第一篇：導數的應用一復習

本節主要問題：

1、利用導數判斷函數單調性的法則：

如果在(a,b)內，f'(x)?0，則f(x)在此區間內是增函數，(a,b)為f(x)的單調增區間； 如果在(a,b)內，f'(x)?0，則f(x)在此區間內是減函數，(a,b)為f(x)的單調減區間；

2、如何利用導數判斷函數單調性（求單調區間）：

①先求定義域；②求導—分解因式 ；③解不等式；④下結論（注意單調區間的寫法，不能寫集合，也不能用并集）。

3、如何利用導數證明不等式f(x)?g(x)？

構造函數?(x)?f(x)?g(x)，利用?(x)的單調性證明?(x)?0即可。

4、已知函數的單調性求參數范圍

找出函數y?x3?4x2?x?1的單調區間。

例

3、當x?1時，證明不等式x?ln(x?1)。

例

4、若函數f(x)?ax?x?x?5在(??,??)上單調遞增，求a的取值范圍。

第二篇：導數應用復習

班級第小組，姓名學號

高二數學導數復習題

8、偶函數f(x)?ax4?bx3?cx2?dx?e的圖像過點P(0,1)，且在x?1處的切線方程為y?x?2，求1．求下列函數的導數：

（1）y?(2x2?3)(x2?4)（2）y?ex?xlnx

（3）y?1?x2

sinx

（4）y?1?234x?x2?x32、已知f(x)?xsinx?x

cosx，求f/(0)的值。

3、求曲線y?x過點(4,2)的切線方程。

4、設曲線y?

x?1

x?1

在點(3,2)處的切線與直線ax?y?1?0垂直，求a的值。

5、函數y?x3

?3x的單調減區間是

6、已知函數f(x)?x3

?12x?8在區間[?3,3]上的最大值與最小值分別為M、m，則M?m=。

7、當x?[?1,2]時，x3

?12

x2

?2x?m恒成立，則實數m的取值范圍是。

高二數學下導學案

函數y?f(x)的解析式。

9.已知a為實數，函數f(x)?(x2?1)(x?a)，若f/(?1)?0，求函數y?f(x)在R上極值。

10、（2007全國I）設函數f(x)?2x3?3ax2?3bx?8c在x?1及x?2處取得極值。（1）求a、b的值；

（2）若對于任意的x?[0,3]，都有f(x)?c2

成立，求c的取值范圍。

11、已知函數f(x)?

a3

x3

?bx2?4cx是奇函數，函數f(x)的圖像在(1,f(1))處的切線斜率為?6，且當x?2函數f(x)有極值。（1）求b的值；（2）求f(x)的解析式；（3）求f(x)的單調區間。

第三篇：一.導數的應用教學反思

一、學習目標

1、知識與技能（1）掌握利用導數研究函數的單調性、極值、閉區間上的最值的方法步驟。

（2）初步學會應用導數解決與函數有關的綜合問題。

2、過程與方法

體驗運用導數研究函數的工具性，經歷運用數形結合、分類討論、函數與方程等數學思想方法解決有關函數問題的過程。

3、情感態度與價值觀

培養學生合情推理和獨立思考等良好的思想品質，以及主動參與、勇于探索的精神。

二、重點、難點

重點：應用導數解決與函數的單調性、極值、最值，零點等有關的問題。難點：深刻理解運用導數研究函數的工具性以及應用導數解決與函數有關的綜合問題。

三、學習過程 １．知識梳理：

函數的單調性與導數

（１）設函數 y=f(x)在某區間可導，若f ′(x)>0,則y=f(x)在該區間上是_____________． 若f ′(x)<0,則y=f(x)在該區間上是_____________． 若f ′(x)=0,則y=f(x)在該區間上是_____________．

（２）函數 y=f(x)在某區間可導，f ′(x)>0（f ′(x)<0）是函數 y=f(x)在該區間上單調增（減）的____________________條件

函數的極值與導數

（１）函數f(x)在點

附近有定義，如果對

附近的所有點都有f(x)

如果對

附近的所有點都有f(x)>f（）則f（）是函數f(x)的一個________；

求函數y=f(x)的極值的方法是 當f ′()=0時，如果在 x0 附近的左側f ′(x)>0,右側 f ′(x)<0,那么f（）是___________．

如果 附近的左側f ′(x)<0,右側 f ′(x)>0,那么f（）是______________．（２）f ′(x)=0是函數 y=f(x)在 處取得極值的_______________條件.函數的最值與導數

函數f(x)在［a,b］內連續，f(x)在（a,b）內可導，則函數f(x)在［a,b］內的最值是求f(x)在（a,b）內的極值后，將f(x)的各極值與___________比較，其中最大的一個是_________,最小的一個是__________.師生活動：學生課前自主探究，課上教師點評。

[設計意圖]：知識梳理,辨識易錯點，幫助學生形成良好的認知結構。2.自主探究，成果展示

問題

1、求下列函數的單調區間（1）.㏑x（2）

[設計意圖]：設計上述問題，主要目的是使學生進一步熟練用導數研究函數單調性的方法與解題步驟，這類問題容易忽略函數的定義域;單調區間的規范定寫法（不用“ ∪ ”）以及使導數為零的點的處理（導數大于零是函數為增函數的充分不必要條件），因此針對以上可能出現的問題，首先讓學生獨立思考，針對出現的問題，然后通過生生和師生的交流，共同分析正確的解題方法，完善對問題的全面和完整的解決

問題

2、已知 在R上是單調減函數，求 的取值范圍。

變式1 若函數f(x)= x3-3ax+2的單調遞減區間為(0,2)，求實數a的取值范圍； 變式2 若函數f(x)= x3-3ax+2在區間(0,2)上單調遞減，求實數a的取值范圍.[設計意圖]：此題旨在鍛煉學生的審題能力和對數學語言精確性和嚴密性的考查，“函數在某區間內單調”和“函數的單調區間是某區間”，前者說明所給的區間是該函數單調區間的子集，后者說明所給的區間是恰好是函數的單調區間，因此在解題中一定要養成認真審題的好習慣。

問題

3、已知函數f(x)=x3-ax2-bx+ 在x=1處有極值10，（1）求a、b的值;

（2）函數f(x)是否還有其它極值？（3）求函數f(x)在區間[-1，4]上的最值。

[設計意圖]：設計上述問題，主要目的是使學生進一步熟練用導數研究函數極值、最值的方法與解題步驟，導數為零是函數有極值的非充分非必要條件。首先讓學生獨立思考，此題很多同學可能求出a、b的值后忘記檢驗，針對出現的問題，通過學生討論，爭論，教師講評，達到對問題的共識。

問題4、試討論函數f(x)=x3-6x2+9x-10-a(a ∈R)零點的個數

[設計意圖]：此題旨在培養學生運用導數解決與函數有關的綜合問題。函數、方程、不等式是相互聯系不可分割的一個整體，導數作為研究函數的一種工具，必然也是研究方程、不等式的工具，討論函數零點的個數也是利用導數求函數極值深層次的應用，應讓學生細心體會，并能靈活運用。

問題

5、已知函數f(x)=x3-x2-2x+5當x ∈[-1，2]時，f(x)

變式：（1）若將f(x)m呢？

（3）若將f(x)

（4）若將當x ∈[-1，2]時，f(x)

[設計意圖]：運用導數研究與函數有關的恒成立問題也是利用導數求函數極值深層次的應用，是非常重要的一種題型，在高考題中經常出現，對培養學生的思維能力及解決綜合題的能力很有幫助。

3、當堂檢測、鞏固落實

（1）、函數f(x)= 3x3-x+1的極值為_________________________（2）函數f(x)=㏑x-ax(a>0)的單調增區間為_________________________（3）函數f(x)=x3-6x2+9x-10零點的個數為________________________（4）已知函數f(x)=x3-12x+8在區間[-3, 3 ],上的最大值為M最小值為m則M-m=______

（5）已知函數f(x)=x3-3ax2+2bx 在x=1處存在極小值-1，求a、b的值，并求f(x)的單調區間

（6）已知函數 f(x)=x3+ax2+bx+c 在x=-與x=1時都取得極值． ⑴ 求a、b的值與函數f(x)的單調區間;

⑵ 若對x ? [-1, 2 ],不等式 f(x)

[設計意圖]：強化訓練，鞏固所學知識。

四、小結與反思

通過本節課的學習你學到了哪些知識？

掌握了那些數學思想方法？

你認為解題中易出錯的地方在哪里？

五、作業 P31第2T,6T.六、課后反思_______________________________________________________

____________________________________________________________________

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[設計理念]：體現“生本”理念，從學生的已有經驗出發設計問題，讓學生經歷知識的發生發展過程，在合作交流中形成能力，增長智慧。

[設計亮點]：根據學生的實際情況，設計問題從基礎入手，抓住“核心”知識，逐步加深難度，針對在利用導數解決函數的單調性、極值、最值等問題和解題中常見的錯誤設計一系列的“變式”問題，環環相接，使學生始終處于積極的思考和探索討論中，形成良好的課堂氛圍，為良好的課堂效果打下基礎。

[設計中遇到的問題及解決辦法] 在設計的過程中，由于導數在函數中的應用較廣泛，如何在有限的時間內使學生高效率的掌握這些知識，形成基本能力成為設計的難點，為了解決上述問題，本文在設計中選取了有利于學生能力形成的核心知識，通過變式整合知識，從而達到提高課堂教學效率的目的。

[教學效果] 課堂上學生積極參與，在師生合作交流中完成知識的建構和能力的提升，課堂教學效果良好。

[教后反思]：

本節課圍繞“核心”知識點及學生的易錯點設計、變換問題，引導學生思考討論，鍛煉學生獨立解決問題的能力和合作學習的能力，形成自已的數學思想方法，更觸發了學生積極思考、勤奮探索的動力，開發學生的智慧源泉，實現了舉一反三的效果，同時也符合新課改的課堂理念，以培養學生能力為主，學生是課堂的主體，也突出了數學復習課的特點：梳理知識，強化應用。本設計中的問題對中上等的的同學比較適合，對部分學困生學起來有一定的難度，尤待進一步改進。

第四篇：淺談導數的幾點應用

淺談導數的幾點應用

導數是解決數學問題的重要工具，很多數學問題如果利用導數探求思路，不僅能迅速找到解題的切入點，而且能夠把復雜的分析推理轉化為簡單的代數運算，達到避繁就簡、化難為易、事半功倍的效果。如在求曲線的切線方程、方程的根、處理函數的單調性、最值問題；數列，不等式等相關問題方面，導數都能發揮重要的作用。

一、利用導數求曲線的切線方程

例1.已知函數f（x）=x3-3x過點A（0，16）作切線，求此切線的方程。

解：∵點A（0，16）不在曲線f（x）=x3-3x上

∴可設切點為B（x0，y0），則y0=x03-3x，∵f'（x0）=3（x02-1）

∴曲線f（x）=x3-3x在點B（x0，y0）處的切線方程為l：y-（x03-3x0）=3（x02-1）（x-x0），又點A（0，16）在l上

∴16-（x03-3x0）=3（x02-1）（0-x0）

∴x03=-8，x0-2，切點B（-2，-2）

所求切線方程為9x-y+16=0。

二、討論方程的根的情況

例２.若a>3，試判斷方程x3-ax3+1=0在［0，2］上根的個數。

解：設f（x）=x3-ax2+1，則f'（x）=3x2-2ax。

當a>3，x∈［0，2］時f'（x）0，f（2）=9-4a<0

故f（x）在x∈［0，2］上有且只有一個根。

三、求參數的范圍

例3.設函數f（x）=x3-6x+5，若x的方程f（x）=a恰好有3個相異實根，求實數a的取值范圍。

解:由題意有f'（x）=3x2-6則x∈（-∞，-）∪（）時，f（x）單調遞增；x∈（-，+）時，f（x）單調遞減。所以f（x）的極大值為f（-）=5+4，極小值為f=5-4。故f（x）恰有3個相異實根時，a∈（5-4，5+4）。

四、利用導數求解函數的單調性問題

例4.函數f（x）=x3-x2+（m+1）x+1在區間（1，4）內為減函數，在區間（6，+∞）上為增函數，試求實數m的取值范圍。

解：函數f（x）的導數f'（x）=x2-mx+m-1，令f'（x）=0，解得x=1或x=m-1

（1）當m-1≤1即m≤2時，函數f（x）在（1，+∞）上是增函數，不合題意。

（2）當m-1>1即m>2時，函數f'（x）在（-∞，1）上為增函數，在（1，m-1）內為減函數，在（m-1，+∞）上為增函數。根據題意有：當x∈（1，4）時f'（x）0，所以4≤m-1≤6解得5≤m≤7，所以m的取值范圍是［5，7］。

五、利用導數求解函數的極值

例5.已知函數（fx）=ax3+bx2-3x在x=±1處取得極值，討論f（1）和f（-1）是函數f（x）的極大值還是極小值。

解：f'（x）=3ax2+2bx-3由題意可知∵在x=±1時f'（x）=0，即

3a+2b-3=03a-2b-3=0，解得a=1b=0。

∴f（x）=x3-3x，f'（x）=3（x+1）（x-1）。

當x∈（-∞，-1）∪（1，+∞），時f'（x）>0

當x∈（-1，1）時，f'（x）<0

所以f（x）在（-∞，-1）和（1，+∞）上是增函數，在（-1,1）為減函數。所以，f（-1）=2是極大值；f（1）=-2是極小值。

六、利用導數研究函數的圖象

例6.若函數y=f（x）在［a，b］上是先增后減的函數，則y=f（x）在［a，b］圖象可能是：（C）

解析：依題意f'（x）在［a，b］上是先增后減的函數，則f（x）的圖象上，各點的切線的斜率先隨x的增大而增大，后隨x的增大而減小，觀察四哥選項中的圖象，只有C滿足要求，故選C。

七、利用導數證明不等式

例7.對于x>0，有不等式x>ln（x+1）成立。

設f（x）=x-ln（x+1），（x>0），則有f'（x）=

證明：∵x>0，∴f'（x）>0，又f（x）在x=0處連續，f（x）在［0，+∞］上單調遞增，∴x>0時，f（x）>f（0）=0，即x-ln（1+x）>0，x>ln（1+x）。

八、利用導數求數列的前n項和

例8.求數列nxn-1（x≠0,1）的前n項和。

解：設數列nxn-1（x≠0,1）的前n項和為Sn，則

Sn=1+2x+3x2+…+nxn-1=（x+x2+x3…+xn）'=（）'==（x≠0，1）。即為數列nxn-1（x≠0，1）的前n項和。

九、利用導數解決實際應用問題

例9.某沿海地區養殖的一種特色海鮮上市時間僅能持續5個月，預測上市初期和后期會因供不應求使價格呈連續上漲態勢，而中期又將出現供大于求使價格連續下跌，現有三種價格模擬函數：（1）（fx）=p?qx；（fx）=px2+qx+1；（3）f（x）=x（x-q）2（以上三式中p，q均為常數，且q＞1）。

（1）為準確研究其價格走勢，應選哪種價格模擬函數，為什么？

（2）若f（0）=4，f（2）=6，求出所選函數f（x）的解析式。

（注：函數的定義域是［0，5］，其中x=0表示8月1日，x=1表示9月1日，……以此類推）

（作者單位 四川省達縣石橋中學）

第五篇：導數應用一例

導數應用一例

石志群

13題：求一個正常數a，使得對于|x|≤1的所有x，都有x恒成立。3

1333分析：x≤ +ax等價于3ax-3x+1≥0.令f(x)= 3ax-3x+1，則由對于|x|≤1的所有x，3

13都有x恒成立可知當｜x|≤1時，f(x)≥0恒成立，即f(x)在[-1,1]的最小值都不3

小于0。注意到f(x)在[-1,1]上的最值不是在區間的端點取得，就是在極值點處取得，故有f(-1)≥0且f(1)≥0，從而有-3a+4≥0且3a-2≥0，解得≤a≤。????????????????（1）33

這個結果有何用呢？現在該考慮極值點了！

2411，注意到 ≤a≤，所以∈[-1,1]，為極值333a3a3a

11‘點，考慮f(x)在兩側的符號可知f(為最小值。3a3a

1113由)＝3a·)－3 · ＋1≥0解得 3a3a3a由f(x)=9ax-3=0得x=?‘214a????????????????????（2）3

4由（1）、（2）可知，a=.3

從這個題目的思維過程我們可以得到哪些啟示呢？

一是函數思想在處理不等式問題中的作用不可忽視，本題就是以函數觀點為突破口展開思維過程的。二是從簡單情形開始，不斷探索有效信息，并充分發揮所得到的信息的作用。本題中先從區間端點入手，對a的取值范圍作初步控制，而這個控制為后續思維的展開提供了依據：它確定了極值點的位置，為對a作進一步的限制提供了可能。三是要學會運用等與不等的辯證關系從不等中構造相等關系。本題給出的全是不等式，不等之中怎么能找到確定a的值的等式呢？聰明的你一定會想到，肯定是由區間端點與極值點這些可能取得最值的點之間的制約關系，構造出需要的幾個不等式，并用這樣的不等式“夾”出a的值。