徑作圓,再以C為圓心b為半徑作圓(a<4,b<4,圓A與圓C交于B、D兩點),連接AB、BC、CD、DA.
若能作出滿足要求的四邊形ABCD,則a、b應滿足什么條件?
(2)若a=2,b=3,求四邊形ABCD的面積.
【考點】作圖(復雜作圖),相交兩圓的性質,勾股定理。
【分析】(1)根據題意畫出圖形,只有兩圓相交,才能得出四
邊形,即可得出答案;
(2)連接BD,根據相交兩圓的性質得出DB⊥AC,BE=DE,設CE= x,則AE=4-x,根據勾股定理得出關于x的方程,求出
x,根據三角形的面積公式求出即可。
5.(浙江嘉興)將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉θ度,并使各邊長變?yōu)樵瓉淼膎倍,得△AB′C′,即如圖①,我們將這種變換記為[θ,n].
(1)如圖①,對△ABC作變換[60°
得△AB′C′,則S△AB′C′:S△ABC=BC與直線B′C′所夾的銳角為度;
(2)如圖②,△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=90°,對△ABC 作變換[θ,n]得△AB'C',使點B、C、C′在同一直線上,且四邊形ABB'C'為矩形,求θ和n的值;
(4)如圖③,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=l,對△ABC作變換[θ,n]得△AB′C′,使點B、C、B′在同一直線上,且四邊形ABB'C'為平行四邊形,求θ和n的值.
【考點】新定義,旋轉的性質,矩形的性質,含30角直角三角形的性質,平行四邊形的性質,相似三角形的判定和性質,公式法解一元二次方。
【分析】(1)根據題意得:△ABC∽△AB′C′,0
?AB??∴S△AB′C′:S△ABC
=??=?AB?22?3,∠B=∠B′。
∵∠ANB=∠B′NM,∴∠BMB′=∠BAB′=60°。
(2)由四邊形 ABB′C′是矩形,可得∠BAC′=90°,然后由θ=∠CAC′=∠BAC′-∠BAC,即可求得θ的度數,又由含30°角的直角三角形的性質,即可求得n的值。
(3)由四邊形ABB′C′是平行四邊形,易求得θ=∠CAC′=∠ACB=72°,又由△ABC∽△B′BA,根據相似三角形的對應邊成比例,易得AB=CB?BB′=CB(BC+CB′),繼而求得答案。
【自主訓練】
1.(廣東汕頭)如圖,在矩形紙片ABCD中,AB=6,BC=8.把△BCD沿對角線BD折疊,使點C落在C′處,BC′交AD于點G;E、F分別是C′D和BD上的點,線段EF交AD于點H,把△FDE沿EF折疊,使點D落在D′處,點D′恰好與點A重合.
(1)求證:△ABG≌△C′DG;
(2)求tan∠ABG的值;
(3)求EF的長.
2.(湖北宜昌)如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°.點E
為底AD上一點,將△ABE沿直線BE折疊,點A落在梯形對角線BD上的G處,EG的延長線交直線BC于點F.
(1)點E可以是AD的中點嗎?為什么?
(2)求證:△ABG∽△BFE;
(3)設AD=a,AB=b,BC=c
①當四邊形EFCD為平行四邊形時,求a,b,c應滿足的關系;
②在①的條件下,當b=2時,a的值是唯一的,求∠C的度數.
3.(廣東珠海)已知,AB是⊙O的直徑,點P在弧AB上(不含點A、B),把△AOP沿OP對折,點A的對應點C恰好落在⊙O上.
(1)當P、C都在AB上方時(如圖1),判斷PO與BC的位置關系(只回答結果);
(2)當P在AB上方而C在AB下方時(如圖2),(1)中結論還成立嗎?證明你的結論;
(3)當P、C都在AB上方時(如圖3),過C點作CD⊥直線AP于D,且CD是⊙O的切線,證明:AB=4PD.
4.(湖北天門)△ABC中,AB=AC,D為BC的中點,以D為頂點作∠MDN=∠B.
(1)如圖(1)當射線DN經過點A時,DM交AC邊于點E,不添加輔助線,寫出圖中所有與△ADE相似的三角形.
(2)如圖(2),將∠MDN繞點D沿逆時針方向旋轉,DM,DN分別交線段AC,AB于E,F點(點E與點A不重合),不添加輔助線,寫出圖中所有的相似三角形,并證明你的結論.
(3)在圖(2)中,若AB=AC=10,BC=12,當△DEF的面積等于△ABC的面積的5.(四川樂山)如圖1,△ABC是等腰直角三角形,四邊形ADEF是正方形,D、F分別在AB、AC邊上,此時BD=CF,BD⊥CF成立.
(1)當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉θ(0°<θ<90°)時,如圖2,BD=CF成立嗎?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.
(2)當正方形ADEF繞點A逆時針旋轉45°時,如圖3,延長BD交CF于點G.
①求證:BD⊥CF;
②當AB=4,AD
時,求線段BG的長.
1時,求線段EF的長. 4