第一篇：導數的概念教學設計

《導數的概念》教學設計

1.教學目標

（1）知識與技能目標：掌握導數的概念，并能夠利用導數的定義計算導數.（2）過程與方法目標：通過引入導數的概念這一過程，讓學生掌握從具體到抽象，特殊到一般的思維方法；領悟極限思想；提高類比歸納、抽象概括的思維能力．

（3）情感、態度與價值觀目標：

通過合作與交流，讓學生感受探索的樂趣與成功的喜悅，體會數學的理性與嚴謹，激發學生對數學知識的熱愛，養成實事求是的科學態度．

2.教學重、難點

重點：導數的定義和利用定義如何計算導數． 難點：對導數概念的理解．

3.教學方法

1.教法：引導式教學法

在提出問題的背景下，給學生創設自主探究、合作交流的空間，指導學生類比探究形成導數概念的形成．

2.教學手段：多媒體輔助教學

4.教學過程

（一）情境引入

導數的概念和其它的數學概念一樣是源于人類的實踐。導數的思想最初是由法國數學家費馬（Fermat）為研究極值問題而引入的，但導數作為微積分的最主要的概念，卻是英國數學家牛頓（Newton）和德國數學家萊布尼茲（Leibniz）在研究力學與幾何學的過程中建立起來的。

17世紀數學家遇到的三類問題：

一是光的反射問題。光的反射和折射在17世紀是一個十分盛行的研究課題，早在公元1世紀，古希臘數學家海倫（Heron）就已經證明了光的反射定律：光射向平面時，入射角等于反射角。海倫還將該定律推廣到圓弧的情形，此時，入射光與反射光與圓弧的切線所成角相等。那么，對于其他曲線，光又如何反射呢？這就需要確定曲線的切線。

CBCBAA

圖 1 光在平面上的反射 圖 2 光在球面上的反射

二是曲線運動的速度問題。對于直線運動，速度方向與位移方向相同或相反，但如何確定曲線運動的速度方向呢？這就需要確定曲線的切線。

三是曲線的交角問題。曲線的交角是一個古老的難題。自古希臘以來，人們對圓弧和直線構成的角——牛頭角（圖3中AB弧與AC構成的角）和弓形角（圖4中AB與ACB弧所構成的角）即有過很多爭議。17世紀數學家遇到的更一般的問題是：如何求兩條相交曲線

所構成的角呢？這就需要確定曲線在交點處的切線。(二)探索新知

問題1 已知：勻加速直線運動方程為：s(t)?v0t?刻（t0?[0,T]）的瞬時速度。

問題解決：設t為t0的鄰近時刻，則落體在時間段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度為

12at，t?[0,T]，求：物體在t0時2v?若t?t0時平均速度的極限存在，則極限

s(t)?s(t0)

t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)

t?t0為質點在時刻t0的瞬時速度。

問題2已知：曲線y?f(x)上點M(x0,y0)，求：M點處切線的斜率。

下面給出切線的一般定義；設曲線C及曲線C上的一點M，如圖，在M外C上另外取一點N，作割線MN，當N沿著C趨近點M時，如果割線MN繞點M旋轉而趨于極限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點M處的切線。

問題解決：取在C上M附近一點N(x,y)，于是割線PQ的斜率為

tan??y?y0f(x)?f(x0)（?為割線MN的傾角）?x?x0x?x0當x?x0時，若上式極限存在，則極限

k?tan??為點M處的切線的斜率。

導數的定義

定義

設函數y?f(x)在x0的某鄰域內有定義，若極限limx?x0f(x)?fx(0)（?為割線MT的傾角）limx?x0x?x0f(x)?f(x0）存在，則稱函數

x?x0

f在點x0處可導，并稱該極限為f在點x0處的導數，記作f'(x0)。

即 f'(x0)?（2）

也可記作y?x?x，of(x)?fx(0）

limx?x0x?x0dydx，x?xodf(x)。若上述極限不存在，則稱f在點x0處不可導。

dxx?xof在x0處可導的等價定義：

設x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0)，若x?x0則等價于?x?0，如果 函數f在點x0處可導，可等價表達成為以下幾種形式：

f'(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0）

?f'(x0)?lim?x?0?xx?x0?f'(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0）

?x單側導數的概念

在函數分段點處或區間端點等處，不得不考慮單側導數：

定義

設函數y?f(x)在點x0的某右鄰域(x0,x0??)上有定義，若右極限

?x?0lim?f(x0??x)?f(x0）?y?lim?（0??x??）?x?x?0?x存在，則稱該極限為f在點x0的右導數，記作f?'(x0)。

?左導數

f?'(x0)?yli?m。?x?0?x左、右導數統稱為單側導數。

導數與左、右導數的關系：若函數y?f(x)在點x0的某鄰域內有定義，則f'(x0)存在?f?'(x0)，f?'(x0)都存在，且f?'(x0)=f?'(x0)。

（三）知識鞏固

2例題1 求f(x)?x在點x?1處的導數，并求曲線在點(1,1)處的切線方程。

解：由定義可得：

?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f'(1)?lim?lim?lim

?x?0?x?x?0?x?0?x?x2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x附注：在解決切線問題時，要熟悉導數的定義，并能通過導數的幾何意義來解決一般問題

例題2設函數f(x)為偶函數，f?(0)存在，證明：f?(0)?0。

證

'f(x)?f(?x)?f(?x)?f(??x)

f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)

?x?0?x??x 又f(0)?lim ?x?0 ?lim?x?0?f?(0)?0

附注：需要注意公式f'(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)的靈活運用，它可以變化成其他的形式。

x?x0例3 證明函數f(x)?|x|在x?0處不可導。

證明

x?0lim?f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1，???x?0x?0x?0x?0xx?0x?limx?0f(x)?f(0)極限不存在。

x?0故f(x)?|x|在x?0處不可導。

附注：判斷一個函數在某點處是否可導，只需要考慮該點處的左右導數是否相等即可。

（四）應用提高 求曲線y?x在點（－1，－1）處的切線方程為(A)x?2A.y=2x＋1 B.y=2x－1 C.y=－2x－3 D.y=－2x－2

（五）小結

本節課主要學習導數的基本概念，在經歷探究導數概念的過程中，讓學生感受導數的形成，并對導數的幾何意義有較深刻的認識。

本節課中所用數學思想方法：逼近、類比、特殊到一般。

（六）作業布置

1．已知f'(1)?2012，計算：

f(1??x)?f(1)f(1??x)?f(1)(2)lim

?x?0?x?0?x??xf(1)?f(1??x)f(1?2?x)?f(1)(3)lim(4)lim

?x?0?x?04?x?x(1)lim2.計算函數f(x)??2x?3在點（1，1）處切線的方程。2

第二篇：導數的概念教案

【教學課題】：§2.1 導數的概念（第一課時）

【教學目的】：能使學生深刻理解在一點處導數的概念，能準確表達其定義；明確其實際背景并給出物理、幾何解釋；能夠從定義出發求某些函數在一點處的導數；明確一點處的導數與單側導數、可導與連續的關系。

【教學重點】：在一點處導數的定義。【教學難點】：在一點處導數的幾種等價定義及其應用。【教學方法】：系統講授，問題教學，多媒體的利用等。【教學過程】：

一）導數的思想的歷史回顧

導數的概念和其它的數學概念一樣是源于人類的實踐。導數的思想最初是由法國數學家費馬（Fermat）為研究極值問題而引入的，但導數作為微積分的最主要的概念，卻是英國數學家牛頓（Newton）和德國數學家萊布尼茲（Leibniz）在研究力學與幾何學的過程中建立起來的。

二）兩個來自物理學與幾何學的問題的解決

問題1（以變速直線運動的瞬時速度的問題的解決為背景）已知：自由落體運動方程為：s(t)?12gt，t?[0,T]，求：落體在t0時刻（t0?[0,T]）的瞬時速度。2t0t

問題解決：設t為t0的鄰近時刻，則落體在時間段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度為

v?若t?t0時平均速度的極限存在，則極限

s(t)?s(t0)

t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)

t?t0為質點在時刻t0的瞬時速度。

問題2（以曲線在某一點處切線的斜率的問題的解決為背景）已知：曲線y?f(x)上點M(x0,y0)，求：M點處切線的斜率。

下面給出切線的一般定義；設曲線C及曲線C上的一點M，如圖，在M外C上另外取一點N，作割線MN，當N沿著C趨近點M時，如果割線MN繞點M旋轉而趨于極 限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點M處的切線。

問題解決：取在C上M附近一點N(x,y)，于是割線PQ的斜率為

tan??y?y0f(x)?f(x0)（?為割線MN的傾角）?x?x0x?x0當x?x0時，若上式極限存在，則極限

k?tan??f(x)?fx(0)（?為割線MT的傾角）limx?x0x?x0為點M處的切線的斜率。

上述兩問題中，第一個是物理學的問題，后一個是幾何學問題，分屬不同的學科，但問 題的解決都歸結到求形如

limx?x0f(x)?f(x0）

（1）

x?x0的極限問題。事實上，在學習物理學時會發現，在計算諸如物質比熱、電流強度、線密度等問題中，盡管其背景各不相同，但最終都化歸為討論形如（1）的極限問題。也正是這類問題的研究，促使“導數”的概念的誕生。

三）導數的定義

定義

設函數y?f(x)在x0的某鄰域內有定義，若極限

x?x0limf(x)?f(x0）

x?x0存在，則稱函數f在點x0處可導，并稱該極限為f在點x0處的導數，記作f'(x0)。即

f'(x0)?limx?x0f(x)?f(x0）

（2）

x?x0也可記作y?x?x，odydx，x?xodf(x)。若上述極限不存在，則稱f在點x0處不可導。

dxx?xof在x0處可導的等價定義：

設x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0)，若x?x0則等價于?x?0，如果 函數f在點x0處可導，可等價表達成為以下幾種形式： f'(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0）

（3）

?f'(x0)?lim?x?0?xx?x0?f'(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0）

（4）

?x?f'(x0)?lim四）

f(x0?)?f(x0）?0

（5）

利用導數定義求導數的幾個例子

例1 求f(x)?x2在點x?1處的導數，并求曲線在點(1,1)處的切線方程。解 由定義

?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f(1)?lim?lim?lim

?x?0?x?x?0?x?0?x?x'2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x于是曲線在(1,1)處的切線斜率為2，所以切線方程為y?1?2(x?1)，即y?2x?1。

例2 設函數f(x)為偶函數，f?(0)存在，證明：f?(0)?0。

(x)

?f(?x)?f(??x)證

?f(x)?f? 又f(0)?lim

?lim?x?0'?x?0f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)

?x?0?x??x?f?(0)?0

注意：f'(x0)?limf(x0?)?f(x0）這種形式的靈活應用。此題的?0為??x。

1?xsin,x?0?x例3 討論函數f(x)?? 在x?0處的連續性，可導性。?0,x?0?解

首先討論f(x)在x?0處的連續性：limf(x)?limxsinx?0x?01?0?f(0)x即f(x)在x?0處連續。

再討論f(x)在x?0處的可導性：

?x?0limf(0??x)?f(0)?lim?x?0?x

?xsin1?01?x

此極限不存在 ?limsin?x?0?x?x即f(x)在x?0處不可導。

問

怎樣將此題的f(x)在x?0的表達式稍作修改，變為f(x)在x?0處可導？

1?n?1xsinx,?0?x答 f(x)?? n?1,2,3?，即可。

?0,x?0?四）可導與連續的關系

由上題可知；在一點處連續不一定可導。反之，若設f(x)在點x0可導，則

?y?f'(x0)

?x?0?xlim由極限與無窮小的關系得：

?y?f'(x0)?x?o(?x)，所以當?x?0，有?y?0。即f在點x0連續。

故在一點處連續與可導的關系是：連續不一定可導，可導一定連續。

五）單側導數的概念

例4 證明函數f(x)?|x|在x?0處不可導。證明 ?lim?x?0f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1，x?0?xx?0?x?0?xx?0x?0?limx?0f(x)?f(0)極限不存在。

x?0故f(x)?|x|在x?0處不可導。

在函數分段點處或區間端點等處，不得不考慮單側導數：

定義

設函數y?f(x)在點x0的某右鄰域(x0,x0??)上有定義，若右極限

?x?0lim?f(x0??x)?f(x0）?y?lim?（0??x??）?x?0?x?x存在，則稱該極限為f在點x0的右導數，記作f?'(x0)。

?左導數

f?'(x0)?yli?m。?x?0?x左、右導數統稱為單側導數。

導數與左、右導數的關系：若函數y?f(x)在點x0的某鄰域內有定義，則f'(x0)存在?f?'(x0)，f?'(x0)都存在，且f?'(x0)=f?'(x0)。例5 設f(x)??解 由于 ?1?cosx, x?0，討論f(x)在x?0處的可導性。

x?0?x , f?'(0)?lim??x?0f(x0??x)?f(x0)1?cos?x?lim??0 ?x?0?x?xf(x0??x)?f(x0)?x?lim??1 ?x?0?x?xf?'(0)?lim??x?0從而f?'(0)?f?'(0)，故f(x)在x?0處不可導。

六）小結: 本課時的主要內容要求：

① 深刻理解在一點處導數的概念，能準確表達其定義；

② 注意f'(x0)?limf(x0?)?f(x0）這種形式的靈活應用。

?0③ 明確其實際背景并給出物理、幾何解釋； ④ 能夠從定義出發求某些函數在一點處的導數；

⑤ 明確導數與單側導數、可導與連續的關系。

第三篇：數學說課稿：導數概念

數學說課稿：導數概念

作為一位兢兢業業的人民教師，就不得不需要編寫說課稿，說課稿有助于學生理解并掌握系統的知識。說課稿要怎么寫呢？以下是小編收集整理的數學說課稿：導數概念，歡迎閱讀與收藏。

導數是近代數學中微積分的核心概念之一，是一種思想方法，這種思想方法是人類智慧的驕傲。《導數的概念》這一節內容，大致分成四個課時，我主要針對第三課時的教學，談談我的理解與設計，敬請各位專家斧正。

一、教材分析

1.1編者意圖《導數的概念》分成四個部分展開，即：“曲線的切線”，“瞬時速度”，“導數的概念”，“導數的幾何意義”，編者意圖在哪里呢？用前兩部分作為背景，是為了引出導數的概念；介紹導數的幾何意義，是為了加深對導數的理解。從而充分借助直觀來引出導數的概念；用極限思想抽象出導數；用函數思想拓展、完善導數以及在應用中鞏固、反思導數，教材的顯著特點是從具體經驗出發，向抽象和普遍發展，使探究知識的過程簡單、經濟、有效。

1.2導數概念在教材的地位和作用“導數的概念”是全章核心。不僅在于它自身具有非常嚴謹的結構，更重要的是，導數運算是一種高明的數學思維，用導數的運算去處理函數的性質更具一般性，獲得更為理想的結果；把運算對象作用于導數上，可使我們擴展知識面，感悟變量，極限等思想，運用更高的觀點和更為一般的方法解決或簡化中學數學中的不少問題；導數的方法是今后全面研究微積分的重要方法和基本工具，在在其它學科中同樣具有十分重要的作用；在物理學，經濟學等其它學科和生產、生活的各個領域都有廣泛的應用。導數的出現推動了人類事業向前發展。

1.3教材的內容剖析知識主體結構的比較和知識的遷移類比如下表：

表1、知識主體結構比較

通過比較發現：求切線的斜率和物體的瞬時速度，這兩個具體問題的解決都依賴于求函數的極限，一個是“微小直角三角形中兩直角邊之比”的極限，一個是“位置改變量與時間改變量之比”的極限，如果舍去問題的具體含義，都可以歸結為一種相同形式的極限，即“平均變化率”的極限。因此以兩個背景作為新知的生長點，不僅使新知引入變得自然，而且為新知建構提供了有效的類比方法。

1.4重、難點剖析

重點：導數的概念的形成過程。

難點：對導數概念的理解。

為什么這樣確定呢？導數概念的形成分為三個的層次：f（x）在點x0可導→f（x）在開區間（，b）內可導→f（x）在開區間（，b）內的導函數→導數，這三個層次是一個遞進的過程，而不是專指哪一個層次，也不是幾個層次的簡單相加，因此導數概念的形成過程是重點；教材中出現了兩個“導數”，“兩個可導”，初學者往往會有這樣的困惑，“導數到底是個什么東西？一個函數是不是有兩種導數呢？”，“導函數與導數是怎么統一的？”。事實上：

（1）f（x）在點x0處的導數是這一點x0到x0+△x的變化率的極限，是一個常數，區別于導函數。

（2）f（x）的導數是對開區間內任意點x而言，是x到x+△x的變化率的極限，是f（x）在任意點的變化率，其中滲透了函數思想。

（3）導函數就是導數！是特殊的函數：先定義f（x）在x0處可導、再定義f（x）在開區間（，b）內可導、最后定義f（x）在開區間的導函數。

（4）y=f（x）在x0處的導數就是導函數在x=x0處的函數值，表示為這也是求f′（x0）的一種方法。初學者最難理解導數的概念，是因為初學者最容易忽視或混淆概念形成過程中幾個關鍵詞的區別和聯系，會出現較大的分歧和差別，要突破難點，關鍵是找到“f（x）在點x0可導”、“f（x）在開區間的導函數”和“導數”之間的聯系，而要弄清這種聯系的最好方法就是類比！用“速度與導數”進行類比。

二、目的分析

2.1學生的認知特點。在知識方面，對函數的極限已經熟悉，加上兩個具體背景的學習，新知教學有很好的基礎；在技能方面，高三學生，有很強的概括能力和抽象思維能力；在情感方面，求知的欲望強烈，喜歡探求真理，具有積極的情感態度。

2.2教學目標的擬定。鑒于這些特點，并結合教學大綱的要求以及對教材的分析，擬定如下的教學目標：

知識目標：

①理解導數的概念。

②掌握用定義求導數的方法。

③領悟函數思想和無限逼近的極限思想。

能力目標：

①培養學生歸納、抽象和概括的能力。

②培養學生的數學符號表示和數學語言表達能力。

情感目標：通過導數概念的學習，使學生體驗和認同“有限和無限對立統一”的辯證觀點。接受用運動變化的辯證唯物主義思想處理數學問題的積極態度。

三、過程分析

設計理念：遵循特殊到一般的認知規律，結合可接受性和可操作性原則，把教學目標的落實融入到教學過程之中，通過演繹導數的形成，發展和應用過程，幫助學生主動建構概念。

一、教材分析

導數的概念是高中新教材人教A版選修2-2第一章1.1.2的內容,是在學生學習了物理的平均速度和瞬時速度的背景下，以及前節課所學的平均變化率基礎上，闡述了平均變化率和瞬時變化率的關系，從實例出發得到導數的概念，為以后更好地研究導數的幾何意義和導數的應用奠定基礎。

新教材在這個問題的處理上有很大變化，它與舊教材的區別是從平均變化率入手，用形象直觀的“逼近”方法定義導數。

問題1氣球平均膨脹率--→瞬時膨脹率

問題2高臺跳水的平均速度--→瞬時速度--→

根據上述教材結構與內容分析，立足學生的認知水平，制定如下教學目標和重、難點

二、教學目標

1、知識與技能：

通過大量的實例的分析，經歷由平均變化率過渡到瞬時變化率的過程，了解導數概念的實際背景，知道瞬時變化率就是導數。

2、過程與方法：

①通過動手計算培養學生觀察、分析、比較和歸納能力

②通過問題的探究體會逼近、類比、以已知探求未知、從特殊到一般的數學思想方法

3、情感、態度與價值觀：

通過運動的觀點體會導數的內涵，使學生掌握導數的概念不再困難，從而激發學生學習數學的興趣.三、重點、難點

重點：導數概念的形成，導數內涵的理解

難點：在平均變化率的基礎上去探求瞬時變化率，深刻理解導數的內涵通過逼近的方法，引導學生觀察來突破難點

四、教學設想(具體如下表)

教學環節教學內容師生互動設計思路創設情景、引入新課幻燈片

回顧上節課留下的思考題：

在高臺跳水運動中，運動員相對水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數關系h(t)=-4.9t2+6.5t+10.計算運動員在這段時間里的平均速度，并思考下面的問題：

(1)運動員在這段時間里是靜止的嗎?

(2)你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎?

首先回顧上節課留下的思考題：

在學生相互討論，交流結果的基礎上，提出：大家得到運動員在這段時間內的平均速度為“0”，但我們知道運動員在這段時間內并沒有“靜止”。為什么會產生這樣的情況呢?

引起學生的好奇，意識到平均速度只能粗略地描述物體在某段時間內的運動狀態，為了能更精確地刻畫物體運動，我們有必要研究某個時刻的速度即瞬時速度。

使學生帶著問題走進課堂，激發學生求知欲初步探索、展示內涵

根據學生的認知水平,概念的形成分了兩個層次：

結合跳水問題，明確瞬時速度的定義

問題一：請大家思考如何求運動員的瞬時速度，如t=2時刻的瞬時速度?

提出問題一，組織學生討論，引導他們自然地想到選取一個具體時刻如t=2，研究它附近的平均速度變化情況來尋找到問題的思路，使抽象問題具體化

理解導數的內涵是本節課的教學重難點，通過層層設疑，把學生推向問題的中心，讓學生動手操作，直觀感受來突出重點、突破難點

問題二：請大家繼續思考，當Δt取不同值時,嘗試計算的'值?

Δt

Δt

-0.10.1

-0.010.01

-0.0010.001

-0.00010.0001

-0.000010.00001

……….….…….…

學生對概念的認知需要借助大量的直觀數據，所以我讓學生利用計算器，分組完成問題二，幫助學生體會從平均速度出發，“以已知探求未知”的數學思想方法,培養學生的動手操作能力

問題三：當Δt趨于0時，平均速度有怎樣的變化趨勢?

Δt

Δt

-0.1-12.610.1-13.59

-0.01-13.0510.01-13.149

-0.001-13.09510.001-13.1049

-0.0001-130099510.0001-13.10049

-0.00001-13.0999510.00001-13.100049

……….….…….…

一方面分組討論，上臺板演，展示計算結果，同時口答：在t=2時刻,Δt趨于0時，平均速度趨于一個確定的值-13.1，即瞬時速度，第一次體會逼近思想;另一方面借助動畫多渠道地引導學生觀察、分析、比較、歸納，第二次體會逼近思想，為了表述方便,數學中用簡潔的符號來表示,即

數形結合，掃清了學生的思維障礙，更好地突破了教學的重難點，體驗數學的簡約美

問題四：運動員在某個時刻的瞬時速度如何表示呢?

引導學生繼續思考:運動員在某個時刻的瞬時速度如何表示?學生意識到將代替2,可類比得到

與舊教材相比,這里不提及極限概念,而是通過形象生動的逼近思想來定義時刻的瞬時速度,更符合學生的認知規律,提高了他們的思維能力,體現了特殊到一般的思維方法

借助其它實例，抽象導數的概念

問題五：氣球在體積時的瞬時膨脹率如何表示呢?

類比之前學習的瞬時速度問題,引導學生得到瞬時膨脹率的表示

積極的師生互動能幫助學生看到知識點之間的聯系，有助于知識的重組和遷移,尋找不同實際背景下的數學共性，即對于不同實際問題，瞬時變化率富于不同的實際意義

問題六：如果將這兩個變化率問題中的函數用來表示，那么函數在處的瞬時變化率如何呢?

在前面兩個問題的鋪墊下,進一步提出，我們這里研究的函數在處的瞬時變化率即在處的導數,記作

(也可記為)

引導學生舍棄具體問題的實際意義,抽象得到導數定義,由淺入深、由易到難、由特殊到一般，幫助學生完成了思維的飛躍;同時提及導數產生的時代背景，讓學生感受數學文化的熏陶，感受數學來源于生活，又服務于生活。

循序漸進、延伸

拓展例1：將原油精煉為汽油、柴油、塑料等不同產品，需要對原油進行冷卻和加熱。如果在第xh時候，原油溫度(單位：)為

(1)計算第2h和第6h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它的意義。

(2)計算第3h和第5h時，原油溫度的瞬時變化率，并說明它的意義。

步驟：

①啟發學生根據導數定義，再分別求出和

②既然我們得到了第2h和第6h的原油溫度的瞬時變化率分別為-3與5，大家能說明它的含義嗎?

③大家是否能用同樣方法來解決問題二?

④師生共同歸納得到，導數即瞬時變化率，可反映物體變化的快慢

步步設問，引導學生深入探究導數內涵

發展學生的應用意識，是高中數學課程標準所倡導的重要理念之一。在教學中以具體問題為載體,加深學生對導數內涵的理解，體驗數學在實際生活中的應用

變式練習：已知一個物體運動的位移(m)與時間t(s)滿足關系S(t)=-2t2+5t(1)求物體第5秒和第6秒的瞬時速度

(2)求物體在t時刻的瞬時速度

(3)求物體t時刻運動的加速度，并判斷物體作什么運動?

學生獨立完成，上臺板演，第三次體會逼近思想

目的是讓學生學會用數學的眼光去看待物理模型，建立各學科之間的聯系，更深刻地把握事物變化的規律歸納總結、內化知識

1、瞬時速度的概念

2、導數的概念

3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、類比、從特殊到一般

引導學生進行討論，相互補充后進行回答，老師評析，并用幻燈片給出

讓學生自己小結，不僅僅總結知識更重要地是總結數學思想方法。這是一個重組知識的過程，是一個多維整合的過程，是一個高層次的自我認識過程，這樣可幫助學生自行構建知識體系，理清知識脈絡，養成良好的學習習慣

作業安排、板書設計(必做)第10頁習題A組第2、3、4題

(選做)：思考第11頁習題B組第1題作業是學生信息的反饋，能在作業中發現和彌補教學中的不足，同時注重個體差異，因材施教

附后板書設計清楚整潔,便于突出知識目標

五、學法與教法

學法與教學用具

學法：

(1)合作學習：引導學生分組討論，合作交流，共同探討問題。(如問題2的處理)

(2)自主學習：引導學生通過親身經歷，動口、動腦、動手參與數學活動。(如問題3的處理)

(3)探究學習：引導學生發揮主觀能動性，主動探索新知。(如例題的處理)

教學用具：電腦、多媒體、計算器

教法：整堂課圍繞“一切為了學生發展”的教學原則，突出①動--師生互動、共同探索。②導--教師指導、循序漸進

(1)新課引入--提出問題,激發學生的求知欲

(2)理解導數的內涵--數形結合，動手計算,組織學生自主探索,獲得導數的定義

(3)例題處理--始終從問題出發，層層設疑，讓他們在探索中自得知識

(4)變式練習--深化對導數內涵的理解，鞏固新知

六、評價分析

這堂課由平均速度到瞬時速度再到導數，展示了一個完整的數學探究過程。提出問題、計算觀察、發現規律、給出定義，讓學生經歷了知識再發現的過程，促進了個性化學習。

從舊教材上看，導數概念學習的起點是極限，即從數列的極限，到函數的極限，再到導數。這種概念建立方式具有嚴密的邏輯性和系統性，但學生很難理解極限的形式化定義，因此也影響了對導數本質的理解。

新教材不介紹極限的形式化定義及相關知識，而是用直觀形象的逼近方法定義導數。

通過列表計算、直觀地把握函數變化趨勢(蘊涵著極限的描述性定義)，學生容易理解;

這樣定義導數的優點：

1.避免學生認知水平和知識學習間的矛盾;

2.將更多精力放在導數本質的理解上;

3.學生對逼近思想有了豐富的直觀基礎和一定的理解，有利于在大學的初級階段學習嚴格的極限定義.(附)板書設計

第四篇：“導數的概念(起始課)”的教學設計、反思與點評

“導數的概念(起始課)”的教學設計、反思與點評

1教學預設

1.1教學標準

（1）通過情境的介紹，讓學生知道導數的實際背景，體驗學習導數的必要性；

（2）通過大量的實例的分析，讓學生知道平均變化率的意義，體會平均變化率的思想及內涵，為后續建立瞬時變化率和導數的數學模型提供豐富的背景；

（3）通過實例的分析，讓學生感受平均變化率廣泛存在于日常生活之中，經歷運用數學描述刻畫現實世界的過程，體會數學知識來源于生活，又服務于生活，感悟數學的價值；

（4）通過問題探索、觀察分析、歸納總結等方式，引導學生從變量和函數的角度來描述變化率，進而抽象概括出函數的平均變化率，會求函數的平均變化率.1.2標準解析

1.21內容解析

本節是導數的起始課，主要包括三方面的內容：變化率、導數的概念、導數的幾何意義.實際上，它們是理解導數思想及其內涵的不同角度.首先，從平均變化率開始，利用平均變化率探求瞬時變化率，并從數學上給予各種不同變化率在數量上精確描述，即導數；然后，從數轉向形，借助函數圖象，探求切線斜率和導數的關系，說明導數的幾何意義.根據教材的安排，本節內容分4課時完成.第一課時介紹平均變化率問題，在“氣球膨脹率”、“高臺跳水”兩個問題的基礎上，歸納出它們的共同特征，用f（x）表示其中的函數關系，定義了一般的平均變化率，并給出符號表示.本節內容通過分析研究氣球膨脹率問題、高臺跳水問題，總結歸納出一般函數的平均變化率概念，在此基礎上，要求學生掌握函數平均變化率解法的一般步驟.平均變化率是個核心概念，它在整個高中數學中占有極其重要的地位，是研究瞬時變化率及其導數概念的基礎.在這個過程中，注意特殊到一般、數形結合等數學思想方法的滲透.教學重點在實際背景下直觀地解釋函數的變化率、平均變化率.1.22學情診斷

吹氣球是很多人具有的生活經驗，運動速度是學生非常熟悉的物理知識，這兩個實例的共同點是背景簡單.從簡單的背景出發，既可以利用學生原有的知識經驗，又可以減少因為背景的復雜而可能引起的對數學知識學習的干擾，這是有利的方面.但是如何從具體實例中抽象出共同的數學問題的本質是本節課教學的關鍵.而對本節課（導數的概念），學生是在充滿好奇卻又一無所知的狀態下開始學習的，因此若能讓學生主動參與到導數的起始課學習過程，讓學生體會到自己在學“有價值的數學”，必能激發學生學習數學的興趣，樹立學好數學的自信心.教學難點如何從兩個具體的實例歸納總結出函數平均變化率的概念，對生活現象作出數學解釋.1.23教學對策

本節作為導數的起始課，同時也是個概念課，如何自然引入導數的概念是至關重要的.為了有效實現教學目標，準備投影儀、多媒體課件等.①在信息技術環境下，可以使兩個實例的背景更形象、更逼真，從而激發學生的學習興趣，通過演示平均變化率的幾何意義讓學生更好地體會數形結合思想.②通過應用舉例的教學，不斷地提供給學生比較、分析、歸納、綜合的機會，體現了從特殊到一般的思維過程，既關注了學生的認知基礎，又促使學生在原有認知基礎上獲取知識，提高思維能力，保持高水平的思維活動，符合學生的認知規律.1.24教學流程設置情境→提出問題→知識遷移→概括小結→課后延伸

2教學簡錄

2.1創設情境，引入課題

為了描述現實世界中運動、過程等變化著的現象，在數學中引入了函數，隨著對函數的研究，產生了微積分，微積分的創立與自然科學中四類問題的處理直接相關：（課件演示相關問題情境）

（1）已知物體運動的路程作為時間的函數，求物體在任意時刻的速度與加速度等；

（2）求曲線的切線；

（3）求已知函數的最大值與最小值；

（4）求長度、面積、體積和重心等.導數是微積分的核心概念之一，它是研究函數增減、變化快慢、最大（小）值等問題最一般、最有效的工具.導數研究的問題即變化率問題：研究某個變量相對于另一個變量變化的快慢程度.評析充分利用章引言中提示的微積分史料，引導學生探尋微積分發展的線索，體會微積分的創立與人類科技發展之間的緊密聯系，初步了解本章的學習內容，從而激發他們學習本章內容的興趣.2.2提出問題，探求新知

問題1氣球膨脹率（課件演示“吹氣球”）

我們都吹過氣球，回憶一下吹氣球的過程，可以發現，隨著氣球內空氣容量的增加，氣球的半徑增加越來越慢.從數學角度，如何描述這種現象呢？

氣球的體積V（單位：L）與半徑r（單位：dm）之間的函數關系是V（r）=43πr3；

如果將半徑r表示為體積V的函數，那么r（V）=33V4π.師：當V從0增加到1時，氣球半徑增加了多少？如何表示？

生：r（1）-r（0）≈0.62（dm）.師：氣球的平均膨脹率為多少？如何刻畫？

生：r（1）-r（0）1-0≈0.62（dm/L）.師：當V從1增加到2時，氣球半徑增加了多少？如何表示？

生：r（2）-r（1）≈0.16（dm）.師：氣球的平均膨脹率為多少？如何刻畫？

生：r（2）-r（1）2-1≈0.16（dm/L）.師：非常好！可以看出，隨著氣球體積逐漸增大，它的平均膨脹率逐漸變小了.歸納到一般情形，當空氣容量從V1增加到V2時，氣球的平均膨脹率是多少？

生：r（V2）-r（V1）V2-V1.師生活動：教師播放多媒體，學生可以直接回答問題，教師板書其正確答案.評析通過熟悉的生活體驗，提煉出數學模型，從而為歸納函數平均變化率概念提供具體背景.自然合理地提出問題，讓學生體會“數學來源于生活”，創造和諧積極的學習氛圍，讓學生能通過感知表象后，學會進一步探討問題的本質，學會使用數學語言和數學的觀點分析問題，避免淺嘗輒止和過分依賴老師.問題2高臺跳水（觀看多媒體視頻）

在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t（單位：s）存在函數關系h（t）=-4.9t2+6.5t+10.如何用運動員在某些時間段內的平均速度粗略地描述其運動狀態？

師：請同學們分組，思考計算：0≤t≤0.5和1≤t≤2的平均速度.生：（第一組）在0≤t≤0.5這段時間里，=h（0.5）-h（0）0.5-0=4.05（m/s）；

生：（第二組）在1≤t≤2這段時間里，=h（2）-h（1）2-1=-8.2（m/s）

師生活動：教師播放多媒體，學生通過計算回答問題.對第（2）小題的答案說明其物理意義.評析高臺跳水展示了生活中最常見的一種變化率――運動速度，而運動速度是學生非常熟悉的物理知識，這樣可以減少因為背景的復雜而可能引起的對數學知識學習的干擾.通過計算為歸納函數平均變化率概念提供又一重要背景.師：（探究）計算運動員在0≤t≤6549這段時間里的平均速度，并思考以下問題：

（1）運動員在這段時間內是靜止的嗎？

（2）你認為用平均速度描述運動員的運動狀態有什么問題嗎？

師生活動：教師播放多媒體，學生通過計算回答問題.對答案加以說明其物理意義（可以結合圖像說明）.評析通過計算得出平均速度只能粗略地描述運動狀態，從而為瞬時速度的提出埋下伏筆即為導數的概念作了鋪墊，利用圖像解釋的過程體現了數形結合的數學思想方法.（1）讓學生親自計算和思考，展開討論；

（2）老師慢慢引導學生說出自己的發現，并初步修正到最終的結論上；

（3）得到結論是：①平均速度只能粗略地描述運動員的運動狀態，它并不能反映某一刻的運動狀態；②需要尋找一個量，能更精細地刻畫運動員的運動狀態.思考：當運動員起跳后的時間從t1增加到t2時，運動員的平均速度是多少？

師生活動：教師播放多媒體，學生可以直接回答問題，教師板書其正確答案.通過引導，使學生逐步歸納出問題1、2的共性.評析把問題2中的具體數據運算提升到一般的字母表示，體現從特殊到一般的數學思想，同時為歸納函數平均變化率概念作鋪墊.2.3知識遷移，把握本質

（1）上述問題中的變化率可用式子f（x2）-f（x1）x2-x1表示，稱為函數f（x）從x1到x2的平均變化率.（2）若設Δx=x2-x1，Δy=f（x2）-f（x1）.（這里Δx看作是對于x1的一個“增量”，可用x1+Δx代替x2）.（3）則平均變化率為ΔyΔx=f（x2）-f（x1）x2-x1=f（x1+Δx）-f（x1）Δx.思考：觀察函數f（x）的圖象，平均變化率ΔyΔx=f（x2）-f（x1）x2-x1表示什么？

生：曲線y=f（x）上兩點（x1，f（x1））、（x2，f（x2））連線的斜率（割線的斜率）.生：（補充）平均變化率反映了函數在某個區間上平均變化的趨勢（變化快慢），即在某個區間上曲線陡峭的程度.師：兩位同學回答得非常好！那么，計算平均變化率的步驟是什么？

生：①求自變量的增量Δx=x2-x1；②求函數的增量Δy=f（x2）-f（x1）；③求平均變化率ΔyΔx=f（x2）-f（x1）x2-x1.評析通過對一些熟悉的實例中變化率的理解，逐步推廣到一般情況，即從函數的角度去分析、應用變化率，并結合圖形直觀理解變化率的幾何意義，從幾何角度理解平均變化率的概念即平均變化率的幾何意義，體現數形結合的數學思想.為進一步加深理解變化率與導數作好鋪墊.2.4知識應用，提高能力

例1已知函數f（x）=-x2+x圖象上的一點A（-1，-2）及臨近一點B（-1+Δx，-2+Δy），則ΔyΔx=.例2求y=x2在x=x0附近的平均變化率.2.5課堂練習，自我檢測

（1）質點運動規律為s=t2+3，則在時間（3，3+Δt）中相應的平均速度為.（2）物體按照s（t）=3t2+t+4的規律作運動，求在4s附近的平均變化率.（3）過曲線f（x）=x3上兩點P（1，1）和P′（1+Δx，1+Δy）作曲線的割線，求出當Δx=0.1時割線的斜率.評析概念的簡單應用，體現了由易到難，由特殊到一般的數學思想，符合學生的認知規律.2.6課堂小結，知識再現

（1）函數平均變化率的概念是什么？它是通過什么實例歸納總結出來的？

（2）求函數平均變化率的一般步驟是怎樣的？

（3）這節課主要用了哪些數學思想？

師生活動：最后師生共同歸納總結：函數平均變化率的概念、吹氣球及高臺跳水兩個實例、求函數平均變化率的一般步驟、主要的數學思想有：從特殊到一般，數形結合.評析復習重點知識、思想方法，完善學生的認知結構.2.7布置作業，課后延伸

（1）課本第10頁：習題A組：第1題.（2）課后思考問題：需要尋找一個量，能更精細地刻畫運動員的運動狀態，那么該量應如何定義？

3教學反思

在教學設計時，我把“平均變化率”當成本節課的核心概念.教學的預設目標基本完成，特別是知識目標，學生能較好地掌握“平均變化率”這一概念，并會利用概念求平均變化率.根據這一節課的內容特點以及學生的實際情況，在教學過程中讓學生自己去感受問題情境中提出的問題，并以此作為突破口，啟發、引導學生得出函數的平均變化率.成功之處：通過生活中的實例，引導學生分析和歸納，讓學生在已有認知結構的基礎上建構新知識，從而達到概念的自然形成，進而從數學的外部到數學的內部，啟發學生運用概念探究新問題.這樣學生不會感到突兀，并能進一步感受到數學來源于生活，生活中處處蘊含著數學化的知識，同時可以提高他們學習數學的主觀能動性.教學的預設目標基本完成，特別是知識目標，學生能較好地掌握“平均變化率”這一概念，并會利用概念求平均變化率.改進之處：課堂實施過程中，雖然在形式上沒有將知識直接拋給學生，但自己的“引導”具有明顯的“牽”的味道.在教學過程中，雖然能關注到適當的計算量，但激發學生思維的好問題不多.整堂課學生的思維量不夠，學生缺少思辯，同時留給學生判斷和分析的成分、時間都不夠.4教學點評

采用相互討論、探究規律和引導發現的教學方法，通過不斷出現的一個個問題，一步步創設出使學生有興趣探索知識的“情境”，營造生動活潑的課堂教學氣氛，充分發揮學生的主體地位，通過實例，引導學生經歷由平均變化率到瞬時變化率的過程，從而更好地理解變化率問題.4.1注重情境創設，適度使數學生活化、情境化

注重情境創設，適度使數學生活化、情境化而又不失濃厚的數學味，可以激發學生學習的內在需要，把學生引入到身臨其境的環境中去，自然地生發學習需求.因此，本節課以兩個實際問題（吹氣球和高臺跳水）為情景，在激發主體興趣的前提下，引導學生在生活感受的基礎之上從數學的角度刻畫“吹氣球”和“高臺跳水”，并注重數形結合思想方法的滲透.4.2準確定位，精心設問，注重學生合作交流

教師的角色始終是數學活動的組織者，參與并引導學生從事有效的學習活動，并在學生遇到困難時，適時點撥，讓學生體會到學習數學的過程是人生的一種有意義的經歷和體驗，從而發揮學生學習數學的能動性和創造性.教師精心設計好問題，從而更好地激發每個學生積極主動地參與到數學學習活動中來，讓學生在解決問題時又不斷產生新的思維火花，在解決問題的過程中達到學習新知識的目的和激發創新的意識.因此，本課采用自主探索、合作交流的探究式學習方式，使學生真正成為學習的主人.4.3借用信息技術輔助，強化直觀感知

在信息技術環境下，可以使兩個實例（吹氣球和高臺跳水）的背景更形象、更逼真，從而激發學生的學習興趣，通過演示平均變化率的幾何意義讓學生更好地體會數形結合思想.同時幫助學生發現規律，使探究落到實處.作者簡介楊瑞強，男，1979年生，湖北黃岡人，中學一級教師.主要從事數學教育與中學教學研究.發表論文60余篇.

第五篇：《導數的概念》第一課時的教學反思6

《導數的概念》第一課時的教學反思

陳吾婷

在備《導數的概念》第一課時，對課本內容作了一定的調整，設計了這樣的過程：由芝諾著名的一個悖論“飛矢不動”引入，然后利用瞬時速度來解釋飛矢在某一點的速度是存在的，然后再轉到曲線切線的討論上來。

應該說，這樣的思路很自然，也很有趣。但是在第一節課實際的實施過程中，出現一些問題，使得學生在芝諾悖論之后，就慢慢地變成了“無聲”的狀態，這主要是一些推導中復雜的符號使然。第一節下課后，很快地做了一個反思，總結了如下幾點：

1．在推導瞬時速度時，應該先講清楚牛頓的思路，即求位移的增量，求平均速度，再求極限。這樣再進行推導，學生就有了方向，而不會象第一節課那樣，聽得慢，看著復雜的符號就頭暈。

在學習理論中，有個“先行組織者”的概念，“先行組織者”是先于學習任務本身呈現的一種引導性材料，它要比原學習任務本身有更高的抽象、概括和包容水平，并且能清晰地與認知結構中原有的觀念和新的學習任務關聯。可能在對于這樣牽涉到復雜符號的推導時，更需要有這樣的一個前提準備。要不然學生就弄不清方向，從而被符號所困。

2．也是在推導瞬時速度時，應該做一個圖解，使學生更清楚地看到增量的意義。第一節課正是沒有給出圖解，雖然對增量做了一定的強調，但是學生對增量的理解依然是抽象而非具體的。

3．推導完瞬時速度后，應該點出對“飛矢不動”悖論的反駁，即在某一點是有速度的。第一節課中忘了說明這一點了，就使得學生不知道“飛矢不動”這個情境有什么用，也不知道與瞬時速度有什么聯系。

4．在介紹完曲線的切線后，給出一個很好的例子，即y=|x|在x=0處有沒有切線，可以先增加另一個變式——求x=1處的切線，這會使學生認識得更深刻一點。最后最好能指出正如某一點的瞬時速度只有一個一樣，某一點的切線也應該只有一條。

經過課間幾分鐘的反思與調整，第二節課果然清晰了許多，也生動了許多。學生聽得也饒有興致。

課后，有兩個學生也分別提出了兩個很好的問題。第一個問題是在剛才這一例子中，沒有斜率難道就沒有切線嗎？第二個問題是如果切線垂直于x軸，按導數的解釋，如果斜率無窮大——即以前通常所說的極限不存在，那么切線不是也不存在嗎？

當時給出了這樣的解釋：導數不存在，切線就不存在；導數無窮大實際上還是存在的，只不過是無窮大，而上面的例子中的在x=0的導數是真的不存在，這是有區別的。回家路上想了一下，并不敢保證這樣的解釋的正確性，尤其是導數不存在，切線就不存在。到家一查，同濟大學應用數學系主編的《高等數學》（第五版上冊）第82頁中就有切線的定義，包括了導數無窮大時的切線情況，在第85頁中就有y=|x|在x=0處切線不存在的例子。放心了！但是依然在思考的一個問題是：怎樣才能更加直觀地說明上例中的切線不存在呢？它又哪里去了呢？