第一篇：導數應用復習

班級第小組，姓名學號

高二數學導數復習題

8、偶函數f(x)?ax4?bx3?cx2?dx?e的圖像過點P(0,1)，且在x?1處的切線方程為y?x?2，求1．求下列函數的導數：

（1）y?(2x2?3)(x2?4)（2）y?ex?xlnx

（3）y?1?x2

sinx

（4）y?1?234x?x2?x32、已知f(x)?xsinx?x

cosx，求f/(0)的值。

3、求曲線y?x過點(4,2)的切線方程。

4、設曲線y?

x?1

x?1

在點(3,2)處的切線與直線ax?y?1?0垂直，求a的值。

5、函數y?x3

?3x的單調減區間是

6、已知函數f(x)?x3

?12x?8在區間[?3,3]上的最大值與最小值分別為M、m，則M?m=。

7、當x?[?1,2]時，x3

?12

x2

?2x?m恒成立，則實數m的取值范圍是。

高二數學下導學案

函數y?f(x)的解析式。

9.已知a為實數，函數f(x)?(x2?1)(x?a)，若f/(?1)?0，求函數y?f(x)在R上極值。

10、（2007全國I）設函數f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2處取得極值。（1）求a、b的值；

（2）若對于任意的x?[0,3]，都有f(x)?c2

成立，求c的取值范圍。

11、已知函數f(x)?

a3

x3

?bx2?4cx是奇函數，函數f(x)的圖像在(1,f(1))處的切線斜率為?6，且當x?2函數f(x)有極值。（1）求b的值；（2）求f(x)的解析式；（3）求f(x)的單調區間。

第二篇：導數的應用一復習

本節主要問題：

1、利用導數判斷函數單調性的法則：

如果在(a,b)內，f'(x)?0，則f(x)在此區間內是增函數，(a,b)為f(x)的單調增區間； 如果在(a,b)內，f'(x)?0，則f(x)在此區間內是減函數，(a,b)為f(x)的單調減區間；

2、如何利用導數判斷函數單調性（求單調區間）：

①先求定義域；②求導—分解因式 ；③解不等式；④下結論（注意單調區間的寫法，不能寫集合，也不能用并集）。

3、如何利用導數證明不等式f(x)?g(x)？

構造函數?(x)?f(x)?g(x)，利用?(x)的單調性證明?(x)?0即可。

4、已知函數的單調性求參數范圍

找出函數y?x3?4x2?x?1的單調區間。

例

3、當x?1時，證明不等式x?ln(x?1)。

例

4、若函數f(x)?ax?x?x?5在(??,??)上單調遞增，求a的取值范圍。

第三篇：淺談導數的幾點應用

淺談導數的幾點應用

導數是解決數學問題的重要工具，很多數學問題如果利用導數探求思路，不僅能迅速找到解題的切入點，而且能夠把復雜的分析推理轉化為簡單的代數運算，達到避繁就簡、化難為易、事半功倍的效果。如在求曲線的切線方程、方程的根、處理函數的單調性、最值問題；數列，不等式等相關問題方面，導數都能發揮重要的作用。

一、利用導數求曲線的切線方程

例1.已知函數f（x）=x3-3x過點A（0，16）作切線，求此切線的方程。

解：∵點A（0，16）不在曲線f（x）=x3-3x上

∴可設切點為B（x0，y0），則y0=x03-3x，∵f'（x0）=3（x02-1）

∴曲線f（x）=x3-3x在點B（x0，y0）處的切線方程為l：y-（x03-3x0）=3（x02-1）（x-x0），又點A（0，16）在l上

∴16-（x03-3x0）=3（x02-1）（0-x0）

∴x03=-8，x0-2，切點B（-2，-2）

所求切線方程為9x-y+16=0。

二、討論方程的根的情況

例２.若a>3，試判斷方程x3-ax3+1=0在［0，2］上根的個數。

解：設f（x）=x3-ax2+1，則f'（x）=3x2-2ax。

當a>3，x∈［0，2］時f'（x）0，f（2）=9-4a<0

故f（x）在x∈［0，2］上有且只有一個根。

三、求參數的范圍

例3.設函數f（x）=x3-6x+5，若x的方程f（x）=a恰好有3個相異實根，求實數a的取值范圍。

解:由題意有f'（x）=3x2-6則x∈（-∞，-）∪（）時，f（x）單調遞增；x∈（-，+）時，f（x）單調遞減。所以f（x）的極大值為f（-）=5+4，極小值為f=5-4。故f（x）恰有3個相異實根時，a∈（5-4，5+4）。

四、利用導數求解函數的單調性問題

例4.函數f（x）=x3-x2+（m+1）x+1在區間（1，4）內為減函數，在區間（6，+∞）上為增函數，試求實數m的取值范圍。

解：函數f（x）的導數f'（x）=x2-mx+m-1，令f'（x）=0，解得x=1或x=m-1

（1）當m-1≤1即m≤2時，函數f（x）在（1，+∞）上是增函數，不合題意。

（2）當m-1>1即m>2時，函數f'（x）在（-∞，1）上為增函數，在（1，m-1）內為減函數，在（m-1，+∞）上為增函數。根據題意有：當x∈（1，4）時f'（x）0，所以4≤m-1≤6解得5≤m≤7，所以m的取值范圍是［5，7］。

五、利用導數求解函數的極值

例5.已知函數（fx）=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值，討論f（1）和f（-1）是函數f（x）的極大值還是極小值。

解：f'（x）=3ax2+2bx-3由題意可知∵在x=±1時f'（x）=0，即

3a+2b-3=03a-2b-3=0，解得a=1b=0。

∴f（x）=x3-3x，f'（x）=3（x+1）（x-1）。

當x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），時f'（x）>0

當x∈（-1，1）時，f'（x）<0

所以f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上是增函數，在（-1,1）為減函數。所以，f（-1）=2是極大值；f（1）=-2是極小值。

六、利用導數研究函數的圖象

例6.若函數y=f（x）在［a，b］上是先增后減的函數，則y=f（x）在［a，b］圖象可能是：（C）

解析：依題意f'（x）在［a，b］上是先增后減的函數，則f（x）的圖象上，各點的切線的斜率先隨x的增大而增大，后隨x的增大而減小，觀察四哥選項中的圖象，只有C滿足要求，故選C。

七、利用導數證明不等式

例7.對于x>0，有不等式x>ln（x+1）成立。

設f（x）=x-ln（x+1），（x>0），則有f'（x）=

證明：∵x>0，∴f'（x）>0，又f（x）在x=0處連續，f（x）在［0，+∞］上單調遞增，∴x>0時，f（x）>f（0）=0，即x-ln（1+x）>0，x>ln（1+x）。

八、利用導數求數列的前n項和

例8.求數列nxn-1（x≠0,1）的前n項和。

解：設數列nxn-1（x≠0,1）的前n項和為Sn，則

Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=（x+x2+x3…+xn）'=（）'==（x≠0，1）。即為數列nxn-1（x≠0，1）的前n項和。

九、利用導數解決實際應用問題

例9.某沿海地區養殖的一種特色海鮮上市時間僅能持續5個月，預測上市初期和后期會因供不應求使價格呈連續上漲態勢，而中期又將出現供大于求使價格連續下跌，現有三種價格模擬函數：（1）（fx）=p?qx；（fx）=px2+qx+1；（3）f（x）=x（x-q）2（以上三式中p，q均為常數，且q＞1）。

（1）為準確研究其價格走勢，應選哪種價格模擬函數，為什么？

（2）若f（0）=4，f（2）=6，求出所選函數f（x）的解析式。

（注：函數的定義域是［0，5］，其中x=0表示8月1日，x=1表示9月1日，……以此類推）

（作者單位 四川省達縣石橋中學）

第四篇：導數應用一例

導數應用一例

石志群

13題：求一個正常數a，使得對于|x|≤1的所有x，都有x恒成立。3

1333分析：x≤ +ax等價于3ax-3x+1≥0.令f(x)= 3ax-3x+1，則由對于|x|≤1的所有x，3

13都有x恒成立可知當｜x|≤1時，f(x)≥0恒成立，即f(x)在[-1,1]的最小值都不3

小于0。注意到f(x)在[-1,1]上的最值不是在區間的端點取得，就是在極值點處取得，故有f(-1)≥0且f(1)≥0，從而有-3a+4≥0且3a-2≥0，解得≤a≤。????????????????（1）33

這個結果有何用呢？現在該考慮極值點了！

2411，注意到 ≤a≤，所以∈[-1,1]，為極值333a3a3a

11‘點，考慮f(x)在兩側的符號可知f(為最小值。3a3a

1113由)＝3a·)－3 · ＋1≥0解得 3a3a3a由f(x)=9ax-3=0得x=?‘214a????????????????????（2）3

4由（1）、（2）可知，a=.3

從這個題目的思維過程我們可以得到哪些啟示呢？

一是函數思想在處理不等式問題中的作用不可忽視，本題就是以函數觀點為突破口展開思維過程的。二是從簡單情形開始，不斷探索有效信息，并充分發揮所得到的信息的作用。本題中先從區間端點入手，對a的取值范圍作初步控制，而這個控制為后續思維的展開提供了依據：它確定了極值點的位置，為對a作進一步的限制提供了可能。三是要學會運用等與不等的辯證關系從不等中構造相等關系。本題給出的全是不等式，不等之中怎么能找到確定a的值的等式呢？聰明的你一定會想到，肯定是由區間端點與極值點這些可能取得最值的點之間的制約關系，構造出需要的幾個不等式，并用這樣的不等式“夾”出a的值。

第五篇：2018年考研數學導數的復習重點及應用

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【導數定義和求導要注意的】

第一，理解并牢記導數定義。導數定義是考研數學的出題點，大部分以選擇題的形式出題，01年數一考一道選題，考查在一點處可導的充要條件，這個并不會直接教材上的導數充要條件，他是變換形式后的，這就需要同學們真正理解導數的定義，要記住幾個關鍵點：

1)在某點的領域范圍內。

2)趨近于這一點時極限存在，極限存在就要保證左右極限都存在，這一點至關重要，也是01年數一考查的點，我們要從四個選項中找出表示左導數和右導數都存在且相等的選項。

3)導數定義中一定要出現這一點的函數值，如果已知告訴等于零，那極限表達式中就可以不出現，否就不能推出在這一點可導，請同學們記清楚了。

4)掌握導數定義的不同書寫形式。

第二，導數定義相關計算。這里有幾種題型：1)已知某點處導數存在，計算極限，這需要掌握導數的廣義化形式，還要注意是在這一點處導數存在的前提下，否則是不一定成立的。

第三，導數、可微與連續的關系。函數在一點處可導與可微是等價的，可以推出在這一點處是連續的，反過來則是不成立的，相信這一點大家都很清楚，而我要提醒大家的是可導推連續的逆否命題：函數在一點處不連續，則在一點處不可導。這也常常應用在做題中。

第四，導數的計算。導數的計算可以說在每一年的考研數學中都會涉及到，而且形式不一，考查的方法也不同。要能很好的掌握不同類型題，首先就需要我們把基本的導數計算弄明白：1)基本的求導公式。指數函數、對數函數、冪函數、三角函數和反三角函數這些基本的初等函數導數都是需要記住的，這也告訴我們在對函數變形到什么形式的時候就可以直接代公式，也為后面學習不定積分和定積分打基礎。2)求導法則。求導法則這里無非是四則運算，復合函數求導和反函數求導，要求四則運算記住求導公式;復合函數要會寫出它的復合過程，按照復合函數的求導法則一次求導就可以了，也是通過這個復合函數求導法則，我們可求出很多函數的導數;反函數求導法則為我們開辟了一條新路，建立函數與其反函數之間的導數關系，從而也使我們得到反三角函數求導公式，這些公式都將要列為基本導數公式，也要很好的理解并掌握反函數的求導思路，在13年數二的考試中相應的考過，請同學們注意。3)常見考試類型的求導。通常在考研中出現四種類型：冪指函數、隱函數、參數方程和抽象函數。這四種類型的求導方法要熟悉，并且可以解決他們之間的綜合題，有時候也會與變現積分求導結合，94年，96年，08年和10年都查了參數方程和變現積分綜合的題目。

第五，高階導數計算。高階導數的計算在歷年考試出現過，比如03年，07年，10年，都以填空題考查的，00年是一道解答題。需要同學們記住幾個常見的高階導數公式，將其他函數都轉化成我們這幾種常見的函數，代入公式就可以了，也有通過求一階導數，二階，三階的方法來找出他們之間關系的。這里還有一種題型就是結合萊布尼茨公式求高階導數的，00年出的題目就是考察的這兩個知識點。

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【導數的應用】

導數的應用主要有以下幾種：(1)切線和法線;(2)單調性;(3)極值;(4)凹凸性;(5)拐點;(6)漸近線;(7)(曲率)(只有數一和數二的考);(8)經濟應用(只有數三的考)。我們一一說明每個應用在考研中有哪些注意的。

?切線和法線

主要是依據導數的幾何意義，得出曲線在一點處的切線方程和法線方程。

?單調性

在考研中單調性主要以四種題型考查，第一：求已知函數的單調區間;第二：證明某函數在給定區間單調;第三：不等式證明;第四：方程根的討論。這些題型都離不開導數的計算，只要按照步驟計算即可。做題過程中要仔細分析每種的處理方法，多加練習。

?極值

需要掌握極值的定義、必要條件和充分條件即可。

?凹凸性和拐點

考查的內容也是其定義、必要條件、充分條件和判別法。對于這塊內容所涉及到的定義定理比較多，使很多同學弄糊涂了，所以希望同學們可以列表對比學習記憶。

?漸近線

當曲線上一點M沿曲線無限遠離原點時，如果M到一條直線的距離無限趨近于零，那么這條直線稱為這條曲線的漸近線。需要注意的是：并不是所有的曲線都有漸近線，漸近線反映了某些曲線在無限延伸時的變化情況。根據漸近線的位置，可將漸近線分為三類：垂直漸近線、水平漸近線、斜漸近線。

考研中會考察給一曲線計算漸近線條數，計算順序為垂直漸近線、水平漸近線、斜漸近線。

?條數計算

垂直漸近線就直接算就可以了，有幾條算幾條，而水平漸近線和斜漸近線要分別x趨于正無窮計算一次，和x趨于負無窮計算一次，當趨于正無窮和負無窮的水平漸近線或者斜漸近線相同則計為一條漸近線，若是不同，則計為兩條漸近線。另外，在趨于正無窮或者負無窮時，有水平漸近線就不會有斜漸近線。

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?曲率

這塊屬于導數的物理應用，這塊是數一數二的同學考的，需要掌握曲率、曲率半徑、曲率圓。理解并記清楚公式。

?導數的經濟應用

導數的經濟學應用是數三特考的，這個主要是考察彈性，邊際利潤，邊際收益等。記住公式會計算即可。

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