第一篇：導數及其應用_知識點總結

導數及其應用 知識點總結

1、函數{ EMBED Equation.DSMT4 |f?x?從到的平均變化率：

2、導數定義：在點處的導數記作；．

3、函數在點處的導數的幾何意義是曲線在點處的切線的斜率．

4、常見函數的導數公式：

①；②；③；④；

⑤；⑥；⑦；⑧

5、導數運算法則：；

；

．

6、在某個區間內，若，則函數在這個區間內單調遞增；

若，則函數在這個區間內單調遞減．

7、求解函數單調區間的步驟：

（1）確定函數的定義域；（2）求導數；

（3）解不等式，解集在定義域內的部分為增區間；

（4）解不等式，解集在定義域內的部分為減區間．

8、求函數的極值的方法是：解方程．當時：

如果在附近的左側，右側，那么是極大值；

如果在附近的左側，右側，那么是極小值．

9、求解函數極值的一般步驟：

（1）確定函數的定義域（2）求函數的導數f’(x)

（3）求方程f’(x)=0的根

（4）用方程f’(x)=0的根，順次將函數的定義域分成若干個開區間，并列成表格

（5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況

10、求函數在上的最大值與最小值的步驟是：

求函數在內的極值；

將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．

第二篇：導數及其應用 知識點總結

導數及其應用 知識點總結

1、函數f?x?從x1到x2的平均變化率：

f

?x2??f?x1?

x2?x1

x?x0

f(x0??x)?f(x0)

?x2、導數定義：f?x?在點x0處的導數記作y?

?f?(x0)?lim

；．

處的切線的斜率．

?x?03、函數y?f?x?在點x0處的導數的幾何意義是曲線

4、常見函數的導數公式：

y?f?x?

在點

??x0,f?x0??

①C'?0；②(xn)'?nxn?1；③(sinx)'?cosx；④(cosx)'??sinx； ⑤(ax)'?axlna；⑥(ex)'?ex；⑦(log5、導數運算法則：

a

x)?

'

1xlna

；⑧(lnx)'?

1x

?1?

?

fx?gx?????????f??x??g??x?；

?fx?gx?????????f??x?g?x??f?x?g??x?；

?2?

??f?x??f??x?g?x??f?x?g??x?

?g?x??0????2

gx????3????g?x???．

6、在某個區間?a,b?內，若f??x??0，則函數y?f?x?在這個區間內單調遞增；

若f??x??0，則函數y?f?x?在這個區間內單調遞減．

7、求解函數y?f(x)單調區間的步驟：

（1）確定函數y?f(x)的定義域；（2）求導數y'?f'(x)；（3）解不等式f'(x)?0，解集在定義域內的部分為增區間；（4）解不等式f(x)?0，解集在定義域內的部分為減區間．

8、求函數y?f?x?的極值的方法是：解方程f??x??0．當f??x0??0時：

'

?1?如果在x0附近的左側f??x??0，右側f??x??0，那么f?x0?是極大值； f??x??0，右側f??x??0，那么f?x0?是極小值．

?2?如果在x0附近的左側

9、求解函數極值的一般步驟：

（1）確定函數的定義域（2）求函數的導數f’(x)（3）求方程f’(x)=0的根

（4）用方程f’(x)=0的根，順次將函數的定義域分成若干個開區間，并列成表格（5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況

10、求函數y?f?x?在?a,b?上的最大值與最小值的步驟是：

?1?求函數y?f?x?在?a,b?內的極值；

?2?將函數y?f?x?的各極值與端點處的函數值f?a?，f?b?比較，其中最大的一個是最大值，最

小的一個是最小值．

第三篇：高中導數知識點總結

世界一流潛能大師博恩?崔西說：“潛意識的力量比表意識大三萬倍”。追逐高考，我們向往成功，我們希望激發潛能，我們就需要在心中鑄造一座高高矗立的、堅固無比的燈塔，它的名字叫信念。那么接下來給大家分享一些關于高中導數知識點總結，希望對大家有所幫助。

高中導數知識點11、導數的定義：在點處的導數記作.2.導數的幾何物理意義：曲線在點處切線的斜率

①k=f/(x0)表示過曲線y=f(x)上P(x0,f(x0))切線斜率。V=s/(t)表示即時速度。a=v/(t)表示加速度。

3.常見函數的導數公式:①;②;③;

⑤;⑥;⑦;⑧。

4.導數的四則運算法則：

5.導數的應用：

(1)利用導數判斷函數的單調性：設函數在某個區間內可導,如果,那么為增函數;如果,那么為減函數;

注意：如果已知為減函數求字母取值范圍,那么不等式恒成立。

(2)求極值的步驟：

①求導數;

②求方程的根;

③列表：檢驗在方程根的左右的符號，如果左正右負,那么函數在這個根處取得極大值;如果左負右正,那么函數在這個根處取得極小值;

(3)求可導函數值與最小值的步驟：

ⅰ求的根;ⅱ把根與區間端點函數值比較,的為值,最小的是最小值。

導數與物理，幾何，代數關系密切：在幾何中可求切線;在代數中可求瞬時變化率;在物理中可求速度、加速度。學好導數至關重要，一起來學習高二數學導數的定義知識點歸納吧!

導數是微積分中的重要基礎概念。當函數y=f(x)的自變量x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δy與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'(x0)或df(x0)/dx。

導數是函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。如果函數的自變量和取值都是實數的話，函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近。例如在運動學中，物體的位移對于時間的導數就是物體的瞬時速度。

不是所有的函數都有導數，一個函數也不一定在所有的點上都有導數。若某函數在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。然而，可導的函數一定連續;不連續的函數一定不可導。

對于可導的函數f(x)，x?f'(x)也是一個函數，稱作f(x)的導函數。尋找已知的函數在某點的導數或其導函數的過程稱為求導。實質上，求導就是一個求極限的過程，導數的四則運算法則也來源于極限的四則運算法則。反之，已知導函數也可以倒過來求原來的函數，即不定積分。微積分基本定理說明了求原函數與積分是等價的。求導和積分是一對互逆的操作，它們都是微積分學中最為基礎的概念。

設函數y=f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，當自變量x在x0處有增量Δx，(x0+Δx)也在該鄰域內時，相應地函數取得增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);如果Δy與Δx之比當Δx→0時極限存在，則稱函數y=f(x)在點x0處可導，并稱這個極限為函數y=f(x)在點x0處的導數記為f'(x0)，也記作y'│x=x0或dy/dx│x=x0

高中導數知識點2

一、求導數的方法

(1)基本求導公式

(2)導數的四則運算

(3)復合函數的導數

設在點x處可導，y=在點處可導，則復合函數在點x處可導，且即

二、關于極限

.1.數列的極限：

粗略地說，就是當數列的項n無限增大時，數列的項無限趨向于A，這就是數列極限的描述性定義。記作：=A。如：

2函數的極限：

當自變量x無限趨近于常數時，如果函數無限趨近于一個常數，就說當x趨近于時，函數的極限是,記作

三、導數的概念

1、在處的導數.2、在的導數.3.函數在點處的導數的幾何意義：

函數在點處的導數是曲線在處的切線的斜率，即k=，相應的切線方程是

注：函數的導函數在時的函數值，就是在處的導數。

例、若=2，則=()A-1B-2C1D

四、導數的綜合運用

(一)曲線的切線

函數y=f(x)在點處的導數，就是曲線y=(x)在點處的切線的斜率.由此，可以利用導數求曲線的切線方程.具體求法分兩步：

(1)求出函數y=f(x)在點處的導數，即曲線y=f(x)在點處的切線的斜率k=;

(2)在已知切點坐標和切線斜率的條件下，求得切線方程為_。

高中數學函數與導數知識點總結分享：

函數與導數

第一、求函數定義域題忽視細節函數的定義域是使函數有意義的自變量的取值范圍，考生想要在考場上準確求出定義域，就要根據函數解析式把各種情況下的自變量的限制條件找出來，列成不等式組，不等式組的解集就是該函數的定義域。在求一般函數定義域時，要注意以下幾點：分母不為0;偶次被開放式非負;真數大于0以及0的0次冪無意義。函數的定義域是非空的數集，在解答函數定義域類的題時千萬別忘了這一點。復合函數要注意外層函數的定義域由內層函數的值域決定。

第二、帶絕對值的函數單調性判斷錯誤帶絕對值的函數實質上就是分段函數，判斷分段函數的單調性有兩種方法：第一，在各個段上根據函數的解析式所表示的函數的單調性求出單調區間，然后對各個段上的單調區間進行整合;第二，畫出這個分段函數的圖象，結合函數圖象、性質能夠進行直觀的判斷。函數題離不開函數圖象，而函數圖象反應了函數的所有性質，考生在解答函數題時，要第一時間在腦海中畫出函數圖象，從圖象上分析問題，解決問題。對于函數不同的單調遞增(減)區間，千萬記住，不要使用并集，指明這幾個區間是該函數的單調遞增(減)區間即可。

第三、求函數奇偶性的常見錯誤求函數奇偶性類的題最常見的錯誤有求錯函數定義域或忽視函數定義域，對函數具有奇偶性的前提條件不清，對分段函數奇偶性判斷方法不當等等。判斷函數的奇偶性，首先要考慮函數的定義域，一個函數具備奇偶性的必要條件是這個函數的定義域區間關于原點對稱，如果不具備這個條件，函數一定是非奇非偶的函數。在定義域區間關于原點對稱的前提下，再根據奇偶函數的定義進行判斷。在用定義進行判斷時，要注意自變量在定義域區間內的任意性。

第四、抽象函數推理不嚴謹很多抽象函數問題都是以抽象出某一類函數的共同“特征”而設計的，在解答此類問題時，考生可以通過類比這類函數中一些具體函數的性質去解決抽象函數。多用特殊賦值法，通過特殊賦可以找到函數的不變性質，這往往是問題的突破口。抽象函數性質的證明屬于代數推理，和幾何推理證明一樣，考生在作答時要注意推理的嚴謹性。每一步都要有充分的條件，別漏掉條件，更不能臆造條件，推理過程層次分明，還要注意書寫規范。

第五、函數零點定理使用不當若函數y=f(x)在區間[a，b]上的圖象是連續不斷的一條曲線，且有f(a)f(b)<>

第六、混淆兩類切線曲線上一點處的切線是指以該點為切點的曲線的切線，這樣的切線只有一條;曲線的過一個點的切線是指過這個點的曲線的所有切線，這個點如果在曲線上當然包括曲線在該點處的切線，曲線的過一個點的切線可能不止一條。因此，考生在求解曲線的切線問題時，首先要區分是什么類型的切線。

第七、混淆導數與單調性的關系一個函數在某個區間上是增函數的這類題型，如果考生認為函數的導函數在此區間上恒大于0，很容易就會出錯。解答函數的單調性與其導函數的關系時一定要注意，一個函數的導函數在某個區間上單調遞增(減)的充要條件是這個函數的導函數在此區間上恒大(小)于等于0，且導函數在此區間的任意子區間上都不恒為零。

第八、導數與極值關系不清考生在使用導數求函數極值類問題時，容易出現的錯誤就是求出使導函數等于0的點，卻沒有對這些點左右兩側導函數的符號進行判斷，誤以為使導函數等于0的點就是函數的極值點，往往就會出錯，出錯原因就是考生對導數與極值關系沒搞清楚。可導函數在一個點處的導函數值為零只是這個函數在此點處取到極值的必要條件，小編在此提醒廣大考生，在使用導數求函數極值時，一定要對極值點進行仔細檢查。

高中數學的學習方法

首先，不要忽視課本。把高一高二的所有教學課本找出來，認認真真仔仔細細地把里面的知識點定理公理等等都看一遍，包括書上的證明也不要忽視。不是說看一遍就了事的，而是真正的去理解他。因為在你高一高二所有的月考，期中考，期末考，經歷了這么多題海戰術之后你要做的就是要回歸課本。你會發現有些高考題，他是很巧妙的利用了書上一些簡單的定義進行變換和引申得到的。所以當老師帶著從頭復習的時候，不要排斥，而是要回憶，消化，理解和掌握這些書本上的基礎知識。

第二，要嘗試著去掌握一些新的定理和法則。在高一高二的時候，老師可能會說這個公式不是大綱要求的，所以不必掌握。這是完全正確的，因為當時所有的知識都是新的，你在面對過多新知識的時候，很難消化和掌握。但是現在你已經掌握了很多知識的基礎上，在去適當的結合自己的能力去了解一些考綱之外的，就更容易掌握了。比如洛必達法則，高中雖然不講，但是在答大題的時候用起來很方便的一個法則。如果你掌握了，你就會比別人做的更好更快更準確。

第三，要注意數學思想和方法的總結。比如說畫圖的思想，轉化的思想等等。這個操作起來還是比較容易的。就是在你每次做完題要注意看解析，看他是怎么分析試題的;老師講課的時候是怎么講解和歸類的;甚至可以多問一下身邊的同學是怎么做這道題的，來尋求一題多解，多思路，看有沒有比你的方法更好的方法。良好的方法是成功的一半，掌握了正確的方法不僅省時更省力。

第四，計算能力的提高。講真，我是沒有這個毛病的。但是我身邊的好多同學有這個問題，就是明明會做的題一定會算錯。小題大題一張卷下來能扣出來10分。嘴上說著是粗心，但我認為不是。我覺得有兩個原因，一個是知識掌握的不牢固，另一個是自身計算能力太差。這兩點都是很致命的。計算能力的提高，會讓正確率上升，會做的題會一次性做對。同時，也會節省出很多時間，去做其他的題。所以從一輪復習開始就要學會提升自己的計算能力，這樣到最后才不會后悔

高中導數知識點總結

第四篇：高中數學人教版選修2-2導數及其應用知識點總結

六安一中東校區高二數學選修2-2期末復習

導數及其應用知識點必記

1．函數的平均變化率為f(x2)?f(x1)f(x1??x)?f(x1)?y?f?? ??x?xx2?x1?x

注1：其中?x是自變量的改變量，可正，可負，可零。

注2：函數的平均變化率可以看作是物體運動的平均速度。

2、導函數的概念:函數y?f(x)在x?x0處的瞬時變化率是

f(x0??x)?f(x0)?y，則稱函數y?f(x)在點x0處可導，并把這個極限叫?lim?x?0?x?x?0?xlim

做y?f(x)在x0處的導數，記作f'(x0)或y'|x?x0

3.函數的平均變化率的幾何意義是割線的斜率；函數的導數的幾何意義是切線的斜率。

4導數的背景（1）切線的斜率；（2）瞬時速度；

常見的導數和定積分運算公式:若f?x?，g?x?均可導（可積），則有：-1-

6.用導數求函數單調區間的步驟:①求函數f(x)的導數f'(x)②令f'(x)>0,解不等式，得x的范圍就是遞增區間.③令f'(x)<0,解不等式，得x的范圍，就是遞減區間；[注]：求單調區間之前一定要先看原函數的定義域。

7.求可導函數f(x)的極值的步驟：(1)確定函數的定義域。(2)求函數f(x)的導數f'(x)(3)求方程f'(x)=0的根(4)用函數的導數為0的點，順次將函數的定義區間分成若干小開區間，并列成表格，檢查f/(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么f(x)在這個根處無極值

8.利用導數求函數的最值的步驟:求f(x)在?a,b?上的最大值與最小值的步驟如下： ⑴求f(x)在?a,b?上的極值；⑵將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。[注]：實際問題的開區間唯一極值點就是所求的最值點；

9．求曲邊梯形的思想和步驟

10.定積分的性質根據定積分的定義，不難得出定積分的如下性質：

性質1b?1dx?b?a a

b

a

b性質2 若f(x)?0,x??a,b?，則?f(x)dx?0 ①推廣：?[f1(x)?f2(x)?a?fm(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx?aabb??fm(x)ab

②推廣:?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?aac1bc1c2??f(x)dx ckb

11定積分的取值情況:定積分的值可能取正值，也

可能取負值，還可能是0.(l）當對應的曲邊梯形位于 x 軸上方時，定

積分的值取正值，且等于x軸上方的圖形面積；

（2）當對應的曲邊梯形位于 x 軸下方時，定

積分的值取負值，且等于x軸上方圖形面積的相

反數；

（3）當位于 x 軸上方的曲邊梯形面積等于

位于 x 軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為，且等于面積．

12．物理中常用的微積分知識（1度，速度的導數為加速度。（2）力的積分為功。

推理與證明知識點

13.歸納推理的定義：從個別事實中推演出一般性的結論，像這樣的推理通常稱．．．．．．．

為歸納推理。歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。14.類比推理的定義：根據兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，這樣的推理稱為類比推理。類比推理是由特殊到特殊的推理。15.演繹推理的定義：演繹推理是根據已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程。演繹推理是由一般到特殊的推理。演繹推理的主要形式：三段論 16.直接證明是從命題的條件或結論出發，根據已知的定義、公理、定理，直接推證結論的真實性。直接證明包括綜合法和分析法。

17.綜合法就是“由因導果”，從已知條件出發，不斷用必要條件代替前面的條件，直至推出要證的結論。

18.分析法就是從所要證明的結論出發，不斷地用充分條件替換前面的條件或者一定成立的式子，可稱為“由果索因”。要注意敘述的形式：要證A，只要證B，B應是A成立的充分條件.分析法和綜合法常結合使用，不要將它們割裂開。19反證法：是指從否定的結論出發，經過邏輯推理，導出矛盾，證實結論的否定是錯誤的，從而肯定原結論是正確的證明方法。

反證法的一般步驟（1）假設命題結論不成立，即假設結論的反面成立；（2）從假設出發，經過推理論證，得出矛盾；（3）從矛盾判定假設不正確，即所求證命題正確。反證法的思維方法:正難則反。矛盾（1）與已知條件矛盾:（2）與．．．．．已有公理、定理、定義矛盾；（3）自相矛盾． 20

21*?nn?N第一個值時命題成立；(2)假設當n=k(k∈N，且k≥n0)時命題成立，??00

證明當n=k+1時命題也成立.由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數n都正確 注]：常用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明。

數系的擴充和復數的概念知識點

22.復數的概念：形如a+bi的數叫做復數，其中i叫虛數單位，a叫實部，b叫．．．．

虛部，數集C??a?bi|a,b?R?叫做復數集。

規定：a?bi?c?di?a=c且，強調：兩復數不能比較大小，只有相等或不相等。

?實數(b?0)?23．數集的關系：復數Z???一般虛數(a?0)

?虛數(b?0)???純虛數()?

24.復數的幾何意義：復數與平面內的點或有序實數對一一對應。

25.復平面：根據復數相等的定義，任何一個復數z?a?bi，都可以由一個有序實數對(a,b)唯一確定。由于有序實數對(a,b)與平面直角坐標系中的點一一對應，因此復數集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應。這個建立了直角坐標系來表示復數的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸。實軸上的點都表示實數，除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數。

26.求復數的模(絕對值)與復數z對應的向量OZ的模r叫做復數z?a?bi的模(也叫絕對值)記作z或a?bi。由模的定義可知：z?a?bi?a2?b

227.復數的加、減法運算及幾何意義①復數的加、減法法則：z1?a?bi與z2?c?di，則z1?z2?a?c?(b?d)i。注：復數的加、減法運算也可以按向量的加、減法來進行。

②復數的乘法法則：(a?bi)(c?di)??ac?bd???ad?bc?i。因子

28.共軛復數:兩復數a?bi與a?bi互為共軛復數，當b?0時，它們叫做共軛虛數。常見的運算規律 a?bi(a?bi)(c?di)ac?bdbc?ad??2?2i其中c?di叫做實數化22c?di(c?di)(c?di)c?dc?d

(1)z?;

2(2)z??2a,z??2bi;2(3)z??z??a2?b2;(4)?z;(5)z??z?R

(6)i4n?1?i,i

24n?2??1,i4n?3??i,i4n?4?1;2(7)?

1?i?1?i1?i??i;(8)?i,??i,??i 1?i1?i(9)設???1?3i23n?1是1的立方虛根，則1?????0，???,?3n?2?,?3n?3?1 2

第五篇：高二數學《導數》知識點總結

廣大同學要想順利通過高考，接受更好的高等教育，就要做好考試前的復習準備。如下是小編給大家整理的高二數學《導數》知識點總結，希望對大家有所作用。

1、導數的定義： 在點 處的導數記作.2.導數的幾何物理意義：曲線 在點 處切線的斜率

①=f/(x0)表示過曲線=f(x)上P(x0,f(x0))切線斜率。V=s/(t)表示即時速度。a=v/(t)表示加速度。

3.常見函數的導數公式: ①;②;③;

⑤;⑥;⑦;⑧。

4.導數的四則運算法則：

5.導數的應用：

(1)利用導數判斷函數的單調性：設函數 在某個區間內可導,如果 ,那么 為增函數;如果 ,那么為減函數;

注意：如果已知 為減函數求字母取值范圍,那么不等式 恒成立。

(2)求極值的步驟：

①求導數;

②求方程 的根;

③列表：檢驗 在方程 根的左右的符號，如果左正右負,那么函數 在這個根處取得極大值;如果左負右正,那么函數 在這個根處取得極小值;

(3)求可導函數最大值與最小值的步驟：

ⅰ求 的根;ⅱ把根與區間端點函數值比較,最大的為最大值,最小的是最小值。

導數與物理，幾何，代數關系密切：在幾何中可求切線;在代數中可求瞬時變化率;在物理中可求速度、加速度。學好導數至關重要，一起來學習高二數學導數的定義知識點歸納吧!

導數是微積分中的重要基礎概念。當函數=f(x)的自變量x在一點x0上產生一個增量Δx時，函數輸出值的增量Δ與自變量增量Δx的比值在Δx趨于0時的極限a如果存在，a即為在x0處的導數，記作f'(x0)或df(x0)/dx。

導數是函數的局部性質。一個函數在某一點的導數描述了這個函數在這一點附近的變化率。如果函數的自變量和取值都是實數的話，函數在某一點的導數就是該函數所代表的曲線在這一點上的切線斜率。導數的本質是通過極限的概念對函數進行局部的線性逼近。例如在運動學中，物體的位移對于時間的導數就是物體的瞬時速度。

不是所有的函數都有導數，一個函數也不一定在所有的點上都有導數。若某函數在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。然而，可導的函數一定連續;不連續的函數一定不可導。

對于可導的函數f(x)，xf'(x)也是一個函數，稱作f(x)的導函數。尋找已知的函數在某點的導數或其導函數的過程稱為求導。實質上，求導就是一個求極限的過程，導數的四則運算法則也于極限的四則運算法則。反之，已知導函數也可以倒過來求原來的函數，即不定積分。微積分基本定理說明了求原函數與積分是等價的。求導和積分是一對互逆的操作，它們都是微積分學中最為基礎的概念。

設函數=f(x)在點x0的某個鄰域內有定義，當自變量x在x0處有增量Δx，(x0+Δx)也在該鄰域內時，相應地函數取得增量Δ=f(x0+Δx)-f(x0);如果Δ與Δx之比當Δx→0時極限存在，則稱函數=f(x)在點x0處可導，并稱這個極限為函數=f(x)在點x0處的導數記為f'(x0)，也記作'│x=x0或d/dx│x=x0