第一篇：函數性質培優教案2(映射、反函數)

函

數（2）

映 射

逆映射：如果f是A與B之間的一一對應，那么可得B到A的一個映射g：任給b?B，規定g(b)?a，其中a是b在f下的原象，稱這個映射g是f的逆映射，并將g記為f —1.顯然有（f —1）—1= f，即如果f是A與B之間的一一對應，則f —1是B與A之間的一一對應，并且f —1的逆映射是f.典例分析

例1：設A={a,b,c},B={0,1},請寫出所有從A到B的映射

變式1：設集合A＝??1,0,1,2?集合B＝??1,0,1?。

（1）從集合A到集合B可以構造多少不同的映射？（2）從B到A的映射有多少個？

（3）若B中每個元素都要有原象，這樣的映射有多少個？

例2：假設集合M ={0,-1,1} N ={-2,-1 ,0,1,2} 映射f：M→N 滿足條件“對任意的x屬于M ,x+f(x)是奇數”，這樣的映射有多少個？

變式2：設集合A={-1，0，1} B={2，3，4，5，6 } 從A到B的映射 f滿足條件 ：對每個X∈A 有 f（X）+X為偶數 那么這樣的映射f的個數是多少？

變式3：設集合X＝

??1,0,1?，Y＝?2,3,4,5,6?，映射f：

X?Y，使得對任意的x?X，都有x+f?x?+xf?x?是奇數，這樣的映射f有多少個？

例3：已知：集合M?{a,b,c}，N?{?1,0,1}，映射f:??M?N滿足f(a)?f(b)?f(c)?0，那么映射f:??M?N的個數是多少？

例4：設集合A＝??1,0,1?，集合B＝??2,?1,0,1,2?。若A中的元

素x對應B中元素f（x），且滿足f?x??f?x2?，則這樣的映射有

多少個？

變式4：知集合M＝

?x,y,z?，N＝??1,0,1?，由集合M到N的映射f滿足：f?x?＝f?y?+f?z?，那么這樣的映射有多少個？

反 函 數

1．反函數的定義

設函數y=f(x)的定義域是A，值域是C．我們從式子y=f(x)中解出x得到式子x=φ(y)．如果對于y在C中的任何一個值，通過式子x=φ(y)，x在A中都有唯一的值和它對應，那么式子x=φ(y)叫函數y=f(x)的反函數，記作x=f-1(y)，習慣表示為y=f-1(x)．注意：函數y=f(x)的定義域和值域，分別是反函數y=f-1(x)的值域和定義域，例如：f(x)=的定義域是[-1，+∞]，值域是[0，+∞），它的反函數f-1(x)=x2-1, x≥0，定義域為[0，+∞），值域是[-1，+∞)。

2．反函數存在的條件

按照函數定義，y=f(x)定義域中的每一個元素x，都唯一地對應著值域中的元素y，如果值域中的每一個元素y也有定義域中的唯一的一個元素x和它相對應，即定義域中的元素x和值域中的元素y，通過對應法則y=f(x)存在著一一對應關系，那么函數y=f(x)存在反函數，否則不存在反函數．

3．函數與反函數圖象間的關系

函數y=f(x)和它的反函數y=f-1(x)的圖象關于y=x對稱．若點(a,b)在y=f(x)的圖象上，那么點(b,a)在它的反函數y=f-1(x)的圖象上．

4．反函數的幾個簡單命題

（1）一個奇函數y=f(x)如果存在反函數，那么它的反函數y=f-1(x)一定是奇函數．

（2）一個函數在某一區間是（減）函數，并且存在反函數，那么它的反函數在相應區間也是增（減）函數． 典例分析

例1：求下列函數的反函數：

(1)y=x2+2x-2, x∈[-3,-2]

(2)y=

（3）已知f(x)=(0≤x≤4)

例2：已知點（1，2）既在y=的圖象上，又在它反函數的圖象上，求a、b．

例3：函數y=f(x+1)與函數y=f-1(x+1)的圖象（）.A、關于直線y=x對稱

B、關于直線y=x+1對稱

C、關于直線y=x-1對稱

D、關于直線y=-x對稱

例4：設y=f(x)=, y=g(x)的圖象與 y=f-1(x+1)的圖象關于y=x

對稱，求g(3)的值．

例5：函數y=f(x)=(1+)2-2(x≥-2), 求方程f(x)=f-1(x)的解集．

例6．已知f(x)=(x≥3), 求f-1(5).課后練習

1．定義在R上的函數y=f(x)有反函數，則函數y=f(x+a)+b的圖象與

y=f-1(x+a)+b的圖象間的關系是（）.A、關于直線y=x+a+b對稱

B、關于直線x=y+a+b對稱

C、關于直線y=x+a-b對稱

D、關于直線x=y+a-b對稱

2．設定義域為R的函數y = f(x)、y = g(x)都有反函數，并且f(x－1)和g-1(x－2)函數的圖像關于直線y = x對稱，若g(5)= 1999，那么 f(4)=（）

A、1999

B、2000

C、2001

D、2002

3．設有三個函數，第一個函數式y=f(x)，第二個函數是它的反函數，而第三個函數的圖象關于直線x+y=0對稱。則第三個函數是（）A、y=-f（x）

B、y=-f（-x）

C、y=-f-1(x)

D、y=-f-1(-x)

4．若函數f(x)的圖象過（0，1）點，則f-1(x+4)的圖象必過點________．

5．已知f(x)?2x?3，則f?1(x?1)______________．

6．已知f(x)?2x?3，則f(x?1)的反函數為_____________．

7．已知y?f(x)反函數為y?f?1(x)，則f(x?3)的反函數

_____________．

8．已知y?f(x)的圖象過點（0,1），則函數y?f(4?x)的反函數圖象過點____________． 9．若函數圖象y?f?1(x)過點（-2,0），則函數圖象y?f(x?5)過點___________． 10．若函數f(x)?x,則f?11x?2(3)=______________． 參 考 答 案

映射

例

1、從A到B的映射共有2^3=8個：（a，b，c）→（0，0，0）；（a，b，c）→（0，0，1）；（a，b，c）→（0，1，0）；（a，b，c）→（1，0，0）；（a，b，c）→（0，1，1）；（a，b，c）→（1，0，1）；（a，b，c）→（1，1，0）；（a，b，c）→（1，1，1）。

變式

1、分析 這個問題是要建立沒有限制條件的映射。它的關鍵是正確理解映射的概念。對于映射f：A?B，集合A中的任何一個元素在集合B中都有B中都有唯一的象(可理解為放球模型)，因此，建立從A到B的映射就是給A中的每個元素找到一個象，而A中的每個元素都有3種對應方式，根據乘法原理，共有34個不同的映射。

1)變形思考 C234P3＝36個 2)43個

例

2、①當x=-1時，x+f(x)=-1+f(-1)恒為奇數，相當于題目中的限制條件“使對任意的x屬于M，都有x+f(x)是奇數” f(-1)=-2,0,2 ②當x=0時，x+f(x)=f(0),根據題目中的限制條件“使對任意的x屬于M，都有x+f(x)是奇數”可知f(0)只能等于-1和1 ③當x=1時，x+f(x)=1+f(1)恒為奇數

f(1)=-2,0,2 綜上①②③可知，只有第②種情況有限制，所以這樣的映射共有3×2×3=18個

變式

2、映射可以多對一，要讓f（X）+X＝偶數，當X＝－1和1時，只能從B中取奇數，有3，5兩種可能，當X＝0從B中取偶數有2 4 6三種，則一共有2×2×3＝12個

變式

3、分析 此題需仔細分析題意，根據映射的定義，要使X中的每個元素都有象，而集合X中只有三個元素，所以我們可以直接對元素進行分類。

1)當x＝－1時，x+f?x?+xf?x?＝－1，恒滿足題意，所以－1的象可在Y中任取，有5種可能。

2)當x＝0時x+f?x?+xf?x?＝f?0?，要滿足題意，0的象可在3，5中任取一個，有2種可能。3)當x＝1時，x+f?x?+xf?x?＝1+2f?1?，恒滿足題意，所以－1的象可在Y中任取，有5種可能。由乘法原理得：共有映射5?2?5＝50個。

例

3、思路提示：滿足f(a)?f(b)?f(c)?0，則只可能

0?0?0?0?1?(?1)?0，即f(a)、f(b)、f(c)中可以全部為0，或0,1,?1各取一個．

解：∵f(a)?N,??f(b)?N,??f(c)?N，且f(a)?f(b)?f(c)?0 ∴有0?0?0?0?1?(?1)?0．

當f(a)?f(b)?f(c)?0時，只有一個映射；

當f(a)、f(b)、f(c)中恰有一個為0，而另兩個分別為1，－1時，有3?2＝6個映射．因此所求的映射的個數為1＋6＝7．

評注：本題考查了映射的概念和分類討論的思想．

例

4、分析 這是一個要建立有限制條件的映射，所以關鍵是分析它有何限制條件。由條件f?x??f?x2?可知，f??1??f???1?2?＝

f?1?，也就是說，－1和1應該和同一個元素對應，又f?0??f?02?是一定

滿足的，所以這樣的映射可以有：5?5＝25個。變式:

4、7個。

反 函 數

例

1、解：（1）∵ y=(x+1)2-3, x∈[-3,-2]，∴-2≤y≤1且(x+1)

2=y+3.∴ x+1=-, y=-1-，∴ 所求反函數y=-1--2≤x≤1.(2)若x≤0，則y=x2

≥0, x=-.若x>0, 則 y=-x-1<-1, x=-y-1.∴ 所求反函數y=.（3）∵0≤x≤4,∴0≤x2

≤16, 9≤25-x2≤25, ∴ 3≤y≤5，∵ y=, y2

=25-x2, ∴ x2

=25-y2

.∵ 0≤x≤4, ∴x=

(3≤y≤5)

將x, y互換，∴ f(x)的反函數f-1(x)=(3≤x≤5).評注：求函數y=f(x)的反函數的一般步驟是

（1）確定原函數的值域，也就是反函數的定義域．

（2）由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y).（3）將x、y交換位置得y=f-1(x)．

（4）求分段函數的反函數，應分別求出各段的反函數，它們聯合在一起構成原函數的反函數．

例

2、解：∵點（1，2）在y=上，∴ 2=...........(1)

∵點（1，2）在y=的反函數的圖象上，∴點（2，1）在y=

上，∴1=...........(2)由(1),(2)得a=-3, b=7．

評議：本題目巧妙的運用了：若點(a,b)在y=f(x)的圖象上，那么點(b,a)在它的反函數y=f-1(x)的圖象上．

例

3、解答：y=f(x+1)與y=f-1(x+1)圖象是分別將y=f(x), y=f-1(x)的圖象向左平移一個單位所得，∵ y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關于直線y=x對稱，y=x向左平移一個單位而得y=x+1.故選B.例

4、解：由y=f-1(x+1), f(y)=x+1.∴ x=f(y)-1, y=f(x)-1是y=f-

1(x+1)的反函數，即它們關于y=x對稱．所以g(x)=f(x)-1，∴g(3)=f(3)-1=

-1=

．

例

5、分析：若先求出反函數f-

1(x)=2-2(x≥-2)，再求它的解集，這時由題設有

2-2=(1+)2-2.整理得四次方程，求解

有困難，但我們可利用y=f(x)與y=f-1

(x)的圖象關系求解．

首先畫出y=f(x)=(1+)2-2的圖象，如圖所示．因為互為反函數的兩個函數的圖象是關于直線y=x對稱的，故立即可畫出y=f-1

(x)的圖象，由圖可見兩圖象恰有兩個交點，且交點在y=x上，因此可由方程組：

解得 x=2或-2, 從而得方程f(x)=f-1

(x)的解集為{-2,2}． 例

6、解：設f-

1(5)=x0, 則 f(x0)=5,即 =5(x0≥3)

∴ x02+1=5x0-5, x0

2-5x0+6=0.解得：x0=3或x0=2(舍）∴ f-1

(5)=3.課后練習

1、解答:將y=x向左平移a個單位，向上平移b個單位得y=x+a+b，故選A.2、解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函數的圖像關于直線y = x對稱，∴y = g-1(x－2)反函數是y = f(x－1)，而y = g-

1(x－2)的反函數是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1)= 2 + g(x), ∴有f(5－1)= 2 + g(5)=2001 故f(4)= 2001,應選（C）

3、B

4、分析：∵f(x)的圖象過（0，1）點，∴ f-1(x)的圖象過（1，0）點，而f-1(x+4)-1的圖象是把y=f-

1(x)的圖象向左平移4個單位而得到的，故f(x+4)的圖象過(-3,0)點．

5、f?1(x?1)=12(x?4)

6、y?12(x?1)

7、y?f?1(x)?

38、（1,4）

9、（-5，-2）10、1

第二篇：1.5分段函數與映射教案

1.5分段函數與映射教案

? ? ? ? ? ? ?

一、知識與技能：

通過實例，讓學生總結、體會分段函數的概念并了解分段函數在解決實際問題中的作用，培養學生數學來源于實際又服務于實踐的意識或觀念，增強學生運用所學知識解決實際問題的能力。經歷映射概念的提出過程，體會由特殊到一般的思維方法，掌握映射的概念，會判斷一個對應關系是否是映射。

體會用映射刻畫函數的方法，理解函數是一種特殊的映射。

二、過程與方法：

自主學習，了解作圖的基本要求。

探究與活動，明白作圖是由點到線，由局部到全體的運動變化過程。會判斷一個對應是不是映射。

重視基礎知識的教學、基礎技能的訓練和能力的培養；啟發學生能夠發現問題和提出問題，善于獨立思考，學會分析問題和創造性地解決問題；通過教師指導發現知識結論，培養學生的抽象概括能力和邏輯思維能力。

三、情感態度與價值觀：

培養辯證地看待事物的觀念和數形結合的思想。

使學生認識到事物間是有聯系的，對應、映射是一種聯系方式。

激發學生學習數學的興趣和積極性，陶冶學生的情操，培養學生堅韌不拔的意志，實事求是的科學學習態度和勇于創新的精神。? ? ?

四、重點：分段函數及其表示，映射概念的理解。

五、難點：分段函數解析式的建立及圖象的描繪，用映射來定義函數。

六、分段函數的定義：對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應法則，這樣的函數通常叫做分段函數。

注意：

? 分段函數是一個函數而不是幾個函數，處理分段函數問題時，首先要確定自變量的數值屬于哪個區間段，從而選取相應的對應法則。

? 定義域是各段函數定義域的并集，值域是分段函數值域的并集。? 求分段函數值時，應根據函數自變量的值選擇相應的解析式求解。

? 作分段函數的圖象時，應分別分段作出其圖象，在作每一段圖象時，先不管定義域的限制，用虛線作出其圖象，再用實線保留定義域內的一段圖象即可。

七、例6：思考：

? 自變量的范圍是怎樣得到的？

? 自變量的范圍為什么分成了四個區間？區間端點是怎樣確定的？ ? 每段上的函數解析式是怎樣求出的？ ? 畫圖象要注意什么？

八、函數是“兩個非空數集間的一種確定的對應關系?！比绻麑导瘮U展到任意的集合，會得到什么結論呢？什么是映射？

九、映射的定義：

十、設A,B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個元素x。在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f:A?B為從集合A到集合B的一個映射。

象與原象：

y是x在映射f作用下的象，記作f(x),x稱做y的原象。

其中A叫做映射f的定義域，由所有象f(x)構成的集合叫做映射f的值域，通常記作f(A).十一、映射要注意什么？

? 有三個要素：兩個集合，一個對應關系，三者缺一不可。? A中每個元素在B中都有唯一的元素與它對應。? 對應可以是“一對一，多對一，”但不能是“一對多”。

十二、練習：判斷下列對應關系哪些是從集合A到集合B的映射哪些不是，為什么？

1．A?B?N*,對應關系f:x?y?x?3

x?0 x?0?1,y?0,1?,對應關系f:x?2．A?R,B????0,3．A?B?R,對應關系f:x?y??x x4．A?Z,B?Q,對應關系f:x?y?5．

十三：作業：課本第23頁：第3題。第24頁第8題。

A??0,1,2,9?,B??0,1,4,9,64?對應關系f:a?b??a?1?2

第三篇：高中數學知識點津2函數反函數與基本初等函數的圖像與性質

高中數學知識點津2函數反函數與基本初等函數的圖像與性質

11.求一個函數的解析式或一個函數的反函數時，注明函數的定義域了嗎？

如：f

令t??2x?1?ex?x，求f(x).?x?1，則t?0

∴x?t?∴f(t)?et2?1?t2?1

∴f(x)?ex2?1?x2?1?x?0?

12.反函數存在的條件是什么？

（一一對應函數）

求反函數的步驟掌握了嗎？

（①反解x；②互換x、y；③注明定義域）

??1?x

如：求函數f(x)??2???x?1?x?0?的反函數

?x?0???x?1?x?1?）

（答：f(x)??????x?x?0?

13.反函數的性質有哪些？

①互為反函數的圖象關于直線y＝x對稱；

②保存了原來函數的單調性、奇函數性；

③設y?f(x)的定義域為A，值域為C，a?A，b?C，則f(a)=b?f?1(b)?a

?f?1?f(a)??f?1(b)?a，f?f?1(b)??f(a)?b

14.如何用定義證明函數的單調性？

（取值、作差、判正負）

如何判斷復合函數的單調性？

（y?f(u)，u??(x)，則y?f??(x)?（外層）（內層）

當內、外層函數單調性相同時f?(x)為增函數，否則f?(x)為減函數。）

????y?log1?x?2x的單調區間

如：求

2?2?

（設u??x?2x，由u?0則0?x?2 且log1u?，u???x?1??1，如圖： u O 1 2 x

當x?(0，1]時，u?，又log1u?，∴y?

當x?[1，2)時，u?，又log1u?，∴y?

2∴??）

15.如何利用導數判斷函數的單調性？

在區間a，b內，若總有f'(x)?0則f(x)為增函數。（在個別點上導數等于 ??零，不影響函數的單調性），反之也對，若f'(x)?0呢？

如：已知a?0，函數f(x)?x?ax在1，??上是單調增函數，則a的最大 值是（）

A.0

3??B.1 2 C.2 D.3

（令f'(x)?3x?a?3?x???a??a???x???0 3??3?

則x??aa 或x?33a?1，即a?3

3由已知f(x)在[1，??)上為增函數，則

∴a的最大值為3）

16.函數f(x)具有奇偶性的必要（非充分）條件是什么？

（f(x)定義域關于原點對稱）

若f(?x)??f(x)總成立?f(x)為奇函數?函數圖象關于原點對稱

若f(?x)?f(x)總成立?f(x)為偶函數?函數圖象關于y軸對稱

注意如下結論：

（1）在公共定義域內：兩個奇函數的乘積是偶函數；兩個偶函數的乘積是偶函數；一個偶函數與奇函數的乘積是奇函數。

（2）若f(x)是奇函數且定義域中有原點，則f(0)?0。

a·2x?a?2為奇函數，則實數a?

如：若f(x)?2x?

1（∵f(x)為奇函數，x?R，又0?R，∴f(0)?0

a·20?a?2?0，∴a?1）

即20?12x，又如：f(x)為定義在(?1，1)上的奇函數，當x?(0，1)時，f(x)?x4?1求f(x)在??1，1?上的解析式。

2?x

（令x???1，0?，則?x??0，1?，f(?x)??x

4?12?x2x??

又f(x)為奇函數，∴f(x)???x x4?11?4?2x??x?4?1

又f(0)?0，∴f(x)??x?2??4x?1

17.你熟悉周期函數的定義嗎？

x?(?1，0)x?0x??0，1?）

（若存在實數T（T?0），在定義域內總有f?x?T??f(x)，則f(x)為周期 函數，T是一個周期。）

如：若f?x?a???f(x)，則

（答：f(x)是周期函數，T?2a為f(x)的一個周期）

又如：若f(x)圖象有兩條對稱軸x?a，x?b???

即f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)

則f(x)是周期函數，2a?b為一個周期

如：

18.你掌握常用的圖象變換了嗎？

f(x)與f(?x)的圖象關于y軸對稱

f(x)與?f(x)的圖象關于x軸對稱

f(x)與?f(?x)的圖象關于原點對稱

f(x)與f?1(x)的圖象關于直線y?x對稱

f(x)與f(2a?x)的圖象關于直線x?a對稱

f(x)與?f(2a?x)的圖象關于點(a，0)對稱

將y?f(x)圖象??????????左移a(a?0)個單位右移a(a?0)個單位y?f(x?a)y?f(x?a)

y?f(x?a)?b上移b(b?0)個單位

???????? ??y?f(x?a)?b下移b(b?0)個單位

注意如下“翻折”變換：

f(x)???f(x)f(x)???f(|x|)

如：f(x)?log2?x?1?

作出y?log2?x?1?及y?log2x?1的圖象 y y=log2x O 1 x

19.你熟練掌握常用函數的圖象和性質了嗎？

(k<0)y(k>0)y=b O’(a,b)O x x=a

（1）一次函數：y?kx?b?k?0?

（2）反比例函數：y?的雙曲線。

kk?k?0?推廣為y?b??k?0?是中心O'(a，b)xx?a2b?4ac?b2?

（3）二次函數y?ax?bx?c?a?0??a?x?圖象為拋物線 ????2a4a2?b4ac?b2?b

頂點坐標為??，?，對稱軸x??

4a?2a?2a

開口方向：a?0，向上，函數ymin4ac?b2?

4a

a?0，向下，ymax4ac?b2?

4a

應用：①“三個二次”（二次函數、二次方程、二次不等式）的關系——二次方程

ax2?bx?c?0，??0時，兩根x1、x2為二次函數y?ax2?bx?c的圖象與x軸 的兩個交點，也是二次不等式ax2?bx?c?0(?0)解集的端點值。

②求閉區間［m，n］上的最值。

③求區間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。

④一元二次方程根的分布問題。

???0??b2

如：二次方程ax?bx?c?0的兩根都大于k????k

?2a??f(k)?0 y(a>0)O k x1 x2 x

一根大于k，一根小于k?f(k)?0

（4）指數函數：y?ax?a?0，a?1? ??

（5）對數函數y?logaxa?0，a?1

由圖象記性質！

（注意底數的限定?。?/p>

y y=ax(a>1)(01)1 O 1 x(0

（6）“對勾函數”y?x?k?k?0? x

利用它的單調性求最值與利用均值不等式求最值的區別是什么？ y ?k O k x

20.你在基本運算上常出現錯誤嗎？

指數運算：a?1(a?0)，amnnm?mn0?p

?1(a?0)pa

a?a(a?0)，a?1nam(a?0)

對數運算：logaM·N?logaM?logaNM?0，N?0

loga??M1n?logM?logN，logM?logaaaaM Nn

對數恒等式：alogax?x

對數換底公式：logab?

logcbn?logambn?logab

logcam

第四篇：映射與函數的概念

教案一

課題：3.1映射與函數：

一、映射與函數的概念.教學目標：1.了解映射的概念.如果給出兩個集合的對應關系，能判斷它是不是映射關系.2.理解以映射為基礎的函數概念，加深對初中函數概念的理解和溝通.理解和掌握函數符號的意義和簡單應用.3.培養學生的觀察能力、識圖能力、邏輯思維能力以及分析問題和解決問題的能力、運算能力.4.學會分析綜合、歸納演繹，用數形結合的思想分析問題和解決問題.滲透符號化思想和聯系的觀點.教學重點：函數的概念.教學難點：對函數概念的理解.教學方法：講授法.教學手段：三角板、小黑板、投影儀、膠片.課時安排：1課時.課堂類型：新授課.教學過程： 課件

一、復習導入

1.復習提問：初中所學的函數的概念是什么？(學生口答這一問題.)

2.導入新課：初中所學函數的概念可看成是數集到數集的一種對應，有一定的局限性.其實，在現實生活和科學研究中有很多非數集之間的對應.這節課我們將繼續研究函數的概念，今天我們學習第三章3.1節映射與函數.(教師口述這些導入語，并板書課題，導入新課.)

二、講授新課

1.實例分析

例1：(出示小黑板)設表示東方職業高級中學全體同學構成的集合，則對中任一元素(某個學生)，通過測量身高，在實數集中必有唯一一個實數和對應.解：(教師口述)因為中的每個同學都有自己確定的身高，身高是一個確定的正實

中任一元素對應唯一一個正數，同一個同學在同一次測量中只可能有一個身高，所以對實數.這是典型的人與數的對應.(啟發學生思考、回答，教師板書.)

例2：(出示小黑板)對任一對有序實數對(，)，在直角坐標系中對應唯一一點(，).解：(教師口述畫圖說明)任一有序實數對(，第3.1節例2.如圖，任一對有序實數對(，點(，).如取＝1，)與點(，)對應 ,演示課件：)，作為點的坐標，在坐標系中對應唯一一

(1，1).＝1，有序實數時(1，1)，對應坐標系中唯一一點這是典型的有序實數對與點的對應.(啟發學生思考、回答，教師板書.)

例3：(出示小黑板)△△上有唯一對稱點

與△關于軸對稱.對△邊上任一點，在與之對應.解：如圖，對△→，→，→

邊上任一點，在△，→

上都有唯一對稱點與之對應.如

.這是典型的點與點的對應.(啟發學生思考、回答，教師板書.)

2.映射的定義(重點，紅字突出，通過對上述三個實例的分析，歸納出映射的定義，并板書.)

設、是兩個非空集合，如果按照某種對應法則

和對應，則稱

＝

是集合，對到

內任一個元素，在是在映射中總有一個，且僅有一個元素的作用下的象，記作的映射；稱，于是，稱作的原象，映射可記為：

：→，→，其中定等于.)叫做的定義域，由所有象所構成的集合叫做的值域.(強調值域不一

3.函數的概念(重點，紅筆突出.板書，在映射的基礎上定義函數的概念，明確定義域、值域.的意義，強調允許函數的多種說法并存.)

映射概念是初中函數概念的推廣，通常就把映射叫做函數.函數的定義域是使函數有意義的實數全體構成的集合，函數的值域是所有函數值的集合.的函數值.關于的函數

4.例題分析

經常寫作函數

＝

或函數

． 的意義是函數

在 例4：(出示投影.重點例題.)在圖3-3中，圖(1)、(2)、(3)、用箭頭所標明的元素與中元素的對應法則，是不是映射？

中

解：(啟發學生思考、分析、老師總結、分析、板書.)在圖(1)中，通過開平方運算，在中的一個元素，中有兩個元素與之對應.這種對應法則不符合上述映射的定義，所以這種對應關系不是映射；

在圖(2)中，中任一個元素，通過加倍運算，在中有且只有一個元素與之對應，所以這種對應法則是映射；

圖(3)中的平方運算法則同樣是映射.因為中每一個數通過平方運算，在中都有唯一的一個數與之對應.圖(3)與(2)不同的是，(啟發學生分析比較，找出不同點.)在圖(3)的中每兩個元素同時對應

中的一個元素，而在中，10和16在中沒有原象.結論：(投影，啟發學生歸納出映射的實質)到的映射只允許多個元素對應一個

相等，一般是的一個子集.元素，而不允許一個元素對應多個元素.映射的值域不一定和

例5：(投影)有、、三名射手參加射擊比賽，他們在一輪射擊中(每人5發子彈)，射得的總環數分別為32，48，40.試問三名射手所構成的集合與每人射擊可能得的總環數構成的集合之間的對應關系是不是映射？如果是映射，試寫出映射的定義域和值域.解：(啟發學生思考、分析講解，老師分析、總結，投影.)設三名射手所構成的集合為，則＝{，}，每人5次射擊所得可能總環數構成的集合是

＝{∈

|0≤≤50}.由于三名射手每在一輪射擊中，有且只有一個總環數與之對應，所以A到B的對應法則是映射.定義域：；值域：{32，48，40}.三、課堂練習

1.(重點練習題.投影，啟發學生思考、分析、口答，老師定正.)在下列各題中，哪些對應法則是映射？哪些不是？如果是映射，哪些映射的值域與的真子集？

相等，哪些映射的值域是

(1)＝{0，1，2，3}，＝{1，2，3，4}，對應法則：“加1”；

(2)＝，＝，對應法則：“求平方根”；

(3)＝，＝，對應法則：“3倍”；

(4)＝，＝，對應法則：“求絕對值”；

(5)＝，＝，對應法則：“求倒數”.2.(重點練習題.投影，啟發學生思考、練習、出示解題過程.)已知函數∈{0，1，2，3，5}，求

(0)，(2)，(5)及的值域.＝2-3，解：(老師強調值域的求法.)(0)＝-3，(2)＝1，(5)＝7.又(1)＝-1，(3)＝3，∴的值域為{-3，-1，1，3，7}.3.(投影，啟發學生分析、討論、舉例說明，老師定正.)已知集合是映射，試問中的元素在中是否都有象？

中的元素是否在到集合的對應

中都有原象？為什么？

四、課堂小結(老師口述投影)

這節課我們主要學習了映射與函數的概念及簡單應用，要求同學們加深對映射與函數概念的理解，掌握函數的意義.五、布置作業(投影說明)

1.復習本節課文，并整理筆記.2.書面作業：第85頁習題3-1第1，2題

數學思想方法

函數思想，數形結合思想．待定系數法．

1.函數的思想

本章的中心議題是函數.初中用自變量和因變量之間的單值對應的定義初步探討了函數的概念、函數關系的表示方法.本章則用集合、映射的思想對函數進行再認識，研究了函數關系的建立、函數的表示方法和函數的幾個重要性質.在教學中要充分重視映射（函數）思想方法的培養，在練習和作業中，訓練學生用函數的思想觀察、分析有關問題.2.數形結合的思想

本章在分析函數性質時，既觀察函數圖象，又重視對函數解析式的代數分析，充分體現了數形結合的思想.在教學中，不能單打一的讓學生只通過觀察圖象來總結函數性質，也不能不看圖只對解析式進行代數分析就得出函數性質.前者只會使學生仍停留在初中的具體直觀思維階段，而后者則容易脫離學生原有認識水平，造成學習困難.正確的做法是數形結合，使學生順利進行由具體直觀思維到抽象思維、理論思維的發展.3.待定系數法

本章專設一節待定系數法，應該很好的利用這個優勢，對學生進行待定系數法的教學.4.配方法

在研究二次函數時，配方法是重要方法.在今后也有大量應用

第五篇：7函數的單調性函數的奇偶性反函數 教案

函數的單調性，函數的奇偶性，反函數

[本周教學重點] 掌握函數單調性的定義，會用定義法證明函數的單調性及其步驟。

(1)設x1，x2是定義域上的任意兩個值，且x1

(2)作差f(x1)-f(x2)并將其變形為可判斷符號的形式；

(3)判斷f(x1)-f(x2)的正、負；

(4)結論

理解函數奇偶性的定義及奇、偶函數定理，能判斷、證明一些簡單函數的奇偶性，會利用函數奇偶性求解有關函數問題。

(1)函數的定義域在數軸上關于原點對稱，是函數具有奇偶性的必要條件。

(2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(x)是奇函數。

f(x)=f(-x)f(-x)-f(x)=0f(x)是偶函數。

由f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是側重于函數解析式的變形去證明f(x)的奇偶性；而f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是通過運算去證明f(x)的奇偶性，兩種定義形式各具不同優勢。

(3)若f(x)是奇函數且允許x=0，則f(0)=0，即f(x)的圖象過原點。

(4)若f(x)既是奇函數，又是偶函數，則f(x)=0。

(5)同為奇函數，同為偶函數的兩個函數之積是偶函數；一奇一偶兩個函數之積是奇函數。

(6)定義在R上的任意一個函數f(x)都可表示為一個奇函數g(x)與一個偶函數h(x)的和。

即f(x)=g(x)+h(x)，其中g(x)=[f(x)-f(-x)]，h(x)=

[f(x)+f(-x)]。

理解反函數的概念，掌握求反函數的方法步驟。

(1)由原函數y=f(x)求出它的值域；

(2)由原函數y=f(x)反解出x=f-

1(y)；

(3)交換x，y改寫成y=f-1(x)；

(4)用f(x)的值域確定f-1(x)的定義域。

[例題分析]

例1．證明函數f(x)=

在定義域上的單調性。

[分析與解答] 函數的單調性必須在定義域內進行考查。由x2+x≥0得f(x)定義域為(-∞，-1][0，+∞)。

函數定義域不是一個連續的區間，應分別考查在每一個區間上的單調性，用定義法證明時，只需任取x1

任取x1

==

當-∞0。

∴ f(x1)-f(x2)>0，∴ f(x)是(-∞，-1]上的單調遞減函數。

當0≤x10。

>0。

∴ f(x1)-f(x2)<0，∴ f(x)是[0，+∞)上的單調遞增函數。

例2．函數f(x)是[0，+∞)上的單調遞減函數，f(x)≠0且f(2)=1，證明函數F(x)=f(x)+在[0，2]上的單調性。

[分析與解答]函數f(x)沒有給出解析式，因此對F(x)的函數值作差后，需由f(x)的單調性，確定作差后的符號。任取0≤x1

由F(x1)-F(x2)=f(x1)+-f(x2)-=f(x1)-f(x2)+

=[f(x1)-f(x2)]·[1-]

∵ 0≤x1f(x2)≥f(2)=1。

∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x1)·f(x2)>1，<1，1->0，∴ F(x1)-F(x2)>0，F(x)是[0，2]上的單調遞減函數。

例3．證明函數f(x)=的奇偶性。

[分析與解答] 函數的奇偶性必須在其定義域內考查。

由 函數f(x)定義域為[-1，0)(0，1]。

∴ |x+3|-3=x+3-3=x。即f(x)=，由f(-x)=

=-f(x)，∴ f(x)是奇函數。

例4．設f(x)是定義在R上的函數，對任意x1，x2∈R，恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，且f(x)不恒為0，證明

f(x)的奇偶性。

[分析與解答] 函數f(x)沒有給出解析式，這就必須從定義域，法則，及f(x)不恒為0去分析，完成奇偶性的證明。由f(x)定義域為R，顯然允許x=0，所以f(0)=0是f(x)的奇函數的必要條件。

令x1=x2=0，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)得f(0+0)=f(0)+f(0)，整理得f(0)=0，對任意x∈R，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)知f(-x)+f(x)=f(-x+x)=f(0)=0，∴ f(-x)=-f(x)，∵ f(x)不恒為0，∴f(x)不可能既是奇函數又是偶函數，所以f(x)是R上的奇函數。

例5．已知函數f(x)=(a，b，c∈Z)是奇函數，且f(1)=2，f(2)<3。

(1)求a，b，c的值；(2)用定義法證明f(x)在(0，1)上的單調性。

[分析與解答](1)∵ f(x)是奇函數，∴f(-x)=-f(x)，即

=-，解出c=0，∴ f(x)=，∵ f(1)=2，∴ =2，∴ 2b=a+1。

∵ f(2)＜3，∴<3。將2b=a+1代入，∴ <3，解出-1

(2)f(x)==x+。任取0

f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-)

∵ 01，1-<0，∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x)是(0，1)上的單調遞減函數。

例6．證明函數f(x)=

(x≠)的圖象關于直線y=x對稱。

[分析與解答] 由反函數定理可知，當兩個函數互為反函數時，它們的圖象關于直線y=x對稱，所以要證明 f(x)=(x≠)的圖象關于直線y=x對稱，只需證明f(x)的反函數是其自身即可。

∴ f(x)的值域為{y|y≠，y∈R}。

由y=，∴ ayx-y=x-1，(ay-1)x=y-1。

∵ y≠，∴ ay-1≠0，x=，即f-1(x)=

(x≠)，顯然f(x)與f-1(x)是同一函數，所求f(x)的圖象關于直線y=x對稱。

[參考練習]

1．設f(x)是定義在R上的任意一個增函數，F(x)=f(x)-f(-x)必是（）。

A、增函數且是奇函數

B、增函數且是偶函數

C、減函數且是奇函數

D、減函數且是偶函數

2．已知y=f(x)是R上的奇函數，當x≥0時，f(x)=x2-2x，則f(x)在R上的表達式是（）。

A、y=x(x-2)B、y=x(|x|-1)C、y=|x|·(x-2)D、y=x(|x|-2)

3．若點(1，2)在函數y=的圖象上，又在它的反函數的圖象上，則（）。

A、a=3，b=-7 B、a=3，b=7 C、a=-3，b=-7 D、a=-3，b=7

4．函數f(x)是定義在[-6，6]上的偶函數，且在[-6，0]上是減函數，則（）。

A、f(3)+f(4)>0 B、f(-3)-f(2)<0 C、f(-2)+f(-5)<0 D、f(4)-f(-1)>0

5．設f(x)是定義在(-1，1)上的奇函數且是單調減函數，求解關于x的不等式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集。

[參考答案]：

1.A 2.D 3.D 4.D

5.由f(1-x)+f(1-x2)<0，∴ f(1-x)<-f(1-x2)，∵ f(x)是(-1，1)上的奇函數，∴ f(1-x)

{x|0