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廣西南寧歷年中考數學幾何綜合證明題(第25題)

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第一篇:廣西南寧歷年中考數學幾何綜合證明題(第25題)

歷年中考數學幾何綜合證明題(第25題)2006年

BCD中,P是CD邊上的一點,AP與BP分別平分?DAB和?CBA. 25.如圖10,在A

(1)判斷△APB是什么三角形,證明你的結論;(2)比較DP與PC的大小;

cm,(3)畫出以AB為直徑的O,交AD于點E,連結BE與AP交于點F,若AD?

5AP?8cm,求證△AEF∽△APB,并求tan?AFE的值.

2007年

圖10

25.如圖12,在平面直角坐標系中,A,B兩點的坐標分別為A(?2,0)B(8,0),以AB為直徑的半圓P與y軸交于點M,以AB為一邊作正方形ABCD.(1)求C,M兩點的坐標;

(2)連接CM,試判斷直線CM是否與

P相切?說明你的理由;

(3)在x軸上是否存在一點Q,使得△QMC的周長最小?若存在,求出點Q的坐標;若不存在,請說明理由.

2008年 25.如圖11,P與O相交于A,B兩點,P經過圓心O,點C是P的優弧AB上

任意一點(不與點A,B重合),連結AB,AC,BC,OC.(1)指出圖中與?ACO相等的一個角;

(2)當點C在P上什么位置時,直線AC與O相切?請說明理由;(3)當?ACB?60時,兩圓半徑有怎樣的大小關系?說明你的理由.(注意:在試題卷上作答無效).........

圖1

12009年

25.如圖13-1,在邊長為5的正方形ABCD中,點E、F分別是BC、DC邊上的點,且AE?EF,BE?2.(1)求EC∶CF的值;

(2)延長EF交正方形外角平分線CP于點P(如圖13-2),試判斷AE與EP的大小關系,并說明理由;

(3)在圖13-2的AB邊上是否存在一點M,使得四邊形DMEP是平行四邊形?若存在,請給予證明;若不存在,請說明理由.

P

FB E C B E C圖13-1 圖13-

22010年

25.如圖11-①,AB為⊙O的直徑,AD與⊙O相切于點A,DE與⊙O相切于點E,點C為DE延長線上一點,且CE?CB.(1)求證:BC為⊙O的切線;

(2)連接AE,AE的延長線與BC的延長線交于點(如圖11-②所示).若AB?AD?2,求線段BC和EG的長.A D AB 圖11-①

C B C 圖11-② G

25.如圖,已知CD是⊙O的直徑,AC⊥CD,垂足為C,弦DE∥OA,直線AE、CD相交

于點B.

(1)求證:直線AB是⊙O的切線.

(2)當AC=1,BE=2,求tan∠OAC的值.

B

2012年

25.如圖,已知矩形紙片ABCD,AD=2,AB=4.將紙片折疊,使頂點A與邊CD上的點E重合,折痕FG分別與AB,CD交于點G,F,AE與FG交于點O.

(1)如圖1,求證:A,G,E,F四點圍成的四邊形是菱形;

(2)如圖2,當△AED的外接圓與BC相切于點N時,求證:點N是線段BC的中點;

(3)如圖2,在(2)的條件下,求折痕FG的長.

25、如圖13,在ABC中,∠BAC=90,AB=AC,AB是O的直徑,O交BC于點D,DEAC于點E,BE交O于點F,連接AF的延長線交DE于點P。

(1)求證:DE是O的切線。

(2)求tan∠ABE的值;

(3)若OA=2,求線段AP的長。

第二篇:廣西南寧歷年中考數學簡單幾何證明題

2006年

23.將圖8(1)中的矩形ABCD沿對角線AC剪開,再把△ABC沿著AD方向平移,得到圖8(2)中的△A?BC?,除△ADC與△C?BA?全等外,你還可以指出哪幾對全等的三...角形(不能添加輔助線和字母)?請選擇其中一對加以證明.

B C

圖8(2)

?

2007年

21.如圖10,在△ABC中,點D,E分別是AB,AC邊的中點,若把△ADE繞著點E順時針旋轉180°得到△CFE.

(1)請指出圖中哪些線段與線段CF相等;

(2)試判斷四邊形DBCF是怎樣的四邊形?證明你的結論.

BF圖10

2008年

21.如圖8,在△ABC中,D是BC的中點,DE?AB,DF?AC,垂足分別是E,F,BE?CF.

(1)圖中有幾對全等的三角形?請一一列出;(2)選擇一對你認為全等的三角形進行證明.

(注意:在試題卷上作答無效).........

E D 圖8 C

2009年

23.如圖11,PA、PB是半徑為1的⊙O的兩條切線,點A、B分別為切點,?APB?60°,OP與弦AB交于點C,與⊙O交于點

D.

(1)在不添加任何輔助線的情況下,寫出圖中所有的全等三角形;(2)求陰影部分的面積(結果保留π).

圖1

12010年

21.某廠房屋頂呈人字架形(等腰三角形),如圖8所示,已知AC?BC?8m,?A?30°,CD?AB,于點D.

(1)求?ACB的大小.(2)求AB的長度.C A D 圖8 B

23.如圖10,已知Rt△ABC≌Rt△ADE,?ABC??ADE?90°,BC與DE相交于

EB.點F,連接CD,(1)圖中還有幾對全等三角形,請你一一列舉.(2)求證:CF?EF.A DF B C 圖10

2011年

23.如圖,點B、F、C、E在同一直線上,并且BF=CE,∠B=∠C.(1)請你只添加一個條件(不再加輔助線),使得△ABC≌△DEF.

你添加的條件是:. F(2)添加了條件后,證明△ABC≌△DEF.

2012年

22.如圖所示,∠BAC=∠ABD=90°,AC=BD,點O是AD,BC的交點,點E是AB的中點.

(1)圖中有哪幾對全等三角形?請寫出來;

(2)試判斷OE和AB的位置關系,并給予證明.

2013年

23、如圖11,在菱形ABCD中,AC是對角線,點E、F

分別是邊BC、AD的中點。C E

(1)求證:ABE≌CDF。

(2)若∠B=60°,AB=4,求線段AE的長。

圖11

第三篇:中考數學幾何證明題

中考數學幾何證明題

在?ABCD中,∠BAD的平分線交直線BC于點E,交直線DC于點F.(1)在圖1中證明CE=CF;

(2)若∠ABC=90°,G是EF的中點(如圖2),直接寫出∠BDG的度數;

第一個問我會,求第二個問。需要過程,快呀!

連接GC、BG

∵四邊形ABCD為平行四邊形,∠ABC=90°

∴四邊形ABCD為矩形

∵AF平分∠BAD

∴∠DAF=∠BAF=45°

∵∠DCB=90°,DF∥AB

∴∠DFA=45°,∠ECF=90°

∴△ECF為等腰Rt△

∵G為EF中點

∴EG=CG=FG

∵△ABE為等腰Rt△,AB=DC

∴BE=DC

∵∠CEF=∠GCF=45°→∠BEG=∠DCG=135°

∴△BEG≌△DCG

∴BG=DG

∵CG⊥EF→∠DGC+∠DGB=90°

又∵∠DGC=∠BGE

∴∠BGE+∠DGB=90°

∴△DGB為等腰Rt△

∴∠BDG=45°

分析已知、求證與圖形,探索證明的思路。

對于證明題,有三種思考方式:

(1)正向思維。對于一般簡單的題目,我們正向思考,輕而易舉可以做出,這里就不詳細講述了。

(2)逆向思維。顧名思義,就是從相反的方向思考問題。運用逆向思維解題,能使學生從不同角度,不同方向思考問題,探索解題方法,從而拓寬學生的解題思路。這種方法是推薦學生一定要掌握的。在初中數學中,逆向思維是非常重要的思維方式,在證明題中體現的更加明顯,數學這門學科知識點很少,關鍵是怎樣運用,對于初中幾何證明題,最好用的方法就是用逆向思維法。如果你已經上初三了,幾何學的不好,做題沒有思路,那你一定要注意了:從現在開始,總結做題方法。同學們認真讀完一道題的題干后,不知道從何入手,建議你從結論出發。例如:可以有這樣的思考過程:要證明某兩條邊相等,那么結合圖形可以看出,只要證出某兩個三角形相等即可;要證三角形全等,結合所給的條件,看還缺少什么條件需要證明,證明這個條件又需要怎樣做輔助線,這樣思考下去……這樣我們就找到了解題的思路,然后把過程正著寫出來就可以了。這是非常好用的方法,同學們一定要試一試。

(3)正逆結合。對于從結論很難分析出思路的題目,同學們可以結合結論和已知條件認真的分析,初中數學中,一般所給的已知條件都是解題過程中要用到的,所以可以從已知條件中尋找思路,比如給我們三角形某邊中點,我們就要想到是否要連出中位線,或者是否要用到中點倍長法。給我們梯形,我們就要想到是否要做高,或平移腰,或平移對角線,或補形等等。正逆結合,戰無不勝。

第四篇:中考數學經典幾何證明題

2011年中考數學經典幾何證明題

(一)1.(1)如圖1所示,在四邊形ABCD中,AC=BD,AC與BD相交于點O,E、F分別是AD、BC的中點,聯結EF,分別交AC、BD于點M、N,試判斷△OMN的形狀,并加以證明;

(2)如圖2,在四邊形ABCD中,若AB?CD,E、F分別是AD、BC的中點,聯結FE并延長,分別與BA、CD的延長線交于點M、N,請在圖2中畫圖并觀察,圖中是否有相等的角,若有,請直接寫出結論:;

(3)如圖3,在△ABC中,AC?AB,點D在AC上,AB?CD,E、F分別是AD、BC的中點,聯結FE并延長,與BA的延長線交于點M,若?FEC?45?,判斷點M與以AD為直徑的圓的位置關系,并簡要說明理由.B

A

ME

DB

(4)觀察圖

1、圖

2、圖3的特性,請你根據這一特性構造一個圖形,使它仍然具有EF、EG、CH這樣的線

段,并滿足(1)或(2)的結論,寫出相關題設的條件和結論.3.如圖,△ABC是等邊三角形,F是AC的中點,D在線段BC上,連接DF,以DF為邊在DF的右側作等邊△DFE,ED的延長線交AB于H,連接EC,則以下結論:①∠AHE+∠AFD=180°;②AF=在線段BC上(不與B,C重合)運動,其他條件不變時

BC;③當D

2BH

是定值;④當D在線段BC上(不與B,C重合)BD

BC?EC

運動,其他條件不變時是定值;

DC

(1)其中正確的是-------------------;(2)對于(1)中的結論加以說明;

F

C

F

圖 1圖2圖

32.(1)如圖1,已知矩形ABCD中,點E是BC上的一動點,過點E作EF⊥BD于點F,EG⊥AC于點G,CH⊥BD

于點H,試證明CH=EF+EG;

1D

DC

(2)若點E在BC的延長線上,如圖2,過點E作EF⊥BD于點F,EG⊥AC的延長線于點G,CH⊥BD于點H,則EF、EG、CH三者之間具有怎樣的數量關系,直接寫出你的猜想;

(3)如圖3,BD是正方形ABCD的對角線,L在BD上,且BL=BC, 連結CL,點E是CL上任一點, EF⊥BD于

點F,EG⊥BC于點G,猜想EF、EG、BD之間具有怎樣的數量關系,直接寫出你的猜想;

F

H

BCD

E

4.在△ABC中,AC=BC,?ACB?90?,點D為AC的中點.

(1)如圖1,E為線段DC上任意一點,將線段DE繞點D逆時針旋轉90°得到線段DF,連結CF,過點F作FH?FC,交直線AB于點H.判斷FH與FC的數量關系并加以證明.(2)如圖2,若E為線段DC的延長線上任意一點,(1)中的其他條件不變,你在(1)中得出的結論是否發生改變,直接寫出你的結論,不必證明.

A

A

F

D F

D

E

C B

C

1E

2H

5.如圖12,在△ABC中,D為BC的中點,點E、F分別在邊AC、AB上,并且∠ABE=∠ACF,BE、CF交于點O.過點O作OP⊥AC,OQ⊥AB,P、Q為垂足.求證:DP=DQ.

證明.

8.設點E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點,F是BC邊上一點,線段DE和AF相交于點P,點Q在線段DE

上,且AQ∥PC.(1)證明:PC=2AQ.

(2)當點F為BC的中點時,試比較△PFC和梯形APCQ面積的大小關系,并對你的結論加以證明.

6.如圖。,BD是△ABC的內角平分線,CE是△ABC的外角平分線,過點A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分別為F、G。

探究:線段FG的長與△ABC三邊的關系,并加以證明。

說明:⑴如果你經歷反復探索,沒有找到解決問題的方法,請你把探索過程中的某種思路寫出來(要求至少寫3步);⑵在你經歷說明⑴的過程之后,可以從下列①、②中選取一個補充或更換已知條件,完成你的證明。注意:選取①完成證明得10分;選取②完成證明得7分。①可畫出將△ADF沿BD折疊后的圖形; ②將CE變為△ABC的內角平分線。(如圖2)

附加題:探究BD、CE滿足什么條件時,線段FG的長與△ABC的周長存在一定的數量關系,并給出證明。

9.兩塊等腰直角三角板△ABC和△DEC如圖擺放,其中∠ACB =∠DCE = 90°,F是DE的中點,H是AE的中點,G是BD的中點.

(1)如圖1,若點D、E分別在AC、BC的延長線上,通過觀察和測量,猜想FH和FG的數量關系為_______和位置關系為______;

(2)如圖2,若將三角板△DEC繞著點C順時針旋轉至ACE在一條直線上時,其余條件均不變,則(1)中的猜想是否還成立,若成立,請證明,不成立請說明理由;

(2)如圖3,將圖1中的△DEC繞點C順時針旋轉一個銳角,得到圖3,(1)中的猜想還成立嗎?直接寫出結論,不用證明.CH

G

A圖3 圖1 圖

27.在四邊形ABCD中,對角線AC平分∠DAB.

(1)如圖①,當∠DAB=120°,∠B=∠D=90°時,求證:AB+AD=AC.

(2)如圖②,當∠DAB=120°,∠B與∠D互補時,線段AB、AD、AC有怎樣的數量關系?寫出你的猜想,并給予證明.

(3)如圖③,當∠DAB=90°,∠B與∠D互補時,線段AB、AD、AC有怎樣的數量關系?寫出你的猜想,并給予

10.已知△ABC中,AB=AC=3,∠BAC=90°,點D為BC上一點,把一個足夠大的直角三角板的直角頂點放

在D處.

(1)如圖①,若BD=CD,將三角板繞點D逆時針旋轉,兩條直角邊分別交AB、AC于點E、點F,求出重疊部分AEDF的面積(直接寫出結果).

(2)如圖②,若BD=CD,將三角板繞點D逆時針旋轉,使一條直角邊交AB于點E、另一條直角邊交AB的延長線于點F,設AE=x,重疊部分的面積為y,求出y與x的函數關系式,并寫出自變量x的取值范圍.(3)若BD=2CD,將三角板繞點D逆時針旋轉,使一條直角邊交AC于點F、另一條直角邊交射線AB于點E.設CF=x(x>1),重疊部分的面積為y,求出y與x的函數關系式,并寫出自變量x的取值范圍.

2、如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,DE⊥AB,DF⊥AC,若AB=kAC,試探究BE與CF的數量關系。

3、如圖,在△ABC和△PQD中,AC=kBC,DP=kDQ,∠C=∠PDQ,D、E分別是AB、AC的中點,點P在直線BC上,連接EQ交PC于點H。猜想線段EH與AC的數量關系,并證明你的猜想,若證明有困難,則可選k=1證明之。

4、在△ABC中,O是AC上一點,P、Q分別是AB、BC上一點,∠B=45°,∠POQ=135°,BC=kAB,OC=mAO。試說明OP與OQ是數量關系,選擇條件:(1)m=1,(2)m=k=1。

2011年中考幾何經典證明題

(二)1、如圖,△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC,E為CB延長線上一點,且∠EAB=∠BAD,設DC=kBD,試探究EC與EA的數量關系。

5、如圖,△ABC中,AD是BC邊上的中線,∠CAD=∠B,AC=kAB,E在AD延長線上,∠CED=∠ADB,探究AE與AD的關系。

6、如圖,∠BAC=90°,AD⊥BC,DE⊥AB, AB=kAC,探究BE與AE是數量關系。

第五篇:中考數學幾何證明題「含答案」

重慶中考(往屆)數學24題專題練習

1、如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,E為AD中點,連接BE,CE

(1)求證:BE=CE;

(2)若∠BEC=90°,過點B作BF⊥CD,垂足為點F,交CE于點G,連接DG,求證:BG=DG+CD.

在BG上取BH=AB=CD,連EH,顯然△ABE與△CDE全等,則∠ABE=∠DCE,∠AEB=∠DEC

又∠BEC=90°=∠BFC,對頂角∠BGE=∠CGF,故∠FBE=∠DCE,所以∠ABE=∠FBE

在BF上取BH=AB,連接EH,由BH=AB,∠ABE=∠FBE,BE=BE,故△ABE與△HBE全等

故∠AEB=∠HEB,AE=EH

而∠AEB+∠DEC+∠BEC=180°,∠AEB=∠DEC,∠BEC=90°

所以∠AEB=∠DEC=45°=∠HEB

故∠AEH=∠AEB+∠HEB=90°=∠HED

同理,∠DEG=45°=∠HEG

EH=AE=ED,EG=EG

故△HEG與△FEG全等,所以HG=DG

即BG=BH+HG=AB+DG=DG+CD2、如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,E為AB延長線上一點,連接ED,與BC交于點H.過E作CD的垂線,垂足為CD上的一點F,并與BC交于點G.已知G為CH的中點.

(1)若HE=HG,求證:△EBH≌△GFC;

(2)若CD=4,BH=1,求AD的長.

3、如圖,梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=BC,∠DAB=60°,E是對角線AC延長線上一點,F是AD延長線上的一點,且EB⊥AB,EF⊥AF.

(1)當CE=1時,求△BCE的面積;

(2)求證:BD=EF+CE.

4、如圖.在平行四邊形ABCD中,O為對角線的交點,點E為線段BC延長線上的一點,且.過點E

EF∥CA,交CD于點F,連接OF.

(1)求證:OF∥BC;

(2)如果梯形OBEF是等腰梯形,判斷四邊形ABCD的形狀,并給出證明.

5、如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BF⊥CD于F,延長BF交AD的延長線于E,延長CD交BA的延長線于G,且DG=DE,AB=,CF=6.

(1)求線段CD的長;

(2)H在邊BF上,且∠HDF=∠E,連接CH,求證:∠BCH=45°﹣∠EBC.

6、如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠D=45°.

(1)若AB=6cm,求梯形ABCD的面積;

(2)若E、F、G、H分別是梯形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上一點,且滿足EF=GH,∠EFH=∠FHG,求證:HD=BE+BF.

7、已知:如圖,ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,延長CD至F,使DF=CD,連接BF交AD于點E.

(1)求證:AE=ED;

(2)若AB=BC,求∠CAF的度數.

8、已知:如圖,在正方形ABCD中,點G是BC延長線上一點,連接AG,分別交BD、CD于點E、F.

(1)求證:∠DAE=∠DCE;

(2)當CG=CE時,試判斷CF與EG之間有怎樣的數量關系?并證明你的結論.

9、如圖,已知正方形ABCD,點E是BC上一點,點F是CD延長線上一點,連接EF,若BE=DF,點P是EF的中點.

(1)求證:DP平分∠ADC;

(2)若∠AEB=75°,AB=2,求△DFP的面積.

10、如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BD=BC,E為CD的中點,交BC的延長線于F;

(1)證明:EF=EA;

(2)過D作DG⊥BC于G,連接EG,試證明:EG⊥AF.

11、如圖,直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AB∥CD,AB=AD,∠ABC=60度.以AD為邊在直角梯形ABCD外作等邊三角形ADF,點E是直角梯形ABCD內一點,且∠EAD=∠EDA=15°,連接EB、EF.

(1)求證:EB=EF;

(2)延長FE交BC于點G,點G恰好是BC的中點,若AB=6,求BC的長.

12、如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,∠C=60°,AE⊥BD于點E,F是CD的中點,DG是梯形ABCD的高.

(1)求證:AE=GF;

(2)設AE=1,求四邊形DEGF的面積.

13、已知,如圖在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于點F,交BC于點G,交AB的延長線于點E,且AE=AC,連AG.

(1)求證:FC=BE;

(2)若AD=DC=2,求AG的長.

14、如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,點E是AB邊上一點,AE=BC,DE⊥EC,取DC的中點F,連接AF、BF.

(1)求證:AD=BE;

(2)試判斷△ABF的形狀,并說明理由.

15、如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.

(1)求證:AD=AE;

(2)若AD=8,DC=4,求AB的長.

16、如圖,已知梯形ABCD中,AD∥CB,E,F分別是BD,AC的中點,BD平分∠ABC.

(1)求證:AE⊥BD;

(2)若AD=4,BC=14,求EF的長.

17、如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,BE⊥AC,E為垂足,AC=BC.

(1)求證:CD=BE;

(2)若AD=3,DC=4,求AE.

18、如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AC,∠B=45°,AD=1,BC=4,求DC的長.

19、已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=DC,點E、F分別在AD、AB上,且.

(1)求證:BF=EF﹣ED;

(2)連接AC,若∠B=80°,∠DEC=70°,求∠ACF的度數.

20、如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,點E在BC上,AE=BE,且AF⊥AB,連接EF.

(1)若EF⊥AF,AF=4,AB=6,求

AE的長.

(2)若點F是CD的中點,求證:CE=BE﹣AD.

21、如圖,四邊形ABCD為等腰梯形,AD∥BC,AB=CD,對角線AC、BD交于點O,且AC⊥BD,DH⊥BC.

(1)求證:DH=(AD+BC);

(2)若AC=6,求梯形ABCD的面積.

22、已知,如圖,△ABC是等邊三角形,過AC邊上的點D作DG∥BC,交AB于點G,在GD的延長線上取點E,使DE=DC,連接AE,BD.

(1)求證:△AGE≌△DAB;

(2)過點E作EF∥DB,交BC于點F,連AF,求∠AFE的度數.

23、如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,DE=EC,EF∥AB交BC于點F,EF=EC,連接DF.

(1)試說明梯形ABCD是等腰梯形;

(2)若AD=1,BC=3,DC=,試判斷△DCF的形狀;

(3)在條件(2)下,射線BC上是否存在一點P,使△PCD是等腰三角形,若存在,請直接寫出PB的長;若不存在,請說明理由.

24、如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=60°,AD=DC,E、F分別在AD、DC的延長線上,且DE=CF.AF交BE于P.

(1)證明:△ABE≌△DAF;

(2)求∠BPF的度數.

25、如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC,BD⊥DC,將BC延長至點F,使CF=CD.

(1)求∠ABC的度數;

(2)如果BC=8,求△DBF的面積?

26、如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=10cm,AC交BD于G,且∠AGD=60°,E、F分別為CG、AB的中點.

(1)求證:△AGD為正三角形;

(2)求EF的長度.

27、已知,如圖,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,點E是AB上的點,∠ECD=45°,連接ED,過D作DF⊥BC于F.

(1)若∠BEC=75°,FC=3,求梯形ABCD的周長.

(2)求證:ED=BE+FC.

28、已知:如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中點,直線CE交DA的延長線于點F.

(1)求證:△BCE≌△AFE;

(2)若AB⊥BC且BC=4,AB=6,求EF的長.

29、已知:如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延長線交DC于點E.

求證:

(1)△BFC≌△DFC;

(2)AD=DE;

(3)若△DEF的周長為6,AD=2,BC=5,求梯形ABCD的面積.

30、如圖,梯形ABCD中,AD∥BC.∠C=90°,且AB=AD.連接BD,過A點作BD的垂線,交BC于E.

(1)求證:四邊形ABED是菱形;

(2)如果EC=3cm,CD=4cm,求梯形ABCD的面積.

參考答案

1、如圖,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,E為AD中點,連接BE,CE

(1)求證:BE=CE;

(2)若∠BEC=90°,過點B作BF⊥CD,垂足為點F,交CE于點G,連接DG,求證:BG=DG+CD.

證明:(1)已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,E為AD中點,∴AB=DC,∠BAE=∠CDE,AE=DE,∴△BAE≌△CDE,∴BE=CE;

(2)延長CD和BE的延長線交于H,∵BF⊥CD,∠HEC=90°,∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°

∴∠EBF=∠ECH,又∠BEC=∠CEH=90°,BE=CE(已證),∴△BEG≌△CEH,∴EG=EH,BG=CH=DH+CD,∵△BAE≌△CDE(已證),∴∠AEB=∠GED,∠HED=∠AEB,∴∠GED=∠HED,又EG=EH(已證),ED=ED,∴△GED≌△HED,∴DG=DH,∴BG=DG+CD.

2、如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,E為AB延長線上一點,連接ED,與BC交于點H.過E作CD的垂線,垂足為CD上的一點F,并與BC交于點G.已知G為CH的中點.

(1)若HE=HG,求證:△EBH≌△GFC;

(2)若CD=4,BH=1,求AD的長.

(1)證明:∵HE=HG,∴∠HEG=∠HGE,∵∠HGE=∠FGC,∠BEH=∠HEG,∴∠BEH=∠FGC,∵G是HC的中點,∴HG=GC,∴HE=GC,∵∠HBE=∠CFG=90°.

∴△EBH≌△GFC;

(2)解:∵ED平分∠AEF,∠A=∠DFE=90°,∴AD=DF,∵DF=DC﹣FC,∵△EBH≌△GFC,∴FC=BH=1,∴AD=4﹣1=3.

3、如圖,梯形ABCD中,AB∥CD,AD=DC=BC,∠DAB=60°,E是對角線AC延長線上一點,F是AD延長線上的一點,且EB⊥AB,EF⊥AF.

(1)當CE=1時,求△BCE的面積;

(2)求證:BD=EF+CE.

(2)過E點作EM⊥DB于點M,四邊形FDME是矩形,FE=DM,∠BME=∠BCE=90°,∠BEC=∠MBE=60°,△BME≌△ECB,BM=CE,繼而可證明BD=DM+BM=EF+CE.

(1)解:∵AD=CD,∴∠DAC=∠DCA,∵DC∥AB,∴∠DCA=∠CAB,∴,∵DC∥AB,AD=BC,∴∠DAB=∠CBA=60°,∴∠ACB=180°﹣(∠CAB+∠CBA)=90°,∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°,∵BE⊥AB,∴∠ABE=90°,∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°,在Rt△BCE中,BE=2CE=2,∴…(5分)

(2)證明:過E點作EM⊥DB于點M,∴四邊形FDME是矩形,∴FE=DM,∵∠BME=∠BCE=90°,∠BEC=∠MBE=60°,∴△BME≌△ECB,∴BM=CE,∴BD=DM+BM=EF+CE…(10分)

4、如圖.在平行四邊形ABCD中,O為對角線的交點,點E為線段BC延長線上的一點,且.過點E作EF∥CA,交CD于點F,連接OF.

(1)求證:OF∥BC;

(2)如果梯形OBEF是等腰梯形,判斷四邊形ABCD的形狀,并給出證明.

解答:(1)證明:延長EF交AD于G(如圖),在平行四邊形ABCD中,AD∥BC,AD=BC,∵EF∥CA,EG∥CA,∴四邊形ACEG是平行四邊形,∴AG=CE,又∵,AD=BC,∴,∵AD∥BC,∴∠ADC=∠ECF,在△CEF和△DGF中,∵∠CFE=∠DFG,∠ADC=∠ECF,CE=DG,∴△CEF≌△DGF(AAS),∴CF=DF,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴OB=OD,∴OF∥BE.

(2)解:如果梯形OBEF是等腰梯形,那么四邊形ABCD是矩形.

證明:∵OF∥CE,EF∥CO,∴四邊形OCEF是平行四邊形,∴EF=OC,又∵梯形OBEF是等腰梯形,∴BO=EF,∴OB=OC,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AC=2OC,BD=2BO.

∴AC=BD,∴平行四邊形ABCD是矩形.

5、如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BF⊥CD于F,延長BF交AD的延長線于E,延長CD交BA的延長線于G,且DG=DE,AB=,CF=6.

(1)求線段CD的長;

(2)H在邊BF上,且∠HDF=∠E,連接CH,求證:∠BCH=45°﹣∠EBC.

(1)解:連接BD,由∠ABC=90°,AD∥BC得∠GAD=90°,又∵BF⊥CD,∴∠DFE=90°

又∵DG=DE,∠GDA=∠EDF,∴△GAD≌△EFD,∴DA=DF,又∵BD=BD,∴Rt△BAD≌Rt△BFD(HL),∴BF=BA=,∠ADB=∠BDF

又∵CF=6,∴BC=,又∵AD∥BC,∴∠ADB=∠CBD,∴∠BDF=∠CBD,∴CD=CB=8.

(2)證明:∵AD∥BC,∴∠E=∠CBF,∵∠HDF=∠E,∴∠HDF=∠CBF,由(1)得,∠ADB=∠CBD,∴∠HDB=∠HBD,∴HD=HB,由(1)得CD=CB,∴△CDH≌△CBH,∴∠DCH=∠BCH,∴∠BCH=∠BCD==.

6、如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,∠D=45°.

(1)若AB=6cm,求梯形ABCD的面積;

(2)若E、F、G、H分別是梯形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上一點,且滿足EF=GH,∠EFH=∠FHG,求證:HD=BE+BF.

解:(1)連AC,過C作CM⊥AD于M,如圖,在Rt△ABC中,AB=6,sin∠ACB==,∴AC=10,∴BC=8,在Rt△CDM中,∠D=45°,∴DM=CM=AB=6,∴AD=6+8=14,∴梯形ABCD的面積=?(8+14)?6=66(cm2);

(2)證明:過G作GN⊥AD,如圖,∵∠D=45°,∴△DNG為等腰直角三角形,∴DN=GN,又∵AD∥BC,∴∠BFH=∠FHN,而∠EFH=∠FHG,∴∠BFE=∠GHN,∵EF=GH,∴Rt△BEF≌Rt△NGH,∴BE=GN,BF=HN,∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE.

7、已知:如圖,?ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,延長CD至F,使DF=CD,連接BF交AD于點E.

(1)求證:AE=ED;

(2)若AB=BC,求∠CAF的度數.

(1)證明:如圖.

∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,AB=CD.

∵DF=CD,∴AB∥DF.

∵DF=CD,∴AB=DF.

∴四邊形ABDF是平行四邊形,∴AE=DE.

(2)解:∵四邊形ABCD是平行四邊形,且AB=BC,∴四邊形ABCD是菱形.

∴AC⊥BD.

∴∠COD=90°.

∵四邊形ABDF是平行四邊形,∴AF∥BD.

∴∠CAF=∠COD=90°.

8、已知:如圖,在正方形ABCD中,點G是BC延長線上一點,連接AG,分別交BD、CD于點E、F.

(1)求證:∠DAE=∠DCE;

(2)當CG=CE時,試判斷CF與EG之間有怎樣的數量關系?并證明你的結論.

(1)證明:在△DAE和△DCE中,∠ADE=∠CDE(正方形的對角線平分對角),ED=DE(公共邊),AE=CE(正方形的四條邊長相等),∴△DAE≌△DCE

(SAS),∴∠DAE=∠DCE(全等三角形的對應角相等);

(2)解:如圖,由(1)知,△DAE≌△DCE,∴AE=EC,∴∠EAC=∠ECA(等邊對等角);

又∵CG=CE(已知),∴∠G=∠CEG(等邊對等角);

而∠CEG=2∠EAC(外角定理),∠ECB=2∠CEG(外角定理),∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°,∴∠G=∠CEG=30°;

過點C作CH⊥AG于點H,∴∠FCH=30°,∴在直角△ECH中,EH=CH,EG=2CH,在直角△FCH中,CH=CF,∴EG=2×CF=3CF.

9、如圖,已知正方形ABCD,點E是BC上一點,點F是CD延長線上一點,連接EF,若BE=DF,點P是EF的中點.

(1)求證:DP平分∠ADC;

(2)若∠AEB=75°,AB=2,求△DFP的面積.

(1)證明:連接PC.

∵ABCD是正方形,∴∠ABE=∠ADF=90°,AB=AD.

∵BE=DF,∴△ABE≌△ADF.(SAS)

∴∠BAE=∠DAF,AE=AF.

∴∠EAF=∠BAD=90°.

∵P是EF的中點,∴PA=EF,PC=EF,∴PA=PC.

AD=CD,PD公共,∴△PAD≌△PCD,(SSS)

∴∠ADP=∠CDP,即DP平分∠ADC;

(2)作PH⊥CF于H點.

∵P是EF的中點,∴PH=EC.

設EC=x.

由(1)知△EAF是等腰直角三角形,∴∠AEF=45°,∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°,∴EF=2x,FC=x,BE=2﹣x.

在Rt△ABE中,22+(2﹣x)2=(x)2解得

x1=﹣2﹣2(舍去),x2=﹣2+2.

∴PH=﹣1+,FD=(﹣2+2)﹣2=﹣2+4.

∴S△DPF=(﹣2+4)×=3﹣5.

10、如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,BD=BC,E為CD的中點,交BC的延長線于F;

(1)證明:EF=EA;

(2)過D作DG⊥BC于G,連接EG,試證明:EG⊥AF.

(1)證明:

∵AD∥BC,∴∠DAE=∠F,∠ADE=∠FCE.

∵E為CD的中點,∴ED=EC.

∴△ADE≌△FCE.

∴EF=EA.(5分)

(2)解:連接GA,∵AD∥BC,∠ABC=90°,∴∠DAB=90°.

∵DG⊥BC,∴四邊形ABGD是矩形.

∴BG=AD,GA=BD.

∵BD=BC,∴GA=BC.

由(1)得△ADE≌△FCE,∴AD=FC.

∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA.

∵由(1)得EF=EA,∴EG⊥AF.(5分)

11、如圖,直角梯形ABCD中,∠DAB=90°,AB∥CD,AB=AD,∠ABC=60度.以AD為邊在直角梯形ABCD外作等邊三角形ADF,點E是直角梯形ABCD內一點,且∠EAD=∠EDA=15°,連接EB、EF.

(1)求證:EB=EF;

(2)延長FE交BC于點G,點G恰好是BC的中點,若AB=6,求BC的長.

(1)證明:∵△ADF為等邊三角形,∴AF=AD,∠FAD=60°(1分)

∵∠DAB=90°,∠EAD=15°,AD=AB(2分)

∴∠FAE=∠BAE=75°,AB=AF,(3分)

∵AE為公共邊

∴△FAE≌△BAE(4分)

∴EF=EB(5分)

(2)解:如圖,連接EC.(6分)

∵在等邊三角形△ADF中,∴FD=FA,∵∠EAD=∠EDA=15°,∴ED=EA,∴EF是AD的垂直平分線,則∠EFA=∠EFD=30°.(7分)

由(1)△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°.

∵∠FAE=∠BAE=75°,∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°,∴BE=BA=6.

∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°,∴∠GEB=30°,∵∠ABC=60°,∴∠GBE=30°

∴GE=GB.(8分)

∵點G是BC的中點,∴EG=CG

∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°,∴△CEG為等邊三角形,∴∠CEG=60°,∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°(9分)

∴在Rt△CEB中,BC=2CE,BC2=CE2+BE2

∴CE=,∴BC=(10分);

解法二:過C作CQ⊥AB于Q,∵CQ=AB=AD=6,∵∠ABC=60°,∴BC=6÷=4.

12、如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD,∠C=60°,AE⊥BD于點E,F是CD的中點,DG是梯形ABCD的高.

(1)求證:AE=GF;

(2)設AE=1,求四邊形DEGF的面積.

(1)證明:∵AB=DC,∴梯形ABCD為等腰梯形.

∵∠C=60°,∴∠BAD=∠ADC=120°,又∵AB=AD,∴∠ABD=∠ADB=30°.

∴∠DBC=∠ADB=30°.

∴∠BDC=90°.(1分)

由已知AE⊥BD,∴AE∥DC.(2分)

又∵AE為等腰三角形ABD的高,∴E是BD的中點,∵F是DC的中點,∴EF∥BC.

∴EF∥AD.

∴四邊形AEFD是平行四邊形.(3分)

∴AE=DF(4分)

∵F是DC的中點,DG是梯形ABCD的高,∴GF=DF,(5分)

∴AE=GF.(6分)

(2)解:在Rt△AED中,∠ADB=30°,∵AE=1,∴AD=2.

在Rt△DGC中∠C=60°,并且DC=AD=2,∴DG=.(8分)

由(1)知:在平行四邊形AEFD中EF=AD=2,又∵DG⊥BC,∴DG⊥EF,∴四邊形DEGF的面積=EF?DG=.(10分)

13、已知,如圖在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,DE⊥AC于點F,交BC于點G,交AB的延長線于點E,且AE=AC,連AG.

(1)求證:FC=BE;

(2)若AD=DC=2,求AG的長.

解答:(1)證明:∵∠ABC=90°,DE⊥AC于點F,∴∠ABC=∠AFE.

∵AC=AE,∠EAF=∠CAB,∴△ABC≌△AFE,∴AB=AF.

∴AE﹣AB=AC﹣AF,即FC=BE;

(2)解:∵AD=DC=2,DF⊥AC,∴AF=AC=AE.

∴AG=CG,∴∠E=30°.

∵∠EAD=90°,∴∠ADE=60°,∴∠FAD=∠E=30°,∴FC=,∵AD∥BC,∴∠ACG=∠FAD=30°,∴CG=2,∴AG=2.

14、如圖,直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,點E是AB邊上一點,AE=BC,DE⊥EC,取DC的中點F,連接AF、BF.

(1)求證:AD=BE;

(2)試判斷△ABF的形狀,并說明理由.

(1)證明:∵AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC=180°,∵∠ABC=90°,∴∠BAD=∠ABC=90°,∵DE⊥EC,∴∠AED+∠BEC=90°

∵∠AED+∠ADE=90°,∴∠BEC=∠ADE,∵∠DAE=∠EBC,AE=BC,∴△EAD≌△EBC,∴AD=BE.

(2)答:△ABF是等腰直角三角形.

理由是:延長AF交BC的延長線于M,∵AD∥BM,∴∠DAF=∠M,∵∠AFD=∠CFM,DF=FC,∴△ADF≌△MFC,∴AD=CM,∵AD=BE,∴BE=CM,∵AE=BC,∴AB=BM,∴△ABM是等腰直角三角形,∵△ADF≌△MFC,∴AF=FM,∴∠ABC=90°,∴BF⊥AM,BF=AM=AF,∴△AFB是等腰直角三角形.

15、(2011?潼南縣)如圖,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.

(1)求證:AD=AE;

(2)若AD=8,DC=4,求AB的長.

解答:(1)證明:連接AC,∵AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC,∵AB=BC,∴∠ACB=∠BAC,∴∠ACD=∠ACB,∵AD⊥DC,AE⊥BC,∴∠D=∠AEC=90°,∵AC=AC,∴,∴△ADC≌△AEC,(AAS)

∴AD=AE;

(2)解:由(1)知:AD=AE,DC=EC,設AB=x,則BE=x﹣4,AE=8,在Rt△ABE中∠AEB=90°,由勾股定理得:82+(x﹣4)2=x2,解得:x=10,∴AB=10.

說明:依據此評分標準,其它方法如:過點C作CF⊥AB用來證明和計算均可得分.

16、如圖,已知梯形ABCD中,AD∥CB,E,F分別是BD,AC的中點,BD平分∠ABC.

(1)求證:AE⊥BD;

(2)若AD=4,BC=14,求EF的長.

(1)證明:∵AD∥CB,∴∠ADB=∠CBD,又BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD,∴∠ADB=∠ABD,∴AB=AD,∴△ABD是等腰三角形,已知E是BD的中點,∴AE⊥BD.

(2)解:延長AE交BC于G,∵BD平分∠ABC,∴∠ABE=∠GBE,又∵AE⊥BD(已證),∴∠AEB=∠GEB,BE=BE,∴△ABE≌△GBE,∴AE=GE,BG=AB=AD,又F是AC的中點(已知),所以由三角形中位線定理得:

EF=CG=(BC﹣BG)=(BC﹣AD)

=×(14﹣4)=5.

答:EF的長為5.

17、如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠D=90°,BE⊥AC,E為垂足,AC=BC.

(1)求證:CD=BE;

(2)若AD=3,DC=4,求AE.

(1)證明:∵AD∥BC,∴∠DAC=∠BCE,而BE⊥AC,∴∠D=∠BEC=90°,AC=BC,∴△BCE≌△CAD.

∴CD=BE.

(2)解:在Rt△ADC中,根據勾股定理得AC==5,∵△BCE≌△CAD,∴CE=AD=3.

∴AE=AC﹣CE=2.

18、如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥AC,∠B=45°,AD=1,BC=4,求DC的長.

解:如圖,過點D作DF∥AB,分別交AC,BC于點E,F.(1分)

∵AB⊥AC,∴∠AED=∠BAC=90度.

∵AD∥BC,∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度.

在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=45°,BC=4,∴AC=BC?sin45°=4×=2(2分)

在Rt△ADE中,∠AED=90°,∠DAE=45°,AD=1,∴DE=AE=.∴CE=AC﹣AE=.(4分)

在Rt△DEC中,∠CED=90°,∴DC==.(5分)

19、已知梯形ABCD中,AD∥BC,AB=BC=DC,點E、F分別在AD、AB上,且.

(1)求證:BF=EF﹣ED;

(2)連接AC,若∠B=80°,∠DEC=70°,求∠ACF的度數.

證明:∵FC=F′C,EC=EC,∠ECF'=∠BCF+∠DCE=∠ECF,∴△FCE≌△F′CE,∴EF′=EF=DF′+ED,∴BF=EF﹣ED;

(2)解:∵AB=BC,∠B=80°,∴∠ACB=50°,由(1)得∠FEC=∠DEC=70°,∴∠ECB=70°,而∠B=∠BCD=80°,∴∠DCE=10°,∴∠BCF=30°,∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°.

20、如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,點E在BC上,AE=BE,且AF⊥AB,連接EF.

(1)若EF⊥AF,AF=4,AB=6,求

AE的長.

(2)若點F是CD的中點,求證:CE=BE﹣AD.

解:(1)作EM⊥AB,交AB于點M.∵AE=BE,EM⊥AB,∴AM=BM=×6=3;

∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°,∴四邊形AMEF是矩形,∴EF=AM=3;

在Rt△AFE中,AE==5;

(2)延長AF、BC交于點N.

∵AD∥EN,∴∠DAF=∠N;

∵∠AFD=∠NFC,DF=FC,∴△ADF≌△NCF(AAS),∴AD=CN;

∵∠B+∠N=90°,∠BAE+∠EAN=90°,又AE=BE,∠B=∠BAE,∴∠N=∠EAN,AE=EN,∴BE=EN=EC+CN=EC+AD,∴CE=BE﹣AD.

.21、如圖,四邊形ABCD為等腰梯形,AD∥BC,AB=CD,對角線AC、BD交于點O,且AC⊥BD,DH⊥BC.

(1)求證:DH=(AD+BC);

(2)若AC=6,求梯形ABCD的面積.

解:(1)證明:過D作DE∥AC交BC延長線于E,(1分)

∵AD∥BC,∴四邊形ACED為平行四邊形.(2分)

∴CE=AD,DE=AC.

∵四邊形ABCD為等腰梯形,∴BD=AC=DE.

∵AC⊥BD,∴DE⊥BD.

∴△DBE為等腰直角三角形.(4分)

∵DH⊥BC,∴DH=BE=(CE+BC)=(AD+BC).(5分)

(2)∵AD=CE,∴.(7分)

∵△DBE為等腰直角三角形BD=DE=6,∴.

∴梯形ABCD的面積為18.(8分)

注:此題解題方法并不唯一.

22、已知,如圖,△ABC是等邊三角形,過AC邊上的點D作DG∥BC,交AB于點G,在GD的延長線上取點E,使DE=DC,連接AE,BD.

(1)求證:△AGE≌△DAB;

(2)過點E作EF∥DB,交BC于點F,連AF,求∠AFE的度數.

(1)證明:∵△ABC是等邊三角形,DG∥BC,∴∠AGD=∠ABC=60°,∠ADG=∠ACB=60°,且∠BAC=60°,∴△AGD是等邊三角形,AG=GD=AD,∠AGD=60°.

∵DE=DC,∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB,∵∠AGD=∠BAD,AG=AD,∴△AGE≌△DAB;

(2)解:由(1)知AE=BD,∠ABD=∠AEG.

∵EF∥DB,DG∥BC,∴四邊形BFED是平行四邊形.

∴EF=BD,∴EF=AE.

∵∠DBC=∠DEF,∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF,即∠AEF=∠ABC=60°.

∴△AFE是等邊三角形,∠AFE=60°.

23、如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,DE=EC,EF∥AB交BC于點F,EF=EC,連接DF.

(1)試說明梯形ABCD是等腰梯形;

(2)若AD=1,BC=3,DC=,試判斷△DCF的形狀;

(3)在條件(2)下,射線BC上是否存在一點P,使△PCD是等腰三角形,若存在,請直接寫出PB的長;若不存在,請說明理由.

解:(1)證明:∵EF=EC,∴∠EFC=∠ECF,∵EF∥AB,∴∠B=∠EFC,∴∠B=∠ECF,∴梯形ABCD是等腰梯形;

(2)△DCF是等腰直角三角形,證明:∵DE=EC,EF=EC,∴EF=CD,∴△CDF是直角三角形(如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半,那么這個三角形是直角三角形),∵梯形ABCD是等腰梯形,∴CF=(BC﹣AD)=1,∵DC=,∴由勾股定理得:DF=1,∴△DCF是等腰直角三角形;

(3)共四種情況:

∵DF⊥BC,∴當PF=CF時,△PCD是等腰三角形,即PF=1,∴PB=1;

當P與F重合時,△PCD是等腰三角形,∴PB=2;

當PC=CD=(P在點C的左側)時,△PCD是等腰三角形,∴PB=3﹣;

當PC=CD=(P在點C的右側)時,△PCD是等腰三角形,∴PB=3+.

故共四種情況:PB=1,PB=2,PB=3﹣,PB=3+.(每個1分)

24、如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=60°,AD=DC,E、F分別在AD、DC的延長線上,且DE=CF.AF交BE于P.

(1)證明:△ABE≌△DAF;

(2)求∠BPF的度數.

解答:(1)證明:∵在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BCD=60°,∴AB=CD,∵AD=DC,∴BA=AD,∠BAE=∠ADF=120°,∵DE=CF,∴AE=DF,在△BAE和△ADF中,∴△ABE≌△DAF(SAS).

(2)解:∵由(1)△BAE≌△ADF,∴∠ABE=∠DAF.

∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE.

而AD∥BC,∠C=∠ABC=60°,∴∠BPF=120°.

25、如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC,BD⊥DC,將BC延長至點F,使CF=CD.

(1)求∠ABC的度數;

(2)如果BC=8,求△DBF的面積?

解答:解:(1)∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC,∵AB=AD,∴∠ADB=∠ABD,∴∠DBC=∠ABD,∵在梯形ABCD中AB=DC,∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC,∵BD⊥DC,∴∠DBC+2∠DBC=90°

∴∠DBC=30°

∴∠ABC=60°

(2)過點D作DH⊥BC,垂足為H,∵∠DBC=30°,BC=8,∴DC=4,∵CF=CD∴CF=4,∴BF=12,∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°,∠F=∠FDC

∴∠F=30°,∵∠DBC=30°,∴∠F=∠DBC,∴DB=DF,∴,在直角三角形DBH中,∴,∴,∴,即△DBF的面積為.

26、如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=10cm,AC交BD于G,且∠AGD=60°,E、F分別為CG、AB的中點.

(1)求證:△AGD為正三角形;

(2)求EF的長度.

(1)證明:連接BE,∵梯形ABCD中,AB=DC,∴AC=BD,可證△ABC≌△DCB,∴∠GCB=∠GBC,又∵∠BGC=∠AGD=60°

∴△AGD為等邊三角形,(2)解:∵BE為△BCG的中線,∴BE⊥AC,在Rt△ABE中,EF為斜邊AB上的中線,∴EF=AB=5cm.

27、已知,如圖,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC,點E是AB上的點,∠ECD=45°,連接ED,過D作DF⊥BC于F.

(1)若∠BEC=75°,FC=3,求梯形ABCD的周長.

(2)求證:ED=BE+FC.

解:(1)∵∠BEC=75°,∠ABC=90°,∴∠ECB=15°,∵∠ECD=45°,∴∠DCF=60°,在Rt△DFC中:∠DCF=60°,FC=3,∴DF=3,DC=6,由題得,四邊形ABFD是矩形,∴AB=DF=3,∵AB=BC,∴BC=3,∴BF=BC﹣FC=3﹣3,∴AD=DF=3﹣3,∴C梯形ABCD=3×2+6+3﹣3=9+3,答:梯形ABCD的周長是9+3.

其實也還有一種方法的啦。

(2)過點C作CM垂直AD的延長線于M,再延長DM到N,使MN=BE,∴CN=CE,可證∠NCD=∠DCE,∵CD=CD,∴△DEC≌△DNC,∴ED=EN,∴ED=BE+FC.

28、已知:如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中點,直線CE交DA的延長線于點F.

(1)求證:△BCE≌△AFE;

(2)若AB⊥BC且BC=4,AB=6,求EF的長.

(1)證明:∵AD∥BC,E是AB的中點,∴AE=BE,∠B=∠EAF,∠BCE=∠F.

∴△BCE≌△AFE(AAS).

(2)解:∵AD∥BC,∴∠DAB=∠ABC=90°.

∵AE=BE,∠AEF=∠BEC,∴△BCE≌△AFE.

∴AF=BC=4.

∵EF2=AF2+AE2=9+16=25,∴EF=5.

29、已知:如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延長線交DC于點E.

求證:

(1)△BFC≌△DFC;

(2)AD=DE;

(3)若△DEF的周長為6,AD=2,BC=5,求梯形ABCD的面積.

(1)∵DC=BC,∠1=∠2,CF=CF,∴△DCF≌△BCF.

(2)延長DF交BC于G,∵AD∥BG,AB∥DG,∴四邊形ABGD為平行四邊形.

∴AD=BG.

∵△DFC≌△BFC,∴∠EDF=∠GBF,DF=BF.

又∵∠3=∠4,∴△DFE≌△BFG.

∴DE=BG,EF=GF.

∴AD=DE.

(3)∵EF=GF,DF=BF,∴EF+BF=GF+DF,即:BE=DG.

∵DG=AB,∴BE=AB.

∵C△DFE=DF+FE+DE=6,∴BF+FE+DE=6,即:EB+DE=6.

∴AB+AD=6.

又∵AD=2,∴AB=4.

∴DG=AB=4.

∵BG=AD=2,∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3.

又∵DC=BC=5,在△DGC中∵42+32=52

∴DG2+GC2=DC2

∴∠DGC=90°.

∴S梯形ABCD=(AD+BC)?DG

=(2+5)×4

=14.

30、如圖,梯形ABCD中,AD∥BC.∠C=90°,且AB=AD.連接BD,過A點作BD的垂線,交BC于E.

(1)求證:四邊形ABED是菱形;

(2)如果EC=3cm,CD=4cm,求梯形ABCD的面積.

解答:解:(1)證明:∵AD∥BC,DE2=CD2+CE2=42+32=25,∴∠OAD=∠OEB,∴DE=5

又∵AB=AD,AO⊥BD,∴AD=BE=5,∴OB=OD,∴S梯形ABCD=.

又∵∠AOD=∠EOB,∴△ADO≌△EBO(AAS),∴AD=EB,又∵AD∥BE,∴四邊形ABCD是平行四邊形,又∵AB=AD

∴四邊形ABCD是菱形.

(2)∵四邊形ABCD是菱形,∴AD=DE=BE,

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