第一篇：數學說課稿：導數概念

數學說課稿：導數概念

作為一位兢兢業業的人民教師，就不得不需要編寫說課稿，說課稿有助于學生理解并掌握系統的知識。說課稿要怎么寫呢？以下是小編收集整理的數學說課稿：導數概念，歡迎閱讀與收藏。

導數是近代數學中微積分的核心概念之一，是一種思想方法，這種思想方法是人類智慧的驕傲。《導數的概念》這一節內容，大致分成四個課時，我主要針對第三課時的教學，談談我的理解與設計，敬請各位專家斧正。

一、教材分析

1.1編者意圖《導數的概念》分成四個部分展開，即：“曲線的切線”，“瞬時速度”，“導數的概念”，“導數的幾何意義”，編者意圖在哪里呢？用前兩部分作為背景，是為了引出導數的概念；介紹導數的幾何意義，是為了加深對導數的理解。從而充分借助直觀來引出導數的概念；用極限思想抽象出導數；用函數思想拓展、完善導數以及在應用中鞏固、反思導數，教材的顯著特點是從具體經驗出發，向抽象和普遍發展，使探究知識的過程簡單、經濟、有效。

1.2導數概念在教材的地位和作用“導數的概念”是全章核心。不僅在于它自身具有非常嚴謹的結構，更重要的是，導數運算是一種高明的數學思維，用導數的運算去處理函數的性質更具一般性，獲得更為理想的結果；把運算對象作用于導數上，可使我們擴展知識面，感悟變量，極限等思想，運用更高的觀點和更為一般的方法解決或簡化中學數學中的不少問題；導數的方法是今后全面研究微積分的重要方法和基本工具，在在其它學科中同樣具有十分重要的作用；在物理學，經濟學等其它學科和生產、生活的各個領域都有廣泛的應用。導數的出現推動了人類事業向前發展。

1.3教材的內容剖析知識主體結構的比較和知識的遷移類比如下表：

表1、知識主體結構比較

通過比較發現：求切線的斜率和物體的瞬時速度，這兩個具體問題的解決都依賴于求函數的極限，一個是“微小直角三角形中兩直角邊之比”的極限，一個是“位置改變量與時間改變量之比”的極限，如果舍去問題的具體含義，都可以歸結為一種相同形式的極限，即“平均變化率”的極限。因此以兩個背景作為新知的生長點，不僅使新知引入變得自然，而且為新知建構提供了有效的類比方法。

1.4重、難點剖析

重點：導數的概念的形成過程。

難點：對導數概念的理解。

為什么這樣確定呢？導數概念的形成分為三個的層次：f（x）在點x0可導→f（x）在開區間（，b）內可導→f（x）在開區間（，b）內的導函數→導數，這三個層次是一個遞進的過程，而不是專指哪一個層次，也不是幾個層次的簡單相加，因此導數概念的形成過程是重點；教材中出現了兩個“導數”，“兩個可導”，初學者往往會有這樣的困惑，“導數到底是個什么東西？一個函數是不是有兩種導數呢？”，“導函數與導數是怎么統一的？”。事實上：

（1）f（x）在點x0處的導數是這一點x0到x0+△x的變化率的極限，是一個常數，區別于導函數。

（2）f（x）的導數是對開區間內任意點x而言，是x到x+△x的變化率的極限，是f（x）在任意點的變化率，其中滲透了函數思想。

（3）導函數就是導數！是特殊的函數：先定義f（x）在x0處可導、再定義f（x）在開區間（，b）內可導、最后定義f（x）在開區間的導函數。

（4）y=f（x）在x0處的導數就是導函數在x=x0處的函數值，表示為這也是求f′（x0）的一種方法。初學者最難理解導數的概念，是因為初學者最容易忽視或混淆概念形成過程中幾個關鍵詞的區別和聯系，會出現較大的分歧和差別，要突破難點，關鍵是找到“f（x）在點x0可導”、“f（x）在開區間的導函數”和“導數”之間的聯系，而要弄清這種聯系的最好方法就是類比！用“速度與導數”進行類比。

二、目的分析

2.1學生的認知特點。在知識方面，對函數的極限已經熟悉，加上兩個具體背景的學習，新知教學有很好的基礎；在技能方面，高三學生，有很強的概括能力和抽象思維能力；在情感方面，求知的欲望強烈，喜歡探求真理，具有積極的情感態度。

2.2教學目標的擬定。鑒于這些特點，并結合教學大綱的要求以及對教材的分析，擬定如下的教學目標：

知識目標：

①理解導數的概念。

②掌握用定義求導數的方法。

③領悟函數思想和無限逼近的極限思想。

能力目標：

①培養學生歸納、抽象和概括的能力。

②培養學生的數學符號表示和數學語言表達能力。

情感目標：通過導數概念的學習，使學生體驗和認同“有限和無限對立統一”的辯證觀點。接受用運動變化的辯證唯物主義思想處理數學問題的積極態度。

三、過程分析

設計理念：遵循特殊到一般的認知規律，結合可接受性和可操作性原則，把教學目標的落實融入到教學過程之中，通過演繹導數的形成，發展和應用過程，幫助學生主動建構概念。

一、教材分析

導數的概念是高中新教材人教A版選修2-2第一章1.1.2的內容,是在學生學習了物理的平均速度和瞬時速度的背景下，以及前節課所學的平均變化率基礎上，闡述了平均變化率和瞬時變化率的關系，從實例出發得到導數的概念，為以后更好地研究導數的幾何意義和導數的應用奠定基礎。

新教材在這個問題的處理上有很大變化，它與舊教材的區別是從平均變化率入手，用形象直觀的“逼近”方法定義導數。

問題1氣球平均膨脹率--→瞬時膨脹率

問題2高臺跳水的平均速度--→瞬時速度--→

根據上述教材結構與內容分析，立足學生的認知水平，制定如下教學目標和重、難點

二、教學目標

1、知識與技能：

通過大量的實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數。

2、過程與方法：

①通過動手計算培養學生觀察、分析、比較和歸納能力

②通過問題的探究體會逼近、類比、以已知探求未知、從特殊到一般的數學思想方法

3、情感、態度與價值觀：

通過運動的觀點體會導數的內涵，使學生掌握導數的概念不再困難，從而激發學生學習數學的興趣.三、重點、難點

重點：導數概念的形成，導數內涵的理解

難點：在平均變化率的基礎上去探求瞬時變化率，深刻理解導數的內涵通過逼近的方法，引導學生觀察來突破難點

四、教學設想(具體如下表)

教學環節教學內容師生互動設計思路創設情景、引入新課幻燈片

回顧上節課留下的思考題：

在高臺跳水運動中，運動員相對水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數關系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.計算運動員在這段時間里的平均速度，并思考下面的問題：

(1)運動員在這段時間里是靜止的嗎?

(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎?

首先回顧上節課留下的思考題：

在學生相互討論，交流結果的基礎上，提出：大家得到運動員在這段時間內的平均速度為“0”，但我們知道運動員在這段時間內并沒有“靜止”。為什么會產生這樣的情況呢?

引起學生的好奇，意識到平均速度只能粗略地描述物體在某段時間內的運動狀態，為了能更精確地刻畫物體運動，我們有必要研究某個時刻的速度即瞬時速度。

使學生帶著問題走進課堂，激發學生求知欲初步探索、展示內涵

根據學生的認知水平,概念的形成分了兩個層次：

結合跳水問題，明確瞬時速度的定義

問題一：請大家思考如何求運動員的瞬時速度，如t=2時刻的瞬時速度?

提出問題一，組織學生討論，引導他們自然地想到選取一個具體時刻如t=2，研究它附近的平均速度變化情況來尋找到問題的思路，使抽象問題具體化

理解導數的內涵是本節課的教學重難點，通過層層設疑，把學生推向問題的中心，讓學生動手操作，直觀感受來突出重點、突破難點

問題二：請大家繼續思考，當Δt取不同值時,嘗試計算的'值?

Δt

Δt

-0.10.1

-0.010.01

-0.0010.001

-0.00010.0001

-0.000010.00001

……….….…….…

學生對概念的認知需要借助大量的直觀數據，所以我讓學生利用計算器，分組完成問題二，幫助學生體會從平均速度出發，“以已知探求未知”的數學思想方法,培養學生的動手操作能力

問題三：當Δt趨于0時，平均速度有怎樣的變化趨勢?

Δt

Δt

-0.1-12.610.1-13.59

-0.01-13.0510.01-13.149

-0.001-13.09510.001-13.1049

-0.0001-130099510.0001-13.10049

-0.00001-13.0999510.00001-13.100049

……….….…….…

一方面分組討論，上臺板演，展示計算結果，同時口答：在t=2時刻,Δt趨于0時，平均速度趨于一個確定的值-13.1，即瞬時速度，第一次體會逼近思想;另一方面借助動畫多渠道地引導學生觀察、分析、比較、歸納，第二次體會逼近思想，為了表述方便,數學中用簡潔的符號來表示,即

數形結合，掃清了學生的思維障礙，更好地突破了教學的重難點，體驗數學的簡約美

問題四：運動員在某個時刻的瞬時速度如何表示呢?

引導學生繼續思考:運動員在某個時刻的瞬時速度如何表示?學生意識到將代替2,可類比得到

與舊教材相比,這里不提及極限概念,而是通過形象生動的逼近思想來定義時刻的瞬時速度,更符合學生的認知規律,提高了他們的思維能力,體現了特殊到一般的思維方法

借助其它實例，抽象導數的概念

問題五：氣球在體積時的瞬時膨脹率如何表示呢?

類比之前學習的瞬時速度問題,引導學生得到瞬時膨脹率的表示

積極的師生互動能幫助學生看到知識點之間的聯系，有助于知識的重組和遷移,尋找不同實際背景下的數學共性，即對于不同實際問題，瞬時變化率富于不同的實際意義

問題六：如果將這兩個變化率問題中的函數用來表示，那么函數在處的瞬時變化率如何呢?

在前面兩個問題的鋪墊下,進一步提出，我們這里研究的函數在處的瞬時變化率即在處的導數,記作

(也可記為)

引導學生舍棄具體問題的實際意義,抽象得到導數定義,由淺入深、由易到難、由特殊到一般，幫助學生完成了思維的飛躍;同時提及導數產生的時代背景，讓學生感受數學文化的熏陶，感受數學來源于生活，又服務于生活。

循序漸進、延伸

拓展例1：將原油精煉為汽油、柴油、塑料等不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果在第xh時候，原油溫度(單位：)為

(1)計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它的意義。

(2)計算第3h和第5h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它的意義。

步驟：

①啟發學生根據導數定義，再分別求出和

②既然我們得到了第2h和第6h的原油溫度的瞬時變化率分別為-3與5，大家能說明它的含義嗎?

③大家是否能用同樣方法來解決問題二?

④師生共同歸納得到，導數即瞬時變化率，可反映物體變化的快慢

步步設問，引導學生深入探究導數內涵

發展學生的應用意識，是高中數學課程標準所倡導的重要理念之一。在教學中以具體問題為載體,加深學生對導數內涵的理解，體驗數學在實際生活中的應用

變式練習：已知一個物體運動的位移(m)與時間t(s)滿足關系S(t)=-2t2+5t(1)求物體第5秒和第6秒的瞬時速度

(2)求物體在t時刻的瞬時速度

(3)求物體t時刻運動的加速度，并判斷物體作什么運動?

學生獨立完成，上臺板演，第三次體會逼近思想

目的是讓學生學會用數學的眼光去看待物理模型，建立各學科之間的聯系，更深刻地把握事物變化的規律歸納總結、內化知識

1、瞬時速度的概念

2、導數的概念

3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、類比、從特殊到一般

引導學生進行討論，相互補充后進行回答，老師評析，并用幻燈片給出

讓學生自己小結，不僅僅總結知識更重要地是總結數學思想方法。這是一個重組知識的過程，是一個多維整合的過程，是一個高層次的自我認識過程，這樣可幫助學生自行構建知識體系，理清知識脈絡，養成良好的學習習慣

作業安排、板書設計(必做)第10頁習題A組第2、3、4題

(選做)：思考第11頁習題B組第1題作業是學生信息的反饋，能在作業中發現和彌補教學中的不足，同時注重個體差異，因材施教

附后板書設計清楚整潔,便于突出知識目標

五、學法與教法

學法與教學用具

學法：

(1)合作學習：引導學生分組討論，合作交流，共同探討問題。(如問題2的處理)

(2)自主學習：引導學生通過親身經歷，動口、動腦、動手參與數學活動。(如問題3的處理)

(3)探究學習：引導學生發揮主觀能動性，主動探索新知。(如例題的處理)

教學用具：電腦、多媒體、計算器

教法：整堂課圍繞“一切為了學生發展”的教學原則，突出①動--師生互動、共同探索。②導--教師指導、循序漸進

(1)新課引入--提出問題,激發學生的求知欲

(2)理解導數的內涵--數形結合，動手計算,組織學生自主探索,獲得導數的定義

(3)例題處理--始終從問題出發，層層設疑，讓他們在探索中自得知識

(4)變式練習--深化對導數內涵的理解，鞏固新知

六、評價分析

這堂課由平均速度到瞬時速度再到導數，展示了一個完整的數學探究過程。提出問題、計算觀察、發現規律、給出定義，讓學生經歷了知識再發現的過程，促進了個性化學習。

從舊教材上看，導數概念學習的起點是極限，即從數列的極限，到函數的極限，再到導數。這種概念建立方式具有嚴密的邏輯性和系統性，但學生很難理解極限的形式化定義，因此也影響了對導數本質的理解。

新教材不介紹極限的形式化定義及相關知識，而是用直觀形象的逼近方法定義導數。

通過列表計算、直觀地把握函數變化趨勢(蘊涵著極限的描述性定義)，學生容易理解;

這樣定義導數的優點：

1.避免學生認知水平和知識學習間的矛盾;

2.將更多精力放在導數本質的理解上;

3.學生對逼近思想有了豐富的直觀基礎和一定的理解，有利于在大學的初級階段學習嚴格的極限定義.(附)板書設計

第二篇：導數的概念教案

【教學課題】：§2.1 導數的概念（第一課時）

【教學目的】：能使學生深刻理解在一點處導數的概念，能準確表達其定義；明確其實際背景并給出物理、幾何解釋；能夠從定義出發求某些函數在一點處的導數；明確一點處的導數與單側導數、可導與連續的關系。

【教學重點】：在一點處導數的定義。【教學難點】：在一點處導數的幾種等價定義及其應用。【教學方法】：系統講授，問題教學，多媒體的利用等。【教學過程】：

一）導數的思想的歷史回顧

導數的概念和其它的數學概念一樣是源于人類的實踐。導數的思想最初是由法國數學家費馬（Fermat）為研究極值問題而引入的，但導數作為微積分的最主要的概念，卻是英國數學家牛頓（Newton）和德國數學家萊布尼茲（Leibniz）在研究力學與幾何學的過程中建立起來的。

二）兩個來自物理學與幾何學的問題的解決

問題1（以變速直線運動的瞬時速度的問題的解決為背景）已知：自由落體運動方程為：s(t)?12gt，t?[0,T]，求：落體在t0時刻（t0?[0,T]）的瞬時速度。2t0t

問題解決：設t為t0的鄰近時刻，則落體在時間段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度為

v?若t?t0時平均速度的極限存在，則極限

s(t)?s(t0)

t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)

t?t0為質點在時刻t0的瞬時速度。

問題2（以曲線在某一點處切線的斜率的問題的解決為背景）已知：曲線y?f(x)上點M(x0,y0)，求：M點處切線的斜率。

下面給出切線的一般定義；設曲線C及曲線C上的一點M，如圖，在M外C上另外取一點N，作割線MN，當N沿著C趨近點M時，如果割線MN繞點M旋轉而趨于極 限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點M處的切線。

問題解決：取在C上M附近一點N(x,y)，于是割線PQ的斜率為

tan??y?y0f(x)?f(x0)（?為割線MN的傾角）?x?x0x?x0當x?x0時，若上式極限存在，則極限

k?tan??f(x)?fx(0)（?為割線MT的傾角）limx?x0x?x0為點M處的切線的斜率。

上述兩問題中，第一個是物理學的問題，后一個是幾何學問題，分屬不同的學科，但問 題的解決都歸結到求形如

limx?x0f(x)?f(x0）

（1）

x?x0的極限問題。事實上，在學習物理學時會發現，在計算諸如物質比熱、電流強度、線密度等問題中，盡管其背景各不相同，但最終都化歸為討論形如（1）的極限問題。也正是這類問題的研究，促使“導數”的概念的誕生。

三）導數的定義

定義

設函數y?f(x)在x0的某鄰域內有定義，若極限

x?x0limf(x)?f(x0）

x?x0存在，則稱函數f在點x0處可導，并稱該極限為f在點x0處的導數，記作f'(x0)。即

f'(x0)?limx?x0f(x)?f(x0）

（2）

x?x0也可記作y?x?x，odydx，x?xodf(x)。若上述極限不存在，則稱f在點x0處不可導。

dxx?xof在x0處可導的等價定義：

設x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0)，若x?x0則等價于?x?0，如果 函數f在點x0處可導，可等價表達成為以下幾種形式： f'(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0）

（3）

?f'(x0)?lim?x?0?xx?x0?f'(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0）

（4）

?x?f'(x0)?lim四）

f(x0?)?f(x0）?0

（5）

利用導數定義求導數的幾個例子

例1 求f(x)?x2在點x?1處的導數，并求曲線在點(1,1)處的切線方程。解 由定義

?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f(1)?lim?lim?lim

?x?0?x?x?0?x?0?x?x'2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x于是曲線在(1,1)處的切線斜率為2，所以切線方程為y?1?2(x?1)，即y?2x?1。

例2 設函數f(x)為偶函數，f?(0)存在，證明：f?(0)?0。

(x)

?f(?x)?f(??x)證

?f(x)?f? 又f(0)?lim

?lim?x?0'?x?0f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)

?x?0?x??x?f?(0)?0

注意：f'(x0)?limf(x0?)?f(x0）這種形式的靈活應用。此題的?0為??x。

1?xsin,x?0?x例3 討論函數f(x)?? 在x?0處的連續性，可導性。?0,x?0?解

首先討論f(x)在x?0處的連續性：limf(x)?limxsinx?0x?01?0?f(0)x即f(x)在x?0處連續。

再討論f(x)在x?0處的可導性：

?x?0limf(0??x)?f(0)?lim?x?0?x

?xsin1?01?x

此極限不存在 ?limsin?x?0?x?x即f(x)在x?0處不可導。

問

怎樣將此題的f(x)在x?0的表達式稍作修改，變為f(x)在x?0處可導？

1?n?1xsinx,?0?x答 f(x)?? n?1,2,3?，即可。

?0,x?0?四）可導與連續的關系

由上題可知；在一點處連續不一定可導。反之，若設f(x)在點x0可導，則

?y?f'(x0)

?x?0?xlim由極限與無窮小的關系得：

?y?f'(x0)?x?o(?x)，所以當?x?0，有?y?0。即f在點x0連續。

故在一點處連續與可導的關系是：連續不一定可導，可導一定連續。

五）單側導數的概念

例4 證明函數f(x)?|x|在x?0處不可導。證明 ?lim?x?0f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1，x?0?xx?0?x?0?xx?0x?0?limx?0f(x)?f(0)極限不存在。

x?0故f(x)?|x|在x?0處不可導。

在函數分段點處或區間端點等處，不得不考慮單側導數：

定義

設函數y?f(x)在點x0的某右鄰域(x0,x0??)上有定義，若右極限

?x?0lim?f(x0??x)?f(x0）?y?lim?（0??x??）?x?0?x?x存在，則稱該極限為f在點x0的右導數，記作f?'(x0)。

?左導數

f?'(x0)?yli?m。?x?0?x左、右導數統稱為單側導數。

導數與左、右導數的關系：若函數y?f(x)在點x0的某鄰域內有定義，則f'(x0)存在?f?'(x0)，f?'(x0)都存在，且f?'(x0)=f?'(x0)。例5 設f(x)??解 由于 ?1?cosx, x?0，討論f(x)在x?0處的可導性。

x?0?x , f?'(0)?lim??x?0f(x0??x)?f(x0)1?cos?x?lim??0 ?x?0?x?xf(x0??x)?f(x0)?x?lim??1 ?x?0?x?xf?'(0)?lim??x?0從而f?'(0)?f?'(0)，故f(x)在x?0處不可導。

六）小結: 本課時的主要內容要求：

① 深刻理解在一點處導數的概念，能準確表達其定義；

② 注意f'(x0)?limf(x0?)?f(x0）這種形式的靈活應用。

?0③ 明確其實際背景并給出物理、幾何解釋； ④ 能夠從定義出發求某些函數在一點處的導數；

⑤ 明確導數與單側導數、可導與連續的關系。

第三篇：導數的概念教學設計

《導數的概念》教學設計

1.教學目標

（1）知識與技能目標：掌握導數的概念，并能夠利用導數的定義計算導數.（2）過程與方法目標：通過引入導數的概念這一過程，讓學生掌握從具體到抽象，特殊到一般的思維方法；領悟極限思想；提高類比歸納、抽象概括的思維能力．

（3）情感、態度與價值觀目標：

通過合作與交流，讓學生感受探索的樂趣與成功的喜悅，體會數學的理性與嚴謹，激發學生對數學知識的熱愛，養成實事求是的科學態度．

2.教學重、難點

重點：導數的定義和利用定義如何計算導數． 難點：對導數概念的理解．

3.教學方法

1.教法：引導式教學法

在提出問題的背景下，給學生創設自主探究、合作交流的空間，指導學生類比探究形成導數概念的形成．

2.教學手段：多媒體輔助教學

4.教學過程

（一）情境引入

導數的概念和其它的數學概念一樣是源于人類的實踐。導數的思想最初是由法國數學家費馬（Fermat）為研究極值問題而引入的，但導數作為微積分的最主要的概念，卻是英國數學家牛頓（Newton）和德國數學家萊布尼茲（Leibniz）在研究力學與幾何學的過程中建立起來的。

17世紀數學家遇到的三類問題：

一是光的反射問題。光的反射和折射在17世紀是一個十分盛行的研究課題，早在公元1世紀，古希臘數學家海倫（Heron）就已經證明了光的反射定律：光射向平面時，入射角等于反射角。海倫還將該定律推廣到圓弧的情形，此時，入射光與反射光與圓弧的切線所成角相等。那么，對于其他曲線，光又如何反射呢？這就需要確定曲線的切線。

CBCBAA

圖 1 光在平面上的反射 圖 2 光在球面上的反射

二是曲線運動的速度問題。對于直線運動，速度方向與位移方向相同或相反，但如何確定曲線運動的速度方向呢？這就需要確定曲線的切線。

三是曲線的交角問題。曲線的交角是一個古老的難題。自古希臘以來，人們對圓弧和直線構成的角——牛頭角（圖3中AB弧與AC構成的角）和弓形角（圖4中AB與ACB弧所構成的角）即有過很多爭議。17世紀數學家遇到的更一般的問題是：如何求兩條相交曲線

所構成的角呢？這就需要確定曲線在交點處的切線。(二)探索新知

問題1 已知：勻加速直線運動方程為：s(t)?v0t?刻（t0?[0,T]）的瞬時速度。

問題解決：設t為t0的鄰近時刻，則落體在時間段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度為

12at，t?[0,T]，求：物體在t0時2v?若t?t0時平均速度的極限存在，則極限

s(t)?s(t0)

t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)

t?t0為質點在時刻t0的瞬時速度。

問題2已知：曲線y?f(x)上點M(x0,y0)，求：M點處切線的斜率。

下面給出切線的一般定義；設曲線C及曲線C上的一點M，如圖，在M外C上另外取一點N，作割線MN，當N沿著C趨近點M時，如果割線MN繞點M旋轉而趨于極限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點M處的切線。

問題解決：取在C上M附近一點N(x,y)，于是割線PQ的斜率為

tan??y?y0f(x)?f(x0)（?為割線MN的傾角）?x?x0x?x0當x?x0時，若上式極限存在，則極限

k?tan??為點M處的切線的斜率。

導數的定義

定義

設函數y?f(x)在x0的某鄰域內有定義，若極限limx?x0f(x)?fx(0)（?為割線MT的傾角）limx?x0x?x0f(x)?f(x0）存在，則稱函數

x?x0

f在點x0處可導，并稱該極限為f在點x0處的導數，記作f'(x0)。

即 f'(x0)?（2）

也可記作y?x?x，of(x)?fx(0）

limx?x0x?x0dydx，x?xodf(x)。若上述極限不存在，則稱f在點x0處不可導。

dxx?xof在x0處可導的等價定義：

設x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0)，若x?x0則等價于?x?0，如果 函數f在點x0處可導，可等價表達成為以下幾種形式：

f'(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0）

?f'(x0)?lim?x?0?xx?x0?f'(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0）

?x單側導數的概念

在函數分段點處或區間端點等處，不得不考慮單側導數：

定義

設函數y?f(x)在點x0的某右鄰域(x0,x0??)上有定義，若右極限

?x?0lim?f(x0??x)?f(x0）?y?lim?（0??x??）?x?x?0?x存在，則稱該極限為f在點x0的右導數，記作f?'(x0)。

?左導數

f?'(x0)?yli?m。?x?0?x左、右導數統稱為單側導數。

導數與左、右導數的關系：若函數y?f(x)在點x0的某鄰域內有定義，則f'(x0)存在?f?'(x0)，f?'(x0)都存在，且f?'(x0)=f?'(x0)。

（三）知識鞏固

2例題1 求f(x)?x在點x?1處的導數，并求曲線在點(1,1)處的切線方程。

解：由定義可得：

?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f'(1)?lim?lim?lim

?x?0?x?x?0?x?0?x?x2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x附注：在解決切線問題時，要熟悉導數的定義，并能通過導數的幾何意義來解決一般問題

例題2設函數f(x)為偶函數，f?(0)存在，證明：f?(0)?0。

證

'f(x)?f(?x)?f(?x)?f(??x)

f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)

?x?0?x??x 又f(0)?lim ?x?0 ?lim?x?0?f?(0)?0

附注：需要注意公式f'(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)的靈活運用，它可以變化成其他的形式。

x?x0例3 證明函數f(x)?|x|在x?0處不可導。

證明

x?0lim?f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1，???x?0x?0x?0x?0xx?0x?limx?0f(x)?f(0)極限不存在。

x?0故f(x)?|x|在x?0處不可導。

附注：判斷一個函數在某點處是否可導，只需要考慮該點處的左右導數是否相等即可。

（四）應用提高 求曲線y?x在點（－1，－1）處的切線方程為(A)x?2A.y=2x＋1 B.y=2x－1 C.y=－2x－3 D.y=－2x－2

（五）小結

本節課主要學習導數的基本概念，在經歷探究導數概念的過程中，讓學生感受導數的形成，并對導數的幾何意義有較深刻的認識。

本節課中所用數學思想方法：逼近、類比、特殊到一般。

（六）作業布置

1．已知f'(1)?2012，計算：

f(1??x)?f(1)f(1??x)?f(1)(2)lim

?x?0?x?0?x??xf(1)?f(1??x)f(1?2?x)?f(1)(3)lim(4)lim

?x?0?x?04?x?x(1)lim2.計算函數f(x)??2x?3在點（1，1）處切線的方程。2

第四篇：高二數學導數與導函數的概念教案

高二數學導數與導函數的概念教案

教學目標：

1、知識與技能：理解導數的概念、掌握簡單函數導數符號表示和求解方法； 理解導數的幾何意義； 理解導函數的概念和意義；

2、過程與方法：先理解概念背景，培養解決問題的能力；再掌握定義和幾何意義，培養轉化問題的能力；最后求切線方程，培養轉化問題的能力

3、情感態度及價值觀；讓學生感受事物之間的聯系，體會數學的美。教學重點：

1、導數的求解方法和過程；

2、導數符號的靈活運用 教學難點：

1、導數概念的理解；

2、導函數的理解、認識和運用 教學過程：

一、情境引入

在前面我們解決的問題：

1、求函數f(x)?x在點（2，4）處的切線斜率。2?yf(2??x)?f(x)??4??x，故斜率為4 ?x?x2、直線運動的汽車速度V與時間t的關系是V?t?1，求t?to時的瞬時速度。

2?Vv(to??t)?v(to)??2to??t，故斜率為4 ?t?t

二、知識點講解

上述兩個函數f(x)和V(t)中，當?x(?t)無限趨近于0時，個常數。

歸納：一般的，定義在區間（a，b）上的函數f(x)，xo?(a，b)，當?x無限趨近于0時，?V?V()都無限趨近于一?t?x?yf(xo??x)?f(xo)?無限趨近于一個固定的常數A，則稱f(x)在x?xo處可導，并稱A?x?x為f(x)在x?xo處的導數，記作f'(xo)或f'(x)|x?xo，上述兩個問題中：（1）f'(2)?4，（2）V'(to)?2to

三、幾何意義：

我們上述過程可以看出

f(x)在x?x0處的導數就是f(x)在x?x0處的切線斜率。

四、例題選講

例

1、求下列函數在相應位置的導數

2（1）f(x)?x?1，x?2（2）f(x)?2x?1，x?2

用心 愛心 專心

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（3）f(x)?3，x?2

例

2、函數f(x)滿足f'(1)?2，則當x無限趨近于0時，f(1?x)?f(1)?

2xf(1?2x)?f(1)?（2）x（1）變式:設f(x)在x=x0處可導，（3）f(x0?4?x)?f(x0)無限趨近于1，則f?(x0)=___________ ?xf(x0?4?x)?f(x0)無限趨近于1，則f?(x0)=________________ ?xf(x0?2?x)?f(x0?2?x)所對應的常數與f?(x0)的關系。

?x（4）（5）當△x無限趨近于0，總結：導數等于縱坐標的增量與橫坐標的增量之比的極限值。例

3、若f(x)?(x?1)，求f'(2)和(f(2))' 注意分析兩者之間的區別。例4：已知函數f(x)?2x，求f(x)在x?2處的切線。

導函數的概念涉及：f(x)的對于區間（a,b）上任意點處都可導，則f(x)在各點的導數也隨x的變化而變化，因而也是自變量x的函數，該函數被稱為f(x)的導函數，記作f'(x)。

五、小結與作業

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第五篇：13252ja_1.1.2導數的概念教案

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§1.1.2導數的概念

教學目標

1．了解瞬時速度、瞬時變化率的概念；

2．理解導數的概念，知道瞬時變化率就是導數，體會導數的思想及其內涵； 3．會求函數在某點的導數

教學重點：瞬時速度、瞬時變化率的概念、導數的概念； 教學難點：導數的概念． 教學過程： 一．創設情景

（一）平均變化率

（二）探究：計算運動員在0?t?6549這段時間里的平均速度，并思考以下問題：

⑴運動員在這段時間內使靜止的嗎？

⑵你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎？

探究過程：如圖是函數h(t)=-4.9t2+6.5t+10的圖像，結合圖形可知，h(h(65)?h(0)?0(s/m)，?065496549)?h(0)，h 所以v?496549雖然運動員在0?t?這段時間里的平均速度為0(s/m)，但實際情況是運動員仍然運動，并非靜止，可以說明用平均速度不能精確描述運動員的運動狀態． 二．新課講授 1．瞬時速度

我們把物體在某一時刻的速度稱為瞬時速度。運動員的平均速度不能反映他在某一時刻的瞬時速度，那么，如何求運動員的瞬時速度呢？比如，t?2時的瞬時速度是多少？

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考察t?2附近的情況：

思考：當?t趨近于0時，平均速度v有什么樣的變化趨勢？

結論：當?t趨近于0時，即無論t從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時，平均速度v都趨近于一個確定的值?13.1．

從物理的角度看，時間?t間隔無限變小時，平均速度v就無限趨近于史的瞬時速度，因此，運動員在t?2時的瞬時速度是?13.1m/s 為了表述方便，我們用limh(2??t)?h(2)?t?t?0??13.1

表示“當t?2，?t趨近于0時，平均速度v趨近于定值?13.1”

小結：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時速度，然后通過取極限，從瞬時速度的近似值過渡到瞬時速度的精確值。2 導數的概念

從函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率是: ?x?0limf(x0??x)?f(x0)?x?lim?f?x

'?x?0'我們稱它為函數y?f(x)在x?x0出的導數，記作f(x0)或y|x?x，即

0 f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0)?x

?x?0說明：（1）導數即為函數y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率

（2）?x?x?x0，當?x?0時，x?x0，所以f?(x0)?lim三．典例分析

例1．（1）求函數y=3x2在x=1處的導數.分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)再求?f?x?6??x再求lim?f?x?6

f(x)?f(x0)x?x0

?x?0?x?0解：法一（略）

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上教考資源網 助您教考無憂 法二：y?|x?1?lim3x?3?1x?122x?1?lim3(x?1)x?1x?1?lim3(x?1)?6

x?12（2）求函數f(x)=?x?x在x??1附近的平均變化率，并求出在該點處的導數．

解：?y?x??(?1??x)?(?1??x)?2?x?y?x22?3??x

f?(?1)?lim?x?0??(?1??x)?(?1??x)?2?x?lim(3??x)?3

?x?0例2．（課本例1）將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱，如果第xh時，原油的溫度（單位：?C）為f(x)?x2?7x?15(0?x?8)和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義．

解：在第2h時和第6h時，原油溫度的瞬時變化率就是f'(2)和f'(6)根據導數定義，2，計算第2h時?f?x?f(2??x)?f(x0)?x2

?(2??x)?7(2??x)?15?(2?7?2?15)?x?f?lim(?x?3)??3

?x?0??x?3

所以f?(2)?lim?x同理可得:f?(6)?5 ?x?0在第2h時和第6h時，原油溫度的瞬時變化率分別為?3和5，說明在2h附近，原油溫度大約以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油溫度大約以5C/h的速率上升．

'注：一般地，f(x0)反映了原油溫度在時刻x0附近的變化情況． ??四．課堂練習

21．質點運動規律為s?t?3，求質點在t?3的瞬時速度為．

2．求曲線y=f(x)=x3在x?1時的導數．

3．例2中，計算第3h時和第5h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它們的意義． 五．回顧總結

1．瞬時速度、瞬時變化率的概念

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2．導數的概念

六．布置作業

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