第一篇：映射與函數的概念大全

教案一

課題：3.1映射與函數：

一、映射與函數的概念.教學目標：1.了解映射的概念.如果給出兩個集合的對應關系，能判斷它是不是映射關系.2.理解以映射為基礎的函數概念，加深對初中函數概念的理解和溝通.理解和掌握函數符號的意義和簡單應用.3.培養學生的觀察能力、識圖能力、邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力、運算能力.4.學會分析綜合、歸納演繹，用數形結合的思想分析問題和解決問題.滲透符號化思想和聯系的觀點.教學重點：函數的概念.教學難點：對函數概念的理解.教學方法：講授法.教學手段：三角板、小黑板、投影儀、膠片.課時安排：1課時.課堂類型：新授課.教學過程： 課件

一、復習導入

1.復習提問：初中所學的函數的概念是什么？(學生口答這一問題.)

2.導入新課：初中所學函數的概念可看成是數集到數集的一種對應，有一定的局限性.其實，在現實生活和科學研究中有很多非數集之間的對應.這節課我們將繼續研究函數的概念，今天我們學習第三章3.1節映射與函數.(教師口述這些導入語，并板書課題，導入新課.)

二、講授新課

1.實例分析

例1：(出示小黑板)設表示東方職業高級中學全體同學構成的集合，則對中任一元素(某個學生)，通過測量身高，在實數集中必有唯一一個實數和對應.解：(教師口述)因為中的每個同學都有自己確定的身高，身高是一個確定的正實

中任一元素對應唯一一個正數，同一個同學在同一次測量中只可能有一個身高，所以對實數.這是典型的人與數的對應.(啟發學生思考、回答，教師板書.)

例2：(出示小黑板)對任一對有序實數對(，)，在直角坐標系中對應唯一一點(，).解：(教師口述畫圖說明)任一有序實數對(，第3.1節例2.如圖，任一對有序實數對(，點(，).如取＝1，)與點(，)對應 ,演示課件：)，作為點的坐標，在坐標系中對應唯一一

(1，1).＝1，有序實數時(1，1)，對應坐標系中唯一一點這是典型的有序實數對與點的對應.(啟發學生思考、回答，教師板書.)

例3：(出示小黑板)△△上有唯一對稱點

與△關于軸對稱.對△邊上任一點，在與之對應.解：如圖，對△→，→，→

邊上任一點，在△，→

上都有唯一對稱點與之對應.如

.這是典型的點與點的對應.(啟發學生思考、回答，教師板書.)

2.映射的定義(重點，紅字突出，通過對上述三個實例的分析，歸納出映射的定義，并板書.)

設、是兩個非空集合，如果按照某種對應法則

和對應，則稱

＝

是集合，對到

內任一個元素，在是在映射中總有一個，且僅有一個元素的作用下的象，記作的映射；稱，于是，稱作的原象，映射可記為：

：→，→，其中定等于.)叫做的定義域，由所有象所構成的集合叫做的值域.(強調值域不一

3.函數的概念(重點，紅筆突出.板書，在映射的基礎上定義函數的概念，明確定義域、值域.的意義，強調允許函數的多種說法并存.)

映射概念是初中函數概念的推廣，通常就把映射叫做函數.函數的定義域是使函數有意義的實數全體構成的集合，函數的值域是所有函數值的集合.的函數值.關于的函數

4.例題分析

經常寫作函數

＝

或函數

． 的意義是函數

在 例4：(出示投影.重點例題.)在圖3-3中，圖(1)、(2)、(3)、用箭頭所標明的元素與中元素的對應法則，是不是映射？

中

解：(啟發學生思考、分析、老師總結、分析、板書.)在圖(1)中，通過開平方運算，在中的一個元素，中有兩個元素與之對應.這種對應法則不符合上述映射的定義，所以這種對應關系不是映射；

在圖(2)中，中任一個元素，通過加倍運算，在中有且只有一個元素與之對應，所以這種對應法則是映射；

圖(3)中的平方運算法則同樣是映射.因為中每一個數通過平方運算，在中都有唯一的一個數與之對應.圖(3)與(2)不同的是，(啟發學生分析比較，找出不同點.)在圖(3)的中每兩個元素同時對應

中的一個元素，而在中，10和16在中沒有原象.結論：(投影，啟發學生歸納出映射的實質)到的映射只允許多個元素對應一個

相等，一般是的一個子集.元素，而不允許一個元素對應多個元素.映射的值域不一定和

例5：(投影)有、、三名射手參加射擊比賽，他們在一輪射擊中(每人5發子彈)，射得的總環數分別為32，48，40.試問三名射手所構成的集合與每人射擊可能得的總環數構成的集合之間的對應關系是不是映射？如果是映射，試寫出映射的定義域和值域.解：(啟發學生思考、分析講解，老師分析、總結，投影.)設三名射手所構成的集合為，則＝{，}，每人5次射擊所得可能總環數構成的集合是

＝{∈

|0≤≤50}.由于三名射手每在一輪射擊中，有且只有一個總環數與之對應，所以A到B的對應法則是映射.定義域：；值域：{32，48，40}.三、課堂練習

1.(重點練習題.投影，啟發學生思考、分析、口答，老師定正.)在下列各題中，哪些對應法則是映射？哪些不是？如果是映射，哪些映射的值域與的真子集？

相等，哪些映射的值域是

(1)＝{0，1，2，3}，＝{1，2，3，4}，對應法則：“加1”；

(2)＝，＝，對應法則：“求平方根”；

(3)＝，＝，對應法則：“3倍”；

(4)＝，＝，對應法則：“求絕對值”；

(5)＝，＝，對應法則：“求倒數”.2.(重點練習題.投影，啟發學生思考、練習、出示解題過程.)已知函數∈{0，1，2，3，5}，求

(0)，(2)，(5)及的值域.＝2-3，解：(老師強調值域的求法.)(0)＝-3，(2)＝1，(5)＝7.又(1)＝-1，(3)＝3，∴的值域為{-3，-1，1，3，7}.3.(投影，啟發學生分析、討論、舉例說明，老師定正.)已知集合是映射，試問中的元素在中是否都有象？

中的元素是否在到集合的對應

中都有原象？為什么？

四、課堂小結(老師口述投影)

這節課我們主要學習了映射與函數的概念及簡單應用，要求同學們加深對映射與函數概念的理解，掌握函數的意義.五、布置作業(投影說明)

1.復習本節課文，并整理筆記.2.書面作業：第85頁習題3-1第1，2題

數學思想方法

函數思想，數形結合思想．待定系數法．

1.函數的思想

本章的中心議題是函數.初中用自變量和因變量之間的單值對應的定義初步探討了函數的概念、函數關系的表示方法.本章則用集合、映射的思想對函數進行再認識，研究了函數關系的建立、函數的表示方法和函數的幾個重要性質.在教學中要充分重視映射（函數）思想方法的培養，在練習和作業中，訓練學生用函數的思想觀察、分析有關問題.2.數形結合的思想

本章在分析函數性質時，既觀察函數圖象，又重視對函數解析式的代數分析，充分體現了數形結合的思想.在教學中，不能單打一的讓學生只通過觀察圖象來總結函數性質，也不能不看圖只對解析式進行代數分析就得出函數性質.前者只會使學生仍停留在初中的具體直觀思維階段，而后者則容易脫離學生原有認識水平，造成學習困難.正確的做法是數形結合，使學生順利進行由具體直觀思維到抽象思維、理論思維的發展.3.待定系數法

本章專設一節待定系數法，應該很好的利用這個優勢，對學生進行待定系數法的教學.4.配方法

在研究二次函數時，配方法是重要方法.在今后也有大量應用

第二篇：1.5分段函數與映射教案

1.5分段函數與映射教案

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一、知識與技能：

通過實例，讓學生總結、體會分段函數的概念并了解分段函數在解決實際問題中的作用，培養學生數學來源于實際又服務于實踐的意識或觀念，增強學生運用所學知識解決實際問題的能力。經歷映射概念的提出過程，體會由特殊到一般的思維方法，掌握映射的概念，會判斷一個對應關系是否是映射。

體會用映射刻畫函數的方法，理解函數是一種特殊的映射。

二、過程與方法：

自主學習，了解作圖的基本要求。

探究與活動，明白作圖是由點到線，由局部到全體的運動變化過程。會判斷一個對應是不是映射。

重視基礎知識的教學、基礎技能的訓練和能力的培養；啟發學生能夠發現問題和提出問題，善于獨立思考，學會分析問題和創造性地解決問題；通過教師指導發現知識結論，培養學生的抽象概括能力和邏輯思維能力。

三、情感態度與價值觀：

培養辯證地看待事物的觀念和數形結合的思想。

使學生認識到事物間是有聯系的，對應、映射是一種聯系方式。

激發學生學習數學的興趣和積極性，陶冶學生的情操，培養學生堅韌不拔的意志，實事求是的科學學習態度和勇于創新的精神。? ? ?

四、重點：分段函數及其表示，映射概念的理解。

五、難點：分段函數解析式的建立及圖象的描繪，用映射來定義函數。

六、分段函數的定義：對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應法則，這樣的函數通常叫做分段函數。

注意：

? 分段函數是一個函數而不是幾個函數，處理分段函數問題時，首先要確定自變量的數值屬于哪個區間段，從而選取相應的對應法則。

? 定義域是各段函數定義域的并集，值域是分段函數值域的并集。? 求分段函數值時，應根據函數自變量的值選擇相應的解析式求解。

? 作分段函數的圖象時，應分別分段作出其圖象，在作每一段圖象時，先不管定義域的限制，用虛線作出其圖象，再用實線保留定義域內的一段圖象即可。

七、例6：思考：

? 自變量的范圍是怎樣得到的？

? 自變量的范圍為什么分成了四個區間？區間端點是怎樣確定的？ ? 每段上的函數解析式是怎樣求出的？ ? 畫圖象要注意什么？

八、函數是“兩個非空數集間的一種確定的對應關系。”如果將數集擴展到任意的集合，會得到什么結論呢？什么是映射？

九、映射的定義：

十、設A,B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x。在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f:A?B為從集合A到集合B的一個映射。

象與原象：

y是x在映射f作用下的象，記作f(x),x稱做y的原象。

其中A叫做映射f的定義域，由所有象f(x)構成的集合叫做映射f的值域，通常記作f(A).十一、映射要注意什么？

? 有三個要素：兩個集合，一個對應關系，三者缺一不可。? A中每個元素在B中都有唯一的元素與它對應。? 對應可以是“一對一，多對一，”但不能是“一對多”。

十二、練習：判斷下列對應關系哪些是從集合A到集合B的映射哪些不是，為什么？

1．A?B?N*,對應關系f:x?y?x?3

x?0 x?0?1,y?0,1?,對應關系f:x?2．A?R,B????0,3．A?B?R,對應關系f:x?y??x x4．A?Z,B?Q,對應關系f:x?y?5．

十三：作業：課本第23頁：第3題。第24頁第8題。

A??0,1,2,9?,B??0,1,4,9,64?對應關系f:a?b??a?1?2

第三篇：《集合與函數概念》復習資料

《集合與函數概念》復習資料

一、知識結構：

知識要點填空：

1．常用的數集及其記法：

非負整數集（自然數集）：

；正整數集：

；整數集：

；有理數集：；

實數集：

2．如果是集合的元素，就說屬于集合，記作

；如果不是集合中的元素，就說不屬于集合，記作

.3．

任何一個集合是它本身的，即

.空集是任何集合的，即

.對于集合如果且那么

.4．

若集合中有個元素，則這個集合的子集有

個，真子集

個，非空子集

個，非空真子集

個。

5．并集：=

A

B

交集：=

A

B

補集：=

U

A

6.函數的定義：設是兩個，如果按照，使對于集合中的元素，在集合中都有

元素與之對應，那么就稱對應為從集合到集合的一個函數。叫做，其取值范圍叫，與相對應的值叫做，所組成的集合叫。

7.函數構成的三要素：。

8.求函數的定義域要注意：分式中，；偶次根式中，；對于，要求

；實際問題實際考慮；由幾部分數學式子組成的函數，求出各部分的定義域再取。

定義域

值域

一次函數

二次函數

反比例函數

9.如果兩個函數的相同，相同，我們就稱這兩個函數相等。

10.所謂“分段函數”，習慣上指在定義域的不同部分，有不同的的函數。分段函數是

個函數，它的定義域是各段定義域的，值域是各段值域的。

11．設是兩個，如果按照某一個確定的對應關系，使對于集合中的任意一個元素，在集合中都有唯一的一個元素與之對應，那么就稱對應為從集合到集合的一個映射。

函數是一種特殊的映射，映射是函數的推廣。

12．用定義證明函數單調性的步驟：取值，任取，且

；作差，并通過因式分解、配方、有理化等方法向有利判斷其符號的方向變形；定號，確定的正負，當符號不確定時要進行分類討論；

下結論，當

時，函數為增函數，當

時，為減函數。

13．利用定義判斷函數奇偶性：考察函數的定義域，若不對稱，則為

；若對稱，則繼續判斷；判斷

或

是否成立，若，則為偶函數；若，則為奇函數；若都不成立，則為。

14．奇函數的函數圖象關于

對稱，偶函數的函數圖象關于

對稱。

第四篇：函數概念論文

學習新教材的心得體會

現代教育的目標就是要教師組織和引導學生主動掌握知識,發展學習能力,即在傳授學生知識的同時又要培養學生能力,即既教書又育人。根據本人的一點教學實踐,就《新課標》的數學課堂教學淺談如下幾點體會:

新課程標準的觀念強調我們教師要變“教教材”為用“教材教”。原來的教材注重知識編寫,其邏輯嚴密、題量大，抽象概括，容易使學生覺得數學枯燥難學大大打擊了學生學習數學的興趣和信心。而在新課標的觀念下所編寫的新教材相對改簡單了, 例題少了 練習也少了, 老師輕松了。不過新課標給了我們新理念, 新的探究.例題少了是減輕了老師的負擔, 課堂教學老師就有了發展與創新的余地;練習少了是減輕了學生的負擔, 課堂上學生就有交流討論的時間;課外又給了學生發展個性,自由探究的天地。這就要求教師的教學從設計到實施,再到反思都必須“以學生為本”,以激發其潛能，促其主動、獨立地學習。

一、要讓學生覺得數學很有用

我曾看見過這樣的一個報道：一個教授問一群外國學生：“12點到1點之間，分針和時針會重合幾次？”那些學生都拿出手表，開始撥表針；而這位教授在給中國學生講到同樣一個問題時，學生們就會用數學公式來計算。由此可見，中國學生的數學知識學的太呆板，不能靈活運用，很少想到在實際生活中學習、掌握數學知識。其實學數學就是為了能在實際生活中應用，數學是人們用來解決實際問題的，比如說，上街買東西自然要用到運算，蓋房子總要畫圖紙。類似這樣的問題數不勝數，這些知識就從生活中產生，最后被人們歸納成數學知識，用以解決了更多的實際問題。

二、教師應創設貼近學生生活的情景，激發學生的學習潛能，充分調動學生學習積極性

新的教材中，許多小標題都是以疑問的方式出現的，如：“數怎么不夠用了？”“能追上小明嗎？”“媽媽為你辦教育儲蓄”等等，非常有趣，很貼近生活，很適合學生的胃口。因此，教師在教學時要認真閱讀教材，理解教材意圖，在情景創設時，目的性要強，要選取有特色，能激發學生學習積極性和求知欲的素材來創設情景，這樣才能達到創設情景的目的。

三、教師成為學生探究性學習的組織者、引導者、合作者

數學既是一種知識形式，又是一種活動，數學教學就是教師引導學生進行數學活動，在師生之間、學生之間通過課堂的交流、合作、探討獲得對數學知識的掌握和運用。例如：我在講解“有理數的乘方”時，將“有理數的乘方”的“讀一讀”中一個有趣的故事“棋盤上的學問”讓學生以講故事的方式呈現出來，這時，教師提出問題：你認為“國王的國庫里有這么多米嗎？”，問題一提出，同學們三三兩兩在討論，有的說“有”、有的說“沒有”，這時教師抓住時機進行引導，給學生指明探討方向，精心為學生設計探討路標，既讓學生有自由想象的空間，又引導學生朝著預定的目標進行探討，而在學生回答問題的過程中教師不斷提醒和糾正，及時發現學生真實的思維過程，有利于學生的思考和理解知識，有利于了解學生掌握知識的程度。在倡導培養創新精神和實踐能力的今天，更要重視對學生問題意識的培養，問起于疑，疑源于思，課堂上教師要為學生質疑創造足夠的空間和時間。每一章節基本上都安排了“想一想”、“議一議”、“做一做”的內容。教師根據教材內容的安排,把學生引進探索、創新的空間,徹底改變在教學中教師包辦代替,講到底的教學方式。

四、教材課后編排了大量的“讀一讀”環節,教師充分利用這一點延伸課堂教學,豐富學生的知識面

“讀一讀”的內容有的只是介紹知識的由來，有的是以提問的形式出現,這不僅開闊了學生的知識面,還能激發學生學習數學的熱情。如在“矩形、正方形”這一節的課后,“讀一讀”的內容是“偵察兵密碼通信游戲”,它是正方形性質應用的游戲,非常有趣,能充分調動學生自學、閱讀的情感和興趣。要是學生弄不明白又想知道其因由,可以利用課間討論交流，教師也可以與學生一起探究,和學生一起在知識的海洋里遨游并發展良好的師生關系。

五、教師應充分利用多媒體輔助教學，提高教學效率

在課堂教學中，教師要根據教學內容恰當地運用多媒體進行輔助教學，為學生提供更為廣闊的自由活動的時間和空間 ,提供更為豐富的數學學習資源。例如對“展開與折疊”、“截一個幾何體”的教學，我利用多媒體開展教學活動，以豐富學生感知認識的途徑，促使他們更加樂意學習數學，理解數學，在數學學習中獲得更多的成功。

以上幾點，是我在近幾年的教學中對新課標教學的一些體會。當然我還要不斷的總結經驗，完善自我，揚長避短，只有這樣，才能取得成功。

楊金諾 2006年

第五篇：《函數的概念》

課題：函數的概念(一)

【三維目標】

1.會用集合與對應的語言來刻畫函數，理解函數符號y=f(x)的含義；通過學習函數概念，培養學生觀察問題，提出問題的探究能力，進一步培養學生學習數學的興趣和抽象概括能力；啟發學生用函數模型表述和解決現實世界中蘊含的規律，逐漸形成善于提出問題的習慣，學會數學表達和交流，發展數學應用意識.2.掌握構成函數的三要素，體會對應關系在刻畫函數概念中的作用，使學生感受到學習函數的必要性，激發學生學習的積極性.【教學重點】正確理解函數的概念，體會函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型.【教學難點】函數概念及符號y=f(x)的理解.【教學方法】誘思教學法，即教師通過問題誘導→啟發討論→探索結果，引導學生直觀感知→觀察分析→歸納類比→抽象概括，使學生在獲得知識的同時，能夠掌握方法、提升能力.【教學手段】多媒體課件輔助教學

【教學過程設計】

一、創設情景 引入課題

北京時間2007年10月24日18時05分，萬眾矚目的“嫦娥一號”探月衛星成功發射，在“嫦娥一號”飛行期間，我們時刻關注著“嫦娥一號”離我們的距離隨時間是如何變化的，數學上用函數來描述這種運動變化中的數量關系.在初中已學習過函數的概念，函數的概念從運動變化的觀點描述了變量之間的依賴關系.本節將進一步學習函數及其構成要素.二、觀察分析 探索新知

1.實例分析

（1）一枚炮彈發射后，經過26s落到地面擊中目標.炮彈的射高為845m，且炮彈距地面的高度h（單位：m）隨時間t（單位：s）變化的規律是：

h=130t-5t2.（﹡）

提問：你能得出炮彈飛行5秒、10秒、20秒時距地面多高嗎？其中，時間t的變化范圍是什么？炮彈距離地面高度h的變化范圍是什么？

炮彈飛行時間t的變化范圍是數集A?{t0?t?26}，炮彈距地面的高度h的變化范圍是數集B?{h0?h?845}.