第一篇：高中導(dǎo)數(shù)概念引入的教學(xué)研究

投稿日期：2015.2.3 所投欄目：（高中版）課堂教學(xué)研究 手機(jī)號(hào)碼：*** 電子郵箱：sx9106240@126.com

高中導(dǎo)數(shù)概念引入的教學(xué)研究

孫旋 南京師范大學(xué) 210000 摘要：導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念，高中開(kāi)設(shè)微積分課程具有多方面的價(jià)值和意義。新課標(biāo)在導(dǎo)數(shù)概念的處理上有了大的變化，考慮到高中學(xué)生的認(rèn)知水平要求不講極限，但要求體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵。極限思想與極限定義不同，極限思想在很早的時(shí)候就有了，而極限定義產(chǎn)生于解決微積分學(xué)的基本問(wèn)題。高中導(dǎo)數(shù)蘊(yùn)含著重要的極限思想，高中學(xué)生體會(huì)極限思想有利于之后微積分內(nèi)容的學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：極限思想；瞬時(shí)速度；導(dǎo)數(shù)

一、課程標(biāo)準(zhǔn)的要求

全日制普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義的內(nèi)容與要求是：“①通過(guò)對(duì)大量實(shí)例的分析，經(jīng)歷由平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率的過(guò)程，了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵。②通過(guò)函數(shù)圖象直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。”

《課程標(biāo)準(zhǔn)解讀》介紹了新課程對(duì)“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”教學(xué)處理上的主要變化:1.突出導(dǎo)數(shù)概念的本質(zhì)。以往教材在編排上從極限概念開(kāi)始學(xué)習(xí), 學(xué)生對(duì)極限概念認(rèn)識(shí)和理解的困難, 影響了對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)和理解。因此, 課標(biāo)在這部分的處理有了大的變化，不講極限概念，不是把導(dǎo)數(shù)作為一種特殊的極限(增量比的極限)來(lái)處理, 而是直接通過(guò)實(shí)際背景和具體應(yīng)用實(shí)例——速度、膨脹率、效率、增長(zhǎng)率等反映導(dǎo)數(shù)思想和本質(zhì)的實(shí)例, 引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷由平均變化率到瞬時(shí)變化率的過(guò)程, 認(rèn)識(shí)和理解導(dǎo)數(shù)概念；同時(shí)加強(qiáng)對(duì)導(dǎo)數(shù)幾何意義的認(rèn)識(shí)和理解；2.強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)在研究事物的變化率、變化的快慢, 研究函數(shù)的基本性質(zhì)和優(yōu)化問(wèn)題中的應(yīng)用, 并通過(guò)與初等方法比較, 感受和體會(huì)導(dǎo)數(shù)在處理上述問(wèn)題中的一般性和有效性。

二、導(dǎo)數(shù)概念的內(nèi)涵

高等數(shù)學(xué)中導(dǎo)數(shù)的定義是：函數(shù) y=f（x）在 x 的某鄰域 U（x，δ）中有定義，自變量在點(diǎn) x 處獲得一個(gè)增量△x，相應(yīng)地，函數(shù) y 獲得增量△y=f（x+△x）-f（x）。考慮極限式子

lim?y，如果該極限存在，我們就稱(chēng)該極限?x?0?xdy為函數(shù) y=f（x）在 x處的導(dǎo)數(shù)，記作 f′（x）或dx。函數(shù)的導(dǎo)數(shù)如果像這樣依托于極限進(jìn)行定義，沒(méi)有具體的問(wèn)題，高中生很難知道求導(dǎo)數(shù)到底是在干什么。

蘇教版教材中導(dǎo)數(shù)的定義是：設(shè)函數(shù)y?f(x)在區(qū)間（a,b)上有定義，x0?(a,b)，若?x無(wú)限趨近于0時(shí)，比值

?yf(x0??x)?f(x0)?無(wú)限趨近于一個(gè)?x?x常數(shù)A，則稱(chēng)f(x)在x?x0處可導(dǎo)，并稱(chēng)該常數(shù)A為函數(shù)在x?x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x0)。

人教版教材中導(dǎo)數(shù)的定義是：一般地，函數(shù)y?f(x)在x?x0處的瞬時(shí)變化lim?ylimf(x0??x)?f(x0)率是，我們稱(chēng)它為函數(shù)y?f(x)在x?x0處??x?0?x?x?0?x的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x0)或y'x?x0即f'(x0)=

lim?ylimf(x0??x)?f(x0).??x?0?x?x?0?x但當(dāng)與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合起來(lái)是，導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵就清晰了，導(dǎo)數(shù)在一些具體問(wèn)題中的意義詮釋如下：

?s(1)運(yùn)動(dòng)學(xué)中，對(duì)象函數(shù)為 S＝S（t），S 表示位移，t 表示時(shí)間，則?t表示一段時(shí)內(nèi)的平均速度。再進(jìn)一步，我們?nèi)菀滓庾R(shí)到S'(t)對(duì)應(yīng)著 t 時(shí)刻物體的瞬時(shí)速度 v（t）。類(lèi)似地，我們也能意識(shí)到V'(t)對(duì)應(yīng)著 t 時(shí)刻物體的瞬時(shí)加速度 a（t）。

(2)幾何中，y=f（x）圖像曲線(xiàn)上有定點(diǎn) M（x，f（x））及動(dòng)點(diǎn) N（x+△x，f（x+△x）），N 的運(yùn)動(dòng)由自變量增量△x 控制。顯然，?y表示弦 MN 所在直?x線(xiàn)的斜率，進(jìn)一步我們?nèi)菀滓庾R(shí)到，當(dāng)動(dòng)點(diǎn) N 沿函數(shù)圖像曲線(xiàn)不斷靠近M 時(shí)，MN 所在直線(xiàn)就越來(lái)越接近圖像曲線(xiàn)在點(diǎn) M 處的切線(xiàn)了，自然f'(x)表示的應(yīng)是點(diǎn) M（x，f（x））處切線(xiàn)的斜率。導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用屬于高中選修內(nèi)容，此時(shí)學(xué)生已經(jīng)在高一年級(jí)階段學(xué)習(xí)了瞬時(shí)速度、平均速度和加速度等物理知識(shí)，結(jié)合瞬時(shí)速度引入導(dǎo)數(shù)概念可以幫助學(xué)生正確理解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵。導(dǎo)數(shù)的幾何意義重要性突出，是導(dǎo)數(shù)從數(shù)到形的橋梁，讓學(xué)生感受變化率和斜率的內(nèi)在聯(lián)系。由此可見(jiàn)，高中導(dǎo)數(shù)概念不僅具有標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述，而且結(jié)合實(shí)際問(wèn)題體現(xiàn)了其教學(xué)價(jià)值，成功地將高等數(shù)學(xué)知識(shí)下放到高中數(shù)學(xué)中。

三、極限思想在教材中的體現(xiàn)及重要性

新課標(biāo)明確要求高中導(dǎo)數(shù)概念的引入不再先進(jìn)行極限的教學(xué)，要讓學(xué)生通過(guò)感受導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵。從教材的內(nèi)容安排來(lái)分析，蘇教版已經(jīng)將極限相關(guān)內(nèi)容刪除，但在導(dǎo)數(shù)定義中含有“無(wú)限趨近于”一詞，這正是極限思想的體現(xiàn)。而人教版教材的選修Ⅰ和選修Ⅱ中考慮到文理科學(xué)生的差別在導(dǎo)數(shù)概念的引入上差異較大，但定義中仍然都存在極限一詞。

蘇教版教材選修1-1和選修2-2中導(dǎo)數(shù)的概念是通過(guò)具有實(shí)際背景的生活實(shí)例，先讓學(xué)生理解平均變化率是近似地刻畫(huà)了曲線(xiàn)在某區(qū)間上的變化趨勢(shì)，通過(guò)逐漸逼近讓學(xué)生觀察并體會(huì)某一點(diǎn)處的切線(xiàn)的斜率和瞬時(shí)加速度，進(jìn)而升華出瞬時(shí)變化率，最后引入導(dǎo)數(shù)就是瞬時(shí)變化率。從教育心理學(xué)角度來(lái)看，學(xué)生學(xué)習(xí)新概念時(shí)總是會(huì)從原有認(rèn)知出發(fā)，發(fā)現(xiàn)、理解原來(lái)知識(shí)體系和新事物間的聯(lián)系和區(qū)別，理解概念時(shí)易受到已有知識(shí)結(jié)構(gòu)和自身感性經(jīng)驗(yàn)以及自身概括能力的影響。所以如果學(xué)生對(duì)于瞬時(shí)變化率的理解不透徹，進(jìn)而對(duì)導(dǎo)數(shù)概念理解也不深刻。

人教版教材中選修Ⅰ是通過(guò)討論瞬時(shí)速度、切線(xiàn)的斜率和邊際成本，指出雖然它們的實(shí)際意義不同，但從函數(shù)的角度來(lái)看，卻是相同的，都是研究函數(shù)的增量與自變量的增量的比的極限，由此引入函數(shù)的概念。選修Ⅱ中導(dǎo)數(shù)概念主要從“氣球膨脹率”和“高臺(tái)跳水”展開(kāi)，這兩個(gè)實(shí)例雖然學(xué)生在生活中會(huì)接觸，但是在抽象出理論知識(shí)時(shí)會(huì)要求的狀態(tài)較為理想化使學(xué)生對(duì)于實(shí)例不能充分理解或者說(shuō)學(xué)生對(duì)于導(dǎo)數(shù)概念更多的依賴(lài)于瞬時(shí)變化率。若想理解導(dǎo)數(shù)就必須有正確的極限思想，如果學(xué)生沒(méi)有這種極限意識(shí)，在理解導(dǎo)數(shù)概念時(shí)肯定會(huì)困難重重。

在導(dǎo)數(shù)概念講解的過(guò)程中教師不必依托于形式化的極限定義，但是導(dǎo)數(shù)的概念甚至以后的微積分學(xué)習(xí)中仍然蘊(yùn)含著極限思想，所以在課堂上對(duì)學(xué)生極限思維的培養(yǎng)意義重大。

四、個(gè)人關(guān)于高中導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)的建議及設(shè)計(jì)片段

新課標(biāo)在導(dǎo)數(shù)內(nèi)容的變化是符合高中學(xué)生的身心發(fā)展特點(diǎn)的，形式化的極限定義對(duì)于高中生來(lái)說(shuō)理解起來(lái)難度較大，許多調(diào)查研究表明以往高中生對(duì)極限概念的學(xué)習(xí)效果差強(qiáng)人意，從“平均變化率—瞬時(shí)變化率”的教學(xué)改善了導(dǎo)數(shù)的教學(xué)效果。

教師對(duì)于導(dǎo)數(shù)的理解直接可以影響學(xué)生對(duì)于導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)情況，作為教師我們應(yīng)該了解極限思想貫穿微積分教學(xué)的始終，可以說(shuō)不論是中學(xué)還是大學(xué)，極限思想是微積分的核心。教師要善于利用問(wèn)題，在教學(xué)活動(dòng)中做些適當(dāng)?shù)陌才牛浞掷脤W(xué)生已有的物理知識(shí)、曲線(xiàn)斜率知識(shí)和變化率知識(shí)，將導(dǎo)數(shù)概念中的?x?0講解透徹，讓學(xué)生理解趨近于0并不等于0，這正是極限思想的體現(xiàn)，注重引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)眼光看問(wèn)題，增強(qiáng)應(yīng)用意識(shí)。除此之外，教師可以通過(guò)數(shù)學(xué)史的講解讓學(xué)生體會(huì)極限思想在處理一些問(wèn)題上的好處，從而正確理解導(dǎo)數(shù)概念，有利于從微分到積分的學(xué)習(xí)。教師巧妙的教學(xué)設(shè)計(jì)可以做到“此時(shí)無(wú)聲勝有聲”，達(dá)到事半功倍的效果。

對(duì)課本中“1.1導(dǎo)數(shù)的概念”的設(shè)計(jì)片段： 1.創(chuàng)設(shè)情境

著名物理學(xué)家、諾貝爾獎(jiǎng)獲得者費(fèi)恩曼曾講過(guò)這樣一則笑話(huà)。一位女士由于駕車(chē)超速而被警察攔住。警察走過(guò)來(lái)對(duì)她說(shuō)：“太太，您剛才的車(chē)速是60英里每小時(shí)！”這位女士反駁說(shuō)：“不可能的！我才開(kāi)了7分鐘，還不到一個(gè)小時(shí)，怎么可能走了60英里呢？”太太，我的意思是：“如果您繼續(xù)像剛才那樣開(kāi)車(chē)，在下一個(gè)小時(shí)里您將駛過(guò)60英里。”“這也是不可能的。我只要再行駛10英里就到家了，根本不需要再開(kāi)過(guò)60英里的路程。”如果你是警察，你會(huì)如何解釋呢？（設(shè)計(jì)意圖：從學(xué)生已有的物理知識(shí)出發(fā)，引入瞬時(shí)速度與瞬時(shí)變化率，建立物理與數(shù)學(xué)的聯(lián)系，通過(guò)舉例讓學(xué)生感受平均變化率和瞬時(shí)變化率的區(qū)別。）2.瞬時(shí)速度和導(dǎo)數(shù)的概念

物理學(xué)中，我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱(chēng)為瞬時(shí)速度，對(duì)這樣的速度我們常用極限的思想方法去求解。通過(guò)不斷探究得到瞬時(shí)速度的數(shù)學(xué)表達(dá)式，也就是位移對(duì)于時(shí)間的瞬時(shí)變化率，從而給出瞬時(shí)變化率即導(dǎo)數(shù)的概念。（探究過(guò)程就是將時(shí)間不斷縮小，從時(shí)間間隔到時(shí)刻、平均速度到瞬時(shí)速度，最后得到瞬時(shí)速度就是瞬時(shí)變化率，這里不再贅述。）

（設(shè)計(jì)意圖：“正如牛頓所做的那樣,理解導(dǎo)數(shù)之本質(zhì)的最好方法是考慮速度。”從速度出發(fā)進(jìn)行探究，將時(shí)間不斷縮小就是從平均速度過(guò)渡到瞬時(shí)速度，從平均變化率過(guò)渡到瞬時(shí)變化率，順?biāo)浦劢o出導(dǎo)數(shù)概念。）參考文獻(xiàn)：

1.王佩.導(dǎo)數(shù)的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用內(nèi)涵理解與教學(xué)策略[J].科技世界，2014(17):147-148.2.中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：人民教育出版社，2003.3.蘇教版高中數(shù)學(xué)教材編寫(xiě)組.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)[Z].江蘇：江蘇教育出版社，2012.4.人民教育出版社中數(shù)學(xué)室.全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)[Z].北京：人民教育出版社，2003.5.宋寶和，郭兆明，房元霞.變化率思想：高中開(kāi)設(shè)微積分課程的價(jià)值[J].課程?教材?教法，2006(9):44-47.6.王洪巖.高中生導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)的研究[D].河北師范大學(xué)，2012.7.宗慧敏,王月華.導(dǎo)數(shù)概念教學(xué)體會(huì)[J].科技信息（職教論壇），2009（11）：222，236.8.王忠.微積分學(xué)教學(xué)中的極限思想[J].內(nèi)蒙古科技與經(jīng)濟(jì)，2001（2）：107—109.聯(lián)系電話(huà)：*** Email：sx9106240@126.com 作者簡(jiǎn)介:孫旋（1990.06—），女，碩士，南京師范大學(xué)，研究方向?yàn)閷W(xué)科教學(xué)(數(shù)學(xué)）

第二篇：導(dǎo)數(shù)的概念教案

【教學(xué)課題】：§2.1 導(dǎo)數(shù)的概念（第一課時(shí)）

【教學(xué)目的】：能使學(xué)生深刻理解在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的概念，能準(zhǔn)確表達(dá)其定義；明確其實(shí)際背景并給出物理、幾何解釋?zhuān)荒軌驈亩x出發(fā)求某些函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；明確一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

【教學(xué)重點(diǎn)】：在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的定義。【教學(xué)難點(diǎn)】：在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾種等價(jià)定義及其應(yīng)用。【教學(xué)方法】：系統(tǒng)講授，問(wèn)題教學(xué)，多媒體的利用等。【教學(xué)過(guò)程】：

一）導(dǎo)數(shù)的思想的歷史回顧

導(dǎo)數(shù)的概念和其它的數(shù)學(xué)概念一樣是源于人類(lèi)的實(shí)踐。導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Fermat）為研究極值問(wèn)題而引入的，但導(dǎo)數(shù)作為微積分的最主要的概念，卻是英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓（Newton）和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲（Leibniz）在研究力學(xué)與幾何學(xué)的過(guò)程中建立起來(lái)的。

二）兩個(gè)來(lái)自物理學(xué)與幾何學(xué)的問(wèn)題的解決

問(wèn)題1（以變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度的問(wèn)題的解決為背景）已知：自由落體運(yùn)動(dòng)方程為：s(t)?12gt，t?[0,T]，求：落體在t0時(shí)刻（t0?[0,T]）的瞬時(shí)速度。2t0t

問(wèn)題解決：設(shè)t為t0的鄰近時(shí)刻，則落體在時(shí)間段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度為

v?若t?t0時(shí)平均速度的極限存在，則極限

s(t)?s(t0)

t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)

t?t0為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度。

問(wèn)題2（以曲線(xiàn)在某一點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率的問(wèn)題的解決為背景）已知：曲線(xiàn)y?f(x)上點(diǎn)M(x0,y0)，求：M點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率。

下面給出切線(xiàn)的一般定義；設(shè)曲線(xiàn)C及曲線(xiàn)C上的一點(diǎn)M，如圖，在M外C上另外取一點(diǎn)N，作割線(xiàn)MN，當(dāng)N沿著C趨近點(diǎn)M時(shí)，如果割線(xiàn)MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨于極 限位置MT，直線(xiàn)MT就稱(chēng)為曲線(xiàn)C在點(diǎn)M處的切線(xiàn)。

問(wèn)題解決：取在C上M附近一點(diǎn)N(x,y)，于是割線(xiàn)PQ的斜率為

tan??y?y0f(x)?f(x0)（?為割線(xiàn)MN的傾角）?x?x0x?x0當(dāng)x?x0時(shí)，若上式極限存在，則極限

k?tan??f(x)?fx(0)（?為割線(xiàn)MT的傾角）limx?x0x?x0為點(diǎn)M處的切線(xiàn)的斜率。

上述兩問(wèn)題中，第一個(gè)是物理學(xué)的問(wèn)題，后一個(gè)是幾何學(xué)問(wèn)題，分屬不同的學(xué)科，但問(wèn) 題的解決都?xì)w結(jié)到求形如

limx?x0f(x)?f(x0）

（1）

x?x0的極限問(wèn)題。事實(shí)上，在學(xué)習(xí)物理學(xué)時(shí)會(huì)發(fā)現(xiàn)，在計(jì)算諸如物質(zhì)比熱、電流強(qiáng)度、線(xiàn)密度等問(wèn)題中，盡管其背景各不相同，但最終都化歸為討論形如（1）的極限問(wèn)題。也正是這類(lèi)問(wèn)題的研究，促使“導(dǎo)數(shù)”的概念的誕生。

三）導(dǎo)數(shù)的定義

定義

設(shè)函數(shù)y?f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，若極限

x?x0limf(x)?f(x0）

x?x0存在，則稱(chēng)函數(shù)f在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱(chēng)該極限為f在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x0)。即

f'(x0)?limx?x0f(x)?f(x0）

（2）

x?x0也可記作y?x?x，odydx，x?xodf(x)。若上述極限不存在，則稱(chēng)f在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。

dxx?xof在x0處可導(dǎo)的等價(jià)定義：

設(shè)x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0)，若x?x0則等價(jià)于?x?0，如果 函數(shù)f在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，可等價(jià)表達(dá)成為以下幾種形式： f'(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0）

（3）

?f'(x0)?lim?x?0?xx?x0?f'(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0）

（4）

?x?f'(x0)?lim四）

f(x0?)?f(x0）?0

（5）

利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù)的幾個(gè)例子

例1 求f(x)?x2在點(diǎn)x?1處的導(dǎo)數(shù)，并求曲線(xiàn)在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)方程。解 由定義

?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f(1)?lim?lim?lim

?x?0?x?x?0?x?0?x?x'2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x于是曲線(xiàn)在(1,1)處的切線(xiàn)斜率為2，所以切線(xiàn)方程為y?1?2(x?1)，即y?2x?1。

例2 設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，f?(0)存在，證明：f?(0)?0。

(x)

?f(?x)?f(??x)證

?f(x)?f? 又f(0)?lim

?lim?x?0'?x?0f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)

?x?0?x??x?f?(0)?0

注意：f'(x0)?limf(x0?)?f(x0）這種形式的靈活應(yīng)用。此題的?0為??x。

1?xsin,x?0?x例3 討論函數(shù)f(x)?? 在x?0處的連續(xù)性，可導(dǎo)性。?0,x?0?解

首先討論f(x)在x?0處的連續(xù)性：limf(x)?limxsinx?0x?01?0?f(0)x即f(x)在x?0處連續(xù)。

再討論f(x)在x?0處的可導(dǎo)性：

?x?0limf(0??x)?f(0)?lim?x?0?x

?xsin1?01?x

此極限不存在 ?limsin?x?0?x?x即f(x)在x?0處不可導(dǎo)。

問(wèn)

怎樣將此題的f(x)在x?0的表達(dá)式稍作修改，變?yōu)閒(x)在x?0處可導(dǎo)？

1?n?1xsinx,?0?x答 f(x)?? n?1,2,3?，即可。

?0,x?0?四）可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

由上題可知；在一點(diǎn)處連續(xù)不一定可導(dǎo)。反之，若設(shè)f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)，則

?y?f'(x0)

?x?0?xlim由極限與無(wú)窮小的關(guān)系得：

?y?f'(x0)?x?o(?x)，所以當(dāng)?x?0，有?y?0。即f在點(diǎn)x0連續(xù)。

故在一點(diǎn)處連續(xù)與可導(dǎo)的關(guān)系是：連續(xù)不一定可導(dǎo)，可導(dǎo)一定連續(xù)。

五）單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念

例4 證明函數(shù)f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)。證明 ?lim?x?0f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1，x?0?xx?0?x?0?xx?0x?0?limx?0f(x)?f(0)極限不存在。

x?0故f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)。

在函數(shù)分段點(diǎn)處或區(qū)間端點(diǎn)等處，不得不考慮單側(cè)導(dǎo)數(shù)：

定義

設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某右鄰域(x0,x0??)上有定義，若右極限

?x?0lim?f(x0??x)?f(x0）?y?lim?（0??x??）?x?0?x?x存在，則稱(chēng)該極限為f在點(diǎn)x0的右導(dǎo)數(shù)，記作f?'(x0)。

?左導(dǎo)數(shù)

f?'(x0)?yli?m。?x?0?x左、右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。

導(dǎo)數(shù)與左、右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：若函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，則f'(x0)存在?f?'(x0)，f?'(x0)都存在，且f?'(x0)=f?'(x0)。例5 設(shè)f(x)??解 由于 ?1?cosx, x?0，討論f(x)在x?0處的可導(dǎo)性。

x?0?x , f?'(0)?lim??x?0f(x0??x)?f(x0)1?cos?x?lim??0 ?x?0?x?xf(x0??x)?f(x0)?x?lim??1 ?x?0?x?xf?'(0)?lim??x?0從而f?'(0)?f?'(0)，故f(x)在x?0處不可導(dǎo)。

六）小結(jié): 本課時(shí)的主要內(nèi)容要求：

① 深刻理解在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的概念，能準(zhǔn)確表達(dá)其定義；

② 注意f'(x0)?limf(x0?)?f(x0）這種形式的靈活應(yīng)用。

?0③ 明確其實(shí)際背景并給出物理、幾何解釋?zhuān)?④ 能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)；

⑤ 明確導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù)、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。

第三篇：導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)

《導(dǎo)數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)

1.教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與技能目標(biāo)：掌握導(dǎo)數(shù)的概念，并能夠利用導(dǎo)數(shù)的定義計(jì)算導(dǎo)數(shù).（2）過(guò)程與方法目標(biāo)：通過(guò)引入導(dǎo)數(shù)的概念這一過(guò)程，讓學(xué)生掌握從具體到抽象，特殊到一般的思維方法；領(lǐng)悟極限思想；提高類(lèi)比歸納、抽象概括的思維能力．

（3）情感、態(tài)度與價(jià)值觀目標(biāo)：

通過(guò)合作與交流，讓學(xué)生感受探索的樂(lè)趣與成功的喜悅，體會(huì)數(shù)學(xué)的理性與嚴(yán)謹(jǐn)，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的熱愛(ài)，養(yǎng)成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度．

2.教學(xué)重、難點(diǎn)

重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的定義和利用定義如何計(jì)算導(dǎo)數(shù)． 難點(diǎn)：對(duì)導(dǎo)數(shù)概念的理解．

3.教學(xué)方法

1.教法：引導(dǎo)式教學(xué)法

在提出問(wèn)題的背景下，給學(xué)生創(chuàng)設(shè)自主探究、合作交流的空間，指導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比探究形成導(dǎo)數(shù)概念的形成．

2.教學(xué)手段：多媒體輔助教學(xué)

4.教學(xué)過(guò)程

（一）情境引入

導(dǎo)數(shù)的概念和其它的數(shù)學(xué)概念一樣是源于人類(lèi)的實(shí)踐。導(dǎo)數(shù)的思想最初是由法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬（Fermat）為研究極值問(wèn)題而引入的，但導(dǎo)數(shù)作為微積分的最主要的概念，卻是英國(guó)數(shù)學(xué)家牛頓（Newton）和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲（Leibniz）在研究力學(xué)與幾何學(xué)的過(guò)程中建立起來(lái)的。

17世紀(jì)數(shù)學(xué)家遇到的三類(lèi)問(wèn)題：

一是光的反射問(wèn)題。光的反射和折射在17世紀(jì)是一個(gè)十分盛行的研究課題，早在公元1世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家海倫（Heron）就已經(jīng)證明了光的反射定律：光射向平面時(shí)，入射角等于反射角。海倫還將該定律推廣到圓弧的情形，此時(shí)，入射光與反射光與圓弧的切線(xiàn)所成角相等。那么，對(duì)于其他曲線(xiàn)，光又如何反射呢？這就需要確定曲線(xiàn)的切線(xiàn)。

CBCBAA

圖 1 光在平面上的反射 圖 2 光在球面上的反射

二是曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度問(wèn)題。對(duì)于直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)，速度方向與位移方向相同或相反，但如何確定曲線(xiàn)運(yùn)動(dòng)的速度方向呢？這就需要確定曲線(xiàn)的切線(xiàn)。

三是曲線(xiàn)的交角問(wèn)題。曲線(xiàn)的交角是一個(gè)古老的難題。自古希臘以來(lái)，人們對(duì)圓弧和直線(xiàn)構(gòu)成的角——牛頭角（圖3中AB弧與AC構(gòu)成的角）和弓形角（圖4中AB與ACB弧所構(gòu)成的角）即有過(guò)很多爭(zhēng)議。17世紀(jì)數(shù)學(xué)家遇到的更一般的問(wèn)題是：如何求兩條相交曲線(xiàn)

所構(gòu)成的角呢？這就需要確定曲線(xiàn)在交點(diǎn)處的切線(xiàn)。(二)探索新知

問(wèn)題1 已知：勻加速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)方程為：s(t)?v0t?刻（t0?[0,T]）的瞬時(shí)速度。

問(wèn)題解決：設(shè)t為t0的鄰近時(shí)刻，則落體在時(shí)間段[t0,t]（或[t,t0]）上的平均速度為

12at，t?[0,T]，求：物體在t0時(shí)2v?若t?t0時(shí)平均速度的極限存在，則極限

s(t)?s(t0)

t?t0v?limt?t0s(t)?s(t0)

t?t0為質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度。

問(wèn)題2已知：曲線(xiàn)y?f(x)上點(diǎn)M(x0,y0)，求：M點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率。

下面給出切線(xiàn)的一般定義；設(shè)曲線(xiàn)C及曲線(xiàn)C上的一點(diǎn)M，如圖，在M外C上另外取一點(diǎn)N，作割線(xiàn)MN，當(dāng)N沿著C趨近點(diǎn)M時(shí)，如果割線(xiàn)MN繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT，直線(xiàn)MT就稱(chēng)為曲線(xiàn)C在點(diǎn)M處的切線(xiàn)。

問(wèn)題解決：取在C上M附近一點(diǎn)N(x,y)，于是割線(xiàn)PQ的斜率為

tan??y?y0f(x)?f(x0)（?為割線(xiàn)MN的傾角）?x?x0x?x0當(dāng)x?x0時(shí)，若上式極限存在，則極限

k?tan??為點(diǎn)M處的切線(xiàn)的斜率。

導(dǎo)數(shù)的定義

定義

設(shè)函數(shù)y?f(x)在x0的某鄰域內(nèi)有定義，若極限limx?x0f(x)?fx(0)（?為割線(xiàn)MT的傾角）limx?x0x?x0f(x)?f(x0）存在，則稱(chēng)函數(shù)

x?x0

f在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并稱(chēng)該極限為f在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f'(x0)。

即 f'(x0)?（2）

也可記作y?x?x，of(x)?fx(0）

limx?x0x?x0dydx，x?xodf(x)。若上述極限不存在，則稱(chēng)f在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)。

dxx?xof在x0處可導(dǎo)的等價(jià)定義：

設(shè)x?x0??x,?y?f(x0??x)?f(x0)，若x?x0則等價(jià)于?x?0，如果 函數(shù)f在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，可等價(jià)表達(dá)成為以下幾種形式：

f'(x0)?limx?x0?yf(x)?f(x0）

?f'(x0)?lim?x?0?xx?x0?f'(x0)?lim?x?0f(x0??x)?f(x0）

?x單側(cè)導(dǎo)數(shù)的概念

在函數(shù)分段點(diǎn)處或區(qū)間端點(diǎn)等處，不得不考慮單側(cè)導(dǎo)數(shù)：

定義

設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某右鄰域(x0,x0??)上有定義，若右極限

?x?0lim?f(x0??x)?f(x0）?y?lim?（0??x??）?x?x?0?x存在，則稱(chēng)該極限為f在點(diǎn)x0的右導(dǎo)數(shù)，記作f?'(x0)。

?左導(dǎo)數(shù)

f?'(x0)?yli?m。?x?0?x左、右導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。

導(dǎo)數(shù)與左、右導(dǎo)數(shù)的關(guān)系：若函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某鄰域內(nèi)有定義，則f'(x0)存在?f?'(x0)，f?'(x0)都存在，且f?'(x0)=f?'(x0)。

（三）知識(shí)鞏固

2例題1 求f(x)?x在點(diǎn)x?1處的導(dǎo)數(shù)，并求曲線(xiàn)在點(diǎn)(1,1)處的切線(xiàn)方程。

解：由定義可得：

?yf(1??x)?f(1)(1??x)2?1f'(1)?lim?lim?lim

?x?0?x?x?0?x?0?x?x2?x??x2?lim?lim(2??x)?2 ?x?0?x?0?x附注：在解決切線(xiàn)問(wèn)題時(shí)，要熟悉導(dǎo)數(shù)的定義，并能通過(guò)導(dǎo)數(shù)的幾何意義來(lái)解決一般問(wèn)題

例題2設(shè)函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，f?(0)存在，證明：f?(0)?0。

證

'f(x)?f(?x)?f(?x)?f(??x)

f(0??x)?f(0)f(?x)?f(0)?lim ?x?0?x?xf(??x)?f(0)f[0?(??x)]?f(0)??lim??f?(0)

?x?0?x??x 又f(0)?lim ?x?0 ?lim?x?0?f?(0)?0

附注：需要注意公式f'(x0)?limx?x0f(x)?f(x0)的靈活運(yùn)用，它可以變化成其他的形式。

x?x0例3 證明函數(shù)f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)。

證明

x?0lim?f(x)?f(0)xf(x)?f(0)?x?lim?1lim?lim??1，???x?0x?0x?0x?0xx?0x?limx?0f(x)?f(0)極限不存在。

x?0故f(x)?|x|在x?0處不可導(dǎo)。

附注：判斷一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)處是否可導(dǎo)，只需要考慮該點(diǎn)處的左右導(dǎo)數(shù)是否相等即可。

（四）應(yīng)用提高 求曲線(xiàn)y?x在點(diǎn)（－1，－1）處的切線(xiàn)方程為(A)x?2A.y=2x＋1 B.y=2x－1 C.y=－2x－3 D.y=－2x－2

（五）小結(jié)

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)的基本概念，在經(jīng)歷探究導(dǎo)數(shù)概念的過(guò)程中，讓學(xué)生感受導(dǎo)數(shù)的形成，并對(duì)導(dǎo)數(shù)的幾何意義有較深刻的認(rèn)識(shí)。

本節(jié)課中所用數(shù)學(xué)思想方法：逼近、類(lèi)比、特殊到一般。

（六）作業(yè)布置

1．已知f'(1)?2012，計(jì)算：

f(1??x)?f(1)f(1??x)?f(1)(2)lim

?x?0?x?0?x??xf(1)?f(1??x)f(1?2?x)?f(1)(3)lim(4)lim

?x?0?x?04?x?x(1)lim2.計(jì)算函數(shù)f(x)??2x?3在點(diǎn)（1，1）處切線(xiàn)的方程。2

第四篇：教育評(píng)價(jià)引入云概念

教育評(píng)價(jià)引入“云”概念

只要使用相應(yīng)的數(shù)據(jù)庫(kù)，就能對(duì)學(xué)生語(yǔ)文素養(yǎng)、英語(yǔ)運(yùn)用能力、音樂(lè)表現(xiàn)能力進(jìn)行自動(dòng)化測(cè)評(píng)。“云”概念的出現(xiàn)，會(huì)為我國(guó)的教育評(píng)價(jià)方式帶來(lái)怎樣的變革？今日，北京師范大學(xué)中國(guó)基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)協(xié)同創(chuàng)新中心在京舉行發(fā)布會(huì)，介紹我國(guó)首個(gè)“教育評(píng)價(jià)云”與“教育評(píng)價(jià)云應(yīng)用平臺(tái)”。

“教育評(píng)價(jià)云”是協(xié)同創(chuàng)新中心重點(diǎn)研發(fā)的項(xiàng)目之一，是首個(gè)將云計(jì)算、云儲(chǔ)存、云集成、云應(yīng)用服務(wù)等技術(shù)應(yīng)用于基礎(chǔ)教育質(zhì)量評(píng)價(jià)體系當(dāng)中，能夠進(jìn)行全方位、多地域、立體式、智能化運(yùn)維管控的“教育評(píng)價(jià)云”。據(jù)介紹，初步建成的教育評(píng)價(jià)云平臺(tái)，具有數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)。學(xué)校的教育設(shè)備連通網(wǎng)絡(luò)，將平臺(tái)接入之后，數(shù)據(jù)就能實(shí)時(shí)上傳，可以有針對(duì)性地開(kāi)展大規(guī)模語(yǔ)言能力的測(cè)試。該系統(tǒng)包括語(yǔ)文素養(yǎng)測(cè)試系統(tǒng)、英語(yǔ)綜合運(yùn)用能力系統(tǒng)、音樂(lè)表現(xiàn)能力測(cè)試系統(tǒng)、學(xué)生日常學(xué)習(xí)生活健康狀況數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)。還可以通過(guò)實(shí)時(shí)分析系統(tǒng)，進(jìn)行智能判斷，對(duì)課堂上學(xué)生是否活躍、學(xué)生發(fā)言的比例、老師講課時(shí)間等內(nèi)容進(jìn)行分析，有效反映學(xué)生日常學(xué)習(xí)與生活關(guān)鍵的靜態(tài)及動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)，為改進(jìn)日常教育教學(xué)過(guò)程提供新的抓手。

據(jù)悉，協(xié)同創(chuàng)新中心搭建的“教育評(píng)價(jià)云應(yīng)用平臺(tái)”，將對(duì)基礎(chǔ)教育質(zhì)量診斷與改進(jìn)、檢測(cè)與問(wèn)責(zé)全面支持，也將大大推動(dòng)中國(guó)基礎(chǔ)教育質(zhì)量監(jiān)測(cè)協(xié)同創(chuàng)新中心作為獨(dú)立、專(zhuān)業(yè)、權(quán)威的第三方教育評(píng)價(jià)機(jī)構(gòu)的發(fā)展進(jìn)程。

（趙婀娜、章正）

第五篇：13252ja_1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念教案

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§1.1.2導(dǎo)數(shù)的概念

教學(xué)目標(biāo)

1．了解瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念；

2．理解導(dǎo)數(shù)的概念，知道瞬時(shí)變化率就是導(dǎo)數(shù)，體會(huì)導(dǎo)數(shù)的思想及其內(nèi)涵； 3．會(huì)求函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)

教學(xué)重點(diǎn)：瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念、導(dǎo)數(shù)的概念； 教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的概念． 教學(xué)過(guò)程： 一．創(chuàng)設(shè)情景

（一）平均變化率

（二）探究：計(jì)算運(yùn)動(dòng)員在0?t?6549這段時(shí)間里的平均速度，并思考以下問(wèn)題：

⑴運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間內(nèi)使靜止的嗎？

⑵你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問(wèn)題嗎？

探究過(guò)程：如圖是函數(shù)h(t)=-4.9t2+6.5t+10的圖像，結(jié)合圖形可知，h(h(65)?h(0)?0(s/m)，?065496549)?h(0)，h 所以v?496549雖然運(yùn)動(dòng)員在0?t?這段時(shí)間里的平均速度為0(s/m)，但實(shí)際情況是運(yùn)動(dòng)員仍然運(yùn)動(dòng)，并非靜止，可以說(shuō)明用平均速度不能精確描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)． 二．新課講授 1．瞬時(shí)速度

我們把物體在某一時(shí)刻的速度稱(chēng)為瞬時(shí)速度。運(yùn)動(dòng)員的平均速度不能反映他在某一時(shí)刻的瞬時(shí)速度，那么，如何求運(yùn)動(dòng)員的瞬時(shí)速度呢？比如，t?2時(shí)的瞬時(shí)速度是多少？

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考察t?2附近的情況：

思考：當(dāng)?t趨近于0時(shí)，平均速度v有什么樣的變化趨勢(shì)？

結(jié)論：當(dāng)?t趨近于0時(shí)，即無(wú)論t從小于2的一邊，還是從大于2的一邊趨近于2時(shí)，平均速度v都趨近于一個(gè)確定的值?13.1．

從物理的角度看，時(shí)間?t間隔無(wú)限變小時(shí)，平均速度v就無(wú)限趨近于史的瞬時(shí)速度，因此，運(yùn)動(dòng)員在t?2時(shí)的瞬時(shí)速度是?13.1m/s 為了表述方便，我們用limh(2??t)?h(2)?t?t?0??13.1

表示“當(dāng)t?2，?t趨近于0時(shí)，平均速度v趨近于定值?13.1”

小結(jié)：局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過(guò)取極限，從瞬時(shí)速度的近似值過(guò)渡到瞬時(shí)速度的精確值。2 導(dǎo)數(shù)的概念

從函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率是: ?x?0limf(x0??x)?f(x0)?x?lim?f?x

'?x?0'我們稱(chēng)它為函數(shù)y?f(x)在x?x0出的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)或y|x?x，即

0 f?(x0)?limf(x0??x)?f(x0)?x

?x?0說(shuō)明：（1）導(dǎo)數(shù)即為函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時(shí)變化率

（2）?x?x?x0，當(dāng)?x?0時(shí)，x?x0，所以f?(x0)?lim三．典例分析

例1．（1）求函數(shù)y=3x2在x=1處的導(dǎo)數(shù).分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)再求?f?x?6??x再求lim?f?x?6

f(x)?f(x0)x?x0

?x?0?x?0解：法一（略）

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上教考資源網(wǎng) 助您教考無(wú)憂(yōu) 法二：y?|x?1?lim3x?3?1x?122x?1?lim3(x?1)x?1x?1?lim3(x?1)?6

x?12（2）求函數(shù)f(x)=?x?x在x??1附近的平均變化率，并求出在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)．

解：?y?x??(?1??x)?(?1??x)?2?x?y?x22?3??x

f?(?1)?lim?x?0??(?1??x)?(?1??x)?2?x?lim(3??x)?3

?x?0例2．（課本例1）將原油精煉為汽油、柴油、塑膠等各種不同產(chǎn)品，需要對(duì)原油進(jìn)行冷卻和加熱，如果第xh時(shí)，原油的溫度（單位：?C）為f(x)?x2?7x?15(0?x?8)和第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說(shuō)明它們的意義．

解：在第2h時(shí)和第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率就是f'(2)和f'(6)根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，2，計(jì)算第2h時(shí)?f?x?f(2??x)?f(x0)?x2

?(2??x)?7(2??x)?15?(2?7?2?15)?x?f?lim(?x?3)??3

?x?0??x?3

所以f?(2)?lim?x同理可得:f?(6)?5 ?x?0在第2h時(shí)和第6h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率分別為?3和5，說(shuō)明在2h附近，原油溫度大約以3C/h的速率下降，在第6h附近，原油溫度大約以5C/h的速率上升．

'注：一般地，f(x0)反映了原油溫度在時(shí)刻x0附近的變化情況． ??四．課堂練習(xí)

21．質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s?t?3，求質(zhì)點(diǎn)在t?3的瞬時(shí)速度為．

2．求曲線(xiàn)y=f(x)=x3在x?1時(shí)的導(dǎo)數(shù)．

3．例2中，計(jì)算第3h時(shí)和第5h時(shí)，原油溫度的瞬時(shí)變化率，并說(shuō)明它們的意義． 五．回顧總結(jié)

1．瞬時(shí)速度、瞬時(shí)變化率的概念

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2．導(dǎo)數(shù)的概念

六．布置作業(yè)

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