第一篇：有關初中數學幾何證明題的教學研究

有關初中數學幾何證明題的教學研究

【摘 要】幾何是初中數學的重難點，教師應該注重幾何證明題教學，讓學生掌握基本的解題技巧。初中數學幾何證明題需要有明確的思路、簡明的步驟、完整的過程，才可以得到完整的分數。而目前初中生在解題上還是存在很大的問題，所以初中數學幾何證明題的有效教學成了我們需要關注的課題。

【關鍵詞】初中數學；幾何證明；研究

【中圖分類號】 G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】1671-8437（2018）10-0020-01

初中數學教學中幾何證明題是老師和學生都頭疼的一門課程，學生在做題時找不到解題思路，面對復雜一點的幾何問題就不會動筆，有的學生解題過程思路不清晰、概念混淆，有一些濫竽充數的嫌疑，這樣也得不到滿分。對于教師來講，初中數學幾何證明題教學是非常重要的，它對于拓展學生思維、提高學生的數學成績有很大的幫助，由于幾何概念比較抽象，故大部分學生對幾何證明題的學習還是很吃力，達不到教學要求。如何突出幾何證明題的特征、幾何概念具體化，提高教學水平，本文中我結合一些自身的教學經驗對初中數學幾何證明題教學提出一些建議。優化初中數學幾何證明題教學的策略

1.1 以教材內容為核心

人教版初中數學幾何教材中有一些重難點，比如說軸對稱、勾股定理、相似三角形等，這些知識點在課本上都有經典的例題和詳細的解題過程，例題難度并不大，在幾何證明題教學中，教師可以讓學生自己去觀察解題思路和技巧，這些例題的學習可以為學生打下很好的基礎。教師在講解《勾股定理》這一章知識時，可以先簡單地介紹勾股定理的背景，然后根據書上的勾股定理六種證明中的一種證明方法進行證明，然后依據書上的例題出一道相似的題目。

在RT三角形中，C=90°

（1）a=6，b=8，求c

（2）a=40，b=41，求c

如果?W生沒有在課堂中及時掌握這些知識，可以依據書上的例題對該題進行證明，也是對勾股定理概念的再次學習。教材是教學的重要內容，也是教學開展的方向。初中數學教材中每一章中的每一個重難點都會有相應的例題，這些例題包含了整個初中數學的知識點。學生在接觸初中幾何數學知識感到很茫然時，教師應該多指導學生去思考教材中的例題，當學生能夠完全掌握這些例題時就可以解決普通的幾何證明題。但是在實際教學中，幾何教師沒有重視教材中的例題，在講解完幾何知識之后就指導學生進行課后練習，忽視了教材中例題的重要性，降低了課堂的效率。所以課堂中應該經常講解例題，例題是學習幾何證明題的法寶，可以有效幫助學生提高解幾何證明題的能力。

1.2 注意細節，解題規范

初中數學幾何證明題的解題要求是思路清晰、過程完整，同時還對格式有一定的要求。只有內容正確、格式正確的前提下，證明才會正確。而實際教學中，教師為了趕教學進度，在一些幾何證明上忽視了格式的規范，這對學生的解題產生一定的影響。有的教師認為幾何證明的講解中思路最為重要，一些細小的問題上沒有引起注意，尤其是課堂的板書上，教師缺乏自身對數學嚴謹的態度，在書寫和過程中都存在一定的問題。如果教師以這種形式教學，無法提高學生的幾何證明能力。所以教師在教學中應該以嚴謹、負責的態度去對待數學，做到規范每一個步驟，在短時間的教學時間中還是要認真做好示范，只有嚴格要求自身，才能嚴格要求學生。

1.3 加強訓練，提高解題能力

初中數學幾何證明題教學不僅要結合理論知識，還要加強訓練。在訓練中學生的數學思維、解題能力才得到提高。比如說在學習圓與三角形結合的證明題中，教師可以在黑板上列舉一道幾何證明題：

在三角形ABC中，∠C=90°，AC+BC=8，∠ACB的平分線交AB于點D，以D為圓心的O與AC相切于點D。

（1）求證：圓心O與BC相切

（2）當AC=2時，求圓心O的半徑

以此題為例，首先要畫出輔助線，運用勾股定理、相切定理來證明此問題，同時又幫助學生復習之前學過的圓的知識。通過一段時間的強化訓練，學生很快就會提高解題能力和速度，對于一般的題型有基本的解題思路，根據題型的判斷，畫出輔助線，這樣就可以提高解題效率。

初中數學幾何證明題教學作為一門激發學生思維、規范數學解題的課程，它在初中數學教學中有不可忽視的作用。作為教師應該充分利用好數學教材，以課本中的幾何證明例題為模型構建更多適合學生練習的題目，同時在教學過程中要嚴格規范自身，盡量將每一個知識點都講解到位，解題過程中每一個步驟都能做到規范，最后根據學生對知識的掌握程度，指導學生訓練，增加學生在幾何證明題上的訓練量，在解題的過程中做到自覺規范，提高解題速度和質量，鞏固課堂中所學習的知識點，這樣才真正提高學生的數學水平。

第二篇：初中數學幾何證明題

初中數學幾何證明題

分析已知、求證與圖形，探索證明的思路。

對于證明題，有三種思考方式：

(1)正向思維。對于一般簡單的題目，我們正向思考，輕而易舉可以做出，這里就不詳細講述了。

(2)逆向思維。顧名思義，就是從相反的方向思考問題。運用逆向思維解題，能使學生從不同角度，不同方向思考問題，探索解題方法，從而拓寬學生的解題思路。這種方法是推薦學生一定要掌握的。在初中數學中，逆向思維是非常重要的思維方式，在證明題中體現的更加明顯，數學這門學科知識點很少，關鍵是怎樣運用，對于初中幾何證明題，最好用的方法就是用逆向思維法。如果你已經上初三了，幾何學的不好，做題沒有思路，那你一定要注意了：從現在開始，總結做題方法。同學們認真讀完一道題的題干后，不知道從何入手，建議你從結論出發。例如：可以有這樣的思考過程：要證明某兩條邊相等，那么結合圖形可以看出，只要證出某兩個三角形相等即可;要證三角形全等，結合所給的條件，看還缺少什么條件需要證明，證明這個條件又需要怎樣做輔助線，這樣思考下去……這樣我們就找到了解題的思路，然后把過程正著寫出來就可以了。這是非常好用的方法，同學們一定要試一試。

(3)正逆結合。對于從結論很難分析出思路的題目，同學們可以結合結論和已知條件認真的分析，初中數學中，一般所給的已知條件都是解題過程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路，比如給我們三角形某邊中點，我們就要想到是否要連出中位線，或者是否要用到中點倍長法。給我們梯形，我們就要想到是否要做高，或平移腰，或平移對角線，或補形等等。正逆結合，戰無不勝。

幾何證明題入門難，證明題難做，是許多初中生在學習中的共識，這里面有很多因素，有主觀的、也有客觀的，學習不得法，沒有適當的解題思路則是其中的一個重要原因。掌握證明題的一般思路、探討證題過程中的數學思維、總結證題的基本規律是求解幾何證明題的關鍵。在這里結合自己的教學經驗，談談自己的一些方法與大家一起分享。

一要審題。很多學生在把一個題目讀完后，還沒有弄清楚題目講的是什么意思，題目讓你求證的是什么都不知道，這非常不可齲我們應該逐個條件的讀，給的條件有什么用，在腦海中打個問號，再對應圖形來對號入座，結論從什么地方入手去尋找，也在圖中找到位置。

二要記。這里的記有兩層意思。第一層意思是要標記，在讀題的時候每個條件，你要在所給的圖形中標記出來。如給出對邊相等，就用邊相等的符號來表示。第二層意思是要牢記，題目給出的條件不僅要標記，還要記在腦海中，做到不看題，就可以把題目復述出來。

三要引申。難度大一點的題目往往把一些條件隱藏起來，所以我們要會引申，那么這里的引申就需要平時的積累，平時在課堂上學的基本知識點掌握牢固，平時訓練的一些特殊圖形要熟記，在審題與記的時候要想到由這些條件你還可以得到哪些結論(就像電腦一下，你一點擊開始立刻彈出對應的菜單)，然后在圖形旁邊標注，雖然有些條件在證明時可能用不上，但是這樣長期的積累，便于以后難題的學習。

四要分析綜合法。分析綜合法也就是要逆向推理，從題目要你證明的結論出發往回推理。看看結論是要證明角相等，還是邊相等，等等，如證明角相等的方法有(1.對頂角相等2.平行線里同位角相等、內錯角相等3.余角、補角定理4.角平分線定義5.等腰三角形6.全等三角形的對應角等等方法。然后結合題意選出其中的一種方法，然后再考慮用這種方法證明還缺少哪些條件，把題目轉換成證明其他的結論，通常缺少的條件會在第三步引申出的條件和題目中出現，這時再把這些條件綜合在一起，很條理的寫出證明過程。

五要歸納總結。很多同學把一個題做出來，長長的松了一口氣，接下來去做其他的，這個也是不可取的，應該花上幾分鐘的時間，回過頭來找找所用的定理、公理、定義，重新審視這個題，總結這個題的解題思路，往后出現同樣類型的題該怎樣入手。

第三篇：初中數學幾何證明題

平面幾何大題 幾何是豐富的變換

多邊形平面幾何有兩種基本入手方式：從邊入手、從角入手

注意哪些角相等哪些邊相等，用標記。進而看出哪些三角形全等。平行四邊形所有的判斷方式？

難題

第四篇：初中幾何證明題

(1)如圖，在三角形ABC中，BD,CE是高，FG分別為ED,BC的中點，O是外心，求證AO∥FG 問題補充：

證明:延長AO,交圓O于M,連接BM,則:∠ABM=90°,且∠M=∠ACB.∠AEC=∠ADB=90°,∠EAC=∠DAB,則⊿AEC∽⊿ADB,AE/AD=AC/AB;

又∠EAD=∠CAB,則⊿EAD∽⊿CAB,得∠AED=∠ACB=∠M.∴∠AED+∠BAM=∠M+∠BAM=90°,得AO⊥DE.--------(1)

連接DG,EG.點G為BC的中點,則DG=BC/2;(直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半)同理可證:EG=BC/2.故DG=EG.又F為DE的中點,則FG⊥DE.(等腰三角形底邊的中線也是底邊的高)-----------------(2)所以,AO∥FG.(2)已知梯形ABCD中，對角線AC與腰BC相等，M是底邊AB的中點，L是邊DA延長線上一點連接LM并延長交對角線BD于N點

延長LM至E，使LM＝ME。

∵AM＝MB，LM＝ME，∴ALBE是平行四邊形，∴AL＝BE，AL∥EB，∴LN/EN＝DN/BN。

延長CN交AB于F，令LC與AB的交點為G。

∵AB是梯形ABCD的底邊，∴BF∥CD，∴CN/FN＝DN/BN。

由LN/EN＝DN/BN，CN/FN＝DN/BN，得：LN/EN＝DN/BN，∴LC∥FE，∴∠GLM＝∠FEB。

由AL∥EB，得：∠LAG＝∠EBF，∠ALM＝∠BEM。

由∠ALM＝∠BEM，∠GLM＝∠FEB，得：∠ALM－∠GLM＝∠BEM－∠FEB，∴∠ALG＝∠BEF，結合證得的∠LAG＝∠EBF，AL＝BE，得：△ALG≌△BEF，∴AG＝BF。

∵AC＝BC，∴∠CAG＝∠CBF，結合證得的AG＝BF，得：△ACG≌△BCF，∴ACL＝∠BCN。

(3)如圖,三角形ABC中,D,E分別在邊AB,AC上且BD=CE,F,G分別為BE,CD的中點,直線FG交

AB于P,交AC于Q.求證:AP=AQ

取BC中點為H

連接HF,HG并分別延長交AB于M點，交AC于N點

由于H，F均為中點

易得：

HM‖AC,HN‖AB

HF=CE/2,HG=BD/

2得到：

∠BMH=∠A

∠CNH=∠A

又：BD=CE

于是得：

HF=HG

在△HFG中即得：

∠HFG=∠HGF

即：∠PFM=∠QGN

于是在△PFM中得：

∠APQ=180°-∠BMH-∠PFM=180°-∠A-∠QGN

在△QNG中得：

∠AQP=180°-∠CNH-∠QGN=180°-∠A-∠QGN

即證得：

∠APQ=∠AQP

在△APQ中易得到： AP=AQ

(4)ABCD為圓內接凸四邊形，取△DAB，△ABC，△BCD，△CDA的內心O，O，O，O．求證：OOOO為矩形． 123

41234

已知銳角三角形ABC的外接圓O，過B,C作圓的切線交于E，連結AE，M為BC的中點。求證角BAM=角EAC。

設點O為△ABC外接圓圓心，連接OP；

則O、E、M三點共線，都在線段BC的垂直平分線上。

設AM和圓O相交于點Q，連接OQ、OB。

由切割線定理，得：MB2 = Q·MA ；

由射影定理，可得：MB2 = ME·MO ；

∴MQ·MA = ME·MO，即MQ∶MO = ME∶MA ；

又∵ ∠OMQ = ∠AME，∴△OMQ ∽ △AME，可得：∠MOQ = ∠MAE。

設OM和圓O相交于點D，連接AD。

∵弧BD = 弧CD，∴∠BAD = ∠CAD。

∵∠DAQ =(1/2)∠MOQ =(1/2)∠MAE，∴∠DAE = ∠MAE∠DAE = ∠CAD-∠DAQ = ∠CAM。

設AD、BE、CF是△ABC的高線，則△DEF稱為△ABC的垂足三角形，證明這些高線平分垂足三角形的內角或外角 設交點為O，OE⊥EC，OD⊥DC，則CDOE四點共圓，由圓周角定理，∠ODE=∠OCE。

CF⊥FC，AD⊥DC，則ACDF四點共圓，由圓周角定理，∠ADF=∠ACF=∠OCE=∠ODE，AD平分∠EDF。

其他同理。

平行四邊形內有一點P，滿足角PAB=角PCB，求證：角PBA=角PDA

過P作PH//DA，使PH=AD，連結AH、BH

∴四邊形AHPD是平行四邊形

∴∠PHA=∠PDA，HP//=AD

∵四邊形ABCD是平行四邊形

∴AD//=BC

∴HP//=BC

∴四邊形PHBC是平行四邊形

∴∠PHB=∠PCB

又∠PAB=∠PCB

∴∠PAB=∠PHB

∴A、H、B、P四點共圓

∴∠PHA=∠PBA

∴∠PBA＝∠PDA

補充：

補充：

把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形，且兩三角形都在這底邊的同側，若能證明其頂角相等，從而即可肯定這四點共圓．

已知點o為三角型ABC在平面內的一點，且向量OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2,，則O為三角型ABC的（）

只說左邊2式子 其他一樣

OA2+BC2=OB2+CA2 移項后平方差公式可得

(OA+OB)(OA-OB)=(CA+BC)(CA-BC)化簡

得 BA(OA+OB)=BA(CA-BC)

移項并合并得BA(OA+OB+BC-CA)=0

即 BA*2OC=0 所以BA和OC垂直

同理AC垂直BO BC垂直AO哈哈啊是垂心

設H是△ABC的垂心，求證：AH2+BC2=HB2+AC2=HC2+AB2．

作△ABC的外接圓及直徑AP．連接BP．高AD的延長線交外接圓于G，連接CG． 易證∠HCB=∠BCG，從而△HCD≌△GCD．

故CH=GC．

又顯然有∠BAP=∠DAC，從而GC=BP．

從而又有CH2+AB2=BP2+AB2=AP2=4R2．

同理可證AH2+BC2=BH2+AC2=4R2．

第五篇：初中幾何證明題思路

學習總結：中考幾何題證明思路總結

幾何證明題重點考察的是學生的邏輯思維能力，能通過嚴密的“因為”、“所以”邏輯將條件一步步轉化為所要證明的結論。這類題目出法相當靈活，不像代數計算類題目容易總結出固定題型的固定解法，而更看重的是對重要模型的總結、常見思路的總結。所以本文對中考中最常出現的若干結論做了一個較為全面的思路總結。

一、證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對應邊相等。

2.同一三角形中等角對等邊。

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊。

4.平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等。

5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等。

6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等。

7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等。

8.過三角形一邊的中點且平行于第三邊的直線分第二邊所成的線段相等。

9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等。

10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內垂直于直徑的弦被直徑分成的兩段相等。

11.兩前項（或兩后項）相等的比例式中的兩后項（或兩前項）相等。

12.兩圓的內（外）公切線的長相等。

13.等于同一線段的兩條線段相等。

二、證明兩角相等

1.兩全等三角形的對應角相等。

2.同一三角形中等邊對等角。

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角。4.兩條平行線的同位角、內錯角或平行四邊形的對角相等。5.同角（或等角）的余角（或補角）相等。6.同圓（或圓）中，等弦（或弧）所對的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。

7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。

8.相似三角形的對應角相等。

9.圓的內接四邊形的外角等于內對角。10.等于同一角的兩個角相等

三、證明兩直線平行

1.垂直于同一直線的各直線平行。

2.同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行。

3.平行四邊形的對邊平行。

4.三角形的中位線平行于第三邊。

5.梯形的中位線平行于兩底。

6.平行于同一直線的兩直線平行。

7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應成比例，則這條直線平行于第三邊。

四、證明兩直線互相垂直

1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直于底邊。

2.三角形中一邊的中線若等于這邊一半，則這一邊所對的角是直角。

3.在一個三角形中，若有兩個角互余，則第三個角是直角。

4.鄰補角的平分線互相垂直。

5.一條直線垂直于平行線中的一條，則必垂直于另一條。

6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直。

7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上。

8.利用勾股定理的逆定理。

9.利用菱形的對角線互相垂直。

10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直于弦。

11.利用半圓上的圓周角是直角。

五、證明線段的和、差、倍、分

1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等。

2.在第三條線段上截取一段等于第一條線段，證明余下部分等于第二條線段。

3.延長短線段為其二倍，再證明它與較長的線段相等。

4.取長線段的中點，再證其一半等于短線段。

5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質等）。

六、證明角的和、差、倍、分

1.作兩個角的和，證明與第三角相等。

2.作兩個角的差，證明余下部分等于第三角。

3.利用角平分線的定義。

4.三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。

七、證明兩線段不等

1.同一三角形中，大角對大邊。

2.垂線段最短。

3.三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。

4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大。

5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小。

6.全量大于它的任何一部分。

八、證明兩角不等

1.同一三角形中，大邊對大角。

2.三角形的外角大于和它不相鄰的任一內角。

3.在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大。

4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大。

5.全量大于它的任何一部分。

九、證明比例式或等積式

1.利用相似三角形對應線段成比例。2.利用內外角平分線定理。3.平行線截線段成比例。4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理。

5.與圓有關的比例定理--相交弦定理、切割線定理及其推論。

6.利用比利式或等積式化得。

以上九項是中考幾何證明題中最常出現的內容，只要掌握了對應的方法，再根據題目中的條件進行合理選擇，攻克難題不再是夢想！