第一篇：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用復(fù)習(xí)

班級(jí)第小組，姓名學(xué)號(hào)

高二數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)題

8、偶函數(shù)f(x)?ax4?bx3?cx2?dx?e的圖像過點(diǎn)P(0,1)，且在x?1處的切線方程為y?x?2，求1．求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

（1）y?(2x2?3)(x2?4)（2）y?ex?xlnx

（3）y?1?x2

sinx

（4）y?1?234x?x2?x32、已知f(x)?xsinx?x

cosx，求f/(0)的值。

3、求曲線y?x過點(diǎn)(4,2)的切線方程。

4、設(shè)曲線y?

x?1

x?1

在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線ax?y?1?0垂直，求a的值。

5、函數(shù)y?x3

?3x的單調(diào)減區(qū)間是

6、已知函數(shù)f(x)?x3

?12x?8在區(qū)間[?3,3]上的最大值與最小值分別為M、m，則M?m=。

7、當(dāng)x?[?1,2]時(shí)，x3

?12

x2

?2x?m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是。

高二數(shù)學(xué)下導(dǎo)學(xué)案

函數(shù)y?f(x)的解析式。

9.已知a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)?(x2?1)(x?a)，若f/(?1)?0，求函數(shù)y?f(x)在R上極值。

10、（2007全國I）設(shè)函數(shù)f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2處取得極值。（1）求a、b的值；

（2）若對于任意的x?[0,3]，都有f(x)?c2

成立，求c的取值范圍。

11、已知函數(shù)f(x)?

a3

x3

?bx2?4cx是奇函數(shù)，函數(shù)f(x)的圖像在(1,f(1))處的切線斜率為?6，且當(dāng)x?2函數(shù)f(x)有極值。（1）求b的值；（2）求f(x)的解析式；（3）求f(x)的單調(diào)區(qū)間。

第二篇：導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一復(fù)習(xí)

本節(jié)主要問題：

1、利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的法則：

如果在(a,b)內(nèi)，f'(x)?0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，(a,b)為f(x)的單調(diào)增區(qū)間； 如果在(a,b)內(nèi)，f'(x)?0，則f(x)在此區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，(a,b)為f(x)的單調(diào)減區(qū)間；

2、如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性（求單調(diào)區(qū)間）：

①先求定義域；②求導(dǎo)—分解因式 ；③解不等式；④下結(jié)論（注意單調(diào)區(qū)間的寫法，不能寫集合，也不能用并集）。

3、如何利用導(dǎo)數(shù)證明不等式f(x)?g(x)？

構(gòu)造函數(shù)?(x)?f(x)?g(x)，利用?(x)的單調(diào)性證明?(x)?0即可。

4、已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)范圍

找出函數(shù)y?x3?4x2?x?1的單調(diào)區(qū)間。

例

3、當(dāng)x?1時(shí)，證明不等式x?ln(x?1)。

例

4、若函數(shù)f(x)?ax?x?x?5在(??,??)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍。

第三篇：淺談導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)應(yīng)用

淺談導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具，很多數(shù)學(xué)問題如果利用導(dǎo)數(shù)探求思路，不僅能迅速找到解題的切入點(diǎn)，而且能夠把復(fù)雜的分析推理轉(zhuǎn)化為簡單的代數(shù)運(yùn)算，達(dá)到避繁就簡、化難為易、事半功倍的效果。如在求曲線的切線方程、方程的根、處理函數(shù)的單調(diào)性、最值問題；數(shù)列，不等式等相關(guān)問題方面，導(dǎo)數(shù)都能發(fā)揮重要的作用。

一、利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程

例1.已知函數(shù)f（x）=x3-3x過點(diǎn)A（0，16）作切線，求此切線的方程。

解：∵點(diǎn)A（0，16）不在曲線f（x）=x3-3x上

∴可設(shè)切點(diǎn)為B（x0，y0），則y0=x03-3x，∵f'（x0）=3（x02-1）

∴曲線f（x）=x3-3x在點(diǎn)B（x0，y0）處的切線方程為l：y-（x03-3x0）=3（x02-1）（x-x0），又點(diǎn)A（0，16）在l上

∴16-（x03-3x0）=3（x02-1）（0-x0）

∴x03=-8，x0-2，切點(diǎn)B（-2，-2）

所求切線方程為9x-y+16=0。

二、討論方程的根的情況

例２.若a>3，試判斷方程x3-ax3+1=0在［0，2］上根的個(gè)數(shù)。

解：設(shè)f（x）=x3-ax2+1，則f'（x）=3x2-2ax。

當(dāng)a>3，x∈［0，2］時(shí)f'（x）0，f（2）=9-4a<0

故f（x）在x∈［0，2］上有且只有一個(gè)根。

三、求參數(shù)的范圍

例3.設(shè)函數(shù)f（x）=x3-6x+5，若x的方程f（x）=a恰好有3個(gè)相異實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解:由題意有f'（x）=3x2-6則x∈（-∞，-）∪（）時(shí)，f（x）單調(diào)遞增；x∈（-，+）時(shí)，f（x）單調(diào)遞減。所以f（x）的極大值為f（-）=5+4，極小值為f=5-4。故f（x）恰有3個(gè)相異實(shí)根時(shí)，a∈（5-4，5+4）。

四、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性問題

例4.函數(shù)f（x）=x3-x2+（m+1）x+1在區(qū)間（1，4）內(nèi)為減函數(shù)，在區(qū)間（6，+∞）上為增函數(shù)，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

解：函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)f'（x）=x2-mx+m-1，令f'（x）=0，解得x=1或x=m-1

（1）當(dāng)m-1≤1即m≤2時(shí)，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，不合題意。

（2）當(dāng)m-1>1即m>2時(shí)，函數(shù)f'（x）在（-∞，1）上為增函數(shù)，在（1，m-1）內(nèi)為減函數(shù)，在（m-1，+∞）上為增函數(shù)。根據(jù)題意有：當(dāng)x∈（1，4）時(shí)f'（x）0，所以4≤m-1≤6解得5≤m≤7，所以m的取值范圍是［5，7］。

五、利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的極值

例5.已知函數(shù)（fx）=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值，討論f（1）和f（-1）是函數(shù)f（x）的極大值還是極小值。

解：f'（x）=3ax2+2bx-3由題意可知∵在x=±1時(shí)f'（x）=0，即

3a+2b-3=03a-2b-3=0，解得a=1b=0。

∴f（x）=x3-3x，f'（x）=3（x+1）（x-1）。

當(dāng)x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），時(shí)f'（x）>0

當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，f'（x）<0

所以f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上是增函數(shù)，在（-1,1）為減函數(shù)。所以，f（-1）=2是極大值；f（1）=-2是極小值。

六、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象

例6.若函數(shù)y=f（x）在［a，b］上是先增后減的函數(shù)，則y=f（x）在［a，b］圖象可能是：（C）

解析：依題意f'（x）在［a，b］上是先增后減的函數(shù)，則f（x）的圖象上，各點(diǎn)的切線的斜率先隨x的增大而增大，后隨x的增大而減小，觀察四哥選項(xiàng)中的圖象，只有C滿足要求，故選C。

七、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式

例7.對于x>0，有不等式x>ln（x+1）成立。

設(shè)f（x）=x-ln（x+1），（x>0），則有f'（x）=

證明：∵x>0，∴f'（x）>0，又f（x）在x=0處連續(xù)，f（x）在［0，+∞］上單調(diào)遞增，∴x>0時(shí)，f（x）>f（0）=0，即x-ln（1+x）>0，x>ln（1+x）。

八、利用導(dǎo)數(shù)求數(shù)列的前n項(xiàng)和

例8.求數(shù)列nxn-1（x≠0,1）的前n項(xiàng)和。

解：設(shè)數(shù)列nxn-1（x≠0,1）的前n項(xiàng)和為Sn，則

Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=（x+x2+x3…+xn）'=（）'==（x≠0，1）。即為數(shù)列nxn-1（x≠0，1）的前n項(xiàng)和。

九、利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際應(yīng)用問題

例9.某沿海地區(qū)養(yǎng)殖的一種特色海鮮上市時(shí)間僅能持續(xù)5個(gè)月，預(yù)測上市初期和后期會(huì)因供不應(yīng)求使價(jià)格呈連續(xù)上漲態(tài)勢，而中期又將出現(xiàn)供大于求使價(jià)格連續(xù)下跌，現(xiàn)有三種價(jià)格模擬函數(shù)：（1）（fx）=p?qx；（fx）=px2+qx+1；（3）f（x）=x（x-q）2（以上三式中p，q均為常數(shù)，且q＞1）。

（1）為準(zhǔn)確研究其價(jià)格走勢，應(yīng)選哪種價(jià)格模擬函數(shù)，為什么？

（2）若f（0）=4，f（2）=6，求出所選函數(shù)f（x）的解析式。

（注：函數(shù)的定義域是［0，5］，其中x=0表示8月1日，x=1表示9月1日，……以此類推）

（作者單位 四川省達(dá)縣石橋中學(xué)）

第四篇：導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一例

導(dǎo)數(shù)應(yīng)用一例

石志群

13題：求一個(gè)正常數(shù)a，使得對于|x|≤1的所有x，都有x恒成立。3

1333分析：x≤ +ax等價(jià)于3ax-3x+1≥0.令f(x)= 3ax-3x+1，則由對于|x|≤1的所有x，3

13都有x恒成立可知當(dāng)｜x|≤1時(shí)，f(x)≥0恒成立，即f(x)在[-1,1]的最小值都不3

小于0。注意到f(x)在[-1,1]上的最值不是在區(qū)間的端點(diǎn)取得，就是在極值點(diǎn)處取得，故有f(-1)≥0且f(1)≥0，從而有-3a+4≥0且3a-2≥0，解得≤a≤。????????????????（1）33

這個(gè)結(jié)果有何用呢？現(xiàn)在該考慮極值點(diǎn)了！

2411，注意到 ≤a≤，所以∈[-1,1]，為極值333a3a3a

11‘點(diǎn)，考慮f(x)在兩側(cè)的符號(hào)可知f(為最小值。3a3a

1113由)＝3a·)－3 · ＋1≥0解得 3a3a3a由f(x)=9ax-3=0得x=?‘214a????????????????????（2）3

4由（1）、（2）可知，a=.3

從這個(gè)題目的思維過程我們可以得到哪些啟示呢？

一是函數(shù)思想在處理不等式問題中的作用不可忽視，本題就是以函數(shù)觀點(diǎn)為突破口展開思維過程的。二是從簡單情形開始，不斷探索有效信息，并充分發(fā)揮所得到的信息的作用。本題中先從區(qū)間端點(diǎn)入手，對a的取值范圍作初步控制，而這個(gè)控制為后續(xù)思維的展開提供了依據(jù)：它確定了極值點(diǎn)的位置，為對a作進(jìn)一步的限制提供了可能。三是要學(xué)會(huì)運(yùn)用等與不等的辯證關(guān)系從不等中構(gòu)造相等關(guān)系。本題給出的全是不等式，不等之中怎么能找到確定a的值的等式呢？聰明的你一定會(huì)想到，肯定是由區(qū)間端點(diǎn)與極值點(diǎn)這些可能取得最值的點(diǎn)之間的制約關(guān)系，構(gòu)造出需要的幾個(gè)不等式，并用這樣的不等式“夾”出a的值。

第五篇：2018年考研數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí)重點(diǎn)及應(yīng)用

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【導(dǎo)數(shù)定義和求導(dǎo)要注意的】

第一，理解并牢記導(dǎo)數(shù)定義。導(dǎo)數(shù)定義是考研數(shù)學(xué)的出題點(diǎn)，大部分以選擇題的形式出題，01年數(shù)一考一道選題，考查在一點(diǎn)處可導(dǎo)的充要條件，這個(gè)并不會(huì)直接教材上的導(dǎo)數(shù)充要條件，他是變換形式后的，這就需要同學(xué)們真正理解導(dǎo)數(shù)的定義，要記住幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：

1)在某點(diǎn)的領(lǐng)域范圍內(nèi)。

2)趨近于這一點(diǎn)時(shí)極限存在，極限存在就要保證左右極限都存在，這一點(diǎn)至關(guān)重要，也是01年數(shù)一考查的點(diǎn)，我們要從四個(gè)選項(xiàng)中找出表示左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等的選項(xiàng)。

3)導(dǎo)數(shù)定義中一定要出現(xiàn)這一點(diǎn)的函數(shù)值，如果已知告訴等于零，那極限表達(dá)式中就可以不出現(xiàn)，否就不能推出在這一點(diǎn)可導(dǎo)，請同學(xué)們記清楚了。

4)掌握導(dǎo)數(shù)定義的不同書寫形式。

第二，導(dǎo)數(shù)定義相關(guān)計(jì)算。這里有幾種題型：1)已知某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)存在，計(jì)算極限，這需要掌握導(dǎo)數(shù)的廣義化形式，還要注意是在這一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)存在的前提下，否則是不一定成立的。

第三，導(dǎo)數(shù)、可微與連續(xù)的關(guān)系。函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)與可微是等價(jià)的，可以推出在這一點(diǎn)處是連續(xù)的，反過來則是不成立的，相信這一點(diǎn)大家都很清楚，而我要提醒大家的是可導(dǎo)推連續(xù)的逆否命題：函數(shù)在一點(diǎn)處不連續(xù)，則在一點(diǎn)處不可導(dǎo)。這也常常應(yīng)用在做題中。

第四，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算可以說在每一年的考研數(shù)學(xué)中都會(huì)涉及到，而且形式不一，考查的方法也不同。要能很好的掌握不同類型題，首先就需要我們把基本的導(dǎo)數(shù)計(jì)算弄明白：1)基本的求導(dǎo)公式。指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)這些基本的初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)都是需要記住的，這也告訴我們在對函數(shù)變形到什么形式的時(shí)候就可以直接代公式，也為后面學(xué)習(xí)不定積分和定積分打基礎(chǔ)。2)求導(dǎo)法則。求導(dǎo)法則這里無非是四則運(yùn)算，復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和反函數(shù)求導(dǎo)，要求四則運(yùn)算記住求導(dǎo)公式;復(fù)合函數(shù)要會(huì)寫出它的復(fù)合過程，按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一次求導(dǎo)就可以了，也是通過這個(gè)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，我們可求出很多函數(shù)的導(dǎo)數(shù);反函數(shù)求導(dǎo)法則為我們開辟了一條新路，建立函數(shù)與其反函數(shù)之間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系，從而也使我們得到反三角函數(shù)求導(dǎo)公式，這些公式都將要列為基本導(dǎo)數(shù)公式，也要很好的理解并掌握反函數(shù)的求導(dǎo)思路，在13年數(shù)二的考試中相應(yīng)的考過，請同學(xué)們注意。3)常見考試類型的求導(dǎo)。通常在考研中出現(xiàn)四種類型：冪指函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程和抽象函數(shù)。這四種類型的求導(dǎo)方法要熟悉，并且可以解決他們之間的綜合題，有時(shí)候也會(huì)與變現(xiàn)積分求導(dǎo)結(jié)合，94年，96年，08年和10年都查了參數(shù)方程和變現(xiàn)積分綜合的題目。

第五，高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算。高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算在歷年考試出現(xiàn)過，比如03年，07年，10年，都以填空題考查的，00年是一道解答題。需要同學(xué)們記住幾個(gè)常見的高階導(dǎo)數(shù)公式，將其他函數(shù)都轉(zhuǎn)化成我們這幾種常見的函數(shù)，代入公式就可以了，也有通過求一階導(dǎo)數(shù)，二階，三階的方法來找出他們之間關(guān)系的。這里還有一種題型就是結(jié)合萊布尼茨公式求高階導(dǎo)數(shù)的，00年出的題目就是考察的這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)。

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【導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用】

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有以下幾種：(1)切線和法線;(2)單調(diào)性;(3)極值;(4)凹凸性;(5)拐點(diǎn);(6)漸近線;(7)(曲率)(只有數(shù)一和數(shù)二的考);(8)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用(只有數(shù)三的考)。我們一一說明每個(gè)應(yīng)用在考研中有哪些注意的。

?切線和法線

主要是依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得出曲線在一點(diǎn)處的切線方程和法線方程。

?單調(diào)性

在考研中單調(diào)性主要以四種題型考查，第一：求已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;第二：證明某函數(shù)在給定區(qū)間單調(diào);第三：不等式證明;第四：方程根的討論。這些題型都離不開導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，只要按照步驟計(jì)算即可。做題過程中要仔細(xì)分析每種的處理方法，多加練習(xí)。

?極值

需要掌握極值的定義、必要條件和充分條件即可。

?凹凸性和拐點(diǎn)

考查的內(nèi)容也是其定義、必要條件、充分條件和判別法。對于這塊內(nèi)容所涉及到的定義定理比較多，使很多同學(xué)弄糊涂了，所以希望同學(xué)們可以列表對比學(xué)習(xí)記憶。

?漸近線

當(dāng)曲線上一點(diǎn)M沿曲線無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí)，如果M到一條直線的距離無限趨近于零，那么這條直線稱為這條曲線的漸近線。需要注意的是：并不是所有的曲線都有漸近線，漸近線反映了某些曲線在無限延伸時(shí)的變化情況。根據(jù)漸近線的位置，可將漸近線分為三類：垂直漸近線、水平漸近線、斜漸近線。

考研中會(huì)考察給一曲線計(jì)算漸近線條數(shù)，計(jì)算順序?yàn)榇怪睗u近線、水平漸近線、斜漸近線。

?條數(shù)計(jì)算

垂直漸近線就直接算就可以了，有幾條算幾條，而水平漸近線和斜漸近線要分別x趨于正無窮計(jì)算一次，和x趨于負(fù)無窮計(jì)算一次，當(dāng)趨于正無窮和負(fù)無窮的水平漸近線或者斜漸近線相同則計(jì)為一條漸近線，若是不同，則計(jì)為兩條漸近線。另外，在趨于正無窮或者負(fù)無窮時(shí)，有水平漸近線就不會(huì)有斜漸近線。

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?曲率

這塊屬于導(dǎo)數(shù)的物理應(yīng)用，這塊是數(shù)一數(shù)二的同學(xué)考的，需要掌握曲率、曲率半徑、曲率圓。理解并記清楚公式。

?導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用是數(shù)三特考的，這個(gè)主要是考察彈性，邊際利潤，邊際收益等。記住公式會(huì)計(jì)算即可。

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