第一篇：導數的概念第一課時教案

數學歸納法第二課時教案（2010年4月7日）

課題 導數的概念第一課時

授課人

康玉梅

學校

三河市第二中學

1、知識目標：掌握數學歸納法的定義，理解數學歸納法原理的兩個步驟，教學目標： 會用數學歸納法證明簡單的與自然數有關的等式

2、能力目標：培養學生的觀察能力、理解能力和分析能力。

3、情感目標：從理解學習數學歸納法的必要性和重要性激發學生的求知欲

教學重點 教學難點 教學方法 教師活動

1、復習引入 明確數學歸納法的兩個原理缺一不可 對原理的準確理解 講練結合

教

學

過

程

學

生活動

回顧 理解 記憶 記筆記

思考并回答問題

教具：多媒體

問題圓的切線與圓的關系

問題

2能否將圓的切線的概念推廣為一般曲線的切線：直線與曲線有唯一公共點時，直線叫曲線過該

點的切線？如果能，請說明理由；如果不能，請舉出反例。

問題

3為什么與拋物線對稱軸平行的直線不是拋物線的切線？ 111?11n?????1??2121?22?3n?(n?1)n?1

三、布置作業。練習冊 P337.338

四、板書設計

第二篇：《導數的概念》第一課時的教學反思6

《導數的概念》第一課時的教學反思

陳吾婷

在備《導數的概念》第一課時，對課本內容作了一定的調整，設計了這樣的過程：由芝諾著名的一個悖論“飛矢不動”引入，然后利用瞬時速度來解釋飛矢在某一點的速度是存在的，然后再轉到曲線切線的討論上來。

應該說，這樣的思路很自然，也很有趣。但是在第一節課實際的實施過程中，出現一些問題，使得學生在芝諾悖論之后，就慢慢地變成了“無聲”的狀態，這主要是一些推導中復雜的符號使然。第一節下課后，很快地做了一個反思，總結了如下幾點：

1．在推導瞬時速度時，應該先講清楚牛頓的思路，即求位移的增量，求平均速度，再求極限。這樣再進行推導，學生就有了方向，而不會象第一節課那樣，聽得慢，看著復雜的符號就頭暈。

在學習理論中，有個“先行組織者”的概念，“先行組織者”是先于學習任務本身呈現的一種引導性材料，它要比原學習任務本身有更高的抽象、概括和包容水平，并且能清晰地與認知結構中原有的觀念和新的學習任務關聯。可能在對于這樣牽涉到復雜符號的推導時，更需要有這樣的一個前提準備。要不然學生就弄不清方向，從而被符號所困。

2．也是在推導瞬時速度時，應該做一個圖解，使學生更清楚地看到增量的意義。第一節課正是沒有給出圖解，雖然對增量做了一定的強調，但是學生對增量的理解依然是抽象而非具體的。

3．推導完瞬時速度后，應該點出對“飛矢不動”悖論的反駁，即在某一點是有速度的。第一節課中忘了說明這一點了，就使得學生不知道“飛矢不動”這個情境有什么用，也不知道與瞬時速度有什么聯系。

4．在介紹完曲線的切線后，給出一個很好的例子，即y=|x|在x=0處有沒有切線，可以先增加另一個變式——求x=1處的切線，這會使學生認識得更深刻一點。最后最好能指出正如某一點的瞬時速度只有一個一樣，某一點的切線也應該只有一條。

經過課間幾分鐘的反思與調整，第二節課果然清晰了許多，也生動了許多。學生聽得也饒有興致。

課后，有兩個學生也分別提出了兩個很好的問題。第一個問題是在剛才這一例子中，沒有斜率難道就沒有切線嗎？第二個問題是如果切線垂直于x軸，按導數的解釋，如果斜率無窮大——即以前通常所說的極限不存在，那么切線不是也不存在嗎？

當時給出了這樣的解釋：導數不存在，切線就不存在；導數無窮大實際上還是存在的，只不過是無窮大，而上面的例子中的在x=0的導數是真的不存在，這是有區別的。回家路上想了一下，并不敢保證這樣的解釋的正確性，尤其是導數不存在，切線就不存在。到家一查，同濟大學應用數學系主編的《高等數學》（第五版上冊）第82頁中就有切線的定義，包括了導數無窮大時的切線情況，在第85頁中就有y=|x|在x=0處切線不存在的例子。放心了！但是依然在思考的一個問題是：怎樣才能更加直觀地說明上例中的切線不存在呢？它又哪里去了呢？

第三篇：導數的概念教案

【教學課題】：§2.1 導數的概念（第一課時）

【教學目的】：能使學生深刻理解在一點處導數的概念，能準確表達其定義；明確其實際背景并給出物理、幾何解釋；能夠從定義出發求某些函數在一點處的導數；明確一點處的導數與單側導數、可導與連續的關系。

【教學重點】：在一點處導數的定義。【教學難點】：在一點處導數的幾種等價定義及其應用。【教學方法】：系統講授，問題教學，多媒體的利用等。【教學過程】：

一）導數的思想的歷史回顧

導數的概念和其它的數學概念一樣是源于人類的實踐。導數的思想最初是由法國數學家費馬（Fermat）為研究極值問題而引入的，但導數作為微積分的最主要的概念，卻是英國數學家牛頓（Newton）和德國數學家萊布尼茲（Leibniz）在研究力學與幾何學的過程中建立起來的。

二）兩個來自物理學與幾何學的問題的解決

問題1（以變速直線運動的瞬時速度的問題的解決為背景）已知：自由落體運動方程為：s(t)?12gt，t?[0,T]，求：落體在t0時刻（t0?[0,T]）的瞬時速度。2t0t

問題解決：設t為t0的鄰近時刻，則落體在時間段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度為

v?若t?t0時平均速度的極限存在，則極限

s(t)?s(t0)

t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)

t?t0為質點在時刻t0的瞬時速度。

問題2（以曲線在某一點處切線的斜率的問題的解決為背景）已知：曲線y?f(x)上點M(x0,y0)，求：M點處切線的斜率。

下面給出切線的一般定義；設曲線C及曲線C上的一點M，如圖，在M外C上另外取一點N，作割線MN，當N沿著C趨近點M時，如果割線MN繞點M旋轉而趨于極 限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點M處的切線。

問題解決：取在C上M附近一點N(x,y)，于是割線PQ的斜率為

tan??y?y0f(x)?f(x0)（?為割線MN的傾角）?x?x0x?x0當x?x0時，若上式極限存在，則極限

k?tan??f(x)?fx(0)（?為割線MT的傾角）limx?x0x?x0為點M處的切線的斜率。

上述兩問題中，第一個是物理學的問題，后一個是幾何學問題，分屬不同的學科，但問 題的解決都歸結到求形如

limx?x0f(x)?f(x0）

（1）

x?x0的極限問題。事實上，在學習物理學時會發現，在計算諸如物質比熱、電流強度、線密度等問題中，盡管其背景各不相同，但最終都化歸為討論形如（1）的極限問題。也正是這類問題的研究，促使“導數”的概念的誕生。

三）導數的定義

定義

設函數y?f(x)在x0的某鄰域內有定義，若極限

x?x0limf(x)?f(x0）

x?x0存在，則稱函數f在點x0處可導，并稱該極限為f在點x0處的導數，記作f'(x0)。即

f'(x0)?limx?x0f(x)?f(x0）

（2）

x?x0也可記作y?x?x，odydx，x?xodf(x)。若上述極限不存在，則稱f在點x0處不可導。

dxx?xof在x0處可導的等價定義：

設x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0)，若x?x0則等價于?x?0，如果 函數f在點x0處可導，可等價表達成為以下幾種形式： f'(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0）

（3）

?f'(x0)?lim?x?0?xx?x0?f'(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0）

（4）

?x?f'(x0)?lim四）

f(x0?)?f(x0）?0

（5）

利用導數定義求導數的幾個例子

例1 求f(x)?x2在點x?1處的導數，并求曲線在點(1,1)處的切線方程。解 由定義

?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f(1)?lim?lim?lim

?x?0?x?x?0?x?0?x?x'2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x于是曲線在(1,1)處的切線斜率為2，所以切線方程為y?1?2(x?1)，即y?2x?1。

例2 設函數f(x)為偶函數，f?(0)存在，證明：f?(0)?0。

(x)

?f(?x)?f(??x)證

?f(x)?f? 又f(0)?lim

?lim?x?0'?x?0f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)

?x?0?x??x?f?(0)?0

注意：f'(x0)?limf(x0?)?f(x0）這種形式的靈活應用。此題的?0為??x。

1?xsin,x?0?x例3 討論函數f(x)?? 在x?0處的連續性，可導性。?0,x?0?解

首先討論f(x)在x?0處的連續性：limf(x)?limxsinx?0x?01?0?f(0)x即f(x)在x?0處連續。

再討論f(x)在x?0處的可導性：

?x?0limf(0??x)?f(0)?lim?x?0?x

?xsin1?01?x

此極限不存在 ?limsin?x?0?x?x即f(x)在x?0處不可導。

問

怎樣將此題的f(x)在x?0的表達式稍作修改，變為f(x)在x?0處可導？

1?n?1xsinx,?0?x答 f(x)?? n?1,2,3?，即可。

?0,x?0?四）可導與連續的關系

由上題可知；在一點處連續不一定可導。反之，若設f(x)在點x0可導，則

?y?f'(x0)

?x?0?xlim由極限與無窮小的關系得：

?y?f'(x0)?x?o(?x)，所以當?x?0，有?y?0。即f在點x0連續。

故在一點處連續與可導的關系是：連續不一定可導，可導一定連續。

五）單側導數的概念

例4 證明函數f(x)?|x|在x?0處不可導。證明 ?lim?x?0f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1，x?0?xx?0?x?0?xx?0x?0?limx?0f(x)?f(0)極限不存在。

x?0故f(x)?|x|在x?0處不可導。

在函數分段點處或區間端點等處，不得不考慮單側導數：

定義

設函數y?f(x)在點x0的某右鄰域(x0,x0??)上有定義，若右極限

?x?0lim?f(x0??x)?f(x0）?y?lim?（0??x??）?x?0?x?x存在，則稱該極限為f在點x0的右導數，記作f?'(x0)。

?左導數

f?'(x0)?yli?m。?x?0?x左、右導數統稱為單側導數。

導數與左、右導數的關系：若函數y?f(x)在點x0的某鄰域內有定義，則f'(x0)存在?f?'(x0)，f?'(x0)都存在，且f?'(x0)=f?'(x0)。例5 設f(x)??解 由于 ?1?cosx, x?0，討論f(x)在x?0處的可導性。

x?0?x , f?'(0)?lim??x?0f(x0??x)?f(x0)1?cos?x?lim??0 ?x?0?x?xf(x0??x)?f(x0)?x?lim??1 ?x?0?x?xf?'(0)?lim??x?0從而f?'(0)?f?'(0)，故f(x)在x?0處不可導。

六）小結: 本課時的主要內容要求：

① 深刻理解在一點處導數的概念，能準確表達其定義；

② 注意f'(x0)?limf(x0?)?f(x0）這種形式的靈活應用。

?0③ 明確其實際背景并給出物理、幾何解釋； ④ 能夠從定義出發求某些函數在一點處的導數；

⑤ 明確導數與單側導數、可導與連續的關系。

第四篇：《數列概念》(第一課時)教案

數列概念學案

學習目標：

設計人：李九根

了解數列的概念和數列幾種常見表示方法（列表、圖像、通項公式）并能根據一定條件求數列的通項公式。學習重點：數列概念

學習難點：根據條件求數列的通項公式 學習過程：

一、課前準備：閱讀P3—4

二、新課導入：

①什么是數列數： ②數列項是： ③按項分類數列分為： 和 ④數列通項公式： 自主測評

1、判斷下列是否有通項公式若有，寫出其通項公式。①3，3，3，3……

②2，4，6，8，10…… ③1，3，5，7，9……

④0，1，0，1，0，1…… ⑤0，1，-2，4，-7，6，10，5，9……

2、數列{an}中，an=log2(n2+3)-2,寫出數列前五項，log32是這個數列的第幾項 探究：（1）是不是所有數列都有通項公式，能否舉例說明

（2）若數列有通項公式，通項公式是不是唯一的，若不是能否舉例說明

三、鞏固應用

例1.P5 試一試：P6 T1-2 例2.P5 試一試：P6 T3、寫出下列數列的一個通項公式 ①-2，-2，-2，-2……

②7，77，777，7777…… ③0.7，0.77，0.777，0.7777……

④3，5，9，17，33……

⑤0，-1，0，1，0，-1，0，1……

⑥11126,3,2,3……

四、總結提升

1、探究新知：

2、數列通項公式an與函數有何聯系

五、知識拓展

數列前幾項和Sn=a1+a2+a3+…+an-1+an 且

a???a1(n?1)n?sn?sn?1(n≥2)

六、能力拓展

1、數列1g2101×2,1g2102×3,……1g210n(n+1),……中首次出現負值的項是第幾項≥≤

2、已知數例{a2n}的通項公式an=n-5n+4（1）數列{an}中有多少項是負項？

（2）當n為何值時，an有最小值，最小值是多少？

3、已知數列{an}的前n項和sn=2n2+n+1，求數列{an}的通項公式？

自我評價：這節課你學到了什么，你認為做自己的好的地方在哪里？

作業：P9

A：T4

T6

B：T1

第五篇：《導數的概念》(第1課時)教案1

導數的概念（第1課時）

一、教學目標：

1．了解曲線的切線的概念．

2．在了解瞬時速度的基礎上，抽象出變化率的概念．

3．掌握切線的斜率、瞬時速度，它們都是一種特殊的極限，為學習導數的定義奠定基礎．

二、教學重點：切線的概念和瞬時速度的概念．

教學難點：在了解曲線的切線和瞬時速度的基礎上抽象出變化率的概念．

三、教學用具：多媒體

四、教學過程： 1．曲線的切線

如圖，設曲線C是函數y?f(x)的圖像，點P(x0,y0)是曲線C上一點，點Q(x0??x,y0??y)是曲線C上與點P鄰近的任一點．作割線PQ，當點Q沿著曲線C無限地趨近于點P，割線PQ便無限地趨近于某一極限位置PT．我們就把極限位置上的直線PT，叫做曲線C在點P處的切線．

問：怎樣確定曲線C在點P處的切線呢？因為P是給定的，根據解析幾何中直線的點斜式方程的知識，只要求出切線的斜率就夠了．設割線PQ的傾斜角為?，切線PT的傾斜角為?，既然割線PQ的極限位置上的直線PT是切線，所以割線PQ斜率的極限就是切線PT的斜率tan?，即tan??lim2f(x0??x)?f(x0)?y?lim.?x?0?x?x?0?x例題

求曲線y?x?1在點P（1，2）處的切線的斜率k．

解：?y?f(x0??x)?f(x0)?f(1??x)?f(1)?(1??x)2?1?(1?1)??x2?2?x

?y?x2?2?x???x?2 ?x?x∴k?lim?y?lim(?x?2)?2，即k?2．

?x?0?x?x?02．瞬時速度

我們知道，物體作直線運動時，它的運動規律可用函數s?s(t)描述． 下面以自由落體運動為例進行分析． 已知s?12gt． 2（1）計算t從3秒到3.1秒、3.01秒、3.001秒、3.0001秒……各段內平均速度．（2）求t?3秒時的瞬時速度．

解：（1）?3,3.1?,?t?3.1?3?0.1,?t指時間改變量．

?s?s(3.1)?s(3)?v?11g?3.12?g?32?0.3059.?s指位置改變量． 22?s0.3059??3.059.?t0.1其余各段時間內的平均速度，事先刻在光碟上，待學生回答完第一時間內的平均速度后，即用多媒體出示，讓學生思考在各段時間內平均速度的變化情況．

?s?s隨?t變化而變化，?t越小，越接近?t?t?s于一個定值，由極限定義可知，這個值就是?t?0時，的極限．

?t11g?(3??t)2?g?32?ss(3??t)?s(3)2 v?lim?lim?lim2?t?0?t?t?0?t?0?t?t1 ?glim(6??t)?3g?29.4（米/秒）

2?t?0?s問：非勻速直線運動的瞬時速度是怎樣定義的？（當?t?0時，平均速度的極限）

?t（2）從（1）可見某段時間內的平均速度教師引導，學生進行歸納：求非勻速直線運動在時刻t0的瞬時速度的方法如下： 非勻速直線運動的規律s?s(t)

時間改變量?t，位置改變量?s?s(t0?t)?s(t0)平均速度v??s?s，瞬時速度v?lim．

?t?0?t?t一般地，如果物體的運動規律是s?s(t)，物體在時刻t的瞬時速度v，就是物體在t到t??t這段時間內，當?t?0時，平均速度的極限，即

v?lim?ss(t??t)?s(t)?lim

?t?0?t?t?0?t例題

若一物體運動方程如下：

2?(0?t?3)(1)?3t?2 s?? 2?(2)?29?3(t?3)(t?3)求此物體在t?1和t?3時的瞬時速度．

2解：當t?1時，s?3t?2 ?ss(t??t)?s(t)3(1??t)2?2?3?12?2v??lim?lim?t?0?t?0?t?t?t 26?t?3?t ?lim?lim(6?3?t)?6.?t?0?t?0?t當t?3時，s?29?3(t?3)2

?ss(t??t)?s(t)29?3(3??t?3)2?29?3(3?3)23(?t)2v??lim?lim?lim?t?0?t?0?t?t?0?t?t?t

?lim3?t?0.?t?0所以，物體在t?1和t?3時的瞬時速度分別是6和0． 3．課堂練習（學生練習后教師再講評）

（1）求y?x3?2x?2在x?2處的切線的斜率． 解：?y?f(x0??x)?f(x0)

?f(2??x)?f(2)

?(2??x)3?2(2??x)?2?(23?2?2?2)

?10?x?6(?x)2?(?x)3?y?10?6?x?(?x)2 ?x?y?lim(10?6?x??x2)?10.∴k?lim?x?0?x?x?0（2）教科書第111頁練習第1、2題． 4．課堂小結

（1）曲線的切線．（2）瞬時速度．

（3）求切線的斜率、瞬時速度的步驟．

五、布置作業

1．求下列曲線在指定點處的切線斜率．（1）y??x?2,x?2處，（2）y?231,x?0處． x?12．已知某質點按規律s?2t?2t（米）作直線運動．求：（1）該質點在運動前3秒內的平均速度；（2）質點在2秒到3秒內的平均速度；（3）質點在3秒時的瞬時速度． 解：1．（1）k??12，（2）k??1；

2．（1）8米/秒，（2）12米/秒，（3）14米/秒．